Logik und Künstliche Intelligenz - Hochschule Heilbronn

V. Stahl Logik und Künstliche Intelligenz Seite 56
• Jedes Element von A ist in einer Menge K ∈ Z.
∀a a ∈ A → (∃K K ∈ Z ∧ a ∈ K).
Sei a beliebig aber fest. Gegeben a ∈ A, zu zeigen
∃K K ∈ Z ∧ a ∈ K.
Wähle K = Ka. Damit ist K ∈ Z und da R reflexiv ist, folgt aRa
und laut Definition von Ka ist somit a ∈ K.
Jede Äquivalenzrelation R auf A liefert also eine Zerlegung von A in Äquivalenzklassen
von R. Wenn man versucht, sich eine Äquivalenzrelation vorzustellen,
ist es oft hilfreich, sich die entsprechende Zerlegung in Äquivalenzklassen
anzuschauen.
Merkregel 3.43
Äquivalenzrelationen und Zerlegungen sind das selbe. Das eine lässt
sich exakt durch das andere beschreiben.
Beispiel 3.44 Auf jeder Menge A gibt es zwei extreme Äquivalenzrelationen
• Die Gleichheit auf A
=A= {(a, a) | a ∈ A}.
Hier steht jedes Element nur mit sich selbst in Relation. Die Äquivalenzklassen
sind somit einelementige Mengen
Ka = {x | x =A a}
= {a}
für jedes a ∈ A. Die zugehörige Zerlegung
ist die feinste Zerlegung von A.
• Die Relation
Z = {Ka | a ∈ A}
= {a} | a ∈ A
A × A = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ A}.