Mathematische Grundlagen - RheinAhrCampus

eine positiv semide…nite, symmetrische Bilinearform, d.h. es gilt
hx; xi 0 für alle x 2 V (Positive Semide…nitheit)
hx; yi = hy; xi für alle x; y 2 V (Symmetrie)
hx; y + zi = hy; xi + hx; zi für alle x; y; z 2 V , ; 2 R
Dann ist die Menge
U := fx 2 V jhx; xi = 0g
(Rechts-Linearität).
aller x 2 V mit hx; xi = 0 ein Untervektorraum von V . Weiter gilt
und
hx; yi = 0 für alle x; y 2 U (19)
hx; yi = 0 für alle x 2 U und y 2 V:
Sei nun V := V=U der Quotientenraum von V nach U. Dann ist
h ; i : V V ! R
wohlde…niert und bildet ein Skalarprodukt.
Proof. Zunächst ist U nicht leer, denn 0 2 U. Sei weiter x 2 U und 2 R.
Wegen
h x; xi = 2 hx; xi = 0
ist x 2 U. Seien schließlich x; y 2 U. Dann gilt
und
0 hx + y; x + yi = hx; xi + 2 hx; yi + hy; yi = 2 hx; yi
0 hx y; x yi = hx; xi 2 hx; yi + hy; yi = 2 hx; yi :
Daraus folgt hx; yi = 0, also (19), und damit erhalten wir hx + y; x + yi = 0,
also ist x + y 2 U. Schließlich betrachten wir für x 2 U, y 2 V und > 0 die
Gleichungen
0 hx + y; x + yi = 2 hx; yi + 2 hy; yi
und
Dies bedeutet
0 hx y; x yi = 2 hx; yi + 2 hy; yi :
jhx; yij
hy; yi ;
2
und mit ! 0 folgt hx; yi = 0.
Nun betrachten wir den Quotientenraum V := V=U. Seien [x] und [y] zwei
Äquivalenzklassen in V und x; x 0 2 [x] sowie y; y 0 2 [y] je zwei Repräsentanten.
Dann gilt x 0 = x + u und y 0 = y + v für u; v 2 U. Daraus folgt
hx 0 ; y 0 i = hx + u; y + vi
= hx; yi + hx; vi + hu; yi + hu; vi
= hx; yi :
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