Kapitel 3 - Mathematik
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Skript zu Komplexe Zahlen M. Ludwig<br />
3.4 Deutung der Multiplikation<br />
3.4.1 Polarform der komplexen Zahlen<br />
Man kann die komplexen Zahlen auch in einer anderen Form schreiben. Man nutzt<br />
dazu die Polarkoordinaten.<br />
ϕ = arg( z)<br />
0 ≤ arg( z)<br />
= ϕ < 2π<br />
⇒ Es gibt also eine eindeutige Abbildung P (Polarkoordinaten) von C nach R× W<br />
(W = Menge der Winkel zwischen 0 und 2π ).<br />
P: C R × W<br />
⎛ 2 2 −1⎛<br />
y ⎞⎞<br />
P: x + iy ⎜ x + y ; tan ⎜ ⎟⎟<br />
⎝<br />
⎝ x ⎠⎠<br />
Da die Winkel zwischen 0 und 2π liegen, gibt es auch eine eindeutige<br />
Umkehrabbildung.<br />
P 1 − : R × W C<br />
P 1<br />
z ; ϕ z cosϕ<br />
+ z i sin<br />
− : ( ) ϕ<br />
z [ cosϕ + i sinϕ<br />
]<br />
Für cosϕ + i sinϕ<br />
schreibt man auch E(ϕ ).<br />
⇒ z = z ⋅ E(<br />
ϕ )<br />
x = z cosϕ<br />
= Re( z)<br />
y = z sinϕ<br />
= Im( z)<br />
z<br />
=<br />
Im( z)<br />
tanϕ<br />
= =<br />
Re( z)<br />
Da P und P -1 eindeutige Abbildungen sind, nennt man P auch eineindeutig oder<br />
bijektiv. Man kann also ohne „Verluste“ hin- und herrechnen.<br />
- 15 -<br />
x<br />
2<br />
+ y<br />
2<br />
=<br />
y<br />
x<br />
z ⋅ z<br />
*<br />
⇒ tan<br />
−1<br />
⎛ y ⎞<br />
⎜ ⎟ = ϕ<br />
⎝ x ⎠
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