Mathematische Grundlagen - RheinAhrCampus

Proof. Sei v1; : : : ; vk eine Basis von ker L. Diese Basis werde durch die Vektoren
vk+1; : : : ; vn zu einer Basis von V ergänzt. Der Satz ist bewiesen, wenn
wir zeigen können, daßdie Vektoren L (vk+1) ; : : : ; L (vn) eine Basis von Im L
bilden. Für beliebiges x 2 V gilt x = 1v1 + + nvn und daher L (x) =
k+1L (vk+1) + + nL (vn), denn v1; : : : ; vk 2 ker L. Also spannen die Vektoren
L (vk+1) ; : : : ; L (vn) den Unterraum Im L auf. Angenommen,
Dann gilt
k+1L (vk+1) + + nL (vn) = 0:
0 = k+1L (vk+1) + + nL (vn)
= L ( k+1vk+1 + + nvn) :
Daraus folgt aber k+1vk+1 + + nvn 2 ker L, und daher gilt
k+1vk+1 + + nvn = 1v1 + + kvk
für gewisse Koe¢ zienten 1; : : : ; k 2 R, denn v1; : : : ; vk ist eine Basis von ker L.
Aus
0 = 1v1 + + kvk k+1vk+1 nvn
und der Tatsache, daßv1; : : : ; vn eine Basis von V bilden, folgt 1 = = n =
0.
Corollary 28 Angenommen, dim V = dim W = n. Dann ist eine lineare Abbildung
L : V ! W genau dann injektiv, wenn L surjektiv ist.
Proof. Dies folgt unmittelbar aus dem Dimensionssatz 27. Denn wenn L injektiv
ist, so ist dies gleichbedeutend mit ker L = f0g, also mit dim ker L = 0. Daraus
folgt aber dim Im L = n, was gleichbedeutend mit der Surjektivität von L ist.
Ist umgekehrt L surjektiv, so gilt dim Im L = n, und aus dem Dimensionssatz
folgt dim ker L = 0, also die Injektivität von L.
Theorem 29 Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum mit dim V = n. Sei
dann V = fv1; : : : ; vng eine fest gewählte Basis von V . Dann de…niert die Abbildung
V : V ! R n
gegeben durch
V (v) = ( 1; : : : ; n)
für v = 1v1 + + nvn einen Isomorphismus. Ein beliebiger Vektor aus V
wird also als Linearkombination bezüglich der fest gewählten Basis V dargestellt
und die n Koe¢ zienten werden zu einem Vektor des R n zusammengefaßt.
Proof. Die Linearität von V ist o¤ensichtlich. Aufgrund von Folgerung 28
genügt es, V als injektiv nachzuweisen um zu zeigen, daß V ein Isomorphismus
ist. Angenommen, es gilt
V (v) = (0; : : : ; 0)
für ein v 2 V . Dann gilt v = 0v1 + + 0vn, also v = 0, und V ist damit als
injektiv nachgewiesen.
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