1. Schulaufgabe aus der Mathematik BOS TAB - MatheNexus

M. Knobel S1_A4_BOSTA_A41119.mcd
1. Schulaufgabe aus der Mathematik BOS TAB 19.11.2004
1.0 Gegeben sei die vom reellen Parameter k abhängige Funktion
f k : x-->
3 x 3
⋅ k x 2
− ⋅ − 27 ⋅ x + 9 ⋅ k
8 x 3
⋅ 16 ⋅ k x 2
− ⋅ − 32 ⋅ x + 64 ⋅ k
1.1 Geben Sie den Funktionsterm von f k in Linearfaktorzerlegung an. 11P
1.2 Bestimmen Sie in Abhängigkeit von k die Definitionsmenge und evtl. vorkommende hebbare
Defintionslücken. Für welche Werte von k gibt es Polstellen ohne Vorzeichenwechsel? Für welche Werte von
k gibt es Berührpunkte? 5P
1.3 Berechnen Sie: Kann man k so bestimmen, dass f k symmetrisch wird? 2P
1.4 Setzen Sie nun k = 1 und bestimmen Sie alle Asymptoten von f 1 . 2P
1.5 Bestimmen Sie die x-Werte der Schnittpunkte des Graphen von f 1 mit seinen Asymptoten (auf zwei
Nachkommastellen genau). 4P
1.6 Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f 1 und seine Asymptoten in ein passendes
Koordinatensystem. (Mit Sorgfalt!) 6P
2.0 Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Ungleichungen. 7P
2.1 x + 4 < 2 2.2 x − 1 > 2 2.3
x − 5 ≤ 0
2.4
2x − 6
2 − 3x
3.0 Ein neu ausgewiesenes Baugebiet wird gerade vermessen. Die eben gewonnenen Meßpunkte lassen
die Erstellung eines vorläufigen Höhenschnittes entlang der Hauptachse des Baugebietes zu:
Alle Meßpunkte liegen in einer Richtung (der Richtung der x-Achse)), Bezugspunkt soll die Grenze der
Gemeindegemarkung sein.
Abstand vom Grenzstein Gemarkungsgrenze:
Höhe in Bezug auf den Grenzstein:
3.1 Alle Punkte zwischen 0m und 80m sollten der besseren Übersicht
halber durch eine Polynomfunktion vom Grade 3 interpoliert werden.
Legen Sie also eine passende Funktion durch die Meßpunkte. 4P
3.2 Der nahegelegene Bach überschwemmt bei Hochwasser alle
unterhalb 0m Höhe gelegenen Gebiete.
Berechnen Sie die Überschwemmungsintervalle. 2P
3.3 Wo und wie hoch liegt (außer am Rand bei 80m) der
(zweit)höchstgelegene Punkt (näherungsweise!) ? 1P
< 4
0 10 40 70 [in m, x-Achse]
−2.80 0 0 0 [in m, y-Achse]

Musterlösung:
1.1 Geben Sie den Funktionsterm von f k in Linearfaktorzerlegung an. 11P
Nenner:
x1 := 2
D( k)
( 2 − 2 ⋅ k)
2
− 4 ⋅ 1 ⋅ ( −4 ⋅ k)
vereinfachen 4 k 2
→ ⋅ + 8 ⋅ k + 4 faktor 4 ( k + 1)
2
:=
→ ⋅
x2 :=
Zähler:
x1 := 3
f( k , x)
Pole ohne VZW, falls 2k = -2 , 2:
Berührpunkte, falls k/3 = -3 , 3:
1.3 Berechnen Sie: Kann man k so bestimmen, dass f k symmetrisch wird? 2P
Aus 1.1:
f( k , x)
Oder aus der Angabe:
f1( x)
x 3
2 ⋅ k x 2
− ⋅ − 4 ⋅ x + 8k
vereinfachen x
x − 2
2
→ − 2 ⋅ x ⋅ k + 2 ⋅ x − 4 ⋅ k
2 ⋅ k − 2 − 2 ⋅ ( k + 1)
2
D = R \ { -2; 2; 2k }
Vertikale Asymptoten
8 x 3
⋅ 16 ⋅ k x 2
− ⋅ − 32 ⋅ x + 64 ⋅ k 8 x 3
2 ⋅ k x 2
= ⋅ − ⋅ − 4 ⋅ x + 8k = 0
3 x 3
⋅ k x 2
− ⋅ − 27 ⋅ x + 9 ⋅ k = 0
3 x 3
⋅ k x 2
− ⋅ − 27 ⋅ x + 9 ⋅ k
vereinfachen 3 x
x − 3
2
→ ⋅ − x ⋅ k + 9 ⋅ x − 3 ⋅ k
1P
9k k x 2
− ⋅
k = −1
k = −9
⎛
⎝
k = 1
k = 9
k
3 ⋅ ( x + 3)
⋅ ( x − 3)
⋅ ⎜x
−
3
:=
8 ⋅ ( x + 2)
⋅ ( x − 2)
⋅ ( x − 2 ⋅ k)
1.4 Setzen Sie nun k = 1 und bestimmen Sie alle Asymptoten von f 1 . 2P
⎛
⎝
1
3 ⋅ ( x + 3)
⋅ ( x − 3)
⋅ ⎜x
−
3
8 ⋅ ( x + 2)
( x − 2)
2
:=
⋅
x = −2
→ −2
⎛
⎝
und
1P
k
3 ⋅ ( x + 3)
⋅ ( x − 3)
⋅ ⎜x
−
3
:=
8 ⋅ ( x + 2)
⋅ ( x − 2)
⋅ ( x − 2 ⋅ k)
⎞ ⎟⎠
und
x = 2
x3( k)
⎞ ⎟⎠
1P
( )
:=
f1( x)
1P
1P
64k 16 ⋅ k x 2
− ⋅
2 ⋅ k − 2 + 2 ⋅ ( k + 1)
D( k)
( 9 − k)
2
− 4 ⋅ 3 ⋅ ( −3k) vereinfachen k 2
→ + 18 ⋅ k + 81 faktor ( k + 9)
2
:=
→
x k − 9 − ( k + 9)
2 :=
2 ⋅ 3
→ −3
1P
1.2 Bestimmen Sie in Abhängigkeit von k die Definitionsmenge und evtl. vorkommende hebbare
Defintionslücken. Für welche Werte von k gibt es Polstellen ohne Vorzeichenwechsel? Für welche Werte von
k gibt es Berührpunkte? 5P
Hebbare Definitionslücken gibt es, falls k/3 = -2 , 2 , 2k oder 2k = -3 , 3:
⎞ ⎟⎠
x3( k)
1P
2
k − 9 + ( k + 9)
2 ⋅ 3
→
:=
k = −6
k = 6 k = 0
k = −1.5
k = 1.5
symmetrisch, falls k/3 = 2k =0 also
müssen verschwinden.
x-->+ - ∞
------------------------->
→
1
3 k ⋅
3
8
2 ⋅ k
1P
2P
1P
2P
1P
k = 0
1P
2P
Horizontale Asymptote
1P
2P
3
y :=
8

1.5 Bestimmen Sie die x-Werte der Schnittpunkte des Graphen von f 1 mit seinen Asymptoten (auf zwei
Nachkommastellen genau). 4P
3 x 3
⋅ x 2 ( − − 27 ⋅ x + 9)
8 x 3
⋅ 16 x 2
3
÷ ( − ⋅ − 32 ⋅ x + 64)
8
5x 2
− 15x − 15
8 x 3
⋅ 16 x 2
= +
3 x
− ⋅ − 32 ⋅ x + 64
2P
3
⋅ 6 x 2
− ⋅ − 12 ⋅ x + 24
-----------------------------------------
5x 2
− 15x − 15
2.4
x − 5 ≤ 0 L = { 5 } 1P
2x − 6
2 − 3x
< 4
2x − 6
2 − 3x
− 4 < 0
2x − 6
2 − 3x
4 ⋅ ( 2 − 3x)
− < 0
2 − 3x
14( x − 1)
2 − 3x
x − 1 < 0 und 2 − 3x > 0 oder x − 1 > 0 und 2 − 3x < 0 1P
x < 1
< 0 1P
2
2
> x
x > 1
< x
2 3
3
x < 1 < x
L = R \ [ 2/3; 1 ] 2P
3
5x 2
x 2
− 15x − 15 = 0
− 3x − 3 = 0 D := 9 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( −3)
→ 21
3 − D
3 + D
x1 := gleit , 5 → −.7913
x2 := gleit , 5 → 3.7913 2P
2
2
1.6 Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f 1 und seine Asymptoten in ein passendes
Koordinatensystem. (Mit Sorgfalt!) 6P
x := −4 , −3.991..
5 1+5P
f1( x)
y
− 2
2
4
3
2
1
4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
2.0 Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Ungleichungen. 7P
2.1 x + 4 < 2 L = ] -6; -2 [ 1P
2.2 x − 1 > 2 L = R \ [ -1; 3 ] 1P
2.3
5
1
2
3
4
5
x

3.0 Ein neu ausgewiesenes Baugebiet wird gerade vermessen. Die eben gewonnenen Meßpunkte lassen
die Erstellung eines vorläufigen Höhenschnittes entlang der Hauptachse des Baugebietes zu:
Alle Meßpunkte liegen in einer Richtung (der Richtung der x-Achse)), Bezugspunkt soll die Grenze der
Gemeindegemarkung sein.
Abstand vom Grenzstein Gemarkungsgrenze:
Höhe in Bezug auf den Grenzstein:
3.1 Alle Punkte zwischen 0m und 80m sollten der besseren Übersicht halber durch eine Polynomfunktion vom
Grade 3 interpoliert werden. Legen Sie also eine passende Funktion durch die Meßpunkte. 4P
h( a , x)
:= ( x − 10)
⋅ ( x − 40)
⋅ ( x − 70)
⋅ a
3.2 Der nahegelegene Bach überschwemmt bei Hochwasser alle unterhalb 0m Höhe gelegenen Gebiete.
Berechnen Sie die Überschwemmungsintervalle. 2P
h( a , lz)
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
Überschwemmt in [0m;10m[ und in ]40m;70m[.
3.3 Wo und wie hoch liegt (außer am Rand bei 80m) der (zweit)höchstgelegene Punkt (näherungsweise!) ? 1P
Max ca. bei 25m:
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80
h( a , 25)
= 1.012
0
−2.80
h( a , 0)
= −2.8
→ −28000 ⋅ a = −2.8
2P
10
0
lz
40
0
70
0
[in m, x-Achse]
[in m, y-Achse]
1
=> a :=
10000
Zwischen 20m und 25m ist der höchste Punkt knapp über 1m Höhe.
4P
1P