teoretisk og empirisk teoretisk og empirisk undersøgelse af ...

En arbitrage kan defineres som en portefølje z ∈ R J , hvor v ′ z ≤ 0 og D′z > 0, eller alternativt
hvor v ′ z < 0 og D′z ≥ 0. I ord betyder det henholdsvis en portefølje, der kan rekvireres gratis, eller
hvor der modtages et beløb, men samtidig giver en positiv dividende i mindst én event og 0 i resten,
og henholdsvis en portefølje, hvor der modtages et beløb for at rekvirere denne, med et ikke negativt
afkast i alle events. Kort fortalt, en arbitrage vil sige, at der modtages noget på tidspunkt t = 0 eller
t = 1 for ingenting.
En ligevægt kan for det første ikke nås, hvis der er arbitrage-muligheder. Eksisterer en portefølje
således, at det er muligt at få noget for ingenting, som ovenfor skitseret, vil investorerne på grund
af antagelse om umættelighed benytte dette ved at ændre deres porteføljer i det uendelige for at
udnytte arbitrage-muligheden, da flere dividender frem for færre stiller dem bedre. Af denne grund vil
investorerne ikke kunne handle sig frem til et punkt, der ikke kan forbedre deres situation yderligere,
hvilket er ensbetydende med, at markedet ikke vil nå en ligevægt. Ingen-arbitrage restriktionen må
derfor som en naturlig følge heraf være opfyldt. For det andet har ingen arbitrage-muligheder en
betydning for markedspriser og dividender, der kan sammenfattes ved følgende:
Theorem 1 Der er ingen arbitrage hvis og kun hvis der eksisterer en eventpris-vektor p ∈ R M ++ ,
således at
og omvendt
v = Dp. (1)
Theorem 2 En eventpris-vektor p ∈ R M ++, hvor v = Dp, eksisterer hvis og kun hvis priserne ikke
tillader arbitragemuligheder 6 .
Pålæggelse af ingen-arbitrage restriktionen medfører dermed, at markedsværdien på t = 0 for
værdipapir j kan ses som summen af betingede dividender gange eventpriser, vj = M
m=1 dj (ym) p (ym),
j = 1, 2, ..., J 7 . De M eventpriser i p kan fortolkes som skyggepriserne eller de marginale omkost-
ninger for at få én enhed dividende mere i de tilsvarende events 8 . Det vil sige, at et værdipapir, der
betaler én monetær enhed mere, i forhold til et ellers præcist magen til, hvis event ym indtræffer, vil
være prissat p (ym) højere. Heraf følger endvidere, at p nødvendigvis må være strengt positiv.
Én ting er at have fastslået betingelserne for eksistensen af en eventpris-vektor, men p vil kun
være unik, ifald markedet er komplet. Et marked for værdipapirer siges at være komplet, når det
er muligt ved hjælp af de eksisterende værdipapirer at skabe en hvilken som helst event-afhængig
dividendebetaling. Den tekniske betingelse for dette er, at rangen af dividende-matricen D skal
være lig antallet af events, hvilket betyder, at der er lige så mange lineært uafhængige dividende-
vektorer som events. Dette gælder ligeledes, når antallet af værdipapirer J > M, da ingen-arbitrage
6
Dette kan vises ud fra et logisk argument og The Separating Hyperplane Theorem, se appendiks A2 for beviser.
7
Den lineær sammenhæng kan også etableres ved hjælp af Loven om en pris, men fravær af arbitrage indebærer, at
loven om en pris holder.
8
Eventpriser (eller statepriser) er ligeledes kendt som Arrow-Debreu priser, da de oprinder fra pionerarbejdet af K.
Arrow (1951, 1953, 1954) og G. Debreu (1954).
8