Stochastik 1: Elementare W'-Regeln, W'-Graphen

Mathematik 2 April 2012 / baw2
Stochastik 1: Lösungen
1
3 2 1 5 4 3 11
a) ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = = 0.0916
10 9 8 10 9 8 120
2 3 3 3 5 3 16
( ( ) + ( ) + ( ) = = 0.16 )
10 10 10 100
2 1 3 2 3 2 2 1 5 2 5 4 3 2 5 3 5 4 79
b) 3 ⋅ ( ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ) = = 0.6583
10 9 8 10 9 8 10 9 8 10 9 8 10 9 8 10 9 8 120
2 2 3 2 3 2 2 2 5 2 5 2 3 2 5 3 5 2 66
( 3⋅
(( ) ⋅ + ⋅(
) + ( ) ⋅ + ⋅(
) + ( ) ⋅ + ⋅(
) ) = = 0.66 )
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 100
2 3 5 1
c) 6 ⋅ ⋅ ⋅ = = 0.25
10 9 8 4
2 3 5 18
( 6 ⋅ ⋅ ⋅ = = 0.18 )
10 10 10 100
2 P("Kein Treffer in k Schüssen") = 0.4 k ≤ 0.01 ⇒ k ≥ −2/log10(0.4) = 5.03, also k ≥ 6.
Bei 6 Schüssen ist P("Anzahl Treffer ≤ 1") = 0.4 6 + 6⋅0.6⋅0.4 5 ≈ 0.041, also
P("Anzahl Treffer ≥ 2") = 1 − P("Anzahl Treffer ≤ 1") ≈ 0.959
3 Mit Hilfe eines Baumdiagramms erhalten wir für p := P("Lieferung angenommen")
k k − 1 20 − k k k − 1 k 19 − ( k − 1)
k − 1 k ⋅ ( k − 1)
29 − k
p = 1−
( ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅
⋅ ) = 1−
⋅ ,
20 19 20 19 18 20 19 18 20 ⋅19
9
was folgende Tabelle ergibt:
k: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
p: 1 1 0.98 0.95 0.91 0.86 0.80 0.73 0.66 0.58 0.50 0.42 0.34 0.27 0.20 0.14 0.09 0.05 0.02 0 0
4 a) P(I∪II) = P(I) + P(II) − P(I∩II) = 0.2
P(I / I∪II) = P(I∩(I∪II) / P(I∪II) = P(I) / P(I∪II) = 0.75
P(I∩II / I∪II) = P(I∩II ∩(I∪II) / P(I∪II) = P(I∩II) / P(I∪II) = 0.2
b) P( II / I)
= P(
II ∩ I)
/ P(
I)
= P(
II ∪ I)
/ P(
I)
= 0.
8 / 0.
85 ≈ 0.
94
5 a) P(S) = P(K 2 ) ⋅P(S/K
2 ) + (1−P(K
2 )) ⋅P(S/
K 2 ) = p⋅
(2p − p ) + (1−
p) ⋅(2p
− p ) = 0.999897
2 4
(1−
p)(1−
2p + p )
b) P( K 2/
S)
= P( K 2 ∩ S)/P(
S)
= P( K 2 ) ⋅P(
S/
K 2 )/P( S)
=
= 0.0385
2
2 4
1−
p(2p − p ) − (1−
p)(2p − p )
6 Sei T = totale Augenzahl. Also P(Eva gewinnt) =
1 2 1 1 2 1 2 1 2 15
P(T=6) + P(T=7) + P(T=8) + P(T=9) = (3⋅
( ) + ) + 3⋅
( ) + 2⋅
( ) + 1⋅(
) = = 0.416
6 6 6 6 6 36
7 Bei der Strategie „wechseln“ sieht der Graph so aus:
1/3
1/3
Start Z1
1/3
A
Z2
Also P(Gewinn) = 2/3.
Bei der Strategie „bleiben“ ist P(Gewinn) = 1/3.
Bei der Strategie „zufällig neu wählen“ ist P(Gewinn) = 1/2.
1
1
1
Gewinn
Z
2
2
4