Chaos - Theorie und Finanzmarktforschung1 - Universität Zürich

2.2 Fraktale Geometrie - die Geometrie des Chaos
"Fractals give structure to complexity, and beauty to chaos. ... Most natural shapes,
and time series are best described by fractals. Nature is, therefore, nonlinear, and
fractals are the geometry of chaos" 23 . Nicht treffender könnte das was unter der
Geometrie des Chaos verstanden wird umschrieben werden. Was exakt unter einem
Fraktal zu verstehen ist, wird im folgenden anhand der Koch-Schneeflocke und des
Sierpinski-Dreiecks gezeigt 24 .
Abb. 2/3: Koch-Schneeflocke 26
- 7 -
Ausgangspunkt der Entstehung der Koch-
Schneeflocke (auch als Koch-Insel bezeichnet)
ist ein gleichseitiges Dreieck 25 . Jede Seite
wird in drei gleiche Teile zerlegt, wobei jeweils
das mittlere Drittel durch ein gleichseitiges
Dreieck ersetzt und dessen Grundlinie
entfernt wird. Das Verfahren wird im zweiten
Schritt auf alle verbleibenden Geraden
angewendet (vgl.
Abb.
2/3 ). Im dritten
Schritt erfolgt die Anwendung des Verfahrens
auf die dann verbleibenden Geraden.
Dieses Vorgehen kann beliebig oft wiederholt werden und mit jeder Wiederholung
nimmt der Umfang des Gebildes zu. Während der Umfang dank der unendlichen
Wiederholbarkeit unendlich lang wird, bleibt die Fläche der Schneeflocke dennoch
endlich.
Aus der euklidischen Geometrie ist bekannt, dass die Linie eindimensional ist, im
Gegensatz zur Fläche (zweidimensional), zum Raum (dreidimensional) oder zum
Punkt (nulldimensional). Eine vierte, fünfte oder n-te Dimension ist zwar nicht
mehr vorstellbar, doch wird vor allem in den Naturwissenschaften in derartigen
Dimensionen gerechnet. Die Kochkurve scheint nun aber weder eine Linie
(eindimensional) noch eine Fläche (zweidimensional) zu sein, sondern irgend etwas
dazwischen. Mandelbrot führte für dieses "Dazwischen" den Begriff Fraktal ein 27 .
Damit ist die Koch-Schneeflocke ein Fraktal mit einer Dimension zwischen eins und
zwei.