11.3 Aufgaben

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14. Eine Laplace-Münze wird viermal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass viermal das gleiche Ergebnis bzw. genau einmal „Zahl“ bzw. höchstens dreimal „Zahl“ erscheint? 15. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei sechs Würfen mit einem Laplace-Würfel a) genau eine Sechs bzw. b) genau fünf Sechsen bzw. c) mindestens eine Sechs auftritt. 16. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei 36 Würfen mit zwei Laplace-Würfeln a) genau eine Doppelsechs bzw. b) mindestens eine Doppelsechs auftritt. c) Wie oft muss man mindestens würfeln, damit die Wahrscheinlichkeit für wenigstens eine Doppel- sechs größer als 90 % ist? 17. Eine Urne enthält vier gleichartige Kugeln mit den Nummern 1 bis 4. Man zieht nun zwei Kugeln aus dieser Urne. Es sind folgende zwei Ereignisse definiert: A := „Auf der einen Kugel steht eine kleinere Zahl als 3, auf der anderen eine ungerade Zahl.“ B := „Die Summe der Zahlen beider Kugeln ist ungerade.“ Zunächst werden die beiden Kugeln gleichzeitig gezogen. a) Gib einen passenden Ereignisraum an. b) Berechne die Wahrscheinlichkeiten für A und B. c) Nun werden die Kugeln nacheinander mit Zurücklegen gezogen. Wie sehen jetzt der Er- eignisraum bzw. P(A) und P(B) aus? 19. Eine Raumbeleuchtung besteht aus den vier Glühbirnen B 1 bis B 4 , die unabhängig voneinander eine Lebensdauer von etwa drei Monaten haben. Diese Glühbirnen werden grundsätzlich gleichzeitig aus- gewechselt. Zwei Monate, nachdem eine solche Birne neu eingesetzt wurde, beträgt ihre Ausfallwahr- scheinlichkeit bereits 15 %. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit leuchten nach zwei Monaten noch B 1 und B 2 ? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit leuchten nach zwei Monaten noch B 3 oder B 4 oder beide? c) Der Raum wird ausreichend ausgeleuchtet, wenn neben B 1 und B 2 noch mindestens eine der beiden anderen Birnen intakt ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist dies nach zwei Monaten noch der Fall? 20. Bei einer Verkehrskontrolle weisen erfahrungsgemäß 3 Prozent aller kontrollierten LKWs gravierende Mängel auf. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von drei nacheinander kontrollierten LKWs keiner einen gewichtigeren Mangel aufweist bzw. dass 2 von 5 kontrollierten LKWs größere Schäden aufweisen? 21. In einer Urne liegen 5 blaue, 3 weiße und eine gelbe Kugel, die nur durch ihre Farbe unterschieden werden können. Zunächst wird mit Zurücklegen zweimal eine dieser Kugeln aus der Urne gezogen.
a) Gib einen Ereignisraum Ω für das zweimalige Ziehen an, wenn es nicht auf die Reihenfolge der Farben ankommt. b) Bestimme anhand eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass ohne Berücksichti- gung der Reihenfolge zwei blaue bzw. eine blaue und eine weiße Kugel gezogen wurden. c) Nun werden mit einem Griff 3 Kugeln aus der Urne genommen. Wie groß ist jetzt die Wahrschein- lichkeit dafür, dass unter den drei Kugeln zwei gleichfarbige sind? d) Alle Kugeln der Urne werden nun als Kette ringförmig aneinandergereiht. Wie viele verschiedene Möglichkeiten der Anordnung gibt es, wenn die gleichfarbigen Kugeln weiterhin nicht zu unterschei- den sind? 22. Ein Mann trifft eine Zielscheibe mit einer Wahrscheinlichkeit von 2 3 . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er bei 5 Schüssen mindestens dreimal die Scheibe trifft? 23. Berechne die Wahrscheinlichkeit in Prozent dafür, dass von zwei zufällig ausgewählten Personen im Alter von 20 bzw. von 40 Jahren nach 20 Jahren a) höchstens noch eine am Leben ist bzw. b) mindestens noch eine am Leben ist bzw. c) dass ein 20jähriger mindestens das 30. Lebensjahr erreicht, aber vor Vollendung des 50. Lebens- jahres stirbt. Die genannten Ereignisse können dabei als unabhängig betrachtet werden. Als Sterbetafel sollen folgende Daten zugrunde gelegt werden: Alter in Jahren 0 20 30 40 50 60 Überlebende 100 000 90 000 85 000 80 000 75 000 65 000 24. A, B und C sind unabhängige Ereignisse mit P(A) = 1 7 5 3 , P(B) = 8 und P(A∪C) = 8 . a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt weder A noch B ein? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt das Ereignis C ein? 25. In einer Urne befinden sich sieben weiße und zwei schwarze Kugeln. Es werden drei Kugeln gezogen, und zwar a) nacheinander ohne Zurücklegen, b) nacheinander mit Zurücklegen und c) gleichzeitig. Gib jeweils einen passenden Ergebnisraum an. 26. a) Gegeben sind ein Zufallsexperiment und eine Menge. Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit die Menge als Ergebnisraum des Zufallsexperiment bezeichnet werden kann?
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