Stochastik 1: Elementare W'-Regeln, W'-Graphen

Mathematik 2 April 2012 / baw2
Stochastik 1: Elementare W'-Regeln, W'-Graphen
1 Eine Urne enthält 2 weisse, 3 rote und 5 schwarze Kugeln. Ich ziehe 3 Kugeln miteinander („Ziehen
ohne Zurücklegen“). Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass
a) alle 3 Kugeln die gleiche Farbe haben
b) genau zwei Farben vorkommen
c) alle 3 Kugeln verschiedene Farben haben?
Bestimmen Sie diese Wahrscheinlichkeiten auch für den Fall, dass die Kugeln nacheinander
gezogen werden und jede nach dem Ziehen sofort wieder zurückgelegt wird („Ziehen mit
Zurücklegen“).
2 Ein Schütze trifft eine Scheibe mit der Wahrscheinlichkeit p = 0.6 pro Schuss. Wie oft muss er
schiessen, damit er sie mit mindestens 99%-iger Wahrscheinlichkeit mindestens einmal trifft ? Mit
welcher Wahrscheinlichkeit trifft er sie dabei mindestens zweimal ?
3 Bauteile eines bestimmten Typs werden in Serien von 20 Stück geliefert. Ein Käufer testet jede
Lieferung wie folgt: Wenn von zwei willkürlich ausgewählten Bauteilen beide in Ordnung bzw. beide
defekt sind, wird die Lieferung angenommen bzw. abgelehnt. Andernfalls wird für den Stichentscheid
ein weiterer Bauteil getestet.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird eine Serie, die k defekte Bauteile enthält, angenommen?
4 Es geht um zwei Pilzsorten I und II, welche eine bestimmte Pflanzensorte befallen können.
15 Prozent aller Pflanzen sind von Pilz I befallen, 9 Prozent von Pilz II und 4 Prozent von beiden.
a) Eine zufällig gewählte Pflanze wird getestet; man stellt zunächst fest, dass sie von
mindestens einem der beiden Pilze befallen ist. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass
sie Pilz I hat? Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie beide Pilze hat?
b) Von einer andern Pflanze weiß man, dass sie sicher nicht Pilz I hat. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit hat sie auch Pilz II nicht?
5 Ein Gerät S funktioniert nach folgendem Schema:
Alle Komponenten haben die gleiche Zuverlässigkeit p = 0.99.
a) P(S) = ?
K1
K2
K3
b) S ist defekt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass K2 defekt ist ?
6 Adam und Eva würfeln, wobei Adam seinen Würfel als erster wirft. Wenn seine Augenzahl kleiner
oder gleich 3 ist, wirft Eva ihren Würfel ebenfalls, sonst nicht. Eva gewinnt, wenn die total gewürfelte
Augenzahl grösser oder gleich 6 ist. Berechnen Sie ihre Gewinnchance.
Tip: Zeichnen Sie ein Baumdiagramm.
7 Sie sind Kandidat bei einer amerikanischen Fernsehshow. Der Showmaster zeigt Ihnen 3 Türen,
hinter denen je ein Preis versteckt ist: ein Auto und zwei Ziegen; Sie sollen wählen. Nachdem Sie
sich für eine Türe entschieden haben, öffnet der Showmaster eine der beiden anderen Türen, und
zwar eine, hinter der eine Ziege steckt. Wenn Sie wollen, dürfen Sie jetzt noch die Türe wechseln.
Tun Sie es?
Tip: Zeichnen Sie ein Baumdiagramm für den Spielablauf unter der Strategie „wechseln“.
K4
K5

Mathematik 2 April 2012 / baw2
Stochastik 1: Lösungen
1
3 2 1 5 4 3 11
a) ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = = 0.0916
10 9 8 10 9 8 120
2 3 3 3 5 3 16
( ( ) + ( ) + ( ) = = 0.16 )
10 10 10 100
2 1 3 2 3 2 2 1 5 2 5 4 3 2 5 3 5 4 79
b) 3 ⋅ ( ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ) = = 0.6583
10 9 8 10 9 8 10 9 8 10 9 8 10 9 8 10 9 8 120
2 2 3 2 3 2 2 2 5 2 5 2 3 2 5 3 5 2 66
( 3⋅
(( ) ⋅ + ⋅(
) + ( ) ⋅ + ⋅(
) + ( ) ⋅ + ⋅(
) ) = = 0.66 )
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 100
2 3 5 1
c) 6 ⋅ ⋅ ⋅ = = 0.25
10 9 8 4
2 3 5 18
( 6 ⋅ ⋅ ⋅ = = 0.18 )
10 10 10 100
2 P("Kein Treffer in k Schüssen") = 0.4 k ≤ 0.01 ⇒ k ≥ −2/log10(0.4) = 5.03, also k ≥ 6.
Bei 6 Schüssen ist P("Anzahl Treffer ≤ 1") = 0.4 6 + 6⋅0.6⋅0.4 5 ≈ 0.041, also
P("Anzahl Treffer ≥ 2") = 1 − P("Anzahl Treffer ≤ 1") ≈ 0.959
3 Mit Hilfe eines Baumdiagramms erhalten wir für p := P("Lieferung angenommen")
k k − 1 20 − k k k − 1 k 19 − ( k − 1)
k − 1 k ⋅ ( k − 1)
29 − k
p = 1−
( ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅
⋅ ) = 1−
⋅ ,
20 19 20 19 18 20 19 18 20 ⋅19
9
was folgende Tabelle ergibt:
k: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
p: 1 1 0.98 0.95 0.91 0.86 0.80 0.73 0.66 0.58 0.50 0.42 0.34 0.27 0.20 0.14 0.09 0.05 0.02 0 0
4 a) P(I∪II) = P(I) + P(II) − P(I∩II) = 0.2
P(I / I∪II) = P(I∩(I∪II) / P(I∪II) = P(I) / P(I∪II) = 0.75
P(I∩II / I∪II) = P(I∩II ∩(I∪II) / P(I∪II) = P(I∩II) / P(I∪II) = 0.2
b) P( II / I)
= P(
II ∩ I)
/ P(
I)
= P(
II ∪ I)
/ P(
I)
= 0.
8 / 0.
85 ≈ 0.
94
5 a) P(S) = P(K 2 ) ⋅P(S/K
2 ) + (1−P(K
2 )) ⋅P(S/
K 2 ) = p⋅
(2p − p ) + (1−
p) ⋅(2p
− p ) = 0.999897
2 4
(1−
p)(1−
2p + p )
b) P( K 2/
S)
= P( K 2 ∩ S)/P(
S)
= P( K 2 ) ⋅P(
S/
K 2 )/P( S)
=
= 0.0385
2
2 4
1−
p(2p − p ) − (1−
p)(2p − p )
6 Sei T = totale Augenzahl. Also P(Eva gewinnt) =
1 2 1 1 2 1 2 1 2 15
P(T=6) + P(T=7) + P(T=8) + P(T=9) = (3⋅
( ) + ) + 3⋅
( ) + 2⋅
( ) + 1⋅(
) = = 0.416
6 6 6 6 6 36
7 Bei der Strategie „wechseln“ sieht der Graph so aus:
1/3
1/3
Start Z1
1/3
A
Z2
Also P(Gewinn) = 2/3.
Bei der Strategie „bleiben“ ist P(Gewinn) = 1/3.
Bei der Strategie „zufällig neu wählen“ ist P(Gewinn) = 1/2.
1
1
1
Gewinn
Z
2
2
4