Anwendungen des Lagrange-Formalismus an ... - GSI - Theory

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2 Anwendung auf ausgewählte Beispiele Da es hierbei zwei unabhängige Koordinaten gibt, φ1 und φ2, müssen wir laut 1.10 nach beiden differenziern. Gleichung 1: (m1 +m2) ¨ φ1l 2 1 +m2l1l2 d ∂L dt∂ ˙ − φ1 ∂L ∂φ1 d (m1 +m2) dt ˙ φ1l 2 1 +m2 ˙ φ2l1l2cos(φ1 −φ2) = 0 +m2 ˙ φ1 ˙ φ2l1l2sinφ1 −(m1 +m2)gl1sinφ1 = 0 ¨φ2cos(φ1 −φ2)− ˙ φ2sin(φ1 −φ2)·( ˙ φ1 − ˙ φ2) +m2 ˙ φ1 ˙ φ2l1l2sinφ1 −(m1 +m2)gl1sinφ1 = 0 Nach einigen Umformungen erhalten wir diese Differentialgleichung: ¨φ1 + g sinφ1 + l1 m2 l2 cos(φ2 −φ1) m1 +m2 l1 ¨ φ1+sin(φ2 −φ1) ˙ φ 2 2 = 0 (2.22a) Gleichung 2: m2 ¨ φ2l 2 2 +m2l1l2 Dieser Ansatz führt schließlich auf: ¨φ2 + g sinφ2 + l1 l2 d ∂L dt∂ ˙ − φ2 ∂L ∂φ2 d m2 dt ˙ φ2l 2 2 +m2 ˙ φ1l1l2cos(φ1 −φ2) = 0 −m2 ˙ φ1 ˙ φ2l1l2sinφ2 −m2gl2sinφ2 = 0 ¨φ1cos(φ1 −φ2)− ˙ φ1sin(φ1 −φ2)·( ˙ φ1 − ˙ φ2) l2 −m2 ˙ φ1 ˙ φ2l1l2sinφ2 −m2gl2sinφ2 = 0 cos(φ2 −φ1) ¨ φ1 +sin(φ2 −φ1) ˙ φ 2 1 = 0 (2.22b) Um die beiden Differentialgleichungen zu vereinfachen setzen wir m1 = m2 = m, l1 = l2 = l, cosφ ≈ 1, sinφ ≈ φ und ˙ φ 2 φ ≈ 0: Gleichung 1: 2 ¨ φ1 + ¨ φ2 +2 g l φ1 = 0 (2.23) Gleichung 2: ¨ φ1 + ¨ φ2 + g l φ2 = 0 (2.24) 21
2 Anwendung auf ausgewählte Beispiele Laut [4], S.431 lauten die Lösungen für die beiden Differentialgleichungen folgendermaßen: iω1t −iω1t φ1(t) = ae +be iω2t −iω2t + ce +de (2.25) mit φ2(t) = − √ 2 ae iω1t +be −iω1t + √ 2 ce iω2t +de −iω2t (vgl. [4], S.36, 430, 431 und [5], S.13) a = −b = ˙ φ0 , 4iω1 c = −d = ˙ φ0 . 4iω2 22 (2.26)
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