11.3 Aufgaben

Aufgaben zu Kombinatorik und Wahrscheinlichkeiten
1. Für ein Zufallsexperiment, ein sog. Spiel, wird zweimal mit einem Laplace-Würfel gewürfelt. Das
Ergebnis z eines solchen Spiels berechnet sich als z := Augenzahl des ersten Wurfs + k , wobei k := 0,
falls die Augenzahl beim zweiten Wurf gerade ist und k := 4 sonst. Der Ergebnisraum hat also das
Aussehen Ω = {1, 2, ..., 10}.
Es sind nun folgende Ereignisse festgelegt: A := {10} , B := {2,6,10} sowie C := {2,3,7} und weiter
D := (A ∩ B ∩ C) ∪ ( A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C ) sowie
E := „Höchstens eines der drei Ereignisse A, B und C tritt ein.“
a) Zeige, dass P(A) = 1
12 ist.
b) Bei 100 Spielen tritt A elfmal auf. Wie groß ist die relative Häufigkeit von A?
c) Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit für wenigstens eine "10" in acht Spielen größer als 50 % ist
d) Wie oft muss man mindestens spielen, um "10" mit mehr 99 % Wahrscheinlichkeit zu erwürfeln?
e) Zeige, dass P(B) = 1
3 ist.
f) Berechne P(C).
g) Untersuche durch Rechnungen, ob A und B bzw. B und C unabhängig sind.
h) Formuliere D umgangssprachlich, und berechne P(D).
i) Drücke E durch A, B und C aus.
Nun sind X und Y zwei beliebige Ereignisse.
k) Vereinfache die folgenden Ereignisse mit Hilfe eines Venn-Diagramms oder mit Hilfe der
_
_
Gesetze der Mengenalgebra: (X ∩ Y)
∩ (X ∩ Y) und (X ∩Y)
∪ (X ∩ Y)
_
l) Zeige unter Verwendung von Teilaufgabe k, dass mit X und Y auch X und Y unabhängig sind.
2. Zu Beginn eines Schuljahres werden Buskarten an die Schüler ausgegeben. Jede Karte trägt den
Namen der Buslinie und eine eindeutige Nummer. Eine Klasse besteht neben einigen Hilpoltsteiner
Schülern aus 5 Gredingern, 3 Allersbergern, 7 Heideckern und 2 Thalmässingern.
a) Der Klassleiter erhält genau die benötigte Anzahl von Fahrausweisen. Wie viele Möglichkeiten gibt
es dann, jedem auswärtigen Schüler eine seinem Wohnort entsprechende Karte zu geben?
b) Zusätzlich zu den tatsächlich benötigten Fahrkarten erhält der Klassleiter versehentlich zwei weitere
Karten für die Linie Thalmässing-Hilpoltstein. Wie viele Möglichkeiten der Kartenausgabe gibt es
jetzt?

100
3. a) Berechne auf drei gültige Ziffern: ⎛ ⎞
⎝ 40 ⎠
: ⎝ ⎛
98
37
⎞
⎠
„ohne TR“
b) Eine Urne I enthält nur die von 1 bis 100 durchnummerierten Kugeln, eine Urne II nur die von 101
bis 198 durchnummerierten Kugeln. Aus I werden nun 40 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen, aus II
37 Kugeln ebenfalls ohne Zurücklegen. Welches der folgenden beiden Ereignisse ist dann wahr-
scheinlicher:
A := Die aus I gezogenen Kugeln tragen die Nummern 1 bis 40.
B := Die aus II gezogenen Kugeln tragen die Zahlen 101 bis 137.
4. Eine Laplace-Münze wird sechsmal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeiten für
a) sechsmal „Kopf“,
b) wenigstens einmal „Kopf“,
c) genau zweimal „Kopf“ und
d) wenigstens beim ersten und beim letzten Mal erscheint „Kopf“.
5. Ein MULACK-Würfel trägt anstelle der sechs Zahlen die Buchstaben M, U, L, A, C und K.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim sechsmaligen Werfen eines MULACK-Würfels
sechsmal der Buchstabe „K“ erscheint.
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim sechsmaligen Werfen eines MULACK-Würfels
die Buchstabenfolge M U L A C K (in dieser Reihenfolge!) erscheint.
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim einmaligen Werfen von sechs MULACK-Würfeln
eine Buchstabenkombination erscheint, aus der man den Namen „MULACK“ legen kann.
6. In einem Kasten befinden sich 26 Blättchen, die je einen Buchstaben des Alphabets tragen.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man beim willkürlichen Ziehen und Hinlegen der
Buchstaben in der gezogenen Reihenfolge den Namen „WAGNER“ erhält.
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man beim willkürlichen Ziehen von sechs Blättchen
aus den gezogenen Buchstaben den Namen „WAGNER“ bilden kann.
Nun wird in den Kasten ein weiteres Blättchen mit dem Buchstaben „W“ gelegt.
c) Wie ändert sich jetzt die Wahrscheinlichkeit aus Teilaufgabe a?
d) Es werden nun wiederum sechs Blättchen nacheinander gezogen; allerdings wird jedesmal der
entsprechende Buchstabe notiert und das Blättchen dann vor dem nächsten Ziehen wieder in den
Kasten geworfen. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Name „WAGNER“ no-
tiert wird?

7. Begründe durch Rechnung, ob es wahrscheinlicher ist, im Mittwochslotto 7 von 38 Zahlen richtig zu
erraten oder im Zahlenlotto 6 aus 49 richtig zu tippen.
8. a) Zur Begrüßung geben sich alle 20 Teilnehmer und 20 Teilnehmerinnen eines Tanzkurses gegen-
seitig die Hand. Wie oft werden also (je zwei) Hände geschüttelt?
b) Wie viele Möglichkeiten gibt es für die 20 Paare (ohne Partnerwechsel), sich zur Polonaise in einer
Reihe aufzustellen?
c) Wie viele Runden Wiener Walzer müssten getanzt werden, damit sämtliche durch Partnerwechsel
möglichen Konstellationen auf der Tanzfläche zu sehen waren?
d) Vier der Jungen tanzen beim Abschlussball grundsätzlich keinen Wiener Walzer. Damit tanzen also
immer nur 16 Paare. (Wie) Ändert sich dann die Anzahl der Runden Wiener Walzer aus Teilaufga-
be c ?
9. Beweise, dass ⎝ ⎛
m
k
⎞
⎠
= m
k ⋅ ⎝ ⎛
m–1
k–1 ist.
⎞
⎠
10. Jemand hat einen Laplace-Würfel so angefertigt, dass seine sechs Flächen die Zahlen 1, 1, 1, 1, 2, 2
tragen. Zwei Spieler A und B vereinbaren nun folgendes Spiel: Mit diesem Würfel wird dreimal gewür-
felt. Erscheint die Eins dabei öfter als die Zwei, dann gewinnt A, sonst gewinnt B.
a) Zeichne ein Baumdiagramm zum Experiment „dreifacher Wurf“ und bestimme dort die Wahrschein-
lichkeiten der einzelnen Ergebnisse.
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt A?
c) Wenn A gewinnt, so erhält er von B einen Euro. Gewinnt dagegen B, so erhält er von A zwei Euro. -
Kann B mit dieser Vereinbarung zufrieden sein? Begründe deine Antwort anhand eines geeigneten
Beispiels.
11. In einer Lieferung von 1000 Glühlampen befinden sich 2 defekte Lampen. Aus diesen 1000 Lampen
werden nun wahllos 5 Stück nacheinander und ohne Zurücklegen herausgegriffen. Berechne exakt,
d.h. ohne Näherung, wie groß die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass a) genau die fünfte Lampe bzw. b)
genau die erste Lampe defekt ist.
12. Im Fischbecken eines Gasthauses schwimmen sieben Karpfen und zehn Schleien. Jemand holt
nacheinander drei Fische heraus; die Schleien wirft er allerdings immer sofort zurück. Bestimme unter
Zuhilfenahme eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er zwei Karpfen herausholt -
und zwar unter der Annahme, dass sich jeder Fisch gleich leicht fangen lässt.
13. Berechne unter der Annahme, dass die Wahrscheinlichkeit für einen bestimmten Geburtstag gleich-
verteilt ist – Schaltjahre sind also ausgeschlossen –, die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
A := „Von vier zufällig ausgewählten Personen hat jede an einem anderen Tag Geburtstag.“
B := „Von vier zufällig ausgewählten Personen haben mindestens zwei am gleichen Tag Geburtstag.“
C := „Von k zufällig ausgewählten Personen haben mindestens zwei am gleichen Tag Geburtstag.“

14. Eine Laplace-Münze wird viermal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass viermal
das gleiche Ergebnis bzw. genau einmal „Zahl“ bzw. höchstens dreimal „Zahl“ erscheint?
15. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei sechs Würfen mit einem Laplace-Würfel
a) genau eine Sechs bzw. b) genau fünf Sechsen bzw. c) mindestens eine Sechs auftritt.
16. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei 36 Würfen mit zwei Laplace-Würfeln
a) genau eine Doppelsechs bzw.
b) mindestens eine Doppelsechs auftritt.
c) Wie oft muss man mindestens würfeln, damit die Wahrscheinlichkeit für wenigstens eine Doppel-
sechs größer als 90 % ist?
17. Eine Urne enthält vier gleichartige Kugeln mit den Nummern 1 bis 4. Man zieht nun zwei Kugeln aus
dieser Urne. Es sind folgende zwei Ereignisse definiert:
A := „Auf der einen Kugel steht eine kleinere Zahl als 3, auf der anderen eine ungerade Zahl.“
B := „Die Summe der Zahlen beider Kugeln ist ungerade.“
Zunächst werden die beiden Kugeln gleichzeitig gezogen.
a) Gib einen passenden Ereignisraum an.
b) Berechne die Wahrscheinlichkeiten für A und B.
c) Nun werden die Kugeln nacheinander mit Zurücklegen gezogen. Wie sehen jetzt der Er-
eignisraum bzw. P(A) und P(B) aus?
19. Eine Raumbeleuchtung besteht aus den vier Glühbirnen B 1 bis B 4 , die unabhängig voneinander eine
Lebensdauer von etwa drei Monaten haben. Diese Glühbirnen werden grundsätzlich gleichzeitig aus-
gewechselt. Zwei Monate, nachdem eine solche Birne neu eingesetzt wurde, beträgt ihre Ausfallwahr-
scheinlichkeit bereits 15 %.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit leuchten nach zwei Monaten noch B 1 und B 2 ?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit leuchten nach zwei Monaten noch B 3 oder B 4 oder beide?
c) Der Raum wird ausreichend ausgeleuchtet, wenn neben B 1 und B 2 noch mindestens eine der bei-
den anderen Birnen intakt ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist dies nach zwei Monaten noch der
Fall?
20. Bei einer Verkehrskontrolle weisen erfahrungsgemäß 3 Prozent aller kontrollierten LKWs gravierende
Mängel auf. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von drei nacheinander kontrollierten LKWs
keiner einen gewichtigeren Mangel aufweist bzw. dass 2 von 5 kontrollierten LKWs größere Schäden
aufweisen?
21. In einer Urne liegen 5 blaue, 3 weiße und eine gelbe Kugel, die nur durch ihre Farbe unterschieden
werden können. Zunächst wird mit Zurücklegen zweimal eine dieser Kugeln aus der Urne gezogen.

a) Gib einen Ereignisraum Ω für das zweimalige Ziehen an, wenn es nicht auf die Reihenfolge der
Farben ankommt.
b) Bestimme anhand eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass ohne Berücksichti-
gung der Reihenfolge zwei blaue bzw. eine blaue und eine weiße Kugel gezogen wurden.
c) Nun werden mit einem Griff 3 Kugeln aus der Urne genommen. Wie groß ist jetzt die Wahrschein-
lichkeit dafür, dass unter den drei Kugeln zwei gleichfarbige sind?
d) Alle Kugeln der Urne werden nun als Kette ringförmig aneinandergereiht. Wie viele verschiedene
Möglichkeiten der Anordnung gibt es, wenn die gleichfarbigen Kugeln weiterhin nicht zu unterschei-
den sind?
22. Ein Mann trifft eine Zielscheibe mit einer Wahrscheinlichkeit von 2
3 . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass er bei 5 Schüssen mindestens dreimal die Scheibe trifft?
23. Berechne die Wahrscheinlichkeit in Prozent dafür, dass von zwei zufällig ausgewählten Personen im
Alter von 20 bzw. von 40 Jahren nach 20 Jahren
a) höchstens noch eine am Leben ist bzw.
b) mindestens noch eine am Leben ist bzw.
c) dass ein 20jähriger mindestens das 30. Lebensjahr erreicht, aber vor Vollendung des 50. Lebens-
jahres stirbt.
Die genannten Ereignisse können dabei als unabhängig betrachtet werden. Als Sterbetafel sollen fol-
gende Daten zugrunde gelegt werden:
Alter in Jahren 0 20 30 40 50 60
Überlebende 100 000 90 000 85 000 80 000 75 000 65 000
24. A, B und C sind unabhängige Ereignisse mit P(A) = 1 7
5
3 , P(B) = 8 und P(A∪C) = 8 .
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt weder A noch B ein?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt das Ereignis C ein?
25. In einer Urne befinden sich sieben weiße und zwei schwarze Kugeln. Es werden drei Kugeln gezogen,
und zwar a) nacheinander ohne Zurücklegen, b) nacheinander mit Zurücklegen und c) gleichzeitig. Gib
jeweils einen passenden Ergebnisraum an.
26. a) Gegeben sind ein Zufallsexperiment und eine Menge. Welche Bedingungen müssen erfüllt sein,
damit die Menge als Ergebnisraum des Zufallsexperiment bezeichnet werden kann?

) Aus einem Spiel mit 52 Karten wird eine Karte gezogen. Welche der folgenden Mengen sind Er-
gebnisräume? Begründe Deine Antworten!
A := {Herz, Karo, Kreuz, Pik}
B := {Zahlenkarte, Dame, König, As}
C := {Herz, Karo, König}
27. Von zwei Würfeln trägt der erste wie üblich die Zahlen 1 bis 6, während beim zweiten Würfel je zwei
gegenüberliegende Flächen die gleichen Zahlen 1 bzw. 2 bzw. 3 tragen.
a) Gib den Ereignisraum an für das Experiment „Einmaliges Werfen des zweiten Würfels“.
b) Gib die Mächtigkeit der folgenden Ergebnisräume an:
- zweimaliges Werfen des ersten Würfels,
- zweimaliges Werfen des zweiten Würfels,
- einmaliges gemeinsames Werfen beider Würfel.
c) Wie viele Elemente hat der Ereignisraum zum Experiment „Einmaliges Werfen der beiden Würfel“?
28. a) Aus einem Skatspiel mit 32 Karten wird eine Karte zufällig gezogen. Berechne die Wahrscheinlich-
keit für das Ereignis A := „Die gezogene Karte ist ein Bube oder Karo.“
b) Es werden nun nacheinander zwei Karten gezogen, und zwar einmal mit und einmal ohne Zurück-
legen. Die Ereignisse B und C sind dann folgendermaßen definiert:
B := „Die zweite Karte ist kein König.“
C := „Die erste Karte ist ein König oder ein As.“
Bestimme für beide Zugarten die Mächtigkeit der Ereignisse B, C und B ∩ C sowie deren Wahr-
scheinlichkeiten.
c) Untersuche die Ereignisse B und C auf Unabhängigkeit sowohl beim Ziehen mit als auch ohne Zu-
rücklegen.
d) Beim Skatspiel erhalten 3 Spieler je 10 Karten. Die restlichen zwei Karten gehen in den Skat. Auf
wieviele Arten kann man die Karten verteilen? - Ansatz; nicht ausrechnen!
e) Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis D := „Im Skat liegen zwei Buben.“
f) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau ein Bube im Skat liegt, wenn alle Karten
noch verdeckt liegen bzw. wenn du schon weißt, dass du keinen Buben hast?

29. Im Erdgeschoss eines sechsstöckigen Gebäudes betreten 3 Personen den Fahrstuhl. Für jedes
Stockwerk ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person aussteigt, gleich groß. Berechne die Wahr-
scheinlichkeit für folgende Ereignisse (wobei niemand weiter einsteigt):
a) A := „Alle 3 Personen verlassen den Fahrstuhl im 4. Stockwerk.“
b) B := „Alle verlassen den Fahrstuhl in verschiedenen Stockwerken.“
30. Bei einer Tombola werden Lose mit vierstelligen Nummern verkauft; für die Nummern werden
allerdings nur die Ziffern 1, 3, 5, 7 und 9 verwendet.
a) Wie viele Lose gibt es?
b) Lose, bei denen die Quersumme höchstens 32 ergibt, sind Nieten. Wie viele Nieten gibt es?
31. Auf wie viele Arten kann man die Buchstaben des Wortes „gelegen“ legen?
32. In einer Urne liegen neun äußerlich nicht unterscheidbare Kugeln; vier von ihnen tragen den Buchsta-
ben „O“, drei das „T“ und je eine „M“ und „R“. Es werden nun Wörter gebildet, indem man Kugeln
nacheinander aus der Urne zieht und die so erhaltenen Buchstaben der Reihe nach liest.
a) Wie viele neunbuchstabige Wörter gibt es beim Ziehen mit bzw. ohne Zurücklegen?
b) Wie viele Wörter gibt es beim Ziehen ohne Zurücklegen, die auf „MOTOR“ enden, und wie groß ist
in der Menge dieser Worte die Wahrscheinlichkeit für das Wort „OTTOMOTOR“ ?
Aufgrund der Schreibweise des Buchstabens „M“ könnte es sich auch um ein „W“ handeln.
c) Wie viele neunbuchstabige Wörter sich dann bei den beiden Ziehungsarten denkbar?
d) Beim Ziehen ohne Zurücklegen beginnt ein Wort mit „WORT“. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass dieses Wort nacheinander drei T's oder dass es nacheinander drei O's enthält?
Wegen der Unklarheit über den Buchstaben „M“ – oder „W“ ? – wird die entsprechende Kugel nun aus
der Urne herausgenommen. Mit den restlichen acht Kugeln werden durch dreimaliges Ziehen ohne
Zurücklegen zunächst dreibuchstabige Wörter gebildet. Es sind folgende Ereignisse definiert:
A := „Das Wort enthält keinen Vokal.“
B := „Das Wort endet auf Doppel-O.“
e) Gib das Gegenereignis zu A in Worten und in Mengenschreibweise an.
f) Berechne P(A) und – mit Hilfe eines möglichst einfachen Baumdiagramms – auch P(B) .
_ _
g) Bestimme P(A ∩ B), P(A ∪ B) und P((A ∪ B)
∩ A).
Schließlich werden die verbliebenen acht Kugeln noch wahllos zu vier Zweiergruppen zusammenge-
fasst; die Reihenfolge der einzelnen Zweiergruppen ist dabei belanglos.
h) Wie viele derartige Verteilungen sind möglich?
i) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens in einer Gruppe zwei Konsonanten
vorkommen bzw. dafür, dass in jeder Gruppe ein „O“ auftritt?

33. In einer Urne liegen 4 weiße und 7 schwarze Kugeln. Es werden 5 Kugeln mit einem Griff gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine weiße Kugel zu ziehen?
34. Drei Schweden und zwei Dänen sollen sich nebeneinander auf eine Bank setzen.
a) Auf wie viele Arten ist dies möglich?
b) Auf wie viele Arten ist dies möglich, wenn die Dänen nebeneinander sitzen möchten?
c) Zu den Schweden und Dänen kommen jetzt noch fünf Norweger hinzu. Auf wie viele Arten können
sich Schweden, Dänen und Norweger auf eine Bank setzen, wenn die Angehörigen einer Nationali-
tät jeweils nebeneinander sitzen möchten?
35. Eine Laplace-Münze wird fünfmal geworfen; dabei sind die Ereignisse A bis E folgendermaßen
definiert:
A := „Kopf (='K') erscheint genau keinmal, viermal oder fünfmal.“
B := „Beim vierten und beim fünften Wurf tritt K auf. Die anderen Ergebnisse sind beliebig.“
C := „Mindestens eines der beiden Ereignisse A und B tritt ein.“
D := „Keines der beiden Ereignisse A und B tritt ein.“
E := „Genau eines der beiden Ereignisse A und B tritt ein.“
a) Gib die Ereignisse A und B als Teilmengen des Ergebnisraums Ω an.
b) Gib die Wahrscheinlichkeiten P(A), P(B) und P(A ∩ B) an.
c) Berechne P(C), P(D) und P(E) mit Hilfe der Ergebnisse von Teilaufgabe b.
Nun werden beim fünfmaligen Wurf für jedes „K“ sechs Punkte gutgeschrieben; für jede Zahl („Z“) gibt
es zwei Punkte.
d) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der gutgeschriebenen Punkte höchstens
14 beträgt.
e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der Punkte durch 5 teilbar ist?
36. In einer Urne liegen vier äußerlich nicht unterscheidbare Kugeln; sie tragen die Buchstaben a, b, c
bzw. d. Aus dieser Urne wird nun dreimal mit Zurücklegen gezogen (und jeweils notiert).
a) Gib den Ergebnisraum Ω und seine Mächtigkeit an.
b) Es werden folgende Ereignisse definiert:
A := „In einem Tripel kommt einer der Buchstaben genau zweimal vor.“
B := „In einem Tripel kommt der Buchstabe 'a' mindestens einmal vor.“
_ _
Berechne die Wahrscheinlichkeiten P(A), P(B), P(A∩B)
und P(A∩B).
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit P((A ∪ B) ∩ A ∩ B )) unter Verwendung von Teilaufgabe b.
Forme dazu den Term (A ∪ B) ∩ A ∩ B ) zunächst auf geeignete Weise um!

37. Ein Prüfer gibt eine Liste von 8 Fragen heraus. Bei der Prüfung wird er dem jeweiligen Kandidaten
zwei davon vorlegen, und dieser muss eine davon bearbeiten.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Meier seine einzig vorbereitete Frage bekommt?
b) Huber bereitet sich auf 6 der Fragen vor. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er min-
destens eine vorbereitete Frage vorgelegt bekommt?
c) Wie viele Fragen muss Schmidt mindestens vorbereiten, damit er mit mehr als 50 % Wahrschein-
lichkeit auf mindestens eine vorbereitete Frage stößt? Gib diese Wahrscheinlichkeit an.
38. In einer Urne befinden sich eine grüne und eine rote Kugel. Man zieht nun eine Kugel und legt sie
wieder zurück. War sie grün, so wird eine weitere grüne Kugel in die Urne gelegt; war sie dagegen rot,
so werden drei rote Kugeln hinzugefügt. Dieser Vorgang wird einmal wiederholt; dann wird ein drittes
Mal gezogen. Berechne anhand eines übersichtlichen Baumdiagramms, wie groß die Wahrscheinlich-
keit für eine rote Kugel im dritten Zug ist.
39. Eine Urne enthält zwei schwarze und sechs weiße Kugeln, die sich alle höchstens in ihrer Farbe
unterscheiden.
a) Ein Zufallsexperiment besteht darin, nacheinander 10 Kugeln mit Zurücklegen zu ziehen. Berechne
die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
A := „Die erste Kugel ist schwarz.“
B := „Genau zwei Kugeln sind schwarz.“
C := „Nur die erste Kugel ist schwarz.“
D := „Mindestens eine Kugel ist schwarz.“
E := „Höchstens eine Kugel ist schwarz.“
b) Wie viele Kugeln muss man aus dieser Urne mit Zurücklegen mindestens ziehen, damit mit einer
Wahrscheinlichkeit von mehr als 90 % erwartet werden kann, dass sich unter den gezogenen Ku-
geln mindestens eine schwarze Kugel befindet?
40. a) Vereinfache den Ausdruck ⎛ n
⎝
k ⎞ ⎠ : ⎝ ⎛
n–1
k–2
⎞
⎠
insbesondere durch Kürzen möglichst weit.
b) Berechne den Wert des Terms aus a auf fünf gültige Stellen, wenn n = 1000 und k = 230 ist.
c) Aus einer Urne I mit den von 1 bis 1000 durchnummerierten Kugeln werden 230 Kugeln ohne Zu-
rücklegen gezogen - und aus einer Urne II mit den von 1 bis 999 durchnummerierten Kugeln 228
Kugeln ebenfalls ohne Zurücklegen. Begründe durch Rechnung, welches der folgenden beiden Er-
eignisse dann wahrscheinlicher ist:
A := „Die aus I gezogenen Kugeln tragen die Nummern 1 bis 230.“
B := „Die aus II gezogenen Kugeln tragen die Nummern 1 bis 228.“

41. Ein Spieler A wirft gleichzeitig drei Laplace-Würfel, ein Spieler B gleichzeitig zwei. Gezählt wird jeweils
die Anzahl der gewürfelten Sechsen. Ein für beide Spieler geeigneter Ereignisraum ist daher Ω = {0, 1,
2, 3}.
a) Gib die Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse für die Spieler A und B an.
b) Zuerst würfelt A, danach B. Zeichne ein geeignetes Baumdiagramm einschließlich aller Wahr-
scheinlichkeiten.
A und B vereinbaren, dass derjenige Spieler gewonnen hat, der mehr Sechsen gewürfelt hat.
c) Gib den genauen Wert der Wahrscheinlichkeit an, mit der A das Spiel gewinnt.
Teilergebnis: Der gerundete Wert beträgt 0,313.
d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit endet das Spiel unentschieden?
e) Wie oft müssen die beiden mindestens spielen, damit A mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als
95 % mindestens einmal gewinnt?
f) Das Spiel wird fünfmal durchgeführt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt A dreimal und B
zweimal?
42. In einer Urne befinden sich 4 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 4 gekennzeichnet sind. Zunächst
werden aus der Urne gleichzeitig zwei Kugeln gezogen.
a) Gib einen passenden Ergebnisraum an und berechne die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse
und
A := „Auf der einen Kugel steht eine Zahl kleiner als 3, auf der anderen eine ungerade Zahl.“
B := „Die Summe der beiden Zahlen auf den Kugeln ist ungerade.“
b) Nun werden die beiden Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Wie ändern sich dann Ω und die Wahr-
scheinlichkeiten der Ereignisse A und B aus a ?
c) Es werden vier Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeiten für die Ereig-
nisse
und
C := „Die Kugeln mit der Zahl 2 bzw. der Zahl 3 werden beide genau zweimal gezogen.“
D := „Auf mindestens einer der Kugeln befindet sich eine der Zahlen 1, 2 oder 3.“
43. Drei Kinder werfen mit einem Ball auf eine Dose. Dasjenige Kind gewinnt, das als erstes die Dose trifft;
danach ist das Spiel beendet. Die Kinder werfen in fester Reihenfolge, so dass nach dem dritten Kind
wieder das erste an der Reihe ist. Die Ergebnisse der Würfe sind voneinander unabhängig, und jedes
Kind trifft mit der gleichen Wahrscheinlichkeit von p = 0,3. Gib die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass
das Spiel nach dem 6. bzw. nach dem k-ten Wurf beendet ist.

44. In einer Schachtel liegen die acht von 1 bis 8 numerierten Kugeln, von denen zunächst mit einem Griff
drei gezogen werden.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, die Kugeln 1, 2 und 3 zu ergreifen?
b) Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, wenigstens die Kugeln 2 und 3 zu ergreifen, 10,71 %
beträgt.
c) Wie oft müsste jemand das Experiment „gleichzeitig drei der acht Kugeln ziehen“ insgesamt durch-
führen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % wenigstens einmal keine 2 oder keine 3
zu erhalten?
Die drei gezogenen Kugeln werden nun ihrer Ziffer nach in aufsteigender Reihenfolge - z.B. als 237 -
angeordnet und ergeben damit eine dreistellige „Hausnummer“ h. Es seien
A := „h ist größer als 400.“
B := „Alle Ziffern von h sind ungerade.“
d) Berechne die Mächtigkeiten ⏐A⏐ und ⏐B⏐ der Ereignisse A bzw. B jeweils über den Ansatz ⎝ ⎛
n
k mit
geeigneten Zahlen k und n, und kontrolliere Deine Ergebnisse anschließend durch die Aufzählung
der jeweiligen Elementarereignisse.
e) Prüfe durch Rechnung, ob A und B unabhängig sind.
f) Gib für das Dreifachziehen ein Ereignis C mit P(C) = 1
8 an, das mit A unvereinbar ist.
Nun wird aus der obigen Schachtel dreimal nach folgendem neuen Verfahren gezogen: Trägt die ge-
zogene Kugel eine Zahl kleiner als 5, so wird sie in die Schachtel zurückgelegt, andernfalls bleibt sie
draußen. Die Zahlen der drei gezogenen Kugeln werden jeweils notiert und anschließend wiederum zu
einer möglichst kleinen „Hausnummer“ h geordnet.
g) Gib es bei diesem Ziehungsverfahren mehr, weniger oder genauso viele verschiedene „Hausnum-
mern“ wie in d bis f ? Begründe Deine Antwort!
h) Bestimme mit Hilfe eines möglichst einfachen Baumdiagramms, mit welcher Wahrscheinlichkeit h
eine „Schnapszahl“ ist, d.h. dass alle drei Ziffern von h gleich sind.
i) Bei dem genannten Verfahren wird als erstes die Kugel mit der Zahl 7 gezogen. Wie groß ist jetzt
die Wahrscheinlichkeit, dass h größer als 600 ist?
45. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält Spieler A bei einem Skatspiel mindestens drei Asse?
b) Spieler A spielt bei einem Turnier 50 Spiele. Wie oft wird er dabei keinen einzigen Buben erhalten?
⎞
⎠

46. Ein Elektrohändler erhält eine größere Sendung gleichartiger Glühlampen. Dabei garantiert die
Lieferfirma, dass alle Lampen einwandfrei sind. Da in der Fabrikation aber gelegentlich ein Fehler auf-
tritt, der nur schwer festzustellen ist, kommt es bei manchen Sendungen doch zu einem Ausschussan-
teil von 5 %. Der Händler vereinbart deshalb mit dem Lieferanten einen Preisnachlass, wenn bei einem
Test gewisse Fehler auftreten. Für den Test stehen zwei Verfahren zur Auswahl:
I : Der Sendung werden 10 Lampen entnommen und geprüft. Ist mindestens eine defekte Lampe
in der Stichprobe, so wird Preisnachlass gewährt.
II : Der Sendung werden 20 Lampen entnommen und geprüft. Sind mindestens zwei defekte
Lampen in der Stichprobe, so wird Preisnachlass gewährt.
Bei welchem Verfahren wird der Preisnachlass mit größerer Wahrscheinlichkeit gewährt, wenn die
Sendung tatsächlich 5 % Ausschuss enthält?
47. Bei einem Zufallsexperiment bilden die Ereignisse A, B und C eine Zerlegung, d.h. je zwei von ihnen
sind unvereinbar, und ihre Vereinigung bildet den Ergebnisraum. Ferner sind p := P(A) und q := P(B)
die Wahrscheinlichkeiten von A und B.
_
a) Drücke die Wahrscheinlichkeiten P(B ∪ C) und P(A ∩ (A ∪ C)) durch p und q aus. Wichtige Zwi-
schenschritte sind dabei anzugeben und zu begründen.
Die obigen Ereignisse sollen nun bedeuten:
A := „Es wird keine rote Kugel gezogen.“
B := „Es wird genau eine rote Kugel gezogen.“
C := „Es wird mehr als eine rote Kugel gezogen.“
Dabei steht als Ziehungsgefäß eine Urne mit drei roten und drei weißen Kugeln zur Verfügung.
b) Beschreibe die Menge B ∩ C mit möglichst wenig Worten.
c) Berechne P(B ∪ C), falls aus der Urne dreimal mit Zurücklegen gezogen wird.
d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man beim dreimaligen Ziehen ohne Zurücklegen
nur rote Kugeln erhält?
48. Eine Gruppe aus vier erfahrenen Alpinisten (A) und drei Berg-Laien (L) bricht zu einer Bergwanderung
auf. Für eine Gletscherüberquerung bildet sie eine Seilschaft, bei der die Berg(un)erfahrenheit das
einzige interessante Merkmal darstellen soll.
a) Wie viele verschiedene Seilschaften können gebildet werden?
b) Wie wahrscheinlich ist es, dass bei rein zufälliger Wahl der Reihenfolge eine „sichere“ Seilschaft
zustande kommt, das heißt dass zwischen zwei Laien immer mindestens ein erfahrener Alpinist
geht?
49. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält Spieler A bei einem Skatspiel mindestens drei Asse?
b) Spieler A spielt bei einem Turnier 50 Spiele. Wie oft wird er dabei keinen einzigen Buben
erhalten?

50. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim dreimaligen Werfen eines Laplace-Würfels mindestens
einmal eine ungerade Augenzahl zu erhalten?
51. Ein Muster besteht aus viermal vier Quadraten. Auf wie viele verschiedene Arten kann man das Muster
färben, wenn
a) jedes Quadrat entweder weiß oder schwarz gefärbt werden darf,
b) zwei Quadrate weiß, vier Quadrate schwarz und der Rest gelb gefärbt werden sollen,
c) jedes Quadrat mit einer anderen Farbe versehen wird?
52. Fünf Kärtchen tragen je einen Buchstaben. Legt man sie in die richtige Reihenfolge, so entsteht das
Wort „LILLE“. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die drei Ls dieses Wortes nebeneinan-
der liegen, wenn die Kärtchen gemischt, zufällig gezogen und nebeneinander ausgelegt werden?
53. Aus einer Gruppe von fünf Franzosen, zehn Engländern und sechs Deutschen sollen zwei Personen
verschiedener Nationalität ausgewählt werden. Auf wie viele Arten geht das?