ag-3-1-punktefeld-te.. - Mathematik

P. Baireuther Arithmetische Grundvorstellungen SoSe 2005
Zu Kap. 3.1. Das Punktefeld
Das 100-Punkte-Feld (nach Müller/Wittmann) umfasst 10 Reihen (Spalten) mit je 10
Punkten und entspricht so dem dezimal geordneten Zahlenraum bis 100. Je 5
Reihen (Spalten) sind deutlich abgesetzt ("Kraft der 5")
Die erweiterte Variante (nach Baireuther) geht in Reihen- und Spaltenzahl deutlich
über das 100-Punkte-Feld hinaus, hebt dieses aber durch Färbung hervor. Die
Abtrennung von je 5 Reihen (Spalten) ist auch erkennbar, aber weniger deutlich.
Die erweiterte Variante macht deutlich, dass
– der zu untersuchende Zahlenraum Teil eines größeren Zahlenraumes ist,
– das Ordnungssystem des Punktefeldes beliebig fortgesetzt werden kann
(Einmaleinsreihen!)
– die Zehner-Einer-Gliederung eine (sehr effektive) unter vielen möglichen Zahlgliederungen
ist
– die "Kraft der 5" als Entsprechung zur simultanen Zahlerfassung eine sehr
nützliche Technik ist, aber nicht in allen Fällen denknotwendig und sinnvoll.
Das Punktefeld ist in erster Linie dem Formzahlaspekt zuzuordnen, denn
– die geometrische Grundstruktur (regelmäßige Anordnung in Reihen und
Spalten) entspricht der multiplikativen Zahlstruktur
– durch Ausblenden entstandene Zahlbilder sind geometrisch strukturiert
Ziele:
j Überblick über den "Grund-Zahlenraum" bis 100 (in diesem Bereich ist das
Einzelne und die Gesamtheit noch gleichzeitig wahrnehmbar)
j Größere Anzahlen durch systematische Gliederung erfassen.
j Multiplikation als effektive Zählmethode (in großen Schritten) erfassen
j Dezimale Gliederung als Sonderfall wahrnehmen
A. Zahldarstellung im Punktefeld
Zahlen werden durch Abtrennen (Umfahren, Ausschneiden) oder durch Ausblenden
aus dem Punktefeld dargestellt.
a) Zahlbilder herstellen (Verschiedene Gliederungsmöglichkeiten kennen lernen)
Bsp.: Immer 24! Sammeln und Vergleichen von verschiedenen Zahlbildern für die
gleiche Zahl.
Übung: Zahlbild-Memory. (Nicht die Zahlbilder, sondern die Gliederungsmöglichkeiten
sollen eingeprägt werden)
b) Spezielle Zahlbilder herstellen (Geometrische Zahleigenschaften kennen lernen)
Bsp.: Treppen- (Pyramiden-) Zahlen.
Übung: Zahlerfassung durch Umbauen bzw. Ergänzen
3.1 Punktefeld S. 1

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c) Reihen füllen (Bündelung bzw. Division mit Rest)
Bsp.: Zahlen auf verschiedene Weisen "aufbauen":
48 = 40⋅10 + 8 = 5⋅9 + 3 = 6⋅8 = 6⋅7 + 6 = 8⋅6 = 9⋅5 + 3 = 12⋅4 = 16⋅3 = 24⋅2
Übung: Zahlen nach gleichem Rest ordnen
d) Mauern bauen (Multiplikative Zahlzerlegung)
Bsp.: 48 = 2⋅24 = 3⋅16 = 4⋅12 = 6⋅8 = 6⋅7 + 6 = 8⋅6 = 12⋅4 = 16⋅3 = 24⋅2
Übung: "Günstige" (auf verschiedene Weisen zerlegbare) und "ungünstige"
Zahlen (Primzahlen!) sammeln und unterscheiden
B. Addition
Zwei wesentliche Grundvorstellungen:
j Zusammenfügen (2 Zahlbilder zu einem vereinigen)
j Hinzufügen (Ein Zahlbild ergänzen)
a) Zusammenfügen:
Problem: Auszählen der Gesamt-Anzahl mühsam und komplex, wenn
Gesamtstruktur beider Zahlbilder uneinheitlich.
Vorteil: Beide Summanden sind durch Zahlbilder repräsentiert und können
gleichberechtigt behandelt werden.
Die Erfahrung ist aber wichtig, um Vorteil der normierten Zahlbilder (Zehner-Reihen)
zu erkennen!
Die Erfassung der Gesamtzahl ist auch bei
normierten Zahlbildern auf verschiedene
Weisen möglich:
– Getrenntes Erfassen von Zehnern und
Einern
– Umbauen innerhalb der Zehner-Reihen
– Umbauen mit Überschreiten der Zehner-
Reihen (Bild)
– ...
a) Hinzufügen:
Problem: Zweiter Summand nicht durch Zahlbild repräsentiert; dadurch kann
Kontrolle über den Additionsvorgang verloren gehen (was ist schon getan, was ist
noch zu tun?)
Vorteil: Auszählen der Gesamtzahl ist einfach, weil normiertes Zahlbild sofort erzeugt
werden kann.
Das Hinzufügen des zweiten Summanden ist
auf verschiedene Weisen möglich:
– "Getrenntes" Hinzufügen eines normiertes
Zahlbildes, dann Umgruppieren
– Ergänzen zum Zehner, dann Hinzufügen
ganzer Zehner, dann der restlichen Einer
– erst Hinzufügen ganzer Zehner (verteilt auf
zwei Reihen – s. Bild)
– ...
3.1 Punktefeld S. 2

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Hinweis: Das Hinzufügen fördert hauptsächlich das Verständnis für die
Stellenwertüberschreitung (halbschriftliches Rechnen), das Zusammenfügen mehr
die getrennte Behandlung der Stellenwerte (schriftliches Rechnen)
B. Subtraktion
Zwei wesentliche Grundvorstellungen:
j Wegnehmen (aus einem Zahlbild durch Abstreichen von Punkten)
j Unterschied bestimmen (zwischen zwei Zahlbildern durch Ergänzen)
a) Wegnehmen
ist die direkte Umkehroperation des Hinzufügens. Analog sind die Vor- und Nachteile
zu sehen. Wegnehmen kann allerdings prinzipiell auf zwei verschiedene Weise
geschehen:
Wegnehmen "am Anfang" Wegnehmen "am Ende"
Der Subtrahend wird gut erkennbar
dargestellt, das Ergebnis muss
"kombiniert" werden
Übungsformen:
– Aufgaben mit gleichem Ergebnis suchen
– Nachbaraufgaben suchen
b) Unterschied bestimmen
3.1 Punktefeld S. 3
Das Ergebnis ist gut erkennbar, der
Subtrahend muss zusammengesetzt
werden.
ist ebenfalls eine Umkehroperation des Hinzufügens. Gefragt wird danach, wie viel
hinzuzufügen (zu ergänzen) ist, wenn Ausgangs- und Endzustand bekannt sind.
Die Analogie zum "Wegnehmen am Anfang" ist offensichtlich.
Hinweis: eine direkte Umkehrung der Addition als Zusammenfügen gibt es nicht –
weil eine Zahl nicht eindeutig in zwei Teile zerlegt werden kann. Andererseits ergibt
das (freie) Zerlegen von Zahlbildern viele wichtige Erkenntnisse über die additive
Zahlstruktur.

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C. Multiplikation
Multiplizieren ist (zumindest zu Beginn) eine mehrfache Addition gleicher
Summanden. Dafür gibt es zwei wesentliche Konkretisierungen
j zeitlich sukzessiv (Wiederholung gleicher Vorgänge)
j räumlich simultan (regelmäßige Anordnung gleicher Objektmengen)
Der zeitlich-sukzessiven Vorstellung entspricht
eine linear geordnete Darstellung,
der räumlich-simultanen eine zweidimensionale
Anordnung in Reihen und Spalten
Die zweidimensionale Darstellung entspricht genau der Struktur des Punktefelds.
Im Punktefeld können Produkte deshalb sehr einfach dargestellt werden (ausblenden
eines Rechtecksfeldes). Jedes Produkt steht gleichzeitig in unmittelbarem
Strukturzusammenhang mit anderen Produkten durch
– Zerlegen in 2, 4, ... Rechtecksfelder
– Systematisches Variieren und
– Inhaltsgleiches Umbauen von Rechtecksfeldern
(genauere Ausführungen in der Veranstaltung).
Das Punktefeld eröffnet also einen reichhaltigen Erfahrungsraum für systematisches,
produktives und anschaulich gestütztes Üben für das Kleine Einmaleins, der aber
beliebig erweitert werden kann:
Das erweiterte Punktefeld hebt die Begrenzung der Einmaleinsreihen auf und macht
sowohl ihr System wie auch ihren Nutzen (für die Berechnung beliebiger Produkte)
konkret erfahrbar.
Durch Übergang zum Karoraster (verfeinert bis zum Millimeterpapier) erfolgt die
Verallgemeinerung zum Ausmessen von Rechtecken und die entscheidende
Ausdehnung des Erfahrungsraumes
Durch Veränderung der Skalen ist die Idee auf die Multiplikation beliebiger (positiver)
reeller Zahlen erweiterbar.
(genauere Ausführungen ebenfalls in der Veranstaltung).
D. Division
Bei der Einführung der Division (Zerlegung in gleich große "Portionen") hilft eine
Anordnung in Reihen und Spalten bei der Kontrolle (der Größe der Portionen). Im
Punktefeld können deshalb viele Divisionsaufgaben visualisiert und vergleichbar
gemacht werden.
Allerdings steht jede Aufgabe für sich – und eine Zurückführung auf einfachere
Aufgaben ist kaum möglich. Die Darstellung ist deshalb nicht tragfähig als Basis für
effektives, in konkreten Erfahrungen verankertes formales Dividieren.
3.1 Punktefeld S. 4

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E. Zusammenfassung
Beim Punktefeld steht die Mühe (und der Aufwand) für das Visualisieren im
Punktefeld sehr rasch in einem deutlichen Kontrast zum Effekt (verständige
Ausführung von Rechenoperationen), wenn es nur auf die Ermittlung von
Ergebnissen ankommt. In diesem Fall wird die Vorstellung arithmetischer
Operationen im Punktefeld eher als Hindernis und nicht als Denkhilfe erfahren – und
die Ausbildung tragfähiger Grundvorstellungen behindert und nicht gefördert.
Wichtig ist eine Veränderung der Zielsetzung von Aufgaben:
j Erkunden verschiedener Lösungswege (Punktbilder als Anregung für
Veränderungen von Lösungswegen)
j Kommunikation über verschiedene Lösungswege (anhand von Punktbildern)
j Zerlegen komplexer Lösungswege (in einfachere Teilaufgaben)
j Verallgemeinern von Lösungswegen (bei welchen Aufgaben kann man analog
vorgehen?)
j Einbetten von Aufgaben in ein strukturiertes Umfeld (welche anderen Aufgaben
sind gleichzeitig schon gelöst bzw. leicht auf gelöste Aufgabe zurückzuführen?)
Auch bei Berücksichtigung dieser Zielsetzung ist die Bedeutung des Punktefeldes für
die Herausbildung von arithmetischen Grundvorstellungen nicht in jedem Fall gleich
hoch anzusetzen:
Die regelmäßige Struktur mit gleich geordneten Reihen und Spalten lässt das
Punktefeld als ideale Konkretisierung der multiplikativen Struktur (der natürlichen
Zahlen) erscheinen. Rechtecksfelder können leicht abgetrennt, variiert und zerlegt
werden; der Handlungsspielraum für selbstständiges, entdeckendes Lernen der
Schüler ist groß. Darüber hinaus kann die Rechtecksvorstellung für Produkte fast
beliebig erweitert werden (Begrenzungen nur im Bereich negativer Zahlen) und zeigt
ohne großen Aufwand alle relevanten algebraischen Gesetze für die Multiplikation.
Umgekehrt ist die Darstellung der Division im Punktefeld nur sehr begrenzt möglich.
Nur für die Einführung der Multiplikation (s.o.) bietet sich das Punktefeld wegen der
offensichtlichen Verallgemeinerungsfähigkeit an (s. auch 3.2.1),
Der kaum vorhandene Bezug zwischen den Umkehroperationen Multiplikation und
Division erscheint als einziges Manko der Interpretation der Multiplikation durch
rechteckige Felder. Offenkundig darf das nicht die einzige Grundvorstellung sein, die
für die Multiplikation angeboten wird!
Die wesentlichen Grundvorstellungen der Addition und Subtraktion lassen sich im
Punktefeld gut visuell repräsentieren – die Darstellungen sind aber nur in
beschränktem Maße zugänglich für operative (bewegliche) Durcharbeitung und nur
bedingt ausbaufähig. Die Bedingungen zur Herausbildung von Grundvorstellungen
sind deshalb nur eingeschränkt gegeben.
3.1 Punktefeld S. 5