Statistische Verfahren für die Schraubfallanalyse - Atlas Copco
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<strong>Statistische</strong> <strong>Verfahren</strong> <strong>für</strong><br />
<strong>die</strong> <strong>Schraubfallanalyse</strong>
<strong>Statistische</strong> <strong>Verfahren</strong> <strong>für</strong> <strong>die</strong><br />
<strong>Schraubfallanalyse</strong><br />
Kapitel ........................................................................................Seite<br />
1. Einführung ..................................................................................4<br />
2. Grundlagen der Statistik ...........................................................5<br />
2.1 Streuung..................................................................................5<br />
2.2 Verteilungsfunktionen.............................................................6<br />
2.3 Histogramm............................................................................7<br />
2.4 Mittelwert ...............................................................................7<br />
2.5 Standardabweichung ..............................................................8<br />
2.6 Schätzung einer Normalverteilung.......................................10<br />
2.7 Mittelwert und Standardabweichung der Stichprobe...........12<br />
3. Genauigkeitsanforderungen ....................................................13<br />
3.1 Mittelwertversatz und kombinierte Streuung.......................13<br />
3.2 Beispiel ................................................................................14<br />
4. Prozesse verstehen....................................................................16<br />
5. Maschinen- und Prozessfähigkeit ...........................................17<br />
5.1 C p-Wert .................................................................................18<br />
5.2 C pk-Wert................................................................................19<br />
5.3 Wege zur Prozessfähigkeit ...................................................20<br />
5.4 Maschinenfähigkeitsindizes .................................................21<br />
5.5 Was ist sonst noch zu beachten? ..........................................22<br />
6. Qualitätsregelkarten.................................................................23<br />
6.1 -Diagramme........................................................................24<br />
6.2 Die Untergruppe...................................................................25<br />
6.3 Alarmsignale.........................................................................26<br />
6.4 Bereichsdiagramme..............................................................26<br />
6.5 Anmerkung zur Handhabung von Qualitätsregelkarten.......27<br />
Zusammenfassung ....................................................................27<br />
Anhang.......................................................................................28<br />
A1. Beispiele <strong>für</strong> einfache statistische Berechnungen...............28<br />
A2. Beispiele <strong>für</strong> <strong>die</strong> Berechnung der Maschinen- oder<br />
Prozessfähigkeit...................................................................32<br />
A3. Beispiele <strong>für</strong> Qualitätsregelkarten.......................................33<br />
A4. Leistungsanalyse bei Montagewerkzeugen –<br />
Berechnung gemäß ISO 5393 ............................................34<br />
TASCHENBUCH STATISTISCHE VERFAHREN FÜR DIE SCHRAUBFALLANALYSE 3
1. Einführung<br />
Das Ziel <strong>die</strong>ses Taschenbuches ist eine Einführung in <strong>die</strong><br />
Statistik und deren Nutzung im Produktionsprozess. Anhand<br />
statistischer Kennzahlen kann man Werkzeuge miteinander<br />
vergleichen und beurteilen, ob sich ein Werkzeug <strong>für</strong> eine<br />
bestimmte Anwendung eignet. Mit Hilfe der statistischen<br />
Prozesskontrolle (SPC) lässt sich nachvollziehen, wie sich<br />
ein Produktionsprozess im Laufe der Zeit verändert. Das<br />
Taschenbuch soll auch das Potenzial der Statistik als<br />
Hilfsmittel <strong>für</strong> <strong>die</strong> Produktion verdeutlichen.<br />
4 TASCHENBUCH STATISTISCHE VERFAHREN FÜR DIE SCHRAUBFALLANALYSE
2. Grundlagen der Statistik<br />
Mit Hilfe statistischer Methoden werden aus den Daten einer<br />
Stichprobe Eigenschaften einer Grundgesamtheit abgeleitet.<br />
Die Wahrscheinlichkeitstheorie liefert <strong>die</strong> Grundlagen <strong>für</strong> <strong>die</strong><br />
erforderlichen Schätz- und Testverfahren.<br />
Im Zusammenhang mit der <strong>Schraubfallanalyse</strong> können wir<br />
<strong>die</strong> Statistik nutzen, um aus einer begrenzten Anzahl<br />
Verschraubungen auf „alle“ Verschraubungen zu schließen,<br />
<strong>die</strong> ein Werkzeug in einem Prozess ausführen soll oder wird<br />
(<strong>die</strong> „Grundgesamtheit“). Daraus ergeben sich Rückschlüsse<br />
auf <strong>die</strong> Qualität des Schraubwerkzeugs und seine<br />
Prozessfähigkeit.<br />
2.1 Streuung<br />
Statistik hat viel mit Streuung, also Toleranzen, zu tun.<br />
Streuungen kommen in der Natur ebenso vor wie bei industriellen<br />
Prozessen. Bei letzteren kann schon eine kleine<br />
Abweichung vom Soll-Wert, beispielsweise eine Maßabweichung,<br />
einen starken Einfluss auf das Endprodukt und<br />
seine Funktionsweise haben. Daher ist es wichtig, <strong>die</strong>se<br />
Schwankungen im Prozess zu erkennen, zu verstehen und<br />
gegebenenfalls zu überwachen oder korrigierend in den<br />
Prozess einzugreifen.<br />
Es gibt zwei Arten von Streuung. Zufällige Streuungen sind<br />
allgegenwärtig und zum Teil vorhersehbar. Sie haben viele<br />
Ursachen. Beispiele <strong>für</strong> zufällige Streuungen bei Druckluft-<br />
Werkzeugen sind kleine Abweichungen der Gewindedurchmesser,<br />
unterschiedliche Reibung, der Einfluss des<br />
Be<strong>die</strong>ners oder Schwankungen des Luftdrucks. Es ist schwierig,<br />
<strong>die</strong>se Einflussfaktoren auf das Schraubergebnis voneinander<br />
zu trennen. Streuungen lassen sich durch Verbesserungen<br />
der Prozessabläufe in den Griff bekommen. Zufällige<br />
Streuungen sind normal und vom Prozess und seiner Umgebung<br />
abhängig. Sie werden auch als „allgemeine<br />
Einflussfaktoren“ bezeichnet.<br />
Systematische Streuungen treten sporadisch und vereinzelt<br />
auf. Sie sind nicht vorhersehbar. Es ist jedoch meist einfach,<br />
ihre Ursachen zu ermitteln. Sie lassen sich durch eine Überwachung<br />
der Prozessabläufe in den Griff bekommen.<br />
Systematische Streuungen haben meistens bestimmte<br />
Abbildung 1. Beispiele <strong>für</strong><br />
zufällige Streuungen bei<br />
Luftwerkzeugen sind<br />
Schwankungen des<br />
Luftdrucks und der Einfluss<br />
des Be<strong>die</strong>ners.<br />
Abbildung 2. Auf den<br />
Menschen zurückzuführende<br />
Fehler, wie das Vergessen<br />
von Unterlegscheiben oder<br />
<strong>die</strong> Verwendung falscher<br />
Schrauben, sind Beispiele <strong>für</strong><br />
systematische Streuungen.<br />
TASCHENBUCH STATISTISCHE VERFAHREN FÜR DIE SCHRAUBFALLANALYSE 5
Ursachen, <strong>die</strong> erkannt und eliminiert werden müssen.<br />
Beispiele sind falsche Kalibrierungen und der Verschleiß von<br />
Werkzeugen sowie Fehler, <strong>die</strong> auf den Menschen zurückzuführen<br />
sind, etwa falsche Be<strong>die</strong>nung. Sie werden auch als<br />
„spezielle Einflussfaktoren“ bezeichnet.<br />
Große Bedeutung hat der Einsatz statistischer Analysemethoden<br />
bei der Qualitätskontrolle von Montageprozessen.<br />
Die traditionelle Methode sieht so aus: Man analysiert, was<br />
geschehen ist, und gestaltet – nachdem das Problem erkannt<br />
wurde – den Prozess um. Man kann statistische Methoden<br />
aber auch einsetzen, um vorherzusagen, wie sich ein Prozess<br />
künftig verändern oder entwickeln wird. So lassen sich systematische<br />
Streuungen rechtzeitig erkennen und Prozesse umgestalten,<br />
bevor fehlerhafte Produkte gefertigt werden und<br />
<strong>die</strong> Fabrik verlassen.<br />
2.2 Verteilungsfunktionen<br />
In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist <strong>die</strong> Wahrscheinlichkeitsverteilung<br />
eine Funktion, <strong>die</strong> Ereignissen Wahrscheinlichkeiten<br />
zuordnet. Ist von einer Zufallsvariablen <strong>die</strong><br />
Verteilungsfunktion bekannt, so kann man <strong>die</strong> Wahrscheinlichkeit<br />
berechnen, mit der <strong>die</strong> Zufallsvariable Werte zwischen<br />
zwei reellen Zahlen annimmt. Beim Würfeln errechnet<br />
sich <strong>die</strong> Wahrscheinlichkeit, eine Zahl zwischen 3 und 5 zu<br />
würfeln, zu 1:2. Es ergeben sich ganz verschiedene<br />
Funktionsgraphen <strong>für</strong> <strong>die</strong> unterschiedlichsten Ereignisse.<br />
Nehmen wir als Beispiel eine Verschraubung, bei der wir das<br />
Drehmoment messen, das auf eine Schraube übertragen wird.<br />
Die Werte variieren von Verschraubung zu Verschraubung.<br />
Nehmen wir an, wir haben genügend Messwerte, um in einer<br />
Grafik <strong>die</strong> Häufigkeit, wie oft ein bestimmter Messwert aufgetreten<br />
ist (y-Werte), über den Drehmoment-Ist-Werten (x-<br />
Achse) aufzutragen. Das Ergebnis wäre ein Histogramm wie<br />
in Abbildung 3. In der Statistik ist <strong>die</strong>se Kurvenart als<br />
„Normalverteilung“ bekannt.<br />
Es gibt viele Arten von Verteilungsfunktionen. Kurven, <strong>die</strong><br />
sich aus Funktionen oder Beispielen wie <strong>die</strong>sem – oder auch<br />
dem in Abbildung 4 genannten – ergeben, heißen „Normalverteilung“<br />
oder „Gaußsche Glockenkurve“ (siehe auch<br />
Kapitel 2.4).<br />
6 TASCHENBUCH STATISTISCHE VERFAHREN FÜR DIE SCHRAUBFALLANALYSE
Eine Normalverteilung verläuft immer symmetrisch und wird<br />
vom Mittelwert und der Standardabweichung bestimmt. Bei<br />
einer Normalverteilung beeinflussen ausschließlich zufällige<br />
Streuungen das Ergebnis.<br />
2.3 Histogramm<br />
Ein Histogramm ergibt sich, wenn <strong>die</strong> Messwerte aus einer<br />
Stichprobe, zum Beispiel Ergebnisse einer Anzahl Testverschraubungen,<br />
in Kategorien aufgeteilt werden (etwa alle<br />
Verschraubungen zwischen 20 und 21 Nm). Dann kann <strong>die</strong><br />
Anzahl der Ergebnisse in jeder Kategorie gezählt und in<br />
einem Diagramm aufgetragen werden. Damit lässt sich <strong>die</strong><br />
Verteilung der verschiedenen Ergebnisse darstellen.<br />
2.4 Mittelwert<br />
Normalverteilungen finden sich überall, in der Natur ebenso<br />
wie bei industriellen Prozessen. Liegt eine große Anzahl an<br />
Messwerten vor, beispielsweise von 1000 Verschraubungen<br />
mit einem Werkzeug, kann man ein Histogramm anfertigen.<br />
Die Kurve wird umso genauer, je mehr Messwerte einfließen.<br />
Würde man beispielsweise <strong>die</strong> Größe aller schwedischen<br />
Männer messen, käme man auf einen Durchschnitt<br />
(Mittelwert) von 1,80 m. Der Mittelwert ist der am häufigsten<br />
vorkommende Wert in einer Normalverteilung. Sehr<br />
viele Männer werden tatsächlich 1,80 m groß sein, recht<br />
viele auch noch, sagen wir, 1,78 m oder 1,79 m, 1,81 m oder<br />
1,82 m. Aber es gibt nicht viele Männer, <strong>die</strong> sehr groß oder<br />
sehr klein sind, also zum Beispiel unter 1,60 m oder über<br />
2,00 m.<br />
Ein anderes Beispiel ist das Kürzen von vielen Stäben.<br />
Nehmen wir an, der Soll-Wert liegt bei 20,00 cm. Dabei<br />
dürfte es sich auch um den Mittelwert handeln. Je nach eingesetztem<br />
<strong>Verfahren</strong>, zum Beispiel der Genauigkeit der Sägemaschine,<br />
kommen manche Stäbe nur auf 19,90 cm, andere<br />
da<strong>für</strong> auf 20,10 cm. Das entspricht der natürlichen Streuung<br />
des Prozesses und ist normal.<br />
Abbildung 3. Histogramm.<br />
Abbildung 4.<br />
Normalverteilungen finden<br />
sich überall. Ein<br />
Beispiel da<strong>für</strong> ist <strong>die</strong><br />
Größe von Personen. Ein<br />
anderes Beispiel ist das<br />
Ergebnis eines Versuchs,<br />
viele Stäbe auf <strong>die</strong>selbe<br />
Länge zu kürzen.<br />
TASCHENBUCH STATISTISCHE VERFAHREN FÜR DIE SCHRAUBFALLANALYSE 7
2.5 Standardabweichung<br />
Wird mit einem Schraubwerkzeug, das auf ein Drehmoment<br />
von beispielsweise 30 Nm eingestellt ist, eine sehr große<br />
Anzahl Verschraubungen abgearbeitet, ist es unwahrscheinlich,<br />
dass man bei jeder einzelnen exakt <strong>die</strong>sen Wert erreicht.<br />
Das gilt sogar dann, wenn man mit dem Werkzeug immer<br />
wieder genau <strong>die</strong>selbe Schraubverbindung anzieht, beispielsweise<br />
in einem Testverband. Zufallsfaktoren wie Materialverschleiß<br />
und eine unterschiedliche Handhabung des<br />
Werkzeugs können dazu führen, dass <strong>die</strong> aufgebrachten<br />
Drehmomente den Sollwert über- oder unterschreiten. Man<br />
sagt dann, dass <strong>die</strong> Messwerte vom Mittelwert abweichen.<br />
Diese Abweichung lässt sich mathematisch mit dem Begriff<br />
der Standardabweichung beschreiben.<br />
Es ist gar nicht wichtig, <strong>die</strong> Formel <strong>für</strong> <strong>die</strong> Standardabweichung,<br />
<strong>die</strong> später noch vorgestellt wird, im Detail zu verstehen.<br />
Aber es ist hilfreich, zu wissen, wie sie berechnet wird und<br />
worum es dabei geht. Die Standardabweichung ist der<br />
Betrag, um den jeder einzelne Messwert durchschnittlich<br />
(und daher mit der größten Wahrscheinlichkeit) vom Mittelwert<br />
abweicht.<br />
Worin besteht der praktische Nutzen der Standardabweichung?<br />
Wir haben bereits gesehen, dass der Mittelwert den<br />
Durchschnittswert der Verteilung (aller Verschraubungen der<br />
Stichprobe oder der Grundgesamtheit) und <strong>die</strong> Standardabweichung<br />
<strong>die</strong> Streuung angibt. Mit ihrer Hilfe können wir<br />
abschätzen, wie viele Werte innerhalb eines bestimmten<br />
Bereichs um den Mittelwert liegen werden (streuen). Und es<br />
lässt sich mit Hilfe der Standardabweichung errechnen, um<br />
wie viel ein bestimmter Prozentsatz der Messwerte in der<br />
Stichprobe vom Mittelwert abweicht.<br />
σ ist ein Klein-Buchstabe des griechischen Alphabets. σ wird<br />
als Symbol <strong>für</strong> <strong>die</strong> Abweichung vom Mittelwert (Durchschnitt)<br />
einer Verteilungsfunktion verwendet. Bei Produktionsprozessen<br />
gibt σ an, wie gut der Prozess abläuft. Ein<br />
niedriger σ-Wert bedeutet, dass <strong>die</strong> meisten Werte nahe am<br />
Soll liegen. Ein hoher σ-Wert zeigt an, dass <strong>die</strong> Streuung<br />
groß ist und <strong>die</strong> Werte stärker vom Soll-Wert abweichen.<br />
Beispielsweise kann man 20 Werte einer Grundgesamtheit<br />
wie in Abbildung 5 gruppieren. Angenommen, sie gehören<br />
einer Normalverteilung an. Dann wird auch der nächste<br />
8 TASCHENBUCH STATISTISCHE VERFAHREN FÜR DIE SCHRAUBFALLANALYSE
Anziehwert irgendwo in <strong>die</strong>sem „Bereich“ liegen. Es ist<br />
mathematisch erwiesen, dass<br />
• 68 % aller Werte in den Grenzen von „Mittelwert ± σ“<br />
liegen,<br />
• 95 % aller Werte zwischen ± 2σ um den Mittelwert und<br />
• 99,7 % aller Werte in den Grenzen von ± 3σ um den<br />
Mittelwert liegen.<br />
Ein wichtiges Merkmal einer Normalverteilung ist, dass sich<br />
<strong>die</strong> Standardabweichung immer symmetrisch in Form einer<br />
Glocke um den Mittelwert verteilt, also mit den gleichen<br />
prozentualen Anteilen der Stichprobe rechts und links vom<br />
Mittelwert. Das ist ein mathematisches Gesetz.<br />
Das können wir zu unserem Vorteil nutzen. Denn jetzt, wo<br />
wir wissen, wie viel Prozent der Werte innerhalb einer<br />
bestimmten σ-Grenze liegen werden, können wir vorhersagen,<br />
wie sich der Prozess in der Zukunft verhalten wird.<br />
Erinnern Sie sich noch an <strong>die</strong> zufällige und systematische<br />
Streuung? Wir haben gesehen, dass bei einer Normalverteilung<br />
alle systematischen Streuungen eliminiert sind und<br />
nur <strong>die</strong> zufällige Streuung eine Rolle spielt. Außerdem<br />
wissen wir, dass 99,7 % aller Werte innerhalb von 6σ (also<br />
Mittelwert ± 3σ) liegen.<br />
Damit können wir eine wichtige Annahme treffen: Auch<br />
wenn bei einer Normalverteilung 0,3 % aller Schraubwerte<br />
außerhalb der 6σ Grenzen liegen, nehmen wir einfach an,<br />
dass alle Schraubwerte außerhalb <strong>die</strong>ser Grenzen auf systematische<br />
Streuungen im Prozess zurückzuführen sind.<br />
Anders gesagt: Der Prozess selbst wird nur von zufälligen<br />
Streuungen beeinflusst und ist damit unter Kontrolle, solange<br />
<strong>die</strong> Schraubwerte innerhalb der 6–σ−Grenzen liegen.<br />
Verschraubungen außerhalb der 6–σ−Grenzen bedeuten, dass<br />
ein neuer (unbekannter) Faktor den Prozess beeinflusst und<br />
<strong>die</strong>ser – durch systematische Streuung beeinträchtigt – nicht<br />
mehr unter Kontrolle ist. Wir müssen den Grund da<strong>für</strong><br />
herausfinden und beseitigen. Die beiden Grafiken in<br />
Abblidung 6 zeigen einen Vergleich von zwei<br />
Normalverteilungen.<br />
Abbildung 5. Bei einer Normalverteilung<br />
wissen wir jederzeit,<br />
wie viel Prozent der Werte innerhalb<br />
eines bestimmten Bereichs<br />
liegen.<br />
Abbildung 6. Die beiden Grafiken in<br />
Abbildung zeigen einen Vergleich<br />
von zwei Normalverteilung<br />
TASCHENBUCH STATISTISCHE VERFAHREN FÜR DIE SCHRAUBFALLANALYSE 9
Abbildung 7. Es ist<br />
unmöglich, eine<br />
Grundgesamtheit (zum<br />
Beispiel <strong>die</strong> deutsche<br />
Bevölkerung) vollständig<br />
zu erfassen. Wir<br />
müssen uns auf eine<br />
beschränkte Anzahl<br />
Werte, eine Stichprobe<br />
oder ein „Batch“, verlassen<br />
und beziehen.<br />
2.6 Schätzung einer Normalverteilung<br />
Für eine Anzahl bei einem Schraubfall gemessener oder<br />
angezeigter Werte können wir einen Mittelwert und eine<br />
Standardabweichung berechnen. Würden wir eine unendliche<br />
Zahl von Verschraubungen messen, wären wir sicher, den<br />
Mittelwert und <strong>die</strong> Standardabweichung ganz exakt ermitteln<br />
zu können: den Mittelwert der Grundgesamtheit und <strong>die</strong><br />
Standardabweichung der Grundgesamtheit. Soweit <strong>die</strong><br />
Theorie. In der Realität ist das nicht möglich, wir müssen uns<br />
deshalb mit einer begrenzten Anzahl Verschraubungen begnügen.<br />
In der Statistik spricht man von einer Stichprobe, bei<br />
Verschraubungen sprechen wir von einer Untergruppe oder<br />
einem „Batch“. Das aber bedeutet, wir wissen nicht wirklich<br />
sicher, ob unsere Berechnungen (Mittelwert und Standardabweichung)<br />
richtig sind, da sie ja nur auf einer begrenzten<br />
Anzahl an Verschraubungen beruhen. Was wir schließlich<br />
erhalten, ist eine Schätzung der realen Werte. Je mehr Verschraubungen<br />
Grundlage unserer Berechnung sind, desto<br />
sicherer können wir sein, dem Mittelwert und der Standardabweichung<br />
der Grundgesamtheit nahe zu kommen.<br />
Der Durchschnittswert einer Verteilung ist der Mittelwert der<br />
Grundgesamtheit (griechischer Klein-Buchstabe „μ“, sprich<br />
„mü“). Die Standardabweichung σ der Grundgesamtheit gibt<br />
ihre Streuung an. Der Mittelwert μ der Grundgesamtheit wird<br />
wie folgt berechnet:<br />
Hierbei gilt:<br />
Σ – ist der griechische Groß-Buchstabe Sigma. Er wird in der<br />
Mathematik als Summenzeichen verwendet. Die Formel wird<br />
gelesen: „μ“ ist gleich der Summe <strong>für</strong> i von 1 bis n aller<br />
Messwerte x i geteilt durch n. „n“ ist <strong>die</strong> Anzahl der<br />
Messwerte.<br />
x i<br />
steht <strong>für</strong> <strong>die</strong> Werte der einzelnen Ergebnisse<br />
(Verschraubungen), und zwar <strong>die</strong> i-te Messung der<br />
Variable x.<br />
10 TASCHENBUCH STATISTISCHE VERFAHREN FÜR DIE SCHRAUBFALLANALYSE
Führen wir beispielsweise fünf Verschraubungen durch, dann<br />
wäre n = 5. Der erste gemessene Wert wäre (nur zum Beispiel)<br />
x 1 = 10 Nm, der zweite x 2 = 10,2 Nm, der dritte x 3 =<br />
9,6 Nm, der vierte x 4 = 9,8 Nm und der fünfte x 5 = 9,9 Nm.<br />
x i ist dann <strong>die</strong> Summe aller fünf Verschraubungswerte (<strong>für</strong> i<br />
gleich 1 bis 5), also 10 + 10,2 + 9,6 + 9,8 + 9,9 = 49,5 Nm.<br />
Sie wird geteilt durch <strong>die</strong> Gesamtanzahl der<br />
Verschraubungen, nämlich 5. Das Ergebnis ist der<br />
Mittelwert: μ = 49,5 : 5 = 9,9.<br />
Theoretisch wäre n als Grundgesamtheit = 82 Millionen<br />
Deutsche oder 1 Million Verschraubungen, <strong>die</strong> ein Werkzeug<br />
in einem Prozess in seinem Leben schafft.<br />
Die Standardabweichung der Grundgesamtheit (σ) wird wie<br />
folgt berechnet:<br />
∑ n i=1 (x i -μ)2 ist <strong>die</strong> Summe aller Differenzen der Messwerte<br />
zu Mittelwert. Damit sich <strong>die</strong> positiven und negativen<br />
Abweichungen vom Mittelwert nicht gegenseitig egalisieren,<br />
müssen wir noch quadrieren und anschließend aus dem<br />
Ergebnis <strong>die</strong> Wurzel ziehen. Denn wir wollen ja vergleichbare<br />
Absolutwerte erhalten (mathematisch: „Beträge“).<br />
Das heißt, Sie ad<strong>die</strong>ren wieder fünf Werte, in <strong>die</strong>sem Fall<br />
Quadratzahlen, <strong>die</strong> sich aus den fünf Messwerten – jeweils<br />
minus den Mittelwert μ – ergeben. Nun teilen wir das Ganze<br />
durch <strong>die</strong> Anzahl der Verschraubungen (im Beispiel 5, aber<br />
richtigerweise müssten wir durch „alle“ Verschraubungen<br />
teilen). Schließlich ziehen wir <strong>die</strong> Wurzel aus <strong>die</strong>sem<br />
Gesamtwert, da wir (Nm) 2 haben und Nm brauchen. So<br />
erhalten wir <strong>die</strong> Standardabweichung der Grundgesamtheit.<br />
In der Praxis ist es unrealistisch, jedes Schraubergebnis zu<br />
messen. n wäre mindestens 1 Million, was völlig unpraktikabel<br />
ist. Stattdessen nutzt man eine repräsentative<br />
Stichprobe, um den Mittelwert und <strong>die</strong> Standardabweichung<br />
der Grundgesamtheit zu bestimmen oder, genauer gesagt,<br />
sich ihm anzunähern.<br />
TASCHENBUCH STATISTISCHE VERFAHREN FÜR DIE SCHRAUBFALLANALYSE 11
2.7 Mittelwert und Standardabweichung der<br />
Stichprobe<br />
Der Mittelwert der Stichprobe wird mit bezeichnet (ausgesprochen:<br />
,,x quer”) und genauso berechnet wie der<br />
Mittelwert der Grundgesamtheit (μ):<br />
Die Standardabweichung einer Stichprobe wird mit dem<br />
Buchstaben s gekennzeichnet und weicht leicht von der<br />
Standardabweichung der Grundgesamtheit (σ) ab:<br />
Hierbei gilt:<br />
x i<br />
ist der Wert des i-ten Ergebnisses in der<br />
Stichprobe.<br />
n ist <strong>die</strong> Gesamtzahl der Ergebnisse in der<br />
Stichprobe.<br />
ist analog zur Berechnung von σ (Sigma)<br />
wieder <strong>die</strong> Summe der Quadrate der<br />
Differenzen zum Mittelwert.<br />
Die Verwendung von n-1 anstelle von n ergibt eine genauere<br />
Schätzung der Standardabweichung der Grundgesamtheit<br />
und ist besonders wichtig, wenn mit kleinen<br />
Stichprobengrößen gearbeitet wird. Wieso das so ist, hat mit<br />
den tieferen Abgründen der Statistik zu tun, soll hier aber<br />
nicht erklärt werden.<br />
Denken Sie immer daran, dass wir niemals <strong>die</strong> gesamte<br />
Grundgesamtheit <strong>für</strong> unsere Berechnungen verwenden können<br />
– das ist unmöglich. Wir müssen kleinere Stichproben<br />
verwenden und Schätzwerte des wahren Mittelwerts und der<br />
wahren Standardabweichung berechnen.<br />
Somit ist der Mittelwert der Stichprobe ( ) eine Schätzung<br />
des Mittelwerts der Grundgesamtheit (μ).<br />
Die Standardabweichung der Stichprobe (s) ist eine Schätzung<br />
der Standardabweichung der Grundgesamtheit (σ).<br />
12 TASCHENBUCH STATISTISCHE VERFAHREN FÜR DIE SCHRAUBFALLANALYSE
3. Genauigkeitsanforderungen<br />
In der Schraubmontage werden häufig bestimmte<br />
Genauigkeitsanforderungen an <strong>die</strong> Schraubwerkzeuge gestellt.<br />
Diese werden als Soll-Drehmoment sowie einer maximal<br />
akzeptablen Abweichung vom Soll-Wert, zum Beispiel<br />
± 10 %, angegeben. Die Genauigkeit eines<br />
Schraubwerkzeugs wird in der Regel berechnet aus 50 % der<br />
natürlichen Streuung (<strong>die</strong> sich aus dem zuvor Gesagten zu 3σ<br />
ergibt) geteilt durch den Soll-Wert. So lassen sich verschiedene<br />
Werkzeuge bei einem bestimmten Soll-Wert miteinander<br />
vergleichen, ohne Bezug auf einem bestimmten<br />
Schraubfall zu nehmen (Toleranzen). Wie im nächsten<br />
Kapitel dargestellt, sind <strong>die</strong> Berechnungen der Genauigkeit<br />
den Berechnungen der Prozess- und Maschinenfähigkeit oder<br />
Eignung ähnlich (bei Genauigkeitsberechnungen wird <strong>die</strong><br />
natürliche Streuung mit dem Mittelwert verglichen, bei<br />
Eignungsberechnungen <strong>die</strong> natürliche Streuung mit den<br />
Toleranzvorgaben des Schraubfalls).<br />
Liegen <strong>die</strong> Genauigkeitsanforderungen beispielsweise bei<br />
40 Nm ± 10 %, muss sicher sein, dass 3 σ kleiner als 4 Nm<br />
(10 % von 40 Nm) sind beziehungsweise „100 · 3σ /<br />
Durchschnitt“ unter 10 % liegt. Wenn wir das Werkzeug testen<br />
und auf einen Mittelwert von 40 Nm und eine Standardabweichung<br />
von 1,2 Nm kommen, dann beträgt <strong>die</strong> Genauigkeit<br />
(3 · 1,2 / 40) = 3,6 / 40 = 0,09 = 9 %. Das Werkzeug ist<br />
also genau genug <strong>für</strong> <strong>die</strong>sen Schraubfall.<br />
3.1 Mittelwertversatz und kombinierte Streuung<br />
Mittelwertversatz tritt auf, wenn man ein und dasselbe<br />
Schraubwerkzeug <strong>für</strong> harte und weiche Verbindungen verwendet.<br />
Man wird dann mit hoher Wahrscheinlichkeit zwei<br />
unterschiedliche Mittelwerte erhalten (einen höheren bei harten<br />
Verbindungen) mit zwei unterschiedlichen Verteilungen.<br />
Die Differenz zwischen <strong>die</strong>sen beiden Mittelwerten ist der<br />
Mittelwertversatz. Ähnlich wie bei der Normalverteilung<br />
suchen wir jetzt <strong>die</strong> Grenzen, innerhalb derer das Ziel-<br />
Drehmoment mit 99,7 % Wahrscheinlichkeit liegt, bei harten<br />
wie weichen Verbindungen. Das ist <strong>die</strong> kombinierte<br />
Streuung, <strong>die</strong> 6σ bei der Normalverteilung entspricht. Sobald<br />
wir <strong>die</strong> kombinierte Streuung ermittelt haben, können wir sie<br />
zum kombinierten Mittelwert in Beziehung setzen. Die sich<br />
daraus ergebende Größe wird als „Genauigkeit“ bezeichnet.<br />
Mittelwweich<br />
–3sweich<br />
TASCHENBUCH STATISTISCHE VERFAHREN FÜR DIE SCHRAUBFALLANALYSE 13<br />
Drehmoment<br />
Abbildung 8. Der Mittelwertversatz<br />
ist <strong>die</strong> Differenz zwischen den<br />
Mittelwerten bei harten und weichen<br />
Verbindungen.<br />
Abbildung 9. Kombinierter<br />
Mittelwert und kombinierte<br />
Streuung.<br />
Mittelwhart<br />
+3shart
Als Formel sieht das so aus:<br />
Genauigkeit = 100 · 0,5 ((Mittelwert hart + 3σ hart) –<br />
(Mittelwert weich – 3σ weich)) / Mittelwert<br />
Hierbei gilt:<br />
Mittelwert = (Mittelwert weich + Mittelwert hart) / 2<br />
Dieser Wert wird als „kombinierter Mittelwert“ bezeichnet.<br />
Diese Gleichung gilt zwar in der Regel, doch wir können<br />
nicht sicher sein, dass <strong>die</strong> Verteilung wirklich so aussieht. So<br />
können wir beispielsweise auch einen negativen Mittelwertversatz<br />
erhalten. Wir müssen dann überprüfen, wo <strong>die</strong><br />
äußersten Grenzen liegen.<br />
Die entsprechende Formel sieht so aus:<br />
Genauigkeit = 100 · 0,5 Abweichung / Mittelwert<br />
Hierbei gilt:<br />
Abweichung = max (Mittelwert hart + 3σ hart, Mittelwert weich +<br />
3σ weich) – min (Mittelwert weich – 3σ weich, Mittelwert hart – 3σ hart)<br />
Kombinierter Mittelwert = (Mittelwert weich + Mittelwert hart)/2<br />
3.2 Beispiel<br />
Angenommen, Messungen an einer harten Verbindung (30°<br />
Drehwinkel bis zum Endmoment) und einer weichen<br />
Verbindung (800° Drehwinkel bis zum Endmoment) hätten<br />
<strong>die</strong> folgenden Daten ergeben:<br />
Harte Verbindung: Mittelwert = 61 Nm und σ = 1,2 Nm<br />
Weiche Verbindung: Mittelwert = 60,2 Nm und σ = 1,0 Nm<br />
Dann wäre:<br />
Abweichung = max (61 + 3 · 1,2; 60,2 + 3 · 1,0) – min<br />
(61 – 3 · 1,2; 60,2 – 3 · 1,0) = 7,4 Nm<br />
Mittelwert = (61 + 60,2) / 2 = 60,6 Nm<br />
Genauigkeit = 100 · 0,5 · 7,4 / 60,6 = 6,1 %<br />
14 TASCHENBUCH STATISTISCHE VERFAHREN FÜR DIE SCHRAUBFALLANALYSE
Erläuterung: Bei der Abweichungsformel wird vom Maximalwert<br />
der ersten Klammer (in der zwei Werte berechnet<br />
werden: 61 + 3·1,2 = 64,6 sowie 60,2 + 3 · 1,0 = 63,2) der<br />
Minimalwert aus der zweiten abgezogen. „max“ in der ersten<br />
Klammer wäre also 64,6, „min“ in der zweiten, wie Sie<br />
errechnen können, 57,2.<br />
Aus folgenden Gründen ist es schwierig, <strong>die</strong> Genauigkeit<br />
von Werkzeugen abzuschätzen:<br />
• Unterschiedliche Genauigkeit bei harten, weichen und<br />
kombinierten Schraubfällen.<br />
• Unterschiedliche Genauigkeit, je nachdem, ob das Werkzeug<br />
im oberen oder im unteren Drehmomentbereich<br />
(seiner Möglichkeiten) eingesetzt wird.<br />
TASCHENBUCH STATISTISCHE VERFAHREN FÜR DIE SCHRAUBFALLANALYSE 15
Abbildung 10. Ein Prozess ist eine<br />
Reihe von Arbeitsabläufen, <strong>die</strong><br />
darauf ausgerichtet sind, ein spezifisches<br />
Produkt <strong>für</strong> einen<br />
bestimmten Kunden oder Markt<br />
herzustellen.<br />
Abbildung 11. Die industrielle<br />
Produktion ist ein operativer<br />
Prozess. Zahlreiche Faktoren tragen<br />
zur Streuung im Prozess bei.<br />
4. Prozesse verstehen<br />
Jedes Unternehmen stellt etwas her; das können Produkte oder<br />
Dienstleistungen sein, und es kann auf vielerlei Arten geschehen.<br />
Allen Unternehmen ist gemeinsam, dass sie mit bestimmten<br />
<strong>Verfahren</strong> und Arbeitsweisen arbeiten. Ein Prozess ist in<br />
<strong>die</strong>sem Zusammenhang schlicht eine strukturierte Reihe von<br />
Arbeitsabläufen, <strong>die</strong> darauf ausgerichtet sind, ein spezifisches<br />
Produkt <strong>für</strong> einen bestimmten Kunden oder Markt anzufertigen.<br />
Der Prozess hat einen Anfang und ein Ende sowie klar<br />
definierte Mittel und Ergebnisse. Er legt also fest, wie <strong>die</strong><br />
Arbeit zu machen ist und umfasst in der Regel eine Reihe zu<br />
wiederholender Tätigkeiten. Das Ziel ist <strong>die</strong> (maximale)<br />
Wertschöpfung <strong>für</strong> den Kunden. Darum kommt es schon bei<br />
der Planung eines Prozesses darauf an, sich auf den Standpunkt<br />
des Kunden zu stellen. Wer in Prozessen denkt, denkt<br />
auch in Größen wie Kosten, Zeit, Produktqualität und<br />
Kundenzufriedenheit. All <strong>die</strong>se Größen sind messbar und<br />
können verbessert werden.<br />
Beispielsweise ist eine Fertigungslinie in einem modernen<br />
Automobilwerk ein typischer „operativer Prozess“. Das heißt,<br />
<strong>für</strong> den Käufer des Wagens wird ein Wert geschaffen. Entlang<br />
der Linie montiert man <strong>die</strong> Autos mit unterschiedlichen<br />
Schraubwerkzeugen, alle mit unterschiedlicher Funktionalität,<br />
Leistung und Zuverlässigkeit. Im Montageprozess gibt es<br />
zahlreiche Faktoren, <strong>die</strong> das Ergebnis der Verschraubungen<br />
beeinflussen. Die Werker, <strong>die</strong> Schrauben, <strong>die</strong> Gewinde und<br />
viele weitere Dinge haben Einfluss auf <strong>die</strong> Verschraubungen.<br />
Das alles trägt zu Streuungen im Gesamtprozess bei. (Erinnern<br />
Sie sich an <strong>die</strong> Ausführungen über Streuungen in Kapitel 2!)<br />
Die Größen, mit denen sich <strong>die</strong> Leistung von Schraubwerkzeugen<br />
messen lässt, sind das Drehmoment und manchmal der<br />
Drehwinkel. Mit Hilfe statistischer Kennzahlen kann man <strong>die</strong><br />
Effizienz der Prozesse (Schraubvorgänge) analysieren und den<br />
Montageprozess überwachen, steuern und verbessern.<br />
Langfristig bedeutet das genauere Verschraubungen, bessere<br />
und sicherere Autos sowie mehr Wert <strong>für</strong> <strong>die</strong> Kunden.<br />
16 TASCHENBUCH STATISTISCHE VERFAHREN FÜR DIE SCHRAUBFALLANALYSE
5. Prozess- und<br />
Maschinenfähigkeit<br />
Wir haben uns bereits mit Statistik und Genauigkeit befasst.<br />
Die Genauigkeit eines Werkzeugs sagt etwas über seine<br />
Leistung, aber das ist nicht genug. Für den Anwender ist<br />
wichtig, was ein Werkzeug an der Produktionslinie leistet.<br />
Wir müssen also <strong>die</strong> Genauigkeit des Werkzeugs in Beziehung<br />
setzen zu den Anforderungen des Anwendungsfalls.<br />
Jeder Schraubfall hat einen Soll-Wert, aber auch eine gewisse<br />
Toleranz, <strong>die</strong> <strong>für</strong> den Anwender akzeptabel ist. Durch Vergleich<br />
des Mittelwertes und der Standardabweichung mit<br />
dem Soll-Wert und den Toleranzgrenzen des Schraubfalls<br />
können wir angeben, was ein Werkzeug in <strong>die</strong>sem Anwendungsfall<br />
leistet. Für <strong>die</strong>se Angaben gibt es so genannte<br />
Eignungsindizes (Maschinenfähigkeitsindex und Prozessfähigkeitsindex).<br />
Die Indizes sind teils recht einfach, teils schwieriger zu verstehen.<br />
In <strong>die</strong>sem Taschenbuch behandeln wir <strong>die</strong> gängigsten<br />
Werte, mit denen Anwender von Montagewerkzeugen am<br />
häufigsten zu tun haben.<br />
Im Gegensatz zur Maschinenfähigkeit (siehe 5.4) muss der<br />
Nachweis der Prozessfähigkeit über einen längeren Zeitraum<br />
erfolgen. Aus einem laufenden Prozess werden in festgelegten<br />
Abständen Stichproben entnommen und Qualitätsmerkmale<br />
erfasst (gemessen). In <strong>die</strong> Prozessfähigkeit gehen <strong>die</strong><br />
Einflüsse der Maschinen, des Materials und der Be<strong>die</strong>ner ein.<br />
Der Koeffizient C p (siehe Kapitel 5.1) gibt <strong>die</strong> prinzipielle<br />
Fähigkeit des betrachteten Prozesses wieder. In der Praxis<br />
wird häufig der kritische Prozessfähigkeitskoeffizient C pk<br />
verlangt. Hier werden systematische Fehler des Prozesses,<br />
wie etwa Abweichungen des Arbeitspunkt vom Sollwert, mit<br />
berücksichtigt.<br />
Wie wir wissen, ist eine Normalverteilung durch ihren<br />
Mittelwert und ihre Standardabweichung definiert. Und wir<br />
erinnern uns an <strong>die</strong> Annahme, dass, wenn der Prozess unter<br />
Kontrolle ist, alle Werte innerhalb der 6σ -Grenzen liegen<br />
(wenngleich das nur <strong>für</strong> 99,7 % zutrifft). Dies wird als natürliche<br />
Prozessstreuung bezeichnet.<br />
TASCHENBUCH STATISTISCHE VERFAHREN FÜR DIE SCHRAUBFALLANALYSE 17
Abbildung 12. Bei der<br />
Berechnung des C p -Wertes bezieht<br />
sich das Toleranzintervall<br />
auf 6σ.<br />
Abbildung 13. Ein hoher C p ist<br />
keine Garantie da<strong>für</strong>, dass <strong>die</strong><br />
Schraubergebnisse nahe am<br />
Soll-Wert liegen.<br />
5.1 C p<br />
Der erste und am häufigsten benutzte Index C p steht <strong>für</strong> <strong>die</strong><br />
Prozessfähigkeit. Die Formel <strong>für</strong> den C p-Wert lautet:<br />
Cp = Toleranzintervall = Maximal erlaubter Wert – Minimalwert<br />
6σ 6σ<br />
Diese Formel setzt einfach das Toleranzintervall<br />
(Maximalwert – Minimalwert) in Bezug zur natürlichen<br />
Prozessstreuung. Bei einem Werkzeug mit einer großen<br />
Streuung und einem Anwendungsfall mit sehr hohen Anforderungen<br />
(engen Toleranzgrenzen) erhalten wir einen<br />
niedrigen C p-Wert. Umgekehrt bekommen wir bei einem<br />
Werkzeug mit einer sehr kleinen Streuung (kleines σ<br />
(Sigma)), aber sehr weiten Toleranzgrenzen, einen hohen C p.<br />
Das ist natürlich wünschenswert, denn je kleiner <strong>die</strong><br />
Streuung im Vergleich zu den Toleranzgrenzen ist, desto kleiner<br />
ist das Risiko, dass Verschraubungen außerhalb des<br />
Toleranzbereiche vorkommen. Die Anforderungen an den C p<br />
variieren. In der Regel soll C p größer als 1,33 sein. Das bedeutet,<br />
das Sechsfache der Standardabweichung deckt nicht<br />
mehr als 75 % des Toleranzintervalls ab.<br />
Dennoch reicht uns das nicht, um auszusagen, ob sich ein<br />
Werkzeug gut oder schlecht <strong>für</strong> einen bestimmten Anwendungsfall<br />
eignet. Denn C p berücksichtigt nicht, ob der Mittelwert<br />
der Verteilung nahe am Soll-Wert liegt oder nicht.<br />
Dieser Index garantiert nicht, dass sich <strong>die</strong> Verteilung auch<br />
innerhalb des Toleranzintervalls befindet. In Abbildung 13 ist<br />
ein und dasselbe Werkzeug im gleichen Anwendungsfall dargestellt,<br />
vor und nach der Drehmomentkalibrierung. In beiden<br />
Fällen erhalten wir denselben C p. Doch selbst wenn <strong>die</strong><br />
Streuung im Vergleich zum Toleranzintervall klein ist (hoher<br />
C p), können wir den Soll-Wert verfehlen, weil <strong>die</strong> Schraubwerte<br />
außerhalb der Toleranzgrenzen liegen. Wir benötigen<br />
also noch ein weiteres Kriterium, das auch <strong>die</strong> relative<br />
Verteilung zum Soll-Wert widerspiegelt.<br />
18 TASCHENBUCH STATISTISCHE VERFAHREN FÜR DIE SCHRAUBFALLANALYSE
5.2 C pk<br />
Der Cpk–Wert setzt ebenfalls den Mittelwert der Verteilung in<br />
Beziehung zum Soll-Wert des Anwendungsfalls. Man erhält<br />
<strong>die</strong>sen Indexwert, indem man Verteilung und Anwendungsfall<br />
trennt und <strong>für</strong> jede Seite eine eigene Berechnung<br />
durchführt. Die Formel sieht so aus:<br />
C pk = min [(Maximalwert – Mittelwert) / 3σ ,<br />
(Mittelwert – Minimalwert) / 3σ]<br />
Das vorangestellte „min“ heißt: Man nehme den kleineren<br />
Wert der beiden in der Klammer zu errechnenden Beträge.<br />
Maximal- und Minimalwert sind <strong>die</strong> erlaubten Ober- und<br />
Untergrenzen der Schraubwerte.<br />
Zunächst teilen wir <strong>die</strong> Differenz zwischen der oberen<br />
Toleranzgrenze und dem Mittelwert durch <strong>die</strong> Hälfte der<br />
natürlichen Streuung (3σ). In einer zweiten Berechnung teilen<br />
wir <strong>die</strong> Differenz zwischen dem Mittelwert und der unteren<br />
Toleranzgrenze durch 3σ. Nun liegen uns zwei wahrscheinlich<br />
unterschiedliche Werte vor. Der niedrigere von<br />
beiden ist nun der C pk-Wert.<br />
Wenn der Mittelwert größer ist als der Soll-Wert, dann ist <strong>die</strong><br />
Differenz zwischen der oberen Toleranzgrenze und dem<br />
Mittelwert kleiner als <strong>die</strong> Differenz zwischen dem<br />
Mittelwert und der unteren Toleranzgrenze. In <strong>die</strong>sem Fall<br />
ergibt <strong>die</strong> „obere Berechnung“ den C pk, weil wir näher an der<br />
oberen Toleranzgrenze liegen.<br />
Was passiert mit dem C pk, wenn wir genau auf dem Soll-<br />
Wert liegen? Nun, in <strong>die</strong>sem Fall sind wir genauso nah an<br />
der oberen Toleranzgrenze wie an der unteren, und beide<br />
Rechnungen kommen zum selben Resultat.<br />
In <strong>die</strong>sem Fall hat der C pk denselben Wert wie der C p.<br />
Schlechter<br />
C pk<br />
Guter<br />
Abbildung 14. Bei der Berechnung<br />
des C pk –Wertes wird auch<br />
der Soll-Wert berücksichtigt.<br />
Abbildung 15. Das Verhältnis<br />
zwischen C p und C pk .<br />
Schlechter C p Guter<br />
Keine Prozessfähigkeit. Prozessfähigkeit, aber<br />
Wechseln Sie das Werk- Mittelwert muss kalizeug<br />
oder kalibrieren sie briert werden.<br />
es, um eine bessere<br />
Genauigkeit zu erzielen.<br />
Nicht möglich. Prozessfähigkeit und<br />
gut kalibriert.<br />
TASCHENBUCH STATISTISCHE VERFAHREN FÜR DIE SCHRAUBFALLANALYSE 19
Damit haben wir <strong>die</strong> Indizes Cp und Cp k eingeführt. Sieht<br />
man sich <strong>die</strong> Formeln an, erkennt man, dass der C p lediglich<br />
das Toleranzintervall in Beziehung zum Prozess-6-σ setzt.<br />
Der C pk hingegen berücksichtigt auch den Soll-Wert. Wir<br />
wollen, dass sowohl der C p als auch der C pk größer als 1,33<br />
sind. Deckt sich unser Mittelwert genau mit dem Soll-Wert,<br />
sind der C p und der C pk gleich. Je weiter wir vom Soll-Wert<br />
entfernt sind, desto größer ist <strong>die</strong> Differenz zwischen C p und<br />
C pk. Offensichtlich kann der C pk niemals höher als der C p<br />
sein.<br />
5.3 Wie erreicht man Prozessfähigkeit?<br />
Die Frage „Wie gut ist geeignet?“ ist noch immer nicht definitiv<br />
beantwortet. Ein C p-Wert von 1,33 hat sich als allgemein<br />
akzeptiertes Kriterium <strong>für</strong> <strong>die</strong> untere Grenze herauskristallisiert.<br />
Beim C pk variieren <strong>die</strong> Anforderungen. Üblicherweise<br />
sollte der C pk größer als 1,33 sein. Bei einem C pk unter<br />
1,00 ist keine Prozessfähigkeit gegeben.<br />
Es ist sehr wichtig, zu verstehen, warum wir sowohl den C pals<br />
auch den C pk-Wert verwenden. Nehmen wir nur den C p-<br />
Wert, wissen wir nicht, ob wir im Soll liegen oder nicht.<br />
Verwenden wir nur den C pk-Wert, können wir nicht wissen,<br />
ob ein guter oder schlechter C pk-Wert an der Zentrierung des<br />
Prozesses oder an der Streuung liegt. Darum müssen wir<br />
beide Werte nutzen. Zusammen geben sie eine gute<br />
Orientierung, wie gut sich ein Werkzeug in einem bestimmten<br />
Anwendungsfall verhält. Beide Indizes zusammen bieten<br />
außerdem <strong>die</strong> Möglichkeit, verschiedene Werkzeuge miteinander<br />
zu vergleichen.<br />
Betrachten Sie einmal <strong>die</strong> Zielscheiben in Abbildung 16. Die<br />
linke Zielscheibe zeigt einen schlecht zentrierten Prozess,<br />
aber mit geringer Streuung (hoher Genauigkeit). In <strong>die</strong>sem<br />
Fall ist der C p hoch und der C pk niedrig. Auf der mittleren<br />
Zielscheibe sind <strong>die</strong> Pfeile zufällig um das Ziel verteilt, <strong>die</strong><br />
Streuung ist ziemlich groß im Verhältnis zu den Toleranzen.<br />
Der C p ist vermutlich nicht so gut, aber wenn der „Mittelwert“<br />
im Soll liegt, hat der C pk denselben Wert wie der C p.<br />
Die rechte Zielscheibe zeigt einen gut zentrierten Prozess mit<br />
hoher Genauigkeit. Das heißt, dass sowohl der C p als auch<br />
der C pk hoch sind. In <strong>die</strong>sem Fall sprechen wir von<br />
Prozessfähigkeit.<br />
20 TASCHENBUCH STATISTISCHE VERFAHREN FÜR DIE SCHRAUBFALLANALYSE
Beispiel:<br />
Eine Verschraubung soll mit 70 Nm ± 10 % angezogen werden.<br />
Die obere Toleranzgrenze liegt also bei 77 Nm, <strong>die</strong><br />
untere bei 63 Nm. Ein Werkzeug wird getestet, und es ergeben<br />
sich ein Mittelwert von 71 Nm und ein σ von 1,2 Nm.<br />
C p = (77 - 63) / 6 · 1,2 = 1,95<br />
C pk = min [(77 - 71) / (3 · 1,2) ,<br />
(71 - 63) / (3 · 1,2)] = min [ 1,67, 2,22 ] = 1,67<br />
Sowohl <strong>die</strong> Cp- als auch <strong>die</strong> Cpk-Werte sind größer als 1,33.<br />
Prozessfähigkeit ist gegeben und es braucht nicht nachkalibriert<br />
zu werden.<br />
5.4 Maschinenfähigkeitsindizes<br />
Wie wir nun wissen, sind C p und C pk Prozessfähigkeitsindizes.<br />
Alles, was den Prozess beeinflusst, wirkt sich auf<br />
<strong>die</strong>se Indizes aus. Aber wenn wir <strong>die</strong> ganze Streuung weglassen,<br />
<strong>die</strong> den Montageprozess betrifft, außer der Streuung<br />
durch das Werkzeug selbst, bekommen wir <strong>die</strong> so genannten<br />
Maschinenfähigkeitsindizes C m und C mk. Das geht nur unter<br />
stark kontrollierten Bedingungen, am besten in einem<br />
Schraublabor. Derartige Tests sollten dabei an derselben<br />
Verschraubung und von demselben Werker durchgeführt werden<br />
(oder, noch besser, Sie spannen das Werkzeug in einer<br />
Vorrichtung ein, um jeden Einfluss durch den Be<strong>die</strong>ner auszuschalten).<br />
Die Berechnungen verlaufen <strong>für</strong> Cm analog wie<br />
<strong>für</strong> C m, ebenso <strong>für</strong> C mk und C pk.<br />
C p und C pk geben also an, ob Prozessfähigkeit besteht. C m<br />
und C mk geben an, ob <strong>die</strong> Maschine (also das Schraubwerkzeug)<br />
<strong>für</strong> <strong>die</strong> Anwendung geeignet ist.<br />
Abbildung 16.<br />
Linke Zielscheibe: hoher C p und<br />
niedriger C pk .<br />
Mittlere Zielscheibe: niedriger C p<br />
und niedriger C pk .<br />
Rechte Zielscheibe: hoher C p und<br />
hoher C pk .<br />
TASCHENBUCH STATISTISCHE VERFAHREN FÜR DIE SCHRAUBFALLANALYSE 21
5.5 Was ist sonst noch zu beachten?<br />
Wenn Sie <strong>die</strong> Eignung eines Werkzeugs analysieren, ist <strong>die</strong><br />
Stichprobengröße von großer Bedeutung, um zuverlässige<br />
Berechnungen des Mittelwerts und der Standardabweichung<br />
zu erhalten. Eine Stichprobengröße von mindestens 25 ist<br />
dringend zu empfehlen.<br />
Und merken Sie auf, wenn jemand behauptet: „Ich habe ein<br />
Werkzeug, das jederzeit eine C pk-Anforderung von 2,0 erfüllen<br />
kann.“ Dann gibt es zwei Möglichkeiten:<br />
1. Er weiß nicht, wovon er redet. Denn es ist sinnlos, über<br />
Eignungsindizes zu reden, ohne <strong>die</strong> Werkzeugleistung zu<br />
den Anforderungen des Kunden (Toleranzgrenzen) in<br />
Bezug zu setzen.<br />
2. Er weiß, wovon er redet, und versucht, das Werkzeug<br />
besser darzustellen als es ist.<br />
22 TASCHENBUCH STATISTISCHE VERFAHREN FÜR DIE SCHRAUBFALLANALYSE
6. Qualitätsregelkarten<br />
Wir haben uns mit Statistik und Genauigkeit sowie mit<br />
Prozessen und Eignungsuntersuchungen befasst. Nun werden<br />
wir etwas über Qualitätsregelkarten und Prüfdiagramme lernen.<br />
Wichtige Elemente zu deren Verständnis sind statistische<br />
Kennzahlen, Werkzeugleistung und Produktionsumgebung<br />
(Prozessstreuung).<br />
Qualitätsregelkarten sind wichtige Hilfsmittel der statistischen<br />
Prozesskontrolle (SPC). Das Konzept besteht darin, in<br />
bestimmten Abständen immer wieder eine Reihe von<br />
Beobachtungen (Stichproben) aus dem Prozess einzuholen.<br />
Mit Hilfe <strong>die</strong>ser Beobachtungen (Messungen) wird eine Art<br />
Qualitätsindikator berechnet und in einem Diagramm abgebildet.<br />
Der normalerweise in der Schraubmontage verwendete<br />
Indikator ist der Mittelwert der Untergruppe und/oder der<br />
Untergruppenbereich.<br />
Erinnern Sie sich noch an den Unterschied zwischen systematischer<br />
und zufälliger Streuung? Wenn nicht, blättern Sie<br />
bitte zurück und lesen Sie <strong>die</strong>sen Abschnitt noch einmal,<br />
denn <strong>die</strong>ser Unterschied ist sehr wichtig. Wenn der abgebildete<br />
Qualitätsindikator innerhalb der 6-σ-Grenzen liegt, sprechen<br />
wir davon, dass der Prozess unter statistischer Kontrolle<br />
ist und nur <strong>die</strong> Zufallsstreuung <strong>die</strong> Schraubvorgänge beeinflusst.<br />
Wenn <strong>die</strong>se Grenzen bei Qualitätsregelkarten angewandt<br />
werden, heißen sie Prüfgrenzen. Es gibt auch ein „Idealniveau“,<br />
einen zwischen den Prüfgrenzen markierten Soll-<br />
Wert, der natürlich der gleiche sein sollte wie unser Soll-Wert<br />
<strong>für</strong> den Montageprozess. Wenn systematische Streuung im<br />
Prozess auftritt, kann sie <strong>die</strong> Schraubvorgänge auf unterschiedliche<br />
Weise beeinflussen, und zwar den Mittelwert,<br />
<strong>die</strong> Streuung oder beide.<br />
Qualitätsregelkarten müssen folgenden Anforderungen<br />
genügen:<br />
• Man sollte systematische Veränderungen im Prozess<br />
schnell aufspüren und <strong>die</strong> Gründe <strong>für</strong> <strong>die</strong> Abweichungen<br />
ermitteln können.<br />
• Sie sollten benutzerfreundlich sein.<br />
TASCHENBUCH STATISTISCHE VERFAHREN FÜR DIE SCHRAUBFALLANALYSE 23
OPG<br />
Abbildung 17. Für Qualitätsregelkarten<br />
führen wir<br />
im Prozess eine Anzahl von<br />
Messungen durch, eine<br />
Untergruppe, und bilden <strong>die</strong><br />
Durchschnittswerte in<br />
einem Diagramm ab.<br />
• Die Wahrscheinlichkeit <strong>für</strong> einen „Fehlalarm“ sollte sehr<br />
gering sein (wenn 6-σ-Grenzen als Prüfgrenzen <strong>die</strong>nen,<br />
liegt <strong>die</strong> Wahrscheinlichkeit bei 0,3 %).<br />
• Man sollte erkennen können, wann eine Veränderung<br />
begonnen hat, den Prozess zu beeinflussen.<br />
• Es sollte sicher sein, dass der Prozess unter Kontrolle war.<br />
• Die Qualitätsregelkarten sollten motivieren und ständig<br />
Aufmerksamkeit auf Abweichungen im Prozess und bei<br />
allen qualitätsbezogenen Aspekten lenken.<br />
6.1 – Diagramme<br />
Zunächst stellen wir eine Qualitätsregelkarte zur Kontrolle<br />
des Durchschnittsniveaus (Mittelwert) einer bestimmten<br />
Einheit vor. Dabei kann es sich um den Durchmesser einer<br />
Schraube oder um das aufgebrachte Drehmoment handeln.<br />
Auf <strong>die</strong>ser so genannten -Karte (sprich: „x quer“, siehe<br />
auch Kapitel 2.7) wird der Durchschnitt der Beobachtungen<br />
(Messungen) in einem entsprechenden Diagramm abgebildet.<br />
Dazu wird in vorgegebenen Intervallen eine Anzahl von<br />
Messungen, eine Untergruppe, aus dem Prozess eingeholt.<br />
Anschließend wird der Mittelwert <strong>für</strong> jede Untergruppe<br />
berechnet. Dieser Wert <strong>die</strong>nt uns als Qualitätsindikator.<br />
Wir wissen, dass wir Schraubfälle mit einer Normalverteilung<br />
beschreiben können und uns der Mittelwert und <strong>die</strong><br />
Standardabweichung dabei helfen. Wir wissen auch, dass alle<br />
Prozesse wegen unterschiedlicher Abweichungen über <strong>die</strong><br />
Zeit streuen (beispielsweise durch Materialunterschiede,<br />
Be<strong>die</strong>nereinfluss usw.). Die 6-σ-Grenze ermöglicht es uns, zu<br />
erkennen, ob <strong>die</strong> Prozessstreuung auf zufällige oder besondere<br />
Ursachen zurückzuführen ist. (Die Prüfgrenzen basieren<br />
normalerweise auf 6σ, der natürlichen Prozessstreuung.) Das<br />
Erstellen von -Karten ist ganz einfach. Dazu wird <strong>die</strong> relevante<br />
Variable (in unserem Fall das Drehmoment oder der<br />
Drehwinkel) in regelmäßigen Abständen (zum Beispiel einmal<br />
pro Stunde oder einmal am Tag) gemessen, wobei in der<br />
Regel jedes Mal eine Gruppe von fünf aufeinander folgenden<br />
Messwerten abgelesen wird.<br />
Wenn <strong>die</strong> Prüfgrenzen gesetzt sind, können <strong>die</strong> -Werte<br />
jeder Gruppe von Messwerten auf <strong>die</strong> Karten übertragen werden.<br />
Ist der Montageprozess unter Kontrolle (das heißt, ausschließlich<br />
zufällige Streuung beeinflusst den Schraubprozess),<br />
streuen <strong>die</strong> Mittelwerte der Untergruppen zufällig<br />
um den Gesamt-Mittelwert .<br />
24 TASCHENBUCH STATISTISCHE VERFAHREN FÜR DIE SCHRAUBFALLANALYSE
6.2 Die Untergruppe<br />
Nehmen wir einmal an, dass <strong>die</strong> Qualitätsvariable (in unserem<br />
Fall <strong>die</strong> Verschraubungen), <strong>die</strong> wir überwachen wollen,<br />
den Mittelwert μ und <strong>die</strong> Standardabweichung σ hat, wenn<br />
der Prozess unter Kontrolle ist. Unser Qualitätsindikator ist<br />
der Mittelwert der Untergruppe, . Im Idealfall haben <strong>die</strong><br />
einzelnen Messungen und <strong>die</strong> Mittelwerte der Untergruppe<br />
denselben Mittelwert (siehe Abbildung 18). Aber es lässt sich<br />
auch erkennen, dass <strong>die</strong> Streuung σ zwischen den einzelnen<br />
Messwerten größer ist als zwischen den Mittelwerten der<br />
Untergruppen, <strong>die</strong> ja σ/√ n ist, wobei n <strong>für</strong> <strong>die</strong> Anzahl der<br />
Messwerte in jeder Untergruppe steht. Damit ist <strong>die</strong><br />
Wahrscheinlichkeit, eine Abweichung von μ zu erkennen,<br />
größer, wenn wir Untergruppen anstelle einzelner Messwerte<br />
untersuchen. Dementsprechend werden <strong>die</strong> Prüfgrenzen (PG)<br />
normalerweise wie folgt gesetzt (<strong>die</strong> 6-σ-Grenzen der Untergruppe):<br />
Obere PG = μ + 3σ/√n<br />
Untere PG = μ – 3σ/√n<br />
Geschätzt:<br />
Obere PG =<br />
Untere PG =<br />
x + 3s/<br />
x – 3s/<br />
Dabei ist der Mittelwert der Mittelwerte der Untergruppen.<br />
Aber wie groß muss eine Untergruppe sein? In Abbildung 19<br />
erkennt man, dass <strong>die</strong> Standardabweichung nicht mehr sehr<br />
stark abnimmt, wenn <strong>die</strong> Untergruppengröße (n) mehr als 4<br />
oder 5 beträgt. Das erklärt, warum normalerweise 4, 5 oder 6<br />
als Größen <strong>für</strong> Untergruppen gewählt werden. Traditionell ist<br />
eine Untergruppengröße von 5 verbreitet.<br />
Abbildung 19. In der Industrie ist eine Untergruppengröße von 5 üblich.<br />
Abbildung 18. Die Streuung<br />
zwischen den einzelnen<br />
Messwerten ist größer als<br />
zwischen den Mittelwerten der<br />
Untergruppe.<br />
TASCHENBUCH STATISTISCHE VERFAHREN FÜR DIE SCHRAUBFALLANALYSE 25
Abbildung 20.<br />
Beispiele, wie Qualitätsregelkarten<br />
aussehen können, wenn sich<br />
systematische Abweichungen in<br />
den Prozess einschleichen.<br />
6.3 Alarmsignale<br />
Nun kommt etwas Interessantes: Was passiert, wenn etwas<br />
außer den zufälligen Streuungen beginnt, den Schraubprozess<br />
zu beeinflussen? Was, wenn sich <strong>die</strong> Qualität der Schrauben<br />
plötzlich verschlechtert? Möglicherweise wirkt sich das auf<br />
den Mittelwert der Untergruppen aus. Vielleicht wird <strong>die</strong><br />
Streuung innerhalb der Untergruppen beeinflusst. Vielleicht<br />
nimmt das auf <strong>die</strong> Verbindungen aufgebrachte Drehmoment<br />
allmählich ab. All <strong>die</strong>se Folgen können nun erkannt werden.<br />
Das Schöne an Qualitätsregelkarten ist, dass der Qualitätsverantwortliche<br />
(oder häufig sogar der Werker selbst) potenzielle<br />
Probleme erkennen kann. Und zwar rechtzeitig, bevor<br />
<strong>die</strong> Anziehwerte außerhalb der Toleranzgrenzen driften oder<br />
gar fehlerhaft montiert wird.<br />
Der einfachste Weg, zu merken, dass „außerordentliche“<br />
Faktoren einen Prozess beeinflussen, ist das Auftreten von<br />
Werten außerhalb der Prüfgrenzen. Das ist ein Alarmsignal,<br />
und wir müssen sofort herausfinden, was passiert ist, bevor<br />
wir Anziehwerte außerhalb der Toleranzgrenzen bekommen.<br />
Abbildung 20 zeigt, wie eine Qualitätsregelkarte aussehen<br />
kann, wenn systematische Streuungen anfangen, den<br />
Montageprozess zu beeinflussen. Die ersten beiden Beispiele<br />
zeigen „Trend-Alarmsignale“. Die Produktion kann während<br />
der Ursachenforschung weitergehen. Das vierte Beispiel<br />
zeigt, wie der Gesamt-Mittelwert anfängt, vom Soll-Wert<br />
abzuweichen. Wir müssen herausfinden, was der Grund <strong>für</strong><br />
<strong>die</strong> Veränderung ist. Vielleicht genügt es ja, das Werkzeug<br />
neu einzumessen.<br />
6.4 Bereichsdiagramme<br />
Um <strong>die</strong> Streuung im Prozess zu überwachen, können wir entweder<br />
<strong>die</strong> Standardabweichung oder den Bereich innerhalb<br />
der Untergruppen verwenden. Der Bereich („R“ <strong>für</strong> englisch<br />
„Range“) ist <strong>die</strong> Differenz zwischen dem größten und dem<br />
kleinsten Wert jeder Untergruppe (siehe auch Anhang 1). Die<br />
Standardabweichung s basiert natürlich auf allen Werten<br />
innerhalb der Untergruppe, während der Bereich auf nur<br />
zwei Werten basiert. Das bedeutet, dass eine s-Karte zuverlässiger<br />
ist und mehr Angaben über <strong>die</strong> Streuung macht.<br />
Allerdings lässt sich ein R-Diagramm leichter berechnen und<br />
– obwohl wir heute Computer haben, <strong>die</strong> alles <strong>für</strong> uns<br />
berechnen – ist bei vielen Anwendern immer noch sehr<br />
beliebt.<br />
26 TASCHENBUCH STATISTISCHE VERFAHREN FÜR DIE SCHRAUBFALLANALYSE
Der Bereich R hilft uns, <strong>die</strong> Streuung der Untergruppe zu<br />
schätzen. Dies ist mit Hilfe verschiedener <strong>Verfahren</strong> möglich,<br />
<strong>die</strong> man in Handbüchern <strong>für</strong> statistische Prozesskontrolle findet.<br />
Ist <strong>die</strong> Mittellinie , ergeben sich <strong>die</strong> Prüfgrenzen <strong>für</strong><br />
<strong>die</strong> Qualitätsregelkarte wie folgt:<br />
Obere PG = D4 ●<br />
Untere PG = D3 ●<br />
Die R-Karte gibt an, wie sich <strong>die</strong> Streuung in den Untergruppen<br />
entwickelt. Mit ihr kann festgestellt werden, wenn<br />
eine systematische Streuung im Prozess <strong>die</strong> Streuung der<br />
Untergruppe beeinflusst.<br />
6.5 Anmerkung zur Handhabung von<br />
Qualitätsregelkarten<br />
Um aussagekräftige Karten zu bekommen, sollten <strong>die</strong> Prüfgrenzen<br />
auf einer großen und zuverlässigen Zahl von<br />
Verschraubungen beruhen und regelmäßig mit aktuellen<br />
Daten aus dem Fertigungsprozess neu berechnet werden.<br />
Dieses Kapitel kann nur eine kurze Einführung in <strong>die</strong><br />
Prozesskontrolle mit Qualitätsregelkarten geben und nicht<br />
alle Möglichkeiten <strong>die</strong>ser Karten und Diagramme aufzeigen.<br />
Zusammenfassung<br />
Dieses Taschenbuch erklärt statistische Grundlagen wie<br />
Verteilung, Mittelwert und Standardabweichung. Außerdem<br />
zeigt es, wie <strong>die</strong>se in der <strong>Schraubfallanalyse</strong> eingesetzt werden<br />
können, um Eignungsuntersuchungen <strong>für</strong> bestimmte<br />
Anwendungsfälle durchzuführen. Ferner wird erklärt, wie der<br />
(Montage-)Prozess mit Hilfe von Qualitätsregelkarten überwacht<br />
und gesteuert werden kann.<br />
Dieses Taschenbuch kann nicht alle Aspekte der Statistik und<br />
<strong>die</strong> umfangreichen Möglichkeiten der statistischen Prozesskontrolle<br />
erläutern. Es kann lediglich in <strong>die</strong> Thematik einführen.<br />
Für weitere Informationen empfehlen wir entsprechende<br />
Fachliteratur.<br />
Auch sprengte es den Rahmen <strong>die</strong>ser Broschüre, <strong>die</strong> zahlreichen<br />
Produkte vorzustellen, mit denen <strong>Atlas</strong> <strong>Copco</strong> Ihnen<br />
helfen kann, <strong>die</strong> Möglichkeiten statistischer Untersuchungen<br />
<strong>für</strong> Ihre Produktion zu nutzen. Wenn Sie Informationen dazu<br />
benötigen, wenden Sie sich bitte an Ihren<br />
<strong>Atlas</strong>-<strong>Copco</strong>-Verkäufer oder -Fachhändler.<br />
TASCHENBUCH STATISTISCHE VERFAHREN FÜR DIE SCHRAUBFALLANALYSE 27
Anhang<br />
A1. Beispiel <strong>für</strong> einfache statistische<br />
Berechnungen<br />
Das folgende Beispiel wird Ihnen helfen, <strong>die</strong> statistischen<br />
Grundlagen zu verstehen. In <strong>die</strong>sem Beispiel werden <strong>die</strong><br />
Drehmoment-Niveaus von zwei Schraubwerkzeugen anhand<br />
der unten dargestellten Drehmomentwerte miteinander<br />
verglichen. Das Drehmoment-Soll ist 10 Nm.<br />
<strong>Atlas</strong>-<strong>Copco</strong>-Werkzeug Anderes Werkzeug<br />
10 10<br />
10,1 11<br />
10,2 9<br />
9,7 8<br />
10,0 12<br />
10,2 10<br />
10,1 9<br />
9,7 12<br />
9,8 8<br />
10,2 11<br />
Welches der beiden Werkzeuge ist das genauere? Um <strong>die</strong>se<br />
Frage zu beantworten, berechnen wir zunächst den<br />
Mittelwert der beiden Reihen. Der Mittelwert gibt uns den<br />
Durchschnitt aller bei den verschiedenen Verschraubungen<br />
erhaltenen Werte. Er erhält das Symbol . Der Mittelwert<br />
wird berechnet, indem man <strong>die</strong> einzelnen Schraubdaten, x i,<br />
ad<strong>die</strong>rt (hier also x 1 bis x 10) und sie durch <strong>die</strong> Anzahl der<br />
Verschraubungen, n, teilt. Hier ist n = 10.<br />
Σ x i/n<br />
n x=<br />
i=1<br />
Mittelwert,<br />
<strong>Atlas</strong>-<strong>Copco</strong>-Werkzeug Anderes Werkzeug<br />
10 10<br />
28 TASCHENBUCH STATISTISCHE VERFAHREN FÜR DIE SCHRAUBFALLANALYSE
Beide Werkzeuge haben einen Mittelwert von 10 Nm. (Hätte<br />
eines der Werkzeuge einen Mittelwert von 15 Nm, wüssten<br />
wir, dass <strong>die</strong>ses Werkzeug nicht so gut ist wie das andere,<br />
welches das Drehmoment-Soll von 10 Nm erreicht.) Doch<br />
haben beide Werkzeuge <strong>die</strong> gleiche Genauigkeit? Die<br />
Genauigkeit gibt an, wie exakt ein Werkzeug das Soll-Ziel<br />
erreicht. Sie ist ein Maß da<strong>für</strong>, wie genau der eingestellte<br />
Wert mit dem gemessenen Ist-Wert einer Variable (hier:<br />
Drehmoment) übereinstimmt.<br />
Wie unterscheiden sich <strong>die</strong> Werkzeuge jetzt? Betrachten wir<br />
den jeweiligen Wertebereich beider Werkzeuge. Der Bereich<br />
R gibt an, zwischen welchen Werten unsere Verschraubungen<br />
liegen. R errechnet sich aus der Differenz zwischen dem<br />
höchsten und dem niedrigsten Wert im Bereich.<br />
R = x max – x min.<br />
Bereich, R<br />
<strong>Atlas</strong>-<strong>Copco</strong>-Werkzeug Anderes Werkzeug<br />
0,5 4<br />
Mit dem <strong>Atlas</strong>-<strong>Copco</strong>-Werkzeug schwanken unsere<br />
Schraubwerte nur um 0,5 Nm zwischen dem höchsten und<br />
dem niedrigsten Wert, während das andere Werkzeug eine<br />
Streuung von 4 Nm aufweist. Erhielte man nun aber beispielsweise<br />
bei 1000 Verschraubungen mit dem <strong>Atlas</strong>-<strong>Copco</strong>-<br />
Werkzeug auch nur einmal einen Wert, der weit außerhalb<br />
des Bereichs läge, wie etwa 5, bekäme man einen R-Wert<br />
von 5,5. Dann könnte das <strong>Atlas</strong>-<strong>Copco</strong>-Werkzeug nicht als<br />
genaues Werkzeug durchgehen.<br />
Wir müssen also eine Rechenmethode finden, <strong>die</strong> den<br />
Einfluss <strong>die</strong>ses einen Ausreißerwertes beseitigt.<br />
TASCHENBUCH STATISTISCHE VERFAHREN FÜR DIE SCHRAUBFALLANALYSE 29
Ein statistischer Indikator <strong>für</strong> Schwankungen ist <strong>die</strong><br />
Standardabweichung. Als Maß <strong>für</strong> <strong>die</strong> Abweichung<br />
beschreibt sie <strong>die</strong> durchschnittliche Differenz zwischen<br />
einem Messwert einer Variablen und dem im Prozess angestrebten<br />
Wert (Soll-Wert). Wir berechnen also <strong>die</strong> Abweichungen<br />
<strong>für</strong> jeden Wert und ad<strong>die</strong>ren <strong>die</strong>se anschließend:<br />
<strong>Atlas</strong>-<strong>Copco</strong>-Werkzeug Anderes Werkzeug<br />
Drehmoment x i - Drehmoment x i -<br />
10 0 10 0<br />
10,1 0,1 11 1<br />
10,2 0,2 9 -1<br />
9,7 -0,3 8 -2<br />
10,0 0 12 2<br />
10,2 0,2 10 0<br />
10,1 0,1 9 -1<br />
9,7 -0,3 12 2<br />
9,8 -0,2 8 -2<br />
10,2 0,2 11 1<br />
=10 =0 =10<br />
=0<br />
Das Ergebnis ist <strong>für</strong> beide Werkzeuge 0. Was ist in <strong>die</strong>sem<br />
Fall das Problem? Wir haben sowohl positive als auch negative<br />
Werte, und sie heben sich in beiden Beispielen genau<br />
auf. Wenn wir aber das Minus eliminieren, erhalten wir <strong>die</strong><br />
absoluten Werte jeder Abweichung. Um das Minus mathematisch<br />
zu eliminieren, können wir jeden Wert quadrieren. Dann<br />
ergeben sich nur noch „Plus“-Zahlen.<br />
30 TASCHENBUCH STATISTISCHE VERFAHREN FÜR DIE SCHRAUBFALLANALYSE
<strong>Atlas</strong>-<strong>Copco</strong>-Werkzeug Anderes Werkzeug<br />
σσ x i - (x i - ) 2 σσ x i - (x i - ) 2<br />
10 0 0 10 0 0<br />
10,1 0,1 0,01 11 1 1<br />
10,2 0,2 0,04 9 -1 1<br />
9,7 -0,3 0,09 8 -2 4<br />
10,0 0 0 12 2 4<br />
10,2 0,2 0,04 10 0 0<br />
10,1 0,1 0,01 9 -1 1<br />
9,7 -0,3 0,09 12 2 4<br />
9,8 -0,2 0,04 8 -2 4<br />
10,2 0,2 0,04 11 1 1<br />
=10 (x i – )=0 (x i – ) 2 = 0,36 =10 (x i – )=0 (x i – ) 2 =20<br />
Nun haben wir einen Vergleichswert in (Nm) 2 . Aber was sagt<br />
<strong>die</strong>ser Wert aus? Er beschreibt <strong>die</strong> „absolute“ Abweichung.<br />
Dieser Wert hängt von der Anzahl der Verschraubungen ab.<br />
Wir teilen <strong>die</strong>sen Wert durch <strong>die</strong> Anzahl der Schraubvorgänge<br />
–1, um einen Durchschnitt zu erhalten. Dann ziehen wir <strong>die</strong><br />
Quadratwurzel aus <strong>die</strong>ser Summe, um wieder einen Wert in<br />
Nm zu erhalten (siehe auch Kapitel 2.7).<br />
s (x –x) 2<br />
[ ]<br />
= Σ i (n–1)<br />
n<br />
i=1<br />
<strong>Atlas</strong>-<strong>Copco</strong>-Werkzeug Anderes Werkzeug<br />
0,2 1,5<br />
Damit haben wir <strong>die</strong> Standardabweichung der Stichprobe<br />
berechnet. Die Standardabweichung ist eine Möglichkeit, zu<br />
messen, wie gut Werkzeuge arbeiten, das heißt, wie nahe sie<br />
an einen vorgegebenen Wert kommen. Jetzt zeigt sich ein<br />
deutlicher Unterschied. Das <strong>Atlas</strong>-<strong>Copco</strong>-Werkzeug hat eine<br />
Standardabweichung von 0,2 Nm vom Soll, während das<br />
andere Werkzeug eine Standardabweichung von 1,5 Nm aufweist.<br />
Dieses Beispiel lehrt uns: Obwohl beide Werkzeuge<br />
denselben Mittelwert haben, können sie sehr unterschiedlich<br />
hinsichtlich ihrer Genauigkeit sein. Das erste Werkzeug ist<br />
genauer; <strong>die</strong> Schraubwerte des <strong>Atlas</strong>-<strong>Copco</strong>-Werkzeugs liegen<br />
näher am Soll-Wert. Die Standardabweichung ist eine<br />
Möglichkeit, das zu ermitteln.<br />
TASCHENBUCH STATISTISCHE VERFAHREN FÜR DIE SCHRAUBFALLANALYSE 31
A2. Beispiele <strong>für</strong> <strong>die</strong> Berechnung der Maschinenoder<br />
Prozessfähigkeit<br />
Die Eignung eines Schraubwerkzeugs („Maschinenfähigkeit“)<br />
sagt etwas darüber aus, wie es sich im jeweiligen<br />
Anwendungsfall verhält. Um <strong>die</strong> Maschinen- oder Prozessfähigkeitkoeffizienten<br />
zu berechnen, wird <strong>die</strong> Werkzeuggenauigkeit<br />
(Mittelwert und Standardabweichung) in<br />
Beziehung gesetzt zu den Anforderungen des Schraubfalls<br />
(Soll-Wert und Toleranzgrenzen).<br />
Nehmen wir an, wir haben einen Schraubfall mit dem Soll-<br />
Wert von 15 Nm und Toleranzen von ± 8 %. Das bedeutet,<br />
<strong>die</strong> obere Toleranzgrenze liegt bei 16,2 Nm und <strong>die</strong> untere<br />
Grenze bei 13,8 Nm. Wir hätten folgende 20 Schraubergebnisse<br />
<strong>für</strong> ein Werkzeug an der Produktionslinie ermittelt:<br />
15,4<br />
15,6<br />
15,4<br />
15,1<br />
15,1<br />
15,5<br />
15,0<br />
15,3<br />
15,2<br />
15,1<br />
15,5<br />
15,3<br />
15,4<br />
15,3<br />
15,3<br />
15,1<br />
15,2<br />
15,4<br />
15,1<br />
15,2<br />
32 TASCHENBUCH STATISTISCHE VERFAHREN FÜR DIE SCHRAUBFALLANALYSE
Daraus können wir den Mittelwert und <strong>die</strong> Standardabweichung<br />
berechnen:<br />
= 305,5/20 = 15,275<br />
= 0,165<br />
Anschließend berechnen wir C p und C pk:<br />
C p = (Maximalwert – Minimalwert) / 6σ =<br />
(16,2 – 13,8) / (6 · 0,165) = 2,42<br />
C pk = min [(Maximalwert – Mittelwert) / 3σ; (Mittelwert –<br />
Minimalwert) / 3σ] =<br />
min [(16,2 – 15,275) / 3 · 0,165; (15,275 – 13,8 / 3 · 0,165] =<br />
min [ 1,87; 2,98 ] = 1,87<br />
Sowohl der C p- als auch der C pk-Wert sind größer als 1,33;<br />
Prozessfähigkeit ist gegeben. Das Werkzeug braucht nicht<br />
nachkalibriert zu werden, auch wenn der Mittelwert leicht<br />
vom Soll-Wert abweicht.<br />
A3. Beispiel <strong>für</strong> Qualitätsregelkarten<br />
Nun wollen wir mit den Schraubwerten aus dem vorherigen<br />
Beispiel eine Qualitätsregelkarte erstellen. Nehmen wir an,<br />
dass wir einen Produktionsprozess, der einige Zeit angehalten<br />
worden war, wieder starten. In <strong>die</strong>sem Fall wissen wir nicht,<br />
wie groß der Mittelwert μ und <strong>die</strong> Standardabweichung σ<br />
sind. Um <strong>die</strong> Prüfgrenzen <strong>für</strong> <strong>die</strong> Qualitätsregelkarte zu<br />
berechnen, müssen <strong>die</strong> Berechnungen auf einer ausreichenden<br />
Anzahl von Schraubvorgängen basieren. Gemäß<br />
Faustregel sollten mindestens 20 bis 25 Untergruppen <strong>für</strong> <strong>die</strong><br />
Berechnung der Prüfgrenzen vorliegen. Denn man benötigt<br />
mindestens 20 Untergruppen, um sagen zu können, ob der<br />
Prozess unter Kontrolle ist oder nicht. Bei <strong>die</strong>sem Beispiel<br />
nehmen wir allerdings nur vier Untergruppen, um <strong>die</strong> Sache<br />
etwas zu vereinfachen.<br />
TASCHENBUCH STATISTISCHE VERFAHREN FÜR DIE SCHRAUBFALLANALYSE 33
Nehmen wir an, dass wir <strong>die</strong>se Ergebnisse an vier Tagen<br />
gesammelt haben. Wir haben <strong>die</strong> Untergruppengröße auf fünf<br />
festgelegt, haben also an jedem Tag fünf Ergebnisse gesammelt:<br />
Tag 1 15,4<br />
15,6<br />
15,4<br />
15,1<br />
15,1<br />
Tag 2 15,5<br />
15,0<br />
15,3<br />
15,2<br />
15,1<br />
Tag 3 15,5<br />
15,3<br />
15,4<br />
15,3<br />
15,3<br />
Tag 4 15,1<br />
15,2<br />
15,4<br />
15,1<br />
15,2<br />
34 TASCHENBUCH STATISTISCHE VERFAHREN FÜR DIE SCHRAUBFALLANALYSE
Als erstes berechnen wir den Mittelwert <strong>für</strong> jede Untergruppe,<br />
indem wir jeweils <strong>die</strong> fünf Werte ad<strong>die</strong>ren und durch<br />
5 teilen ( 1 ist der Mittelwert am Tag 1 und so weiter):<br />
1 = 15,32<br />
2 = 15,22<br />
3 = 15,36<br />
4 = 15,2<br />
Ist der Produktionsprozess unter Kontrolle, entspricht der<br />
Soll-Wert dem Gesamt-Mittelwert . Der Gesamt-Mittelwert<br />
ist leicht zu berechnen: = 15,275. Wir wissen, dass <strong>die</strong><br />
Prüfgrenzen auf der natürlichen Streuung zwischen den<br />
Mittelwerten der Untergruppen basieren.<br />
Obere PG = + 3 s / √n = 15,275 + (3 · 0,165 / √5) = 15,275 + 0,22 = 15,495<br />
Untere PG = – 3 s / √n = 15,275 – (3 · 0,165 / √5) = 15,275 – 0,22 = 15,055<br />
Jetzt können wir unsere Qualitätsregelkarte erstellen. Wir<br />
nehmen den Gesamt-Mittelwert als Mittellinie und tragen<br />
auch <strong>die</strong> Prüfgrenzen auf der Karte ein. Nun übertragen wir<br />
<strong>die</strong> Mittelwerte der Untergruppen auf <strong>die</strong> Karte.<br />
Wie wir sehen, liegen alle Werte innerhalb der Prüfgrenzen,<br />
und der Produktionsprozess ist unter Kontrolle (auch wenn<br />
einzelne Schraubwerte außerhalb der Grenzen liegen).<br />
Erinnern Sie sich, dass <strong>die</strong> Grenzen auf der Streuung der<br />
Mittelwerte der Untergruppen basieren, nicht auf den einzelnen<br />
Verschraubungen.<br />
Von jetzt an ist es einfach, jeden Tag den Mittelwert einer<br />
neuen Untergruppe in <strong>die</strong> Karte einzutragen. Solange <strong>die</strong><br />
abgebildeten Werte nach dem Zufallsprinzip um <strong>die</strong><br />
Mittellinie gestreut sind, ist der Prozess unter Kontrolle.<br />
Abbildung 21. Der Prozess<br />
ist unter Kontrolle, wenn<br />
<strong>die</strong> Mittelwerte der Untergruppen<br />
nach dem Zufallsprinzip<br />
um den Gesamt-<br />
Mittelwert streuen.<br />
TASCHENBUCH STATISTISCHE VERFAHREN FÜR DIE SCHRAUBFALLANALYSE 35
A4. Leistungsanalyse bei Montagewerkzeugen –<br />
Berechnung gemäß ISO 5393<br />
Mit Hilfe der ISO 5393, <strong>die</strong> als internationaler Standard anerkannt<br />
ist, können wir <strong>die</strong> Leistung verschiedener Werkzeuge<br />
bewerten und Werkzeuge miteinander vergleichen. Die ISO<br />
5393 gibt ein grundlegendes Testverfahren und Vorgehen bei<br />
der Analyse der Ergebnisse vor. Auf <strong>die</strong>ser Basis haben viele<br />
Automobilhersteller ihre eigenen Zertifizierungsstandards<br />
entwickelt.<br />
Nehmen wir zum Beispiel einmal an, dass wir ein Werkzeug<br />
nach dem in der ISO 5393 angegebenen <strong>Verfahren</strong> getestet<br />
haben. Bei einer harten Verbindung und der höchsten<br />
Drehmomenteinstellung habe es folgende Ergebnisse gegeben<br />
(in Nm):<br />
31,5 33,2 32,6 33,7 31,4 32,5 33,1 31,2 33,5 32,6 33,1<br />
31,0 32,3 33,2 32,4 31,5 33,5 33,3 31,5 32,6 31,3 33,7<br />
33,0 31,8 33,0<br />
Wir berechnen nun alle Werte, <strong>die</strong> <strong>für</strong> <strong>die</strong> Analyse der<br />
Anziehgenauigkeit des Werkzeugs erforderlich sind, wie in<br />
der ISO 5393 beschrieben. Nehmen wir an, <strong>die</strong>se Daten gelten<br />
bei der harten Verbindung und der höchsten Drehmomenteinstellung.<br />
Dann wäre der Drehmoment-Mittelwert: ( )<br />
= (31,5 +33,2 + 32,6 + 33,7 + ....+ 33,0) / 25= 32,5 Nm<br />
Bereich:<br />
R = 33,7 – 31,0 = 2,7 Nm<br />
Standardabweichung (s)<br />
2 2 2<br />
(31,5–32,5)+(33,2–32,5)+.....+(33,0–32,5)<br />
s =<br />
(25–1) = 0,863<br />
0.863<br />
Nm<br />
Nm<br />
6-s-Drehmomentstreuung<br />
6 x 0,863 = 5,18 Nm<br />
36 TASCHENBUCH STATISTISCHE VERFAHREN FÜR DIE SCHRAUBFALLANALYSE
6-s-Streuung als prozentualer Anteil des mittleren<br />
Drehmoments<br />
= (5,18 / 32,5) x 100 = 15,93 %<br />
Nehmen wir nun an, wir hätten <strong>für</strong> dasselbe Werkzeug <strong>die</strong><br />
folgenden Werte <strong>für</strong> <strong>die</strong> Daten der anderen in der ISO 5393<br />
beschriebenen Drehmomenteinstellungen und Schraubfälle<br />
errechnet:<br />
Für <strong>die</strong> höhere Drehmomenteinstellung bei einer weichen<br />
Verbindung: einen Mittelwert von 31,95 und eine<br />
Standardabweichung von 0,795.<br />
Für <strong>die</strong> niedrigere Drehmomenteinstellung bei einer harten<br />
Verbindung: einen Mittelwert von 23,72 und eine<br />
Standardabweichung von 0,892.<br />
Für <strong>die</strong> niedrigere Drehmomenteinstellung bei einer weichen<br />
Verbindung: einen Mittelwert von 22,87 und eine<br />
Standardabweichung von 0,801.<br />
Wir können nun folgende Berechnungen <strong>für</strong> <strong>die</strong><br />
höhere Drehmomenteinstellung durchführen:<br />
a = Mittelwert harte Verbindung + 3 s der harten<br />
Verbindung<br />
b = Mittelwert weiche Verbindung + 3 s der weichen<br />
Verbindung<br />
c = Mittelwert harte Verbindung – 3 s der harten<br />
Verbindung<br />
d = Mittelwert weiche Verbindung – 3 s der weichen<br />
Verbindung<br />
Das ergibt:<br />
a = 32,50 + (3 x 0,863) = 35,09<br />
b = 31,95 + (3 x 0,795) = 34,34<br />
c = 32,50 – (3 x 0,863) = 29,91<br />
d = 31,95 – (3 x 0,795) = 29,56<br />
Kombinierter Drehmoment-Mittelwert:<br />
(35,09 + 29,56) / 2 = 32,33 Nm<br />
Mittelwertversatz:<br />
32,5 – 31,95 = 0,55 Nm<br />
TASCHENBUCH STATISTISCHE VERFAHREN FÜR DIE SCHRAUBFALLANALYSE 37
Kombinierte Drehmomentstreuung:<br />
35,09 – 29,56 = 5,53 Nm<br />
Kombinierte Drehmomentstreuung als prozentualer Anteil<br />
des kombinierten Mittelwerts:<br />
(5,53 / 32,33) x 100 = 17,1 %<br />
Berechnungen <strong>für</strong> <strong>die</strong> niedrigere Drehmomenteinstellung:<br />
a = Mittelwert harte Verbindung + 3 s harte Verbindung<br />
b = Mittelwert weiche Verbindung + 3 s weiche Verbindung<br />
c = Mittelwert harte Verbindung – 3 s harte Verbindung<br />
d = Mittelwert weiche Verbindung – 3 s weiche Verbindung<br />
Das ergibt:<br />
a = 23,72 + (3 x 0,892) = 26,40<br />
b = 22,87 + (3 x 0,801) = 25,27<br />
c = 23,72 – (3 x 0,892) = 21,04<br />
d = 22,87 – (3 x 0,801) = 20,47<br />
Kombinierter Drehmoment-Mittelwert:<br />
(26,40 + 20,47) / 2 = 23,44 Nm<br />
Mittelwertversatz:<br />
23,72 – 22,875 = 0,85 Nm<br />
Kombinierte Drehmomentstreuung:<br />
26,40 – 20,47 = 5,93 Nm<br />
Kombinierte Drehmomentstreuung als prozentualer Anteil<br />
des kombinierten Mittelwerts:<br />
(5,93 / 23,44) ● 100 = 25,3 %<br />
Die Werkzeugeignung beträgt 25,3 %, da sich <strong>die</strong> größte<br />
Drehmomentstreuung bei der niedrigeren Drehmomenteinstellung<br />
ergeben hat.<br />
Dieses Werkzeug wird in der Praxis bei 99,7 % aller<br />
Schraubverbindungen innerhalb von gerundet ± 13 % seines voreingestellten<br />
Drehmomentwertes anziehen (das heißt, 99,7 % der<br />
Schraubergebnisse liegen innerhalb von ± 3 s um den Mittelwert).<br />
38 TASCHENBUCH STATISTISCHE VERFAHREN FÜR DIE SCHRAUBFALLANALYSE
Weitere Ratgeber und<br />
Taschenbücher von <strong>Atlas</strong> <strong>Copco</strong><br />
zu <strong>die</strong>sem Thema<br />
Titel Bestellnr.<br />
Einführung in <strong>die</strong> Schraubtechnik 9833 8648 04<br />
Prozesssicherheit in der<br />
Schraubmontage 9749 2072 04<br />
Prüfen und Kalibrieren in der<br />
Schraubtechnik 9749 2106 04<br />
Die Kunst der Ergonomie<br />
(Einführung in <strong>die</strong> Ergonomie bei<br />
Handwerkzeugen) 9833 8587 04<br />
Vibrationen und deren Bewertung<br />
bei Handwerkzeugen (Ein Ratgeber<br />
rund um <strong>die</strong> EU-Vibrationsrichtlinie<br />
2002/44/EG) 9833 1508 04<br />
Volles Rohr <strong>für</strong> mehr Produktivität<br />
(Ein Installationsleitfaden <strong>für</strong><br />
Luftwerkzeuge) 9833 1266 04<br />
Druckluftmotoren zum Ein- und Anbau<br />
(Eine Fibel der Antriebspraxis nicht<br />
nur <strong>für</strong> Konstrukteure) 9833 9067 04<br />
Taschenbuch Kleinschrauber 9833 1007 04<br />
Taschenbuch Impulsschrauber 9833 1225 04<br />
Taschenbuch Niettechnik 9833 1124 04<br />
Das Ergonomie-Handbuch 9833 1162 04<br />
TASCHENBUCH STATISTISCHE VERFAHREN FÜR DIE SCHRAUBFALLANALYSE 39
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