Dreiecke

Dreiecke
1. Ein Dreieck ist durch seine beiden Winkel α und β sowie durch die Seite b gegeben. Drücke die
Stücke h c , a und A Δ allgemein durch b, α und β aus.
2. In einem rechtwinkligen Dreieck sind die Katheten 5,0 cm und 6,0 cm lang. Wie groß sind die Winkel
in diesem Dreieck? [ 40°, 50°, 90° ]
- In einem Dreieck schließen zwei Seiten mit den Längen von 7,00 cm bzw. 6,00 cm einen Winkel von
90,0° ein. Wie groß sind die restlichen beiden Winkel im Dreieck? [ 49,4°, 40,6° ]
3. Von einem 25 m hohen Leuchtturm mit dem Fuß F und dem Ausblick A aus soll die Entfernung zweier
markanter Punkte B und C bestimmt werden. F, B und C liegen praktisch in Meereshöhe auf einer
waagrechten Geraden. Wie groß ist BC , wenn die Blickrichtung von A nach B bzw. nach C
gegenüber der Horizontalen einen Winkel von 21,2° bzw. von 1,5° bildet? [ 0,89 km ]
4. Zu einer Burganlage, die mit Wall und Graben umgeben ist, gehört ein Turm. Zu diesem Turm führt
eine geradlinige Straße mit einem Steigungswinkel von 5,0°, deren letztes Stück eine heraufgezogene
Zugbrücke bildet. Zwei feindliche Später sollen herausfinden, wie hoch der Turm ist. Beide Späher
befinden sich auf der Straße und sind 420 m voneinander entfernt. Wenn sich Adalbert auf den Boden
legt, sieht er die Turmspitze unter einem Winkel von 31°; wenn sich Dagobert dagegen auf den Boden
legt, so sieht er die Turmspitze unter einem Winkel von 6,5° (jeweils gegenüber der Straße). Wie hoch
ist der Turm also?
5. In einem Trapez mit den Grundseiten [AB] und [CD] sind die drei Winkel ∠ BAD = 90°, ∠ DCB = 120°,
∠ DBA = 30° und AD = 4,0 cm bekannt. Bestimme die fehlenden Winkel und Seiten des Trapezes
anhand einer sauberen Skizze.
6. In einem rechtwinkligen Dreiack ABC hat die Hypothenuse [AB] die Länge c = 13 cm; außerdem ist α =
75°. Die Kathete [BC] wird nun durch D und E in drei gleich große Teile zerlegt; E liegt dabei näher an
B als an C.
a) Fertige eine Skizze an und berechne mit ihrer Hilfe die Kathetenlängen a und b.
b) Berechne ∠ DAC, AE , ∠ BAE und ∠ EAD.
7. In einem allgemeinen Dreieck ABC sind die Stücke α, b und c gegeben.
a) Drücke h, x und y durch diese Stücke aus und zeige dann die Beziehung a 2 = b 2 + c 2 – 2bc cosα
b) Berechne a und den Flächeninhalt A des Dreiecks für α = 35°, c = 7,0 cm und b = 5,0 cm.
8. In der nebenstehenden, nicht maßstabsgetreuen Skizze seien ∠ CAB = 40°, ∠ ABC = 90° und AC =
6,0 cm.

a) Berechne AB ! [ 4,6 cm ]
b) Welchen Flächeninhalt besitzt das Dreieck ABC? [
8,9 cm 2 ]
c) Es seien BB' = CC' = 1,0 cm. Wie groß ist dann ∠ C'B'A?
Hinweis: Berechne geeignete Stücke im Dreieck AB'C'. [ 61° ]
9. Zu bestimmten Zeiten bilden die Erde E, der Mond M und die Sonne S ein rechtwinkliges Dreieck,
wobei die drei Himmelskörper als Eck„punkte“ angenommen werden. Für den Abstand EM gilt dabei
der bekannte Wert 384 000 km. Den Abstand ES , d.h. den sog. Radius der Erdbahn, kann man
berechnen, wenn man zu dem genannten Zeitpunkt auch den Winkel ∠ SEM kennt.
a) Aristarch hat diesen Winkel 230 v. Chr. zu 87° bestimmt. Von welcher Entfernung Erde-Sonne ist
Aristarch also ausgegangen?
b) Der wahre Wert liegt bei 89°51'. Welcher Abstand ES ergibt sich dann?
10. In einem Dreick ist AC = BC , AB = 6,0 cm und γ = 50°. Berechne die Längen der drei Höhen in
diesem Dreieck.
11. Von einem in 2,5 km Höhe schwebenden Freiluftballon aus beobachtet man eine Stadt unter dem
Tiefenwinkel 8,0°. Wie weit ist die Stadt entfernt?
Hinweis: Tiefenwinkel werden gegen die Horizontale gemessen.
12. Der schiefe Turm von Pisa ist um 5,5° geneigt. Um wieviele Meter ragt der Turm in 47 m Höhe über
seine Standfläche in waagrechter Richtung hinaus?
13. An einem Punkt greifen die drei Kräfte r F 1,
r
F 2 und r F 3 an. Dabei ist F 1 = 6,4 N; und r F 1 zeigt genau nach
Osten, r F 2 genau nach Norden und r F 3 genau nach Südwesten. Berechne die Beträge von r F 2 und r F 3.
14. In einem Dreieck ist a = b = 9,4 cm und h c = 4,5 cm. Berechne die dritte Dreiecksseite sowie alle
Innenwinkel.
C'
A B B'
C

15. In einem gleichschenkligen Dreieck ABC mit den Schenkeln [AC] und [BC] ist γ = 68° und weiter h c =
9,3 cm.
a) Berechne die Seitenlängen und die Größe der Winkel des Dreiecks.
b) Welchen Winkel bidet die Seitenhalbierende s a mit der Basis?
16. Von einer geraden Straße zweigt im Ort A ein gerader Fußweg unter einem Winkel von 40° "nach
links" ab; der Fußweg führt zum Ort B. 2,0 km von A entfernt liegt an der besagten Straße der Ort C;
von dort zweigt unter einem Winkel von 95° eine andere Straße nach B ab. Um wieviel ist der Fußweg
von A nach B kürzer als die Straßenverbindung?
17. In einem Dreieck sind a = 7,5 cm, β = 35° und c = 4,5 cm gegeben. Berechne α, γ und b.
[ 69° ; 76° ; 4,6 cm ]
- In einem Dreieck sind a = 4,0 cm, c = 5,0 cm und h c = 3,0 cm gegeben. Berechne b und α.
[ 3,8 cm ; 52° ]
18. Gegeben ist das Dreieck ABC mit α = 40°, β = 60° und b = 5,0 cm. Berechne in dieser (!) Reihenfolge:
γ, h c , a und den Flächeninhalt A. [ 80° ; 3,2 cm ; 3,7 cm ; 9,1 cm 2 ]
19. Bestimme die Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck mit c = 5,0 und a = 3,0.
20. Wie groß ist der größte Winkel in einem Dreieck, dessen Seiten sich wie 2 : 3 : 4 verhalten?
21. In einem rechtwinkligen Dreick ABC mit [AB] als Hypothenuse ist α = 40° und c = 4,5 cm.
a) Berechne die Längen der Seiten A und b.
b) Die Seitenhalbierende s a teilt den Winkel α in zwei Teile. Berechne die Größe dieser beiden Winkel
auf 2 Dezimalen genau.