Kapitel 3 - Mathematik

Skript zu Komplexe Zahlen M. Ludwig
3.4.2 Eigenschaften von E(ϕ )
a) Allgemeines
E
⇒
E
( ϕ ) = cosϕ
+ i sinϕ
E(
ϕ ) ∈
( ϕ + 2π
) = E(
ϕ + k ⋅ 2π
) = E(
ϕ )
E( ϕ ) ist 2π -periodisch (k ∈Z)
E 0 = E 2π
=
( ) ( ) 1
( ϕ ) = 1 ∀ϕ
∈
E R
2
2
2
2
Beweis: cos ϕ + sin ϕ = 1 (ausführlicher | E ( ϕ)
| = cos ϕ + sin ϕ = 1)
b) Das Produkt
i ⋅i = −1
2i ⋅ 2i
= −4
− 1 ⋅ ( −1)
= 1
1
(
2
2
2(
1+
i )) = i
( ϕ ) ⋅ E(
ϕ ) = ( cosϕ + i sinϕ
)( cosϕ
i sinϕ
)
E 1 2
1
1 2 + 2
= cosϕ
cosϕ
+ i sinϕ
cosϕ
+ i sinϕ
cosϕ
− sinϕ
sinϕ
1
2
= cosϕ
2 cosϕ
1 − sinϕ
1 sinϕ
2 + i
=
cos
( ϕ ) E(
ϕ ) = E(
ϕ + ϕ ) ∀ ∈
E 1 ⋅ 2
1 2 , ϕ1
/ 2 R
- 17 -
( sinϕ
cosϕ
+ sinϕ
cosϕ
)
( ϕ + ϕ ) + i sin(
ϕ + ϕ )
1
2
2
1
1
2 1
1 2
Multiplikation bedeutet also Addition der Argumente und Multiplikation der Beträge.
⇒ z ⋅ z = z E ϕ ) ⋅ z ⋅ E(
ϕ ) = z ⋅ z ⋅ E(
ϕ + ϕ )
1
2
1
( 1 2 2 1 2 1 2
1
2
2
1
2