Mathematische Grundlagen - RheinAhrCampus

2.0.2 De…nition einer Metrik mit Hilfe einer Norm
De…nition 6 Sei M eine Menge. Eine Metrik auf M ist eine Abbildung d :
M M ! R mit folgenden Eigenschaften
d (x; y) = d (y; x) für alle x; y 2 M (Symmetrie)
d (x; z) d (x; y) + d (y; z) für alle x; y; z 2 M (Dreiecksungleichung)
d (x; y) = 0 genau dann, wenn x = y für x; y 2 M.
Ein Paar (M; d), wobei M eine Menge und d eine Metrik auf M ist, heißt
metrischer Raum.
d (x; y) gibt an, wie weit zwei Punkte (x; y) 2 M M voneinander entfernt
sind. Mit Hilfe einer Metrik lassen sich "-Umgebungen U" (x) eines Punktes
x 2 M de…nieren durch
U" (x) = fy 2 M jd (x; y) < "g :
Damit steht in metrischen Räumen das Konzept der Konvergenz von Folgen
zur Verfügung. Sei (xn) n2N eine Folge von Punkten aus M. Dann konvergiert
(xn) n2N gegen ein x 2 M, wenn es zu jeder "-Umgebung U" (x) von x ein N 2 N
gibt mit xn 2 U" (x) für alle n N.
Mit Hilfe einer Norm ist es stets möglich, eine Metrik zu de…nieren.
Example 7 Sei V ein Vektorraum mit Norm k k. Dann de…niert
d (v; w) := kv wk
eine Metrik auf V . 4
3 Die Schwarzsche Ungleichung
In jedem Vektorraum mit Skalarprodukt gilt die Beziehung jhv; wij kvk kwk,
die Schwarzsche Ungleichung genannt wird. Wir werden sehen, daßdiese Ungleichung
aus der Tatsache folgt, daßin einem rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse
mindestens so lang ist wie eine beliebige Kathete.
Zunächst überzeugen wir uns davon, daßin einem Vektorraum mit Skalarprodukt
der Satz des Pythagoras gilt.
3.1 Der Satz des Pythagoras
Zwei Vektoren v und w heißen zueinander senkrecht oder orthogonal, wenn
hv; wi = 0 gilt. Zur Begründung berechnen wir
kv + wk 2 = kvk 2 + kwk 2 + 2 hv; wi (4)
kv wk 2 = kvk 2 + kwk 2
5
2 hv; wi