Logik und Künstliche Intelligenz - Hochschule Heilbronn

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V. Stahl Logik und Künstliche Intelligenz Seite 46 • ≡3 ist reflexiv auf N0. • Die in Bild 3.4 links dargestellte Relation ist reflexiv auf R. • Die Relation
V. Stahl Logik und Künstliche Intelligenz Seite 47 – Die zu beweisende Formel beginnt mit einem Allquantor. Einen Allquantor kann man immer durch eine kleine Zauberformel loswerden und zwar: Sei a beliebig aber fest gewählt. Zu zeigen: a ∈ A → aRa. Was hier geschehen ist, ist dass aus der Variablen a eine Konstante wurde, d.h. a bezeichnet ab sofort ein konkretes Objekt, auf das man im weiteren Verlauf des Beweises Bezug nehmen darf. – Die zu beweisende Formel ist vom Typ . . . → . . ., d.h. eine wenn – dann Aussage. Der Trick wie man mit solchen Formeln umgeht ist, anzunehmen dass der wenn–Teil erfüllt ist. Zu zeigen ist dann nur noch der dann–Teil: Gegeben: a ∈ A zu zeigen: aRa. – Noch weiter lässt sich die Formel allgemein nicht vereinfachen. Jetzt muss man konkret hinschauen wie die Relation R definiert ist. Man setzt also die Definition von R in die Formel ein. Wie’s ab hier weitergeht hängt von R ab. Beispiel 3.30 Gegeben ist die Relation R = {(a, b) | a ∈ R, b ∈ R, |a| = |b|}. Es soll untersucht werden ob R reflexiv auf R ist. • Beispiele: (2, 2) ∈ R, (−100, −100) ∈ R, (0, 0) ∈ R, .... Da kein Gegenbeispiel gefunden wurde, lastet auf R der Verdacht reflexiv auf R zu sein. • Nun zum Beweis: – Zu zeigen: ∀a a ∈ R → aRa. – Sei a beliebig aber fest. Zu zeigen: a ∈ R → aRa. – Gegeben: a ∈ R. Zu zeigen: aRa. – Einsetzen der Definition von R. Zu zeigen: a ∈ R und |a| = |a|. Dass a ∈ R ist, folgt aus der Annahme im vorigen Schritt, dass |a| = |a| ist offensichtlich. An der graphischen Darstellung einer Relation auf R kann man sofort sehen, ob sie reflexiv auf R ist. Dies ist nämlich genau dann der Fall, wenn die Hauptdiagonale komplett eingezeichnet ist.
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[15] D. L. Johson. Elements of Logi
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