Vorlesung Thermodynamik und Statistische Physik I (PDF, 5.79 MB)

5.3. STATISTIK 127
(b) Verallgemeinerung auf andere Systeme
Zur Herleitung der kritischen Exponenten war nur die Kenntnis der allgemeinen
Form der Landauentwicklung nötig, nicht die Kenntnis der
spezifischen Koeffizienten f0, A, B, . . .. Die Form der Landauentwicklung
wird von der Symmetrie des Ordnungsparameters bestimmt.
⇒ Kritische Exponenten sind in jeder Mean field Näherung dieselben für
verschiedene Systeme, wenn der Ordnungsparameter die gleiche Symmetrie
hat.
(❀ ” Universalitätsklassen“ für Mean field Exponenten)
Systeme mit einem Ordnungsparameter der gleichen Symmetrie wie der
des Isingmodells sind zum Beispiel
- uniaxialer Ferromagnet
- Ordnungs-/Unordnungs-Phasenumwandlungen
- Gas-Flüssig-Übergang
Nicht so offensichtlich, aber man kann argumentieren, dass die
Landauentwicklung die Form
F
N ≈ f0 + 1 V
2A( N − v0) 2 + 1 V
4B( N − v0) 4 + . . .
haben muss. (Linearer Term verschwindet durch geeignete Wahl
von v0, kubischer Term muss bei Tc verschwinden, sonst wäre
der Phasenübergang nicht kontinuierlich.)
Systeme mit Ordnungsparameter einer anderen Symmetrie sind z.B.
- die meisten anderen Ferromagneten (mehrdimensionaler Ordnungsparameter)
❀ das gibt’s also auch!
(c) Gültigkeitsbereich der Mean field Exponenten
Betrachte die Terme der Ungleichung (5.20) bei Annäherung an T c:
•〈M〉 2 ∝ (ξ d |T − T c| β ) 2 ∝ |T − T c| 2β−2dν
•〈M 2 〉 − 〈M〉 2
Behauptung
∝ χM ∝ ξd |T − Tc| −γ ∝ |T − Tc| −γ−dν
(Zum Beweis obiger Behauptung vgl. Abschnitt 2.6.3:
χM = ∂〈M〉
β(J
d e
= ∂h dh
σiσj +hM)
M
β(J
e σiσj +hM)
β(J
e
= β
σiσj +hM) 2
M
β(J
e σiσj +hM) − β ( e β(J σiσj +hM) 2
M)
( e β(J σiσj +hM)
) 2
= β(〈M 2 〉 − 〈M〉 2 ) )
Mean field Näherung wird problematisch, wenn linke Seite der Ungleichung
(5.20) schneller divergiert als rechte Seite,
also wenn (−γ − dν) ≤ (2β − 2dν)
Im Falle eines Ordnungsparameters mit Ising-Symmetrie
β = 1
1
2 , γ = 1, ν = 2 folgt die Bedingung Raumdimension d > 4.
⇒ Ginzburg-Kriterium“: Fluktuationen werden wichtig unterhalb der
”
” oberen kritischen Dimension“ dc = 4
(Ising-Symmetrie, kurzreichweitige Wechselwirkungen)