Kapitel 4: Antennen

4 Antennen
4.1 Einleitung
Wir haben bisher die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen in einem Wellenleiter,
wie beispielsweise in einem Hohlleiter, betrachtet. Soll ein Signal über weite Distanzen
übermittelt werden, so wird es sinnvoller weise über eine Antenne abgestrahlt, in
diesem Falle von der Sendeantenne, und anschliessend mittels einer weiteren Antenne,
der Empfangsantenne, wiederum via einer Wellenleitung zu einem Detektor gebracht.
Als Antenne kann man also die Region definieren, die zwischen einer Wellenleitung und
dem freien Raum liegt. Dabei gibt es die unterschiedlichsten Antennen, je nachdem wie
der Prozess des Übergangs realisiert wird. So gibt es die äusserst gängige Art einer
Antenne, die sog. Drahtantenne. Diese kann verschiedene Formen haben, beispielsweise
die Form eines geraden „Drahtes“, etwa eine Dipolantenne bei einem Funkgerät, einem
Radio oder bei einem Handy. Der Draht kann auch eine Schleife bilden, die rund, elliptisch,
dreieckig oder eine beliebige Form haben kann. Ein Beispiel einer Schleifenantenne
zeigt Figur (4.1) 1 . Drahtantennen werden vorallem im Radiobereich eingesetzt und sind
Abbildung 4.1: Schleifenantenne
im Mikrowellenbereich weniger üblich. Dort kommen eher Aperturantennen zum Zuge,
die aussehen, wie aufgeweitete Hohlleiter. Ein Beispiel solch einer Antenne zeigt Figur
(4.2). Weitere Beispiele von Hornantennen finden sich in den Figuren (1.5) und in Figur
(1.10). Hornantennen begegnet man im täglichen Leben etwa bei einer Verkehrsampel.
Um Mikrowellensignale in sehr definierte Richtungen zu senden oder aus wohl definierten
Richtungen zu empfangen, werden häufig Reflektorantennen eingesetzt. Ein gängiges
Beispiel stellen heute die „Schüsseln“ für den Empfang der Signale von TV-Satelliten dar.
1 Bild aus „Dr blau Lotos“ aus der Serie „D Aabetüür vom Täntän“ von Hergé
91

4 Antennen
Abbildung 4.2: Hornantenne.
Andere Beispiele haben wir in den Figuren (1.2) oder (1.7) kennen gelernt. Ein weiteres
Beispiel zeigt Figur (4.3) 2 . Wir wollen zuerst Kenngrössen von Antennen kennen lernen,
Abbildung 4.3: Reflektorantenne mit zugehörigem Feed.
die für die Beschreibung charakteristischer Eigenschaften verwendet werden. Anschliessend
werden die Grundlagen für das Verständnis von Dipolantennen, Aperturantennen
sowie von Reflektorantennen gegeben.
4.2 Kenngrössen von Antennen
Antennen dienen dazu Strahlung gezielt in eine Richtung zu senden resp. aus einer bestimmten
Richtung zu empfangen. Vorausgesetzt, dass ein Antennensystem keine nicht
reziproken Komponenten aufweist, können wir Sende- oder Empfangsantennen als äquivalent
betrachten. Eine Antenne, die hypothetisch in alle Richtungen gleich sendet, nennt
2 Bild aus Hergé, Les aventures de Tintin, Objectif Lune, planche 28
92

4 Antennen
man eine isotrope Antenne. Solch eine Antenne existiert in Realität nicht. Sie kann aber
als eine Referenzantenne dienen, gegenüber der die reale Antenne verglichen werden
kann. Eine reale Antenne wird also eine gewisse Richtcharakteristik aufweisen.
4.2.1 Antennendiagramm
Das Antennendiagramm (engl. radiation pattern) ist eine graphische Darstellung der
Strahlungseigenschaften (Intensität, Feldstärke, Polarisation, Phase etc.) der Antenne
als Funktion von Raumkoordinaten. Dabei werden meistens Kugelkoordinaten verwendet
(Figur (4.4)) 3 . Das Ausmessen eines Antennendiagramms erfolgt meistens in mehre-
Abbildung 4.4: Koordinatensystem für die Beschreibung von Antenneneigenschaften
ren Schnitten in Azimuth oder Elevation und entsprechend erfolgt eine Darstellung dann
aus praktischen Gründen in kartesischen oder Polarkoordinaten. Teile des Antennendiagramms,
die durch relative Minima begrenzt werden, bezeichnet man als Antennenkeulen
. Die Hauptkeule ( engl. major lobe) enthält die Hauptstrahlungsrichtung. Daneben
3 Figuren sind dem Buch entnommen von Balanis, Antenna Theory, John Wiley, 1997
93

4 Antennen
gibt es noch Nebenkeulen (engl. side lobe), welche meist ungewollte Strahlung in anderer
Richtung als die Hauptrichtung darstellen, vgl. hierzu Figur (4.5). Ein Mass für die
Abbildung 4.5: Darstellung von Antennenkeulen dreidimensional und in einem Schnitt.
Breite der Hauptkeule liefert die Halbwertsbreite, die HPBW oder „half power beam
width“, die auch als 3dB-Breite bezeichnet wird. Eine hypothetische verlustlose isotrope
Antenne, die in alle Richtungen gleich strahlt (Punktquelle) hätte dementsprechend eine
Kugel als Antennendiagramm. Demgegenüber weist eine direktionale Antenne eine Richtungsabhängigkeit
auf. Ein Spezialfall stellt die omnidirektionale Antenne dar. Sie weist
eine Richtungsabhängigkeit in der Elevationsrichtung auf, ist aber richtungsunabhängig
im Azimuth. Beispiele zeigen Figuren (4.6) und (4.7).
94

4 Antennen
Abbildung 4.6: Antennendiagramm einer omnidirektionalen Antenne.
Abbildung 4.7: Antennendiagramm einer Pyramiden-Hornantenne.
95

4.2.2 Antennenzonen
4 Antennen
Der Raum um eine Antenne wird typischerweise in zwei Zonen eingeteilt, in das Nahfeld
und in das Fernfeld. Wie wir weiter unten sehen werden, hängen diese Begriffe mit der
Beschreibung der Feldverteilung in einem Abstand R von der Antenne ab. Im Nahfeld,
oder der sog. Fresnel-Region, weist das elektrische Feld sowohl eine radiale wie eine
transversale Komponente auf. Diese Region erstreckt sich bis zu einem Abstand von
R < 2 D2
λ
(4.1)
wobei D die grösste Dimension der Antenne, z.B. Länge eines Dipols, Durchmesser eines
Parabolspiegels, ist.
Im Fernfeld, oder der Fraunhofer-Region, verschwindet die radiale Komponente. Die
Feldkomponenten sind transversal zur Ausbreitungsrichtung (TEM-Mode). Für die Fraunhofer-Region
gilt
R > 2 D2
. (4.2)
λ
Wie die beiden Namen, Fresnel und Fraunhofer, andeuten, hat die Beschreibung mit
der Beugungstheorie zu tun. Bevor wir die Felder, die von einer Sendeantenne ausgehen,
berechnen, wollen wir zuerst die obigen Begriffe, wie Antennendiagramm etc. quantitativer
ausdrücken. Dabei gehen wir von einer Betrachtungsweise im Fernfeld aus.
4.2.3 Leistungsdichte und Strahlungsintensität
Die Leistungsdichte (d.h. [W/m 2 ]) eines strahlenden Systems wird durch den Poynting-
Vektor beschrieben. Die total abgestrahlte Leistung erhält man als Integral über die
gesamte Fläche. Für den zeitlich gemittelten Poynting-Vektor erhält man
< S(r) >= 1
2 ℜ[ E × H ∗ ]. (4.3)
Damit wird die mittlere abgestrahlte Leistung
Prad = ℜ[ E × H ∗ ] ds. (4.4)
S
Im Fernfeld haben das elektrische und das magnetische Feld nur transversale Komponenten,
so dass der Poyntingvektor als Kreuzprodukt nur eine radiale Komponente hat,
Sr. Es gilt
Sr = 1
|Eϑ(ϑ, ϕ)|
2η
2 + |Eϕ(ϑ, ϕ)| 2
wobei η die Impedanz des freien Raumes ist mit
η =
µ0
96
ε0
(4.5)
. (4.6)

4 Antennen
Die abgestrahlte Leistung pro Einheitsraumwinkel bezeichnet man als Strahlungsintensität
F(ϑ, ϕ) 4 .
F(ϑ, ϕ) = r 2 Sr(ϑ, ϕ) (4.7)
Die Strahlungsintensität ist eine Funktion von ϑ und ϕ. Das Antennendiagramm ist
dann lediglich eine Darstellung der abgestrahlten Leistung als Funktion der Richtung,
d.h. von F(ϑ, ϕ).
Die total abgestrahlte Leistung Prad erhält man durch Integration der Strahlungsintensität
über den ganzen Raumwinkel von 4π
Prad =
Für einen isotropen Strahler gilt:
Ω
F(ϑ, ϕ), dΩ =
4.2.4 Richtfaktor, Directivity
2π
0
0
π
F(ϑ, ϕ) sin(ϑ) dϑdφ. (4.8)
F0 = Prad
. (4.9)
4π
Der Richtfaktor (engl. Directivity) ist ein Mass für die Eigenschaft der Antenne, Energie
vorzugsweise nur in eine Richtung ab zu strahlen. Als Directivity, D, in einer bestimmten
Richtung bezeichnet man die Strahlungsintensität in diese Richtung relativ zu einer
Referenzantenne, meist zum isotropen Strahler.
D =
F(ϑ, ϕ)
= 4πF(ϑ, ϕ)
F0
Prad
(4.10)
Meistens wird allerdings von der maximalen Directivity gesprochen. Als maximale
Directivity bezeichnet man dann den Wert der Directivity in Richtung der maximalen
Strahlungsintensität:
oder
Dmax = D0 = Fmax
D0 =
2π
0
F0
4πFmax
= 4πFmax
. (4.11)
Prad
π
. (4.12)
F(ϑ, ϕ) sin(ϑ) dϑdφ
0
Für einen isotropen Strahler ist dieser dimensionslose Wert gleich eins, da die Leistung
ja in alle Richtungen gleich gestrahlt wird. Für alle anderen Antennen ist die Directivity
grösser als eins. Wird die Richtung nicht spezifiziert, so meint man die maximale
Directivity.
4 In der Literatur z.B. bei Balanis wird F(ϑ, ϕ) mit U bezeichnet
97

4 Antennen
4.2.5 Antennen-Raumwinkel, beam solid angle
Man kann Gleichung (4.12) minim anders schreiben, so dass
D0 =
2π
0
4π
π
F(ϑ, ϕ) sinϑdϑdϕ /Fmax(ϑ, ϕ)
0
= 4π
. (4.13)
ΩA
Dabei heisst der Raumwinkel ΩA Antennen-Raumwinkel (engl. beam solid angle). Es
ist der Raumwinkel, durch den die gesamte Antennenleistung fliessen würde, falls die
Strahlungsintensität für alle Winkel innerhalb dieses Raumwinkels konstant wäre. Es ist
also
ΩA =
2π
0
0
π
Fn(ϑ, ϕ) sin ϑdϑdϕ, Fn(ϑ, ϕ) =
F(ϑ, ϕ)
F(ϑ, ϕ)max
. (4.14)
Für eine Antenne mit einer schmalen Hauptkeule und geringen Nebenkeulen gilt angenähert,
dass der beam solid angle gegeben ist, aus dem Produkt der Keulenbreite in
beiden Ebenen ausgedrückt in Radian, d.h.
ΩA ≈ Θ1radΘ2rad. (4.15)
Für die Directivity erhält man entsprechend (ausgedrückt in Grad)
Figur (4.8) illustriert den beam solid angle.
D0 ≈ 32400
. (4.16)
Θ1degΘ2deg
Abbildung 4.8: Antennen-Raumwinkel
98

4.2.6 Antennengewinn, Gain
4 Antennen
Der Antennengewinn, resp. der Gain, einer Antenne ist eng mit der Directivity verknüpft.
Im Gegensatz zur Directivity, die nur Richteigenschaften der Antenne berücksichtigt,
trägt der Gain auch der Effizienz der Antenne Rechnung. Der Gain berücksichtigt also
die tatsächlich abgestrahlte Leistung. Diese ist meist kleiner als die vom Generator zur
Antenne transmittierten Leistung. Es gilt
resp.
G(ϑ, ϕ) = etD(ϑ, ϕ) (4.17)
G0 = etD0. (4.18)
Dabei beschreibt die dimensionslose Zahl et die totale Antenneneffizienz. Die Effizienz
beschreibt Verluste am Eingang der Antenne und durch die Struktur der Antenne. Es
gilt
(4.19)
et = ereced
wobei der Index r Fehlanpassungen und daraus resultierende Reflexionen, der Index c
Verluste durch nicht perfekte Leitung und der Index d dielektrische Effekte bezeichnet.
4.2.7 Effektive Antennenfläche
Die maximal entnehmbare Empfangsleistung einer Empfangsantenne bei optimaler Orientierung
und Polarisation ist proportional zur Leistungsdichte der einfallenden ebenen
Welle. Der Proportionalitätsfaktor hat die Dimension einer Fläche und wird wirksame
Fläche oder effektive Antennenfläche, Ae, genannt. Zwischen Ae und der Directivity
besteht folgender Zusammenhang
Da aber auch
gilt somit
Ae = λ2 4π
4π ΩA
D = 4πAe
λ2 . (4.20)
D = 4π
ΩA
(4.21)
⇒ AeΩA = λ 2 . (4.22)
Es ist zu beachten, dass die effektive Antennenfläche, Ae, nicht unbedingt der geometrischen
Fläche, A, entsprechen muss. Insbesondere im Falle von Drahtantennen sind die
beiden Grössen unterschiedlich. Man bezeichnet als Apertureffizienz, ηa, das Verhältnis
aus den beiden Grössen, so dass
Ae = ηaA. (4.23)
Für grössere Reflektorantennen ist die Apertureffizienz etwa im Bereich von 0.6 bis 1.0.
99

4 Antennen
Gleichung (4.22) zeigt ganz wichtige Zusammenhänge auf 5 . Die Richtcharakteristik
einer Antenne wird durch deren Grösse bestimmt. Je grösser der Durchmesser ist, desto
direktiver wird die Antenne. Bei gegebener Wellenlänge, resp. Frequenz, und Fläche ist
die Directivity, resp. der Antennen-Raumwinkel, gegeben. Diese Grössen lassen sich auch
recht schnell abschätzen. Nehmen wir als Beispiel einen Parabolspiegel mit einem Durchmesser
von 1m der bei einer Frequenz von 300GHz, d.h. bei einer Wellenlänge von 1mm,
betrieben wird. Nehmen wir an, dass die Antennenfläche etwa 1m 2 entspricht, dann ist
die Directivity gemäss (4.13) resp. (4.20) D ≈ 10 · 1/10 −6 = 10 7 = 70dB, der Antennenraumwinkel
ist gemäss (4.22) ΩA = 0.001 2 /1 = 10 −6 sterad resp. der Antennenwinkel,
gemäss (4.16), Θ = 32400/10 7 = 0.02 ◦ .
4.3 Transmissionsgleichung von Friis
Wir betrachten eine Sendeantenne und eine Empfangsantenne im Fernfeld. Der Abstand
der beiden Antennen betrage R. Die Sendeantenne habe eine Leistung Pt und einen Gain
Gt. Die Empfangsantenne habe einen Gain von Gr. Es stellt sich die Frage, wie gross
die empfangene Leistung Pr ist. Diese Problemstellung ist typisch für einen Mikrowellenlink,
beispielsweise zwischen einem Satelliten und einer Bodenstation, somit auch für
einen TV-Satelliten und eine entsprechende Empfangsantenne. Wir nehmen an, dass
die Antennen aufeinander ausgerichtet sind. Die Leistungsdichte in W/m 2 am Ort der
Empfangsantenne wird dann
S = PtGt
4πR2 betragen. Die empfangene Leistung somit
(4.24)
Pr = SAe. (4.25)
Zwischen der effektiven Antennenfläche und dem Gain der Empfangsantenne besteht der
Zusammenhang
(4.26)
4π
was dann auch grad Verluste in der Empfangsantenne beinhaltet. Die empfangene Leistung
ist somit
Ae = λ2 Gr
Pr = Pt
GtGrλ2 . (4.27)
(4πR) 2
Man nennt dies die Friis’sche Transmissionsgleichung. Die empfangene Leistung
hängt somit vom Gain der beiden Antennen ab und zerfällt mit 1/R2 . Der Faktor
λ 2
4πR
nennt man Freiraum-Dämpfung. Zusätzlich zur Freiraum-Dämpfung, die eigentlich gar
keine Dämpfung im eigentlichen Sinne ist, kommt natürlich die Dämpfung durch die
Atmosphäre. Es müsste also noch ein Term der Art e−2αz eingeführt werden, wobei α
der Absorptionskoeffizient bei der entsprechenden Frequenz und für die entsprechende
5 Diese Formel ist natürlich verwandt mit derjenigen aus der klassischen Optik, welche das optische
Auflösungsvermögen mit α = λ/D bestimmt
100

4 Antennen
atmosphärische Zusammensetzung ist. Der atmosphärische Absorptionskoeffizient wurde
ausführlich in Abschnitt (2.5) besprochen. Man vergleiche dazu auch Gleichung (2.84).
4.4 Radargleichung
Im Gegensatz zur Friis’schen Transmissionsgleichung, die beschreibt, wie sich Sende- und
Empfangsleistung bei einem Mikrowellen-Link verhalten, wollen wir nun untersuchen,
wie dieses Leistungsverhältnis herauskommt, wenn eine Antenne ein Objekt beleuchtet,
dort gestreut und wieder detektiert wird. Diese Anordnung findet primär bei Radaranwendungen
statt. Mit Radar (Radio Detection And Ranging) ist es möglich den Abstand
zu einem Objekt zu vermessen und Rückschlüsse auf seine Radialgeschwindigkeit zu ziehen.
Ersteres basiert auf der Laufzeit und letzteres auf der Dopplerverschiebung des
Signals. Es gibt eine riesige Zahl von Anwendungen, wie die Radaraltimetrie oder die
Radarmeteorologie, Antikollisionsradar, Anwendungen in der Luft- und Seefahrt sowie
eine Unzahl militärischer Anwendungen.
Sendeantenne
P , G , D , e , r
t t t cdt
t
R
Empfangsantenne
P , G , D , e , r
1
r r r cdr r
R
2
W = gestreute Leistungsdichte
s
W = einfallende Leistungsdichte
i
Target
σ
Abbildung 4.9: Bistatische Radaranordnung
Wir betrachten die Anordnung, wie in Figur (4.9) skizziert. Ein Sender bestrahlt
ein beliebiges Objekt im Abstand R1. Die Sendeantenne ist charakterisiert durch die
Sendeleistung, Pt, die Directivity, Dt und den Gain, Gt. Die beim Objekt einfallende
Leistungsdichte, Wi, ist dann
Wi = PtGt(ϑ, ϕ)
4πR2 . (4.28)
1
Das Objekt wird die einfallende Leistung in verschiedene Richtungen streuen. Das Verhältnis
aus der in eine beliebige Richtung gestreuten Leistung, Ps(ϑ, ϕ), und der einfallenden
Leistungsdichte, Wi, bezeichnet man als Radarquerschnitt, σ:
σ = Ps
. (4.29)
Wi
101

4 Antennen
Der Radarquerschnitt hat also die Dimension einer Fläche und ist eine Eigenschaft
des Objektes. Er hängt ab vom Einfallswinkel und vom Streuwinkel sowie der Frequenz
und der Polarisation des einfallenden Signals und zusätzlich von den dielektrischen Eigenschaften.
Das Objekt wirkt wie eine endlich grosse Quelle, dessen Signalstärke mit
1/4πR 2 abnimmt. Die Leistungsdichte Ws beim Empfänger im Abstand R2 ist dann
Ws = Ps
4πR 2 2
Die empfangene Leistung beträgt dann
wobei
= σPtGt(ϑ, ϕ)
4πR2 14πR2 . (4.30)
2
Pr = ArWs
Ar = erDr(ϑ, ϕ) λ2
4π
die effektive Fläche der Empfangsantenne ist. Damit erhält man für Pr/Pt:
Pr
= ecdtecdrσ
Pt
Dt(ϑ,
2 ϕ)Dr(ϑ, ϕ) λ
4π 4πR1R2
Bei maximaler Ausrichtung der Antennen auf das Objekt gilt
Pr
=
Pt
G0tG0rσ
2 λ
4π 4πR1R2
(4.31)
(4.32)
(4.33)
(4.34)
Dieser Zusammenhang wird als Radar-Gleichung bezeichnet. Falls Sender und Empfänger
am selben Ort sind, so spricht man vom monostatischen Fall. Es ist dann R1 =
R2 = R und damit folgt
G
Pr = Pt
2σλ2 (4π) 3
1
R 4.
(4.35)
Im Realfall wird der Empfänger wegen Rauschen eine minimale Leistung Pmin detektieren
können. Es lässt sich dann der maximale Abstand Rmax eines Objektes berechnen,
das noch detektiert werden kann:
Rmax =
PtG 2 σλ 2
(4π) 3 Pmin
1/4
. (4.36)
Es sei noch angemerkt, dass die Berechnung des Radarquerschnittes für ein Objekt
äusserst schwierig ist und nur für einige wenige Fälle lösbar ist. Die Bestimmung des
Radarquerschnittes gehört in die Streutheorie. Als Beispiel ist der Radarquerschnitt einer
kreisrunden Platte mit Radius r, resp. der Fläche A gegeben durch
σ(ϑ) = 4πA2
λ 2
2 J1(2kr
2 sin(ϑ))
cos
2kr sin(ϑ)
2 (ϑ) (4.37)
wobei J1 die Besselfunktion erster Ordnung ist.
Es soll in dieser Vorlesung nicht weiter auf Radar-Anwendungen der Mikrowellenphysik
eingegangen werden, da eine separate Vorlesung über Radarphysik angeboten wird.
102

4.5 Antennentemperatur
4 Antennen
Wir haben bereits im Abschnitt (2.6) in Gleichung (2.120) den Begriff der Helligkeitstemperatur
(engl. brightness temperature) eingeführt:
TB(ν) . = λ2
2k Iν. (4.38)
Ein anderer Ansatz definiert die Helligkeitstemperatur eines Objektes mit
TB(ν, ϑ, ϕ) = e(ν, ϑ, ϕ)T. (4.39)
Dabei ist e(ν, ϑ, ϕ) die Emissivität (0 ≤ e ≤ 1) und T die physikalische Temperatur
des Objektes. Die emittierte Leistung, entsprechend der Helligkeitstemperatur, kann von
einer Antenne mit Gain G(ϑ, ϕ) detektiert werden. Man definiert dann als Antennentemperatur
TA, die mit dem Gain der Antenne gemittelte Helligkeitstemperatur:
TA
.
=
2π
0
π
TB(ϑ, ϕ)G(ϑ, ϕ) sin(ϑ) dϑdϕ
0
2π
0
π
G(ϑ, ϕ) sin(ϑ) dϑdϕ
0
[K]. (4.40)
Die beim Empfänger detektierte Leistung Pr ist dann gemäss dem Nyquist-Theorem
Pr = kTA∆f (4.41)
wobei ∆f die Bandbreite des Empfängers ist.
Falls der Empfänger eine nicht vernachlässigbare Rauschtemperatur (resp. Rauschleistung)
Tr aufweist, ist die gesamte Leistung
Psys = k(TA + Tr)∆f = kTsys∆f. (4.42)
Tsys kann von einigen Grad bis zu mehreren tausend Grad sein, je nach Objekt und
Empfänger.
Es ist also wichtig, das Antennendiagramm einer Antenne zu kennen, um das gemessene
Signal richtig interpretieren zu können. In den meisten Fällen ist ein Antennendiagramm
gewünscht, das möglichst keine Nebenkeulen aufweist, weil sonst Signalanteile,
die via die Nebenkeulen eingekoppelt werden, äusserst störend sein können, obschon die
Nebenkeulen vielleicht 30dB unterdrückt sind. Man stelle sich etwa ein Satellitenexperiment
vor, das mit seiner Hauptkeule ein Objekt von einigen Kelvin Helligkeitstemperatur
beobachten soll (z.B. ein Signal aus der Atmosphäre bei streifender Sichtweise) und wo
gleichzeitig die Nebenkeulen aber die Erdoberfläche bei rund 300K sieht.
Das Bestimmen des Antennendiagramms ist eine zentrale Aufgabe der Antennentheorie.
Ziel ist es, basierend auf den Strömen oder den elektromagnetischen Feldern auf der
Antennenstruktur, die abgestrahlte Feldverteilung im Fernfeld zu bestimmen. Es handelt
sich dabei um eine anspruchsvolle Anwendung der Elektrodynamik und der Optik. Nicht
103

4 Antennen
minder wichtig ist es aber, das Antennendiagramm eines bestehenden Systems auszumessen.
Dies wiederum kann sehr schwierig und zum Teil praktisch nicht lösbar sein,
etwa dann, wenn das Fernfeld in grosser Distanz ist (man bedenke, dass das Fernfeld im
Abstand D 2 /λ ist).
Wir wollen im nächsten Abschnitt die Grundlagen zur Berechnung einiger Antennen
kennen lernen.
4.6 Quellen
Es ist das Ziel der Antennentheorie, zu bestimmen, wie die abgestrahlten Felder an irgend
einem Ort in einem definierten Abstand von einer Antenne sich verhalten. Daraus
lässt sich dann z.B. die abgestrahlte Leistung berechnen und das Antennendiagramm
bestimmen. Hierzu müssen aber die Quellen der Strahlung bekannt sein. Das sind entweder
die Ladungen und Ströme oder die Felder. Es zeigt sich, dass diese Berechnung der
Antenneneigenschaften äusserst komplex und schwierig ist. Wir wollen zuerst einen sehr
einfachen Fall betrachten, den des elementaren Strahlers, um dann einen Dipol verstehen
zu können. Danach wenden wir uns allgemeineren Beschreibungen zu.
4.6.1 Elementarer Strahler
a
S
r
E
B
r >>λ
θ d

und
B(r, t) = ˆ r × E(r, t) 1
c
4 Antennen
sowie mit dem zugehörigen Poynting-Vektor
resp.
S(r, t) = 1
µ0
Wb
m 2
E(r, t) × B(r, t)
W
( ˆ r = r
) (4.44)
r
m 2
. (4.45)
| S(r, t)| = q2 a(t ′ ) 2 sin(ϑ)
16π 2 ε0r 2 c 3 . (4.46)
Man sieht, dass E und B maximal werden für einen Winkel 90 ◦ zur Beschleunigungsrichtung.
Der elementare elektromagnetische Strahler emittiert also anisotrop.
Die totale abgestrahlte Leistung ist dann
P(t) =
π
|
0
S(r, t)|2πr sin(ϑ)r dϑ = q2a(t ′ ) 2
8πε0c3 π
0
was aber nichts anderes ist als die Larmor-Formel
P(t) = q2 a(t ′ ) 2
6πε0c 3
4.6.2 Oszillierendes Stromelement
sin(ϑ) 3 dϑ
=4/3
(4.47)
. (4.48)
Die allereinfachste Anordnung, die man als Antenne bezeichnen kann, ist ein oszillierender
Strom I entlang einer elementaren Länge ∆l. Diese sei so kurz, dass I als konstant
betrachtet werden kann. Das Strahlungsfeld wird durch qa(t ′ ) bestimmt. An Stelle einer
Punktladung betrachten wir eine über ∆l ausgedehnte Ladung, wobei µ die Ladung pro
Einheitslänge sei:
qa(t ′ ) = µa(t ′ )∆l = d
dt ′µv = dI(t′ )
∆l. (4.49)
dt ′
Der Strom oszilliere, z.B. I(t ′ ) = I0 cos(ωt ′ ), so dass
qa(t ′ ) = −I0∆lω sin(ωt ′ )
= −I0∆lω sin(ω(t − r
c ))
= −I0∆lω sin(ωt − kr) k = ω
. (4.50)
c
Eingesetzt in (4.43) erhält man für den Betrag des elektrischen Feldes
E(r, t) = I0∆l sin(ϑ)
ω sin(ωt − kr) (4.51)
4πε0rc2 105

und für den Betrag des Magnetfeldes gilt
4 Antennen
B(r, t) = 1
E(r, t). (4.52)
c
Eingesetzt in (4.48) erhält man für die total abgestrahlte Leistung
2 (∆lω)
P(t) =
6πε0c3
I 2 0 sin 2 (ωt − kr). (4.53)
Dieser Ausdruck ist analog zu P = RI 2 wobei dem Widerstand R die Grösse
Rrad = (∆lω)2
= 80π2
6πε0c3 ∆l
λ
2
(4.54)
entspricht. Man bezeichnet diesen Widerstand Rrad sinnigerweise als Strahlungswiderstand.
Der Strahlungswiderstand ist ein Mass für die Effizienz, wie die Antenne Strahlung
für einen gegebenen Eingangsstrom abstrahlt.
Ein oszillierendes Stromelement kann im Prinzip als ein oszillierender Dipol betrachtet
werden, da ja eine oszillierende Ladung eine Zunahme an einem Ort und eine Abnahme
an einem anderen Ort bewirkt, was aber als Dipol bezeichnet werden kann. Aus diesem
Grund wird diese Anordnung etwa auch als Hertz’scher Dipol bezeichnet.
4.6.3 Kurze Antenne
Die eben betrachtete Antenne kommt in Realität kaum vor. Im Realfall kann der Strom
nicht überall gleich gross sein, sondern ist maximal bei einer „Einspeisestelle“ und Null
an den beiden Enden, wie das in Figur(4.11) darstellt ist. Gegenüber dem Stromelement
z +l/2
0
-l/2
I(z)
Abbildung 4.11: Stromverteilung auf einer kurzen Drahtantenne
ist hier I · l nur noch halb so gross und somit der Poynting-Fluss nur noch 1/4. Damit
beträgt der Strahlungswiderstand
Rrad ≈ 20π 2
2 ∆l
. (4.55)
λ
106

4 Antennen
Es zeigt sich, dass diese Näherung gut ist für Längen bis etwa l = λ.
Der Strahlungs-
4
≈ 12.5 Ω.
widerstand für einen λ
-Dipol ist somit R λ
4 4
4.6.4 Längere Antennen
Zur Bestimmung von E und B im Umfeld längerer Antennen muss I(z) entlang der
Leitung bekannt sein. Im Prinzip können die Felder aus den Maxwell-Gleichungen bestimmt
werden, was aber nicht einfach ist. Wir kommen im Abschnitt (4.7) darauf zu
sprechen. Als vereinfachtes Beispiel nehmen wir an, dass I(z) sinusförmig variiert und
am Ende der Antenne auf Null abfällt. Die Länge des Dipols sei λ
λ
, es ist also ein 2 2- Dipol. Figur (4.12) zeigt die Anordnung mit zugehöriger Geometrie für die Berechnung.
Die Strom-Verteilung sei
Abbildung 4.12: links: Schematische Darstellung der Stromverteilung auf einer halb-
Wellen Antenne. rechts: Anordnung für die Berechnung im Abstand
R
I(z) = I0 cos( πz
l )
= I0 cos( 2πz
). (4.56)
λ
Es stellt sich die Frage, wie gross ist E für einen Beobachter im Abstand R? Für die
Bestimmung des elektrischen Feldes wird die Antenne in elementare Abschnitte der
Länge ∆z unterteilt mit Strom I(z). Das Feld ist dann gemäss (4.51)
E(r, t) =
l/2
−l/2
I(z) sin ϑ
ω sin(ωt − kr) dz. (4.57)
4πε0rc2 Wenn r sehr gross ist verglichen mit λ, dann wird sin ϑ/r eine langsam ändernde
Funktion von z sein und kann deshalb aus dem Integral herausgenommen werden. Die
Phase (ωt −kr) muss allerdings genauer betrachtet werden. Es spielt eine Rolle, ob eine
107

4 Antennen
Welle vom Ursprung ausgeht oder von einem Punkt im Abstand dz. Der Weglängenunterschied
z cos(ϑ) führt zu einem Zeitunterschied in der Ankunftzeit beim Beobachter
von z cosϑ/c, was zu Interferenz führen wird. Nun gilt r ≈ R − z cosϑ und damit wird
sin(ωt − kr) = sin(ωt − kR + kz cosϑ). Gleichung (4.57) wird nun für l = λ
2
E(R, t) ≈
... ≈
ω sin ϑ
4πε0Rc2 l/2
I0l
4πε0Rc 2
−l/2
2
π
Für den Betrag des Poynting-Vektors gilt
I(z) sin(ωt − kR + kz cosϑ) dz
cos(π/2cosϑ)
sinϑ
ω sin(ωt − kR). (4.58)
| S(ϑ)| ∝ cos2 (π/2 cosϑ)
sin 2 ≈ sin
ϑ
3 ϑ. (4.59)
Ein Vergleich mit (4.46) zeigt, dass die Strahlung in einen schmaleren Bereich abgegeben
wird als beim elementaren Stromelement. Eine numerische Integration über eine
Kugeloberfläche ergibt für die totale abgestrahlte Leistung
P(t) = 73I 2 0 sin 2 (ωt − kR) [W] (4.60)
und somit gilt für den Strahlungswiderstand eines λ
2-Dipols Prad ≈ 73 Ω. Damit strahlt
ein λ
λ
-Dipol rund sechsmal mehr Leistung ab als ein -Dipol. Dazu kommt, dass er recht
2 4
gut an ein herkömmliches Koaxialkabel mit 75Ω angepasst ist. Im Vergleich dazu gilt
für eine l = λ-Antenne Rrad ≈ 200 Ω.
Schon diese einfachen Berechnungen haben gezeigt, dass die Betrachtungsweise mit
Stromelementen recht schnell an Grenzen stossen wird. Aus diesem Grund betrachten
wir als nächstes einen Ansatz der auf den Maxwell-Gleichungen beruht. Als erstes werden
wir dann noch einmal die Dipol-Antenne diskutieren.
4.7 Lösung der Maxwell-Gleichungen
Der Zusammenhang zwischen Ladungsverteilungen, resp. Strömen und den zugehörigen
elektrischen und magnetischen Feldern wird durch die Maxwell-Gleichungen gegeben.
Einmal mehr stellt sich das Problem: Gegeben sind die Quellen. Was sind die zugehörigen
Felder? Es zeigt sich, dass der direkte Weg der Bestimmung der Felder, basierend auf
den Quellen zu schwierig ist und, dass der Umweg über das Vektorpotential günstiger
ist. Dies ist schematisch in Figur (4.13) dargestellt.
Im folgenden wird vorausgesetzt, dass eine Ableitung nach der Zeit eine Multiplikation
→ ·iω), da wir es mit harmonischen Feldern zu tun haben.
mit iω bedeutet ( ∂
∂t
4.7.1 Vektor-Potential, A
Das Vektorpotential, A, ist eine praktische Hilfsgrösse bei der Bestimmung der abgestrahlten
Felder bei gegebenem Strom J. Es gilt
∇ · B = 0. (4. Maxwellgleichung). (4.61)
108

Quellen
J, I
4 Antennen
Potential
A
Felder
E, H
B= µ H
Abbildung 4.13: Block-Diagramm für die Bestimmung der abgestrahlten Felder basierend
auf den Strömen
Damit lässt sich B als Rotation eines Vektorfeldes darstellen:
B = ∇ × A. (4.62)
Dieses Vektorfeld A heisst Vektorpotential. Aus der zweiten Maxwellgleichung folgt
resp.
∇ × E = − ∂ B
∂t = −iω B = −iω ∇ × A (4.63)
∇ ×
E + iωA = 0. (4.64)
Damit lässt sich der Klammerausdruck als Gradient eines skalaren Potentials Φ schreiben:
E + iω A = − ∇Φ (4.65)
resp.
Aus der dritten Maxwellgleichung
und der Identität
folgt
∇ ×
∇ ∇ · A
E = − ∇Φ − iω A. (4.66)
∇ × B = µ0ε0 E + µ0 J (4.67)
∇ × A
=
∇ ∇ · A
− ∆ A (4.68)
− ∆ A = µ0 J + µ0ε0 E
= µ0 J + µ0ε0
− ∇Φ − iω
A
= µ0 J − iωµ0ε0 ∇Φ + ω 2 µ0ε0 A (4.69)
109

und damit
4 Antennen
∆ A + ω 2 µ0ε0 A = −µ0 J +
∇ ∇ · A + iωµ0ε0Φ . (4.70)
In Gleichung (4.62) wurde ∇ × A definiert, so dass wir nun die Divergenz ∇ · A frei
wählen können, da diese unabhängig ist von der Rotation. Wir wählen
∇ · A = −iωµ0ε0Φ (4.71)
und damit wird
Φ = − 1
∇ ·
iωµ0ε0
A. (4.72)
Man nennt dies die Lorentzbedingung. Durch Einsetzen von (4.72) und (4.71) in
Gleichung (4.70) erhält man schliesslich
wobei
∆ A + k A 2 = −µ0 J (4.73)
k 2 = ω 2 µ0ε0 = ω2
. (4.74)
c2 Wir erhalten für das elektrische Feld durch Einsetzen von (4.72) in (4.66)
E = − ∇Φ − iω A (4.75)
E = −iω A − i
∇ · ∇ · A
, (4.76)
ωµ0ε0
so dass das elektrische Feld nun aus dem Vektorpotential bestimmt werden kann. Als
Lösung von (4.73) erhalten wir für A schliesslich
A = µ0
J
4π
e−ikR
′
dV (4.77)
R
V
wobei R der Abstand irgend eines Punktes der Quelle zum Beobachter ist.
Als Art „Kochbuch“ für die Bestimmung der Felder bei gegebener Stromverteilung
gilt somit:
1) Spezifiziere J oder I
2) Bestimme A gemäss (4.77)
3) Finde B= ∇ × A
4) Finde E = −iω A − i
ωµ0ε0
∇ ·
∇ · A
4.7.2 Der infinitesimale Dipol, l ≪λ
Eine Drahtantenne ist die einfachste Antenne und wir wollen nun das oben gelernte auf
ein einfaches Beispiel anwenden, um dann auch komplexere Konfigurationen berechnen
zu können. Wir werden dabei als Basiselement noch einmal den infinitesimalen Dipol
behandeln, der, obschon nicht praktisch realisierbar, doch als Grundstruktur längerer
Antennen verwendet werden kann. Die Anordnung zeigt Figur (4.14).
110

Abgestrahlte Felder
4 Antennen
Abbildung 4.14: Infinitesimaler Dipol in z-Richtung
Ein infinitesimaler Dipol der Länge l ≪ λ sei symmetrisch am Ursprung des Koordinatensystems
in z-Richtung angeordnet. Die Strombelegung sei
I(z ′ ) = ˆ azI0
(4.78)
wobei I0 =konstant und ˆ az ein Einheitsvektor in z-Richtung ist. Welches sind nun also
die abgestrahlten Felder E, B resp. H? Wir gehen gemäss dem Kochbuch in Abschnitt
(4.7.1) vor.
Als erstes müssen wir das Vektorpotential bestimmen gemäss Gleichung (4.77) und
erhalten für unsere Stromverteilung:
Dabei sind
A(x, y, z) = µ0
4π
C
I(x ′ , y ′ , z ′ ) e−ikR
R dl′
(x, y, z) : Koordinaten des Beobachters
(x ′ , y ′ , z ′ ) : Koordinaten der Quelle
C : Pfad entlang Länge der Quelle
R : Abstand irgend eines Punktes der Quelle zum Beobachter
r : Abstand eines Quellenpunktes vom Koordinatenursprung
Für den infinitesimalen Dipol: x ′ = y ′ = z ′ = 0
111
(4.79)

Damit erhält man
4 Antennen
r = (x − x ′ ) 2 + (y − y ′ ) 2 + (z − z ′ ) 2 = R
= konstant
dl ′ = dz ′ .
A(x, y, z) = ˆ µ0I0
az
4πr e−ikr
+l/2
−l/2
dz ′ = ˆ µ0I0l
az
4πr e−ikr . (4.80)
Praktischer sind hier sphärische Koordinaten, wie in Figur (4.15) dargestellt. Es gilt
Abbildung 4.15: Koordinaten für die Beschreibung eines infinitesimalen Dipols
der Zusammenhang
⎛
und
⎝
Ar
Aϑ
Aϕ
⎞ ⎛
sin ϑ cosϕ sin ϑ sin ϕ
⎞ ⎛
cosϑ
⎠ = ⎝cosϑcosϕ
cos ϑ sin ϕ − sin ϑ⎠
⎝
− sin ϕ cosϕ 0
Damit folgt für die Komponenten des Vektorpotentials
Ax
Ay
Az
⎞
⎠ . (4.81)
−ikr µ0I0le
Ar = Az cos ϑ = cos ϑ (4.82)
4πr
−ikr µ0I0le
Aϑ = −Az sin ϑ = − sin ϑ. (4.83)
4πr
112

4 Antennen
Weil A von ϕ unabhängig ist, folgt Aϕ = 0, und es ist
Es folgt für das Magnetfeld:
∇ × A = ˆ
1 ∂
aϕ
r ∂r (rAϑ) − ∂A
. (4.84)
∂ϑ
Br = 0 = Bϑ
Bϕ = i µ0kI0l sinϑ
4πr
1 −ikr 1 + e . (4.85)
ikr
Aus dem Magnetfeld lässt sich das elektrische Feld berechnen. Es ist
E = −iω 1
A − i
ωµ0ε0
∇ ∇ · A
=
so dass für die einzelnen Komponenten des E-Feldes folgt:
Er = η I0l cos ϑ
2πr 2
Eϑ = iη kI0l sin ϑ
4πr
1 + 1
ikr
e −ikr
1
∇ ×
iωµ0ε0
B, (4.86)
1 + 1 1
−
ikr (kr) 2
e −ikr
Eϕ = 0 (4.87)
wobei gilt η = µ0 2π 2πν ω
, k = = = . Es ist zu beachten, dass Gleichungen (4.85) und
ε0 λ c c
(4.87) keine Voraussetzungen für den Abstand des Beobachters von der Quelle gemacht
haben. Sie gelten für jeden Abstand von der Quelle.
Wie gross ist die Leistungsdichte? Der zeitliche Mittelwert des Poyntingvektors ist
< S >= W = 1
Wir betrachten den komplexen Vektor
W = 1
2µ0
2µ0
E × B ∗
. (4.88)
( ˆ arEr + ˆ aϑEϑ) × ( ˆ aϕB ∗
ϕ) = 1
ˆarEϑB
2µ0
∗ ϕ − ˆ aϑErB ∗
ϕ
und erhalten für die radiale und transversale Komponenten
Wr = η
8
2 2 I0l sin ϑ
λ r2
Wϑ = iη k(I0l) 2 cosϑsin ϑ
16π 2 r 3
(4.89)
1 − i 1
(kr) 3
1 + 1
(kr) 2
. (4.90)
Damit beträgt die abgestrahlte Leistung, wenn wir über eine geschlossene Kugel mit
113

Radius r integrieren
P =
=
S
2π
0
= µ0
4π
W d S =
0
π
C
2π
0
0
π
4 Antennen
ˆarWr + ˆ aϑWϑ
Wrr 2 sin ϑ A(x, y, z)
I(x ′ , y ′ , z ′ ) e−ikR
R dl′ dϑdϕ = η π
3
ˆarr 2 sin ϑdϑdϕ
2
I0l
1 − i
λ
1
(kr) 3
. (4.91)
Wϑ ist rein imaginär und trägt nicht zum Realteil der abgestrahlten Leistung bei. Wϑ
trägt zum reaktiven Anteil bei. Dieser dominiert für kleine kr und hat sowohl radiale
als auch transversale Komponenten. Der Realteil der abgestrahlten Leistung ist:
Prad = η π
3
und somit der Strahlungswiderstand
Rrad = η 2π
3
2 I0l
=
λ
1
2 I2 0Rrad 2 l
= 80π
λ
2
2 l
λ
(4.92)
(4.93)
wobei η ≈ 120π ≈ 377Ω. Damit eine Drahtantenne als infinitesimaler Dipol klassifiziert
werden kann, muss gelten l ≤ λ
. Es folgt ein Strahlungswiderstand von 0.32 Ω. Ein
50
solcher Dipol wäre sehr schlecht an eine 50 Ω-Leitung angepasst, die Effizienz wäre sehr
gering.
Wir haben bereits erwähnt, dass die berechneten Felder für irgend einen Abstand
gelten, ausser natürlich auf der Quelle selber. Man kann zwei Fälle unterscheiden. Erstens
kr ≪ 1, d.h. r ≪ /2πλ und der Fall, wo kr ≫ 1. Für kleine Abstände von der Quelle
erhalten wir also für die Feldkomponenten:
Er ≈
−ikr I0le
−iη cosϑ
2πkr3 Eϑ ≈
−ikr I0le
−iη sin ϑ
4πkr3 Bϕ ≈
Damit ist im Nahfeld ℜ E × B
quasistationär sind.
I0le −ikr
4πr 2 µ0
sin ϑ
Eϕ = Br = Bϑ = 0. (4.94)
= 0. Dies ist der Fall weil die Felder gemäss (4.94)
114

4 Antennen
Für grosse Abstände, d.h. kr ≫ 1, d.h. r ≫ λ
Er ≈ Eϕ = Br = Bϑ = 0
−ikr kI0le
Eϑ ≈ iη
4πr
sin ϑ
Bϕ ≈
−ikr kI0le
i sin ϑ.
4πrµ0
(4.95)
Dies stellt eine TEM-Welle dar, die sich ausbreitet.
Wir wollen nun die Abstands-Unterteilung noch etwas genauer ansehen.
4.7.3 Nahfeld-Fernfeld
Es zeigt sich, dass das Integral für das Vektorpotential, gemäss
A(x, y, z) = µ0
I(x
4π
′ , y ′ , z ′ ) e−ikR
R dl′
wo
C
(4.96)
R = (x − x ′ ) 2 + (y − y ′ ) 2 + (z − z ′ ) 2 (4.97)
ist, für irgend einer Antenne schwierig zu berechnen ist. Für einen dünnen Dipol entlang
der z-Achse (d.h. x ′ = 0, y ′ = 0) gilt
wobei
Entwickelt man R um r, so erhält man
R = r − z ′ cosϑ + 1
′2
z
r 2 sin2
ϑ
Fernfeld-Näherung
R = x2 + y2 + (z − z ′ ) 2
= r2 + −2rz ′
cos(ϑ) + z ′2
r 2 = x 2 + y 2 + z 2
Werden nur die ersten beiden Terme berücksichtigt, d.h.
(4.98)
z = r. (4.99)
+ 1
r2 ′3
z
2 cosϑsin2
ϑ + ... (4.100)
R ≈ r − z ′ cosϑ (4.101)
so beträgt der Fehler wegen dem vernachlässigten dritten Term maximal z′2 π bei ϑ = 2r 2 .
Dabei ist der vierte Term gerade Null. Ein maximaler Phasenfehler von π sei akzeptier-
8
bar, d.h.
kz ′2
π
≤ . (4.102)
2r 8
115

4 Antennen
Für − l
2 ≤ z′ ≤ l
2D2
folgt daraus r ≥ 2l2 resp. r ≥ , also die Definition des Fernfel-
2 λ λ
des, resp. der Fraunhofer-Zone. Wichtig ist also, dass für Phasenterme die Näherung
R ≈ r − z ′ cosϑ und für Amplitudenterme mit R ≈ r gerechnet wird.
Nahfeld-Näherung
Wenn der Beobachtungsabstand kleiner als r = 2l 2 /λ ist, so wird der Phasenfehler mit
der Näherung gemäss (4.101) grösser als π/8. Soll also dieser Fehler nicht grösser werden,
so muss der nächst höhere Term in der Entwicklung (4.100) mit berücksichtigt werden.
Ergo ist
R ≃ r − z ′ cosϑ + 1
′2 z
r 2 sin2
ϑ . (4.103)
Um den maximalen Fehler abzuschätzen, der durch Vernachlässigung des vierten Terms
entsteht, muss der zugehörige Winkel ϑ bestimmt werden. Durch Ableiten des Terms
nach ϑ und Null setzen, kann dies erreicht werden. Dies gilt für das Regime
2l 2 /λ > r ≥ 0.62 l 3 /λ. (4.104)
Man bezeichnet diesen Bereich als abstrahlende Nahfeldzone oder als Fresnel-Zone.
4.7.4 Der endlich lange Dipol
Wir betrachten eine dünne lineare Antenne der Länge l. Die Stromverteilung sei sinusförmig
wie in Bild (4.16) dargestellt, d.h.
I = I0 sin k( l
− |z|) . (4.105)
2
Die Antenne werde im Zentrum gespiesen und der Strom sei 0 für |z| = l/2. Der Dipol
wird in eine Reihe von infinitesimalen Dipolen der Länge dz ′ unterteilt. Das Fernfeld
eines solchen Elementardipols ist dann
dEϑ ≈ iη kIe−ikR
4πR
dBϕ ≈ i kIe−ikR
4πµ0R
sin ϑdz′
sin ϑdz′
(4.106)
wobei R ≈ r −z ′ cos ϑ für Phasenterme und R ≈ r für Amplitudenterme ist. Summieren
wir über alle infinitesimalen Elemente, d.h. bilden wir das Integral, so folgt
+l/2
Eϑ = dEϑ = iη
−l/2
ke−ikr
⎡
+l/2
⎢
sin ϑ ⎣ Ie
4πr
−l/2
Elementfaktor
+ikz′ ⎤
cos ϑ ′ ⎥
dz ⎦.
(4.107)
Raumfaktor
116

4 Antennen
Abbildung 4.16: Stromverteilung entlang des linearen langen Dipols
Es gilt: Das totale Feld = Elementfaktor· Raumfaktor. Der Elementfaktor ist hier identisch
mit dem Feld eines Einheits-Hertz-Dipols. Man erhält
Mit
erhält man
−ikr kl
I0e cos( 2
Eϑ = iη
2πr
Sr = η I2 0
8π 2 r 2
und damit für die Strahlungsintensität
U = r 2 Sr = η I2 0
8π 2
µ0Bϕ = 1
η Eϑ
cos( kl
2
cos( kl
2
117
cosϑ) − cos(kl 2 )
. (4.108)
sin ϑ
cosϑ) − cos(kl 2 )
2 sin ϑ
cos(ϑ)) − cos(kl 2 )
2 sin(ϑ)
(4.109)
(4.110)
(4.111)

und die totale abgestrahlte Leistung
Prad =
2π
0
0
π
U dΩ =
2π
0
0
π
η I2 0
8π 2
4 Antennen
cos( kl
2
cos ϑ) − cos(kl 2 )
2 sin ϑdϑdϕ (4.112)
sin ϑ
Das normierte Leistungsdiagramm zeigt Abbildung (4.17) für verschiedene Längen l des
Abbildung 4.17: Antennendiagramm eines kurzen Dipols mit sinusförmiger Stromverteilung
Dipols, wo aber die Länge kleiner als die Wellenlänge ist und in Figur (4.18) für den Fall
wo l = 1.25λ ist. Wird das Integral ausgerechnet, so erhält man für den Strahlungswiderstand
Rrad = 2Prad
I2 0
= η
2π
0.5772 + ln(kl) − Ci(kl) + 1
2 sin(kl) (Si(2kl) − 2Si(kl))
C + ln( kl
2 ) + Ci(2kl)
− 2ci(kl)
+ 1
2 cos(kl)
118
(4.113)

4 Antennen
Abbildung 4.18: Antennendiagramm eines Dipols der Länge l = 1.25λ und sinusförmiger
Stromverteilung
wobei
Ci(x) = −
x
∞
cos(y)
y
dy und Si(x) =
∞
x
sin(y)
y
dy (4.114)
das cosinus- resp. das sinus-Integral bezeichnen. C heisst Euler’sche Konstante und beträgt
≈ 0.5772. Eine Darstellung des Strahlungswiderstandes zeigt Figur (4.19). Man
sieht, dass bereits eine relativ einfache Dipol-Antenne zu mathematisch komplizierten
Ausdrücken führt
Der λ/2-Dipol
Als Spezialfall eines endlich langen Dipols wollen wir noch kurz den sog. λ/2-Dipol
betrachten, da er eine praktische Bedeutung wegen seines Strahlungswiderstandes hat.
119

4 Antennen
Abbildung 4.19: Strahlungswiderstand eines Dipols unterschiedlicher Länge zusammen
mit der Directivity
Mit l = λ
2
und
folgt für die transversalen Komponenten der Felder im Fernfeld
−ikr π
I0e cos( 2
Eϑ = iη
2πr
cosϑ)
sin ϑ
(4.115)
−ikr π
I0e cos( 2
Bϕ = i
2πµ0r
cosϑ
. (4.116)
sin ϑ
Daraus lässt sich über den Poynting-Vektor die Leistungsdichte berechnen
U = r 2 Sr = I2 0
8π2 2 π cos ( 2 cosϑ)
sin2
ϑ
(4.117)
und durch Integration über den Raum könnte die totale abgestrahlte Leistung wieder
berechnet werden, womit der Strahlungswiderstand bestimmt werden kann. Rrad für
einen λ/2-Dipol findet man so mit
Rrad = η
4π Ci(2π) ≈ 73Ω. (4.118)
Das ist von praktischer Bedeutung, weil dieser Wert fast mit 75Ω übereinstimmt, dem
Wert der charakteristischen Impedanz von Koaxialkabeln. Durch Einsetzen des Wertes
für die abgestrahlte Leistung und der Strahlungsintensität lässt sich auch die Directivity
gemäss Gleichung (4.10) bestimmen. Man erhält D0 ≈ 1.643, was grösser ist als für den
Hertz’schen Dipol. Ferner lässt sich auch die wirksame Fläche der Antenne berechnen:
Ae = λ2
4π D0 ≈ 0.13λ 2 . (4.119)
Man sieht, dass in diesem Falle die Antennenfläche nicht viel mit der geometrischen
Fläche zu tun hat, da wir ja von einem unendlich dünnen Draht ausgegangen sind.
120

4 Antennen
Die Methode der Berechnung des Fernfeldes durch Summation resp. Integration über
kurze Dipole lässt sich auf beliebige Antennenkonfigurationen ausdehnen mit I(x, y). Die
Bestimmung des Vektorpotentials ist jedoch meist sehr schwierig und andere Methoden
werden verwendet.
4.8 Arrays
In vielen Anwendungen möchte man eine möglichst grosse Directivity, resp. Gain haben.
Die besprochenen Dipolantennen sind durch eine relativ bescheidene Richtcharakteristik
ausgezeichnet. Es stellt sich also die Frage, wie man eine möglichst grosse Directivity
realisiert. Wir erinnern uns, dass zwischen der maximalen Richtcharakteristik, D0, und
dem Antennen-Raumwinkel, ΩA, der Zusammenhang
D0 = 4π
ΩA
(4.120)
besteht. Andererseits besteht auch ein Zusammenhang zwischen der Directivity und der
effektiven Antennenfläche, Ae, gemäss
D0 = 4πAe
λ 2 . (4.121)
Es ist nun klar, dass eine Möglichkeit die Directivity zu erhöhen darin liegt, die effektive
Antennenfläche zu erhöhen. Dies ist allerdings bei einem Dipol nicht möglich. Eine weitere
Möglichkeit besteht in der Bildung eines Arrays, d.h. eine Anordnung beispielsweise
in einer Reihe oder in einer Matrix von Elementarantennen. Dies gilt ganz allgemein
für irgend einer Art von Antennen (Drahtantennen, Aperturantennen etc.). Das totale
E-Feld, resp. das Antennendiagramm, erhält man durch Vektoraddition der Felder, die
durch die einzelnen Antennen produziert werden.
Es gibt dann auch verschiedene Möglichkeiten für die Beeinflussung der Richtcharakteristik:
- geometrische Konfiguration des Gesamtarrays
- relativer Abstand der einzelnen Elemente voneinander
- Amplitude infolge der individuellen Elemente
- Phase infolge der individuellen Elemente
- Antennendiagramm der einzelnen Antenne
Wir wollen einige Beispiele besprechen. Obschon wir auch hier uns auf Dipolantennen
beschränken, die im Mikrowellenbereich wenig gebraucht werden, ist die Theorie identisch
für Reflektorantennen, und so erhalten wir einen Einblick in die Funktionsweise.
4.8.1 Array aus zwei Hertz-Dipolen
Wir betrachten zwei Dipole im Abstand d/2 vom Koordinatenursprung, gemäss Figur
(4.20).
121

z
{ d/2
{ d/2
ϑ
4 Antennen
Abbildung 4.20: Array aus zwei Hertz-Dipolen
Die Phasendifferenz sei β, die Amplitude sei bei beiden Dipolen dieselbe. Gesucht ist
das Feld bei einem Beobachter im Abstand r. Nun ist der Abstand jedoch nicht für
jeden Teil des Arrays der gleiche. Je nach dem, ob wir uns für die Amplitude oder die
Phase interessieren, müssen wir diese Tatsache unterschiedlich berücksichtigen. Für die
Amplitude gilt r1 ≈ r2 ≈ r, wogegen für die Phase berücksichtigt werden muss, dass
r1 = r − d/2 cos(ϑ) und r2 = r + d/2 cos(ϑ). Somit erhalten wir für das elektrische Feld
Eϑ = iη kI0e −ikr l
4πr
= iη kI0e−ikrl
cosϑ e i(kdcos ϑ+β/2) −i(kdcos
+ e
ϑ+β/2)
4πr
cosϑ
1
2 cos (kd cosϑ + β) .
2
Array-Faktor AF
Feld eines einzelnen Dipols am Ursprung
r 1
r
r 2
y
(4.122)
Man sieht, dass sich das totale Feld aufbaut aus demjenigen eines einzelnen Dipols,
multipliziert mit einem Faktor, dem sog. Array-Faktor, AF, der für den Array charakteristisch
ist:
Etotal = EEinzelelement am Ursprung · AF. (4.123)
Jeder Array hat seinen eigenen AF. Dieser ist eine Funktion der Anzahl Elemente, der
Geometrie, Phase und Abstand der Elemente.
Wir wollen kurz einige Beispiele diskutieren. Wir betrachten zwei Dipole mit Abstand
d = λ/4 und verschiedenen Phasenlagen, β = 0, π/2, −π/2. Die zugehörigen Elementund
Arrayfaktoren sowie das totale Antennendiagramm sind in den Figuren (4.21) und
(4.22) dargestellt. Dabei wurde zur Verdeutlichung das jeweilige Diagramm auf sein
Maximum normiert. Man sieht, dass durch eine geeignete Wahl der Phase die Richtung
in der die Antennenanordnung empfindlich ist, gesteuert werden kann.
4.8.2 N-Element-Array
Die Verallgemeinerung des Zwei-Elementen Arrays ist natürlich ein Array bestehend aus
N Elementen. Wir betrachten eine solche Konfiguration bestehend aus N Elementen, alle
betrieben mit gleicher Amplitude, jedes mit einer Phasenverschiebung von β gegenüber
122

4 Antennen
Abbildung 4.21: Zwei-Element Array mit d = λ/4 und β = 0
Abbildung 4.22: Zwei-Element Array mit d = λ/4 und β = 90 ◦ resp. β = 90 ◦
123

4 Antennen
dem Nachbarn. Die Koordinaten werden so gewählt, dass der Array am Koordinatenursprung
beginnt, wie Figur (4.23) zeigt. Man nennt dies einen uniformen Array. Für den
d
d
z
. . . .
5
4
3
2
1
ϑ
ϑ
Abbildung 4.23: Am Koordinatenursprung beginnender N-Element-Array
Arrayfaktor gilt dann
wobei
AF = 1 + e i(kdcos(ϑ)+β) + e i2(kd cos(ϑ)+β) + .. + e iN(kdcos(ϑ)+β)
=
=
N
n=1
i(n−1)(kd cos(ϑ)+β)
e
N
e i(n−1)Ψ
n=1
r5
r 4
r 3
r2
r 1
y
(4.124)
Ψ = kd cos(ϑ) + β. (4.125)
Multipliziert man beide Seiten von (4.124) mit e iΨ , so erhält man
Subtrahiert man (4.124) von (4.126) so folgt
AF · e iΨ = e iΨ + e i2Ψ + e i3Ψ + ... + e iNΨ . (4.126)
AF · e iΨ − AF = e iNΨ − 1
= AF e iΨ − 1 . (4.127)
124

Aufgelöst nach AF erhält man
AF = eiNΨ − 1
e iΨ − 1
4 Antennen
= eiΨ(N−1)/2
iΨN/2 −iΨN/2
e − e
e iΨ/2 − e −iΨ/2
= iΨ(N−1)/2sin N
2 Ψ
sin . (4.128)
Ψ
2
Falls sich der Referenzpunkt in der Mitte des Arrays befindet, so reduziert sich der
Array-Faktor auf
AF = sin N
2 Ψ
sin
Ψ
2
(4.129)
und für kleine Ψ letztlich auf
AF ≈ sin N
2 Ψ
. (4.130)
Der Maximalwert für AF gemäss (4.129) oder (4.129) ist N. Normiert man AF, so dass
man für irgend einen Wert von N gleich eins wird, so erhält man
Ψ
2
AFn ≈ sin N
2 Ψ
N
2
Ψ . (4.131)
Diese Funktion ist in Figur (4.24) dargestellt. Man sieht, dass je mehr Elemente verwen-
Abbildung 4.24: Kurven für die Funktion | sin(Nx)/N sin(x)|.
det werden, desto schmaler wird das Maximum, was umgesetzt in die Antennencharakteristik
bedeutet, dass das Antennendiagramm umso schmaler wird.
Wir wollen noch untersuchen, unter welchen Bedingungen der AF maximal und wo
er Null wird. Für die Nullstellen (AF = 0) gilt unter Verwendung von (4.125):
N
sin
2 Ψ
= 0 → N
2
Ψ = ±nπ
λ 2n
(−β ±
2πd N π)
n = 0, 1, 2, ... n = N, 2N, 3N, ...
→ ϑn = cos −1
125
(4.132)

4 Antennen
Für n = N, 2N, 3N, ... reduziert sich der Ausdruck auf sin(0)/0 und wird maximal. Man
sieht also, dass die Anzahl der Nullstellen vom Abstand, d, der Elemente und von der
Phasenverschiebung, β, abhängt.
Für die Maxima von AF gilt
N
2 Ψ ± mπ → ϑn = cos −1
m = 0 : ϑn = cos −1
λ
(−β ± 2mπ)
2πd
λβ
2πd
(4.133)
(4.134)
ϑn hängt also nur von β und d ab.
Als Anwendung betrachten wir kurz eine Anordnung, bei der das Maximum senkrecht
auf der Arrayachse liegen soll. Man nennt dies einen Breitseiten-Array (engl. broadside
array). Das Maximum wird erreicht, wenn Ψ = kd cos(ϑ) + β = 0 ist. Mit ϑ = 90 ◦ folgt
Ψ = β = 0, d.h. alle Elemente sind phasengleich.
Zusätzlich sollte d = nλ sein, wenn β = 0, damit nicht Maxima in andere Richtungen
entstehen. Figur (4.25) fasst die Charakteristiken eines Breitseiten-Arrays zusammen.
Abbildung 4.25: Breitseiten Array
Wir haben also gesehen, dass durch geschickte Wahl der Abstände und der Phasenlage
die Richtcharakteristik einer Antenne beeinflusst werden kann. Da es möglich ist,
die Phasenlage elektronisch zu verändern, ist es möglich, die Richtung der maximalen
Empfindlichkeit eines Array elektronisch, d.h. sehr schnell zu verändern. Dies kann
126

4 Antennen
die mechanische Nachführung einer Antenne überflüssig machen. Solch eine Anordnung
nennt man „phased array“ und wird z.B. zur schnellen Verfolgung eines Flugobjektes
eingesetzt. Es ist auch möglich eine grosse Zahl von Reflektorantennen als Array anzuordnen,
um eine extrem gute Directivity zu erhalten, was in der Radioastronomie von
grösstem Interesse ist, wenn es darum geht, weit entfernte Objekte mit kleiner Ausdehnung
zu detektieren. Ein äusserst interessantes Projekt ist in diesem Zusammenhang
ALMA, der Atacama Large Millimeter Array, der in der Atacama Wüste realisiert wird.
Dabei werden insgesamt 64 Parabolspiegel mit einem Durchmesser von 12m mit einem
totalen Abstand von bis zu 12km angeordnet. Damit kann eine Auflösung von < 0.1
arcsec erzielt werden 6 . Eine „Ansicht“ des Projektes zeigt Figur (4.26).
Abbildung 4.26: Impression von ALMA
Wir haben bisher bei unseren Betrachtungen immer eine Stromquelle als Basis für die
Bestimmung des Antennendiagramms verwendet. Dabei sind wir von einem infinitesimalen
Dipol (Hertz-Dipol) ausgegangen. Betrachtet man die Antenne als aufgebaut aus
einer Reihe solcher Dipole, so kann letztlich die elektrische Feldverteilung und damit das
Antennendiagramm berechnet werden. Die Felder eines Hertz’schen Dipols lassen sich
aus den Skalar- und Vektor-Potentialen ableiten. Grundsätzlich ist es möglich irgend
eine Stromverteilung so zu beschreiben.
4.9 Kontinuierliche Quellen
Nimmt die Anzahl der Elemente in einem Array gegebener Länge zu, so nähert sich
die Quelle einer kontinuierlichen Verteilung. Der Arrayfaktor wird zu einem Integral
und man nennt ihn Raumfaktor, SF, oder „Spacefaktor“. Für eine Stromverteilung der
6 Die Homepage dieses Projektes findet sich unter http://www.alma.nrao.edu/
127

4 Antennen
Länge l symmetrisch zur z-Achse wird der Spacefaktor
SF(ϑ) =
+l/2
−l/2
I(z ′ i(k cos ϑ−kz)z′
)e dz ′ =
+l/2
−l/2
I(z ′ )e iξz′
dz ′
(4.135)
wobei ξ = k cosϑ − kz und kz die Phasenkonstante der Quelle ist.
Da der Strom ausserhalb |l/2| gleich Null ist, können die Integrationsgrenzen ins Unendliche
verlegt werden:
SF(ϑ) = SF(ξ) =
+∞
−∞
I(z ′ )e iξ.z′
Gleichung (4.136) stellt aber gerade die Fourier-Transformierte von I(z ′ ) dar.
I(z ′ ) = 1
2π
+∞
−∞
dz ′
(4.136)
SF(ξ)e −iz′ ξ dξ (4.137)
SF(ϑ) und I(z ′ ) stellen ein Paar von Fourier-Transformierten dar. Wir kommen zu der
wichtigen Erkenntnis, dass der Spacefaktor im Fernfeld, und damit das Antennendiagramm,
der Fourier-Transformierte der Strombelegung entspricht. Figur (4.27) fasst die
wesentlichen Grössen für gängige Strombelegungen zusammen.
Das oben gesagte lässt sich auch auf zweidimensionale Strukturen verallgemeinern.
Der Spacefaktor für eine zweidimensionale rechteckige Anordnung ist dann
SF =
+ly/2
+ly/2
−ly/2 −ly/2
An(x ′ , y ′ )e i[kx′ sinϑ cos ϕ+ky ′ sinϑ sin ϕ+φn(x ′ ,y ′ )] dx ′ dy ′ . (4.138)
Dabei sind lx und ly die linearen Dimensionen der rechteckigen Struktur entlang der xresp-
der y-Achse. An(x ′ , y ′ ) und φn(x ′ , y ′ ) sind die Amplitude resp. die Phasenverteilung
über der Quelle. Für viele Quellen lassen sich diese separieren, so dass
wird und damit
Dabei ist
Sx =
Sy =
An(x ′ , y ′ ) = Ix(x ′ ) (4.139)
φn(x ′ , y ′ ) = φx(x ′ )φy(y ′ ). (4.140)
+lx/2
−lx/2
+ly/2
−ly/2
SF = SxSy. (4.141)
Ix(x ′ )e i[kx′ sinϑ cos ϕ+φx(x ′ )] dx ′
Iy(y ′ )e i[ky′ sinϑ cos ϕ+φy(y ′ )] dy ′
128
(4.142)
(4.143)

4 Antennen
Abbildung 4.27: Strahlungseigenschaften von linearen Strombelegungen
analog zum Arrayfaktor der diskreten Elemente. Das totale Feld ist dann das Produkt
aus dem Element- und dem Raumfaktor.
Durch analoge Überlegungen findet man für den Raumfaktor einer runden Apertur
SF(ϑ, ϕ) =
2π
0
0
a
An(ρ ′ , ϕ ′ )e i[kρ′ sin ϑcos(ϕ−ϕ ′ )+ζn(ρ ′ ,ϕ ′ )] ρ ′ dρ ′ dϕ ′
(4.144)
wobei ρ ′ die radiale Distanz ist und ϕ ′ der Azimuthwinkel darstellt. An(ρ ′ , ϕ ′ ) ist die Amplitude
und ζn(ρ ′ , ϕ ′ ) die Phasenverteilung. Viele Reflektor-Antennen, wie z.B. Parabol-
Antennen, weisen eine radial abnehmende Amplitudenverteilung auf, etwa der Form
An(ρ ′ ⎧
⎨ ρ ′ 2
n
1 − 0 ≤ ρ a ) =
⎩
′ ≤ a, n = 0, 1, 2, 3, ..
0 sonst.
129
(4.145)

4 Antennen
Man nennt diesen Abfall der Intensität zum Rand hin, Belegungsfunktion, resp. engl.
„edge taper“. Für n = 0 erhält man eine uniforme Verteilung. Als Illustration zeigt Figur
(4.28) die Raumfaktoren für verschiedene Belegungsfunktionen.
Abbildung 4.28: Strahlungseigenschaften von Flächen-Strombelegungen
Nachdem wir die Bestimmung des Fernfeldes basierend auf der Stromverteilung diskutiert
haben, wollen wir nun noch betrachten, wie sich die Feldverteilung im Fernfeld bei
gegebener Feldverteilung in der Apertur berechnen lässt. Beispielsweise bei einer Hornantenne,
die durch einen „aufgeweiteten Wellenleiter“ realisiert wird, ist nämlich nicht
die Stromverteilung gegeben, sondern die Feldverteilung in der Apertur. Die Quelle in
diesem Fall ist das Feld und nicht die Stromverteilung.
130

4 Antennen
4.10 Strahlung einer Apertur, Skalare Formulierung
Das Feld in der Apertur lässt sich durch Lösen der Maxwell-Gleichungen und den entsprechenden
Randbedingungen bestimmen. Um nun aus dieser Feldverteilung das Feld
im Fernfeld zu bestimmen, gibt es verschiedene Methoden. Ein Ansatz basiert auf der
skalaren Beugungstheorie von Kirchhoff. Skalar heisst hier, dass jede Komponente der
Aperturfelder separat behandelt wird, ohne Berücksichtigung von Kopplungen zwischen
dem elektrischen und dem Magnetfeld. Das heisst, dass z.B. das abgestrahlte Feld im
Fernfeld dieselbe Polarisation aufweist wie in der Apertur. Dieser Ansatz hat sich als erfolgreich
für die Beschreibung von grossen Aperturen (relativ zur Wellenlänge) erwiesen.
Falls die Apertur klein ist, einige Wellenlängen, muss ein vektorieller Zugang, gemäss
Maxwell, gewählt werden.
Welle auf
Apertur
y
dx
dy
Ea
x
Apertur
ϑ 1
ϑ2
ϑ 1
ϑ 2
s
R
Q(x,y,z)
=Winkel zwischen s und der
..
Flachennormalen auf dxdy
..
= Winkel zwischen der Flachennormalen
und der Ausbreitungsrichtung
der Welle, die
die Apertur beleuchtet.
Abbildung 4.29: Geometrie für die Berechnung der Feldverteilung
Wir betrachten eine Anordnung, wie in Figur (4.29) dargestellt. Ea(xa, ya) sei die
Verteilung des skalaren Feldes in der Apertur, welche in der z = 0 Ebene liegt. Für das
Feld E(x, y, z) am Ort Q(x, y, z) gilt dann das Fresnel-Kirchhoff’sche Beugungsintegral
E(x, y, z) = 1
Ea(xa, ya)
4π
e−iks
1
+ ik cosϑ1 + ik cosϑ2 dxa dya. (4.146)
s s
Apertur
Für das Fernfeld, d.h. R ≥ 2D2
, gilt in Polarkoordinaten:
λ
wobei
h(ϑ, ϕ) =
+∞
−∞
E(R, ϑ, ϕ) = ie−ikR
h(ϑ, ϕ) (4.147)
λR
Ea(xa, ya)e (ik sin ϑ(xa cos ϕ+ya sinϕ)) dxa dya. (4.148)
131
z

4 Antennen
Für eine detaillierte Diskussion der Theorie muss hier auf die Literatur verwiesen werden.
Wir wollen noch zeigen, dass auch hier zwischen der Quelle und dem Fernfeld ein
Zusammenhang via die Fourier-Transformation existiert, analog wie bei der Strombelegung.
Die Fourier-Transformierte F(g) einer komplexen Funktion g mit den beiden unabhängigen
Variablen u und v ist definiert als
G(xa, ya) = F(g) =
+∞
−∞
und die inverse Fourier-Transformierte F −1 (G) analog
Wir definieren
Damit wird h(ϑ,ϕ) zu
h(u, v) =
g(u, v) = F −1 (G) =
+∞
−∞
+∞
−∞
u = x
λR
v = y
λR
g(u, v)e −i2π(xau+yav) du dv (4.149)
G(xa, ya)e i2π(xau+yav) dxa dya. (4.150)
= sin(ϑ) cos(ϕ)
λ
(4.151)
sin(ϑ) sin(ϕ)
= . (4.152)
λ
Ea(xa, ya)e i2π(xau+yav) dxa dya = F −1 (Ea(xa, ya)) (4.153)
d.h. h(ϑ,ϕ) ist die inverse Fourier-Transformierte der Aperturverteilung Ea(xa, ya), ausgewertet
an der Stelle u = sin ϑ cosϕ/λ und v = sin ϑ sin ϕ/λ.
Für die Leistungsdichte gilt Sr = 1
2 η|E|2
Sr(u, v) =
1
2ηλ2R2
−1
F (Ea(xa, ya)) 2 (4.154)
Figur (4.30) zeigt als Illustration die Verteilung im Fernfeld bei verschiedenen Feldverteilungen
in der Apertur.
4.10.1 Hornantennen
Es stellt sich die Frage, wie zum Beispiel die Verteilung des Feldes bei einer Parabolantenne
zu Stande kommt. Zum „Beleuchten“ einer Reflektorantenne wird meistens eine
Hornantenne verwendet. Diese wird auch als Feed bezeichnet. Wie bereits erwähnt stellt
eine Hornantenne eigentlich einen Übergang von einem Hohlleiter zum freien Raum dar.
132

4 Antennen
Abbildung 4.30: Beispiele für das Fernfeld bei gegebenem Aperturfeld
133

4 Antennen
Entsprechend dem verwendeten Hohlleiter gibt es Pyramiden-Hornantennen oder konische
Hornantennen. Sehr gebräuchlich sind die konischen Hornantennen, da sie in der
Lage sind, eine symmetrische Feldverteilung zu produzieren, die im Idealfall möglichst
Gauss-förmig ist. Um das zu erreichen, werden an den Innenwänden der Hornantenne
Rillen angebracht. Man spricht dann von einer corrugated Hornantenne. Der Sinn der
Rillen besteht darin, das elektrische Feld am Rand möglichst auf Null zu bringen. Man
kann zeigen, dass die Feldverteilung in der Apertur eines konischen Horns polarisiert ist
und gegeben ist durch
Ey = AJ T 0 (αr)e−ikr2 /2R
(4.155)
wobei
und
J T 0 =
α = 2.405
a
J0(αr) r < a
0 r ≥ a.
(4.156)
(4.157)
J0 ist die Besselfunktion erster Art und nullter Ordnung, und a ist der Radius der
Apertur.
Für eine eingehendere Betrachtungsweise von Hornantennen wird auf die Vorlesung
„Millimeter- und Submillimeter Optik“ von N.Kämpfer verwiesen
134