3D-Modellierung des Wärmetransports in tiefen hydrothermalen ...

3D-Modellierung des Wärmetransports in tiefen
hydrothermalen Systemen
Dipl.-Math. Sarah Eberle 1
Dr. Isabel Ostermann 2
1 TU Kaiserslautern
2 Fraunhofer ITWM
13. November
Geothermiekongress 2012, Karlsruhe

Sicht der Mathematik:
Kaiserslauterer Modell
Seismische Gravitations- Geomagnetische Geologische Messdaten aus
Daten daten Daten Informationen Bohrungen
⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓
T I E F E G E O T H E R M I E
Seismische Erkundung
S. Möhringer (2D),
C. Blick (3D)
Migration und
Inversion
Postprocessing
Gravitation/Geomagnetik
S. Möhringer (2D),
C. Blick (3D)
Modellierung von
Dichte und
Magnetisierung
Detektion von
Hotspots/Plumes
Transportvorgänge
S. Eberle,
H. Nutz
Wärmefluss
Fluidfluss
Transport chemischer
Stoffe
Transport von
Tracern
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Spannungsfeld
M. Augustin
Stimulation von
Brüchen
Ausbreitung von
Brüchen
Erdbebenwellen
Mikroseismizität
2

1 3D-Modell des Wärmetransports
Herleitung
Lösungstheorie
Galerkin Methode
2 Numerische Ergebnisse für den (erweiterten)
biharmonischen Kern: Kubus (−1, 1) 3
“Galerkin Gitter”
Wärmetransport im Kubus
3 Zusammenfassung und Ausblick
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Inhalt
3

Herleitung
Wärmetransportgleichung
Energieerhaltungssatz im regulären Gebiet B ⊂ R 3 (mit Lipschitz-Rand ∂B)
Annahmen: räumlich und zeitlich konstante Wärmekapazitäten und Dichten
steife Gesteinsmatrix
Fourier-Gesetz
nur Wärmequellen in fluider Phase
thermodynamisches Gleichgewicht
gewichtete Summation der phasenbezogenen Gleichungen bzgl.
der Porosität
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Anfangs-Randwert-Problem
(ARP)
ARP für den Wärmetransport innerhalb eines hydrothermalen Reservoirs von
t = 0 bis 0 < t = tend < ∞ mittels der transienten Advektions-Diffusions-
Gleichung für ein 2-phasiges poröses Medium:
∂T
(cρ)p
∂t = ∇ · (kp∇T ) − λcfρfvf · ∇T + Q in B × (0, tend)
T (·, 0) = T0
in B
∂T
= F
∂n
auf ∂B × [0, tend],
Q definiert auf [0, tend], F beschreibt mögliche Zu- und Abflüsse von Wärme.
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Variationsansatz:
(cρ)p
Schwache Formulierung des ARP
∂T
, U
∂t L2 = − 〈kp, ∇T · ∇U〉 L2 (B) − λcfρf〈vf · ∇T , U〉 L2 (B)
(B)
+ 〈Q, U〉 L 2 (B) + 〈kpF , U〉 L 2 (∂B)
für t ∈ (0, tend),
〈T (·, 0), U〉 L 2 (B) =〈T0, U〉 L 2 (B).
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Anfangswert-Problem
AWP
∂T
, U
∂t L2 =−
(B)
1
〈kp, ∇T · ∇U〉 L2 (B) −
(cρ)p
λcfρf
〈vf · ∇T , U〉 L2 (B)
(cρ)p
+ 1
〈Q, U〉 L2 (B) +
(cρ)p
1
〈kpF , U〉 L2 (∂B)
(cρ)p
=−a(t; T , U)+〈R, U〉
=〈A(t)T , U〉+〈R, U〉
→ Die schwache Formulierung des ARP kann als AWP geschrieben werden:
dT
dt = A(t)T + R für t ∈ (0, tend), T (0) = T0.
Das AWP gilt im Sinne von (H 1 (B)) ⋆ -wertigen Funktionen.
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Theorem (Existenz und Eindeutigkeit)
Unter den Bedingungen
(A1) (cρ)p, cf, ρf, λ > 0,
Lösung des AWP
↔ schwache Lösung des ARP
(A2) (I) kp ∈ C (1) (B × [0, tend]), kp(x, t) > 0 für alle x ∈ B und t ∈ [0, tend],
(II) vf ∈ L ∞ (B × [0, tend], R 3 ) mit vf = 0 im Sinne von L ∞ ,
(A3) R ∈ L 2 [0, tend]; (H 1 (B)) ⋆ ,
(A4) T0 ∈ L 2 (B),
hat AWP eine eindeutige Lösung
T ∈ L 2 [0, tend]; H 1 (B) ∩ H 1 (0, tend); (H 1 (B)) ⋆ .
Korollar (Stetigkeit)
Für diese eindeutige Lösung des AWP gilt T ∈ C [0, tend], L 2 (B) .
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Galerkin Methode
unendlich-dimensional → endlich-dimensional
Definiere Y = {y1, . . . , yJ| yi = yj, i, j = 1, . . . , J mit i = j} ⊂ B.
Wähle linear unabhängige Kerne KJ(·, yi) ∈ H 1 (B), i = 1, . . . , J, definiere die
Unterräume HJ von H 1 (B) durch
und fordere im Grenzwert, dass
HJ = span{KJ(·, y1), . . . , KJ(·, yJ)}
∞
HJ dicht in H 1 (B) liegt.
J=1
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Definiere für festes J ∈ N die Funktion
TJ : [0, tJ] → HJ, t ↦→ TJ(t) =
Galerkin Methode
approximative Lösung
J
i=1
T J
i (t)KJ(·, yi)
(0 < tJ < ∞) gegeben durch das endlich-dimensionale AWP
∂TJ
(cρ)p , K
∂t
L2 = − 〈kp, ∇TJ · ∇K〉 L2 (B) − λcfρf〈vf · ∇TJ, K〉 L2 (B)
(B)
+ 〈R, K〉
für alle K ∈ HJ und t ∈ (0, tend) unter der Anfangsbedingung
〈TJ(0), K〉 L 2 (B) = 〈T0, K〉 L 2 (B)
für alle K ∈ HJ als Approximation der Lösung des ARP.
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iharmonischer Kern:
KJ(x, yi) =
für x ∈ B und yi ∈ Y für alle i = 1, . . . , J.
|x − yi|
8π
Galerkin Kern
Zusätzlich zur Entwicklung TJ(·, t) = J
i=1 Ti(t)KJ(·, yi) wird die erweiterte
Entwicklung
TJ(·, t) =
J
Ti(t)KJ(·, yi) + c(t)
genutzt, um den Mittelwert von TJ nahezu exakt zu approximieren.
i=1
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Galerkin Gitter für 0 < ε < 1:
kartesisches Gitter Y ε 1 = εZ3 ∩ B, J ε 1 = |Y ε 1 |
tetragonales Gitter Y ε 2 , Jε 2 = |Y ε 2 |
J ε 1 ist für festes 0 < ε < 1 kleiner als Jε 2
x 3
1
0.5
0
−0.5
−1 −0.5 0 0.5 1 −101
−1
kartesisches Gitter Y 1
3
1
x 1
x 2
Galerkin Gitter
1
(Bsp.: ε = 3 ⇒ Jε 1 = 125, Jε 2 = 269)
x 3
1
0.5
0
−0.5
−1 −0.5 0 0.5 1 −101
−1
tetragonales Gitter Y 1
3
2
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x 1
x 2
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Approximation von T0
tetragonales Gitter Y 1 9
2
T0 = 393.15K → Approximation TJ(0) = 1
J 9
2
j=1 Tj(0) |·−yj |
8π (+c(0))
relativer Fehler:
err =
N
n=1 |T0(xn) − TJ(xn, 0)| 2
N
n=1
|T0(xn)| 2
Für Y 1
9
2 erhält man: err = 3.2260 · 10−4 , err c = 1.2171 · 10 −10 .
1
2
, x1, . . . , xN ∈ B.
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Approximation von T0
tetragonales Gitter Y 1 9
2
T0 = 393.15K → Approximation TJ(0) = 1
J 9
2
j=1 Tj(0) |·−yj |
8π (+c(0))
relativer Fehler:
err =
N
n=1 |T0(xn) − TJ(xn, 0)| 2
N
n=1
|T0(xn)| 2
Für Y 1
9
2 erhält man: err = 3.2260 · 10−4 , err c = 1.2171 · 10 −10 .
1
2
, x1, . . . , xN ∈ B.
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Iteration
tetragonales Gitter Y 1 9
2
Kubus bestehend aus Sandstein und Wasser mit folgenden Materialparametern:
(cρ)p = 2504.173203 kJ
m3 ·K
−3 kJ
kp = 1.86312 · 10 m·K·s
λ = 0.254 cfρf = 4219.8945 kJ
m3 ·K
Punktquelle: Q(x, t) = λcfρf ˜Q(Tinj(t) − TJ(xinj, t))δ(x − xinj),
mit ˜Q = 0.02 m3
s , Tinj(t) = Tinj = 343.15K
(Zufluss-)Neumann-Bedingung: F = 0.1 K
s
T m
Fließgeschwindigkeit: vf = (0, −v, 0) s , v = const ∈ R+ .
→ Péclet-Zahl Pe = λcfρf |vf|
kp
= λcfρfv
kp
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Iteration
tetragonales Gitter Y 1 9
2
Im Falle von dominierender Advektion treten starke Oszillationen auf, die zu
nicht-physikalischen Lösungen führen.
diffusions-dominanter Fall: TJ(·, t) − TJ(·, 0)
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Iteration
tetragonales Gitter Y 1 9
2
Im Falle von dominierender Advektion treten starke Oszillationen auf, die zu
nicht-physikalischen Lösungen führen.
diffusions-dominanter Fall: detailJ(t) = − log 10(−(TJ(·, t) − TJ(·, 0)))
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Iteration
tetragonales Gitter Y 1 9
2
Im Falle von dominierender Advektion treten starke Oszillationen auf, die zu
nicht-physikalischen Lösungen führen.
diffusions-dominanter Fall:
TJ(·, t)
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Zusammenfassung und Ausblick
Fazit Numerische Lösung der 3D-Wärmetransportgleichung mittels
der Galerkin Methode
Umsetzung im Kubus: Bestimmung der approximativen
Lösung basierend auf dem erweiterten biharmonischen Kern
Ausblick Stabilisierungsterm für advektions-dominanten Fall
Kopplung des Wärmetransports mit dem Fluidtransport über
das Darcy-Gesetz
Kopplung des Fluid-Wärme-Transport-Modells mit dem
Spannungsfeld
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Publikationen
M. Augustin, W. Freeden, C. Gerhards, S. Möhringer, I. Ostermann, Mathematische Methoden in der Geothermie.
Mathematische Semesterberichte, 59(1):1-28, 2012
I. Ostermann, A Mathematical Model for 3D Heat Transport in Hydrothermal Reservoirs. World of Mining,
63(5):280-289, 2011
W. Freeden, I. Ostermann, M. Augustin, Mathematik als Schlüsseltechnologie in der Geothermie. Geothermische
Energie, 70:20-24, 2011
I. Ostermann, Three-Dimensional Modeling of Heat Transport in Deep Hydrothermal Reservoirs. International
Journal on Geomathematics, 2:37-68, Springer, 2011
I. Ostermann, Modeling Heat Transport in Deep Geothermal Systems by Radial Basis Functions. Dissertation, TU
Kaiserslautern, AG Geomathematik, Dr. Hut Verlag, 2011
M. Ilyasov, I. Ostermann, A. Punzi, Modeling Deep Geothermal Reservoirs: Recent Advances and Future Problems.
In: W. Freeden, Z. Nashed, T. Sonar (eds.), Handbook of Geomathematics, Ch. 22, pp. 679–711. Springer, 2010
I. Ostermann, Wärmetransportmodellierung in tiefen geothermischen Systemen. Bericht 45, Schriften zur
Funktionalanalysis und Geomathematik, FB Mathematik, TU Kaiserslautern, 2009
Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit.
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