Lagrange-Multiplikatoren

Lagrange-Multiplikatoren
Ist x∗ eine lokale Extremstelle der skalaren Funktion f unter den
Nebenbedingungen gi(x) = 0, dann existieren Lagrange-Multiplikatoren λi,
so dass
f ′ (x∗) = λ t g ′ (x∗) .
Dabei wird vorausgesetzt, dass f und g in einer Umgebung von x∗ stetig
differenzierbar sind und dass die Jacobi-Matrix g ′ (x∗) vollen Rang hat.
Bei nur einer Nebenbedingung hat die Lagrange-Bedingung die einfache
Form
grad f (x∗) grad g(x∗) ,
falls grad g(x∗) = 0, d.h. die Niveauflächen von f und g berühren sich an
einer Extremstelle.
Lagrange-Multiplikatoren 1-2