11.3 Meist kürzere Aufgaben zur Kombinatorik\374

Neue Aufgaben zu Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit
k
Bei einigen der späteren Aufgaben wird die Bezeichnung F(n; p; k) := Σ B(n; p; i) verwendet. F wird
i=0
auch als „aufsummiert“ oder „kumuliert“ bezeichnet; die entsprechenden Werte stehen im Tafelwerk.
1. Es wird mit zwei Würfeln gewürfelt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für
a) die Augensumme 7; |A| = 6, also P = 1
6
b) für die Augensumme 11; |B | = 2, also P = 1
18
c) die Teilbarkeit der Augensumme durch 2 (3; 6); |C| = 18 / 12 / 6, also P = 1
2
d) einen Pasch? |D| = 6, also P = 1
6
e) Nun werden die beiden Würfel n-mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens
einmal Pasch? P = 1 – ( 5
6 )n
2. Aus den Ziffern 1 und 2 wird zufällig eine 5-stellige Zahl gebildet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass diese Zahl durch 2 bzw. 3 bzw. 4 teilbar ist?
2: hängt nur von Endziffer ab, also P = 1
2
4: geht nur bei Endzifferkombination „…12“, also P = 1
4
3: mit X = Anzahl der Einser gilt: 5 – X = Anzahl der Zweier; die Quersumme ist dann X · 1 + (5–X) · 2
= X + 10 – 2 · X = 10 – X, und also sind die Quersumme sowie die Zahl selber durch 3 teilbar, wenn
X = 1 oder X = 4. Die Wahrscheinlichkeit für Zahlen mit genau einem bzw. genau 4 Einsern ist aber
P1 = ( 5 1
1 ) (
2 )5 bzw. P4 = ( 5
4
) ( 1
2 )5 = n 1 = 5
32 . Damit ist P = P 1 + P 4
3. Herr M. ist zu faul zum Korrigieren. Deshalb würfelt er mit zwei Würfeln, um damit die Noten für die
einzelnen Schülerarbeiten festzulegen. Die kleinere Augenzahl entscheidet über die Note. Wie groß ist
= 5
16
die Wahrscheinlichkeit für die Note 1? P = 11
36
/ 1
3
/ 1
6
oder P = 1 – ( 5
6 )2
4. Es wird mit drei Würfeln gewürfelt. Würfel A trägt die Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6. Würfel B trägt die
Augenzahlen 1, 2, 3 zweimal. Würfel C trägt die Augenzahlen 1, 2 dreimal. Wie groß ist die Wahr-
scheinlichkeit, dass die Summe der gewürfelten Augenzahlen 4 ist? mit Baum (3 Zweige) P = 1
12
5. In einer Urne sind 100 Kugeln, davon sind r Kugeln rot, der Rest ist schwarz. Es wird zweimal nach-
einander eine Kugel gezogen, ihre Farbe wird notiert und die Kugel wird zurück in die Urne gelegt.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine rote Kugel gezogen wird?
b) Die Wahrscheinlichkeit in a sei größer als 99%. Wie groß ist r mindestens?
mit Baum oder Gegenwahrscheinlichkeit: P =
2 r
100 –
r2 10000 ; mit P > 99 % ist r ≥ 91.

6. Josepha würfelt 6-mal mit einem Würfel und gewinnt, wenn sie mindestens einmal eine 6 würfelt.
Verena würfelt 12-mal mit einem Würfel und gewinnt, wenn sie mindestens zweimal eine 6 würfelt. Für
wen ist die Gewinnwahrscheinlichkeit höher?
„Diese“ Aufgabe war einer der Anlässe, weswegen der neue Zweig der Mathematik, die Stochastik
entwickelt wurde: Denn die laienhafte Vorstellung besagt natürlich, dass die beiden Wahrscheinlich-
keiten doch gleich sein müssten. Jedoch verlor ein adliger Würfelspieler, der beständig auf „Verena“
setzte, auf lange Sicht gegen denjenigen, der auf „Josepha“ setzte:
PJ = 1 – ( 5
6 )6 = 66,5 % ; PV = 1 – [ ( 12
0
) ( 1
6 )0 ( 5
6 )12 + ( 12
1
7. Ritter Benni und Ritter Dommi sind gleichwertige Gegner.
) ( 1
6 )1 ( 5
6 )11 ] = 61.9 % < P J
a) Was ist dann wahrscheinlicher: dass Benni 3 von 4 Kämpfen gegen Dommi gewinnt oder 5 von 8?
b) Und was ist wahrscheinlicher: dass Benni mindestens 3 von 4 Kämpfen gegen Dommi gewinnt
oder mindestens 5 von 8?
X = Anzahl der Siege von Benni, p = 1
2 = Wahrscheinlichkeit für einen Sieg von Benni
Es ist P4 (X = 3) = ( 4 1
3 ) ( 2 )3 · ( 1
2 )1 = 1
4 und P 1
8 (X = 5) = (8
5 ) ( 2 )5 · ( 1
2 )3 = 7
32 < P4 (X = 3);
also ist es wahrscheinlicher, dass Benni 3 von 4 Kämpfen gewinnt.
P4 (X ≥ 3) = ( 4 1
3 ) ( 2 )3 · ( 1
2 )1 + ( 4 1
3 ) ( 2 )4 · ( 1
2 )0 = 5
16 und P 93
8 (X ≥ 5) = … = 256 > P4 (X ≥ 3),
also ist es wahrscheinlicher, dass Benni mindestens 5 von 8 Kämpfen gewinnt.
8. Ein roter, ein grüner und ein gelber Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
die kleinste Augenzahl 1 ist? P = 1 – ( 5
6 )3
9. Unter den fünf Feldern eines Glücksrades, die alle gleich groß sind, ist nur ein Gewinnfeld. Das Rad
wird mehrmals gedreht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass - geht mit Tafelwerk einfach(er) !!!
a) unter den ersten 5 Versuchen höchstens 1 Treffer erzielt wird; B(5;0,2;0) + B(5;0,2;1)
b) unter den ersten 5 Versuchen genau 3 Treffer erzielt werden; B(5;0,2;3)
c) unter den ersten 5 Versuchen höchstens 3 Fehlschläge sind; B(5;0,2;2) + … + B(5;0,2;5)
d) unter den ersten 6 Versuchen mehr Treffer als Fehlschläge sind; B(6;0,2;4) + … + B(6;0,2;6)
e) nach spätestens 7 Versuchen ein Treffer erzielt wird?
Die Angabe bedeutet: Erfolg beim ersten Mal; oder nicht beim ersten, aber beim zweiten Mal; oder
nicht bei den ersten beiden Malen, aber beim dritten Mal; …; oder nicht bei den ersten sechs Ma-
len, aber (dann sicher!) beim siebten Mal; also P = 0,2 + 0,8 · 0,2 + 0,8 2 · 0,2 + … + 0,8 6 · 0,2
10. Ein Glücksspieler bietet folgendes Spiel an: Eine faire Münze wird 20-mal geworfen. Du gewinnst, wenn
9-, 10- oder 11-mal Zahl erscheint. Ist das Spiel für dich günstig?
P = F(20;0,5;11) – F(20;0,5;8) = 0,74828 – 0,25172 = 0,49656 < 0,5 -- Ergebnisse mittels Tafelwerk

11. Die Wahrscheinlichkeit, dass unter Zwillingen beide Kinder Jungen sind, wird auf 32% geschätzt. Mit
welcher Wahrscheinlichkeit sind unter 6 Zwillingspaaren die Hälfte Jungenpaare? ( 6
3 ) · 0,323 · 0,68 3
12. a) Eine faire Münze wird mehrfach geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich bei 4
Würfen mindestens einmal bzw. bei 8 Würfen mindestens zweimal bzw. bei 12 Würfen mindestens
dreimal Zahl ergibt. P 4 (X>0) = 1 – ( 1
2 )4 = 1
16
P12 (X>2) = 1 – ( 1
2 )12 – ( 12 1
1 ) ( 2 )12 – ( 12
2
1
) ( 2 )12 = 4017
4096
1
P(X>1) = 1 – (
2 )8 – ( 8
1
1
) ( 2 )8 = 247
256
b) Eine faire Münze wird 8-mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich häufiger Kopf
als Zahl ergibt? P = F(8 ; 1
2 ; 3) = 36.3 %
13. Zwei Schachspieler sind gleichwertige Gegner. Auf einem Schachturnier spielen sie gegeneinander. Ist
es wahrscheinlicher, dass der Erste der beiden vier von sechs Spielen gewinnt oder sechs von acht
Spielen? ( 6
4 ) · 0,56 = 15
64
> ( 8
6 ) · 0,58 = 7
64
14. Die Buchstaben A, A, A, H, I, K, N, R, T werden auf gleichartige Karten geschrieben, die in eine Urne
gelegt werden. Dann werden nacheinander ohne Zurücklegen die neun Kärtchen in zufälliger Reihen-
folge aus der Urne gezogen und hintereinander gelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich
dabei der Name KATHARINA ergibt? P = 1
9
· 3
8
15. Für ein Projekt im LKM 2 sollen die fünf Mädels jeweils den Namen desjenigen männlichen „Wunsch-
· 1
7
partners“ aus dem Kurs auf einen Zettel schreiben, mit dem sie an diesem Tag in einem Zweierteam
arbeiten wollen. Da gerade ein Benjamin und ein Fabian krank sind, ist die Namenszuordnung ein-
fach… Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
a) alle Mädchen den Namen „Bastian“ schreiben; P = ( 1
8 )5
b) alle Mädchen den gleichen Namen schreiben; P = 1 · ( 1
8 )4
c) alle Mädchen verschiedene Namen schreiben? P = 1 · 7 6
8 · 8
16. Acht Personen haben alle im Mai Geburtstag. Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindes-
tens zwei von ihnen am selben Tag Geburtstag haben, fast gleich 2
3
· 1
6
· 2
5
· 1
4
· 1
3
· 1
2
· 1
· 5
8
· 4
8
ist. P = 1 · 30
31
· … · 24
31
= 37,3 %
17. Eine Klasse besteht aus 13 Jungen und 15 Mädchen. Im Sportunterricht wird eine Mannschaft von 14
Schülern durch Los bestimmt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in der Mannschaft 7 Jungen
und 7 Mädchen sind? P = 51300
142506
≈ 36 %
18. Ein Mann hat in seinem Portemonnaie zwei 50-Cent-Stücke, vier 1-Euro-Stücke und vier 2-Euro-
Stücke. Er verliert in zufälliger Weise genau drei dieser Münzen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass der Schaden mindestens 3 Euro beträgt? über Baum P = 13
15

19. Eine Klasse besteht aus 13 Jungen und 15 Mädchen. Im Sportunterricht wird eine Mannschaft von 14
Schülern durch Los bestimmt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in der Mannschaft 7 Jungen
und 7 Mädchen sind? P = 27,5 %
20. Herr Mulack hat in einem Supermarkt neun einzelne Glühbirnen gekauft, vier klare und fünf matte. Die
Schachteln, in denen die Glühbirnen stecken, sind von außen nicht zu unterscheiden. (Na ja, er hat halt
seine Brille nicht auf…)
a) Wie viele Schachteln muss Herr Mulack mindestens öffnen, um über den Inhalt aller Schachteln
Bescheid zu wissen? acht; bei sieben könnte noch eine matte und eine klare übrig sein!
b) Herr Mulack öffnet nur 6 (7; 8) Schachteln? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er dann
schon über den Inhalt aller Schachteln Bescheid weiß?
8: klar, P = 1
7: Unklarheit nur, falls noch übrig je einmal klar / matt; dafür gibt es aber ( 5
1
ten; somit ist P = 1 – 20 : ( 9 4
2 ) = 9
4
) · ( 1 ) = 20 Möglichkei-
6: Es gibt natürlich ( 9
6 ) = 84 Möglichkeiten; Sicherheit verheißen aber nur die Fälle, bei denen entweder
alle fünf matten oder alle vier klaren Birnen angesehen werden, das ergibt insgesamt
( 5
5
) · ( 4
1
) + ( 5
2
) · ( 4
4
14 1
) = 4 + 10 = 14 Möglichkeiten. Somit ist P = 84 = 6
21. (etwas dubios) Ein Landwirt besitzt zehn Hühner. Sechs Hühner legen jeden Tag ein Ei, die anderen
Hühner legen nie ein Ei. Er verkauft nun wahllos vier seiner Hühner. Wie groß ist die Wahrscheinlich-
keit, dass die Effektivität der Hühnerhaltung nicht kleiner wird?
Effektivität der Hühnerhaltung :=
Anzahl der Eier pro Tag
Anzahl der Hühner
also X ≥ 3,6 bzw. X ≥ 4 und damit P(X ≥ 4) = 1 – F(6; 0,6; 3) = 45,6 %
Es muss sein (vorher) 6
10
≤ (hinterher) X
10 – 4 ,
22. Aus einem Skat-Spiel (32 Karten) werden 10 Karten ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit,
a) 4 Kreuz, 3 Pik, 2 Herz und 1 Karo zu ziehen; P a = ( 8
4
) · ( 8
3
) · ( 8
2
8 32
) · ( 1 ) : ( 10 )
b) 4 Karten einer Farbe, 3 Karten einer anderen Farbe, 2 Karten einer weiteren Farbe und 1 Karte der
noch verbleibenden Farbe zu ziehen? P b = P a · 4!
23. Ein Mann erzählt: „Ich habe in meinem Reitstall nur Rappen und Schimmel, und zwar doppelt so viele
Rappen wie Schimmel. Jeden Morgen wähle ich rein zufällig zwei der Pferde aus, die ich an diesem
Tag reite. Die Wahrscheinlichkeit, dabei einen Rappen und einen Schimmel zu wählen, ist mindestens
50 %.“ Wie viele Pferde befinden sich höchstens im Stall des Mannes? n ≤ 3 + 2 · 3 = 9
24. In einer Urne liegen rote und blaue Kugeln, insgesamt zwischen 50 und 80 Stück. Es sind mehr rote
als blaue Kugeln in der Urne. Die Wahrscheinlichkeit, bei gleichzeitigem Herausgreifen zweier Kugeln
eine rote und eine blaue Kugel zu bekommen, ist 50 %. Wie viele rote und wie viele blaue Kugeln sind
in der Urne? Mit dem üblichen Ansatz für Auswahlen ergibt sich
r · (n – r) · 2
= 0,5, und die entstehenn
· (n – 1)

4 r + 1
de quadratische Gleichung hat die Lösung n = 2
± 1
2
16 r + 1 Die Wurzel ist natürlich für eine gro-
ße Anzahl von Zahlen, z.B. für r = 3 oder r = 5. Infrage kommt aber wegen der vorgegebenen Ab-
schätzung von n nur r = 33 mit der Folge n = 55.
25. a) Urne I enthält 4 weiße und 2 schwarze Kugeln, Urne II enthält 2 weiße und 4 schwarze. Jemand
entnimmt der Urne I wahllos 2 Kugeln und legt sie in Urne II. Dann zieht er wahllos aus Urne II 2
Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese beiden Kugeln verschiedenfarbig
sind?
1. Schritt: per „Auswahl“ oder Baum zeigt man, dass mit Z = neue Anzahl der weißen Kugeln in
Urne II gilt: P(Z = 4) = P(zwei weiße ergriffen) = 6
8
1
15 , P(Z = 3) = 15 und P(Z = 2) = 15
2. Schritt: Die Wahrscheinlichkeiten für das Ziehen von verschiedenfarbigen Kugeln sind damit
im 1. bzw. 2. bzw. 3. Fall: P 1 = ( 4
1
4 8
) · ( 1 ) : ( 2 ) bzw. P2 3. Schritt: P = 6
15 · P 8
1 + 15 · P 1
2 + 15 · P 19
3 = 35
= ( 3
1
5 8
) · ( 1 ) : ( 2 ) bzw. P3 = ( 2
1
6 8
) · ( 1 ) : ( 2 ).
b) Eine Urne enthält weiße und schwarze Kugeln, und zwar dreimal so viele schwarze wie weiße
Kugeln. Es werden ohne Zurücklegen zwei Kugeln herausgegriffen. Zeige, dass die Wahrschein-
lichkeit, dabei eine weiße und eine schwarze Kugel zu bekommen größer als 3
8 ist.
P = ( w
1
) · ( 3w
1
4w w · 3 w · 2
) : ( 2 ) =
4 w · 4 w – 1
6 w2 3
>
16 w2 = 8
c) Wie viele Kugeln enthält die Urne, wenn die in b) genannte Wahrscheinlichkeit größer als 3
7 ist?
3 w 3
laut b ist P = (>
8 w – 2 7 ), also 21 w > 24w – 6 bzw. 3 w < 6, d.h. w = 1 und n = 1 + 3 · 1 = 4
d) In einer Urne befinden sich je n weiße und schwarze Kugeln (n ≥ 2). Aus der Urne werden nach-
einander drei Kugeln gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die dritte Kugel
weiß ist? mit Baum, wenn auch etwas kompliziert, P = 1
2
e) In einer Urne liegen schwarze und weiße Kugeln, und zwar doppelt so viele schwarze wie weiße.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man bei gleichzeitigem Herausgreifen von 3 Kugeln zwei
schwarze und eine weiße erhält, ist mindestens 50 %. Zeige, dass in der Urne höchstens 12 Ku-
geln sind.
Mit w = Anzahl der weißen Kugeln ist wie üblich P = ( w
1
) · ( 2w
2
3w
) : ( 3 ) ≥ 0,5. Daraus ergibt sich
nach einigen Umformungen die quadratische Ungleichung w 2 – 5 w + 2 ≤ 0, aus der insbesondere
folgt, dass w ≤ 5 1
2 + 2
17 . Da w eine natürliche Zahl ist, ist w ≤ 4 und n = 3 w ≤ 12
26. Es ist bekannt, dass 97% der Lose in einer Lotterie Nieten sind. Dabei soll die Anzahl der Lose so groß
sein, dass sich an diesem Anteil praktisch nichts ändert. Wie viele Lose muss man kaufen, damit die
Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Gewinn größer als 3
4 wird?
3
4 ≤ P = 1 – 0,97n , also 0,97 n ≤ 0,25 bzw. n ln 0,97 ≤ ln 0,25 und damit n ≥ 46

27. Aus fünf Mädchen und zehn Jungen wird ein Fünfer-Ausschuss ausgelost, der kontrollieren soll, ob die
nächste Schulaufgabe wieder zu einfach ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass drei Jun-
gen und zwei Mädchen in den Ausschuss kommen?
P = ( 5
2
) · ( 10
3
15
) : ( 5 ) = 40,0 %
28. Bei einem Zufallsexperiment bilden die Ereignisse A, B und C eine Zerlegung, d.h. je zwei von ihnen
sind unvereinbar und ihre Vereinigung bildet den Ergebnisraum. Es seien dann p := P(A) und q := P(B)
die Wahrscheinlichkeiten von A und B.
_
a) Drücke die Wahrscheinlichkeiten P(B ∪ C) und P(A ∩ (A ∪ C)) durch p und q aus:
Nun seien konkret beim Ziehen aus einer Urne mit drei roten und drei weißen Kugeln:
A := „ Es wird keine rote Kugel gezogen.“
B := „Es wird genau eine rote Kugel gezogen.“
C := „Es wird mehr als eine rote Kugel gezogen.“
b) Beschreibe die Menge B ∪ C mit möglichst wenig Worten.
c) Berechne P(B ∪ C), falls aus der Urne dreimal mit Zurücklegen gezogen wird.
d) Bereits beim ersten Mal wird eine rote Kugel gezogen. Wie groß ist dann beim dreimaligen Ziehen
ohne Zurücklegen die Wahrscheinlichkeit für insgesamt genau zwei rote Kugeln?
_
a) Wegen der Zerlegung ist P(B ∪ C) = 1 – P(A) 1 – p und P(A ∩ (A ∪ C)) = P(A ∩ (B ∪ C) = P(∅) = 0
b) B ∪ C = A = „Es wird keine rote Kugel gezogen.“
c) P(B ∪ C) = 1 – p = 1 – 1
2
d) (mit Baum) P = (r+w) 2
5
. 3
4
. 1
2
. 1
2
= 7
8
+ (w+r) 3
5
. 2
4
= 60 %.