Die Permutationsgruppe P3

Die Permutationsgruppe P3
isomorph zu
• Symmetriegruppe
eines gleichseitigen Dreiecks
• Symmetriegruppe C3v
eines Ammoniak-Moleküls
1 2 3
E =
1 2 3
1 2 3
A =
3 1 2
1 2 3
C =
1 3 2
= Identität
B =
D =
• nicht abelsche Gruppe
1 2 3 = zykl. Vertauschungen
2 3 1 = Drehungen
1 2 3
3 2 1
1 2 3
F =
2 1 3
3
= antizykl. Vertauschungen
= Spiegelungen
E A B C D F
E E A B C D F
A A B E D F C
B B E A F C D
C C F D E B A
D D C F A E B
F F D C B A E
• Klassen {E}, {A, B}, {C, D, F }
• invariante Untergruppen {E, A, B}, {E}, {E, A, B, C, D, F }
⇒ Faktorgruppe {{E, A, B}, {C, D, F }}
• nicht invariante Untergruppen {E, C}, {E, D}, {E, F }
Roland Winkler, University Hannover 1
C
D
2
F
1

Roland Winkler, University Hannover 2
Darstellungsmatrizen
Γ1 Γ2 Γ3
E (1) (1)
A (1) (1)
B (1) (1)
C (1) (−1)
D (1) (−1)
F (1) (−1)
Die Permutationsgruppe P3
1 0
0 1
1
−
2
√
3
2
√
3
2
−1
2
√
3
√
3
2
2
−1
2
−
1
−2 −
1 0
0 −1
1
−
2
√
3
2
−
1
−2 −
√ 3
2
√ 3
2
1
2
√
3
2
1
2
Charaktertafel
E {A, B} {C, D, F }
Γ1 1 1 1
Γ2 1 1 −1
Γ3 2 −1 0
Multiplikationstafel
Γ I × Γ J Γ1 Γ2 Γ3
Γ1 Γ1 Γ2 Γ3
Γ2 Γ1 Γ3
Γ3
Γ1 + Γ2 + Γ3