Problemorienteret projektarbejde i, om og med matematik i ... - dirac

på. ”Mølkugleopgaven” 3 havde været en del af deres første afleveringssæt, og den kunne de straks
se havde relevans for opløsningen. At koncentrationen af allerede opløst bolche havde betydning for
den yderligere opløsning, fandt de også selv frem til, og de tegnede en skitse for, hvordan denne
faktor måtte opføre sig. De fik så hjælp til, at grafens form måske kunne minde om noget, der havde
med en kvadratrodsfunktion at gøre. De fik opskrevet følgende differentialligning:
dm
2
= −K
⋅ m
3
⋅(2,887
⋅ 3 − m + 0,5)
dt
hvor 3 er bolchets startmasse og faktoren er 1 ved start og ½ ved 60 min.
Jeg måtte skuffe dem med, at denne ligning kunne de ikke løse explicit, men at de måtte bruge talfølger.
Rapporterne tyder på, at alle har forstået denne metode. Det skal nævnes, at gruppen uden
min viden havde udført et forsøg i praksis, hvor de havde købt et bolche på 2,999 g i kantinen og
taget tid på, hvor længe det var om at blive opløst i 100 g vand med temperaturen 22° uden omrøring.
Det tog 60 min., og det benyttede de så som parameter til grafen.
6. Atombomber.
Gruppen havde idé om dels at undersøge, hvordan strålingen havde bredt sig altså risikoen for at dø
som funktion af afstanden fra nedslagets centrum, dels om antallet af døde. I starten sad de og prøvede
at opstille en model, hvor befolkningstætheden i Hiroshima skulle indgå. Men samtidigt ville
de også se på, hvornår folk døde som funktion af tiden, idet de havde fundet nogle tal i ”Manhattanprojektet”
4 . Da de afleverede logbog, kunne jeg vejlede dem og sige, at de nok kun skulle vælge en
af delene, og det blev så antallet af døde som funktion af tiden. De havde tre oplysninger at gå ud
fra: umiddelbart blev der dræbt 70.000, efter 1-2 måneder var 140.000 døde og der døde i alt ca.
200.000. Når de plottede de to punkter samtidigt med en vandret asymptote, fandt de med et par
ledende spørgsmål frem til, at det måtte have noget at gøre med en eksponentialfunktion, og de opstillede
så en differentialligning, hvor tilvæksten af døde foregik eksponentielt, men med negativ
eksponent, idet de indså, at tilvæksten ville aftage med tiden. Gruppen har altså opstillet en differentialligning,
løst den og bestemt konstanter, så løsningen passede med de opgivne ”måletal”. Inspireret
af en episode i ”Ørnen” 5 ville de også gerne vurdere, hvor mange mennesker der ville dø i
København, hvis der blev udløst en atombombe her. Men som de selv nåede frem til i deres rapporter,
havde denne beregning ikke noget at gøre med en differentialligning, men var udelukkende
en beregning ud fra befolkningstæthed og areal samt procentregning.
Gruppen har arbejdet meget selvstændigt, og de har ved hjælp af logbogen kunne forberede mig på,
hvilke problemer de skulle have hjælp til, så i dette tilfælde har jeg fundet, at vejledningen har
fungeret udmærket med et glimrende modspil fra eleverne.
3 ”Vejledende eksempler på eksamensopgaver i matematik”, opg. 5.152.
4 ”Manhatten Projektet - Da videnskaben mistede uskyldige”, Claus Christensen og Torsten Meyer.
5 ”Ørnen”, dramaserie produceret af Danmarks Radio