1. Schulaufgabe aus der Mathematik BOS TAB - MatheNexus
1. Schulaufgabe aus der Mathematik BOS TAB - MatheNexus
1. Schulaufgabe aus der Mathematik BOS TAB - MatheNexus
Erfolgreiche ePaper selbst erstellen
Machen Sie aus Ihren PDF Publikationen ein blätterbares Flipbook mit unserer einzigartigen Google optimierten e-Paper Software.
M. Knobel S1_A4_<strong>BOS</strong>TA_A41119.mcd<br />
<strong>1.</strong> <strong>Schulaufgabe</strong> <strong>aus</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong> <strong>BOS</strong> <strong>TAB</strong> 19.1<strong>1.</strong>2004<br />
<strong>1.</strong>0 Gegeben sei die vom reellen Parameter k abhängige Funktion<br />
f k : x--><br />
3 x 3<br />
⋅ k x 2<br />
− ⋅ − 27 ⋅ x + 9 ⋅ k<br />
8 x 3<br />
⋅ 16 ⋅ k x 2<br />
− ⋅ − 32 ⋅ x + 64 ⋅ k<br />
<strong>1.</strong>1 Geben Sie den Funktionsterm von f k in Linearfaktorzerlegung an. 11P<br />
<strong>1.</strong>2 Bestimmen Sie in Abhängigkeit von k die Definitionsmenge und evtl. vorkommende hebbare<br />
Defintionslücken. Für welche Werte von k gibt es Polstellen ohne Vorzeichenwechsel? Für welche Werte von<br />
k gibt es Berührpunkte? 5P<br />
<strong>1.</strong>3 Berechnen Sie: Kann man k so bestimmen, dass f k symmetrisch wird? 2P<br />
<strong>1.</strong>4 Setzen Sie nun k = 1 und bestimmen Sie alle Asymptoten von f 1 . 2P<br />
<strong>1.</strong>5 Bestimmen Sie die x-Werte <strong>der</strong> Schnittpunkte des Graphen von f 1 mit seinen Asymptoten (auf zwei<br />
Nachkommastellen genau). 4P<br />
<strong>1.</strong>6 Skizzieren Sie den Graphen <strong>der</strong> Funktion f 1 und seine Asymptoten in ein passendes<br />
Koordinatensystem. (Mit Sorgfalt!) 6P<br />
2.0 Bestimmen Sie die Lösungsmenge <strong>der</strong> folgenden Ungleichungen. 7P<br />
2.1 x + 4 < 2 2.2 x − 1 > 2 2.3<br />
x − 5 ≤ 0<br />
2.4<br />
2x − 6<br />
2 − 3x<br />
3.0 Ein neu <strong>aus</strong>gewiesenes Baugebiet wird gerade vermessen. Die eben gewonnenen Meßpunkte lassen<br />
die Erstellung eines vorläufigen Höhenschnittes entlang <strong>der</strong> Hauptachse des Baugebietes zu:<br />
Alle Meßpunkte liegen in einer Richtung (<strong>der</strong> Richtung <strong>der</strong> x-Achse)), Bezugspunkt soll die Grenze <strong>der</strong><br />
Gemeindegemarkung sein.<br />
Abstand vom Grenzstein Gemarkungsgrenze:<br />
Höhe in Bezug auf den Grenzstein:<br />
3.1 Alle Punkte zwischen 0m und 80m sollten <strong>der</strong> besseren Übersicht<br />
halber durch eine Polynomfunktion vom Grade 3 interpoliert werden.<br />
Legen Sie also eine passende Funktion durch die Meßpunkte. 4P<br />
3.2 Der nahegelegene Bach überschwemmt bei Hochwasser alle<br />
unterhalb 0m Höhe gelegenen Gebiete.<br />
Berechnen Sie die Überschwemmungsintervalle. 2P<br />
3.3 Wo und wie hoch liegt (außer am Rand bei 80m) <strong>der</strong><br />
(zweit)höchstgelegene Punkt (näherungsweise!) ? 1P<br />
< 4<br />
0 10 40 70 [in m, x-Achse]<br />
−2.80 0 0 0 [in m, y-Achse]
Musterlösung:<br />
<strong>1.</strong>1 Geben Sie den Funktionsterm von f k in Linearfaktorzerlegung an. 11P<br />
Nenner:<br />
x1 := 2<br />
D( k)<br />
( 2 − 2 ⋅ k)<br />
2<br />
− 4 ⋅ 1 ⋅ ( −4 ⋅ k)<br />
vereinfachen 4 k 2<br />
→ ⋅ + 8 ⋅ k + 4 faktor 4 ( k + 1)<br />
2<br />
:=<br />
→ ⋅<br />
x2 :=<br />
Zähler:<br />
x1 := 3<br />
f( k , x)<br />
Pole ohne VZW, falls 2k = -2 , 2:<br />
Berührpunkte, falls k/3 = -3 , 3:<br />
<strong>1.</strong>3 Berechnen Sie: Kann man k so bestimmen, dass f k symmetrisch wird? 2P<br />
Aus <strong>1.</strong>1:<br />
f( k , x)<br />
O<strong>der</strong> <strong>aus</strong> <strong>der</strong> Angabe:<br />
f1( x)<br />
x 3<br />
2 ⋅ k x 2<br />
− ⋅ − 4 ⋅ x + 8k<br />
vereinfachen x<br />
x − 2<br />
2<br />
→ − 2 ⋅ x ⋅ k + 2 ⋅ x − 4 ⋅ k<br />
2 ⋅ k − 2 − 2 ⋅ ( k + 1)<br />
2<br />
D = R \ { -2; 2; 2k }<br />
Vertikale Asymptoten<br />
8 x 3<br />
⋅ 16 ⋅ k x 2<br />
− ⋅ − 32 ⋅ x + 64 ⋅ k 8 x 3<br />
2 ⋅ k x 2<br />
= ⋅ − ⋅ − 4 ⋅ x + 8k = 0<br />
3 x 3<br />
⋅ k x 2<br />
− ⋅ − 27 ⋅ x + 9 ⋅ k = 0<br />
3 x 3<br />
⋅ k x 2<br />
− ⋅ − 27 ⋅ x + 9 ⋅ k<br />
vereinfachen 3 x<br />
x − 3<br />
2<br />
→ ⋅ − x ⋅ k + 9 ⋅ x − 3 ⋅ k<br />
1P<br />
9k k x 2<br />
− ⋅<br />
k = −1<br />
k = −9<br />
⎛<br />
⎝<br />
k = 1<br />
k = 9<br />
k<br />
3 ⋅ ( x + 3)<br />
⋅ ( x − 3)<br />
⋅ ⎜x<br />
−<br />
3<br />
:=<br />
8 ⋅ ( x + 2)<br />
⋅ ( x − 2)<br />
⋅ ( x − 2 ⋅ k)<br />
<strong>1.</strong>4 Setzen Sie nun k = 1 und bestimmen Sie alle Asymptoten von f 1 . 2P<br />
⎛<br />
⎝<br />
1<br />
3 ⋅ ( x + 3)<br />
⋅ ( x − 3)<br />
⋅ ⎜x<br />
−<br />
3<br />
8 ⋅ ( x + 2)<br />
( x − 2)<br />
2<br />
:=<br />
⋅<br />
x = −2<br />
→ −2<br />
⎛<br />
⎝<br />
und<br />
1P<br />
k<br />
3 ⋅ ( x + 3)<br />
⋅ ( x − 3)<br />
⋅ ⎜x<br />
−<br />
3<br />
:=<br />
8 ⋅ ( x + 2)<br />
⋅ ( x − 2)<br />
⋅ ( x − 2 ⋅ k)<br />
⎞ ⎟⎠<br />
und<br />
x = 2<br />
x3( k)<br />
⎞ ⎟⎠<br />
1P<br />
( )<br />
:=<br />
f1( x)<br />
1P<br />
1P<br />
64k 16 ⋅ k x 2<br />
− ⋅<br />
2 ⋅ k − 2 + 2 ⋅ ( k + 1)<br />
D( k)<br />
( 9 − k)<br />
2<br />
− 4 ⋅ 3 ⋅ ( −3k) vereinfachen k 2<br />
→ + 18 ⋅ k + 81 faktor ( k + 9)<br />
2<br />
:=<br />
→<br />
x k − 9 − ( k + 9)<br />
2 :=<br />
2 ⋅ 3<br />
→ −3<br />
1P<br />
<strong>1.</strong>2 Bestimmen Sie in Abhängigkeit von k die Definitionsmenge und evtl. vorkommende hebbare<br />
Defintionslücken. Für welche Werte von k gibt es Polstellen ohne Vorzeichenwechsel? Für welche Werte von<br />
k gibt es Berührpunkte? 5P<br />
Hebbare Definitionslücken gibt es, falls k/3 = -2 , 2 , 2k o<strong>der</strong> 2k = -3 , 3:<br />
⎞ ⎟⎠<br />
x3( k)<br />
1P<br />
2<br />
k − 9 + ( k + 9)<br />
2 ⋅ 3<br />
→<br />
:=<br />
k = −6<br />
k = 6 k = 0<br />
k = −<strong>1.</strong>5<br />
k = <strong>1.</strong>5<br />
symmetrisch, falls k/3 = 2k =0 also<br />
müssen verschwinden.<br />
x-->+ - ∞<br />
-------------------------><br />
→<br />
1<br />
3 k ⋅<br />
3<br />
8<br />
2 ⋅ k<br />
1P<br />
2P<br />
1P<br />
2P<br />
1P<br />
k = 0<br />
1P<br />
2P<br />
Horizontale Asymptote<br />
1P<br />
2P<br />
3<br />
y :=<br />
8
<strong>1.</strong>5 Bestimmen Sie die x-Werte <strong>der</strong> Schnittpunkte des Graphen von f 1 mit seinen Asymptoten (auf zwei<br />
Nachkommastellen genau). 4P<br />
3 x 3<br />
⋅ x 2 ( − − 27 ⋅ x + 9)<br />
8 x 3<br />
⋅ 16 x 2<br />
3<br />
÷ ( − ⋅ − 32 ⋅ x + 64)<br />
8<br />
5x 2<br />
− 15x − 15<br />
8 x 3<br />
⋅ 16 x 2<br />
= +<br />
3 x<br />
− ⋅ − 32 ⋅ x + 64<br />
2P<br />
3<br />
⋅ 6 x 2<br />
− ⋅ − 12 ⋅ x + 24<br />
-----------------------------------------<br />
5x 2<br />
− 15x − 15<br />
2.4<br />
x − 5 ≤ 0 L = { 5 } 1P<br />
2x − 6<br />
2 − 3x<br />
< 4<br />
2x − 6<br />
2 − 3x<br />
− 4 < 0<br />
2x − 6<br />
2 − 3x<br />
4 ⋅ ( 2 − 3x)<br />
− < 0<br />
2 − 3x<br />
14( x − 1)<br />
2 − 3x<br />
x − 1 < 0 und 2 − 3x > 0 o<strong>der</strong> x − 1 > 0 und 2 − 3x < 0 1P<br />
x < 1<br />
< 0 1P<br />
2<br />
2<br />
> x<br />
x > 1<br />
< x<br />
2 3<br />
3<br />
x < 1 < x<br />
L = R \ [ 2/3; 1 ] 2P<br />
3<br />
5x 2<br />
x 2<br />
− 15x − 15 = 0<br />
− 3x − 3 = 0 D := 9 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( −3)<br />
→ 21<br />
3 − D<br />
3 + D<br />
x1 := gleit , 5 → −.7913<br />
x2 := gleit , 5 → 3.7913 2P<br />
2<br />
2<br />
<strong>1.</strong>6 Skizzieren Sie den Graphen <strong>der</strong> Funktion f 1 und seine Asymptoten in ein passendes<br />
Koordinatensystem. (Mit Sorgfalt!) 6P<br />
x := −4 , −3.99<strong>1.</strong>.<br />
5 1+5P<br />
f1( x)<br />
y<br />
− 2<br />
2<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
4 3 2 1 0 1 2 3 4 5<br />
2.0 Bestimmen Sie die Lösungsmenge <strong>der</strong> folgenden Ungleichungen. 7P<br />
2.1 x + 4 < 2 L = ] -6; -2 [ 1P<br />
2.2 x − 1 > 2 L = R \ [ -1; 3 ] 1P<br />
2.3<br />
5<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
x
3.0 Ein neu <strong>aus</strong>gewiesenes Baugebiet wird gerade vermessen. Die eben gewonnenen Meßpunkte lassen<br />
die Erstellung eines vorläufigen Höhenschnittes entlang <strong>der</strong> Hauptachse des Baugebietes zu:<br />
Alle Meßpunkte liegen in einer Richtung (<strong>der</strong> Richtung <strong>der</strong> x-Achse)), Bezugspunkt soll die Grenze <strong>der</strong><br />
Gemeindegemarkung sein.<br />
Abstand vom Grenzstein Gemarkungsgrenze:<br />
Höhe in Bezug auf den Grenzstein:<br />
3.1 Alle Punkte zwischen 0m und 80m sollten <strong>der</strong> besseren Übersicht halber durch eine Polynomfunktion vom<br />
Grade 3 interpoliert werden. Legen Sie also eine passende Funktion durch die Meßpunkte. 4P<br />
h( a , x)<br />
:= ( x − 10)<br />
⋅ ( x − 40)<br />
⋅ ( x − 70)<br />
⋅ a<br />
3.2 Der nahegelegene Bach überschwemmt bei Hochwasser alle unterhalb 0m Höhe gelegenen Gebiete.<br />
Berechnen Sie die Überschwemmungsintervalle. 2P<br />
h( a , lz)<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
Überschwemmt in [0m;10m[ und in ]40m;70m[.<br />
3.3 Wo und wie hoch liegt (außer am Rand bei 80m) <strong>der</strong> (zweit)höchstgelegene Punkt (näherungsweise!) ? 1P<br />
Max ca. bei 25m:<br />
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80<br />
h( a , 25)<br />
= <strong>1.</strong>012<br />
0<br />
−2.80<br />
h( a , 0)<br />
= −2.8<br />
→ −28000 ⋅ a = −2.8<br />
2P<br />
10<br />
0<br />
lz<br />
40<br />
0<br />
70<br />
0<br />
[in m, x-Achse]<br />
[in m, y-Achse]<br />
1<br />
=> a :=<br />
10000<br />
Zwischen 20m und 25m ist <strong>der</strong> höchste Punkt knapp über 1m Höhe.<br />
4P<br />
1P