Kære selvstuderende i hf-matematik B Herunder ser du et ... - KVUC
Kære selvstuderende i hf-matematik B Herunder ser du et ... - KVUC
Kære selvstuderende i hf-matematik B Herunder ser du et ... - KVUC
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
1<br />
Kære <strong>selvstuderende</strong> i <strong>hf</strong>-<strong>matematik</strong> B<br />
<strong>Herunder</strong> <strong>ser</strong> <strong>du</strong> <strong>et</strong> forslag til materiale, der kan udgøre dit eksaminationsgrundlag.<br />
Eksamensspørgsmålene til den mundtlige eksamen ses til sidst. I nogle af<br />
spørgsmålene henvises til projekter, som jeg anbefaler at <strong>du</strong> udarbejder.<br />
Projektoplæggene kan <strong>du</strong> også finde på disse sider.<br />
På undervisningsministeri<strong>et</strong>s hjemmeside finder <strong>du</strong> læreplanen:<br />
Benyt www.uvm.dk. D<strong>et</strong> er undervisningsministeri<strong>et</strong>s hjemmeside og her skal <strong>du</strong> gå<br />
ind under Uddannelse og vælge Love og regler under Gymnasiale uddannel<strong>ser</strong>. Vælg<br />
så Læreplaner, <strong>hf</strong>e, og til sidst Matematik B <strong>hf</strong>e.<br />
På den samme side kan <strong>du</strong> finde tidligere eksamenssæt til skriftlig eksamen.<br />
Vælg under Gymnasiale uddannel<strong>ser</strong> Prøver og eksamen. Og herunder Tidligere<br />
skriftlige opgavesæt stx og <strong>hf</strong>. Find her opgaverne til Matematik B <strong>hf</strong>-enkeltfag.<br />
D<strong>et</strong> er nødvendigt at <strong>du</strong> har <strong>et</strong> cas-værktøj. D<strong>et</strong> kan være grafregneren TI-89 eller <strong>et</strong><br />
tilsvarende værktøj som kan udføre såkaldt ”symbolsk manipulation”.<br />
Bemærk at vi har en hold-side på Fronter.<br />
Her finder <strong>du</strong> ud over eksaminationsforslag<strong>et</strong>, tilhørende noter, TI-89 vejledninger<br />
m.m.<br />
Der vil også komme forskellige praktiske oplysninger som indkaldelse til<br />
orienteringsmøde og rækkefølge til eksamen.<br />
Jeg kan kontaktes på mailadressen al@kvuc.dk<br />
God arbejdslyst med selvstudi<strong>et</strong>!<br />
Venlig hilsen<br />
Ann-Lisb<strong>et</strong>h Hansen
2<br />
Eksaminationsgrundlag for <strong>selvstuderende</strong> 2011:<br />
Hvis <strong>du</strong> ønsker ændringer, skal d<strong>et</strong> godkendes af din vejleder inden 1. april (sommereksamen)/1.<br />
november (vintereksamen). Tag kontakt til din vejleder.<br />
Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannel<strong>ser</strong><br />
Termin 2011<br />
Institution<br />
414 Københavns VUC<br />
Uddannelse<br />
Fag og niveau<br />
<strong>hf</strong>e<br />
Matematik B<br />
Selvstuderende<br />
Lærer<br />
Ann-Lisb<strong>et</strong>h Hansen<br />
Oversigt over temaer:<br />
Titel 1<br />
Titel 2<br />
Titel 3<br />
Titel 4<br />
Titel 5<br />
Titel 6<br />
Titel 7<br />
Titel 8<br />
Bogstavregning og ligninger<br />
Trigonom<strong>et</strong>ri<br />
Funktioner<br />
Eksponential- og logaritmefunktioner<br />
Differentialregning<br />
Regression, vækst og monotoniforhold<br />
Integralregning<br />
Sandsynlighedsregning og statistik<br />
Grundbog:<br />
Carstensen, Frandsen & Studsgaard, <strong>hf</strong> MAT B, Systime 2006
3<br />
Beskrivelse af de enkelte temaer:<br />
Titel 1<br />
Indhold<br />
Særlige<br />
fokuspunkter<br />
Bogstavregning og ligninger<br />
Kernestof:<br />
Mat B: 15-28<br />
Supplerende stof:<br />
Mat B: 50-54<br />
• regning med bogstaver og tal<br />
• løsning af første- & andengradsligninger<br />
• matematiske bevi<strong>ser</strong> – intro<strong>du</strong>ktion<br />
Titel 2<br />
Indhold<br />
Særlige<br />
fokuspunkter<br />
Trigonom<strong>et</strong>ri<br />
Kernestof:<br />
Note 1: Ensvinklede trekanter<br />
Note 2: Trigonom<strong>et</strong>ri<br />
Supplerende stof:<br />
Bevi<strong>ser</strong>ne i ovenstående noter<br />
• sinus- & cosinus-relationerne: anvendel<strong>ser</strong> og bevi<strong>ser</strong><br />
• analyse af geom<strong>et</strong>riske figurer<br />
• basal brug af TI-89<br />
Titel 3<br />
Indhold<br />
Særlige<br />
fokuspunkter<br />
Funktioner<br />
Kernestof:<br />
MAT B: 32-50, 55-68<br />
Supplerende stof:<br />
Bevi<strong>ser</strong>ne i ovenstående tekst<br />
• funktionsbegreb<strong>et</strong><br />
• proportionalit<strong>et</strong>/omvendt proportionalit<strong>et</strong><br />
• lineær funktioner, potensfunktioner, polynomier<br />
• TI-89: graftegning & løsning af ligninger<br />
Titel 4<br />
Eksponential- og logaritmefunktioner<br />
Indhold Kernestof:<br />
MAT B: 95-119<br />
Note 3: Forskellige vækstmodeller (oversigt)<br />
Supplerende stof:<br />
Bevi<strong>ser</strong>ne i ovenstående tekst<br />
Projekt Vækstmodeller<br />
Særlige • egenskaber ved eksponential- & logaritmefunktioner
4<br />
fokuspunkter • eksponentielle udviklinger<br />
Titel 5<br />
Indhold<br />
Særlige<br />
fokuspunkter<br />
Differentialregning<br />
Kernestof:<br />
MAT B: 128-146, 150-167<br />
Note 4: B<strong>et</strong>ydning af konstanterne a,b,c og d for en parabel<br />
Supplerende stof:<br />
Bevi<strong>ser</strong>ne i ovenstående tekst<br />
• differentialkvotient & tangent<br />
• simple differentiable funktioner<br />
• regneregler for differentialkvotienter<br />
• anvendelse af differentialkvotient i modeller<br />
• TI-89: differentialkvotient, tangent<br />
Titel 6<br />
Indhold<br />
Særlige<br />
fokuspunkter<br />
Regression, vækst og monotoniforhold<br />
Kernestof:<br />
MAT B: 172-182, 194-203<br />
Supplerende stof:<br />
198-204<br />
Note 5: Monotoniforhold<br />
Projekt Differentialregning<br />
• vækstmodeller<br />
• oversættelse mellem matematisk og almindeligt sprog<br />
• TI-89: regression<br />
• Monotoniforhold og optimering<br />
Titel 7<br />
Indhold<br />
Særlige<br />
fokuspunkter<br />
Integralregning<br />
Kernestof:<br />
MAT B: 216-221, 224-239<br />
Note 6: Intro<strong>du</strong>ktion til integralregning<br />
Note 7: til side 231<br />
Supplerende stof<br />
Bevi<strong>ser</strong> i ovenstående tekst<br />
Projekt Arealbestemmel<strong>ser</strong><br />
• ubestemt & bestemt integral<br />
• anvendelse af integraler<br />
• TI-89: ubestemt og bestemt integral
5<br />
Titel 8<br />
Indhold<br />
Særlige<br />
fokuspunkter<br />
Sandsynlighedsregning og statistik (indgår kun i den mundtlige eksamen)<br />
Supplerende stof:<br />
MAT B: 246-258, 299-313<br />
Note 8: Statistik – grupper<strong>et</strong> ob<strong>ser</strong>vationssæt.<br />
Note 9: Lidt mere om normalfordelingen<br />
Note 10: Om stikprøver<br />
Projekt Binomialfordelingen<br />
• Binomialfordelingen<br />
• Grupperede ob<strong>ser</strong>vationer, deskriptorer & illustrationer<br />
• Normalfordeling: sandsynlighedspapir, frekvens- & fordelingsfunktion<br />
• TI-89: binomialfordeling og normalfordeling
6<br />
Lineær vækst:<br />
Eksponentiel vækst:<br />
Potens vækst:<br />
Projekt Vækstmodeller<br />
1. Formler til bestemmelse af a og b<br />
I ark<strong>et</strong> ’Forskellige vækstmodeller’ er angiv<strong>et</strong> formler til bestemmelse af henholdsvis a og b for hver<br />
af de tre modeller hvis man kender to punkter, og ), på funktionens graf.<br />
Bevis alle formlerne. Vær omhyggelig med at forklare de forskellige omskrivninger.<br />
Vink:<br />
I lærebogen side 39 er formlen til bestemmelse af a for den lineære funktion<br />
udledt. I bevis<strong>et</strong> ’trækker man en ligning fra en anden’ og omskriver udtrykk<strong>et</strong>.<br />
I de tilsvarende bevi<strong>ser</strong> for eksponentiel - og potensvækst ’dividerer man en<br />
ligning med en anden’ og omskriver udtrykk<strong>et</strong>.<br />
2. Anvendelse af formlerne til bestemmelse af a og b<br />
Konstruer tre tekstopgaver, dvs. opgaver der ’handler om nog<strong>et</strong>’. Der skal være en opgave for hver<br />
af de tre vækstmodeller, og opgaverne skal være konstruer<strong>et</strong> så formlerne fra punkt 1 skal bruges i<br />
besvarelsen. Løs opgaverne.<br />
3. Fordoblings- og halveringskonstant<br />
Gør rede for hvilke funktioner der har en fordoblingskonstant og for hvilke der har en<br />
halveringskonstant. Skriv de to formler til beregning af henholdsvis T 2 og T ½ .<br />
Bevis formlen til bestemmelse af T ½ ved at følge nedenstående punkter og tegningen .<br />
1. gør rede for hvordan ligningen<br />
fremkommer<br />
2. indsæt regneudtrykk<strong>et</strong> for på begge sider af lighedstegn<strong>et</strong><br />
3. divider med b på begge sider<br />
4. divider med på begge sider<br />
5. omskriv med potensregneregler og isoler som jo er<br />
d<strong>et</strong> samme som T ½<br />
Ved at følge denne fremgangsmåde gennemføres bevis<strong>et</strong> ligesom<br />
bogen gør ved fordoblingskonstanten – og ikke på den mere<br />
klodsede måde bogen bevi<strong>ser</strong> denne sætning på.
7<br />
Projekt Differentialregning<br />
1. Skriv en tekst i ’almindeligt sprog’ (og med egne ord) om hvad differentialregning går ud<br />
på.<br />
(’matematisk sprog’ er ikke tilladt!).<br />
2. Formuler en opgave, hvor en bestemt differentialkvotient (eller tangent) skal bestemmes.<br />
Lav også opgavebesvarelsen.<br />
3. Læs om monotoniforhold på siderne 194-198 i lærebogen og noten Monotoniforhold. Vælg<br />
én af opgaverne om monotoniforhold nedenfor. Forklar ud fra funktionsforskriften i den<br />
valgte opgave, hvordan monotoniforhold og ekstrema for en funktion kan bestemmes ved<br />
hjælp af differentialregning.<br />
4. Læs siderne 198-204 i lærebogen og forklar ud fra én af Optimeringsopgaverne nedenfor,<br />
hvordan differentialregning kan benyttes til optimering.<br />
Opgaver om monotoniforhold:<br />
1. (eksamen august 2007)<br />
En funktion f er giv<strong>et</strong> ved<br />
2<br />
f ( x)<br />
= x − 5x<br />
+ 4 + 2 ln( x)<br />
, x>0<br />
a) Bestem monotoniforholdene og lokale ekstrema.<br />
2.<br />
Funktionen f er bestemt ved forskriften<br />
4<br />
2<br />
f ( x)<br />
= x −1,25x<br />
+ 0,25<br />
a. Bestem monotoniforholdene og lokale ekstrema.<br />
b. Bestem værdimængden for f.<br />
3.<br />
4.<br />
(Og d<strong>et</strong> b<strong>et</strong>yder: Bestem monotoniforholdene og lokale ekstrema.)
8<br />
Optimeringsopgaver:<br />
1.<br />
2.
9<br />
Projekt Arealbestemmelse<br />
Opgave 1<br />
Løs opgave a) og b) som er på næste side. De to opgaver skal løses uden brug af integralregning.<br />
Sætning A<br />
Hvis f er en ikke-negativ og kontinuert funktion i intervall<strong>et</strong> [a ; b] er<br />
arealfunktionen A(x) en stamfunktion til den tilhørende funktion f.<br />
Sætning A bevises ikke (men opgave 1 vi<strong>ser</strong> at den gælder der)<br />
Sætning B<br />
Hvis f er en ikke-negativ og kontinuert funktion i intervall<strong>et</strong> [a ; b] er<br />
areal<strong>et</strong> A af d<strong>et</strong> område, der begrænses af grafen for f og x-aksen i<br />
intervall<strong>et</strong> [a; b] giv<strong>et</strong> ved:<br />
, hvor F er en vilkårlig stamfunktion til f<br />
D<strong>et</strong>te skrives også med symbol<strong>et</strong> bestemt integral:<br />
Sætning B er bevist i lærebogen s 229 (vigtig at kunne!)<br />
Sætning C<br />
Hvis f og g er kontinuerte funktioner som<br />
opfylder at<br />
i intervall<strong>et</strong> [a ; b],<br />
så kan areal<strong>et</strong> A af områd<strong>et</strong> mellem graferne<br />
fra a til b beregnes ved:<br />
Opgave 2<br />
Bevis sætning C<br />
Vink: Lad dig inspirere af figuren til højre.<br />
Hvordan kan forskrifterne for f 1 og g 1 fås ud fra<br />
forskrifterne for f og g ?<br />
Benyt herefter sætning B og bestem areal<strong>et</strong> mellem f 1 og g 1
10<br />
Sætning D<br />
Hvis g er en funktion der er kontinuert og<br />
ikke-positiv i intervall<strong>et</strong> [a ; b], så kan areal<strong>et</strong> A<br />
af områd<strong>et</strong> mellem grafen for g og x-aksen<br />
fra a til b beregnes ved:<br />
Opgave 3<br />
Bevis sætning D<br />
Opgave 4<br />
Grafen for funktionen<br />
afgræn<strong>ser</strong> sammen med førsteaksen en punktmængde.<br />
Tegn funktionens graf og illustrer punktmængden.<br />
Løs ligningen ved hjælp af solve på cas.<br />
Bestem areal<strong>et</strong> af punktmængden. Husk at skrive hvilken af sætningerne B,C eller D <strong>du</strong> bruger.<br />
Opgave 5<br />
Til højre ses graferne for funktionerne f og g.<br />
Funktionerne er giv<strong>et</strong> ved forskrifterne:<br />
Vink:<br />
Vælg en passende funktion f og benyt sætning C<br />
hvor<br />
Beregn fiskens areal.<br />
og<br />
Beregn også integral<strong>et</strong><br />
Husk at skrive hvilke af sætningerne <strong>du</strong> bruger.<br />
Forklar forskellen på de to resultater.<br />
a)<br />
Tegn i <strong>et</strong> koordinatsystem grafen for den konstante funktion f(x)=2<br />
Arealfunktionen defineres ved at A(x) er areal<strong>et</strong> under grafen for f og over x-aksen i intervall<strong>et</strong> [ 1; x]<br />
Angiv A(3) og A(5)<br />
Bestem herefter en regneforskrift for A(x) , x ≥ 1<br />
Beregn A´(x) og kommenter resultat<strong>et</strong> (sammenlign med sætning 1 side 228)<br />
b)<br />
Funktionen f har forskriften<br />
f(x) = 2x+3<br />
A(x) er arealfunktionen der hører til f, med udgangspunkt i a=1.<br />
Bestem regneforskriften for A(x)<br />
Beregn A(1) og A(4), og giv en fortolkning af resultaterne.<br />
Beregn A´(x) og kommenter resultat<strong>et</strong>.
11<br />
Projekt Binomialfordelingen<br />
Giv en fremstilling af binomialfordelingen. <strong>Herunder</strong> skal indgå:<br />
1. En redegørelse for begreberne:<br />
Basisforsøg, binomialforsøg, uafhængighed, antalsparam<strong>et</strong>er, sandsynlighedsparam<strong>et</strong>er og<br />
b<strong>et</strong>ydningen af K ( n,<br />
r)<br />
.<br />
2. En symm<strong>et</strong>risk terning kastes 5 gange, antal enere noteres.<br />
a) Argumenter for at d<strong>et</strong> drejer sig om <strong>et</strong> binomialforsøg. Vær opmærksom på at bruge de<br />
forskellige faglige b<strong>et</strong>egnel<strong>ser</strong> fra spørgsmål 1.<br />
b) Forklar hvordan man bestemmer sandsynligheden for at slå n<strong>et</strong>op 2 enere,<br />
1 2 5 3<br />
dvs argumenter for hvordan formlen P ( X = 2) = K(5,2)<br />
⋅ ( ) ⋅ ( ) fremkommer.<br />
c) Tag udgangspunkt i punkt b og argumenter for den generelle formel til bestemmelse af<br />
binomiale sandsynligheder:<br />
r<br />
n−r<br />
P(<br />
X = r)<br />
= K(<br />
n,<br />
r)<br />
⋅ p ⋅ (1 − p)<br />
6<br />
6<br />
3. Find eller konstruer en opgave der ”handler om nog<strong>et</strong>” og som omhandler en binomialfordeling.<br />
I opgaven skal indgå bestemmelse af både enkelte og kumulerede sandsynligheder.<br />
Løs opgaven.
12<br />
Eksamensspørgsmål for <strong>selvstuderende</strong> <strong>hf</strong>-mat B, sommer/vinter-eksamen 2011:<br />
1. Trigonom<strong>et</strong>ri<br />
Definér sinus og cosinus til en vinkel ved hjælp af enhedscirklen..<br />
Gør rede for cosinusrelationerne.<br />
2. Trigonom<strong>et</strong>ri<br />
Definér sinus og cosinus til en vinkel ved hjælp af enhedscirklen.<br />
Gør rede for formlen til arealbestemmelse og for sinusrelationerne.<br />
3. Polynomier<br />
Gør rede for andengradspolynomi<strong>et</strong>s graf,<br />
herunder bestemmelse af toppunkt<strong>et</strong>s koordinater.<br />
4. Polynomier<br />
Forklar hvordan man bestemmer rødder i <strong>et</strong> andengradspolynomium.<br />
Gør rede for faktori<strong>ser</strong>ing af andengradspolynomier.<br />
5. Ligninger<br />
Gør rede for løsning af andengradsligning.<br />
Forklar hvordan man bestemmer eventuel skæring mellem parabel og linje.<br />
6. Vækstmodeller<br />
Gør rede for vækstform og regneforskrift for lineær-, eksponentiel- og potens-vækst.<br />
Inddrag bevi<strong>ser</strong> efter eg<strong>et</strong> valg – gerne med udgangspunkt i dit projekt om vækstmodeller.<br />
Forklar hvordan man kan undersøge om en given udvikling kan beskrives ved en af<br />
vækstmodellerne og giv eksempler.<br />
7. Eksponentiel udvikling<br />
Definér eksponentiel udvikling og forklar hvad der kend<strong>et</strong>egner vækstformen.<br />
Gør rede for bestemmelse af fordobling- og halveringskonstant.<br />
Inddrag eventuelt dit projekt om vækstmodeller.<br />
8. Eksponential- og logaritmefunktioner<br />
Gør rede for eksponentialfunktioner og titals-logaritmefunktionen og dens egenskaber, herunder<br />
logaritmeregnereglerne.<br />
Beskriv <strong>et</strong> eksempel på en model hvor titals-logaritmefunktionen eller den naturlige<br />
logaritmefunktion indgår.<br />
9. Differentialkvotient<br />
Gør rede for begreb<strong>et</strong> differentialkvotient og for tr<strong>et</strong>rins-reglen.<br />
2<br />
Udled differentialkvotienten for funktionen f ( x)<br />
= ax + bx + c .<br />
Forklar hvordan toppunkt<strong>et</strong> for en parabel kan bestemmes ved hjælp af differentialregning.<br />
10. Differentialkvotient<br />
Forklar begreb<strong>et</strong> differentialkvotient.<br />
Gør herefter rede for differentialkvotienten for funktionen<br />
f =<br />
n<br />
( x)<br />
x , hvor n er <strong>et</strong> helt tal.
13<br />
11. Differentialregning<br />
2<br />
Gør rede for differentialkvotienten for funktionen f ( x)<br />
= ax + bx + c .<br />
Forklar hvordan man kan bestemme monotoniforhold for en funktion ved hjælp af den afledede<br />
funktion. Inddrag eventuelt dit projekt om differentialregning.<br />
12. Integralregning<br />
Definer begreb<strong>et</strong> stamfunktion.<br />
Forklar hvad en arealfunktion er og vis med <strong>et</strong> eksempel at arealfunktionen er en stamfunktion<br />
til den tilhørende funktion f. Gør herefter rede for sætningen om hvordan <strong>et</strong> afgræns<strong>et</strong> areal<br />
under grafen for en kontinuert ikke-negativ funktion kan bestemmes.<br />
Forklar - eventuelt ud fra dit projekt om arealbestemmelse - hvordan forskellige arealer kan<br />
bestemmes ved hjælp af integralregning.<br />
13. Statistik og sandsynlighed<br />
Gør rede for begreber og grafiske illustrationer der bruges til beskrivelse af <strong>et</strong> grupper<strong>et</strong><br />
ob<strong>ser</strong>vationssæt. Tag eventuelt udgangspunkt i <strong>et</strong> konkr<strong>et</strong> eksempel.<br />
Forklar hvad der kend<strong>et</strong>egner <strong>et</strong> normalfordelt ob<strong>ser</strong>vationssæt.<br />
14. Sandsynlighed og statistik<br />
Forklar hvad der kend<strong>et</strong>egner binomialforsøg. Gør rede for formlen til bestemmelse af<br />
binomiale sandsynligheder. Tag gerne udgangspunkt i <strong>et</strong> konkr<strong>et</strong> eksempel.<br />
Inddrag eventuelt dit projekt om binomialfordelingen.<br />
Hvad menes med formuleringen ”Gør rede for”?<br />
Her forventes som hovedregel at <strong>du</strong> har bevi<strong>ser</strong> med i din fremlæggelse.<br />
I bedømmelsen af din præstation indgår nemlig om <strong>du</strong> selvstændigt kan redegøre for<br />
matematiske ræsonnementer og bevi<strong>ser</strong>.<br />
Bemærk at her adskiller kravene sig væsentligt fra kravene til mundtlig eksamen i<br />
<strong>matematik</strong> C.<br />
I spørgsmål 13 indgår ikke egentlige bevi<strong>ser</strong>, så her er d<strong>et</strong> selvfølgelig ikke <strong>et</strong> krav.<br />
Bemærk i øvrigt:<br />
I spørgsmål hvor der skal medtages eksempler som illustrerer teorien, eller hvor <strong>du</strong> selv<br />
vælger at inddrage <strong>et</strong> eksempel (f.eks. i statistik) er d<strong>et</strong> vigtigt at <strong>du</strong> har forberedt d<strong>et</strong> på<br />
forhånd. Eksaminationstiden skal jo ikke gå med at for<strong>et</strong>age beregninger, men med at<br />
forklare begreberne.