Logik und Künstliche Intelligenz - Hochschule Heilbronn

V. Stahl Logik und Künstliche Intelligenz Seite 18
Im letzten Beispiel hätte man eigentlich schreiben müssen
{x | es gibt ein p ∈ Z und ein q ∈ N so dass x = p/q},
aber solang klar ist was gemeint ist, sind Vereinfachungen in der Notation
durchaus erlaubt.
Dass es zu jeder Eigenschaft E eine Menge gibt, die aus genau den Objekten
besteht, die die E erfüllen, heißt Comprehension Principle. Es bedeutet,
dass Mengen und Eigenschaften im Prinzip das Selbe sind: Eine Eigenschaft
ist definiert durch die Menge aller Objekte, die die Eigenschaft erfüllen, und
diese Menge ist wiederum durch die Eigenschaft definiert. Die Eigenschaft
“rot” kann man z.B. definieren als die Menge aller roten Objekte oder die
Zahl drei als die Menge aller dreielementigen Objekte.
Das Comprehension Principle ist ein sehr mächtiges Instrument um Mengen
zu definieren. Da es kein Objekt x gibt, für das x = x gilt, lässt sich auch
die leere Menge mit dem Comprehension Principle definieren:
2.4 Russelsche Antinomie
∅ = {x | x = x}.
Seit man begonnen hat, die einfachsten Behauptungen zu beweisen,
erweisen sich viele von ihnen als falsch.
Bertrand Russel
Das Comprehension Principle scheint offensichtlich richtig, es erwies sich jedoch
zu Anfang des 20. JH als verheerender Irrtum und stellte die gesamte
Welt der Mathematik in Frage. Der Irrtum beschränkt sich nicht nur auf die
Mengenlehre oder die Mathematik sondern manifestiert sich in allen Bereichen
des logischen Denkens. Insbesondere ist er auch verantwortlich für die
vielen unentscheidbaren Problemen der Informatik wie z.B. dem Halteproblem.
Prominentestes Opfer dieses Irrtums war Frege, der gerade ein Werk über
die Grundlagen der Mathematik basierend auf Mengen und Logik vollendet
hat, als er den berühmten Brief von Russel bekam .... Hierin wird eine
Eigenschaft E definiert, zu der es keine Menge
gibt.
{x | x erfüllt E}
Das Comprehension Principle erlaubt es, die Menge M aller Mengen zu
definieren, d.h.
M = {x | x ist eine Menge}.