25.04.2014 Views

Kære selvstuderende i hf-matematik B Herunder ser du et ... - KVUC

Kære selvstuderende i hf-matematik B Herunder ser du et ... - KVUC

Kære selvstuderende i hf-matematik B Herunder ser du et ... - KVUC

SHOW MORE
SHOW LESS

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.

1<br />

Kære <strong>selvstuderende</strong> i <strong>hf</strong>-<strong>matematik</strong> B<br />

<strong>Herunder</strong> <strong>ser</strong> <strong>du</strong> <strong>et</strong> forslag til materiale, der kan udgøre dit eksaminationsgrundlag.<br />

Eksamensspørgsmålene til den mundtlige eksamen ses til sidst. I nogle af<br />

spørgsmålene henvises til projekter, som jeg anbefaler at <strong>du</strong> udarbejder.<br />

Projektoplæggene kan <strong>du</strong> også finde på disse sider.<br />

På undervisningsministeri<strong>et</strong>s hjemmeside finder <strong>du</strong> læreplanen:<br />

Benyt www.uvm.dk. D<strong>et</strong> er undervisningsministeri<strong>et</strong>s hjemmeside og her skal <strong>du</strong> gå<br />

ind under Uddannelse og vælge Love og regler under Gymnasiale uddannel<strong>ser</strong>. Vælg<br />

så Læreplaner, <strong>hf</strong>e, og til sidst Matematik B <strong>hf</strong>e.<br />

På den samme side kan <strong>du</strong> finde tidligere eksamenssæt til skriftlig eksamen.<br />

Vælg under Gymnasiale uddannel<strong>ser</strong> Prøver og eksamen. Og herunder Tidligere<br />

skriftlige opgavesæt stx og <strong>hf</strong>. Find her opgaverne til Matematik B <strong>hf</strong>-enkeltfag.<br />

D<strong>et</strong> er nødvendigt at <strong>du</strong> har <strong>et</strong> cas-værktøj. D<strong>et</strong> kan være grafregneren TI-89 eller <strong>et</strong><br />

tilsvarende værktøj som kan udføre såkaldt ”symbolsk manipulation”.<br />

Bemærk at vi har en hold-side på Fronter.<br />

Her finder <strong>du</strong> ud over eksaminationsforslag<strong>et</strong>, tilhørende noter, TI-89 vejledninger<br />

m.m.<br />

Der vil også komme forskellige praktiske oplysninger som indkaldelse til<br />

orienteringsmøde og rækkefølge til eksamen.<br />

Jeg kan kontaktes på mailadressen al@kvuc.dk<br />

God arbejdslyst med selvstudi<strong>et</strong>!<br />

Venlig hilsen<br />

Ann-Lisb<strong>et</strong>h Hansen


2<br />

Eksaminationsgrundlag for <strong>selvstuderende</strong> 2011:<br />

Hvis <strong>du</strong> ønsker ændringer, skal d<strong>et</strong> godkendes af din vejleder inden 1. april (sommereksamen)/1.<br />

november (vintereksamen). Tag kontakt til din vejleder.<br />

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannel<strong>ser</strong><br />

Termin 2011<br />

Institution<br />

414 Københavns VUC<br />

Uddannelse<br />

Fag og niveau<br />

<strong>hf</strong>e<br />

Matematik B<br />

Selvstuderende<br />

Lærer<br />

Ann-Lisb<strong>et</strong>h Hansen<br />

Oversigt over temaer:<br />

Titel 1<br />

Titel 2<br />

Titel 3<br />

Titel 4<br />

Titel 5<br />

Titel 6<br />

Titel 7<br />

Titel 8<br />

Bogstavregning og ligninger<br />

Trigonom<strong>et</strong>ri<br />

Funktioner<br />

Eksponential- og logaritmefunktioner<br />

Differentialregning<br />

Regression, vækst og monotoniforhold<br />

Integralregning<br />

Sandsynlighedsregning og statistik<br />

Grundbog:<br />

Carstensen, Frandsen & Studsgaard, <strong>hf</strong> MAT B, Systime 2006


3<br />

Beskrivelse af de enkelte temaer:<br />

Titel 1<br />

Indhold<br />

Særlige<br />

fokuspunkter<br />

Bogstavregning og ligninger<br />

Kernestof:<br />

Mat B: 15-28<br />

Supplerende stof:<br />

Mat B: 50-54<br />

• regning med bogstaver og tal<br />

• løsning af første- & andengradsligninger<br />

• matematiske bevi<strong>ser</strong> – intro<strong>du</strong>ktion<br />

Titel 2<br />

Indhold<br />

Særlige<br />

fokuspunkter<br />

Trigonom<strong>et</strong>ri<br />

Kernestof:<br />

Note 1: Ensvinklede trekanter<br />

Note 2: Trigonom<strong>et</strong>ri<br />

Supplerende stof:<br />

Bevi<strong>ser</strong>ne i ovenstående noter<br />

• sinus- & cosinus-relationerne: anvendel<strong>ser</strong> og bevi<strong>ser</strong><br />

• analyse af geom<strong>et</strong>riske figurer<br />

• basal brug af TI-89<br />

Titel 3<br />

Indhold<br />

Særlige<br />

fokuspunkter<br />

Funktioner<br />

Kernestof:<br />

MAT B: 32-50, 55-68<br />

Supplerende stof:<br />

Bevi<strong>ser</strong>ne i ovenstående tekst<br />

• funktionsbegreb<strong>et</strong><br />

• proportionalit<strong>et</strong>/omvendt proportionalit<strong>et</strong><br />

• lineær funktioner, potensfunktioner, polynomier<br />

• TI-89: graftegning & løsning af ligninger<br />

Titel 4<br />

Eksponential- og logaritmefunktioner<br />

Indhold Kernestof:<br />

MAT B: 95-119<br />

Note 3: Forskellige vækstmodeller (oversigt)<br />

Supplerende stof:<br />

Bevi<strong>ser</strong>ne i ovenstående tekst<br />

Projekt Vækstmodeller<br />

Særlige • egenskaber ved eksponential- & logaritmefunktioner


4<br />

fokuspunkter • eksponentielle udviklinger<br />

Titel 5<br />

Indhold<br />

Særlige<br />

fokuspunkter<br />

Differentialregning<br />

Kernestof:<br />

MAT B: 128-146, 150-167<br />

Note 4: B<strong>et</strong>ydning af konstanterne a,b,c og d for en parabel<br />

Supplerende stof:<br />

Bevi<strong>ser</strong>ne i ovenstående tekst<br />

• differentialkvotient & tangent<br />

• simple differentiable funktioner<br />

• regneregler for differentialkvotienter<br />

• anvendelse af differentialkvotient i modeller<br />

• TI-89: differentialkvotient, tangent<br />

Titel 6<br />

Indhold<br />

Særlige<br />

fokuspunkter<br />

Regression, vækst og monotoniforhold<br />

Kernestof:<br />

MAT B: 172-182, 194-203<br />

Supplerende stof:<br />

198-204<br />

Note 5: Monotoniforhold<br />

Projekt Differentialregning<br />

• vækstmodeller<br />

• oversættelse mellem matematisk og almindeligt sprog<br />

• TI-89: regression<br />

• Monotoniforhold og optimering<br />

Titel 7<br />

Indhold<br />

Særlige<br />

fokuspunkter<br />

Integralregning<br />

Kernestof:<br />

MAT B: 216-221, 224-239<br />

Note 6: Intro<strong>du</strong>ktion til integralregning<br />

Note 7: til side 231<br />

Supplerende stof<br />

Bevi<strong>ser</strong> i ovenstående tekst<br />

Projekt Arealbestemmel<strong>ser</strong><br />

• ubestemt & bestemt integral<br />

• anvendelse af integraler<br />

• TI-89: ubestemt og bestemt integral


5<br />

Titel 8<br />

Indhold<br />

Særlige<br />

fokuspunkter<br />

Sandsynlighedsregning og statistik (indgår kun i den mundtlige eksamen)<br />

Supplerende stof:<br />

MAT B: 246-258, 299-313<br />

Note 8: Statistik – grupper<strong>et</strong> ob<strong>ser</strong>vationssæt.<br />

Note 9: Lidt mere om normalfordelingen<br />

Note 10: Om stikprøver<br />

Projekt Binomialfordelingen<br />

• Binomialfordelingen<br />

• Grupperede ob<strong>ser</strong>vationer, deskriptorer & illustrationer<br />

• Normalfordeling: sandsynlighedspapir, frekvens- & fordelingsfunktion<br />

• TI-89: binomialfordeling og normalfordeling


6<br />

Lineær vækst:<br />

Eksponentiel vækst:<br />

Potens vækst:<br />

Projekt Vækstmodeller<br />

1. Formler til bestemmelse af a og b<br />

I ark<strong>et</strong> ’Forskellige vækstmodeller’ er angiv<strong>et</strong> formler til bestemmelse af henholdsvis a og b for hver<br />

af de tre modeller hvis man kender to punkter, og ), på funktionens graf.<br />

Bevis alle formlerne. Vær omhyggelig med at forklare de forskellige omskrivninger.<br />

Vink:<br />

I lærebogen side 39 er formlen til bestemmelse af a for den lineære funktion<br />

udledt. I bevis<strong>et</strong> ’trækker man en ligning fra en anden’ og omskriver udtrykk<strong>et</strong>.<br />

I de tilsvarende bevi<strong>ser</strong> for eksponentiel - og potensvækst ’dividerer man en<br />

ligning med en anden’ og omskriver udtrykk<strong>et</strong>.<br />

2. Anvendelse af formlerne til bestemmelse af a og b<br />

Konstruer tre tekstopgaver, dvs. opgaver der ’handler om nog<strong>et</strong>’. Der skal være en opgave for hver<br />

af de tre vækstmodeller, og opgaverne skal være konstruer<strong>et</strong> så formlerne fra punkt 1 skal bruges i<br />

besvarelsen. Løs opgaverne.<br />

3. Fordoblings- og halveringskonstant<br />

Gør rede for hvilke funktioner der har en fordoblingskonstant og for hvilke der har en<br />

halveringskonstant. Skriv de to formler til beregning af henholdsvis T 2 og T ½ .<br />

Bevis formlen til bestemmelse af T ½ ved at følge nedenstående punkter og tegningen .<br />

1. gør rede for hvordan ligningen<br />

fremkommer<br />

2. indsæt regneudtrykk<strong>et</strong> for på begge sider af lighedstegn<strong>et</strong><br />

3. divider med b på begge sider<br />

4. divider med på begge sider<br />

5. omskriv med potensregneregler og isoler som jo er<br />

d<strong>et</strong> samme som T ½<br />

Ved at følge denne fremgangsmåde gennemføres bevis<strong>et</strong> ligesom<br />

bogen gør ved fordoblingskonstanten – og ikke på den mere<br />

klodsede måde bogen bevi<strong>ser</strong> denne sætning på.


7<br />

Projekt Differentialregning<br />

1. Skriv en tekst i ’almindeligt sprog’ (og med egne ord) om hvad differentialregning går ud<br />

på.<br />

(’matematisk sprog’ er ikke tilladt!).<br />

2. Formuler en opgave, hvor en bestemt differentialkvotient (eller tangent) skal bestemmes.<br />

Lav også opgavebesvarelsen.<br />

3. Læs om monotoniforhold på siderne 194-198 i lærebogen og noten Monotoniforhold. Vælg<br />

én af opgaverne om monotoniforhold nedenfor. Forklar ud fra funktionsforskriften i den<br />

valgte opgave, hvordan monotoniforhold og ekstrema for en funktion kan bestemmes ved<br />

hjælp af differentialregning.<br />

4. Læs siderne 198-204 i lærebogen og forklar ud fra én af Optimeringsopgaverne nedenfor,<br />

hvordan differentialregning kan benyttes til optimering.<br />

Opgaver om monotoniforhold:<br />

1. (eksamen august 2007)<br />

En funktion f er giv<strong>et</strong> ved<br />

2<br />

f ( x)<br />

= x − 5x<br />

+ 4 + 2 ln( x)<br />

, x>0<br />

a) Bestem monotoniforholdene og lokale ekstrema.<br />

2.<br />

Funktionen f er bestemt ved forskriften<br />

4<br />

2<br />

f ( x)<br />

= x −1,25x<br />

+ 0,25<br />

a. Bestem monotoniforholdene og lokale ekstrema.<br />

b. Bestem værdimængden for f.<br />

3.<br />

4.<br />

(Og d<strong>et</strong> b<strong>et</strong>yder: Bestem monotoniforholdene og lokale ekstrema.)


8<br />

Optimeringsopgaver:<br />

1.<br />

2.


9<br />

Projekt Arealbestemmelse<br />

Opgave 1<br />

Løs opgave a) og b) som er på næste side. De to opgaver skal løses uden brug af integralregning.<br />

Sætning A<br />

Hvis f er en ikke-negativ og kontinuert funktion i intervall<strong>et</strong> [a ; b] er<br />

arealfunktionen A(x) en stamfunktion til den tilhørende funktion f.<br />

Sætning A bevises ikke (men opgave 1 vi<strong>ser</strong> at den gælder der)<br />

Sætning B<br />

Hvis f er en ikke-negativ og kontinuert funktion i intervall<strong>et</strong> [a ; b] er<br />

areal<strong>et</strong> A af d<strong>et</strong> område, der begrænses af grafen for f og x-aksen i<br />

intervall<strong>et</strong> [a; b] giv<strong>et</strong> ved:<br />

, hvor F er en vilkårlig stamfunktion til f<br />

D<strong>et</strong>te skrives også med symbol<strong>et</strong> bestemt integral:<br />

Sætning B er bevist i lærebogen s 229 (vigtig at kunne!)<br />

Sætning C<br />

Hvis f og g er kontinuerte funktioner som<br />

opfylder at<br />

i intervall<strong>et</strong> [a ; b],<br />

så kan areal<strong>et</strong> A af områd<strong>et</strong> mellem graferne<br />

fra a til b beregnes ved:<br />

Opgave 2<br />

Bevis sætning C<br />

Vink: Lad dig inspirere af figuren til højre.<br />

Hvordan kan forskrifterne for f 1 og g 1 fås ud fra<br />

forskrifterne for f og g ?<br />

Benyt herefter sætning B og bestem areal<strong>et</strong> mellem f 1 og g 1


10<br />

Sætning D<br />

Hvis g er en funktion der er kontinuert og<br />

ikke-positiv i intervall<strong>et</strong> [a ; b], så kan areal<strong>et</strong> A<br />

af områd<strong>et</strong> mellem grafen for g og x-aksen<br />

fra a til b beregnes ved:<br />

Opgave 3<br />

Bevis sætning D<br />

Opgave 4<br />

Grafen for funktionen<br />

afgræn<strong>ser</strong> sammen med førsteaksen en punktmængde.<br />

Tegn funktionens graf og illustrer punktmængden.<br />

Løs ligningen ved hjælp af solve på cas.<br />

Bestem areal<strong>et</strong> af punktmængden. Husk at skrive hvilken af sætningerne B,C eller D <strong>du</strong> bruger.<br />

Opgave 5<br />

Til højre ses graferne for funktionerne f og g.<br />

Funktionerne er giv<strong>et</strong> ved forskrifterne:<br />

Vink:<br />

Vælg en passende funktion f og benyt sætning C<br />

hvor<br />

Beregn fiskens areal.<br />

og<br />

Beregn også integral<strong>et</strong><br />

Husk at skrive hvilke af sætningerne <strong>du</strong> bruger.<br />

Forklar forskellen på de to resultater.<br />

a)<br />

Tegn i <strong>et</strong> koordinatsystem grafen for den konstante funktion f(x)=2<br />

Arealfunktionen defineres ved at A(x) er areal<strong>et</strong> under grafen for f og over x-aksen i intervall<strong>et</strong> [ 1; x]<br />

Angiv A(3) og A(5)<br />

Bestem herefter en regneforskrift for A(x) , x ≥ 1<br />

Beregn A´(x) og kommenter resultat<strong>et</strong> (sammenlign med sætning 1 side 228)<br />

b)<br />

Funktionen f har forskriften<br />

f(x) = 2x+3<br />

A(x) er arealfunktionen der hører til f, med udgangspunkt i a=1.<br />

Bestem regneforskriften for A(x)<br />

Beregn A(1) og A(4), og giv en fortolkning af resultaterne.<br />

Beregn A´(x) og kommenter resultat<strong>et</strong>.


11<br />

Projekt Binomialfordelingen<br />

Giv en fremstilling af binomialfordelingen. <strong>Herunder</strong> skal indgå:<br />

1. En redegørelse for begreberne:<br />

Basisforsøg, binomialforsøg, uafhængighed, antalsparam<strong>et</strong>er, sandsynlighedsparam<strong>et</strong>er og<br />

b<strong>et</strong>ydningen af K ( n,<br />

r)<br />

.<br />

2. En symm<strong>et</strong>risk terning kastes 5 gange, antal enere noteres.<br />

a) Argumenter for at d<strong>et</strong> drejer sig om <strong>et</strong> binomialforsøg. Vær opmærksom på at bruge de<br />

forskellige faglige b<strong>et</strong>egnel<strong>ser</strong> fra spørgsmål 1.<br />

b) Forklar hvordan man bestemmer sandsynligheden for at slå n<strong>et</strong>op 2 enere,<br />

1 2 5 3<br />

dvs argumenter for hvordan formlen P ( X = 2) = K(5,2)<br />

⋅ ( ) ⋅ ( ) fremkommer.<br />

c) Tag udgangspunkt i punkt b og argumenter for den generelle formel til bestemmelse af<br />

binomiale sandsynligheder:<br />

r<br />

n−r<br />

P(<br />

X = r)<br />

= K(<br />

n,<br />

r)<br />

⋅ p ⋅ (1 − p)<br />

6<br />

6<br />

3. Find eller konstruer en opgave der ”handler om nog<strong>et</strong>” og som omhandler en binomialfordeling.<br />

I opgaven skal indgå bestemmelse af både enkelte og kumulerede sandsynligheder.<br />

Løs opgaven.


12<br />

Eksamensspørgsmål for <strong>selvstuderende</strong> <strong>hf</strong>-mat B, sommer/vinter-eksamen 2011:<br />

1. Trigonom<strong>et</strong>ri<br />

Definér sinus og cosinus til en vinkel ved hjælp af enhedscirklen..<br />

Gør rede for cosinusrelationerne.<br />

2. Trigonom<strong>et</strong>ri<br />

Definér sinus og cosinus til en vinkel ved hjælp af enhedscirklen.<br />

Gør rede for formlen til arealbestemmelse og for sinusrelationerne.<br />

3. Polynomier<br />

Gør rede for andengradspolynomi<strong>et</strong>s graf,<br />

herunder bestemmelse af toppunkt<strong>et</strong>s koordinater.<br />

4. Polynomier<br />

Forklar hvordan man bestemmer rødder i <strong>et</strong> andengradspolynomium.<br />

Gør rede for faktori<strong>ser</strong>ing af andengradspolynomier.<br />

5. Ligninger<br />

Gør rede for løsning af andengradsligning.<br />

Forklar hvordan man bestemmer eventuel skæring mellem parabel og linje.<br />

6. Vækstmodeller<br />

Gør rede for vækstform og regneforskrift for lineær-, eksponentiel- og potens-vækst.<br />

Inddrag bevi<strong>ser</strong> efter eg<strong>et</strong> valg – gerne med udgangspunkt i dit projekt om vækstmodeller.<br />

Forklar hvordan man kan undersøge om en given udvikling kan beskrives ved en af<br />

vækstmodellerne og giv eksempler.<br />

7. Eksponentiel udvikling<br />

Definér eksponentiel udvikling og forklar hvad der kend<strong>et</strong>egner vækstformen.<br />

Gør rede for bestemmelse af fordobling- og halveringskonstant.<br />

Inddrag eventuelt dit projekt om vækstmodeller.<br />

8. Eksponential- og logaritmefunktioner<br />

Gør rede for eksponentialfunktioner og titals-logaritmefunktionen og dens egenskaber, herunder<br />

logaritmeregnereglerne.<br />

Beskriv <strong>et</strong> eksempel på en model hvor titals-logaritmefunktionen eller den naturlige<br />

logaritmefunktion indgår.<br />

9. Differentialkvotient<br />

Gør rede for begreb<strong>et</strong> differentialkvotient og for tr<strong>et</strong>rins-reglen.<br />

2<br />

Udled differentialkvotienten for funktionen f ( x)<br />

= ax + bx + c .<br />

Forklar hvordan toppunkt<strong>et</strong> for en parabel kan bestemmes ved hjælp af differentialregning.<br />

10. Differentialkvotient<br />

Forklar begreb<strong>et</strong> differentialkvotient.<br />

Gør herefter rede for differentialkvotienten for funktionen<br />

f =<br />

n<br />

( x)<br />

x , hvor n er <strong>et</strong> helt tal.


13<br />

11. Differentialregning<br />

2<br />

Gør rede for differentialkvotienten for funktionen f ( x)<br />

= ax + bx + c .<br />

Forklar hvordan man kan bestemme monotoniforhold for en funktion ved hjælp af den afledede<br />

funktion. Inddrag eventuelt dit projekt om differentialregning.<br />

12. Integralregning<br />

Definer begreb<strong>et</strong> stamfunktion.<br />

Forklar hvad en arealfunktion er og vis med <strong>et</strong> eksempel at arealfunktionen er en stamfunktion<br />

til den tilhørende funktion f. Gør herefter rede for sætningen om hvordan <strong>et</strong> afgræns<strong>et</strong> areal<br />

under grafen for en kontinuert ikke-negativ funktion kan bestemmes.<br />

Forklar - eventuelt ud fra dit projekt om arealbestemmelse - hvordan forskellige arealer kan<br />

bestemmes ved hjælp af integralregning.<br />

13. Statistik og sandsynlighed<br />

Gør rede for begreber og grafiske illustrationer der bruges til beskrivelse af <strong>et</strong> grupper<strong>et</strong><br />

ob<strong>ser</strong>vationssæt. Tag eventuelt udgangspunkt i <strong>et</strong> konkr<strong>et</strong> eksempel.<br />

Forklar hvad der kend<strong>et</strong>egner <strong>et</strong> normalfordelt ob<strong>ser</strong>vationssæt.<br />

14. Sandsynlighed og statistik<br />

Forklar hvad der kend<strong>et</strong>egner binomialforsøg. Gør rede for formlen til bestemmelse af<br />

binomiale sandsynligheder. Tag gerne udgangspunkt i <strong>et</strong> konkr<strong>et</strong> eksempel.<br />

Inddrag eventuelt dit projekt om binomialfordelingen.<br />

Hvad menes med formuleringen ”Gør rede for”?<br />

Her forventes som hovedregel at <strong>du</strong> har bevi<strong>ser</strong> med i din fremlæggelse.<br />

I bedømmelsen af din præstation indgår nemlig om <strong>du</strong> selvstændigt kan redegøre for<br />

matematiske ræsonnementer og bevi<strong>ser</strong>.<br />

Bemærk at her adskiller kravene sig væsentligt fra kravene til mundtlig eksamen i<br />

<strong>matematik</strong> C.<br />

I spørgsmål 13 indgår ikke egentlige bevi<strong>ser</strong>, så her er d<strong>et</strong> selvfølgelig ikke <strong>et</strong> krav.<br />

Bemærk i øvrigt:<br />

I spørgsmål hvor der skal medtages eksempler som illustrerer teorien, eller hvor <strong>du</strong> selv<br />

vælger at inddrage <strong>et</strong> eksempel (f.eks. i statistik) er d<strong>et</strong> vigtigt at <strong>du</strong> har forberedt d<strong>et</strong> på<br />

forhånd. Eksaminationstiden skal jo ikke gå med at for<strong>et</strong>age beregninger, men med at<br />

forklare begreberne.

Hooray! Your file is uploaded and ready to be published.

Saved successfully!

Ooh no, something went wrong!