Vorlesung Thermodynamik und Statistische Physik I (PDF, 5.79 MB)

48 KAPITEL 2. MIKROSKOPISCHER ZUGANG: GRUNDLAGEN
Definiere noch großkanonisches Potential Ω:
Z GK =: e −βΩ
bzw. Ω = − 1
β ln Z GK
= Ω(β, V, µ) (2.87)
Dann gilt Ω (2.86)
= 〈E〉 − µ〈N〉 − 1
S (2.88)
βkB
und
∂
(βΩ) = 〈E〉 − µ〈N〉 ;
∂β
∂
Ω = −〈N〉 (2.89)
∂µ
2.4.5 Volumenschwankungen: Enthalpisches Ensemble
Mikroskopische Nebenbedingung: N fest
Makroskopische Nebenbedingung: 〈V 〉, 〈E〉 vorgegeben
Notation:
dΓ =
dq1 · · · dqN dp1 · · · dpN
Ω V
V N
Gesucht: Mikroskopische Verteilungsdichte, die S(p) =
∞
dV
dΓ p(Γ) ln h3Np(Γ) maximiert mit Nebenbedingungen
− kB 1
N!
1
∞
N!
0
und 1
N!
0
dV
∞
0
Ω V
Ω V
dΓ p(Γ) = 1, 1
N!
dV
Ω V
∞
0
dV
dΓ p(Γ) V = 〈V 〉
Ω V
dΓ p(Γ) H (Γ N ) = 〈E〉
Lösung: Verfahren wie oben, zusätzlicher Lagrangeparameter λ4 ≡ kBβΠ
⇒ p(Γ) ∝ e −β
H (Γ)+Π V
Definiere enthalpische Zustandssumme (V0 beliebig)
Z G =
1
h 3N N!
∞
0
dV
V0
ΩV dΓ e −β
H (Γ)+Π V
❀ Verteilungsdichte h 3N p G (Γ) = 1
Z G
Erwartungswerte : 〈A 〉 = 1
N!
∞
0
dV
V0
ΩV = Z G (β, Π, N) (2.90)
· e −β
H (Γ)+Π V
(2.91)
dΓ p G (Γ)A (Γ) (2.92)
Entropie : S = βkB(〈E〉 + Π〈V 〉) + kB ln(Z G ) = S(β, Π, N) (2.93)
( Beweis? )