Vorlesung Thermodynamik und Statistische Physik I (PDF, 5.79 MB)

4.2. VIELTEILCHENSYSTEME 97
∗ Beispiele
- Zwei Teilchen 1,2; Einteilchenbasis |ψi〉
Permutationsoperatoren: ungerade: P12 =
gerade: id =
1
2
2 1
1
2
1 2
symmetrische Zustände: 1 √2 (|ψi1 〉 1 |ψi2 〉 2 + |ψi2 〉 1 |ψi1 〉 2 ) = |ψS i1i2 〉
antisymmetrische Zustände: 1 √2 (|ψi1 〉 1 |ψi2 〉 2 − |ψi2 〉 1 |ψi1 〉 2 ) = |ψA i1i2 〉
- Drei Teilchen 1,2,3
- N Teilchen
Permutationsoperatoren: ungerade:
gerade:
1
1
2
3
3 1
,
2 2
2
1
3 1
,
3 3
2
2
3
1
1
1
2
2
3 1
,
3 2
2
3
3 1
,
1 3
2
1
3
2
Symmetrische/Antisymmetrische Zustände: |ψ S/A
〉 ∝ i1i2i3
( |ψi1 〉 1 |ψi2 〉 2 |ψi3 〉 3 + |ψi2 〉 1 |ψi3 〉 2 |ψi1 〉 3 + |ψi3 〉 1 |ψi1 〉 2 |ψi2 〉 3
± |ψi1 〉 1 |ψi3 〉 2 |ψi2 〉 3 ± |ψi2 〉 1 |ψi1 〉 2 |ψi3 〉 3 ± |ψi3 〉 1 |ψi2 〉 2 |ψi1 〉 3 )
Symmetrische Zustände:
|ψ S i1i2...iN 〉 ∝ ( |ψi1 〉 1 |ψi2 〉 2 · · · |ψiN 〉 N + Permutationen ) (4.34)
Antisymmetrische Zustände:
|ψ A
1
i1i2...iN 〉 = √
N! .
|ψi1 〉 1 · · · |ψi1 〉 N
. ..
|ψiN 〉 1 · · · |ψiN 〉 N
.
Slaterdeterminante (4.35)
NB: Laut Bronstein (Taschenbuch der Mathematik) wird die Determinante definiert als
|ψi1 〉 1 · · · |ψi1 〉 N
.
. ..
.
|ψi N 〉 1 · · · |ψi N 〉 N
def
=
π
(−1) j(π) |ψi1 〉 1 |ψi2 〉 2 · · · |ψi N 〉 N
(4.36)
wobei die Summe aller möglichen Permutationen π der Zahlen 1, 2, . . . N zu erstrecken
ist. Man bildet also aus den Elementen der Determinante alle möglichen Produkte
|ψi1 〉 1 |ψi2 〉 2 · · · |ψi N 〉 N in der Weise, dass jedes der Produkte aus jeder Zeile und aus
jeder Spalte genau ein Element als Faktor enthält. Der Wert des Ausdrucks (−1) j(π)
er-
1 2 . . . N
gibt sich aus der Anzahl j(π) der Inversionen der Permutation π =
.
i1 i2 . . . iN
Schließlich werden alle diese N! Summanden addiert.
Die Anzahl der Inversionen gibt an, an wievielen Stellen in der Anordnung i1, i2, . . . , iN
eine größere Zahl vor einer kleineren steht. Bei einer geraden Anzahl der Inversionen
heißt die Permutation gerade, bei ungerader Anzahl ungerade, die identische Permuta-
tion ist z.B. gerade.
1
Beispiel: Die Permutation
4
2
3
3
1
4
5
5
hat 6 Inversionen: Es stehen in der unte-
2
ren Zeile 4 vor 3, 4 vor 2, 4 vor 1, 3 vor 2, 3 vor 1 und 5 vor 2.