Chaos - Theorie und Finanzmarktforschung1 - Universität Zürich

(wobei k = Konstante)
Um D zu ermitteln wird (2-3e) logarithmiert
log L(δ) + (D - 1).log δ = log N(δ) + D.log δ = log k
und nach D aufgelöst:
D = (log k / log δ) - (log L(δ) / log δ) + 1
= (log k / log δ) - log N(δ) / log δ (2-4) 32
Die Länge (Umfang) der Koch-Schneeflocke betrage ursprünglich 3 (jede Seite des
gleichseitigen Dreiecks misst eins); die Konstante beträgt daher k = 3. Wie bereits
weiter oben erwähnt, wird im ersten Konstruktionsschritt jede Seite in drei gleiche
Teile zerlegt und das mittlere Drittel jeder Seite durch ein gleichseitiges Dreieck
ersetzt, wobei dessen Grundlinie zu entfernen ist. Um den Umfang der Koch-
Schneeflocke nach dem ersten Konstruktionsschritt messen zu können, wird ein
Messstab mit der Länge δ = 1/3 benötigt. N(δ) = 12 Messstäbe decken die Koch-
Schneeflocke ab, deren Länge (= Umfang) nach dem ersten Konstruktionsschritt
L(δ) = 4 wird. Entsprechend (2-4) ergibt sich für die (fraktale) Dimension der
Koch-Schneeflocke 33 :
D = (log 3 / log 0.333) - (log 4 / log 0.333) + 1
= (log 3 / log 0.333) - (log 12 / log 0.333) = 1.26186
Das faszinierende an den Fraktalen ist die Skaleninvarianz (Selbstähnlichkeit): Ein
beliebiges Teilstück eines Fraktals sieht dem Fraktal ähnlich; jedes Teilstück eines
Teilstücks sieht sowohl dem Teilstück wie dem Fraktal ähnlich usw. Diese
Skaleninvarianz lässt sich nicht nur an der Koch-Schneeflocke zeigen. Vor allem
wegen seiner Konstruktion soll als weiteres Beispiel das Sierpinski-Dreieck
dargestellt werden (vgl. Abb. 2/4 ).
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