Logik und Künstliche Intelligenz - Hochschule Heilbronn

V. Stahl Logik und Künstliche Intelligenz Seite 8
2 Mengen
Spätere Generationen werden die Mengenlehre als Krankheit betrachten,
von der der Mensch genesen ist.
Henri Poincaré
...all mathematical theories may be regarded as extensions of
the general theory of sets .... On these foundations I state that
I can build up the whole of the mathematics of the present day.
2.1 Der Begriff der Menge
Nicolas Bourbaki, 1949
Der Begriff der Menge bildet den Ausgangspunkt für alle mathematischen
Überlegungen. Sämtliche anderen mathematischen Objekte wie Relationen,
Funktionen und sogar Zahlen kann man als spezielle Mengen definieren. Dieser
Zugang zur Mathematik geht auf Cantor und Frege zurück und entstammt
dem Wunsch zu verstehen, was der eigentliche “Kern” der Mathematik ist.
Abgesehen davon, dass dadurch viele Dinge einfacher und klarer werden,
kommt diese Vorgehensweise insbesondere auch dem Informatiker entgegen:
Will man mathematische Objekte im Rechner verarbeiten, so genügt es im
Prinzip eine geeignete Datenstruktur für Mengen zu implementieren.
Es ist sehr wichtig, keine unbewiesenen Annahmen zu treffen,
aber noch wichtiger ist es, keine Worte zu benutzen, hinter denen
sich kein klarer Sinn verbirgt.
W. K. Clifford
Nun kann zwar die ganze Mathematik auf dem Begriff der Menge aufgebaut
werden, das bedeutet aber, dass man bei der Definition des Begriffs Menge
auf keine anderen Objekte der Mathematik zugreifen kann. Dies führte zu
Anfang des 20. Jahrhunderts zu einer großen Verwirrung, was genau unter
einer Menge zu verstehen ist. Die bis dahin allgemein akzeptierte intuitive
Vorstellung einer Menge führt nämlich — wie 1901 von Russel gezeigt — zu
Widersprüchen.
Folgende Definition stammt von Cantor aus dem Jahr 1895:
Definition 2.1 (Menge,Element)
Eine Menge ist eine Zusammenfassung M von wohlunterschiedenen
Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens, welche
Elemente von M genannt werden, zu einem Ganzen.