LK Physik 12 Klassische Elektrodynamik - am Werdenfels-Gymnasium

KAPITEL 4. ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN UND WELLEN 110
und es entsteht die maximale Intensität der resultierenden Welle:
Für ϕν mit δ = d sin ϕν = ν · λ ist A(ϕν) = n · a und J(ϕν) = n 2 · J0 (4.14.8)
(Hauptmaxima)
J(ϕν) = n 2 · J0 folgt auch aus (4.14.7) mit der Regel von de l’Hospital.
Für die Nullstellen von (4.14.7) findet man aus
die Bedingung
n π d sin ϕ
λ
d sin ϕν = ν
· λ mit
n
= ν · π (4.14.9)
(n − 1 Nullstellen zwischen zwei Hauptmaxima)
ν
n
/∈ (4.14.10)
ν darf kein ganzzahliges Vielfaches von n sein, da sich sonst die Bedingung für ein Hauptma-
ximum ergäbe! Da die Intensität überall größer als Null ist, muss zwischen zwei Nullstellen ein
Maximum von J(ϕ) liegen.
Mit der Substitution
geht (4.14.7) über in
mit der Gitterfunktion
Zwischen zwei Hauptmaxima gibt es n − 2 Nebenmaxima. (4.14.11)
x :=
π d sin ϕ
λ
(4.14.12)
J(x) = J0 · f(x) (4.14.13)
f(x) = sin2 nx
sin 2 x
Hauptmaxima von f bei x = ν · π, Nullstellen bei x = ν ν
· π mit
n n
16
14
12
10
y 8
6
4
2
-1 0
1 2
x
3 4
Abb.4.14.3 f(x) mit n = 4
100
80
60
y
40
20
/∈ und lim
x→νπ = n2 .
(4.14.14)
-1 0
1 2
x
3 4
Abb.4.14.4 f(x) mit n = 10
Genauere Untersuchungen der Gitterfunktion (z.B. mit MAPLE) ergeben, dass ca. 90 % der
Energie in die Hauptmaxima gestreut werden.