Endbericht (als pdf ca. 12 MB) - Regionales Fachdidaktikzentrum ...

Forschungsprojekt des 

Bundesministeriums für Unterricht, Kunst und Kultur 

bm:ukk 

verfasst von 

Mag. Irma Bierbaumer 

Mag. Gabriele Bleier 

Dr. Anita Dorfmayr 

Doz. Dr. Franz Embacher 

Dr. Helmut Heugl 

Mag. Klaus Himpsl 

Mag. Peter Hofbauer 

Dr. Markus Hohenwarter 

Medienvielfalt im 

Mathematikunterricht 

Rechenschaftsbericht 

Mag. Gabriele Jauck 

Mag. Matthias Kittel 

Mag. Walter Klinger 

Mag. Andreas Lindner 

Mag. Jochen Maierhofer 

Mag. Metzger-Schuhäker 

Dr. Evelyn Stepancik 

Mag. Walter Wegscheider 

Prof. Dr. Heike Wiesner 

In Zusammenarbeit mit Universität Würzburg und Pentagrammgruppe 

Hollabrunn, Dezember 2008

Medienvielfalt im Mathematikunterricht 2008 - Rechenschaftsbericht 

INHALTSVERZEICHNIS 

1. Vorwort 

2. Allgemeine Beschreibung des Forschungsprojektes 

3. Projektdurchführung 

2.1. Projektentstehung 

2.2. Antrag des Forschungsprojektes 

2.3. Genehmigung und Unterstützung durch das bm:ukk 

2.4. Verwendung der Finanzmittel 

2.5. Medienvielfaltsteam 

2.6. Internationale Parnter/innen 

3.1. Zentrale Koordination – Konzepte und Organisation 

3.2. Projekttreffen 

3.3. Technische Umsetzung 

3.4. Organisation der Evaluation 

3.5. Testlehrerinnen- und Testlehrerausschreibung 

3.6. Organisation der inneren Evaluation 

Anhänge 

4. Lernpfade „Funktionale Abhängigkeiten“ 

4.1. Didaktisches Konzept – Dr. Helmut Heugl 

4.2. Didaktisches Konzept – Prof. Dr. Hans-Georg Weigand 

4.3. Perlenmodell der Lernpfade 

4.4. Übersicht und Kurzbeschreibung Lernpfade 

4.5. Linkdatenbank 

4.5. Impulse zur Umsetzung im Unterricht 

5. Konzeption zur Evaluation 

6. Summary 

5.1. Konzeption der Evaluation der Längsschnitt-Lernpfade 

5.2. Exemplarische Lernerfolgskontrolle 

5.3. Lehrer/innenfeedback 

Inhaltsverzeichnis

Vorwort 

Elektronische Werkzeuge (CAS, DGS, Tabellenkalkulation, interaktive Visualisierungen, Tests usw.), 

elektronische Kommunikationsmedien (E-Mail, Plattformen, Wiki usw.) und elektronische 

Wissensbasen (Internet, elektronische Schulbücher usw.) verändern Lernen grundsätzlich. Das 

Zusammenspiel dieser technologischen Instrumente begünstigt eine neue Art von Lernen. Dabei 

werden besonders die aktiven, kooperativen, experimentellen und entdeckenden Lernformen gefördert. 

Die Funktion technologiegestützter Lernpfade besteht darin, dieses Zusammenspiel optimal zu 

unterstützen. Im Projekt wurden interaktive Lernpfade, d. h. nach didaktischen und methodischen 

Gesichtspunkten gestaltete Lernumgebungen, zum Erarbeiten eines Themenbereichs entwickelt. 

Zentraler mathematischer Themenbereich ist ein Längsschnitt zu „Funktionalen Abhängigkeiten“. Für 

einzelne Schulstufen sind dabei Lernpfade (3 Schnittstellenlernpfade und 9 Mikrolernpfade) entwickelt 

worden, bei denen versucht wird, die Stärken der verschiedenen Werkzeuge und Medien bestmöglich 

zu nutzen sowie ein optimiertes Zusammenspiel dieser Werkzeuge und Medien zu erreichen. 

Unterrichtsvorschläge zu Aspekten der funktionalen Abhängigkeit wurden didaktisch reflektiert und in 

den Lernpfaden entsprechend aufbereitet. 

Bei der Realisierung des Projektes hat sich die Zusammenarbeit von Praktiker/innen, 

Technologieexpertinnen und Technologieexperten sowie Fachdidaktiker/innen bewährt. 

Expertinnen und Experten aus Deutschland und Österreich konnten innovative, 

technologiegestützte Lernpfade erstellen und auch die dafür notwendigen 

Evaluationsinstrumente ansatzweise entwickeln. Die Kooperation der Initiativen der 

beiden Länder hat sich in vielerlei Hinsicht als äußerst sinnvoll und befruchtend 

erwiesen. Beide Länder konnten von den Stärken des anderen und den bereits 

geleisteten Vorarbeiten profitieren und sich selbst aufgrund mannigfacher wechselseitiger 

Anregungen weiterentwickeln. 


Dr. Evelyn Stepancik

Medienvielfalt im Mathematikunterricht 2008, Rechenschaftsbericht 

2. ALLGEMEINE BESCHREIBUNG DES FORSCHUNGSPROJEKTES 

2.1. PROJEKTENTSTEHUNG 

Im Rahmen des Projekts Medienvielfalt im Mathematikunterricht in Österreich wurden exemplarisch 

Perspektiven für einen technologisch zeitgemäßen und schüler/innenzentrierten Mathematikunterricht 

aufgezeigt. Die entwickelten Materialien (Lernpfade) wurden im praktischen Unterrichtseinsatz getestet und 

einer Evaluation unterzogen. Das Projekt wurde Ende 2006 abgeschlossen. 

Die Ergebnisse machen folgende weitere Entwicklungen und Untersuchungen notwendig: 

• Vertiefung und Erweiterung der Ansätze elektronische Lernmedien mit neuer Lernkultur zu 

verbinden 

• Erarbeiten von Konzepten hinsichtlich langfristiger Unterrichtsplanung (Längsschnitte), besonders 

unter Einbeziehung der exaktifizierenden, vertiefenden und vernetzten Lernphasen 

• Weiterentwicklungen hinsichtlich der Nutzung von Lernplattformen und Social Software im 


• Praktische Umsetzung von Konzepten für einen technologiegestützten gendergerechten 


Die beteiligten Initiativen ACDCA, mathe online und GeoGebra (http://www.austromath.at/medienvielfalt/) 

haben sich in Zusammenarbeit mit der pädagogischen Hochschule Niederösterreich, der Universität 

Würzburg und dem deutschen Pentagrammprojekt (www.mathematik-digital.de), ein Konzept für ein 

Folgeprojekt mit dem Arbeitstitel 

Internationales Projekt 

Medienvielfalt im Mathematikunterricht 

Technologiegestützte Lernpfade- 

Entwicklung 

eingereicht. 

Der Schwerpunkt liegt bei Längsschnitten und als Thema wurde „Funktionale Abhängigkeiten“ gewählt. 

2.2. ANTRAG DES FORSCHUNGSPROJEKTES 

MEDIENVIELFALT IM MATHEMATIKUNTERRICHT 

INTERNATIONALES PROJEKT 

Technologiegestützte Lernpfadentwicklung 

Gemeinsames Projekt von 

ACDCA, mathe online und GeoGebra 

in Zusammenarbeit mit 

der Pädagogischen Hochschule Niederösterreich, 

dem Regionalen Fachdidaktikzentrum Mathematik und Informatik, 

der Universität Würzburg und der Pentagrammgruppe 

Herbst 2007 

Allgemeine Beschreibung des Forschungsprojektes, Seite 1


Inhaltliche Schwerpunkte 

1. Elektronische Medien und Neue Lernkultur 

Entwicklung und Evaluation von Konzepten und Lernmaterialien hinsichtlich 

- der Unterstützung von sozialem Lernen (Partner- und Gruppenarbeit), 

- der Unterstützung von Kommunikation und Präsentation, 

- der Berücksichtigung verschiedener Lernstile und Lernstrategien (lesendes, akustisches, bildliches und 

handelnd-kooperatives Lernen) und 

- der Sicherung von Lerninhalten (nach dem Prinzip Vorwissen, Vorschau, Vernetzung - Neuer Inhalt – 

Wiederholen, Festigen). 

Weiters soll untersucht werden, an welchen Stellen Schüler/innen Unterstützung durch die Lehrer/innen 

wünschen/brauchen/vermissen und wann Arbeit/Austausch im Plenum erwünscht/notwendig ist. 

2. Elektronische Medien in der exaktifizierenden und vernetzenden Lernphase, Längsschnitte 

Ein Längsschnitt soll an den 3 Schnittstellen (VS -> Sek I, Sek I -> Sek2, Sek 2 -> Universität) aufgezogen 

werden. Der inhaltliche Schwerpunkt liegt dabei auf den Kompetenzen, die bei den Schüler/innen bei den 

Übergängen vorhanden sein sollen. Mögliche Themen: "Funktionale Abhängigkeiten“ und „Von der Summe 

zum Integral“, „Von der Statistik zur Wahrscheinlichkeit" 

3. Einsatz von Lernplattformen und Social Software im Mathematikunterricht 

Entwicklung und Evaluation von Konzepten und Lernmaterialien hinsichtlich des Einsatzes von 

Lernplattformen und Social Software sowie die Untersuchung 

- der notwendigen methodisch-didaktischen Veränderungen im Unterricht und beim Lernen zu Hause, 

- der notwendigen Veränderung der Lehrerrolle, 

- des Arbeitsaufwands für Lehrer/innen und Schüler/innen, 

- sinnvoller begleitender Werkzeuge (z.B. webbasierte Formelerstellung) und 

- des Einflusses auf den Lernzuwachs. 

4. Gender-Aspekte 

Anknüpfend an die Evaluationsergebnisse der Testklassen im ersten Medienvielfaltsprojekt und frühere 

Aktivitäten von ACDCA zu diesem Thema ist die Untersuchung genderspezifischer Aspekte der für den 

Mathematikunterricht geeigneten elektronischen Werkzeuge (CAS, Tabellenkalkulation, dynamische 

Geometrie, interaktive Visualisierungen,...) geplant. 

Alle im Rahmen des Projekts entwickelten Konzepte und Materialien werden im praktischen 

Unterrichtseinsatz getestet und evaluiert. 

Darüber hinaus kommt der Vernetzung mit anderen Initiativen und Projekten im Bereich der 

Mathematikdidaktik und dem (durchaus auch internationalen) Erfahrungsaustausch eine besondere Bedeutung 

zu. Schließlich sollen die im ersten Medienvielfaltsprojekt begonnenen und bewährten 

Weiterbildungsaktivitäten weitergeführt werden, insbesondere 

- Medienvielfaltstage in den einzelnen Bundesländern und 

- Disseminationsseminare für Multiplikatorinnen und Multiplikatoren in Zusammenarbeit mit 

nationalen Bildungsinstitutionen. 



Kooperation Österreich-Deutschland 

Teilnehmer/innen am Projekt 

Gruppe Prof. Dr. Hans-Georg Weigand (Universität Würzburg/Bayern/Deutschland) - 

Pentagrammgruppe 

Gruppe Medienvielfaltsprojekt: ACDCA, mathe online und GeoGebra (Österreich) 

Organisationsstruktur: 

Zentrale Steuergruppe (beschickt von Vertretern beider Länder) 

Zwei regionale Großgruppen (Gruppe Deutschland und Gruppe Österreich), die autonom Untergruppen für 

bestimmte Arbeitsziele bilden sollen. 

Mögliche Untergruppen: 

- Entwickler/innengruppe 

- Methodisch/didaktische Gruppe 

- Evaluationsgruppe 

- Qualitätsgruppe 

- Disseminationsgruppe 

Arbeitsweise: 

In einer Startveranstaltung, an der alle Projektmitglieder teilnehmen, werden die Ziele genauer konkretisiert, 

Organisationsfragen geklärt, Untergruppen gebildet, Ergebniserwartungen formuliert und Zeitvorgaben 

gemacht. 

Zeitplan 

November 2007: Auftaktveranstaltung - Gesamttreffen 

- Treffen der österreichischen und deutschen Teilnehmer/innen (4 Tage) 

- detaillierte Projektplanung und Arbeitsteilung 

- Bilden von Regional- und Untergruppen 

Jänner 2008: Projektbeginn 

Februar 2008: 1. Regionalgruppentreffen – Dauer jeweils zweieinhalb Tage 

- Vorstellung der Zwischenergebnisse 

- gemeinsame Arbeit in den Untergruppen 

- Ergebnisvorgaben für das nächste Treffen 

März 2008: 2. Regionalgruppentreffen 

Juni 2008: Gesamttreffen 

Ab Sept. 2008: Erste Erprobung der Materialien im Unterricht 

Nov. 2008: 3. Regionalgruppentreffen 

Nov. - Dez. 2008: Gesamttreffen 

- Verfassen des Rechenschaftsberichtes zur Entwicklungsphase des Projektes 

2.3. GENEHMIGUNG UND UNTERSTÜTZUNG DURCH DAS BM:UKK 

Der Projektantrag wurde Ende 2007 eingereicht. Die Genehmigung des Projektes durch das bm:ukk erfolgte 

Anfang Jänner 2008. Dadurch kam es auch zur finanzielle Sicherstellung des Projekts. 

Neben der internationalen Dimension wurde durch das bm:ukk die Breitenwirkung besonders hervorgehoben. 

Dies wurde durch die Möglichkeit, auf Tagungen und Besprechungen das Projekt vorzustellen, den 

Testlehrer/innenaufruf durch ein Schreiben an die Landesschulräte und den Stadtschulrat für Wien und die 

Unterstützung von Medienvielfaltstagen gewährleistet. 



2.4. VERWENDUNG DER FINANZMITTEL 

Die Finanzmittel wurden für folgende Bereiche aufgewendet: 

• Fahrtkosten und Unterbringungskosten der Projekttreffen (3 internationale Treffen – davon eines in 

Würzburg - und ein nationales) 

• Fahrtkosten und Unterbringung der Lernpfadgruppentreffen (13 Lernpfade) 

• Fahrtkosten, Unterbringung und Tagungsbeiträge für die Vorstellung des Projekts an nationalen und 

internationalen Konferenzen 

• Ankauf Literatur 

• Unkosten, die durch CDs, Arbeitsmaterialien, Kopien entstanden sind 

• Aufbau und Wartung der Medienvielfaltshomepage 

Das Projekt fand in Zusammenarbeit mit der Pädagogischen Hochschule Niederösterreich, Department 3 und 

dem regionalen Fachdidaktikzentrum für Mathematik und Informatik statt, welche die Infrastruktur zur 

Verfügung stellte. 

2.5. MEDIENVIELFALTSTEAM 

Mag. Irma Bierbaumer (BG Albertgasse, Wien): Konzeption, Entwicklung 

Mag. Gabriele Bleier (BG/BRG Gänserndorf, NÖ): Konzeption, Entwicklung 

Mag. Klaus Himpsl (Donauuniversität Krems, NÖ): Konzeption, Entwicklung 

Dr. Anita Dorfmayr (PH NÖ&BG/BRG Tulln&Universität, Wien): Administration, Konzeption, Entwicklung 

Doz. Dr. Franz Embacher (Universität, Wien): Konzeption, Entwicklung 

Dr. Helmut Heugl (TU, Wien): Konzeption, Entwicklung 

Mag. Peter Hofbauer (HAK Horn, NÖ): Entwicklung 

Dr. Markus Hohenwarter (University of Florida, USA): Konzeption, Entwicklung 

Mag. Gabriele Jauck (BG Zell am See, Salzburg): Konzeption, Entwicklung 

MMag. Matthias Kittel (BORG Wr. Neustadt, NÖ): Entwicklung 

Mag. Walter Klinger (PH NÖ&BG/BRG Stockerau, NÖ): Administration, Konzeption, Entwicklung 

Mag. Andreas Lindner (BG Bad Ischl, Oberösterreich): Konzeption, Entwicklung 

Mag. Jochen Maierhofer (BG/BRG Gänserndorf, NÖ): Entwicklung 

Mag. Heidi Metzger-Schuhäker (HAK Horn, NÖ): Entwicklung 

Mag. Evelyn Stepancik (PH NÖ&BG/BRG Purkersdorf, NÖ): Administration, Konzeption, Entwicklung 

Mag. Walter Wegscheider (PH Niederösterreich): Konzeption, PR 

Prof. Dr. Heike Anna Wiesner (Harriet Taylor Mill-Institut an der FH für Wirtschaft Berlin, D): Evaluation 



2.6. INTERNATIONALE PARNTER/INNEN 

2.6.1 Universität Würzburg 

Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik 

Der Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik (www.dmuw.de) ist in die Fakultät für Mathematik und 

Informatik der Universität Würzburg integriert. Er ist für die didaktische und fachwissenschaftliche 

Ausbildung von Lehramtsstudierenden an Grund-, Sonder-, Haupt-, Realschulen und Gymnasien zuständig. 

Die Forschungsaktivitäten am Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik konzentrieren sich auf die Bedeutung 

neuer Technologien für das Lernen von Mathematik, die Entwicklung Internet-gestützter Materialien für die 

Ausbildung von Lehramtsstudierenden und das Lehren und Lernen mathematischer Begriffe (Bewegliches 

Denken), insbesondere auch im facherübergreifenden Unterricht (Beziehung der Mathematik zu Musik und 

Kunst). Der Zusammenarbeit mit der Schulpraxis, mit Lehrerinnen und Lehrern an Grund-, Haupt-, 

Realschulen und Gymnasien kommt dabei in letzter Zeit eine größer werdende Bedeutung zu. 

Beim Arbeiten mit neuen Technologien werden verschiedene Softwarepakete (Derive, Geogebra, Dyna-Geo- 

Euklid, Cinderella und Tabellenkalkulationsprogramme), Applikationen im Internet und Taschencomputer 

(Voyage 200, TI-Nspire) eingesetzt. Seit vielen Jahren werden von uns Internet-gestützte Materialien für die 

Ausbildung an der Hochschule und für den Mathematikunterricht entwickelt. So wird das im Rahmen eines 

BMBF-Projekts von den Universitäten Nürnberg, Münster, Braunschweig und Würzburg entwickelte Projekt 

„Mathematikdidaktik im Netz“ (MaDiN – www.madin.net) deutschlandweit vorlesungsbegleitend eingesetzt. 

Für die Virtuelle Hochschule Bayern (VHB) entwickelten wir die Kurse „Mathematik und Computer“, 

„Grundlagen der Schulgeometrie“, „Grundlagen der Schularithmetik“, „Mathematik in der Hauptschule 

Klasse 10“, „Stochastik im Mathematikunterricht der Sekundarstufe I“. In Zusammenarbeit mit der Finish 

Virtual University (FVU) wird gegenwärtig der Kurs „Approaches to the Basics of Calculus“ entwickelt. Der 

in Zusammenarbeit mit dem Bayerischen Kultusministerium durchgeführt Pilotversuch „Einsatz von 

Taschencomputern im Mathematikunterricht“ wird gegenwärtig im 5. Jahr an 10 Gymnasien Bayerns 

durchgeführt und in den nächsten Jahren auch auf andere Bundesländer und Schulformen ausgedehnt. Im 

Rahmen des „Pentagrammprojekts“ wurden in der Zusammenarbeit mit Lehrerinnen und Lehrern eine 

Internetdatenbank und ein System von interaktiven elektronischen Lernpfaden aufgebaut (www.mathematikdigital.de). 

Im Rahmen des Begriffslehrens beschäftigen wir uns mit dem „Beweglichen Denken im 

Mathematikunterricht“ der Beziehung der Mathematik zur Musik, der Beziehung der Mathematik zur Kunst 

und der Entwicklung von Argumentationsfähigkeiten in der Grundschule. 

Prof. Dr. Hans-Georg Weigand 



2.6.2 Pentagrammgruppe 

Kooperation mit der Universität Würzburg 

im Rahmen des „Pentagramm-Projekts“ der Didaktik der Mathematik 

1. Das Pentagramm-Projekt 

2. Das Projekt „Mathematik-digital.de“ 

2.1 Projektidee: Werkzeugkasten Internet 

2.2 Die Linkdatenbank www.mathematik-digital.de 

2.3 Die Lernpfade von Mathematik-digital.de im ZUM-Wiki 

3. Lehrerfortbildungsveranstaltungen 

1. Das Pentagramm-Projekt 

Das Pentagramm-Projekt des Lehrstuhls für Didaktik der 

Mathematik der Universität Würzburg umfasst im Wesentlichen 

zwei Aspekte: Zum einen wird eine engere Zusammenarbeit des 

Lehrstuhls mit Mathematiklehrern angestrebt, zum anderen werden 

durch gezielte Angebote mathematikinteressierte Schüler 

angesprochen und möglichst frühzeitig individuell gefördert. 

Lehrerfortbildung im Rahmen des Pentagramm-Projekts 

Im Rahmen des Pentagramm-Projekts hat Prof. Weigand im Wintersemester 2004 zu einer 

Fortbildungsveranstaltung geladen. Ziel war es, interessierten Kollegen die Möglichkeit zur Zusammenarbeit 

zu bieten. Die Themen waren dabei nicht vorgegeben, sondern konnten aus der Gruppe selbst heraus 

entstehen. 

Aus den Wünschen aller Teilnehmer kristallisierten sich schließlich zwei Themenschwerpunkte heraus: Die 

Entwicklung einer Linkdatenbank für interessante Online-Materialien für den Mathematikunterricht und das 

Erstellen von Lernpfaden. 



2. Das Projekt „Mathematik-digital.de“ 

2.1 Projektidee: Werkzeugkasten Internet 

Dynamische Arbeitsblätter, Applets, elektronische Puzzles, interaktive Übungen, Unterrichtseinheiten zum 

Downloaden: Es gibt eine unüberschaubare Fülle an internetgestützten Angeboten für (fast) alle 

Themenbereiche des Mathematikunterrichts. Das Internet ist für den schulischen Einsatz zu einem riesigen 

Medien- und Werkzeugkasten geworden, der trotz zahlreicher Linklisten von Schulen, Universitäten und 

engagierten Lehrern kaum mehr überschaubar ist: ein Dschungel, in dem man sich leicht verirrt und verliert. 

Unser Wunsch war die Entwicklung eines neuen Unterrichtskonzepts, das diese Ressourcen in einen 

Mathematikunterricht mit einem hohen Maß an Selbsttätigkeit der Schüler integriert. 

2.2 Die Linkdatenbank www.mathematik-digital.de 

Die Grundidee der Projektgruppe www.mathematik-digital.de war es, schnell und einfach geeignete 

interaktive Materialien im Internet zu finden und sie zu einer sinnvollen Unterrichtseinheit zu verbinden. 

Hierzu wurde zunächst eine Linksammlung oder Linkdatenbank angelegt, auf deren Grundlage dann 

internetgestützte dynamische Lernpfade in einem Wiki entwickelt wurden. 

Abb. 1: Ausschnitt aus der Datenbank von 

www.mathematik-digital.de für die 5. Klasse 

Um die Suche nach geeigneten Materialien im Internet 

abzukürzen und die gefundenen und „für gut 

befundenen“ Seiten auch anderen Kollegen schnell 

zugänglich zu machen, entstand die nach 

Klassenstufen und Lehrplanthemen geordnete 

Linkdatenbank von www.mathematik-digital.de (siehe 

Abb.1). Jeder Benutzer der Datenbank kann - ohne 

sich anmelden zu müssen - Links hinzufügen, die dann 

von einem Redaktionsteam bewertet werden. Ziel ist 

es, zu zentralen Themenbereichen des 

Mathematikunterrichts eine Art „Best-of-Liste“ von 

Materialien im Internet zu erhalten. 

Die Linkdatenbank war ursprünglich nur auf den 

Lehrplan für bayerische Gymnasien abgestimmt. 

Mittlerweile sind auch Kollegen aus Nordrhein- 

Westfalen, von bayerischen Realschulen sowie der 

österreichischen Handelsakademie (HAK) und 

Gymnasien (APS/AHS) an der Datenbank beteiligt, die 

die Links gemäß den für ihre Schulart geltenden 

Lehrplänen einordnen und bewerten. Eine 

Strukturierung der Links nach den Kategorien Zahl, 

Messen und Größen, Daten und Zufall, Funktionale 

Abhängigkeit, Geometrie wird gerade umgesetzt, um 

die Nutzung der Datenbank durch Kollegen anderer 

Schularten und anderer Bundesländer zu erleichtern. 



2.3 Die Lernpfade von Mathematik-digital.de im ZUM-Wiki 

Die Entwicklung eines Unterrichtskonzept, bei dem neue Materialien so in den Unterricht integriert sind, dass 

Schülerinnen und Schüler möglichst zielgerichtet und selbstständig damit arbeiten können, wurde zum 

zweiten Schwerpunkt der Projektgruppe. Es entstand die Idee, interaktive Unterrichtseinheiten zu erstellen. 

Die Basis unserer „Lernpfade“ sollten dabei die in der Datenbank zusammengetragenen Materialien wie 

interaktive Applets, dynamische Arbeitsblätter, im Internet hinterlegte Textdokumente usw. bilden. 

Dabei orientierten wir uns an drei Grundprinzipien: 

• Die Lernpfade sollten einfach zu erstellen sein. 

• Sie sollten flexibel und veränderbar sein. 

• Sie sollten für jeden jederzeit frei zugänglich sein. 

Der Wunsch nach Veränderung steht immer wieder an erster Stelle der Anliegen von Lehrerinnen und 

Lehrern, die vorhandene Materialien wie etwa Arbeitsblätter von Kollegen oder ausgearbeitete 

Unterrichtsvorschläge aus Büchern in ihrem Unterricht verwenden wollen. So ist evtl. eine Definition zu 

abstrakt, ein Beispiel zu kompliziert oder eine Arbeitsanweisung zu ungenau. Nicht anders ergeht es ihnen 

beim Einsatz von Internetseiten. Der Wunsch nach Veränderung bezieht sich dann z.B. auf das Anpassen 

einer Seite oder einzelner Elemente dieser Seite an die eigene Unterrichtssituation, etwa durch Aktualisieren 

von Daten, oder das Ändern von Formulierungen. Auch neue Lehrpläne erfordern häufig eine 

Umstrukturierung der Materialien. 

Die freie Zugänglichkeit zu den Lernpfaden ermöglicht es zum einen jedem interessierten Kollegen, sie im 

eigenen Unterricht einzusetzen. Zum anderen können die Lernpfade von Schülern genutzt werden, um 

jederzeit von zu Hause aus selbstständig zu üben und zu wiederholen. 

Für das Arbeiten im Internet erfüllt ein Wiki genau die Bedürfnisse nach einfacher Veränderbarkeit 

und freier Zugänglichkeit. Aufgrund der einfachen Wiki-Syntax können Artikel schnell bearbeitet 

oder neu erstellt werden. Diese ist sehr viel einfacher als die im World Wide Web ansonsten 

verbreitete html-Syntax: „Diese Beschränkung auf das Wesentliche ermöglicht einer großen Gruppe 

von Menschen, insbesondere auch Computer-Laien, mit wenig Lern- und Schreibaufwand an diesem 

System teilzuhaben.“ [Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Wiki; Stand: 23.10.2008] 



Die Wiki-Lernpfade unserer Projektgruppe werden unter „Mathematik-digital“ im ZUM-Wiki realisiert, 

einem Wiki eigens für Lehrer (http://wiki.zum.de). Sie sind dort – im Gegensatz zu den meisten anderen 

interaktiven Unterrichtseinheiten auf Wiki-Basis – für jeden frei zugänglich und können direkt im Unterricht 

eingesetzt oder zuvor entsprechend den eigenen Vorstellungen verändert werden. Sie finden sich, 

gekennzeichnet durch einen blauen Pfeil, neben zahlreichen interessanten Lernpfaden anderer Autoren auf der 

Übersichtsseite von Mathematik-digital im ZUM-Wiki (siehe Abb. 2). Für interessierte Kollegen, die 

Lernpfade im Wiki verändern oder selbst erstellen wollen, stehen dort Kurzanleitungen zum „Arbeiten im 

Wiki“ und zum „Erstellen von Lernpfaden“ als pdf-Dokument zur Verfügung. 

Abb. 2: Lernpfade [siehe http://wiki.zum.de/Mathematik-digital] 



3. Lehrerfortbildungsveranstaltungen, Veröffentlichungen 

Ein wesentliches Ziel von www.mathematik-digital.de ist es, zu allen geeigneten Themen des 

Mathematikunterrichts Lernpfade zu erstellen und diese sowie die bestehenden Lernpfade fortwährend zu 

optimieren. Dazu ist eine größere Anzahl von „Mitstreitern“ nötig. Durch Lehrerfortbildungsveranstaltungen 

und Vorträge auf Tagungen soll die Idee des Projekts verbreitet und so der Benutzerkreis und damit eventuell 

auch die Anzahl aktiver Mitarbeiter vergrößert werden. 

In unseren Fortbildungsveranstaltungen zeigen wir zunächst die Konzeption von Mathematik-digital auf. 

Anschließend lernen und üben die Teilnehmer, wie man Online-Materialien schnell und einfach zu 

Unterrichtssequenzen zusammenstellen, vorhandene Wiki-Lernpfade für den eigenen Unterrichtseinsatz 

verändern bzw. neue Lernpfade selbst erstellen kann. 

Eine Übersicht über die bereits gehaltenen Lehrerfortbildungsveranstaltungen und Vorträge gibt es auf der 

Fortbildungsseite von Mathematik-digital im ZUM-Wiki (wiki.zum.de/Mathematik-digital/Fortbildungen). 

Maria Eirich, Andrea Schellmann 



3. PROJEKTDURCHFÜHRUNG 

3.1. ZENTRALE KOORDINATION – KONZEPTE UND ORGANISATION 

Die Grundlage für die zentrale Koordination sind gemeinsame Vereinbarungen bei den Projekttreffen, die von 

allen Projektlehrer/innen und Partner/innen mitgetragen wurden. Die Außenkontakte des Projekts (bm:ukk, 

Konferenzen, Tagungen, ÖMG, …) wurden von Dr. Franz Embacher (mathe online), Mag. Andreas Lindner 

(GeoGebra) und Dr. Helmut Heugl (ACDCA) stellvertretend für das Projekt wahrgenommen. Die 

Projektorganisation wurde von Mag. Walter Klinger und Dr. Evelyn Stepancik an der Pädagogischen 

Hochschule in Hollabrunn mit Unterstützung von Dr. Anita Dorfmayr übernommen. 

Nach der Planungsphase im November 2007 wurde die zentrale Organisation des Projekts über die 

Pädagogische Hochschule in Hollabrunn von Mag. Walter Klinger und Dr. Evelyn Stepancik durchgeführt. 

Teilaufgaben wurden delegiert. Die Kommunikation innerhalb des Projekts erfolgte einerseits über 

Ausschreibungen der Pädagogischen Hochschule für Niederösterreich, Department 3 – Regionales 

Fachdidaktikzentrum für Mathematik und Informatik. Andererseits wurden die bewährten Strukturen 

(hauptsächlich eine Mailingliste für des österreichischen Team und eine Mailingliste für das internationale 

Gesamtprojekt) und zusätzlich ein Wiki eingesetzt. 

Neben dem organisatorischen Ablauf für die Entwicklung der Lernpfade wurde eine Technik-Gruppe für die 

Erstellung der Online-Versionen der Lernpfade eingerichtet, der Testlehrer/innenaufruf koordiniert und die 

Planung der Medienvielfaltstage durchgeführt. 

Die Projektbuchhaltung erfolgte zentral an der Pädagogischen Hochschule für Niederösterreich in 

Hollabrunn. 

Für die Konzeption und Umsetzung der externen Evaluation konnte Prof. Dr. Heike Wiesner, von der 

Fachhochschule Berlin eingebunden werden. Sie ist eine Expertin aus dem Bereich der Informatik und 

Forschung bzw. Evaluation (Genderaspekte, e-learning). 

3.1.1. Beispiel eines Rundmails vom 2.6.2008 

Liebe MV'lerInnen! 

Im Anhang findet ihr zwei Dateien, die in Würzburg entstanden sind. In der Datei perlenmodell_fertig wird 

das Konzept unseres Längsschnittes beschrieben. Das Pflichtenblatt (siehe Anhang des Kapitels) spielt eine 

wesentliche Rolle für die Organisation und Dokumentation unserer Arbeit. 

Im Rahmen des Projektes entstehen zwei Arten von Lernpfaden (Schnittstellenlernpfade und Mikro- 

Lernpfade), sowie ein Materialienpool. Die Arbeit am Materialienpool obliegt v.a. den Deutschen 

Kolleg/innen. 

Die Arbeit erfolgt vor allem in einem von den deutschen neu einzurichtenden ZUM-wiki. Dieses wiki wird in 

den nächsten Tagen erstellt. Wir werden dann per email über die Zugangsmodalitäten informiert. Hier 

können Lernpfade entstehen. Hier muss auch die Projektdokumentation erfolgen. ZB. Sollen hier auch die 

Pflichtenblätter (siehe unten bei den Mikro-Lernpfaden) upgeloadet werden. 

Projektdurchführung, Seite 1


WAS IST ZU TUN? 

Schnittstellenlernpfade werden von uns Österreicher/innen in Gruppen (ca. 5 Personen) erstellt. Genauere 

Beschreibung siehe Perlenmodell (im Anhang)! 

Fertigstellung der Schnittstellen-Lernpfade bis Ende Oktober 2008 

Mikro-Lernpfade sind ganz kurze Lernpfade (genaue Beschreibung siehe Perlenmodell) und werden in 

Gruppen von 3-4 Personen erstellt. Hier werden sich auch einige Mitglieder der Pentagramm-Gruppe 

beteiligen. Die Zuteilung zu den Arbeitsgruppen ist in Würzburg schon teilweise erfolgt (siehe Perlenmodell). 

Einige Themen sind noch frei, bei anderen Themen sollten die Gruppen noch größer werden. 

Bitte entscheidet euch, wo ihr euch beteiligen könnt und wollt. Die Zuteilung der MV'ler/innen zu den Mikro- 

Lernpfad-Gruppen erfolgt einfach per Mail an die Medienvielfalts-Gruppe. Mehrfachzuteilungen sind im 

Sinne der Vernetzung der Lernpfade erwünscht. 

Fertigstellung der Mikro-Lernpfade bis Mitte September 2008 

WICHTIG: Jede Gruppe muss für den Lernpfad ein Pflichtenblatt ausfüllen (siehe Beilage), es an alle 

Projektmitarbeiter/innen (Medienvielfalt + Pentagramm) weiterleiten und im neuen Projektwiki uploaden. 

Abgabe der ausgefüllten Pflichtenblätter zu den Lernpfaden bis Ende August 2008 

Bitte mindestens bei einem Mikro-Lernpfad UND bei mindestens einem Schnittstellenlernpfad mitarbeiten! 

Die Zuteilung zu den Arbeitsgruppen (Schnittstellen- UND Mikro-Lernpfade) sollte bis 10.6.2008 erfolgen. 

Es gibt wieder Gruppenleiter/innen für jeden Lernpfad (die schon feststehenden Gruppenleiter/innen sind in 

der Beilage fett gedruckt und farbig hinterlegt). Für wenige Themen fehlen sie noch – bitte Freiwillige vor! 

Aufgaben der Gruppenleiter/innen: 

-Terminkoordination in der Gruppe (Gruppentreffen, termingerechte Fertigstellung) 

-Pflichtenblatt termingerecht weitersenden (per email, Upload im wiki) 

-WICHTIGWICHTIGWICHTIGWICHTIG: Dokumentation der Gruppentreffen, v.a. zum Zweck der 

Abrechnung - Wer war wann wo? Wie lang? Mit Auto oder ÖBB? Kilometerangabe, Angabe der Reisekosten 

(Die Reisekosten werden dann nach Altlengbach geschlossen ausgezahlt.) 

Liebe Grüße, 

Anita und Walter K. 

P.S.: Zur Erinnerung: Wir treffen uns das nächste Mal alle in Altlengbach von 28.11. bis 1.12.2008. Die 

Ausschreibung und weitere Details kommen im September. 



Perlenmodell inkl. Kompetenzen 

Die Position einer Perle gibt an, wann das betreffende Lernziel bereits bekannt ist und damit aktiviert werden kann. ZB. können schon 

ab dem Beginn der 5. Schulstufe Vorkenntnisse aus der Volksschule aktiviert (wiederholt) und als Ausgangspunkt für den nächsten 

Lernschritt (Auswirkungen der Veränderungen von Größen) genützt werden. Die kleinen Perlen zwischen zwei Aktivierungsperlen 

zeigen den Weg des Lernprozesses auf. Die dazu angebotenen Materialien sollen den Lernprozess unterstützen, und zwar – wenn 

möglich und sinnvoll – in zwei Phasen: 

1. Experimentelle Phase 

hier wird explizit auf die vorausgehende Perle Bezug genommen 

2. Exaktifizierende Phase 

das Ziel ist das Erreichen der nachstehenden Perle 

Materialien, die den Lernprozess laut diesem Modell unterstützen und im Rahmen des Projektes entstehen sollen: 

Mikro-Lernpfade 

1-2 Unterrichtsstunden pro Phase 

wiki oder html oder ... 

Orientierung an den Zielkompetenzen laut Perlenmodell (siehe Tabelle unten) – EINE AUSWAHL REICHT (die Gruppe 

entscheidet) 

Gruppeneinteilung: siehe gelb hinterlegte Namen unten (Ergänzung nötig!) 

WICHTIG: Jede Gruppe muss für den Lernpfad ein Pflichtenblatt ausfüllen (siehe Beilage) und an alle 

ProjektmitarbeiterInnen (Medienvielfalt + Pentagramm) weiterleiten. 

Makro-Lernpfade an den Schnittstellen 

nach dem Vorbild der Medienvielfalts-Lernpfade 

werden v.a. von der österr. Medienvielfalts-Gruppe erstellt 

genauere Beschreibung siehe unten 

Gruppeneinteilung ist noch nicht erfolgt 

Materialienpool 

nach der Vorlage von www.mathematik-digital.de 

wird übernommen von der Materialienpool-Gruppe (siehe unten) 

Strukturierung orientiert sich an den Zielkompetenzen laut Perlenmodell (siehe Tabelle unten) 



Tabelle der Zielkompetenzen: 

links stehen die Perlen – rechts zugehörige Zielkompetenzen 

Zeitskala: oben 5. Schulstufe, ganz unten 12. Schulstufe 

grau hinterlegte Perlen / Kompetenzen: mangelhafte Beschreibung, wenig diskutiert – ist ev. zu vervollständigen oder teilweise 

zu streichen 

Perlen zur 11. und 12. Schulstufe müssen wahrscheinlich überarbeitet werden 

gelb hinterlegt: Mitglieder der Arbeitsgruppe, davon fett gedruckt der Gruppenleiter / die Gruppenleiterin – ERGÄNZUNG 

ERWÜNSCHT 

Perle = Knotenpunkt Zielkompetenzen: Ich kann ... 

Intuitive Zustandsbeschreibung voneinander abhängiger 

Größen 

Wortformel und intuitiver Umgang mit Tabellen und Graphen 

bei empirischen Funktionen 

Zustandsbeschreibung abhängiger Größen durch Formeln 

Umgang mit Proportionalitäten (direkt und indirekt) 

Erweiterung des Repertoires an Funktionstypen und 

Eigenschaften 

Umgang mit linearen Funktionen 

Werte aus graphischen Darstellungen ablesen, sie in 

tabellarischer Form darstellen und im Kontext deuten 

zwischen den Darstellungsformen Graph, Tabelle und 

Wortformel wechseln 

Daten sammeln und in Form von Tabellen und Graphen 

darstellen 

über verschiedene Interpretationen kommunizieren können und 

Vergleiche anstellen 

Ergebnisse bewerten und begründen 

Eigenschaften von direkter und indirekter Proportionalität 

beschreiben 

Proportionalitäten in Tabellen und Graphen darstellen 

Formeln als neue Darstellungsform verwenden 

Modellentscheidung (direkt, indirekt, weder noch) begründen 

geeignete Lösungswege beim Lösen verschiedener Probleme 

auswählen und über die Auswahl diskutieren 

Parameter variieren und die Auswirkung dieser Variation 

beschreiben 

von der graphischen Darstellung unmittelbar auf die Darstellung 

als Formel schließen 

Eigenschaften linearer Funktionen aus der Termdarstellung 

ablesen und sie begründen 

Lösungen linearer Gleichungssysteme in zwei Variablen als 



Intuitiver Umgang mit exponentiellem Wachstum 

(z.B: Zinseszinsrechnung) 

Schnittpunkte der Graphen linearer Funktionen ermitteln 

Übersetzen realer Situationen in mathematische Modelle 

die Grundeigenschaft „zu gleichen Zeitintervallen gehört der 

gleiche Wachstumsfaktor“ exponentiellen Wachstums aus 

Tabellen und verbalen Formulierungen entwickeln und diese 

Grundeigenschaft zum Problemlösen verwenden 

exponentielles Wachstum in Form von Tabellen rekursiv 

beschreiben und darstellen 

die Eigenschaften exponentiellen und linearen Wachstums 

vergleichen 

quadratische Funktionen Parameter variieren und die Auswirkung dieser Variation 

beschreiben 

Eigenschaften quadratischer Funktionen beschreiben und mit 

Hilfe geeigneter Darstellungsformen begründen 

Lösungsfälle quadratischer Gleichungen mit Hilfe der Graphen 

quadratischer Funktionen visualisieren 

das Lösen quadratischer Gleichungen und Ungleichungen 

funktional betrachten 

Wurzelfunktionen Wurzelfunktion als Umkehrfunktion der quadratischen Funktion 

beschreiben 

Eigenschaften angeben und begründen 

Intuitiver Umgang mit einfachen gebrochen-rationalen 

Funktionen 

die Definitionsmenge angeben 

gebrochen-rationale Funktionen des Typs 

f x = k 

k 

x 

und f x = 2 

x 

graphisch darstellen und die Graphen im 

Kontext interpretieren 

Asymptoten beschreiben und im Kontext interpretieren 

Potenzfunktionen Parameter variieren und die Auswirkung dieser Variation 

beschreiben 

die Erweiterung des Potenzbegriff (Exponent aus ) 

erklären 

Wurzelfunktion als Potenzfunktion erkennen 



Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen ermitteln 

trigonometrische Funktionen Parameter variieren und die Auswirkung dieser Variation 

beschreiben 

Eigenschaften trigonometrischer Funktionen beschreiben und 

mit Hilfe geeigneter Darstellungsformen begründen 

Exponential- und Logarithmusfunktion Parameter variieren und die Auswirkung dieser Variation 

beschreiben 

Eigenschaften von Exponential- und Logarithmusfunktionen 

beschreiben und mit Hilfe geeigneter Darstellungsformen 

begründen 

Exponential- und Logarithmusfunktionen als Umkehrfunktionen 

kennen 

Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktionen Punktgrafen erstellen und im Sinne der Wahrscheinlichkeit 

interpretieren 

Histogramme ...??? 

Beschreibung der Veränderungen von Zuständen 

diskret 

Differenzengleichung -> Differentialgleichung 

 

• Den Differenzenquotienten als diskretes Änderungsmaß kennen 

und darüber kommunizieren 

• Folgen als Funktionen kennen und in verschiedenen 

Darstellungsformen beschreiben 

• Differenzengleichungen als neuen Prototyp kennen und zur 

Modellbildung nutzen einen intuitiven Grenzwertbegriff 

entwickeln und verwenden 

Kontinuierlich Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktionen • Den Differentialquotient als kontinuierliches Änderungsmaß 

kennen und darüber kommunizieren 

• den Differentialquotienten in unterschiedlichen 

Anwendungssituationen erkennen und beim Problemlösen 

anwenden 

• Ableitungsfunktion als Hilfe beim Problemlösen verwenden 

(Extremwertaufgaben) 

• Differentialgleichungen als neuen Prototyp kennen und zur 

Modellbildung nutzen 



Beschreibung durch Aufsummation 

Flächeninhaltsfunktion 

Unterschiedliche Methoden der Flächenberechnung kennen 

Flächeninhalte unter Funktionsgraphen näherungsweise 

angeben 

die Flächeninhaltsfunktion (Abhängigkeit des Integrals von der 

oberen Grenze ...) 

noch offen ob es umgesetzt wird 

Stammfunktion Integrieren als Umkehrung zum Differenzieren 

Noch offen ob umgesetzt 

Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktionen Noch offen 

Materialienpool-Gruppe: Leitung durch die Pentagrammgruppe 

Schnittstellenlernpfade 

werden erstellt von der österreichischen. Gruppe Medienvielfalt (entsprechend österreichischer Projektantrag) 

Schnittstellen und Gruppeneinteilung (4-5 Personen pro Gruppe): 

Volksschule – Sek I: 

Sek I – Sek II: 

Sek II – Universität : 

Kompetenzen: Orientierung an der obigen Liste 

Merkmale: 

Aktivierungs- / Wiederholungsphase 

Experimentelle Phase 

Exaktifizierende Phase 

Übungs-/Anwendungsphase: Problemlösen 

Umfang: 4-8 Stunden 

Konzeption wie beim alten MV-Projekt 



3.1.2 Kooperation mit dem deutschen Partner/innen 

Zusammenstellung der Aktivitäten zum Internationalen Projekt 

Einrichtung eines Projektwikis in der Wiki-family der ZUM (Zentrale für Unterrichtsmedien) 

http://wikis.zum.de/medienvielfalt/index.php/Hauptseite 

Hauptziel war die gemeinsame Erarbeitung von Lernpfade und der Austausch von Ideen 

Erstellung von Lernpfaden mit didaktischem Kommentar 

Einführung in quadratische Funktionen 

Trigonometrische Funktionen 

Exponential- und Logarithmusfunktion 

Erweiterung der Datenbank: Strukturierung der Links nach Kategorien 

Um unabhängig von Schularten, Ländergrenzen und Jahrgangsstufen nach Materialien suchen zu können, 

wurde eine Kategorisierung nach Themengebieten eingerichtet. 

Erweiterung der Datenbank: Hochladen von Material 

3.1.3 Zwischenbericht – Juni 2008 

Der Zwischenbericht wurde Ende Juni 2008 erstellt und dokumentiert den Stand der Entwicklung der 

Lernpfade und Planungen - siehe Anhang in drei Teilen – Zwischenbericht, Perlenmodell, Pflichtenblatt 

(a1_pflichtenblatt.pdf, a2_200806_zwischenbericht.pdf, a3_perlenmodell_zwischenbericht.pdf). 



3.2. PROJEKTTREFFEN 

Das österreichische Projektteam besteht aus 17 Personen, das Team der deutschen Kooperationsinstitution 

wird von Prof. Dr. Hans-Georg Weigand (Universität Würzburg) geleitet. Insgesamt fanden 4 Projekttreffen 

statt, davon 3 unter Einbeziehung der deutschen Kooperationspartner/innen: 

3.2.1. Internationales Treffen 1 

Altlengbach 14.-16.10.2007 – Hotel Lengbachhof 

Teilnehmer/innen: Medienvielfaltsteam und 5 VertreterInnen der Pentagrammgruppe 

Schwerpunkte und Inhalte: 

• Planung der Vorgangsweise beim bereits eingereichten internationalen Projekt „Medienvielfalt im 

Mathematikunterricht“ 

• Planung des Bundesseminares „Mathematische Beispielkultur“ (Achtung neuer Termin: 10.-12.3. !!!!) 

• Reflexion über Softwareprodukte 

• Weitere Vorgangsweise bei den Lernpfaden 

Impulsreferate zu einzelnen Entwicklungen (Kittel, Nosko, Stepancik (genauere Untersuchungen zum letzten 

Projekt), Himpsl (e-portfolio), Hohenwarter (Geogebra), TI-Nspire (Bleier), ...) 

3.2.2. Treffen der österreichischen Medienvielfaltsgruppe 

Amstetten 8.-9.3.2008 – Hotel Gürtler 

Teilnehmer/innen: Medienvielfaltsteam 

Schwerpunkte und Inhalt: 

• Besprechung des Werksvertrages mit dem Ministerium. 

• Diskussion der Vorgangsweise bei der Entwicklung des Längsschnittes "Funktionale Beziehungen" 

• Evaluation des Projekts (Zusammenarbeit mit Prof Wiesner und D2 der PH) Genderfragestellungen, 

Nachhaltigkeit und Technologie zum Längsschnitt 

• Zusammenarbeit mit Würzburg 

• Wiki besprechen 

• Zwischenberichtbericht (1. Halbjahr) für das Ministerium besprechen 


Würzburg 30.5.-1.6.2008 – Universität Würzburg 

Ausschreibung: 

PENTAGRAMM-MEDIENVIELFALT-TREFFEN 

vom 31. Mai (9 Uhr) bis 1. Juni 2008 (ca. 13 Uhr) in Würzburg 

I. Teilnehmer: 

Pentagramm-Gruppe Würzburg: www.mathematik-digital.de 

• Maria Bader (Deutschhaus-Gymnasium Würzburg), 

• Maria Eirich (Regiomontanus-Gymnasium Haßfurt) 

• Michael Fritscher (stud. Hilfskraft, Universität Würzburg) 

• Jürgen Roth (Universität Würzburg) 



• Andrea Schellmann (Regiomontanus-Gymnasium Haßfurt) 

• Michael Schuster (Universität Würzburg) 

• Hans-Georg Weigand (Universität Würzburg) 

• Jan Wörler (Universität Würzburg) 

• evtl. einige weitere Teilnehmer der Pentagramm-Gruppe (Gymnasium und Realschule) 

Medienvielfaltgruppe Österreich: www.austromath.at/medienvielfalt/ 

• Anita Dorfmayr 

• Franz Embacher 

• Helmut Heugl 

• Markus Hohenwarter 

• Gabi Jauck 

• Walter Klinger 

• Evelyn Stepancik 

• Walter Wegscheider 

Weitere Gäste 

• Reinhard Schmidt + ein oder zwei Personen aus NRW (www.matheschmidt.de/) – Herr Schmidt, 

teilen Sie mir bitte dann noch die Namen (Emailadressen) der anderen Teilnehmer mit. 

• Christian Spannagel (PH Ludwigsburg) http://www.ph-ludwigsburg.de/1561.html 

• C. Wolfseher (Katharinen Gymnasium Ingolstadt) http://katgym.by.lo-net2.de/c.wolfseher/ 

Leider diesmal verhindert: 

• Mirijam Bartberger (www.bartberger.de/) 

II. Ort: 

Institut für Mathematik, Universität Würzburg, am Hubland, 97074 Würzburg, Raum S E36. 

Lageplan: Siehe www.dmuw.de und „Lage“ rechtes Menü ganz unten. Dann „Lagepläne“. 

Oder direkt: 

http://wwwi.informatik.uni-wuerzburg.de/lageplan//uebersicht.html 

und 

http://wwwi.informatik.uni-wuerzburg.de/lageplan//mathe_info/fakultaet_mathe_info.html 

und 

http://wwwi.informatik.uni-wuerzburg.de/lageplan//mathe_info/mathe_eg.html 

III. Ziele des Treffens: 

1. Weiterentwicklung und Neustrukturierung der Datenbank bei mathematik-digital.de 

2. Weiterentwicklung elektronischer Lernpfade 

3. Strategien für Einsatz und Evaluation elektronischer Lernpfade 

4. Entwicklung eines Kompetenzmodells für die Evaluation 

5. Überlegungen für ein europäisches Comeniusprojekt 

IV. Inhalte des Treffens 

1. Integration der neuen Partner im Hinblick auf das Gesamtprojekt 

2. Thematische Festlegung und Auswahl der Lernpfade im Hinblick auf das Testen und die Evaluation 

im praktischen Unterrichtseinsatz in einer „Längsschnittstudie“. Leitlinie: Funktionaler 

Zusammenhang 

3. Inhaltliche Konzeption der ausgewählten Lernpfade (Nötige Veränderungen – Erweiterungen – 

Integration von Tests) 

4. Erstellen eines Kompetenzmodells für die Evaluation der Lernpfade 



V. Grober Entwurf eines Zeitplanes: 

Freitag , 30 Mai 

Ankunft der Teilnehmer aus Österreich – erst nach 22 Uhr. Hotel Lindleinsmühle. www.hotellindleinsmuehle.de/ 

Ankunft der deutschen Teilnehmer: noch offen. 

Samstag, 31. Mai 

9.00 Uhr: Begrüßung 

9.15 – 11 Uhr: Vorstellen der Aktivitäten der Teilnehmer: Aktuelle Aktivitäten – Weitere Ziele 

• Die Pentagramm-Gruppe 

• Medienvielfalt 

• C. Wolfseher 

• Chr. Spannagel 

• Reinhard Schmidt 

11 – 12 Uhr: Diskussion über Gemeinsamkeiten der Aktivitäten – Weitere Planungen 

12 – 13 Uhr: Pause (Imbiss) 

13 – 17 Uhr: Arbeit an einer gemeinsamen Konzeption (evtl. auch in Arbeitsgruppen) 

17 – 18 Uhr: Diskussion der Ergebnisse 

20 Uhr: Abendessen im Bürgerspital Würzburg (www.buergerspital.de) 

Sonntag, 1. Juni 

9 – 13 Uhr: Zusammenfassung – Festlegen eines Arbeitsplanes– Beziehungen der Aktivitäten zum 

gemeinsamen Projekt 

VI. Weitere geplante Treffen (mit noch offener Teilnehmergruppe) 

12.-14. September 2008: Information: Erstes internationales Comeniustreffen in Wien 

28.-30. November 2008: Internationales Projekt: Treffen der Pentagramm-Medienvielfalt-Gruppe in Wien 

Prof. Dr. H.- G. Weigand 

Didaktik der Mathematik 

Universität Würzburg 

Am Hubland 

97074 Würzburg 

Telefon 0931 / 888-5092 

Telefax 0931 / 888-5089 

weigand@mathematik.uni-wuerzburg.de 

Würzburg, 18.04.2008 


Altlengbach 28.-30.11.2008 – Hotel Lengbachhof 

Teilnehmer/innen: Medienvielfaltsteam sowie Prof. Weigand und Petra Bader 

Schwerpunkte und Inhalte: 

• Präsentationen der Lernpfade zum Längsschnitt „Funktionale Abhängigkeiten“ – Lernpfad, 

Didaktischer Kommentar und Methodische Anleitungen für den Unterricht. 

• Innere Evaluation der erzeugten Lernpfade 

• Planung der Evaluationsphase des Projektes für das Jahr 2009 (Testlehrer/innen, 

Expert/innenbefragung, Evaluation zu Genderaspekten, ...) 

• Fertigstellung des Rechenschaftsberichts der Entwicklungsphase „Medienvielfalt im 

Mathematikunterricht“ 

• Konzepte zu Webauftritt, Social Software, WIKI, e-Portfolio. 



09:00 

- 

10:00 

10:00 

- 

11:00 

11:00 

- 

12:00 


- 

13:00 

13:00 

- 

14:00 

14:00 

- 

15:00 

15:00 

- 

16:00 

16:00 

- 

17:00 

17:00 

- 

18:00 

18:00 

- 

19:00 

FREITAG 28.11.2008 

Eröffnung; Vorstellung des 

SE-Ablaufs (30’) 

Einteilung in Arbeitsgruppen 

Arbeit am Rechenschaftsbericht 

Arbeit am Begleitmaterial zu 

den Lernpfaden 

Abendessen 

09:00- 

10:00 

10:00- 

11:00 

11:00- 


12:00- 

13:00 

13:00- 

14:00 

14:00- 

15:00 

15:00- 

16:00 

16:00- 

17:00 

17:00- 

18:00 

Samstag 29.11.2008 Sonntag 30.11.2008 

Chronologische Vorstellung der Lernpfade (je Lernpfad 10’, 

Schnittstellen Lernpfade 15’) 

Interne 

Evaluation 

Lernpfade 

(Leitung: 

Walter K.) 

mit Kaffeepause 

ExpertInneninterview 

(Leitung: 

Evelyn) 

Überarbeitung der Lernpfade 

18:00- 

19:00 Abendessen 

Mittagessen 

Planung 

Gender- 

Evaluation 

(Leitung: 

Heike) 

Konzeption Webauftritt, 

Wiki, Social Software, 

e-Portfolio (Leitung: 

Klaus) 

Projektdurchführung, Seite 12 

09:00- Kurzpräsentation der Gruppenergebnisse von Samstag (Plenum) 

10:00 Konzeption des LehrerInnenbefragung (Plenum) 

10:00- 

11:00 

11:00- 


12:00- 

13:00 

13:00- 

14:00 

14:00- 

15:00 

15:00- 

16:00 

16:00- 

17:00 

17:00- 

18:00 

18:00- 

19:00 

Interne 

Evaluation 

Lernpfade 

bzw. Arbeit am 

Rechenschaftsberic 

ht 

(Leitung: 

K.) 

Walter 

ExpertInneninterview 

(Leitung: 

Evelyn) 

Gender- 

Evaluation 

(Leitung: 

Heike) 

Kurzpräsentation der Gruppenergebnisse (Plenum) 

Arbeit am Rechenschaftsbericht 

Mittagessen 

Ende des Seminars 

Konzeption 

Webauftritt, 

Wiki, Social 

Software, e- 

Portfolio 

(Leitung: 

Klaus)

Die Projektvorbereitung und organisatorische Detailplanung sowie die Entwicklung der Detailkonzepte und 

Materialien fand in kleineren Arbeitsgruppentreffen bzw. in Einzelarbeit statt. 

3.2.5 Treffen der einzelnen Lernpfadgruppen 

Bei der Erstellung der einzelnen Lernpfade und der dazugehörigen Begleitmaterialien waren neben der 

kontinuierlichen Kommunikation über elektronische Mittel (WIKI, E-Mail) zwischen fünf und zehn Treffen 

pro Gruppe notwendig. Die Organisation oblag den Lernpfadleitern und Lernpfadleiterinnen. Insgesamt 

waren etwa 90 derartige Treffen zu verzeichnen. 

3.2.6 Podiumsdiskussion 

Im Rahmen eines Bundesseminars für Mathematiklehrer/innen in Amstetten wurde am Montag den 10.3.2008 

in Zusammenarbeit mit der Pädagogischen Hochschule Niederösterreich eine Podiumsdiskussion und mit dem 

Titel 

Die Zukunft des Mathematikunterrichts 

Im Spannungsfeld zwischen Tradition und Vision 

Analysen und Einschätzungen – Perspektiven und Chancen – Gefahren 

Eine Veranstaltung im Rahmen des Jahres der Mathematik 2008 

organisiert. 

(siehe im Anhang den Folder zur Podiumsdiskussion a6_Folderpodiumsdiskussion.pdf ) 

3.3. TECHNISCHE UMSETZUNG 

Im Projekt wurde eine Techniker/innengruppe eingesetzt, um die technischen Umsetzung vor- und 

aufzubereiten. 

3.3.1. Homepage 

Als Projekthomepage wurde die neu erstellte Homepage des Regionalen Fachdidaktikzentrums für 

Mathematik und Informatik ausgewählt (http://rfdz.ph-noe.ac.at). 

Die Fertigstellung der Onlineversionen der Lernpfade – Überarbeitung nach der inneren Evaluation der 

Lernpfade beim letzten internationalen Treffen im Herbst 2008 – wird bis Ende Februar 2009 erfolgen. Auf 

die Lernpfade kann ab Ende März/Anfang April 2009 über das Internet unter der vorigen Webadresse frei 

zugegriffen werden. Die Lernpfade werden auf der deutschen Plattform gespiegelt und in gleicher Weise 

angeboten. 

Die Lernpfade im html-Format stehen auch in einer Download-Version zur Verfügung, um den 

Gegebenheiten der Schulen (manchmal keine optimale Internet-Anbindung zum gewünschten Zeitpunkt) 

Rechnung zu tragen. Bei den WIKI-Lernpfaden ist noch nicht geklärt, ob das möglich sein wird. 

3.3.2. Autorenvorlagen 

Um eine gemeinsame Struktur und ein einheitliches Layout der Lernpfade zu erreichen, wurde auf die bereits 

erprobten Vorlagen (Templates) für die Erstellung der Lernpfade und der zugehörigen didaktischen 

Kommentare aus dem Vorgängerprojekt zurückgegriffen. Die Vorlagen wurden dem Farbdesign der 

Homepage des Regionalen Fachdidaktikzentrums für Mathematik und Informatik (http://rfdz.ph-noe.ac.at) 

angepasst. 



Zusätzlich wurde ein Design für Arbeitsblätter, die auszudrucken sind, entwickelt. 



3.3.2.1. Autorenvorlage für ein Lernpfad-Paket 

Um für den Webauftritt ein gemeinsame Erscheinungsbild aller Materialien zu erzielen, wird ebenfalls wieder 

auf die bewährte Vorlage zurückgegriffen. 

Ein Lernpfad-Paket besteht aus dem Lernpfad selbst, einer Übersichtsseite, dem didaktischen Kommentar, 

methodischen Drehbüchern sowie allen Lernobjekten und anderen Dokumenten für den Download. 

Im Ordner „lernpfad_paket“ werden sich alle nötigen Vorlagen für die Abgabe eines „Lernpfadpakets“ 

befinden. Ein Lernpfadpaket besteht dann aus: 

1) Lernpfad selbst 

2) Lernobjekte und Dokumente für den Download 

3) Übersichtsseite zum Lernpfad 

4) Didaktischer Kommentar 

Ordnerstruktur der Vorlagedateien 

Die Vorlage für den „Didaktischer Kommentar“ zu jedem einzelnen Lernpfad wurde ebenfalls übernommen 

und beim letzten Projekttreffen (Herbst 2008) von den Lernpfadersteller/innen inhaltlich gefüllt. 

Für die Übersichtseite eines Lernpfads wird ebenfalls auf die schon erprobte Vorlage zurückgegriffen. 



An der Navigationsstruktur der Homepage wird derzeit noch gearbeitet. 



3.3.3. Lernpfaderstellung im ZUM-Wiki 

Dieses WIKI der deutschen Partner/innen wurde als Plattform für die wichtigsten Informationen und 

Entwicklungen der Lernpfade eingesetzt (http://wikis.zum.de/medienvielfalt/index.php/Hauptseite). 

Technisch basiert das ZUM-Wiki auf der MediaWiki - Software welche die direkte Bearbeitung der 

Webseiten in einem Webbrowser ermöglicht. So konnten die Inhalte sehr effizient von allen beteiligten 

Personen direkt und selbstständig eingestellt werden. Dadurch fällt der Umweg über eine redaktionelle 

Bearbeitung oder Einpflegung der Inhalte weg. 

Eine Einführung zum Arbeiten mit dem ZUM-Wiki und Erstellung von Lernpfaden in diesem WIKI von 

Maria Eirich (Pentagrammgruppe) befindet sich im Anhang (a4_Anleitung_ArbeitenimWiki.pdf, 

a5_Anleitung_Lernpfad.pdf). 

3.4. ORGANISATION DER EVALUATION 

Wie bereits angeführt konnte Frau Professor Dr. Heike Wiesner (FH Berlin) als Partnerin für die Konzeption 

der Evaluation gewonnen werden. Durch die Zusammenarbeit von Frau Dr. Stepancik, Herrn Mag. 

Maierhofer sowie Herrn Dr. Heugl und Herrn Prof. Dr. Weigand ist die Planung der einzelnen Teilbereiche 

zur Evaluation bereits sehr weit fortgeschritten (siehe Kapitel 5). 

3.5. TESTLEHRERINNEN- UND TESTLEHRERAUSSCHREIBUNG 

Die einzelnen Lernpfade zum Längsschnitt „Funktionale Abhängigkeit“ sollen in Klassen möglichst vieler 

Schularten getestet werden (APS, AHS, BHS, Neue Mittelschule, Polytechnischer Lehrgang sowie 

Berufsschule). Dazu wurden bereits die Vorarbeiten geleistet und ein Testlehrer/innenaufruf erstellt. 

3.5.1. Testlehrerinnen und Testlehrer – Anmeldung 

Das Bundesministerium für Bildung, Wissenschaft und Kunst unterstützt das Projekt durch eine offizielle 

Information an alle Landesschulräte sowie Stadtschulrat für Wien. Wir bedanken uns herzlich bei den 

zuständigen Personen des bm:ukk: SC Dr. Anton Dobart, MR Mag. Johann Wimmer, Mag. Eva Kasparovsky 

und MR Dr. Christian Dorninger. 



Bundesministerium für 

Unterricht, Kunst und Kultur 

Herrn 


Department 3 - Regionales Fachdidaktikzentrum 

für Mathematik und Informatik 

Dechant Pfeifer-Straße 3 

2020 Hollabrunn 

Medienvielfalt im Mathematik-Unterricht 

Suche nach Testschulen und Testlehrkräften 

Verständigung der Schulen 

Zu Ihrer Information: 

Geschäftszahl: BMUKK-11.012/0225-I/2/2008 

SachbearbeiterIn: Mag. Eva-Maria Kasparovsky 

Abteilung: I/2 

E-mail: eva.kasparovsky@bmukk.gv.at 

Telefon/Fax: +43(1)/53120-4456/53120-814456 

Ihr Zeichen: 

Antwortschreiben bitte unter Anführung der Geschäftszahl. 

Das Bundesministerium für Unterricht, Kunst und Kultur übermittelt eine Kopie des mit gleicher Zahl an die 

Landesschulräte / den Stadtschulrat für Wien ergangenen Erlasses betreffend das Projekt „Medienvielfalt im 

Mathematikunterricht“. Der Erlass kann gerne auf der Homepage des RFDZ zum Download zur Verfügung 

gestellt werden. 

Elektronisch gefertigt 

Wien, 18. Dezember 2008 

Für die Bundesministerin: 

Mag. Johann Wimmer 






Eine Kooperation der Initiativen 

ACDCA, GeoGebra, 

mathe online und 

Pädagogische Hochschule NÖ 

http://rfdz.ph-noe.ac.at 

Dem Mathematikunterricht stehen zahlreiche technologische Werkzeuge (Offline- und 

Online-Programme, Computeralgebrasysteme, dynamische Geometrie,...), mediale 

Formen (Lernpfade, CD-ROM- und Internet-basierte Lernumgebungen, ...) und eine große 

Anzahl unterschiedlich aufbereiteter Lehr- und Lernmaterialien zur Verfügung. 

Medien können - geschickt eingesetzt - eine Hilfe sein, um sowohl mathematische 

Handlungstypen wie Modellieren, Operieren und Interpretieren zu stärken und zu 

unterstützen, neue Zugänge zu mathematischen Inhalten zu finden und auch 

überfachliche Kompetenzen wie Sozialkompetenz, Persönlichkeitskompetenz etc. zu 

fördern und zu steigern. 

Die Fragestellungen lauten daher: Wo liegen die Stärken der verschiedenen Werkzeuge, 

Medien und Materialien, und wie sieht ein optimiertes Zusammenspiel in einem 

zeitgemäßen Mathematikunterricht aus? Es werden – wie schon im vorausgegangenen 

Projekt – Lernpfade (elektronische Lehr-/Lernhilfen für den Einsatz im 

Mathematikunterricht) entwickelt. 

Dieses Mal steht dabei der Längsschnitt „Funktionale Abhängigkeiten“ im Vordergrund 

(siehe: Übersicht der Lernpfade). Exemplarisch werden dabei für einzelne Schulstufen 

Lernpfade (Schnittstellenlernpfade und Mikrolernpfade) entwickelt. Unterrichtsvorschläge 

zu Aspekten der funktionalen Abhängigkeit werden didaktisch reflektiert und aufbereitet. 

Es wird versucht, die Stärken der verschiedenen Werkzeuge und Medien zu nutzen. In 

Lernpfaden soll ein optimiertes Zusammenspiel dieser Werkzeuge und Medien erreicht 

werden. 

Folgende Themen sind zur Ausarbeitung und Erprobung in den angegebenen Schulstufen 

vorgesehen (drei Schnittstellenlernpfade und zehn Mirkolernpfade): 

Übersicht der Lernpfade (genauere Informationen siehe: http://rfdz.ph-noe.ac.at): 

Schnittstellenlernpfad: Volksschule/Sekundarstufe 1 (4. + 5. Schulstufe) 

Mikrolernpfad: Wetter – Temperaturkurven (5. + 6. Schulstufe) 

Mikrolernpfad: Direktes und indirektes Verhältnis (6. + 7. Schulstufe) 

Mikrolernpfad: Lineare Funktionen (8. Schulstufe) 

Schnittstellenlernpfad: Sekundarstufe 1/Sekundarstufe 2 (8. bzw. 9. Schulstufe) 

Mikrolernpfad: Quadratische Funktionen (9. Schulstufe) 

Mikrolernpfad: Potenzfunktionen (9. Schulstufe) 

Mikrolernpfad: Trigonometrische Funktionen (10. Schulstufe) 

Mikrolernpfad: Exponential- und Logarithmusfunktion (10. Schulstufe) 

Mikrolernpfad: Differenzen-/Differenzialgleichung (10. + 11. Schulstufe) 

Mikrolernpfad: Zugang zur Poissonverteilung (12. + 13. Schulstufe) 

Mikrolernpfad: Wie lange dauern Projekte? – Die Dreiecksverteilung (12. + 13. Schulst.) 

Schnittstellenlernpfad: Sekundarstufe 2/Universität/Hochschule (12. Schulstufe) 



Für „Lücken“ zwischen den einzelnen Lernpfaden werden Materialien der Linkdatenbank 

http://www.zum.de/Faecher/M/mathematik-digital/ angeboten. 

Für das Testen der erstellten Lehr-/Lernhilfen im Schuljahr 2008/09 und 2009/2010 

werden interessierte Kolleginnen und Kollegen aus allen Schularten (AHS, APS - 

Volksschule und Hauptschule, Neue Mittelschule, polytechnischen Schulen, Berufsschulen 

und BHS), gesucht. Teilnehmerinnen und Teilnehmer bekommen im Laufe der Monate 

März/April 2009 weitere Informationen zur Testphase. Ende März 2009 werden die 

Materialien (Lernpfade) und didaktischen Vorschläge für den Einsatz im Unterricht unter 

http://rfdz.ph-noe.ac.at zur Verfügung gestellt. Diese sollen in den Monaten Mai und Juni 

2009 sowie in den Monaten September und Oktober 2009 in der Klasse getestet und die 

Erfahrungen rückgemeldet werden. Der zeitliche Umfang wird bei Mikrolernpfaden 2-5 

Unterrichtseinheiten, bei Schnittstellenlernpfaden 4-8 Unterrichtseinheiten betragen. 

Wenn Sie als Testlehrerin bzw. Testlehrer mitarbeiten möchten, schicken Sie bitte eine 

kurze Nachricht an Walter Klinger walter.klinger@ph-noe.ac.at mit folgenden 

Informationen: 

Name und Schule, Klasse(n), die im Schuljahr 2008/09 bzw. voraussichtlich im 

Schuljahr 2009/2010 unterrichtet werden. Welche Lernpfade möchte ich in den 

betreffenden Klassen testen? 

Die Anforderungen an Testlehrerinnen und Testlehrer sind folgende: 

• Bereitschaft, nach Anleitung ein Feedback (ca. 5 Fragen) über die 

Unterrichtsorganisation und den Einsatz des Lernpfades zu geben. 

• Bereitschaft, selbst von externen Expertinnen und Experten befragt zu werden. 

• Unterstützung bei der Einholung von Feedback der Schülerinnen und Schüler (unter 

Voraussetzung des Einverständnisses der Eltern soll eine Befragung einzelner 

Klassen durchgeführt werden). 

• Bereitschaft mit einer Klasse einen Fragebogen mit einigen testbezogenen Fragen 

zum Feststellen der Lernerfolge zu absolvieren. 

Bitte geben Sie auch an ob Sie mit einer Klasse an einem langfristigen Monitoring des 

inhaltlichen Konzepts (bei einem eventuellen Folgeprojekt) mitmachen möchten. 

Von Mai bis Oktober 2009 werden in jedem Bundesland „Medienvielfaltstage“ stattfinden, 

bei denen auch eine Einführung in die Lernpfade und Erläuterung der Evaluation erfolgt. 

Weitere Informationen dazu erhalten Sie auf der Webseite http://rfdz.ph-noe.ac.at sowie an 

der Pädagogischen Hochschule des jeweiligen Bundeslandes. 

Wir freuen uns auf eine Zusammenarbeit 

Anita Dorfmayr, Walter Klinger, 

Andreas Lindner, Evelyn Stepancik, 

Franz Embacher 

stellvertretend für das Medienvielfalts-Team 



3.6. ORGANISATION DER INNEREN EVALUATION 

Die innere Evaluation der erstellten Lernpfade erfolgte beim letzten Treffen der Projektpartner im Oktober 

2008. 

Es wurde jeder Lernpfad – es wurden 3 Schnittstellenlernpfade und 9 Mikrolenpfade erstellt – evaluiert und 

konstruktive Kritik geübt. Die Überarbeitung der daraus resultierenden Veränderungsansätze soll bis Mitte 

Februar abgeschlossen sein. 

ANHANG 

Folgende Dateien: 

a1_pflichtenblatt.pdf 

a2_200806_zwischenbericht.pdf 

a3_perlenmodell_zwischenbericht.pdf 

a4_Anleitung_ArbeitenimWiki.pdf 

a5_Anleitung_Lernpfad.pdf 

a6_Folderpodiumsdiskussion.pdf 


Lernpfad-Pflichtenblatt 

Mitglieder der Arbeitsgruppe: 

(Arbeits-)Titel des Lernpfads: 

Schulstufe: 

Voraussichtliche Stundenanzahl: 

mathematik-digital.de 

Eingangskompetenzen (fachlich, technisch, methodisch), die vorausgesetzt bzw. 

aktiviert werden: 

Ideen für den Lernpfad *) (Inhalte, Materialien, Aufbau, ...): 

*) Bitte beachten: Der Lernpfad soll, wenn möglich, sowohl die experimentelle als auch die exaktifizierende 

Lernphase berücksichtigen. 

Zielkompetenzen, die durch den Lernpfad erreicht werden sollen:

Zwischenbericht 

Medienvielfalt im Mathematikunterricht – Internationales Projekt 

Technologiegestützte Lernpfad-Entwicklung und Evaluation 

Entwicklungsphase 

Bisheriger Projektablauf und weitere Planung 

9. - 12. November 2007: Auftaktveranstaltung in Altlengbach 

TeilnehmerInnen: Medienvielfalts-Gruppe, Pentagramm-Gruppe aus Deutschland 

Inhalte und Resultate: Gemeinsam wurde der inhaltliche Schwerpunkt des Projektes 

festgelegt, und zwar die Entwicklung und Evaluation eines Längsschnittes zum 

Thema Funktionale Abhängigkeiten. Ein Ergebnis des Treffens stellte die 

Projektbeschreibung laut Antrag und Offert dar. 

14. Jänner 2008: offizieller Projektstart und Abschluss des Werkvertrages mit dem 

bm:ukk 

November 2007 – Februar 2008: 

○ Organisation des nächsten Projekttreffens 

○ Materialsichtung und Erstellen von Linksammlungen, die im Zusammenhang mit 

Funktionalen Abhängigkeiten stehen 

○ Lehrplanvergleich (AHS, BHS, bayrischer Lehrplan) zum Thema Funktionale 

Abhängigkeiten 

○ erste Vorgespräche mit DI Franz Erhard, Departmentleiter des Department 2: 

Qualität - Qualitätssicherung, Evaluierung der PH Niederösterreich im Hinblick 

auf eine mögliche Beteiligung in der Evaluationsphase 

8. - 9. März 2008: Projekttreffen in Amstetten 

TeilnehmerInnen: Medienvielfalts-Gruppe 

Inhalte und Resultate: 

○ Weiterentwicklung des Längsschnitt-Konzeptes auf Basis der von November 

2007 bis Februar 2008 geleisteten Vorarbeiten 

○ Diskussion und erste Ideen für ein Modell der Kompetenzentwicklung im Bereich 

der Funktionalen Abhängigkeiten (Stichwort: Perlenmodell, siehe Beilage) 

○ Diskussion möglicher Formen der Zusammenarbeit mit der Pentagramm- 

Gruppe: Die Pentagramm-Gruppe hat große Erfahrung mit wiki-Lernpfaden und 

sollte im Laufe des Projektes dafür federführend verantwortlich sein. Die 

Medienvielfalts-Gruppe sollte im Gegensatz dazu in erster Linie die 

Verantwortung für die Konzeption und Erstellung der Schnittstellen-Lernpfade 

nach Vorlage der Medienvielfalts-Lernpfade übernehmen, sowie die 

organisatorischen Aufgaben übernehmen.


10. - 12. März 2008: Kooperationsgespräche beim Bundesseminar in Amstetten 

TeilnehmerInnen: einige Mitglieder der Medienvielfalts-Gruppe, Dr. Heike Wiesner 

Inhalte und Resultate: Erste Vorgespräche mit der Genderexpertin Dr. Heike Wiesner 

aus Berlin im Hinblick auf die Evaluationsphase in puncto Gender. Dr. Wiesner wird 

sich in der Evaluationsphase als Projektmitarbeiterin einbringen, und zwar sowohl 

bei der Vorbereitung und Konzeption derselben, als auch bei der Organisation und 

Durchführung einer externen Evaluation. 

23. April 2008: Besprechung in Wien 

TeilnehmerInnen: Dr. Anita Dorfmayr, Dr. Franz Embacher, Dr. Evelyn Stepancik, 



○ Überarbeitung des Längsschnitt-Konzeptes und des Perlenmodells 

○ Vorbereitung des Projekttreffens in Würzburg 

30. Mai – 1. Juni 2008: internationales Projekttreffen an der Universität Würzburg 

TeilnehmerInnen: Medienvielfalts-Gruppe, Pentagramm-Gruppe 


○ endgültige Festlegung des Längsschnitt-Konzeptes und des Modells der 

Kompetenzentwicklung (Stichwort: Perlenmodell, siehe Beilage) 

○ Aufteilung in Arbeitsgruppen und Festlegen von GruppensprecherInnen 

○ weitere Planung des Projektablaufes inklusive Terminplanung 

○ Festlegen des Termins für das nächste internationale Projekttreffen 

○ Festlegen der Arbeitsplattform (Projekt-wiki) 

weitere Planung: 

○ Juni – Oktober 2008: Arbeitsgruppen-Treffen mit dem Ziel der Erstellung von 

Lernpfade 

○ Fertigstellung der Mikro-Lernpfade (siehe unten) bis Mitte September 2008 

○ Fertigstellung der Schnittstellen-Lernpfade (siehe unten) bis Ende Oktober 2008 

○ nächstes internationales Projekttreffen in Altlengbach: Ende November 2008 

Zielsetzung: Abschluss der Entwicklungsphase (Überarbeitung der erstellten 

Lernpfade, Konzeption des Endberichtes), Konzeption und Organisation der 

Evaluationsphase 

○ Erstellen des Endberichtes bis Ende Dezember 2008


Modell der Kompetenzentwicklung – Perlenmodell 

Die Position einer Perle gibt an, wann das betreffende Lernziel bereits bekannt ist und 

damit aktiviert werden kann. ZB. können schon ab dem Beginn der 5. Schulstufe 

Vorkenntnisse aus der Volksschule aktiviert (wiederholt) und als Ausgangspunkt für den 

nächsten Lernschritt genutzt werden. Der Lernprozess findet zwischen zwei aufeinander 

folgenden Perlen statt. Die dazu angebotenen Materialien sollen den Lernprozess 

unterstützen, und zwar – wenn möglich und sinnvoll – in zwei Phasen: 

1. Experimentelle Phase 

hier wird explizit auf die vorausgehende Perle Bezug genommen 

2. Exaktifizierende Phase 

das Ziel ist das Erreichen der nachstehenden Perle 

Materialien, die den Lernprozess laut diesem Modell unterstützen und im Rahmen 

des Projektes entstehen sollen: 

Mikro-Lernpfade 

○ 1-2 Unterrichtsstunden pro Phase 

○ wiki oder html oder ... 

○ Orientierung an den Zielkompetenzen laut Perlenmodell (siehe Beilage) 

○ Jede Arbeitsgruppe füllt für den Lernpfad ein Pflichtenblatt aus (siehe Beilage) 

und leitet dieses an alle ProjektmitarbeiterInnen (Medienvielfalt + Pentagramm) 

weiter. 

Makro-Lernpfade an den Schnittstellen 

○ nach dem Vorbild der Medienvielfalts-Lernpfade 

○ werden v.a. von der österr. Medienvielfalts-Gruppe erstellt 

○ genauere Beschreibung siehe Perlenmodell in der Beilage 

Materialienpool 

○ nach der Vorlage von www.mathematik-digital.de 

○ Strukturierung orientiert sich an den Zielkompetenzen laut Perlenmodell (siehe 

Beilage)

Modell der Kompetenzentwicklung – Perlenmodell 

Zeitskala: oben 5. Schulstufe, ganz unten 12. Schulstufe 

Perle = Knotenpunkt Zielkompetenzen: Ich kann ... 

Intuitive Zustandsbeschreibung voneinander abhängiger 

Größen 

○ Wortformel und intuitiver Umgang mit Tabellen und Graphen 

bei empirischen Funktionen 


○ Umgang mit Proportionalitäten (direkt und indirekt) 

Erweiterung des Repertoires an Funktionstypen und 

Eigenschaften 

○ Umgang mit linearen Funktionen 

○ Intuitiver Umgang mit exponentiellem Wachstum 

(zB Zinseszinsrechnung) 

● Werte aus graphischen Darstellungen ablesen, sie in 

tabellarischer Form darstellen und im Kontext deuten 

● zwischen den Darstellungsformen Graph, Tabelle und 

Wortformel wechseln 

● Daten sammeln und in Form von Tabellen und Graphen 

darstellen 

● über verschiedene Interpretationen kommunizieren können und 

Vergleiche anstellen 

● Ergebnisse bewerten und begründen 

● Eigenschaften von direkter und indirekter Proportionalität 

beschreiben 

● Proportionalitäten in Tabellen und Graphen darstellen 

● Formeln als neue Darstellungsform verwenden 

● Modellentscheidung (direkt, indirekt, weder noch) begründen 

● geeignete Lösungswege beim Lösen verschiedener Probleme 

auswählen und über die Auswahl diskutieren 

● Parameter variieren und die Auswirkung dieser Variation 

beschreiben 

● von der graphischen Darstellung unmittelbar auf die Darstellung 

als Formel schließen 

● Eigenschaften linearer Funktionen aus der Termdarstellung 

ablesen und sie begründen 

● Lösungen linearer Gleichungssysteme in zwei Variablen als 

Schnittpunkte der Graphen linearer Funktionen ermitteln 

● Übersetzen realer Situationen in mathematische Modelle 

● die Grundeigenschaft „zu gleichen Zeitintervallen gehört der 

gleiche Wachstumsfaktor“ exponentiellen Wachstums aus

Tabellen und verbalen Formulierungen entwickeln und diese 

Grundeigenschaft zum Problemlösen verwenden 

● exponentielles Wachstum in Form von Tabellen rekursiv 

beschreiben und darstellen 

● die Eigenschaften exponentiellen und linearen Wachstums 

vergleichen 

○ quadratische Funktionen ● Parameter variieren und die Auswirkung dieser Variation 

beschreiben 

● Eigenschaften quadratischer Funktionen beschreiben und mit 

Hilfe geeigneter Darstellungsformen begründen 

● Lösungsfälle quadratischer Gleichungen mit Hilfe der Graphen 

quadratischer Funktionen visualisieren 

● das Lösen quadratischer Gleichungen und Ungleichungen 

funktional betrachten 

○ Wurzelfunktionen ● Wurzelfunktion als Umkehrfunktion der quadratischen Funktion 

beschreiben 

● Eigenschaften angeben und begründen 

○ Intuitiver Umgang mit einfachen gebrochen-rationalen 

Funktionen 

● die Definitionsmenge angeben 

● gebrochen-rationale Funktionen des Typs f x= k 

x und 

f x= k 

x 2 graphisch darstellen und die Graphen im Kontext 

interpretieren 

● Asymptoten beschreiben und im Kontext interpretieren 

○ Potenzfunktionen ● Parameter variieren und die Auswirkung dieser Variation 

beschreiben 

● die Erweiterung des Potenzbegriff (Exponent aus ℕ ℤℚ ) 

erklären 

● Wurzelfunktion als Potenzfunktion erkennen 

● Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen ermitteln 

○ trigonometrische Funktionen ● Parameter variieren und die Auswirkung dieser Variation 

beschreiben

● Eigenschaften trigonometrischer Funktionen beschreiben und 

mit Hilfe geeigneter Darstellungsformen begründen 

○ Exponential- und Logarithmusfunktion ● Parameter variieren und die Auswirkung dieser Variation 

beschreiben 

● Eigenschaften von Exponential- und Logarithmusfunktionen 

beschreiben und mit Hilfe geeigneter Darstellungsformen 

begründen 

● Exponential- und Logarithmusfunktionen als Umkehrfunktionen 

kennen 


○ diskret 

Differenzengleichung -> Differentialgleichung 

● 

● Den Differenzenquotienten als diskretes Änderungsmaß kennen 

und darüber kommunizieren 

● Folgen als Funktionen kennen und in verschiedenen 

Darstellungsformen beschreiben 

● Differenzengleichungen als neuen Prototyp kennen und zur 


● einen intuitiven Grenzwertbegriff entwickeln und verwenden 

○ kontinuierlich ● Den Differentialquotient als kontinuierliches Änderungsmaß 

kennen und darüber kommunizieren 

● den Differentialquotienten in unterschiedlichen 

Anwendungssituationen erkennen und beim Problemlösen 

anwenden 

● Ableitungsfunktion als Hilfe beim Problemlösen verwenden 

(Extremwertaufgaben) 

● Differentialgleichungen als neuen Prototyp kennen und zur 


Beschreibung durch Aufsummation 

○ Flächeninhaltsfunktion 

● Unterschiedliche Methoden der Flächenberechnung kennen 

● Flächeninhalte unter Funktionsgraphen näherungsweise 

angeben 

● die Flächeninhaltsfunktion (Abhängigkeit des Integrals von der 

oberen Grenze ...) 

○ Stammfunktion ● Integrieren als Umkehrung zum Differenzieren

Schnittstellenlernpfade 

werden erstellt von der österrr. Gruppe Medienvielfalt (entsprechend österr. Projektantrag) 

Schnittstellen und Gruppeneinteilung (4-5 Personen pro Gruppe): 

● Volksschule – Sek I 

● Sek I – Sek II 

● Sek II – Universität 

Kompetenzen: Orientierung an der obigen Liste 

Merkmale: 

● Aktivierungs- / Wiederholungsphase 

● Experimentelle Phase 

● Exaktifizierende Phase 

● Übungs-/Anwendungsphase: Problemlösen 

● Umfang: 4-8 Stunden 

● Konzeption wie beim alten MV-Projekt

Mathematik-digital 1 

Anmelden 

Erstellen von Seiten im ZUM-Wiki 

Um im ZUM-Wiki neue Seiten erstellen oder bestehende ändern zu können, muss man einmalig 

ein neues Benutzerkonto anlegen („anmelden“-Feld ganz oben rechts). 

Hinweis zum Benutzernamen: Für die weitere Zusammenarbeit ist es sinnvoll entweder den 

echten Namen oder einen möglichst sprechenden Namen zu 

wählen. Der erste Buchstabe wird automatisch groß geschrieben. 

Öffnen und Bearbeiten der eigenen Benutzerseite 

1. Öffnen der Benutzerseite: Klicke auf deinen Benutzernamen. 

2. Bearbeiten der Benutzerseite: Klicke auf den Button „bearbeiten“. 

3. Beschreibung zur eigenen Person abgeben: 

Es macht viel Sinn, sich auf seiner Benutzerseite kurz mit einigen Daten zur eigenen Person 

vorzustellen, damit die anderen Benutzer wissen, mit wem sie es zu tun haben (Schule, 

Unterrichtsfächer, besondere Interessen...). 

Wichtige Tipps zur Textgestaltung: siehe Seite 3 

Wichtiger Hinweis vor dem Speichern: 

Drücke auf „Vorschau zeigen“ und prüfe, ob das Ergebnis so ist, wie du es wolltest. 

Vor dem Speichern immer eine kurze Zusammenfassung der Änderungen eintragen. 

4. Setze einen externen Link, z.B. zur Linkdatenbank http://www.mathematik-digital.de. 

Externer Link 

- Icon anklicken, 

es erscheint:[http://www.beispiel.de Link-Text] 

- URL an der entsprechenden Stelle einfügen. 

- Bei Link-Text gewünschten Text eingeben, z.B. Linkdatenbank. 

Es erscheint: Linkdatenbank 

5. Setze einen internen Link im ZUM-Wiki, z.B. zur Startseite von Mathematik-digital. 

Interner Link 


es erscheint: [[Link-Text]] 

- Namen der Seite einfügen, z.B. [[Mathematik-digital]] 

- Falls der gezeigte Text vom Artikelnamen abweichen soll, geht das so: 

Hier findet man [[Mathematik-digital|Lernpfade]]. 

Es erscheint: Hier findet man Lernpfade. 

6. Einfügen einer Kurzinfo 

Einfache Möglichkeit, eine Kurzbeschreibung für eine 

Benutzerseite bzw. einen Artikel zu erstellen, 

z.B. {{Kurzinfo-1|Lehrer}} 

weitere Vorlagen: ZUM-Wiki:Vorlagen/Kurzinfo 

© Maria Eirich


Anlegen und Bearbeiten einer Unterseite, z.B. Erstellen einer Übungsseite für Schüler 

1. Anlegen einer Unterseite 

a) Internen Link setzen, z.B. [[Benutzer:Maria Eirich/Klasse 5a|Klasse 5a]] 

b) Artikel speichern und den (noch roten) Link auf die Unterseite anklicken: Es öffnet sich 

die Bearbeiten-Seite der neuen Unterseite. 

c) Durch Abspeichern wird die neue Unterseite angelegt. 

Das Anlegen einer Unterseite entspricht dem Einordnen einer Datei in einen Ordner. 

2. Überschrift einfügen: 

Überschrift 

- oder schreibe: == == 

Sind in einem Artikel mehr als 3 Überschriften, so legt das Wiki 

automatisch ein Inhaltsverzeichnis für den Artikel an. 

3. Externen Link einfügen, z.B. aus der Datenbank www.mathematik-digital.de (2. Variante) 

• In einem zweiten Fenster die Linkdatenbank www.mathematik-digital.de öffnen. 

• Link auswählen; rechte Maustaste: „Link-Adresse kopieren“ bzw. „Verknüpfung kopieren“ 

• URL in das Bearbeiten-Feld einfügen, markieren, dann Icon „Externer Link“ anklicken. 

4. Text mit mathematischer Formel schreiben: 

Formel 

Editor 

5. Bild hochladen 

Bild hochladen 

- Icon für Formel anklicken, 

es erscheint: Formel hier einfügen 

- Im Editor The TEX Box passende Formel anklicken, abändern und 

einfügen, z.B. A=\frac{1}{2}gh 

Es erscheint: 

- andere Möglichkeit: Hilfe-Seite zu LaTex verwenden 

http://www.zum.de/wiki/index.php/Hilfe:Latex Kurzinformation 

- Icon anklicken, es erscheint: [[Bild:Beispiel.jpg]] 

- Statt dem Text Beispiel.jpg den gewünschten Dateinamen 

eingeben, z.B. Anleitung_7.png (auf Dateiformat achten) 

- Die Seite speichern und den roten Link anklicken, 

es öffnet sich die Seite zum Hochladen einer Datei. 

- Quelldatei suchen (analog Email-Anhang). 

- Beschreibung und Quellenangabe nicht vergessen! 

6. pdf- Dokumente und GeoGebra-Dateien hochladen 

• Im Dokument z.B. eingeben: {{pdf|Test.pdf|Lösung}}; es erscheint: Lösung 

• Ab hier wie bei „Bild hochladen“ beschrieben 

{{ggb|Test.ggb|Datei}}; es erscheint: Datei 

Word-Dokumente müssen zuerst in pdf-Dateien umgewandelt werden. 

© Maria Eirich


Übersicht über die wichtigsten Formatierungsmöglichkeiten 

Icon Syntax Ergebnis: 

Fetter Text 

’’’fett’’’ fett 

Kursiver Text 

Interner Link 

Externer Link 

Überschrift 

Bild 

Formel 

The TEX Box 

Unterschrift 

’’kursiv’’ kursiv 

[[ Link-Text]] Link-Text 

[http://www.beispiel.de Link-Text] Link-Text 

== Überschrift == Überschrift 

[[Bild:Wurzel.jpg]] 

Weitere Formatierungsmöglichkeiten 

Formel hier einfügen Formelhiereinfügen 

--~~~~ (Unterschrift mit Zeitstempel) Name 13:34, 21.Feb 2007 

Syntax Ergebnis: 

= Überschrift 1 = 

== Überschrift 2 == 

=== Überschrift 3 === 

* eins 

* zwei 

** zwei-eins 

** zwei-zwei 

# eins 

# zwei 

## zwei-eins 

## zwei-zwei 

Normaler Text 

: eingerückt 

:: doppelt eingerückt 

(Linie) 

---- 

;Begriff 

:Definition des Begriffs 

Die Eingabe einer Leerzeile 

erzeugt einen Absatz. 

{{pdf|AB_1.pdf|Arbeitsblatt}} 

Überschrift 1 



• eins 

• zwei 

• zwei-eins 

• zwei-zwei 

1. eins 

2. zwei 

1. zwei-eins 

2. zwei-zwei 

Normaler Text 

eingerückt 

doppelt eingerückt 

Begriff 

Definition des Begriffs 


erzeugt einen Absatz. 

Arbeitsblatt 

{{ggb|LinFunk.ggb|Lineare Funktion}} Lineare Funktion 

{{Kurzinfo-1|Lehrer}} 

Diskussionsseite 

Jeder Artikel hat eine Diskussionsseite, auf der man Fragen stellen oder Anregungen geben kann. 

Eigene Beiträge auf den Diskussionsseiten werden immer unterschrieben mit: --~~~~. 

© Maria Eirich

Mathematik-digital 

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Erstellen von Lernpfaden im ZUM-Wiki 

Um in diesem Wiki-System neue Seiten erstellen oder bestehende ändern zu können, muss man 

einmalig ein neues Benutzerkonto anlegen: 

1. Klicke ganz rechts oben auf „Anmelden“. 

2. Klicke auf „Neues Benutzerkonto“ anlegen. 

3. In der folgenden Maske müssen nun fünf Felder ausgefüllt werden. 

Hinweis zum Benutzernamen: 

Für die weitere Zusammenarbeit ist 

es sinnvoll entweder den echten 

Namen oder einen möglichst 

sprechenden Namen zu wählen. Zu 

beachten ist, dass der erste 

Buchstabe automatisch groß 

geschrieben wird. 

4. Klicke nun auf „Neues 

Benutzerkonto anlegen“. 

Öffnen und Bearbeiten der eigenen Benutzerseite: 

1. Öffnen der Benutzerseite: Klicke auf deinen Benutzernamen. 

2. Bearbeiten der Benutzerseite: Klicke auf den Button „bearbeiten“. 

3. Beschreibung zur eigenen Person abgeben: 

Es macht viel Sinn, sich auf seiner Benutzerseite kurz mit einigen Daten zur eigenen Person 

vorzustellen, damit die anderen Benutzer wissen, mit wem sie es zu tun haben (Schule, 

Unterrichtsfächer, besondere Interessen...). 

Wichtige Tipps zur Textgestaltung: siehe Seite 3/4 

Wichtiger Hinweis vor dem Speichern: 

Drücke auf „Vorschau zeigen“ und prüfe, ob das Ergebnis so ist, wie du es wolltest. 

Vor dem Speichern immer eine kurze Zusammenfassung der Änderungen eintragen. 

3. Setze einen externen Link zur Linkdatenbank http://www.mathematik-digital.de 

Externer Link 


- es erscheint:[http://www.beispiel.de Link-Text] 

- URL an der entsprechenden Stelle einfügen 

- Bei Link-Text gewünschten Text eingeben, z.B. Linkdatenbank 

Es erscheint: Linkdatenbank 

5. Setze einen internen Link zur Startseite von Mathematik-digital im ZUM-Wiki. 

1 

© Maria Eirich


Interner Link 


- es erscheint: [[Link-Text]] 

- Namen der Seite einfügen z.B.: [[Mathematik-digital]] 

- Falls der gezeigte Text vom Artikelnamen abweichen soll, geht das so: 

Hier findet man [[Mathematik-digital|Lernpfade]] 

- Es erscheint: Hier findet man Lernpfade 

6. Kurzinfo „M-digital-Mitarbeit“und „Lehrer“ einbauen 

Die Kurzinfo-Vorlagen erlauben es, relativ einfach eine Kurzbeschreibung für eine 

persönliche Benutzerseite bzw. für einen Artikel zu erstellen. 

Weitere Information im ZUM-Wiki unter: ZUM-Wiki:Vorlagen/Kurzinfo 

{{Kurzinfo-1|M-digital-Mitarbeit}} 

{{Kurzinfo-2|M-digital-Mitarbeit|Lehrer}} 

7. Anlegen einer Unterseite 

a) Internen Link setzen z.B.: [[Benutzer:Maria Eirich/Oberstufe]] 

b) Artikel speichern und den roten Link auf die Unterseite anklicken: Es öffnet sich die 

Bearbeiten-Seite der neuen Unterseite. 

c) Durch Abspeichern wird die neue Unterseite angelegt. 

Anlegen eines neuen Lernpfades 

Bearbeiten des neuen Lernpfades 

. 

- Eingabe von: {{Lernpfad-M-digital|Testlernpfad_Eirich}} 

in Lernpfade in Entwicklung (Namen wichtig!!) 

- Speichern roten Link anklicken 

- Es wird eine Unterseite von Mathematik-digital angelegt mit 

1. Vorlagen Lernpfad verwenden: {{Lernpfad-M|}} 

2. Kurzinfo einfügen: {{Kurzinfo-1|M-digital}} 

3. Überschrift einfügen: 

Überschrift 

- oder schreibe: == == 

Sind in einem Artikel mehr als 3 Überschriften, so legt das Wiki 

automatisch ein Inhaltsverzeichnis für den Artikel an. 

Anstatt: 1. – 3. : Lernpfad-Master öffnen Quelltext kopieren Einfügen 

4. Externen Link aus der Datenbank www.mathematik-digital.de einfügen: 

• Im Babel-Baustein „Linkdatenbank“ anklicken (z.B. in der Vorschau) 

• Link auswählen 

• Rechte Maustaste: „Link-Adresse kopieren“ bzw. „Verknüpfung kopieren“ 

• Einfügen in das Bearbeiten-Feld 

• Markieren, dann Icon „Externer Link“ anklicken 

5. Text mit mathematischer Formel schreiben: 

Formel 

Editor 

6. Bild hochladen 


- Es erscheint: Formel hier einfügen 

- Im Editor The TEX Box passende Formel anklicken, abändern 

und einfügen, z.B. A=\frac{1}{2}gh 

- Es erscheint: 

- andere Möglichkeit: Hilfe-Seite zu LaTex verwenden 

http://www.zum.de/wiki/index.php/Hilfe:Latex Kurzinformation 

2 

© Maria Eirich


Bild hochladen 

7. pdf-Dokument hochladen: 


- Es erscheint: [[Bild:Beispiel.jpg]] 

- Statt dem Text Beispiel.jpg den Namen der Datei eingeben, 

z.B.: Muster.jpg 

- Die Seite speichern und den roten Link anklicken. 

- Es öffnet sich die Seite zum Hochladen einer Datei. Quelldatei suchen 

(analog Email-Anhang), Beschreibung nicht vergessen! 

• Im Dokument z.B. eingeben: {{pdf|Test.pdf|Lösung}} 

• Es erscheint: Lösung 

• Die Seite speichern und den roten Link anklicken. 

• Hochladen der pdf-Datei (analog zu Bild hochladen) 

Word-Dokumente müssen zuerst in pdf-Dateien umgewandelt werden. 

(Vgl. im ZUM-Wiki-Artikel „PDF“ den Absatz „Word-Dateien ins PDF-Format konvertieren“.) 

8. GeoGebra-Datei hochladen: 

• Funktioniert wie bei pdf-Dateien und wird im Dokument z.B. so eingebunden: 

{{ggb|Test.ggb|Datei}} 

• Es erscheint: 

• Im Internet Explorer 7 kann die ggb-Datei nicht direkt geöffnet werden, man muss sie 

zuerst speichern. 

9. Tipp für später: Fertigen (Test-)Lernpfad verschieben (≙ Umbenennung) 

• Verschiebe den Lernpfad zu: Mathematik-digital/ 

• Alles weitere übernehmen die ZUM-Wiki-Administratoren 

Diskussionsseite 

Jeder Artikel hat eine Diskussionsseite, auf der man Fragen stellen oder Anregungen geben kann. 

Eigene Beiträge auf den Diskussionsseiten werden immer unterschrieben mit: --~~~~. 

Übersicht 

Icon Syntax Ergebnis: 

Fetter Text 

Kursiver Text 

Interner Link 

Externer Link 

’’’fett’’ 

fett 

’’kursiv’’ kursiv 

[ [ Link-Text]] Link-Text 

[http://www.beispiel.de Link-Text] Link-Text 

Überschrift == Überschrift == Überschrift 

Bild 

Formel 

[[Bild:Wurzel.jpg]] 

Editor The TEX Box 

Unterschrift 

Formel hier einfügen Formelhiereinfügen 

--~~~~ Unterschrift mit Zeitstempel Name 13:34, 11.O 2007 

{{pdf|Test.pdf|Lösung}} Lösung 

3 

© Maria Eirich


Weiter hilfreiche Formatierungsmöglichkeiten: 

Syntax Ergebnis: 

= Überschrift 1 = 

== Überschrift 2 == 

=== Überschrift 3 === 

* eins 

* zwei 

** zwei-eins 

** zwei-zwei 

# eins 

# zwei 

## zwei-eins 

## zwei-zwei 

Normaler Text 

: eingerückt 

:: doppelt eingerückt 

(Linie) 

---- 

;Begriff 

:Definition des Begriffs 


erzeugt einen Absatz 

{{Lernpfad-M-digital|Das Lot}} 

{{Lernpfad-M| Kurze Beschreibung des 

Lernpfades mit Zielsetzung. 

*'''Zeitbedarf:''' eine 

Unterrichtsstunde/mehrere 

Unterrichtsstunden 

*'''Material:''' Arbeitsblatt 

*'''Hinweis:''' 

}} 

{{Kurzinfo-1|M-digital}} 

{{Definition| }} 

{{Merksatz| }} 

{{mitgewirkt|* }} 




• eins 

• zwei 

• zwei-eins 

• zwei-zwei 

1. eins 

2. zwei 

1. zwei-eins 

2. zwei-zwei 

Normaler Text 

eingerückt 

doppelt eingerückt 

Begriff 

Definition des Begriffs 


erzeugt einen Absatz 

4 

© Maria Eirich

Die Pädagogische Hochschule Niederösterreich lädt im Rahmen des Bundesseminars 

ein zur 

Mathematische Beispielkultur 

Im Blickwinkel von Technologie, Nachhaltigkeit und Genderaspekten 

Podiumsdiskussion 

Amstetten, 10. März 2008, 19.30 – 21.30, Hotel Gürtler 

Die Zukunft des Mathematikunterrichts 

Im Spannungsfeld zwischen Tradition und Vision 

Analysen und Einschätzungen – Perspektiven und Chancen – Gefahren 

Eine Veranstaltung im Rahmen des Jahres der Mathematik 2008 

TeilnehmerInnen an der Podiumsdiskussion: 

O. Univ.-Prof. Mag. Dr. Roland FISCHER 

Universität Klagenfurt 

Ao. Univ.-Prof. Mag. Dr. Stefan GÖTZ 

Universität Wien 

Univ.-Prof. HR MMag. DDr. Erwin RAUSCHER 

Pädagogische Hochschule Niederösterreich 

Univ. Ass. Mag. Dr. Hans-Stefan SILLER 

Universität Salzburg 

Prof. Dr. Heike WIESNER 

FHW Berin, Harriet Taylor Mill-Institut 

Moderation: Doz. Dr. Franz Embacher – Universität Wien

O. Univ.-Prof. Mag. Dr. Roland FISCHER 

Universität Klagenfurt 

1968 – 1970 Studium Mathematik und Physik an der Universität Wien, 

1968 – 1970 Lehrer an einer HTL, 

1970 – 1974 Assistent an der Universität Salzburg, dort Habilitation für Mathematik, 

seit 1974 Professor für Mathematik mit besonderer Berücksichtigung der Didaktik an der 

Universität Klagenfurt, 

seit 1980 Mitglied des IFF, heute Fakultät für Interdisziplinäre Forschung und 

Fortbildung, seit 1994 Leiter dieser Einrichtung, 

Gastaufenthalte in Deutschland und in den USA. 

Arbeitsgebiete: Mathematische Allgemeinbildung, Mathematik und Gesellschaft, Aus- 

und Weiterbildung von MathematiklehrerInnen im Bereich Didaktik der Mathematik, 

DoktorandInnenkolleg „Mathematische Bildung im informationstechnologischen 

Zeitalter", Universitätslehrgang „Fachbezogenes Bildungsmanagement" (fBM) 

Ao. Univ.-Prof. Mag. Dr. Stefan GÖTZ 

Universität Wien 

1984 – 1990 Studium Mathematik und Physik Lehramt an der Universität Wien, 

1991 – 2006 Unterrichtstätigkeit an AHS in Wien, 

1991 – 2002 Vertragsassistent am Institut für Mathematik der Universität Wien, 

1998 Promotion, 2002 Habilitation für "Didaktik der Mathematik und 

Elementarmathematik", seit 2002 Ao. Univ.-Prof. ebendort, 

Verfasser zahlreicher Publikationen v. a. zur Didaktik der Stochastik, Herausgeber 

einer Schulbuchreihe für die AHS Oberstufe, Mitglied des Leitungsteams der ARGE 

Mathematik an AHS in Wien 

Univ.-Prof. HR MMag. DDr. Erwin RAUSCHER 

Pädagogische Hochschule Niederösterreich 

Seit 2007 Rektor der Pädagogischen Hochschule NÖ, 

1990 Habilitation in Religionspädagogik und in Pädagogik, 

seit 1987 Lehraufträge zur Schulentwicklung und in der LehrerInnenbildung an den 

Universitäten Graz, Klagenfurt, Salzburg und Linz, Mitarbeiter am Institut für 

Unterrichts- und Schulentwicklung der Universität Klagenfurt, 

LehrerInnenfortbildung zu Schulinnovation und Schulmanagement österreichweit und 

international, 

16 Jahre Direktor (zuvor 13 Jahre Administrator) an österr. Realgymnasien und 

Gymnasien, 13 Maturaklassen in Mathematik, 

Verfasser zahlreicher Bücher und pädagogischer Publikationen, Schulbuchautor

Univ. Ass. Mag. Dr. Hans-Stefan SILLER 

Universität Salzburg 

1997 – 2002 Studium Math. und Physik Lehramt an der Karl-Franzens-Univ. Graz, 

2002 – 2007 Unterrichtender an AHS in Salzburg Land und Stadt, 

seit 2007 Postdoc am Fachbereich für Fachdidaktik (Abt. Didaktik der Mathematik und 

Informatik) der Universität Salzburg. 

2006 Promotion 

In seiner Dissertation wird besonders die fundamentale Idee der Modellierung unter 

Einsatz verschiedenster Softwaresysteme diskutiert. Seit 2007 beschäftigt er sich im 

Rahmen seiner Postdoc-Stelle mit der Bedeutung funktionaler Modellierung und deren 

grafischer Repräsentation als Leitidee für den Informatikunterricht. Weitere 

Arbeitsgebiete sind die Bildungsstandards für das Fach Mathematik (M8, 

Regionalleiter für M12 in Salzburg) und fächerübergreifender Unterricht (insbes. 

Mathematik/Informatik, Mathematik/Musik, Mathematik/Physik) 

Prof. Dr. Heike WIESNER 

FHW Berin, Harriet Taylor Mill-Institut 

Studium der Sozialwissenschaften an der Universität Bremen, wissenschaftliche 

Mitarbeiterin an der Universität Bremen, Forschungssemester in den USA 

2001 Promotion mit dem Titel „Die Inszenierung der Geschlechter in den 

Naturwissenschaften“ 

Frauenforschung an der Universität Kiel und Fachbereich Informatik an der Universität 

Bremen 

Europäische und deutsche Forschungsprojekte in den Bereichen Science and 

Technology Studies, Neue Medien in der Bildung, eLearning, Robotik und 

Wissensmanagement 

Ab 2005 Gastprofessur an der Fachhochschule Wilhelmshaven und ab 2006 an der 

FHW Berlin 

Aktueller Arbeitsschwerpunkt: Wissensmanagement und eLearning unter der 

besonderen Berücksichtigung von Gender Mainstreaming und Diversity 

Die Podiumsdiskussion wird moderiert von 


Fakultät für Physik der Universität Wien 

Leiter des Projekts eLearnPhysik, Entwickler von mathe online, 

http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/

zusammen mit dem Projekt 

einer gemeinsamen Initiative von 

Kontakt: Mag. Walter Klinger – walter.klinger@ph-noe.ac.at


4. LERNPFADE „FUNKTIONALE ABHÄNGIKEIT“ 

4.1. DIDAKTISCHES KONZEPT – DR. HELMUT HEUGL 

Warum Längsschnitte? 

Zum Vernetzen 

Beim Lernen wird Wissen nicht nur angehäuft, sondern verbunden und hierarchisiert. Das führt zu einer 

kognitiven Struktur bei Lernenden 

Zum „Wieder-holen-können/müssen“ 

Als Beitrag zur Nachhaltigkeit – zu langfristig verfügbaren Kompetenzen 

Als stetige Fortsetzung der Einstiegslernpfade des Projekts Medienvielfalt im Mathematikunterricht 

Als Konsequenz auf Ergebnisse erster Standardmessungen 

Zur Nachhaltigkeit von Lernprozessen 

Die Nachhaltigkeit von Bildungsprozessen zeigt sich an den längerfristigen Wirkungen, die von einem Lernund 

Entwicklungsprozess ausgehen. 

Angestrebte nachhaltige Wirkungen: 

Nachhaltige Einstellungen und Werte 

Dauerhafte Lernresultate 

Nachhaltiges Lernverhalten 

Aktivierbare Denktechnologie 

„Wie/wodurch kann die nachhaltige Wirkung 

des Mathematikunterrichts verbessert werden?“ 

durch didaktische Konzepte 

durch adäquate Methoden 

durch Technologie 

durch Standards/ Outputorientierung 

durch Lernbücher 

durch Einstellungen/ Haltungen 

durch Ansterngung 

Lernpfade - Seite 1


Ziele einer „nachhaltigen“ Aufgabenkultur 

• Verstehen lernen, worum es in der Mathematik geht 

• Behalten können, verfügbar haben, wie es geht nicht nur nachhaltigeres Grundwissen, sondern 

auch „Denktechnologie“ (heuristische Problemlöse-strategien) 

• Anwenden können grundlegender Mathematisierungsmuster in Problemsituationen 

Mögliche Orientierungen der Aufgabenkultur 

• Beispielorientierung: 

Konzentration auf genau diese Aufgabe, ohne eine Einbettung in ein ganzes Problemfeld 

mitzudenken. Trainieren möglichst vieler gleichartiger Aufgaben 

• Methodenorientierung: 

Im Zentrum stehen die eingesetzten Unterrichtsmethoden und damit die Vermittlung überfachlicher 

Kompetenzen (Sozialkompetenz, Methoden-kompetenz, Personalkompetenz), die Fachkompetenz ist 

eher zweitrangig. 

• Feldorientierung 

Bewusste Einbettung der Aufgabe in ein inner- oder außermathematisches Themenfeld. Reflexion des 

Verfahrenseinsatzes und der Übertragbarkeit der Kenntnisse und Handlungen. Wechsel des 

Kontextes. Generieren von adäquaten Aufgaben durch die Lernenden [Bruder, 2007]. 

• Kompetenzorientierung 

Ziel des Lernprozesses ist die Aneignung langfristiger Verfügbarer Kompetenzen und nicht nur das 

Abarbeiten von mathematischen Inhalten. 

Kriterien für kompetenzorientierte Aufgabenkultur: 

• Bildungstheoretische Orientierung als Entscheidungsgrundlage 

• Beachtung aller 3 Dimensionen mathematischer Kompetenz: Handlungen, die an Inhalten mit einer 

gewissen Komplexität ausgeführt werden 

• Ausgewogene Berücksichtigung aller 4 Handlungsbereiche: 

- Darstellen, Modellbilden 

- Operieren, Rechnen 

- Interpretieren 

- Argumentieren, Begründen 

• Betonung des Reflektierens, Verstärktes Einsetzen von Reflexionswissen 

• Bewusstmachen notwendiger Grundkompetenzen 

• Bewusstmachen heuristischer Problemlösestrategien 

• Variation der Aufgabentypen 

• Anregungen zum Erwerb überfachlicher Kompetenzen (Methodenkompetenz, Sozialkompetenz, 

Personalkompetenz) 

• Einsetzen kompetenzorientierter Diagnoseinstrumente 

Lernpfade - Seite 2


Gegebenes 

Aufgabenformate und –typen 

Quelle: Regina Bruder , TU Darmstadt 

Problemlösung 

Gesuchtes 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Funktion von Aufgaben im Lernprozess [Leuders, 2006] 

Einsatzarten 

zum Erkunden, Entdecken, Erfinden 

zum Sammeln, Sichern, Systematisieren 

zum Begründen und Beweisen 

zum Üben, Vernetzen und Wiederholen 

zur Kompetenzdiagnose 

zur Leistungsbeurteilung 

Didaktische Konzepte zur Langfristigkeit 

Das Spiralprinzip 

[Bruner,J.S.,1967] 

Dasselbe Thema wird zu 

verschiedene Zeitpunkten (z. T. 

Schulstufen) auf verschiedenen 

Niveaus behandelt 

Zu beachten: 

Die einzelnen Durchläufe dürfen nicht 

isoliert voneinander bleiben 

Die Standpunktsverlagerung muss 

bewusst gemacht werden und es sollte 

auch transparent sein, wozu sie dient. 

Frühere Durchläufe dürfen spätere 

Erweiterungen nicht behindern. 

Gelöste Aufgabe (stimmt das?) 

einfache Bestimmungsaufgabe 

einfache Um kehraufgabe 

Bew eisaufgabe, Spielstrategie 

Schw ere Bestimmungsaufgabe 

Schwierige Umkehraufgabe 

Erfinden einer Aufgabe 

Offene Problemsituation 

5 

4 

3 

2 

1 

Lernpfade - Seite 3


Das genetische Konzept 

In diesem Text wird der in der didaktischen Literatur sehr vielschichtig gedeutete Begriff "genetisches 

Konzept" sehr stark in Anlehnung an die Deutung von Wittmann verstanden. Eine weitere Grundlage für 

dieses Konzept ist die Piagetsche These, dass bei der Genese von Wissen in den Wissenschaften und im 

Individuum gleiche Mechanismen maßgebend sind [Wittmann, 1981, S 59 und S 130ff]. 

Kennzeichnende Merkmale und wesentliche Phasen: 

(1) Anschluss an das Vorverständnis der Adressaten. 

Ausgangspunkt sind Probleme aus der Erfahrungswelt der Schüler. Meist werden es praktische Probleme sein, 

es kann sich aber sehr wohl auch um Probleme aus ihrer bisherigen mathematischen Erfahrungswelt handeln. 

(2) Einbettung der Überlegungen in größere, ganzheitliche Problemkontexte außerhalb und innerhalb der 

Mathematik. 

Man wird sich irgendwann vom konkreten Ausgangsproblem lösen. 

Beispiel: Beim Einstieg in die Differentialrechnung über das Problem "mittlere Geschwindigkeit - 

Momentangeschwindigkeit" wird man das Geschwindigkeitsproblem in das allgemeinere Problem 

"nähert sich beliebig" einbetten. 

(3) Zulässigkeit einer informellen Einführung. 

Man wird bei einem genetischen Weg nicht warten, bis man einen Begriff, einen Algorithmus mit 

'höchster' Exaktheit einführen kann. Als Einstieg genügt ein naiver auf der Schüler/innenerfahrung 

aufbauender Begriff. 

Beispiel: 

Genetischer Einstieg in die Differentialrechnung heißt, sich vorerst mit einem naiven Grenzwertbegriff 

"nähert sich beliebig" zufrieden zu geben und nicht schon vorher Theorie auf Vorrat zu sammeln, 

das heißt, nicht als Voraussetzung schon eine exakte Definition des Grenzwerts reeller Funktionen 

und der Stetigkeit zu verlangen. 

(4) Hinführen zu strengeren Überlegungen; Erweiterung des Gesichtskreises, Standpunktsverlagerung. 

Wenn möglich sollen die Schüler/innen erkennen, dass eine Exaktifizierung nicht nur deshalb 

notwendig ist, um die Gewissensbisse des Mathematiklehrers zu beruhigen oder etwas zum Prüfen zu 

haben, sondern weil durch die exaktere Beschreibung und Formulierung ein besseres Verstehen 

möglich ist und auch neue Anwendungsbereiche erschlossen werden. 

Beispiele: 

• Durch einen exakteren Grenzwertbegriff ist es möglich, Ableitungsregeln besser zu 

begründen und zu beweisen und komplexere Anwendungsprobleme zu lösen. 

• Bei der Entwicklung des Begriffes der Winkelfunktionen, etwa ausgehend vom 

rechtwinkeligen Dreieck, sollte die Standpunktsverlagerung beim Übergang zur Definition 

am Einheitskreis den Schülern bewusst gemacht werden. 

• Bei der Entwicklung des Potenzbegriffes sollte die Standpunktsverlagerung von Exponenten 

aus der Menge der natürlichen Zahlen bis hin zu Potenzen mit Exponenten aus der Menge der 

reellen Zahlen den Schülern bewusst gemacht werden. 

(5) Durchgehende Motivation, Kontinuität 

Die Schüler/innen sollten den Zusammenhang der einzelnen Phasen eines genetisch aufgebauten 

Kapitels erkennen und die Logik der Abfolge verstehen. 

Beispiele: 

• Entwicklung des Inhaltsbegriffes vom Flächeninhalt des Rechteckes bis zum Integral. 

• Entwicklung der Exponentialfunktion von der 3. bis zur 8. Klasse. 

Lernpfade - Seite 4


Der Weg der Lernenden in die Mathematik 

Ausgangspunkt ist ein oft konkretes Problem. Über Vermutungen und theoretischen Absicherungen wird ein 

Algorithmus entwickelt, der dann zur Lösung des Problems benutzt wird. Danach wird versucht, ein nächstes 

Problem zu lösen, usw. 

Die Buchbergersche Kreativitätsspirale 


Algorithmus 

Neues Problem 

Der Weg des Lernenden 

Problem 

in die Mathematik 

Theoret. Absicherung 

Grob gesagt können 3 Phasen im Lernprozess unterscheiden: 

Die heuristische, experimentelle Phase 

Die exaktifizierende Phase 

Die Anwendungsphase 


Anwendungsphase 

Algorithmus 

Neues Problem 

Problem 

Exaktifizierende 

Phase 


Vermutung 

Heuristische, 

experimentelle 

Phase 

Vermutung 

Wichtig ist, dass bei der Entwicklung von Längsschnitten alle 3 Phasen berücksichtigt werden. Technologie 

kann auch gefährliche „Abkürzungen“ bewirken: 

Lernpfade - Seite 5


Der Weg des Lernenden in die Mathematik 


Algorithmus 

Problem 


Funktionenlernen an „Prototypen“ 

Vermutung 

Aus dem Experimentieren ergibt sich eine 

Problemlösung, auf Exaktifizierung und 

das Hinterfragen und Nutzen eines 

Algorithmus wird verzichtet. Dann folgt 

das nächste Problem usw. 

Die fundamentale Idee „Funktion“ 

[Dörfler; 1991] 

• Denkprozesse erfolgen oft vorteilhaft anhand gegenständlicher Vorstellungen, Repräsentationen, 

Modellierungen der jeweiligen Problemsituation. Gute Softwaresysteme bieten eine Vielzahl 

graphischer und symbolischer Elemente an, so dass der Benutzer interaktiv verschiedenste kognitive 

Modelle am Bildschirm erstellen kann. 

• Der Computer als Medium für Prototypen: Allgemeinbegriffe werden mittels prototypischer 

Repräsentanten kognitiv verfügbar gemacht. Der Computer bietet nicht nur eine grössere Vielfalt an 

Prototypen an, sondern insbesondere auch solche, die ohne ihn nicht verfügbar wären. 

Schüler/innen erleben im Laufe ihres Lernprozesses verschiedene Prototypen des Funktionsbegriffs. 

Prototypen von Funktionen 

Tabelle 

rekursives Modell 

Neues Problem 

Wortformel 

Programm 

Graph 

Term 

Wie schon bei der Window Shuttle Methode 

ausgeführt erfolgt Funktionenlernen im Wesentlichen 

im Herstellen von Beziehungen zwischen 

verschiedenen Prototypen des Funktionsbegriffs 

(z.B.: „Kurvendiskussion“ Herstellung von 

Beziehungen zwischen Term und Graph). 

Neben den Prototypen des klassischen Unterrichts werden durch technologische Werkzeuge weitere 

Prototypen erschlossen: 

Lernpfade - Seite 6


Traditioneller Mathematikunterricht CAS-unterstützter MU 

• Verfügbare Prototypen: 

• Wortformel 

• Term 

• Graph (2D) 

• Tabelle (statisch) 

Prototypen stehen nur seriell zur Verfügung 

(Geg.: Term; Ges.: Graph) 

Einige Tätigkeiten in Zusammenhang mit dem Funktionskonzept: 

• Zusätzliche Prototypen: 

• Das rekursive Modell 

• Tabelle (dynamisch) 

• Graph (3D) 

• Module (Funktionen, Programme) 

Prototypen stehen parallel zur Verfügung 

„Window Shuttle Methode“ 

• Finde einen bestimmten Prototypen einer Funktion (finde die Funktionsgleichung). 

• Gegeben ist ein Prototyp => finde einen anderen (Geg.: Term => Ges.: Graph). 

• Untersuche die Eigenschaften einer bestimmten Funktion, nutze dabei passende Prototypen 

• Untersuche die Auswirkungen von Parametern (Einfluss des Winkels auf die Wurfweite). 

• Verändere einen gegebenen Prototypen (faktorisiere, expandiere). 

• Verwende bestimmte Prototypen im Problemlöseprozess. 

Während im traditionellen Unterricht verschiedene Prototypen seriell zur Verfügung stehen (gegeben ist der 

Term – suche den Graphen!) bieten technologische Werkzeuge verschiedene Prototypen parallel an (wenn 

man den Term gegeben hat, steht auch der Graph zur Verfügung. Das bedeutet eine grundlegende 

Veränderung des kognitiven Prozesses, die auch im didaktischen Konzept des Lernens ihren Niederschlag 

findet (siehe „Window Shuttle Methode). 

Kompetenzorientiertes Funktionenlernen 

Unter Kompetenzen werden hier längerfristig verfügbare kognitive Fähigkeiten und Fertigkeiten verstanden, 

die von Lernenden entwickelt werden können und sie befähigen, bestimmte Tätigkeiten in variablen 

Situationen auszuüben, sowie die damit verbundene Bereitschaft, diese Fähigkeiten und Fertigkeiten 

einzusetzen. 

Der Erwerb und die Verfügbarkeit kognitiver Kompetenzen bedarf allerdings der Erweiterung und Ergänzung 

durch Selbst- und Sozialkompetenz. 

Mathematische Kompetenzen beziehen sich auf mathematische Tätigkeiten, auf mathematische Inhalte 

sowie auf die Art und Komplexität der erforderlichen kognitiven Prozesse. 

Mathematische Kompetenzen haben somit eine Handlungsdimension (auf welche Art von Tätigkeit sie sich 

beziehen, also was getan wird), eine Inhaltsdimension (auf welche Inhalte sie sich beziehen, also womit 

etwas getan wird) und eine Komplexitätsdimension (bezogen auf die Art und den Grad der Vernetzungen). 

Für jede Dimension mathematischer Kompetenzen sind unterschiedliche Bereiche vorstellbar: 

Unterschiedliche mathematische Handlungen, unterschiedliche mathematische Inhalte sowie unterschiedliche 

Arten und Grade der Komplexität. Im hier verwendeten Modell mathematischer Kompetenzen werden 

„verwandte“ Handlungen zu Handlungsbereichen (H1, H2, …), „verwandte“ Inhalte zu Inhaltsbereichen 

(I1, I2, …) und „verwandte“ Arten bzw. Grade von Vernetzungen zu Komplexitätsbereichen (K1, K2,…) 

zusammengefasst: 

Je nach Altersstufe und Schulart stehen dann besondere Handlungs- und Inhaltsbereiche im Vordergrund und 

werden bei der Formulierung der Standards entsprechend präzisiert. Dabei sind die Standards der 

verschiedenen Schulstufen (Grundschule, Sekundarstufe I und Sekundarstufe II) aufeinander aufbauend zu 

sehen. Das heißt, die Standards der Sekundarstufe I drücken auch Erwartungen für die Sekundarstufe II aus. 

Im vorliegenden Modell wurden für die Sekundarstufe II in den 3 Dimensionen folgende Bereiche 

(Ausprägungen) beschrieben: 

Lernpfade - Seite 7


Eine spezifische mathematische Kompetenz in dem hier verwendeten Sinne wird also charakterisiert durch 

eine bestimmte Handlung, die an einem Inhalt mit einer bestimmten Komplexität ausgeführt wird, also durch 

ein Tripel (z. B. (H3, I2, K2)). 

Anliegen an Lernpfade: 

• Möglichst alle Handlungsbereiche (siehe unten) erfassen 

• Reflektieren als wichtigen Bildungsertrag sehen 

• Bei komplexen Problemen Grundkompetenzen bewusst machen 

Kompetenzen beim Funktionenlernen 

Kompetenzbeschreibung als Feld im Kompetenzmodell (Tripel) 

Ein Modell 

mathematischer 

Kompetenzen 

math. Inhalt 

Komplexitätsbereiche 

K1: Einsetzen von Grundkenntnissen 

und -fertigkeiten 

K2: Herstellen von Verbindungen 

K3: Einsetzen von Reflexionswissen, 

Reflektieren 

Inhaltsbereiche 

I1: Algebra und Geometrie 

I2: Funktionale Abhängigkeiten 

I3: Differential- u. Integralrechnung 

I4: Wahrscheinlichkeit u. Statistik 

Komplexität 

H3 

I2 

Kompetenz H3–I2–K2 

math. Handlung 

Kompetenzmodell 

Sek II 

Handlungsbereiche 

H1: Darstellen & Modellbilden 

H2: Rechnen & Operieren 

H3: Interpretieren 

H4: Argumentieren & Begründen 

Lernpfade - Seite 8


Inhalt Handlung H1: Darstellen, Modellbilden 

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Darstellen meint die Übertragung gegebener mathematisierbarer 

Sachverhalte in eine (andere) mathematische Repräsentation bzw. 

Repräsentationsform. 

Modellbilden erfordert über das Darstellen hinaus, in einem 

gegeben Sachverhalt die relevanten mathematischen Beziehungen zu 

erkennen (um diese dann in mathematischer Form darzustellen), 

allenfalls Annahmen zu treffen, Vereinfachungen bzw. Idealisierungen 

vorzunehmen u. Ä. 

Charakteristische Tätigkeiten sind z. B.: 

•alltagssprachliche Formulierungen in die Sprache/Darstellung der 

Mathematik übersetzen 

•problemrelevante mathematische Zusammenhänge identifizieren und 

mathematisch darstellen 

•verschiedene mathematischer Modelle für ein Problem entwickeln und 

ihre Problemadäquatheit überlegen 

•einen gegebenen mathematischen Sachverhalt in eine andere 

Darstellungsform übertragen (in eine tabellarische, grafische, 

symbolische, rekursive oder bei Technologienutzung in eine 

werkzeugspezifische Darstellungsform); zwischen Darstellungen oder 

Darstellungsformen wechseln 

•geeignete mathematische Mittel (Begriffe, Modelle, 

Darstellungsformen, Technologien) und Lösungswege auswählen 

•komplexe Probleme modularisieren 

Inhalt Handlung H2: Operieren, Rechnen 

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Rechnen im engeren Sinn meint die Durchführung numerischer 

Rechenoperationen, Rechnen in einem weiteren Sinn meint 

regelhafte Umformungen symbolisch dargestellter mathematischer 

Sachverhalte 

Operieren meint allgemeiner und umfassender die Planung sowie 

die korrekte, sinnvolle und effiziente Durchführung von Rechen- oder 

Konstruktionsabläufen und schließt z. B. geometrisches Konstruieren 

oder auch das Arbeiten mit bzw. in Tabellen und Grafiken mit ein. 

Rechnen/Operieren schließt immer auch die verständige und 

zweckmäßige Auslagerung operativer Tätigkeiten an die verfügbare 

Technologie mit ein. 


•numerische Rechenverfahren durchführen (z. B. Rechnen mit 

Dezimalzahlen, Brüchen, Potenzen usw.) 

•elementare Rechenoperationen in den Bereichen Algebra, Analysis, 

Geometrie und Stochastik planen und durchführen 

•Gleichungen und Ungleichungen lösen 

•Ergebnisse abschätzen, sinnvoll runden, näherungsweise rechnen 

•mit und in Tabellen oder Grafiken operieren 

•geometrische Konstruktionen durchführen 

Lernpfade - Seite 9


Inhalt Handlung H3: Interpretieren 

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Interpretieren meint, aus mathematischen Darstellungen Fakten, 

Zusammenhänge oder Sachverhalte zu erkennen und darzulegen 

sowie mathematische Sachverhalte und Beziehungen im jeweiligen 

Kontext zu deuten. 

Charakteristisc he Tätigkeiten sind z. B.: 

•Werte aus Tabellen oder grafischen Darstellungen ablesen, sie im 

jeweiligen Kontext deuten 

•tabellarisch, grafisc h oder symbolisch gegebene Zusammenhänge 

beschreiben und im jeweiligen Kontext deuten 

•Zus ammenhänge und Strukturen in Termen, Gleichungen (Formeln) 

und Ungleic hungen erkennen, sie im Kontext deuten 

•mathematische Begriffe oder Sätze im jeweiligen Kontext deuten 

•Rechenergebnisse im jeweiligen Kontext deuten 

•tabellarische, grafische oder auch symbolische 

Rechnerdarstellungen angemessen deuten 

•zutreffende und unzutreffende Interpretationen erkennen 

Argumentieren meint die Angabe von mathematischen 

Aspekten, die für oder gegen eine bestimmte 

Sichtweise/Entscheidung sprechen. Argumentieren erfordert eine 

korrekte und adäquate Verwendung mathematischer 

Eigenschaften/Beziehungen, mathematischer Regeln sowie der 

mathematischen Fachsprache. 

Begründen meint die Angabe einer Argumentation(skette), die 

zu bestimmten Schlussfolgerungen/Entscheidungen führt. 


•mathematische Argumente nennen, die für oder gegen die 

Verwendung eines bestimmten mathematischen Begriffs, eines 

Modells oder einer Darstellung(sform), für oder gegen einen 

bestimmten Lösungsweg bzw. eine bestimmte Lösung, für oder 

gegen eine bestimmte Interpretation sprechen 

•die Entscheidung für die Verwendung eines bestimmten 

mathematischen Begriffs, eines Modells, eines Lösungsweges, für 

eine Darstellung(sform), eine bestimmte Lösung oder eine 

bestimmte Sichtweise/Interpretation argumentativ belegen 

•mathematische Vermutungen formulieren und begründen 

(aufgrund deduktiven, induktiven oder analogen Schließens) 

•mathematische Zusammenhänge (Formeln, Sätze) herleiten oder 

beweisen 

•zutreffende und unzutreffende mathematische Argumentationen 

bzw. Begründungen erkennen; begründen, warum eine 

Argumentation oder Begründung (un-)zutreffend ist 

Lernpfade - Seite 10


Längsschnitt Funktionen 

Nach dem Perlenmodell von Stepancik/Dorfmayr 

Perle1 

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Perle 2 

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Perle3 

Perle3 

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Perle 4 

Le 

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Perle5 

Kompetenz 1: Abhängigkeiten verbalisieren („Wortformel“) und in Tabellen 

oder durch Formeln darstellen. Abhängigkeiten interpretieren 

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Kompetenz 2: Bestimmte Abhängigkeiten identifizieren (dir./ indir. Prop., 

prozentuales Wachstum) und als Modelle beim Problemlösen nutzen. 

Prototypen: Wortformel, Tabelle, Graph, Formel, rekursives Modell 

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Kompetenz 3: Lineare Funktionen: Eigenschaften erkennen, zum 

Modellieren nutzen; rekursive Modelle für prozentuales Wachstum nutzen; 

empirische Funktionen interpretieren 

Kompetenzen 3: Lineare Funktionen: Eigenschaften erkennen, zum 

Modellieren nutzen; rekursive Modelle für prozentuales Wachstum nutzen; 

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empirische Funktionen interpretieren 

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Kompetenzen 4: Weitere termdarstellbare Funktionen (Potenz- und 

Polynomfunktion; rationale Funktion; Winkelfunktionen; Exponential-und 

Logarithmusfunktion): Eigenschaften erkennen, zum Modellieren nutzen. 

Folgen und Reihen: Vorbereitung von Kompetenzen für die Analysis, zum 

W 

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Modellieren nutzen. 

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Kompetenzen 5: Nutzen von Funktionen in der Analysis und in der 

Stochastik. Problemlösen mit Hilfe von Differenzen-und 

Differentialgleichungen bei Wachstumsprozessen 

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4.2. DIDAKTISCHES KONZEPT – PROF. DR. HANS-GEORG WEIGAND 

Aus: Vollrath, H.-J., Weigand, H.-G., Algebra in der Sekundarstufe, Spektrum-Verlag, 

Heidelberg 2006 

Lernmodelle für den Funktionsbegriff 

Für die Mathematiker reduziert sich das Problem des Lehrens eines Begriffs auf die Wahl einer geeigneten 

Definition, die die Lernenden mit ihren Voraussetzungen erfassen und mit der sie möglichst problemlos 

umgehen können. Unter Umständen wählt man einen Begriff im Rahmen einer axiomatisch aufgebauten 

Theorie auch als Grundbegriff, den man dann durch die Axiome implizit definiert. 

Betrachtet man das Lernen unter genetischen Gesichtspunkten, so wird man das Lernen eines derartig 

zentralen mathematischen Begriffs, der selbst in der Mathematik eine lange und wechselvolle Entwicklung 

hinter sich hat, langfristig planen müssen. 

Dabei wird man einerseits eine sukzessive Erweiterung der Funktionstypen anstreben. Dabei kommt es dann 

immer wieder zu „Grenzüberschreitungen“: 

Von den proportionalen zu den linearen Funktionen, 

von den linearen zu den quadratischen Funktionen, 

von den quadratischen Funktionen zu den Potenzfunktionen, 

von den Potenzfunktionen zu den Exponentialfunktionen, 

von den Exponentialfunktionen zu den trigonometrischen Funktionen. 

Andererseits ist auch ein Lernen in Stufen zu organisieren. Man wird folgende Stufen anstreben: 

1. Stufe: Der Begriff als Phänomen 

Das Verständnis dieser Stufe ist durch folgende Fähigkeiten gekennzeichnet: 

(1) Die Schüler können Zusammenhänge zwischen Größen erkennen und mit Hilfe des Funktionsbegriffs 

beschreiben. 

(2) Sie kennen wichtige Beispiele derartiger Funktionen. 

(3) Mit dem Funktionsbegriff sind Vorstellungen wie Kurve, Schaubild, Pfeildiagramm, Tabelle usw. 

verbunden. 

(4) Die Schüler können diese Ausdrucksmittel zum Lösen einfacher Probleme einsetzen. 

(5) Sie haben die Eindeutigkeit der Zuordnung als kennzeichnende Eigenschaft erkannt und kennen die 

Begriffsbezeichnung „Funktion“. 

Wir bezeichnen das Verständnis dieser Stufe als ein intuitives Verständnis des Funktionsbegriffs. 

2. Stufe: Der Begriff als Träger von Eigenschaften 

Das Verständnis dieser Stufe wird durch folgende Fähigkeiten beschrieben: 

(1) Die Schüler kennen grundlegende Eigenschaften von Funktionen. 

(2) Die Vorstellungen über die Eigenschaften sind eng verbunden mit den unterschiedlichen 

Darstellungsformen. 

(3) Die Schüler sind in der Lage, Argumente für die erkannten Eigenschaften anzugeben. Dabei greifen 

sie ebenfalls auf die entsprechenden Darstellungen zurück. 

(4) Die Schüler können die entdeckten Eigenschaften zur Lösung von Problemen benutzen. 

Das auf dieser Stufe erreichte Verständnis bezeichnen wir als inhaltliches Begriffsverständnis. 

Lernpfade - Seite 12


3. Stufe: Der Begriff als Teil eines Begriffsnetzes 

In dieser Stufe geht es um das Erkennen von Zusammenhängen zwischen den Eigenschaften. Es werden 

folgende Leistungen erbracht: 

(1) Die Schüler kennen Zusammenhänge zwischen den Eigenschaften. 

(2) Die Schüler erkennen mögliche charakterisierende Eigenschaften, so dass sie nun Definitionen bilden 

können. 

(3) Die Schüler können Eigenschaften von Funktionen formal ausdrücken und in Beweisen verwenden. 

(4) Sie kennen für wichtige Funktionstypen unterschiedliche Definitionen und sind sich deren Äquivalenz 

bewusst. 

Wir sprechen hier von einem integrierten Begriffsverständnis. 

4. Stufe: Der Begriff als Objekt zum Operieren 

Hier geht es um folgende Leistungen: 

(1) Die Schüler kennen wichtige Verknüpfungen von Funktionen. 

(2) Sie haben Vorstellungen von den Verknüpfungen, die an die verschiedenen Darstellungsformen 

gebunden sind. 

(3) Sie kennen grundlegende Eigenschaften dieser Verknüpfungen und können sie begründen. 

(4) Sie benutzen beim Operieren mit Funktionen die gefundenen Verknüpfungseigenschaften. 

Die Schüler erreichen auf dieser Stufe ein formales Begriffsverständnis. 

In der Sekundarstufe II lässt sich auch noch ein kritisches Begriffsverständnis erreichen, indem etwa 

Beziehungen zum Relationsbegriff gesehen werden und über den Einfluss von unterschiedlichen Definitionsund 

Wertebereichen nachgedacht werden kann, wie es in der Analysis erforderlich ist. 



4.3. PERLENMODELL DER LERNPFADE 

Im Jahr 2008 wurden 13 Lernpfade konzipiert und realisiert (als Web- oder Wiki-Lernpfad). Zum Zeitpunkt 

der Berichtlegung liegen 3 Schnittstellen-Lernpfade und 10 Mikro-Lernpfade zum Längsschnittthema 

Funktionale Abhängigkeit vor: 

Dabei bezeichnen die großen Kreise Lernpfade für die Schnittstellen, die kleinen Kreise Lernpfade für die 

entsprechenden Schulstufen. 



4.4. ÜBERSICHT UND KURZBESCHREIBUNG LERNPFADE 

• Schnittstellenlernpfad: Volksschule/Sekundarstufe 1 (4. + 5. Schulstufe) 

• Mikrolernpfad: Wetter – Temperaturkurven (5. + 6. Schulstufe) 

• Mikrolernpfad: Direktes und indirektes Verhältnis (6. + 7. Schulstufe) 

• Mikrolernpfad: Lineare Funktionen (8. Schulstufe) 

• Schnittstellenlernpfad: Sekundarstufe 1/Sekundarstufe 2 (8. bzw. 9. Schulstufe) 

• Mikrolernpfad: Quadratische Funktionen (9. Schulstufe) 

• Mikrolernpfad: Potenzfunktionen (9. Schulstufe) 

• Mikrolernpfad: Trigonometrische Funktionen (10. Schulstufe) 

• Mikrolernpfad: Exponential- und Logarithmusfunktion (10. Schulstufe) 

• Mikrolernpfad: Differenzen-/Differentialgleichung (10. + 11. Schulstufe) 

• Mikrolernpfad: Zugang zur Poissonverteilung (12. + 13. Schulstufe) 

• Mikrolernpfad: Wie lange dauern Projekte? – Die Dreiecksverteilung (12. + 13. Schulst.) 

• Schnittstellenlernpfad: Sekundarstufe 2/Universität/Hochschule (12. Schulstufe) 

SCHNITTSTELLENLERNPFAD: VOLKSSCHULE/SEKUNDARSTUFE 1 

Schulstufe 4. + 5. Schulstufe 

Dauer 4-5 Unterrichtsstunden 

Technische 

Voraussetzungen 

Kurzbeschreibung 

Java Applets, Internet 

Dieser Lernpfad beginnt mit der Aktivierung der Grundrechenarten sowie 

der Flächeninhalts- und Umfangsformeln von Recheck und Quadrat. 

Dabei werden die entstehenden funktionalen Abhängigkeiten in Form von 

Tabellen aufgeschrieben und Auswirkungen von Veränderungen verbal 

formuliert. 

Mikrolernpfad: WETTER – TEMPERATURKURVEN 


Dauer 2 Unterrichtsstunden 

Technische 

Flashplayer, Internet 


Dieser Lernpfad versucht am Beispiel Wetter und Temperaturkurven einen 

intuitiven Zugang zum Thema funktionale Abhängigkeiten zu schaffen. 

Kurzbeschreibung Dabei stehen verschiedene Darstellungsformen im Zentrum, und zwar die 

verbale Beschreibung, die graphische Beschreibung (Diagramm) und die 

Tabelle. 

Mikrolernpfad: LINEARE FUNKTIONEN 

Schulstufe 8. Schulstufe 

Dauer 3 – 4 Unterrichtsstunden 

Technische 

Java, Internet 


Bereits in den vorangegangenen Schulstufen Gelerntes zum Thema 

funktionale Abhängigkeiten soll gefestigt werden. Neu ist der Begriff der 

linearen Funktion. Im Zentrum steht die Verbindung der verschiedenen 

Darstellungsformen (vor allem Wortformel, Graph, Formel), wobei 


erstmals ein Graph direkt in eine Formel übergeführt wird. 

Dynamische Applets unterstützen die Visualisierung der Bedeutung der 

Parameter k und d. Interaktive Tests ermöglichen den Schüler/innen ihr 

Wissen selbsttätig zu überprüfen und neu Gelerntes zu festigen. 



Schnittstellenlernpfad: SEKUNDARSTUFE I/SEKUBDARSTUFE II 

Schulstufe 8. oder 9. Schulstufe bzw. 10. Schulstufe (HAK) 

Dauer 7 - 8 Stunden 

Technische 



Der Lernpfad kann am Ende der 8. Schulstufe zur Wiederholung oder in 

der 9. Schulstufe (bzw. 10. Schulstufe HAK) zur Auffrischung eingesetzt 

werden. Wirtschaftliche Anwendungen richten sich an Schüler/innen der 

9. Schulstufe bzw. 10. Schulstufe (HAK). 


Mikrolernpfad – QUADRATISCHE FUNKTIONEN 


Dauer 4 Stunden 

Unterrichtsfächer Mathematik 

Der Lernpfad wiederholt verschiedene Zugänge aus dem Bereich der 

funktionalen Abhängigkeiten (Darstellungsformen Wortformel, Graph, 

Tabelle, Term; indirekte/direkte Proportionalität; lineare Funktion; 

Kapitalwachstum). Vom intuitiven Umgang mit Funktionen werden die 

Schüler/innen zu einer Verallgemeinerung des Funktionsbegriffs geführt 

werden, der anhand von Anwendungsaufgaben vertieft wird. 

Verwendete Medien Dynamische Geometrie Software (DGS), Java Applets, Internet 

Technische 


Autoren 



Reinhard Schmidt, Christian Schmidt, Maria Eirich, Andrea 

Schellmann und Gabi Jauck 

Die Einführung in das Thema "Quadratische Funktionen" erfolgt 

am Beispiel des Bremsweges eines Autos, genauer gesagt anhand 

des Zusammenhangs zwischen der Geschwindigkeit eines Autos 

und der Länge seines Bremsweges. Nachdem auf diese Weise der 

Begriff der reinquadratischen Funktion erarbeitet worden ist, wird 

die allgemeine Form vor allem durch Experimentieren am Graphen 

erarbeitet. Interaktive Übungen tragen zum Verständnis bei und 

helfen das Erarbeitete zu festigen. 

Mikrolernpfad: POTENZFUNKTIONEN 



Technische 



Autoren Hans-Georg Weigand, Petra Bader, Michael Schuster, Jan Wörler 

Dieser Lernpfad stellt eine zusammenfassende Wiederholung zu 

„Potenzfunktionen“ dar. Es wird also vorausgesetzt, dass dieser 

Themenbereich im Unterricht bereits behandelt wurde. 

Dieser Lernpfad vertieft den Zusammenhang zwischen den 


Potenzfunktionen mit verschiedenen Exponenten (natürliche, ganze, 

rationale Exponenten) und entwickelt insbesondere die Wechselbeziehung 

zwischen Term und Graph durch Variation der Exponenten und Parameter 

bei f(x) = a*x^e + b. 



Mikrolernpfad: TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN 



Technische 



GeoGebra, Internet 

Im Zentrum des Lernpfads steht die Frage, wie die Graphen der 

Funktionen 

x a sin(b x + c) + d und x a cos(b x + c) + d 

von den Parametern a, b, c und d abhängen. Teile des Lernpfads können 

in Expertenteams bearbeitet werden. 

Mikrolernpfad: EXPONENTIAL- UND LOGARITHMUSFUNKTIONEN 




Verwendete Medien Browser mit Java Applets, Internet 

Technische 



Autoren Andreas Lindner, Gabriele Jauck 


In diesem Lernpfad wird ausgehend von dem bereits bekannten Beispiel 

der Kapitalentwicklung ein neuer Typ von Funktion – die 

Exponentialfunktion – eingeführt. 

Die Schüler/innen untersuchen die Eigenschaften der 

Exponentialfunktionen und zeichnen ihre Graphen. 

Die Logarithmusfunktion wird als Umkehrfunktion der 

Exponentialfunktion eingeführt. 

Mikrolernpfad: DIFFERENZEN- UND DIFFERENZIALGELICHUNGEN 

Beschreibung der Veränderung von Zuständen durch Differenzen und Differentialgleichungen 

Schulstufe 11. + 12. Schulstufe 


Technische 



Java Applets, Internet, CAS (DERIVE, Maxima), GeoGebra 

Der Lernpfad beschreibt mit Hilfe von bekannten Beispielen aus 

Ökologie und Ökonomie (Zerfall/Wachstum, Räuber-Beute-Modell, 

Ausbreitung von Krankheiten, Volkswirtschaftliche Modelle, …) die 

formalisierte Darstellung von Prozessen durch Differenzengleichungen 

(diskret) und Differenzialgleichungen (kontinuierlich). 



Mikrolernpfad. ZUGANG ZUR POISSONVERTEILUNG 

Schulstufe 12. / 13. Schulstufe 


Technische 



Dynamische Geometrie Software (DGS), Computer Algebra Systeme 

(CAS), Tabellenkalkulationsprogramme, Internet 

Dieser Lernpfad bietet eine kurze Einführung in das Thema „Diskrete 

Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktionen“ anhand eines 

anwendungsorientierten Zugangs zur Poissonverteilung. Dabei werden 

Daten einer Unfallstatistik als Maß der Sicherheit genauer untersucht. 

Interaktiv kann eine poissonverteilte Modellfunktion als Annäherung an 

gegebenes grafisches Datenmaterial gefunden werden. Dynamische 

Applets unterstützen die Visualisierung, wobei hier Parameter durch 

Schieberegler frei gewählt werden können. 

Mikrolernpfad: WIE LANGE DAUERN PROJEKTE ? – DIE DREIECKSVERTEILUNG 


Dauer 3 - 4 Unterrichtsstunden 

Technische 



Dynamische Geometrie Software (DGS), Computer Algebra Systeme 

(CAS), Tabellenkalkulationsprogramme, Internet 

Anhand der Dreiecksverteilung soll eine Einführung in kontinuierliche 

Wahrscheinlichkeitsverteilungen gegeben werden. Mithilfe verschiedener 

Technologien sollen wichtige Eigenschaften dieser Funktion entdeckt 

werden und anschließend der Begriff der kontinuierlichen 

Wahrscheinlichkeitsverteilung exaktifiziert werden. 

Schnittstellenlernpfad: SEKUNDARSTUFE 2 – UNIVERSITÄT/HOCHSCHULE 

Schulstufe 12. Schulstufe 

Dauer 4-(5) Unterrichtsstunden 

Technische 



Internet, pdf-Viewer, Tabellenkalkulation 

Dieser Schnittstellenlernpfad bietet vermischte Aufgaben aus den 

Themenbereichen funktionale Abhängigkeiten, Integralrechnung, 

Differentialrechnung, dynamische Prozess, Kurvendiskussion zur 

Maturavorbereitung beziehungsweise zur Wiederholung des Schulstoffes 

zu Beginn des Studiums. 



4.5. LERNPFADE 

4.5.1. SCHNITTSTELLENLERNPFAD: VOLKSSCHULE/SEK 1 

Mitglieder der Arbeitsgruppe: Irma Bierbaumer, Anita Dorfmayr, Walter Klinger, Evelyn 

Stepancik 

(Arbeits-)Titel des Lernpfads: Schnittstellen Lernpfad 

Schulstufe: 5. Schulstufe (Schnittstelle VS und SEK1) 

Voraussichtliche Stundenanzahl: 4 

Eingangskompetenzen (fachlich, technisch, methodisch), die vorausgesetzt bzw. aktiviert 

werden: 

Grundrechnungsarten mit natürlichen Zahlen, Vorstellungen damit verbinden können, 

Vorstellungen verbalisieren können 

Umfang und Fläche von Rechteck und Quadrat 


Grundrechnungsarten anschaulich wiederholen 

Erste funktionale Abhängigkeiten erkennen und formulieren 

Entsprechende Textaufgaben 

Wiederholung (ausgehende von vorhergehenden Beispielen) 

*) Bitte beachten: Der Lernpfad soll, wenn möglich, sowohl die experimentelle als auch die 

exaktifizierende Lernphase berücksichtigen. 

Zielkompetenzen, die durch den Lernpfad erreicht werden sollen: 

Funktionale Abhängigkeiten ausgehend von ikonischen Darstellungen erkennen können und mit 

Tabellen sowie verbal beschreiben können 



LERNPFAD: SCHNITTSTELLE – VOLKSSCHULE – SEK 1 

AUTOREN/INNEN: IRMA BIERBAUMER, ANITA DORFMAYR, 

WALTER KLINGER, EVELYN STEPANCIK 

MOTIVATION – WARUM WURDE DAS THEMA GEWÄHLT? 

Ausgehend von der fundamentalen Idee der Funktion erscheint besonders an der Schnittstelle der Volksschule 

zur Sekundarstufe 1 der Themenbereich „Funktionale Abhängigkeit“ als Herausforderung. Stehen in der 

Volksschule das Mathematisieren und das Lösen von Sachproblemen (Beschreiben von dargestellten 

Sachverhalten durch Bilder, Herausarbeiten mathematischer Problemstellungen durch Versprachlichen und 

Darstellen in Tabellen ) sowie das Zuordnen von Rechenoperationen und Beschreiben von Sachverhalten mit 

Zahlen und Platzhaltern (Variablen) und das Erstellen einfacher Gleichungen (z.B.: Umfangsformel und 

Flächeninhaltsformel) im Zentrum, so wird in der Sekundarstufe 1 neben der Festigung und Erweiterung des 

Funktionsbegriffes durch verschiedene Zugänge und Darstellungsformen (Text, Tabelle, Formel, Graf) zu 

funktionalen Abhängigkeiten auch ein besonderes Augenmerk auf die Förderung der Selbsttätigkeit, des 

Vermutens, Dokumentierens, Begründens, Argumentieren und exaktes mathematisches Formulieren gelegt. 

Der Einsatz des Computers kann durch dynamische Applets und andere interaktive Materialien vor allem das 

Experimentieren und mathematische Vermuten unterstützen. 

DIDAKTISCHER KOMMENTAR 

In diesem Lernpfad werden für die Schüler/innen der 4. Klasse Volksschule und der 1. Klasse der 

Sekundarstufe 1 ausgehend von konkreten Sachproblemen zu den Themenbereichen Umfang und 

Flächeninhalt von Rechteck und Quadrat und den vier Grundrechenarten sowohl experimentelle Zugänge als 

auch exaktifizierende Phasen, unterstützt durch dynamische Applets, angeboten. 

Dieser Lernpfad soll zur Entwicklung von Standards und zur Nachhaltigkeit bei „Funktionalen 

Abhängigkeiten“ einen Beitrag leisten. Weiters sollen beim Lernprozess Tätigkeiten wie Vermuten, 

Überprüfen, Formulieren und Dokumentieren gepflegt und gefestigt werden sowie bei unterschiedlichen 

Aufgabenstellungen angewendet werden. 

Kurzinformation 

Schulstufe 4. - 5. Schulstufe 



Verwendete Medien Java Applets, Internet 

Technische Voraussetzungen Java, Internet 

Autoren 

Anita Dorfmayr, Irma Bierbaumer, 

Walter Klinger, Evelyn Stepancik 

VORAUSSETZUNGEN 

Technische Voraussetzungen: Java (kostenlos von www.java.com), Internet 

Technisches Vorwissen: Elementarer Umgang mit dem Computer 

Vorwissen der Schüler/innen: Grundrechnungsarten, Flächeninhalt und Umfang von Rechteck und Quadrat 



LERNINHALTE UND LERNZIELE 

Lerninhalt Lernziel 

aus einer bildlichen Darstellung eine Grundrechnungsart erkennen 

Rechnen Tabellen ausfüllen 

zahlenmäßige Veränderungen erkennen und verbal beschreiben 

einfache Teilungsaufgaben lösen 

Teilen 

Tabellen ausfüllen 

einfache funktionale Abhängigkeiten erkennen und beschreiben 

Tabellen ausfüllen 

in Rechtecken funktionale Abhängigkeiten zwischen den Seitenlängen, Umfang 

Wiese 

und Flächeninhalt erkennen und beschreiben 

Formeln für Umfang und Flächeninhalt eines Rechtecks angeben 

DIDAKTISCHER HINTERGRUND 

Schüler/innen haben am Ende der Grundschule bereits intuitiv Erfahrungen mit funktionalen Abhängigkeiten 

gemacht, entweder im Mathematikunterricht oder in ihrem Alltag. Diese Vorerfahrung sollen aufgegriffen 

werden. Im Zentrum steht die Beschreibung funktionaler Abhängigkeiten in eigenen Worten und in Form von 

Tabellen. 

EINSATZ IM UNTERRICHT 

Für effizientes Arbeiten reicht es, wenn für jeweils zwei Schüler/innen ein Computer zur Verfügung steht. Für 

zahlreiche Aufgaben stehen Arbeitsblätter zur Verfügung und interaktive Kontrollmöglichkeiten zur 

Verfügung. Die einzelnen Lernschritte bauen nicht aufeinander auf. Nur die Übungsaufgaben sollen den 

Abschluss der Lernpfades bilden. 

Die Schüler/innen müssen ihre Arbeit genau dokumentieren, am besten händisch mit Hilfe der angebotenen 

Arbeitsblätter und teilweise im Heft oder in einer Projektmappe. 

KOMBINATION DER MEDIEN 

Dynamische Visualisierungen sollen das Verständnis für funktionale Abhängigkeiten unterstützten. 

Interaktive Tabellen bieten eine Möglichkeit zur Selbstkontrolle. 

LERNMEDIEN DER SCHÜLER/INNEN 

Die Schüler/innen arbeiten bei diesem Lernpfad sowohl am Computer, als auch mit Papier und Bleistift. 

LEISTUNGSFESTSTELLUNG / LEISTUNGSBEURTEILUNG 

Neben den Ergebnissen steht der Lernprozess, also der Grad der Selbsttätigkeit und der Selbstorganisation der 

Schüler/innen im Vordergrund. Für die Evaluation kann die Dokumentation verwendet werden. 



VORTEILE DES MEDIENEINSATZES – EXEMPLARISCHE 

BESCHREIBUNG DER MATERIALIEN 

Vermuten – Beschreiben – Kontrollieren 

Beispiel: Teilen – Mathetti 

Mathetti 



Beobachten und Dokumentieren 

Beispiel: Rechnen – Blüte 1 

Arbeitsblatt 

KAKTUSBLÜTE 

Verwende den Pfeil nach rechts (unter dem Bild). 

Bei jedem Klick ändert sich die Anzahl der roten Kaktusblüten schrittweise. 

1) Ergänze die Tabelle! 

Schritt Anzahl der Blüten 

1 1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

2) Beschreibe mit eigenen Worten möglichst genau, wie sich die Anzahl der Blüten in jedem Schritt 

verändert: 



Kaktusblüte 1 

Arbeite mit dem dynamischen Arbeitsblatt und verwende den Pfeil nach rechts (unter dem Bild). Bei 

jedem Klick ändert sich die Anzahl der roten Kaktusblüten schrittweise. 

Löse die Aufgaben im Arbeitsblatt. 


Medienvielfalt im Mathematikunterricht 2008 - Entwicklungsphase, Rechenschaftsbericht 

4. DREHBUCH / DREHBÜCHER – METHODISCH-DIDAKTISCHE ANLEITUNGEN 

UNTERRICHTSORGANISATION – ARBEITSANWEISUNGEN FÜR SCHÜLER/INNEN: ARBEITSPLAN 

Achte darauf, jeden Lernschritt genau zu dokumentieren! Bei den meisten Aufgaben gibt es ein Arbeitsblatt, das du von deinem Lehrer / deiner Lehrerin erhalten 

hast oder selbst ausdrucken kannst. 

Titel Arbeitsauftrag Pflicht/Bonus Kontrolle 

Rechnen 

Blüte Wähle eines der beiden Themen: Blüte oder Auto 

WP mit Auto Selbst 

Auto 

Du musst nun 3 Aufgaben lösen, zB. Blüte 1, Blüte 2 und Blüte 3. 

Fülle dazu alle drei Arbeitsblätter aus. WP mit Blüte Selbst 

Vogel Wähle eines der beiden Themen: Vogel oder Fisch 

WP mit Fisch Selbst 

Fisch 

Du musst nun 3 Aufgaben lösen, zB. Fisch 1, Fisch 2 und Fisch 3. 

Fülle dazu alle drei Arbeitsblätter aus. WP mit Vogel Selbst 

Fußball Löse alle Aufgaben und fülle die Arbeitsblätter aus. B Lehrer/in 

Teilen 

Mathetti 

Schwimmbecken 

Wiese 

Hier sollst du Salzstangen gerecht aufteilen. 

Löse alle Aufgaben, fülle die Tabelle und das Arbeitsblatt aus. 

Du sollst ein Schwimmbecken mit Wasserbällen füllen. 

Löse alle Aufgaben, fülle die Tabelle und das Arbeitsblatt aus. 

Wiese 1 P Selbst 

Wiese 2 Löse alle Aufgaben und fülle das Arbeitsblatt aus. 

P Selbst 

Wiese 3 

In deiner Klasse hängt ein Kontrollblatt. Überprüfe damit deine Lösung. 

P Selbst 

Wiese 4 

Übungsaufgaben 

Lernpfade - Seite 25 

P 

P 

Selbst 

Selbst 

P Selbst


Übung 1 Du musst eine der beiden Übungen machen: Übung 1 oder Übung 2 

WP mit Übung 2 Selbst 

Übung 2 

Löse alle Aufgaben, fülle die Tabelle aus und schreibe deine Antworten ins Heft. 


Übung 3 Du musst eine der beiden Übungen machen: Übung 3 oder Übung 


Übung 4 

Löse alle Aufgaben, fülle die Tabelle aus und schreibe deine Antworten ins Heft. 


Übung 5a Löse alle Aufgaben, fülle die Tabelle und das Arbeitsblatt aus. P Selbst 

Übung 5b Löse alle Aufgaben, fülle die Tabelle und das Arbeitsblatt aus. P Selbst 

Für die Arbeit hast du 4 Unterrichtsstunden Zeit. Teile dir deine Zeit gut ein! 

Viel Spaß! 

Erklärung der Abkürzungen: 

P Pflicht: Diese Aufgabe musst du machen. 

B Bonus: Diese Aufgabe kannst du zusätzlich machen. 

WP Wahlpflicht: Das heißt, dass du dir hier eine von zwei Aufgaben aussuchen musst. 



ANLEITUNGEN FÜR LEHRER/INNEN 

Vor Beginn des Lernpfades ist sicherzustellen, dass die Schüler/innen die Grundrechnungsarten sicher 

beherrschen, Flächeninhalt und Umfang von Rechteck und Quadrat berechnen und Formeln dafür angeben 

können. Weiters müssten die Schüler/innen schon vor Beginn des Lernpfades intuitiv mit Tabellen gearbeitet 

haben. 

Für die Schüler/innen steht ein Arbeitsplan zur Verfügung, mit dem sie den Lernpfad selbstständig 

durchführen können. Hier ist auf den Unterschied zwischen Pflicht-, Wahlpflicht- und Bonusaufgaben zu 

achten. Bei jedem Lernschritt ist angegeben, wie die Kontrolle zu erfolgen hat – Selbstkontrolle oder 

Lehrer/innenkontrolle. 

Was ist für den Lehrer / die Lehrerin vor Beginn des Lernpfades zu tun: 

Arbeitsplan ausdrucken und vor Beginn der Arbeit mit den Schüler/innen besprechen. Die Schüler/innen 

müssen informiert werden, wie die Dokumentation zu erfolgen hat. 

Arbeitsblätter zu den folgenden Aufgaben ausdrucken: 

Rechnen: je 3 Arbeitsblätter zu Blüte, Auto, Vogel und Fisch in ausreichender Anzahl, einige Arbeitsblätter 

für die Bonus-Aufgabe Fußball 

Teilen: je 1 Arbeitsblatt zu Mathetti und zu Schwimmbecken 

Wiese: je 1 Arbeitsblatt zu Wiese 1 bis 4 

4 Kontrollblätter zu den Aufgaben Wiese 1 bis 4 ausdrucken und mehrmals in der Klasse aufhängen 

Überprüfen, ob für jeden Schüler/innen-Account der Lernpfad in voller Funktionalität zur Verfügung steht. 

5. ÜBERBLICK ÜBER DEN ERSTELLUNGSPROZESS 

Protokolle der Treffen – Schnittstellenlernpfad VS-Sek1 

1. Treffen – Schnittstellen Lernpfad Volksschule – SEK I (11.06.2008) 

Ausführliche Planung und Konzeption 

TeilnehmerInnen: Anita Dorfmayr, Walter Klinger, Evelyn Stepancik 

Voraussetzungen aus der Volksschule: 

Lösen von Sachproblemen 

Mathematisieren von Sachsituationen: 

– Beschreiben von dargestellten Sachverhalten, die zB in stufengemäßen Texten, Problembildern, 

Datenmaterial, grafischen Darstellungen enthalten sind 

– Herausarbeiten mathematischer Problemstellungen (zB Versprachlichen des Problems, Verwenden 

stufengemäßer Darstellungsformen, wie Situationsskizzen, Rechenpläne, Tabellen) 

– Zuordnen von Rechenoperationen, Beschreiben von Sachverhalten mit Zahlen und Platzhaltern 

(Variablen) 

– Erstellen einfacher Gleichungen 

Der Lernpfad soll für 3- 4 Unterrichtstunden konzipiert werden. 

Mögliche Themenbereiche sind: 

• Flächenbegriff 8Rechteck, Quadrat) 

• Umfang (Rechteck, Quadrat) 

• Walter K.: ein Applet von Andreas Mayer (Flächenapplet) 

• Wichtige Darstellungsformen: verbal – Tabelle – grafisch 

Aufbau des Lernpfades: 

Vom Konkreten zum Abstrakten 



Funktionale Abhängigkeiten bei den Grundrechenarten 

a + b = c; a – b = c; a*b = c und a:b = c erkennen. 

Ausgehend von konkreten Beispielen 

• Quadrat 

• Fläche 

• Stückpreis 

• Temperatur 

• Teilen/Aufteilen 

hin zu Abhängigkeiten 

Folgende Aufgabenbereiche wurden bisher aufgeteilt: 

• Walter – Fläche, Quadrat, Umfang 

• Anita – erzeugt Applets zur den Grundrechenarten und widmet sich den Bereichen Stückpreis + 

Temperatur 

• Evelyn – Teilen/Aufteilen 

Im Anschluss soll es noch „vermischte Aufgaben“ geben! 

In der ersten Augustwoche wird es in Altlengbach ein Treffen geben, bis dorthin bringt jede/r einen Entwurf 

für seinen/ihren Themenbereich mit! ACHTUNG: NUR 1 Unterrichtsstunde pro Unterthema 

konzipieren!!! 

Ein Pre- und ein Post-Test zum Lernpfad wird noch erstellt. 

2. Treffen 06.08.2008 (Altlengbach) 

Anwesend: Irma Bierbaumer, Anita Dorfmayr, Walter Klinger, Evelyn Stepancik 

• Besprechung der bisherigen Ideen 

• Entwicklung erster konkreter Materialien 

• Konkrete Planung des Lernpfades 

3. Treffen 24.09.2008 (Wien) 

Anwesend: Irma Bierbaumer, Anita Dorfmayr, Walter Klinger, Evelyn Stepancik 

• Besprechung des Lernpfad-Pflichtenblattes 

• Konkretisierung der Materialien 

• Abstimmung der aufeinander folgenden Schritte im Lernpfad 

• Begutachtung und Diskussion der technischen Möglichkeiten 

• Diskussion der vorhandenen Applets 

• Festlegung der weiteren Arbeitsschritte 

• Konkrete Planung zur Fertigstellung des Lernpfads 

Weitere Termine: 

20. Oktober 2008 – Versand der nach den Besprechungen realisierten Materialien per Mail 

5. November 2008 – 4.Treffen, in der Hebragasse 7/20, 1090 Wien 

Anwesend: Irma Bierbaumer, Walter Klinger, Evelyn Stepancik 



Ausführliche Diskussion der bisherigen Materialien 

Richtlinien zur Vereinheitlichung der Materialien besprochen 

Neue dynamische Arbeitsblätter mit GeoGebra erstellt –die neuen Möglichkeiten des GeoGebra-Spreadsheets 

miteinbezogen 

Layout und Design des Lernpfads besprochen und festgelegt 

Lernpfad-Logo entworfen 

15. November 2008 – erste Online-Version des Lernpfads zur Diskussion gestellt 

28.-30. November 2008 – Überarbeitung einiger dynamischer Arbeitsblätter 



4.5.2. MIKROLERNPFAD: WETTER – TEMPERATURKURVEN 



MIKRO-LERNPFAD: WETTER - TEMPERATURKURVEN 

AUTOREN/INNEN: IRMA BIERBAUMER, ANITA DORFMAYR 

MOTIVATION – WARUM WURDE DAS THEMA GEWÄHLT? 

Schon in der 5. Schulstufe können und sollen Schüler/innen erste intuitive Erfahrung mit funktionalen 

Abhängigkeiten machen. Schon in der Grundschule lernen sie, diese mit eigenen Worten zu beschreiben. In 

der 5. Schulstufe sollen sie darüber hinaus noch die Darstellungsformen Diagramm (Graph) und Tabelle 

kennen lernen. 

Empirische Funktionen bieten sich hier an. Das Thema Wetter wurde auf Grund des hohen Alltagsbezuges 

gewählt. 

DIDAKTISCHER KOMMENTAR 

Im Zentrum dieses Lernpfades steht die Temperaturkurve, also eine graphische Repräsentation einer 

empirischen Funktion. Der Lernpfad läuft in folgenden Phasen ab: 

Intuitive Phase: Wetterbericht / Temperaturkurve 

Die Schüler/innen experimentieren mit dem Flash Applet „Temperaturkurve“, in dem einer 

vorgegebenen Zeit eine Temperatur zugeordnet wird. Sie lernen die Darstellungsform Diagramm 

(Graph) kennen. Aus diesem Diagramm sollen einfache Informationen abgelesen werden, z.B. 

höchste / niedrigste Temperatur. 

Exaktifizierende Phasen: 

Graph – verbale Beschreibung: Wetterbericht / Geburtstagswetter 

Hier steht das Interpretieren der Temperaturkurve im Vordergrund. Außerdem soll eine verbale 

Formulierung in Form eines Wetterberichtes verfasst werden. 

verbale Beschreibung – Graph: Wettervorhersage 

Ausgehend von einer Wettervorhersage (verbale Formulierung) ist ein Diagramm zu erstellen. 

Dieses wird zuerst mit Hilfe des Applets am Computer erstellt und anschließend auf ein Arbeitsblatt 

übertragen. 

Weiters wird eine Diskussion über das unterschiedliche Aussehen von Temperaturkurven angeregt. 

Graph – verbale Beschreibung und Graph – Tabelle: Tabelle 

Ausgehend von einer vorgegebenen Temperaturkurve ist ein dazu passender Wetterbericht zu 

verfassen (verbale Formulierung). Weiters müssen Temperaturwerte aus diesem Diagramm 

abgelesen und in eine Tabelle (interaktiv) übertragen werden. 

Festigungsphase: Hausübung 

Ausgehend von selbst gemessenen Temperaturen, die in eine Tabelle eingetragen werden müssen, 

sind eine Temperaturkurve sowie eine passende Wettervorhersage erstellt werden. 







Verwendete Medien Flash Applets, Internet 

Technische Voraussetzungen Flash Player, Internet 

Autoren Anita Dorfmayr, Irma Bierbaumer 


Technische Voraussetzungen: Flash Player, Internet 

Technisches Vorwissen: Elementarer Umgang mit dem Computer 

Vorwissen der Schüler/innen: Elementare Kenntnisse im Umgang mit Diagrammen (aus der Grundschule) 



Erstellen eines Diagramms mit Hilfe eines interaktiven Applets 

Ablesen von Informationen aus einem Diagramm 

Wetterbericht Verstehen eines Diagramms 

Anstellen und Begründen von Vermutungen 

Verfassen einer Geschichte passend zu einem Diagramm 

Verstehen eines Textes 

Wettervorhersage Darstellen der Inhalte eines Textes in Form eines Diagramms 

Vergleichen und Interpretieren verschiedener Diagramme 

Verstehen eines Diagramms 

Anstellen und Begründen von Vermutungen 

Tabelle 

Ablesen von Daten aus einem Diagramm und Übertragen dieser Daten in eine 

vorgegebene Tabelle 

Eigenständiges Erheben von Daten (Temperaturwerte) 

Selbstständiges Ausfüllen einer Tabelle 

Hausübung 

Erstellen eines Diagramms (mit vorgegebener Skalierung) aus einer Tabelle 

Verfassen einer Geschichte passend zu einem Diagramm und einer Tabelle 


Dieser Lernpfad versucht am Beispiel Wetter und Temperaturkurven einen intuitiven Zugang zum Thema 

funktionale Abhängigkeiten in der 5. Schulstufe zu schaffen. Dabei stehen verschiedene Darstellungsformen 

im Zentrum, und zwar die verbale Beschreibung, die graphische Beschreibung (Diagramm) und die Tabelle. 


Grundsätzlich wäre für effizientes Arbeiten ein Computer pro Schüler/in nötig, allerdings ist auch eine 

Partner/innenarbeit durchaus möglich. Da die einzelnen Lernschritte aufeinander aufbauen, ist dieser 

Lernpfad in der vorgegebenen Reihenfolge abzuarbeiten. 

Die Schüler/innen müssen ihre Arbeit genau dokumentieren, am besten händisch im Heft oder in einer 

Projektmappe. 


Im Zentrum steht das Flash Applet „Temperaturkurve“, das für verschiedene Fragestellungen verwendet wird. 

Es ermöglicht einen intuitiven / experimentellen Zugang zur graphischen Darstellung abhängiger Größen. 

Eine interaktive Tabelle ermöglicht die Überprüfung der abgelesenen Werte aus dem Diagramm. 

Großer Wert wird darauf gelegt, dass die Schüler/innen Diagramme auch händisch anfertigen können. 

Allerdings liegt hier der Fokus nicht auf der Exaktheit, sondern auf dem qualitativen Verlauf der Kurve. 




Die Schüler/innen arbeiten bei diesem Lernpfad sowohl am Computer, als auch mit Papier und Bleistift. Am 

Ende des Projektes könnte ein kleines Portfolio entstehen. 



Schüler/innen im Vordergrund. Für die Evaluation kann die Dokumentation verwendet werden. 

VORTEILE DES MEDIENEINSATZES – EXEMPLARISCHE 


Intuitiver Einstieg 

Beispiel: Wetterbericht / Temperaturkurve 

Temperaturkurve 

Hier kannst du darstellen, wie sich die Temperatur an einem Tag ändert. 

Experimentiere und versuche, die Temperatur zu verändern. Du siehst: Im Diagramm entsteht eine 

Linie. 

Beantworte folgende Fragen in deinem Heft und mache eine passende Zeichnung dazu: 

Wie kannst du die höchste und niedrigste Temperatur des Tages ablesen? 

Wann wird die höchste und niedrigste Temperatur am Tag erreicht? 

Woran erkennst du im Diagramm, ob die Temperatur steigt oder sinkt? 



DREHBUCH / DREHBÜCHER – METHODISCH-DIDAKTISCHE ANLEITUNGEN 

UNTERRICHTSORGANISATION – ARBEITSANWEISUNGEN FÜR SCHÜLER/INNEN 

Achte darauf, jeden Lernschritt im Heft genau zu dokumentieren! Schreibe immer eine Überschrift und danach deine Antworten! 


Wetterbericht 

Temperaturkurve Bearbeite die Aufgabenstellungen und schreibe die Antworten in dein Heft. P Lehrer/in 

Geburtstagswetter Bearbeite die Aufgabenstellungen und schreibe die Antworten in dein Heft. 

Hinweis zum Ausdrucken des Diagramms: 

1. Klicke mit der rechten Maustaste in das Diagramm! 

2. Wähle „Drucken ...“ aus. 

Wettervorhersage Bearbeite die Aufgabenstellungen und schreibe die Antworten in dein Heft. 

Hinweis: Das Arbeitsblatt bekommst du von deinem Lehrer / deiner Lehrerin. 

Tabelle Bearbeite die Aufgabenstellungen und schreibe die Antworten in dein Heft. 


Hausübung Bearbeite die Aufgabenstellungen und schreibe die Antworten auf das Arbeitsblatt. 


Für die Arbeit hast du 2 Unterrichtsstunden Zeit. Teile dir deine Zeit gut ein! Viel Spaß! 


P Partner/in 

P Gruppe 

P Selbst 

P Lehrer/in




durchführen können. Bei jedem Lernschritt ist angegeben, wie die Kontrolle zu erfolgen hat – 

Selbstkontrolle, Partner/innenkontrolle, Lehrer/innenkontrolle. 


Arbeitsplan ausdrucken und vor Beginn der Arbeit mit den Schüler/innen besprechen. Die 

Schüler/innen müssen informiert werden, wie die Dokumentation zu erfolgen hat. 

Ausdrucken von Arbeitsblättern zu den folgenden Aufgaben: 

Wettervorhersage 

Tabelle 

Hausübung 

Hinweise zum Bedienen des Flash Applets: 

Zur Veränderung der Temperatur ist der Schieberegler zu verwenden. Die Zeit läuft automatisch ab 

und kann nicht beeinflusst werden. 

„Reset“ stellt die Zeit auf 0 zurück. Es wird der zuletzt verwendete Temperaturwert als Startwert 

übernommen. So kann ein beliebiger Startwert festgelegt werden. 

Vorgangsweise zum Ausdrucken: 

1. Rechtsklick auf das Bild. 

2. Auswahl „Drucken ...“ 

Hausübung: Dafür muss zumindest ein Wochenende zur Verfügung gestellt werden. 

Nach Abschluss des Lernpfades müssen die Dokumentationen und Hausübung der Schüler/innen 

genau korrigiert werden. 

ÜBERBLICK ÜBER DEN ERSTELLUNGSPROZESS 

April 2008 Internetrecherche zum Thema Funktionale Abhängigkeiten in der Grundschule 

Mai 2008 Festlegen des thematischen Schwerpunktes empirische Funktionen am 

Beispiel 

Wetter und Temperaturkurven, Konzeptentwicklung 

August 2008 Überarbeitung des Konzeptes, Vergleich der Ergebnisse der 

Internetrecherchen 

September 2008 Entwicklung konkreter Aufgabenstellungen, Entscheidung für das Applet 

„Temperaturkurve“ als zentrales Werkzeug 

Oktober 2008 Fertigstellen einer Erstversion des Lernpfades, Web-Realisierung 

November 2008 Diskussion und Überarbeitung, Fertigstellung des Lernpfades, Erstellen eines 

didaktischen Kommentars und eines Arbeitsplanes 

Lernpfade, Seite 35


4.5.3. MIKROLERNPFAD: DIREKTES UND INDIREKTES VERHÄLTNIS 


Dr. Mag. Anita Dorfmayr, Mag. Irma Bierbaumer, Mag. Walter Klinger, 



Umgang mit Proportionalitäten (direkt und indirekt) 

Schulstufe: experimentelle Phase 6+7, exaktifizierende Phase 7 

Voraussichtliche Stundenanzahl: 2. Klasse 1-2, 3. Klasse 3-4 

Eingangskompetenzen (fachlich, technisch, methodisch), die vorausgesetzt bzw. aktiviert 

werden: 

Intuitive Zustandsbeschreibung voneinander abhängiger Größen: Wortformel und intuitiver 

Umgang mit Tabellen und Graphen bei empirischen Funktionen. 

Umgang mit dynamischen Arbeitsblättern soll bereits bekannt sein. 

Ablesen von Daten soll bekannt sein. 


In der Einstiegsphase soll das Vorwissen aktivieren werden. 

Drei Beispiele (Direktes Verhältnis: Tankstelle, indirektes Verhältnis: Zuflussgeschwindigkeit und 

Fülldauer, Widerlegung (keines von Beiden): Taxifahrt oder Wertverlust. 

Der 1. Teil des Lernpfades soll in den Grundlagen (Text erfassen, Tabellen erstellen, Erkennen von 

direktem und indirektem Verhältnis durch „zum Doppelten gehört ….“) bereits in der 2. Klasse 

eingesetzt werden können. Der gesamte Lernpfad ist jedoch geplant, um in der 3. Klasse 

Verwendung zu finden. 

Neben der Aktivierungsphase (Experimentellen Phase) soll eine Exaktifizierung (Formel, 

Propotionalitätsfaktor, Graph) erfolgen. 

Der Lernpfad soll auch einen Posttest zur Selbstkontrolle enthalten. 

*) Bitte beachten: Der Lernpfad soll, wenn möglich, sowohl die experimentelle als auch die 

exaktifizierende Lernphase berücksichtigen. 


Ziele des 1.Teiles für die 2. Klasse: 

Erfassen von Texten und verbale Interpretation der vorhandenen abhängigen Größen (Am Beispiel 

direkter und indirekter Proportionalitäten), sowie Tabellen und Punktgraphen erstellen und 

interpretieren können. 

Ziel des gesamten Lernpfades – 3. Klasse: 

Zusätzlich: Exaktifizierung des Zusammenhanges von proportionalen Größen durch Formeln und 

Proportionalitätsfaktoren, sowie Beschreibung durch Graphen. Erwerben von 

Begründungsstrategien für den Nachweis des Vorliegens eines direkten oder indirekten 

Verhältnisses sowie Widerlegungsnachweise. 

Lernpfade, Seite 36


MIKRO -LERNPFAD: ZUSTANDBESCHREIBUNG 

ABHÄNGIGER GRÖßEN DURCH FORMELN – UMGANG 

MIT PROPORTIONALITÄTEN (DIREKT UND INDIREKT) 

6.+7. SCHULSTUFE 

AUTOREN/INNEN: IRMA BIERBAUMER, ANITA 

DORFMAYR, WALTER KLINGER 

1. MOTIVATION – WARUM WURDE DAS THEMA 

GEWÄHLT? 

Ausgehend von den bereits in der 5. Schulstufe gefestigten Kompetenzen abhängige 

Größen durch Wortformeln zu beschreiben und mit Tabellen und Graphen intuitiv 

umzugehen begleitet in den kommenden Schulstufen als neue Darstellungsform der 

Beschreibung von Abhängigkeiten, die Formel und Modellentscheidungen den Lernprozess. 

In der Sekundarstufe 1 gibt es einige Themenfelder, in denen formelhaftes Erfassen im 

Zentrum steht. Es sollten jedoch auch verschiedene Prototypen miteinander verknüpft 

werden, was für die Entwicklung des Erkennens und Beschreibens funktionaler 

Abhängigkeiten eine große Bedeutung hat. In der sechsten und siebenten Schulstufe 

erscheint der Umgang mit direkten und indirekten Proportionalitäten als besonders geeignet, 

um die neue Darstellungsform genetisch mit den bereits gefestigten zu verbinden. 

2. DIDAKTISCHER KOMMENTAR 

Mit diesem Lernpfad sollen mit drei anschaulichen Beispielen (Themen: Tankstelle, Taxi, 

Pool) - dargestellt durch dynamische Arbeitsblätter - modifizierte Ausgabenstellungen 

angeboten werden. Der Ablauf ist in vier Teile gegliedert: 

Phase 1: Vorwissen aktivieren und experimentelle Phase 

Die Aufgabenstellungen sollen zuerst erfasst und dann in einer experimentellen Phase 

Veränderungen von abhängigen Größen simuliert und in Tabellen dargestellt werden. 

Weiters soll eine grundlegende Eigenschaft der direkten und indirekten Proportionalität neu 

erarbeitet werden (z.B.: zum Doppelten gehört das Doppelte). Die Beispiele sind so 

konzipiert, dass sie einerseits ein direktes Verhältnis (Tankstelle) und andererseits ein 

indirektes Verhältnis beschreiben (Pool). Das dritte Beispiel (Taxi) soll jedoch darauf 

hinweisen, dass nicht bei jedem Beispiel die Beschreibung eines dieser beiden Verhältnisse 

vorliegen muss. Es geht also auch darum, Kompetenzen die das Widerlegen von 

Eigenschaften ermöglichen, zu erwerben. 

Phase 2: Exaktifizierende Phase – die neue Darstellungsform der Formel 

Mit den drei leicht modifizierten Beispielen werden ausgehend von bereits erlernten 

Fertigkeiten (Tabelle ausfüllen) die Fragestellungen in Richtung einer formelhaften Erfassung 

gelenkt. Es werden dabei drei Grundformeln entwickelt ( y = k • x , 

k 

y = und y = k • x + d ) 

x 

Lernpfade, Seite 37


und gefestigt. Eine weitere Eigenschaft zur Beschreibung der direkten und der indirekten 

Proportionalität wird erarbeitet. Weiters wird auch darauf eingegangen, dass nicht jede 

Formel eines der beiden Verhältnisse beschreibt. Der Proportionalitätsfaktor wird als weitere 

Beschreibungsmöglichkeit eingeführt. 

Phase 3: Festigungsphase – Simulation und Beschreibung des Zusammenhangs 

durch den Graphen 

Wieder werden die drei weiter modifizierten Beispiele als Grundlage zur Festigung der 

bereits erkannten Begründungskompetenzen vorgegeben. Zusätzlich wird die Untersuchung 

des Graphen als dritte wesentliche Eigenschaft für den Nachweis oder die Widerlegung einer 

bestimmten Proportionalität neu in Angriff genommen. 

Phase 4: Anwendung- und Feedbackphase 

In dieser Phase werden mit allen bereits kennen gelernten Prototypen zur 

Beschreibung von Funktionalen Abhängigkeiten (Graph, Tabelle, Formel, Text) durch 

eine Legespiel, das von den Schüler/innen auch selbst fertig gestellt werden kann, 

angewendet. Das Legespiel soll dazu dienen, dass die Schüler/innen 

Zusammenhänge zwischen den einzelnen Prototypen erkennen und die Festigung 

des Gelernten ermöglichen. 





Verwendete Medien Java Applets, Internet 


Autor/innen Irma Bierbaumer, Anita Dorfmayr, Walter Klinger 


• Technische Voraussetzungen : Java (kostenlos von www.java.com), Internet 

• Technisches Vorwissen: Elementarer Umgang mit dem Computer, Verwendung von 

dynamischen Applets 

• Vorwissen der Schüler/innen: Arbeiten mit Texten und Tabellen, Geometrische 

Grundbegriffe aus der 5. Schulstufe. Einfacher Umgang mit Variablen und Formeln 



Direkte 

Proportionalität 

Indirekte 

Proportionalität 

Es liegt keine direkte 

und indirekte 

Proportionalität vor 

Eigenschaften eine direkten Proportionalität beschreiben können, 

sowie mit Tabellen und Graphen beschreiben können. Die Formel als 

Darstellungsformel verwenden können. Den Proportionalitätsfaktor 

bestimmen können 

Eigenschaften eine indirekten Proportionalität beschreiben können, 

sowie mit Tabellen und Graphen beschreiben können. Die Formel als 

Darstellungsformel verwenden können. Den Proportionalitätsfaktor 

bestimmen können. 

Strategien zur Widerlegung von Behauptungen angeben können und 

aus Graphen und Tabellen sowie Formeln und 

Proportionalitätsfaktorüberlegungen argumentieren können. 

Übergreifenden Modellentscheidungen begründen können. Mehrere Nachweise und 

Lernpfade, Seite 38


Inhalte Widerlegungen angeben können und Lösungswege diskutieren 

können. 


Dieser Lernpfad versucht durch motivierende Beispiele, die im dem täglichen Leben 

auftreten, einen weiteren Baustein bei der Entwicklung des Verständnisses von funktionalen 

Abhängigkeiten zu leisten. Dabei soll sowohl bereits Gelerntes gefestigt und die Formel als 

Darstellungsform, vernetzt mit den bisherigen Zugängen, eingeführt werden. Die 

dynamischen Applets dienen dabei einer bestmöglichen Unterstützung der aufeinander 

bezogenen unterschiedlichen Sichtweisen von funktionalen Abhängigkeiten. Die 

Schüler/innen sollen zu einem möglichst hohen Grad von Selbsttätigkeit geführt werden. Für 

den Transfer des neu Erlernten auf ähnliche Aufgabenstellungen durch ein Legespiel soll 

ausreichend Zeit zur Verfügung stehen. 


Grundsätzlich wäre für ein effizientes Arbeiten pro Schüler/in ein PC notwendig; 

allerdings ist auch eine Partner/innenarbeit an einem Gerät bei entsprechender Abstimmung 

der Lerngeschwindigkeiten der beiden Partner/innen durchaus möglich. Einzelne Module 

können auch nach Verwendung der dynamischen Elemente ohne PC in der Klasse 

weiterbearbeitet werden. 

Dieser Lernpfad ist in vier Teile aufgebaut, die hintereinander abfolgen sollen. Es werden in 

den ersten drei Phasen nur wenige zusätzliche Materialien (Aufgabenblätter, eventuell 

Kontrollblätter) benötigt. Die Erstellung des Legespieles bedarf jedoch von Seiten der 

Lehrer/innen oder der Schüler/innen (je nach Umsetzung im Unterricht) geeignetes Papier 

und Schneidewerkzeug, sowie eventuell einer Laminiermöglichkeit. 


In dem vorliegenden Lernpfad wird versucht, durch den Einsatz von dynamischen 

interaktiven Applets, die mit der Software GeoGebra erstellt wurden, das selbsttätige Lernen 

der Schüler/innen zu fördern. Die neu gewonnenen Erkenntnisse sollen auch durch 

händisches Zeichnen im Koordinatensystem unterstützt werden (nicht nur bei den 

Hausübungen). 


Die Schüler/innen arbeiten mit diesem Lernpfad nicht nur am Computer. Ihre Tätigkeiten und 

Ergebnisse sollen sie auch auf Arbeitsblättern festhalten. Es könnte auch ein kleines 

Portfolio dabei entstehen. 

LEISTUNGSFESTSTELLUNG/LEISTUNGSBEURTEILUNG 

Nicht nur die Ergebnisse, sondern der Lernprozess, also der Grad der Selbsttätigkeit und die 

Selbstorganisation, stehen im Zentrum. Die Evaluation erfolgt über eine Anwendungs- und 

individuelle Feedbackphase sowie über die Art und Weise der Dokumentation (Arbeitsblätter) 

der Schüler/innen. 

Lernpfade, Seite 39


3. VORTEILE DES MEDIENEINSATZES – 

EXEMPLARISCHE BESCHREIBUNG DER 

MATERIALIEN 

INTUITIVER EINSTIEG 

Lernpfade, Seite 40




Arbeitsplan 


Direkt oder indirekt? 

Tanken 1 Bearbeite die am Arbeitsblatt gestellten Aufgabenstellungen mit Hilfe des 

Applets! Vergleiche dann deine Lösungen mit den Kontrollen im Lernpfad! 

Übertrage auch die Merksätze auf das Arbeitsblatt! 

Pool 1a Bearbeite die am Arbeitsblatt gestellten Aufgabenstellungen mit Hilfe des 


Pool 1b Bearbeite die am Arbeitsblatt gestellten Aufgabenstellungen mit Hilfe des 


Übertrage auch den Merksatz auf das Arbeitsblatt! 

Taxi 1 Bearbeite die am Arbeitsblatt gestellten Aufgabenstellungen mit Hilfe des 

Applets! 

Lass dann deine Lösungen von deiner/deinem Lehrer/in kontrollieren! 

Plötzlich Formeln! 




Pool 2 Bearbeite die am Arbeitsblatt gestellten Aufgabenstellungen mit Hilfe des 



Für das Bonusbeispiel: Übertrage die 3 Tabellen und die 

Proportionalitätsfaktoren auf die Rückseite des Arbeitsblatts! 

Lernpfade, Seite 41 

P Selbst 

P Selbst 

P Selbst 

P Lehrer/in 

P Selbst 

P und B Selbst





Zeichne Diagramme! 




Pool 3 Bearbeite die am Arbeitsblatt gestellten Aufgabenstellungen mit Hilfe des 



Für das Bonusbeispiel: Übertrage die 3 Tabellen und die Punkte im 

Koordinatensystem (verbinde diese zu einer Kurve) auf die Rückseite des 

Arbeitsblatts! 




Teste dich selbst! 

Legespiel Du brauchst zur Durchführung des Legespiels 4 Spielpartner/innen. Lest euch vor 

Beginn des Spiels die Spielanleitung genau durch! Wenn Ihr mit dem Spiel fertig seid, 

übertragt die 5 Texte von den Textkarten auf ein Blatt Papier (oder ins 

Schulübungsheft) und begründet mit eigenen Worten bzw. mit Skizzen, welche Art des 

Verhältnisses hier vorliegt! 

Für die Arbeit hast du _____ Unterrichtsstunden Zeit. Teile dir deine Zeit gut ein! 

Viel Spaß! 

Lernpfade, Seite 42 

P und B Selbst 




P Partner/innen




durchführen können. Bei jedem Lernschritt ist angegeben, wie die Kontrolle zu erfolgen hat – 

Selbstkontrolle, Lehrer/innenkontrolle, Partner/innenkontrolle. 

Was hat der Lehrer/ die Lehrerin vor Beginn des Lernpfads zu tun: 

• Arbeitsblätter ausdrucken, vervielfältigen und die Schüler/innen informieren, in welcher Form 

die Arbeitsblätter verwaltet werden sollen (Mappe, Einkleben ins Schulübungsheft,…) 

• Arbeitplan ausdrucken (Festlegen, wie lange die Schüler/innen zur Bearbeitung des 

Lernpfads Zeit haben), vervielfältigen und vor der Arbeit mit den Schüler/innen besprechen. 

• Fertigstellen des Legespieles (+ Spielanleitung) in genügend großer Anzahl (je 5 

Schüler/innen benötigen ein Exemplar). 

Die Schüler/innen können sich jedoch in Gruppen das Spiel auch selbst herstellen. Dann 

müssen die entsprechenden Materialien (Ausdrucke auf einem geeigneten Papier, 

Schneidewerkzeug, eventuell Laminiergerät) bereitgestellt werden. 

Nach Abschluss des Lernpfades sollten die Arbeitsblätter der Schüler/innen kontrolliert bzw. 

korrigiert werden. 

5. ERGEBNISSE DER INTERNEN EVALUATION 

FRAGESTELLUNGEN ZUM DIDAKTISCHEN/METHODISCHEN KOMMENTAR: 

FRAGESTELLUNGEN ZUM LERNPFAD 

Sollen die Kontrollen im Lernpfad eher interaktiv oder durch Kontrollblätter realisiert werden? Die 

Entscheidung fiel zu Gunsten möglichst vieler interaktiver Kontrollen aus. 

FESTIGUNG DES WISSENS – WISSENSÜBERPRÜFUNG 


April 2008: Internetrecherche zum Thema „Funktionale Abhängigkeiten“. Welche 

Möglichkeiten des Medieneinsatzes gibt es beim Thema „Umgang mit Proportionalitäten“? 

Mai 2008: Das Tankstellen- Applet von Jürgen Roth wird entdeckt. Durch leichte Modifizierung 

dieses Applets können grundlegende Eigenschaften der direkten Proportionalität von Schüler/innen 

erarbeitet und die Verknüpfung verschiedener Prototypen veranschaulicht werden. 

Juni, Juli 2008: Entwicklung von passenden Aufgabenstellungen rund um das Tankstellen- Applet. 

Bei der Aufgabenabfolge solle die Phasen „experimentelle Phase“, „Exaktifizierende Phase“, 

„Festigungsphase“ und „Anwendungsphase“ eingehalten werden. 

August 2008: Entwickeln von Ideen zu den Bereichen „indirektes Verhältnis“, „es liegt keine 

Proportionalität vor“ und für die „Anwendungsphase“. Es fällt die Entscheidung, dass zu den 

Bereichen „indirektes Verhältnis“ und es liegt „keine Proportion vor“ ebenfalls Geogebra-Applets 



(Pool, Taxi) erstellt werden. Die Lernsequenzen zu diesen Themenbereichen sollen den gleichen 

Aufbau wie jene zum „direkten Verhältnis“ haben. Die Anwendungsphase soll durch ein adaptiertes 

Legespiel aus einem Stationenbetrieb von ACDCA abgedeckt werden. 

August, September, Oktober 2008: Erstellen der fehlenden Geogebra-Applets (Pool, Taxi) und 

zusammenstellen der dazu passenden Lernschritte bzw. Arbeitsaufträge für die Schüler/innen. 

Adaptierung des Legespiels für die Anwendungsphase. 

November 2008: Besprechen und Testen der einzelnen Teile des Lernpfads. Austausch von 

Anregungen zur Überarbeitung. Erstellen der Arbeitsblätter für die Schüler/innen. 

Dezember 2008, Jänner 2009: Webrealisierung des Lernpfads, Erstellen des didaktischen 

Kommentars und des Arbeitsplans. 



4.5.4. MIKROLERNPFAD: LINEARE FUNKTIONEN 



MIKRO-LERNPFAD: LINEARE FUNKTIONEN 

AUTOREN/INNEN: IRMA BIERBAUMER, ANITA DORFMAYR, 

WALTER KLINGER 

1. MOTIVATION – WARUM WURDE DAS THEMA GEWÄHLT? 

In den vorangegangenen Schulstufen wurde mit funktionalen Abhängigkeiten bereits intuitiv gearbeitet. 

Schüler/innen haben verschiedene Darstellungsformen kennen gelernt: Wortformel (verbale Beschreibung), 

Tabelle, Diagramm. In der 6. und vor allem 7. Schulstufe wurden im Zusammenhang mit direkten und 

indirekten Proportionen auch schon Formeln zur Beschreibung funktionaler Abhängigkeiten verwendet. 

In der 8. Schulstufe wird der für die weitere mathematische Bildung zentrale Begriff der Funktion an Hand 

der linearen Funktion eingeführt. Schüler/innen sollen dabei mit den verschiedenen Darstellungsformen 

arbeiten und sie ineinander überführen. Erstmals ist es bei den linearen Funktionen möglich, vom Grafen 

einer Funktion direkt auf die entsprechende „Formel“, den Funktionsterm, zu schließen. Dabei steht das 

Verstehen der Bedeutung der Parameter k und d im Zentrum. 


Dieser Lernpfad behandelt die lineare Funktion f: y = kx+d. Im Zentrum steht die Bedeutung der 

Parameter k und d für den Grafen der Funktion. Der Lernpfad läuft in folgenden Phasen: 

1. Intuitive Phase: Gleichung – Graf 

Die Schüler/innen experimentieren mit Schiebereglern für k und d in interaktiven Applets, 

beobachten die Veränderung des Grafen und formulieren Vermutungen über den 

Zusammenhang. 

2. Exaktifizierende Phasen: 

a) Konstruktion mit k und d / Aufgaben 

Die Schüler/innen lernen, lineare Funktionen mit Hilfe von k und d schnell zu 

konstruieren (d.h. ohne vorher eine Wertetabelle aufzustellen). 

b) Graf – Gleichung: Steigungsdreieck 

Die Schüler/innen lernen, mit Hilfe des Steigungsdreiecks aus dem Grafen einer linearen 

Funktion die Werte von k und d abzulesen und damit die Funktionsgleichung zu 

ermitteln. 

c) 2 Bonusaufgaben zu den Spurpunkten 

Die Schüler/innen lernen, den Grafen und die Gleichung einer linearen Funktion mit 

Hilfe von Spurpunkten ineinander überzuführen. 

d) Bonusaufgabe: Beweis 

Die Schüler/innen lernen, vorgegebene Eigenschaften von Funktionen algebraisch zu 

beweisen. 

3. Festigungsphase: 



a) Teste dich selbst! 

Den Schüler/innen werden drei interaktive Tests angeboten, mit deren Hilfe sie das 

bereits Gelernte wiederholen können. 

b) Präsentation 

Die Schüler/innen sollen in Gruppen das in dem Lernpfad Gelernte zusammenfassen. 

Dies kann beispielsweise in Form einer Präsentation am Computer oder in Form eines 

Portfolios passieren. 



Dauer 3 – 4 Stunden 


Verwendete Medien Java Applets, interaktive Tests, Internet 


Autoren Anita Dorfmayr, Irma Bierbaumer, Walter Klinger 


3Technische Voraussetzungen: Java (kostenlos von www.java.com), Internet 

4Technisches Vorwissen: Elementarer Umgang mit dem Computer, Verwendung von dynamischen 

Applets 

5Vorwissen der Schüler/innen: grundlegende Kenntnisse über Darstellungsformen von Funktionen (Graf, 

Formel, Tabelle) 



Verstehen, wie sich eine Veränderung der Parameter k und d auf den Grafen der 

Gleichung – Graf 

Funktion y = k . x+d auswirkt. 

Konstruktion 

Den Grafen einer linearen Funktion (mit gegebener Gleichung) mit Hilfe von k und 

d konstruieren. 

Aus dem Grafen einer linearen Funktion die Parameter k und d ablesen und damit 

Graf – Gleichung 

die entsprechende Funktionsgleichung angeben. 

• Verstehen, wie sich eine Veränderung der Parameter k und d auf die 

Koordinaten der Spurpunkte auswirkt. 

Spurpunkte • Den Graf einer linearen Funktion (mit gegebener Gleichung) mit Hilfe von 

(Bonus) 

Spurpunkten konstruieren. 

• Aus dem Grafen einer linearen Funktion die Parameter k und d ablesen und 

damit die Koordinaten der Spurpunkte angeben. 

Beweis Eigenschaften einer linearen Funktion formal beweisen. 


Bereits in den vorangegangenen Schulstufen Gelerntes soll gefestigt werden. Neu ist der Begriff der linearen 

Funktion. Im Zentrum steht die Verbindung der verschiedenen Darstellungsformen (vor allem Wortformel, 

Graf, Formel), wobei erstmals ein Graf direkt in eine Formel übergeführt wird. 



Dynamische Applets unterstützen die Visualisierung der Bedeutung der Parameter k und d. Interaktive Tests 

ermöglichen den Schüler/innen ihr Wissen selbsttätig zu überprüfen und neu Gelerntes zu festigen. 


Grundsätzlich wäre für effizientes Arbeiten ein Computer pro Schüler/in nötig, allerdings ist auch eine 

Partner/innenarbeit durchaus möglich. Der Punkt Konstruktion: Aufgaben kann ohne PC in der Klasse 

bearbeitet werden. Hier steht ein Kontrollblatt, das ausgedruckt werden kann, zur Verfügung. Da die 

einzelnen Lernschritte aufeinander aufbauen, ist dieser Lernpfad in der vorgegebenen Reihenfolge 

abzuarbeiten. 

Die Schüler/innen müssen ihre Arbeit genau dokumentieren, am besten händisch im Heft oder in einer 

Projektmappe. Die abschließende Präsentation kann wahlweise mit oder ohne Computer erstellt werden. 


Dynamische Applets sollen das Verständnis der Bedeutung der Parameter fördern. Sie sollen so eingesetzt 

werden, dass die Schüler/innen selbsttätig Vermutungen aufstellen und begründen können. Interaktive Tests 

ermöglichen die Überprüfung der Lernziele. 

Großer Wert wird darauf gelegt, dass die Schüler/innen händisch konstruieren und dokumentieren. 



Anstelle der Präsentation könnte auch ein kleines Portfolio entstehen. 



Schüler/innen im Vordergrund. Für die Evaluation können die Dokumentation, sowie die Präsentation 

verwendet werden. 



3. VORTEILE DES MEDIENEINSATZES – EXEMPLARISCHE 


Zusammenspiel von algebraischer und grafischer Darstellung 

Beispiel: Gleichung – Graf: k und d 


Im Applet ist der Graf einer linearen Funktion f: y=k·x + d eingezeichnet. Rechts oben findest du 

zwei Schieberegler für k und d, die du mit der linken Maustaste verändern kannst. 

Wie verändert sich der Graf der Funktion, wenn du 

den Wert von d veränderst und dabei k unverändert lässt? 

den Wert von k veränderst und dabei d unverändert lässt? 

Beschreibe die Veränderung möglichst genau in Worten. Fertige dazu auch passende Skizzen an! 




UNTERRICHTSORGANISATION – ARBEITSANWEISUNGEN FÜR SCHÜLER/INNEN: ARBEITSPLAN 

Achte darauf, jeden Lernschritt im Heft genau zu dokumentieren! Schreibe immer eine Überschrift, die Angabe in 

Kurzform und deine Antwort. Fertige passende Skizzen an! 



k und d Hier sollst du die Werte von k und d verändern. 

- Wie verändert sich der Graf der Funktion, wenn du nur d veränderst? Was 

passiert, wenn d negativ, positiv oder 0 ist? 

- Wie verändert sich der Graf der Funktion, wenn du nur k veränderst? Was 

passiert, wenn k negativ, positiv oder 0 ist? 

Beschreibe die Veränderung jeweils möglichst genau in Worten und fertige 

passende Skizzen dazu an! 

Spurpunkte Hier sollst du wieder die Werte von k und d verändern. Du lernst die Spurpunkte 

Sx und Sy kennen. Angenommen, du kennst den Wert von k und den Wert von d: 

Konstruktion 

- Welche x-Koordinate hat dann der Spurpunkt? 

- Welche y-Koordinate hat dann der Spurpunkt? 

Vergleiche jeweils für verschiedene Werte von k und d! 

mit k und d Hier lernst du, wie du den Grafen einer Funktion zeichnen kannst, wenn du die 

Werte von k und d kennst. 


P Lehrer/in 

B Lehrer/in 

P Selbst


Deine Konstruktion im Heft kannst du überprüfen, indem du die Schieberegler für 

k und d passend einstellst und mit dem Grafen am Bildschirm vergleichst. 

mit Spurpunkten Hier lernst du, wie du den Grafen einer Funktion zeichnen kannst, wenn du die 

Werte von k und d kennst. Du sollst dazu zuerst die Koordinaten der Spurpunkte 

berechnen und dann damit den Grafen konstruieren. 

Deine Konstruktion im Heft kannst du überprüfen, indem du die Schieberegler für 

k und d passend einstellst und mit dem Grafen am Bildschirm vergleichst. 

Aufgaben Diese Aufgaben musst du ohne Computer bearbeiten. Deine Konstruktionen 

kannst du mit dem Kontrollblatt überprüfen. 

Graf – Gleichung 

Steigungsdreieck Der Graf einer linearen Funktion ist gegeben. Du sollst nun die 

Funktionsgleichung ermitteln. Dafür musst du die Werte von k und d aus der 

Zeichnung ablesen. 

Spurpunkte Der Graf einer linearen Funktion ist gegeben. Du sollst nun die 

Funktionsgleichung ermitteln. Dafür sollst du die Koordinaten der Spurpunkte 

ablesen. Daraus kannst du k und d berechnen. 

Teste dich selbst! 


B Selbst 

P Selbst 

P Partner/in 

B Partner/in 

Ordne zu! P Selbst 

Quiz Teste bei diesen Aufgaben dein Wissen. Wiederhole die Übungen mehrmals! P Selbst 

Quiz Graf – Gleichung 

Beweis Hier sollst du bestimmte Eigenschaften einer linearen Funktion beweisen. Vergleiche mit 

den Lösungen! 

Präsentation Hier sollt ihr in Gruppen eine Präsentation erstellen und zusammenfassen, was 

ihr in diesem Lernpfad alles gelernt habt. Achtet darauf, dass jede Pflicht-Aufgabe 

in der Präsentation vorkommt! 

P Selbst 

B Selbst 

P Lehrer/in 

Für die Arbeit hast du _____ Unterrichtsstunden Zeit. Teile dir deine Zeit gut ein! Viel Spaß!



Vor Beginn des Lernpfades ist sicherzustellen, dass die Schüler/innen grundlegende Kenntnisse über 

Darstellungsformen von Funktionen haben. Sie sollen wissen, dass eine Funktion in Form eines Grafen, mit 

Hilfe einer Formel (Funktionsgleichung) und mit Hilfe einer Tabelle dargestellt werden kann. Diese 

Kenntnisse, die die Schüler/innen zumindest im Zusammenhang mit direkten und indirekten Proportionen 

schon kennen gelernt haben, müssen vor dem Beginn des Lernpfades aktiviert werden. 


durchführen können. Bei jedem Lernschritt ist angegeben, wie die Kontrolle zu erfolgen hat – Selbstkontrolle, 

Partner/innenkontrolle, Lehrer/innenkontrolle. 


Arbeitsplan ausdrucken und vor Beginn der Arbeit mit den Schüler/innen besprechen. Die 

Schüler/innen müssen informiert werden, wie die Dokumentation zu erfolgen hat. 

Aufgabe Konstruktion: Aufgaben: Hier steht ein Kontrollblatt zur Verfügung. Dieses muss 

ausgedruckt werden und sollte den Schüler/innen im Klassenraum zur Verfügung gestellt werden. 

Aufgabe Beweis (BONUS): Hier werden die Lösungen direkt im Lernpfad angeboten. Allerdings ist 

davon auszugehen, dass die Schüler/innen Unterstützung vom Lehrer / von der Lehrerin brauchen 

werden. 

Nach Abschluss des Lernpfades müssen die Dokumentationen der Schüler/innen genau korrigiert 

werden. 

Die Präsentationen der Schüler/innen sollen in der Klasse vorgestellt werden. 


April 2008 Internetrecherche zum Thema Lineare Funktionen 

Mai 2008 Festlegen des thematischen Schwerpunktes Parametervariation, Erarbeiten eines 

Rohkonzepts und Verteilung von Aufgaben 

August 2008 Besprechen der entwickelten Aufgabenstellungen 

September 2008 Fertigstellen einer Erstversion des Lernpfades, Web-Realisierung 

Oktober 2008 Diskussion und Überarbeitung 

November 2008 Fertigstellung des Lernpfades, Erstellen eines didaktischen Kommentars und eines 

Arbeitsplanes 



4.5.5. SCHNITTSTELLENLERNPFAD: SEKUNDARSTUFE I/SEKUNDARSTUFE II 





SCHNITTSTELLENLERNPFAD: 

FUNKTIONALE ABHÄNGIGKEITEN ZUR SCHNITTSTELLE 

SEKUNDARSTUFE I/II 

8. ODER 9. SCHULSTUFE BZW. 10. SCHULSTUFE (HAK) 

AUTOREN/INNEN: 

GABRIELE BLEIER, HEIDI METZGER, ANDREAS LINDNER 


Nachdem Schüler/innen im Laufe der Sekundarstufe I verschiedene Zugänge zu diesem Thema erfahren 

haben (grafische Darstellungen, Arbeiten mit Tabellen, direkte und indirekte Proportionalität, 

Kapitalwachstum, …), soll dieses Wissen in einem eigenen Lernpfad zusammengefügt und der zunächst 

intuitive Funktionsbegriff exaktifiziert werden. 


Der Lernpfad Funktionale Abhängigkeiten zur Schnittstelle I/II dient zur Wiederholung der verschiedenen 

Zugänge aus dem Bereich der funktionalen Abhängigkeiten. Vom intuitiven Umgang mit Funktionen sollen 

die Schüler/innen zu einer Exaktifizierung des Funktionsbegriffs geführt werden. Anwendungsaufgaben 

bieten Möglichkeiten zur Vertiefung. 

Der Lernpfad kann am Ende der 8. Schulstufe zur Wiederholung oder in der 9. Schulstufe (bzw. 10. 

Schulstufe HAK) zur Auffrischung eingesetzt werden. 


Schulstufe 8. oder 9. Schulstufe bzw. 10. Schulstufe (HAK) 





Autorinnen und Autor Gabriele Bleier, Heidi Metzger, Andreas Lindner 


• Fachliche Voraussetzungen 

Arbeiten mit Darstellungsformen Diagramm, Graph, Tabelle, Wortformel, Formel, Term 

Arbeiten mit direkter und indirekter Proportionalität 

Arbeiten mit linearen Funktionen 

einfache Verzinsung und Zinseszinsrechnung 

• Technische Voraussetzungen 

dynamische Geometriesoftware GeoGebra verwenden können 

• Methodische Voraussetzungen 

Methode Gruppenpuzzle (Expertinnen-/Expertenmodell) 





Darstellungsformen von Funktionen: 

Prototypen Wortformel, Term, Tabelle, 

Graph 

Modelle zum Beschreiben funktionaler 


Reelle Funktionen 

Anwendungsaufgaben zu funktionalen 


grafischen Darstellungen deuten können, 

grafische Darstellungen erstellen und dazu Achsenausschnitt und 

Skalierung sinnvoll wählen können, 

aus Tabellen Informationen entnehmen können, 

Tabellen anlegen können, 

mit Funktionstermen arbeiten können, 

Texte formulieren können, die funktionale Abhängigkeiten 

beschreiben, 

Darstellungsformen wechseln können 

Mit linearen Funktionen arbeiten können, Steigung über den 

Differenzenquotienten ermitteln können, Funktionsterm ermitteln 

können 

Direkte und indirekte Proportionalitäten erkennen können 

Am Beispiel Kapitalwachstum den Unterschied zwischen 

linearem und exponentiellem Wachstum intuitiv erkennen können 

Begriffe abhängige und unabhängige Variable, Funktionsterm, 

Definitions- und Zielmenge, Stelle, Funktionswert und Punkt 

erklären können 

Reelle Funktionen als eindeutige Zuordnung verstehen und 

erkennen 

Definitionsmenge angeben können 

Verschiedene Schreib- und Sprechweisen kennen 

Zu einem Graphen eine Geschichte erzählen können; 

Aufgabenstellungen aus dem Alltag, der Physik bzw. dem 

Geldwesen vor allem mithilfe der grafischen Darstellung und 

mithilfe einer Tabelle lösen können; 

das Wissen zu funktionalen Abhängigkeiten auf wirtschaftliche 

Fragestellungen übertragen können 


Im Zentrum steht der sichere Umgang mit den Prototypen Wortformel, Tabelle, Graph und Term. Diese 

Prototypen sollen anhand von Beispielen aus der Erfahrungswelt der Schüler/innen wiederholt werden. 

Der Aufbau des Lernpfades folgt dem Prinzip 

- Vorwissen aktivieren: 

Grundlegendes Wissen wird möglichst selbsttätig und ungelenkt von den Schüler/innen mithilfe 

interaktiver Tools aufgefrischt. 

- Erarbeitungsteil, Exaktifizierung: 

In einem Wechsel von Informationstexten, Beispielen und einfachen Grundaufgaben erarbeiten die 

Schüler/innen Begriffe und eine Definition der reellen Funktion. 

Das Aufgreifen der verschiedenen Modelle, die die Schüler/innen bereits kennen lernen konnten, soll 

ihnen die vielfältigen Anwendungsmöglichkeiten funktionaler Abhängigkeiten aufzeigen. 

- Vertiefung, Transfer: 

Das erworbene Wissen kann auf neue anwendungsorientierte Aufgabenstellungen übertragen werden. 


Die Schüler/innen arbeiten selbstständig (offenes Lernen), eventuell unterstützt durch einen Stationenplan. 

Interaktive Übungen, interaktive Test sowie Kontrollmöglichkeiten unterstützen den selbstständigen 

Wissenserwerb. 



KOMBINATION VON MEDIEN UND LERNMEDIEN DER SCHÜLER/INNEN 

Der Lernpfad stellt auf der Oberfläche der Webseite zunächst eine Gliederung der Lerninhalte bzw. Themen 

zur Verfügung. 

In der Phase der Aktivierung von Vorwissen wird den Schüler/innen vor allem mithilfe interaktiver Übungen 

die Möglichkeit gegeben, Basiswissen zu funktionalen Abhängigkeiten zu wiederholen und aufzufrischen. 

Die Schüler/innen erhalten interaktiv Rückmeldung, ob die Antworten richtig sind. Die meisten Übungen 

basieren auf Visualisierungen mit der dynamischen Geometriesoftware GeoGebra. 

Im Erarbeitungsteil zum allgemeinen Funktionsbegriff werden die Schüler/innen in einem Wechsel von 

Anleitung, Informationstexten, Beispielen, interaktiven Übungen und Aufgaben durch den Lernpfad geleitet. 

LEISTUNGSFESTSTELLUNG UND LEISTUNGSBEURTEILUNG 

Materialien zur Leistungsfeststellung sind nicht vorgesehen. Zur Leistungsbeurteilung kann die Beobachtung 

der Mitarbeit im Unterricht sowie die Dokumentation im Lernmedium Heft herangezogen werden. Zusätzlich 

zu den im Lernpfad vorgegebenen Anleitungen sind vor Beginn der Lernphase mit den Schüler/innen 

entsprechende Vereinbarungen zur Dokumentation zu treffen (siehe Unterrichtsorganisation). 



Wiederholen und Festigen des Vorwissen 

Mithilfe einer interaktiven Übung (einem externen Link) wird geübt, Graphen zu deuten und einem Text 

richtig zuzuordnen. 



Zusammenspiel von algebraischer und geometrischer Darstellung 

Eine reale Anwendung (Dachneigung eines Hauses) wird als Ausgangspunkt genommen, um eine 

Geradengleichung mithilfe zweier Punkte zu ermitteln. Die Gleichung kann interaktiv überprüft werden. 

Anwenden (Transferaufgabe) 

Mithilfe von dynamischer Geometrie kann aus Kosten und Erlös die entsprechende Gewinnfunktion interaktiv 

selbst erzeugt werden. 



10. DREHBUCH / DREHBÜCHER – METHODISCH- 

DIDAKTISCHE ANLEITUNGEN 

UNTERRICHTSORGANISATION – ARBEITSANWEISUNGEN FÜR 

SCHÜLER/INNEN 

Lernziele, Zeitplanung und Anforderungen der jeweiligen Lehrkraft müssen den Schüler/innen schriftlich zur 

Verfügung gestellt werden. Exemplarisch gibt es als Zusatzmaterial einen Arbeitsplan im Wordformat zur 

individuellen Bearbeitung durch die Lehrperson. 

Für die Dokumentation der Lerninhalte durch die Schüler/innen seien exemplarisch zwei Möglichkeiten 

angeführt. 

Lerntagebuch: 

Die Schüler/innen notieren laufend im Heft Datum, Titel der Übung, wichtiger Inhalt, persönliche Reflexion 

sowie alle ausdrücklich schriftlich verlangten Arbeitsaufträge. 

Portfolio bzw. Gruppenportfolio: 

Zusammenstellung der theoretischen Inhalte und ausgewählter Beispiele zu jedem Teilabschnitt (mit Angabe, 

Durchrechnung, Zeichnung, Antwort) in einer Projektmappe (Papier oder elektronisch möglich). 


Begleitende Hinweise zur Durchführung sowie zu den Inhalten werden den Lehrern und Lehrerinnen zur 

Verfügung gestellt. 


Am Ende des Lernpfades ist eine kurze Wissensüberprüfung für die Schüler/innen vorgesehen. 


Im Rahmen von vier Planungstreffen im Frühjahr 2008 wurde das Grundkonzept in der Gruppe erarbeitet. Die 

Materialerstellung erfolgte arbeitsteilig im Sommer/Herbst 2008. Im laufenden Austausch via E-Mail und 

Zusammenarbeit über ein Wiki sowie fünf Treffen wurde das Material gegenseitig begutachtet und 

weiterentwickelt und schließlich zu einem webbasierten Lernpfad zusammengeführt. 



4.5.6. MIKROLERNPFAD: QUADRATISCHE FUNKTIONEN 

MIKRO -LERNPFAD: 

QUADRATISCHE FUNKTIONEN - WIKIREALISIERUNG 

9. SCHULSTUFE 

Autoren/innen: 

Reinhard Schmidt, Christian Schmidt, Maria Eirich, Andrea Schellmann und Gabriele Jauck 

1. MOTIVATION – WARUM WURDE DAS THEMA 

GEWÄHLT? 

Intention des Lernpfades ist es, einen motivierenden, zugleich aber auch anspruchsvollen Einstieg in 

das Thema Quadratische Funktionen anzubieten. Insbesondere soll von vorneherein der Einfluss von 

Parametern in den Blick genommen werden – im klassischen „Tafelunterricht“ wäre dies an so 

früher Stelle wohl nur schwerlich möglich. 


Dieser Lernpfad bietet einen Einstieg in das wichtige Thema "Quadratische Funktionen". Die 

Einführung in das Thema soll am Beispiel des Bremsweges eines Autos, genauer gesagt anhand des 

Zusammenhangs zwischen der Geschwindigkeit eines Autos und der Länge seines Bremsweges 

erfolgen. Nachdem auf diese Weise der Begriff der reinquadratischen Funktion erarbeitet worden ist, 

sollen (anhand der Funktion: Geschwindigkeit 

den Blick genommen werden. Dieses Themengebiet soll jedoch nur intuitiv, vor allem durch 

Experimentieren am Graphen erarbeitet werden. 

Der Lernpfand enthält eine Reihe von interaktiven Übungen, insbesondere auch einige GeoGebra- 

Applets. Dadurch sollen die Schülerinnen und Schüler die Gelegenheit gegeben werden, den 

funktionalen Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit und dem Brems- bzw. dem Anhalteweg 

experimentell selbst zu erkunden. Mit Hilfe der Applets ist es überdies möglich, die Schülerinnen 

und Schüler den Einfluss von Parametern in der Funktionsvorschrift entdecken zu lassen. 

Der Lernpfad ist für 4 Unterrichtsstunden konzipiert und kann im Mathematikunterricht der Klasse 9 

eingesetzt werden. Um den Lernpfad einzusetzen, benötigt man internetfähige Rechner, auf denen 

Java installiert ist. 






Technische 





Autoren 


Reinhard Schmidt, Christian Schmidt, Maria Eirich, Andrea Schellmann 

und Gabi Jauck 

6Technische Voraussetzungen: Java (kostenlos von www.java.com), Internet 

7Technisches Vorwissen: Elementarer Umgang mit dem Computer, Verwendung von dynamischen 

Applets 

VORWISSEN DER SCHÜLER/INNEN 

8Bei linearen Funktionen zwischen den Darstellungsformen Graph, Tabelle und Formel wechseln 

9Parameter variieren und die Auswirkung dieser Variation beschreiben (Handhabung von GeoGebra) 

10von der graphischen Darstellung unmittelbar auf die Darstellung als Formel schließen 

11• Eigenschaften linearer Funktionen aus der Termdarstellung ablesen und sie begründen 



Ausgehend von der Frage, die bei der Fernsehsendung Kopfball gestellt 

wurde (Video), ob ein Auto bei doppelter Geschwindigkeit auch einen 

doppelt so langen Bremsweg hätte, werden Messwerte in einer Tabelle 

dargestellt und als Graph in einem Koordinatensystem gezeichnet. 

Die Formel für den Bremsweg aus Unterlagen für die 

Führerscheinprüfung wird als Graph einer Funktion gezeichnet. Auch 

der Einfluss unterschiedlicher Strassenverhältnisse (Formel gegeben) 

ergibt ähnliche Graphen. 

Schüler/innen können mit Applets mit durch Schieberegler 

veränderbaren Parametern experimentieren. 

• Übersetzen von einer 

Realsituation in ein 

mathematisches Modell 

• Bei quadratischen Funktionen 

zwischen den Darstellungsformen 

Graph, Tabelle und Formel 

wechseln 

Parabeln als Graphen quadratischer 

Funktionen identifizieren 

Parameter variieren und die 

Auswirkung dieser Variation 

beschreiben 


Intention des Lernpfades ist es, einen motivierenden, zugleich aber auch anspruchsvollen Einstieg in das 

Thema Quadratische Funktionen anzubieten. Insbesondere soll von vorneherein der Einfluss von Parametern 

in den Blick genommen werden – im klassischen „Tafelunterricht“ wäre dies an so früher Stelle wohl nur 

schwerlich möglich. 

Im kompletten Lernpfad steht die Selbsttätigkeit der Schülerinnen und Schüler im Vordergrund. Im Idealfall 

muss die Lehrperson nur in Ausnahmefällen in den eigentlichen Lernprozess eingreifen. 


Als Sozialform wird für die meisten Teile des Lernpfades Partnerarbeit vorgeschlagen. Auf diese Weise wird 

gewährleistet, dass einerseits der zu erarbeitende Stoff selbstständig entdeckt, andererseits aber mit dem 

Partner argumentiert und kommuniziert wird. Das zu Lernende kann dadurch noch nachhaltiger durchdrungen 

werden. Die Sicherung des Gelernten sollte dagegen in Einzelarbeit erfolgen. 

Dieser Vorschlag ist jedoch in keiner Weise bindend. Um beispielsweise einen höheren Grad an 

Selbsttätigkeit zu erzielen, kann auch ein Computer pro Schülerin bzw. pro Schüler veranschlagt werden. 




Der vorliegende Lernpfad wurde bewusst nicht im starren HTML-, sondern im dynamischen Wiki-Format 

angelegt, damit er beständig optimiert und angepasst werden kann. 

Außerdem wurde darauf geachtet, dass die Schülerinnen und Schüler das Thema an Hand von GeoGebra- 

Dateien experimentell entdecken können. Begleitend soll das Gelernte aber auch über klassische 

Arbeitsblätter (im Word- oder im PDF-Format) gesichert werden. 




Da im Lernpfad zunächst reinquadratische, später aber auch allgemeine quadratische Funktionen thematisiert 

werden, wird die Sicherung des Gelernten an zwei Stellen: Quadratische Funktionen – Übungen und 

Quadratische Funktionen – Teste dein Wissen in den Lernpfad integriert. Hier wird auf klassische 

Arbeitsblätter, externe Links und GeoGebra-Dateien verwiesen. 

Im Vordergrund steht der Lernprozess, also der Grad der Selbsttätigkeit und der Selbstorganisation der 

Schüler/innen. Für die Evaluation können die Dokumentation, sowie eine Präsentation verwendet werden. 



Forschen und Dokumentieren 



Zusammenspiel von algebraischer und geometrischer Darstellung 

4. METHODISCH-DIDAKTISCHE ANLEITUNGEN 



Im Lernpfad integriert – teilweise Arbeitsblätter 







Links zu weiteren Online Übungen zur Festigung des Erlernten sind angeboten. 

Wissensüberprüfung durch einen Online Test – Auswertung durch Lehrperson – der auch als Scorm-Paket für 

Lernplattformen zur Verfügung steht. 


Nicht gendersensitiv durch Auswahl des Einstiegsbeispiels 




• Treffen in Würzburg – 3 Tage (30.5. – 1.6), Gruppenfindung, Themenfindung, Erstellung 

div. Vorlagen, Ausfüllen des Pflichtenblatts 

• Juni – September: Internetrecherche, Individuelle Arbeit an Lernmaterialien der 

Projektteilnehmer, 

• September: Umsetzung als Wiki-Lernpfad (Einarbeitungszeit für österreichischen 

Projektteilnehmer ins Wiki war länger als ursprünglich erwartet) 

• Oktober: Abstimmung der Inhalte per Mail und Skypekonferenzen, gegenseitige Evaluation 

innerhalb der Projektteilnemer, Überarbeitung und Auflistung der noch fehlenden Inhalte, 

• Ende Oktober: Aufgabenverteilung und Terminsuche zur weiteren Abstimmung 

• November: Arbeit an didaktischem Kommentar, Arbeitsblättern und div. Anlagen zum 

Lernpfad 

• Ende November: Arbeitstreffen 3 Tage Altlengbach – Feinabstimmung und Fertigstellung 

des Lernpfads, Schreiben des Rechenschaftsbericht. 



4.5.7. Mikrolernpfad: POTENZFUNKTIONEN 

MIKRO-LERNPFAD: POTENZFUNKTION 

10. SCHULSTUFE 

AUTOREN/INNEN: HANS-GEORG WEIGAND, PETRA 

BADER, MICHAEL SCHUSTER, JAN WÖRLER 


In den Schulstufen 8 und 9 haben die Schüler mit funktionalen Zusammenhängen bereits in vielfacher Weise 

gearbeitet. In der 10. Jahrgangsstufe werden neue Funktionstypen kennengelernt: Potenzfunktionen, 

Polynomfunktionen, exponentielle und trigonometrische Funktionen. 

Potenzfunktionen sind ein zentrales Thema dieser Jahrgangsstufe und ordnen sich in einen systematischen 

Aufbau wichtiger Funktionstypen ein. 


In der 10. Jahrgangsstufe wird das funktionale Begriffsverständnis durch das Kennenlernen neuer 

Funktionstypen weiterentwickelt. Ein wichtiger neuer Typ sind elementare Potenzfunktionen: x → x r , r ∈ . 

Von diesem Typ haben Schülerinnen und Schüler bereits proportionale, indirekt proportionale und rein 

quadratische Funktionen kennengelernt. 

In diesem Lernpfad werden 

• die vier – hier so genannten – Grundfunktionen mit f(x) = x n , f(x) = x -n , f(x) = , f(x) = , n ∈ , 

• die allgemeine Potenzfunktion mit rationalen Exponenten mit f(x) = , p ∈ , q ∈ (Im Folgenden 

einfach „Allgemeine Potenzfunktion“ genannt) 

• und die Funktionen mit g(x) = a⋅f(x) + c, a, c ∈ 

behandelt. Bei der Variablen a sprechen wir von einem Streckparameter, die Variable c heißt 

Verschiebungsparameter. 

Die Eigenschaften dieser Funktionen werden durch das Arbeiten mit Funktionstermen und Graphen 

erschlossen. Der Computer – hier das Programm Geogebra – unterstützt die Entwicklung des 

Begriffsverständnisses durch die Visualisierung der Auswirkungen von Parameterveränderungen auf die 

Graphen der Funktionen. Auf die Behandlung Potenzfunktionen mit reellen Exponenten sowie von ganz und 

gebrochen rationalen Funktionen wird in diesem Lernpfad verzichtet, da diese den Umfang dieser 

Unterrichtssequenz überstiegen hätte. Die Behandlung dieser Funktionstypen kann sich an diesen Lernpfad 

anschließen. 

Das zentrale Ziel dieser Unterrichtssequenz ist es, das Verständnis der Potenzfunktionen zu verbessern. 

Teilziele sind: 

• Kenntnis der Eigenschaften der Funktionen und insbesondere der Graphen in Abhängigkeit vom 

Exponenten; 

• Fähigkeit, die Veränderung der Graphen bei der Variation von Parametern beschreiben zu können; 

• Fähigkeit, den Einfluss von Streck- und Schiebeparametern auf die Veränderung der Graphen 

beschreiben zu können; 

Lernpfade – Seite 67


Dieser Lernpfad ist als eine Vertiefung dieses Themenbereichs gedacht, es werden also grundlegende 

Kenntnisse über die elementaren Potenzfunktionen bzw. Grundfunktionen und die allgemeine Potenzfunktion 

vorausgesetzt. Aufgrund der Komplexität wird auf das Einbeziehen reeller Exponenten verzichtet. 

Der Begriff „Kenntnisse“ bezieht sich dabei auf Form und Eigenschaften der Graphen, den Definitionsbereich 

und den Bezug der Potenzfunktionen zu proportionaler und quadratischer Funktion sowie der Wurzelfunktion. 

In dem Lernpfad werden die Eigenschaften der Grundfunktionen in einem Zwei-Schritt-Verfahren wiederholt. 

• Bei den vier Grundfunktionen und der allgemeinen Potenzfunktion werden die Auswirkungen der 

Variation des Exponenten auf die Graphen untersucht; 

• Es werden die durch Streck- und Schiebeparameter erweiterten Potenzfunktionen analysiert 

Der Lernpfad ist nach einem Stufenschema aufgebaut: 

Vorstufe (Anknüpfen an das Vorwissen): Beziehung der Funktion mit f(x) = x 3 zu den proportionalen 

und rein quadratischen Funktionen und Auswirkungen der Parametervariation bei der Funktion mit 

g(x) = a⋅ x 3 + c auf den Graphen der Funktion g. 

1. Stufe: Erweiterung der Funktion mit f(x) = x 3 auf Funktionen mit f(x) = x n , n ∈ und Untersuchung 

der Auswirkung der Variation des Exponenten n auf die Graphen der Funktionen. Dann werden die 

Funktionen g(x) = a⋅ x n + c, a, c ∈ und die zugehörigen Graphen analysiert. 

2. Stufe: Es werden die Funktion mit f(x) = x -n , n ∈ und deren Eigenschaften untersucht. Wiederum 

werden die Auswirkung der Variation des Exponenten n auf die Graphen der Funktionen und dann 

die der Funktionen g(x) = a⋅ x -n + c, a, c ∈ mit entsprechenden Variationen der Parameter 

analysiert. 

3. Stufe: Analog zu Stufe 1 und 2 werden die Funktion mit f(x) = , n ∈ untersucht. 

4. Stufe: Die Überlegung der Stufen 1 – 3 werden auf die Funktion mit f(x) = , n ∈ übertragen. 

5. Stufe: Es werden die Funktionen mit f(x) = , p ∈ , q ∈ , also Potenzfunktionen mit rationalen 

Exponenten p und q untersucht und es werden Beziehungen zu den Funktionen der vorhergehenden 

Stufen aufgezeigt. Dann werden die Funktionen g(x) = a⋅ + c, a, c ∈ und die zugehörigen 

Graphen analysiert. 





Verwendete Medien Dynamische Geometrie Software (DGS), Internet 


Autoren Hans-Georg Weigand, Petra Bader, Michael Schuster, Jan Wörler 




Kenntnis der Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten und ihrer Eigenschaften. Die Schülerinnen und 

Schüler sind mit den grundlegenden Eigenschaften der Potenzfunktionen und ihrer Graphen vertraut. Dieser 

Lernpfad ist zum Einsatz in der Vertiefungsphase beim Lernen des Begriffs der Potenzfunktion gedacht. 


Variation der Parameter bei den 

Funktionsscharen fa,c(x) = a⋅x 3 + c 


Variation der Parameter bei Potenzfunktionen 

mit natürlichen Exponenten 


mit ganzen Exponenten und Stammbrüchen 

als Exponenten 


mit rationalen Exponenten 


Verständnis von Parametervariationen auf die Eigenschaften 

des Graphen 

Verständnis der Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten 

und ihrer Graphen 

Verständnis für die sukzessive Erweiterung auf 

Potenzfunktionen mit (speziellen) rationalen Exponenten und 

Kennenlernen der entsprechenden Graphen. 

Verständnis für die Variation der Exponenten und der 

entsprechenden Veränderung der Graphen. 

Das Verständnis der Eigenschaften von Potenzfunktionen bei beliebigen rationalen Exponenten ist komplex. 

Im Unterricht wird dieser Funktionstyp sukzessive durch Erweiterung der Exponenten entwickelt. In diesem 

Lernpfad werden zunächst die Eigenschaften der vier Grundfunktionen untersucht oder wiederholt: 

• f(x) = x n , n ∈ 

• f(x) = x -n , n ∈ , 

• f(x) = , n ∈ , 

• f(x) = , n ∈ , 

Zu jeder dieser Grundfunktion werden die Eigenschaften der Funktionen mit g(x) = a⋅f(x) + c analysiert. 

Dabei ist es ein zentrales Ziel, dass die Eigenschaften der Graphen von g in Abhängigkeit von der 

Veränderung der Parameter a und c erkannt werden. 

Dann werden Portenzfunktionen mit f(x) = , p ∈ , q ∈ , also mit rationalen Exponenten, untersucht. 

Das Verständnis dieser Funktionen ist komplex und erfordert das stete Zurückgreifen auf die Eigenschaften 

der Grundfunktionen. 


Um diesen Lernpfad einsetzen zu können, sind grundlegende Kenntnisse im Umgang mit den elementaren 

Potenzfunktionen notwendig. Der Lernpfad dient der Vertiefung des Arbeitens mit Potenzfunktionen und 



deren Graphen. Es wird also vorausgesetzt, dass bereits ein inhaltliches Begriffsverständnis der 

Grundfunktionen entwickelt ist. 


In dem vorliegenden Lernpfad wird durch den Einsatz der Software GeoGebra und von interaktiven 

Internetseiten das selbsttätige Lernen der Schüler/innen gefördert. Die Schüler arbeiten bei diesem Lernpfad 

allerdings nicht nur am Computer, sondern sie sollen ihre Tätigkeiten und Ergebnisse vielmehr auch 

schriftlich auf Arbeitsblättern festhalten. Die Schüler haben bei komplexeren Aufgaben die Möglichkeit, auf 

Hilfestellungen zurückzugreifen und ihre Ergebnisse mit einer Lösung zu vergleichen. 


In die einzelnen Seiten des Lernpfades sind interaktive Übungen und Aufgabenstellungen zur Selbstkontrolle 

der Schüler eingebunden. Die auf Arbeitsblättern festgehaltenen Ergebnisse ermöglichen es der Lehrkraft, die 

Leistungen der Schülerinnen und Schüler zu überprüfen. Eine Evaluation des im Rahmen dieses Lernpfades 

erworbenen Begriffsverständnisses erfolgt über einen Online-Test am Ende des Lernpfades. 



Systematische Variation und Erkennen von Zusammenhängen 

Für das Arbeiten mit diesem Lernpfad ist das inhaltliche Verständnis der vier Grundfunktionen mit f(x) = x n , 

f(x) = x -n , f(x) = und f(x) = , n ∈ , und Kenntnisse über die Funktion mit f(x) = , p ∈ , q ∈ , 

grundlegend. 

Die Variation der Parameter erfolgt nun in zweifacher Hinsicht. 

• Zum einen erfolgt die Entwicklung des Verständnisses der Veränderung der Graphen beim Variieren 

des Exponenten bei den Grundfunktionen. Das Verändern mit Hilfe eines Schiebereglers erlaubt das 

dynamische Erleben der Veränderung des Graphen der jeweils betrachteten Funktion. 

• Durch das zusätzliche Einfügen von Streck- und Schiebeparameter kann die – hoffentlich vorhandene 

– Erwartungshaltung der Lernenden im Hinblick auf die Veränderung der Graphen unmittelbar durch 

die Applets überprüft werden. 

Die Veränderung des Graphen der allgemeinen Potenzfunktion (mit rationalen Exponenten) mit f(x) = , p 

∈ , q ∈ , in Beziehung zur Variation der Parameter p und q zu sehen, erfordert den Rückgriff auf 

Eigenschaften der Grundfunktionen. Der Computereinsatz kann hier durchaus zum Staunen und damit zu 

weitergehenden Fragen und Untersuchungen anregen, indem die – beliebige – Variation der Parameter p und 

q einerseits auf – für Schülerinnen und Schüler – unbekannte Graphen führt, allerdings immer wieder auch 

bekannte Graphen (lineare und quadratische) auftauchen. 





Die Schülerinnen und Schüler arbeiten individuell oder in Partnerarbeit am Computer. Aufgabe der LehrerIn 

ist es, die individuelle Arbeit der SchülerInnen zu betreuen, Fragen zu beantworten, in ihrer Lösungsfindung 



zu unterstützen und an entscheidenden Stellen des Lernpfades, die Erkenntnisse der Schüler im 

Klassenplenum zu präsentieren bzw. von einzelnen Schülern darbieten zu lassen. 


Die Schülerinnen und Schüler sollten den Lernpfad selbstständig durcharbeiten. Sie müssen insbesondere 

dazu angehalten werden, die Arbeitsblätter an den vorgesehenen Stellen zu bearbeiten. Es ist sinnvoll nach 

wesentlichen Erarbeitungsschritten die individuelle Arbeit der Schüler zu unterbrechen und die 

entscheidenden Erkenntnisse im Klassenplenum von einem Schüler (am Beamer) präsentieren zu lassen. 

WEITERE MATERIALIEN 

Siehe www.mathematik-digital.de 


FRAGESTELLUNGEN ZUM DIDAKTISCHEN/METHODISCHEN KOMMENTAR: 

Der Lernpfad dient dem Vertiefen, Üben und Systematisieren. Der Aufbau des Lernpfades ist didaktische gut 

durchdacht. Problematisch wird der Zeitumfang gesehen. Eine weitere Schwierigkeit ist das – evtl. nicht 

vorhandene – Vorwissen der Schülerinnen und Schüler. 

Der Lernpfad ist in einem Wiki realisiert. Dadurch sind individuelle Veränderungen und 

Schwerpunktsetzungen durch die Lehrer/innen möglich. 

FRAGESTELLUNGEN ZUM LERNPFAD 

Im Lernpfad gibt es heuristisch-experimentelle Phasen in denen die Schüler/innen Experimentieren und 

Vermutungen aufstellen. Durch Diskussionen werden Begründungen gesucht, die zu einer Exaktifizierung der 

Begriffe führen. In dieser Phase werden die Schüler/innen dazu aufgefordert auf ihr Vorwissen – evtl. unter 

Zuhilfenahme des Schulbuchs – zurückzugreifen. 


Es gibt viele Angebote für die Schüler/innen das neu erworbene Wissen selbst zu überprüfen. Am Ende des 

Lernpfades erfolgt ein Verständnistest. 


Die Idee der Parametervariation und das Betrachten der Auswirkungen auf die Graphen lagen von Anfang an 

nahe. Die Diskussion in der Gruppe ging dann um den systematischen Aufbau des Lernpfades. Die 

grundlegende Idee ist die Untergliederung der Einheit in das Arbeiten mit (den vier) Grundfunktionen, der 

allgemeinen Potenzfunktion und dem jeweiligen „Hinzufügen“ der Streckungs- und Verschiebungsparameter. 

Nach dieser Idee wurden die Geogebra-Applets konstruiert. Hierzu waren im Vorfeld zwei „Live-Treffen“ 

notwendig. 



4.5.8. Mikrolernpfad: TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN 

MIKRO-LERNPFAD: TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN 

http://wikis.zum.de/medienvielfalt/index.php/Trigonometrische_Funktionen 


AUTOREN/INNEN: SILVIA JOACHIM, KARLO HABERL, 

FRANZ EMBACHER 


Funktionen der Form x a sin(b x + c) + d und x a cos(b x + c) + d werden in zahlreichen Anwendungen 

der Winkelfunktionen benötigt, und das die Frage, wie sie – und ihre Graphen – von den Parametern 

abhängen, rührt an das Verständnis des Funktionsbegriffs generell. 


Ziele des Lernpfads 

Voraussetzungen: 

• Darstellungsformen von Funktionen 

• Kenntnis der Auswirkung von Variationen in den Darstellungsformen von linearen und 

quadratischen Funktionen 

• Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen 

Lernziele: 

• Erkennen der Auswirkung der Variation von Parametern im Funktionsterm auf die Graphen 

der Sinus- und Kosinusfunktion, und umgekehrt 

• Unterschiedliche Variablenbezeichnungen identifizieren können 

Methodische Hinweise 

Einsatzmöglichkeiten des Lernpfades: 

• Der Lernpfad eignet sich zum eigenverantwortlichen Erarbeiten des Stoffes in Einzel- oder 

Partnerarbeit. Die Lehrperson sollte für Fragen zur Verfügung stehen. 

• Der zentrale Abschnitt „Einfluss der Parameter“ eignet sich zum Arbeiten in Expertenteams. 

Vorschlag zur Einteilung der SchülerInnen in Expertenteams: 

o Zunächst Einteilung der Teams nach Buchstaben („ABC-Teams“). SchülerInnen 

bearbeiten in Einzel- oder Partnerarbeit die entsprechenden Aufgaben. 

o Danach werden neue Teams nach Zahlen („123-Teams“) gebildet – pro Team vier 

SchülerInnen. Jede/r stellt den Anderen das Gelernte vor. Gemeinsames Bearbeiten 

der folgenden Aufgaben. 



o Hinweise zur Gruppeneinteilung sowie ein Buchstaben/Zahlen-Raster zum 

Ausdrucken und Ausschneiden sind im Lernpfad integriert. 

• Der Lernpfad kann auch zur Wiederholung des Stoffes zu Hause verwendet werden. 







Autoren Silvia Joachim, Karlo Haberl, Franz Embacher 



• Kenntnis der Auswirkung von Variationen in den Darstellungsformen von linearen und quadratischen 

Funktionen 

• Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen 



Untersuchung des Einflusses der 

Parameter der Funktionen 

x a sin(b x + c) + d 

und 

x a cos(b x + c) + d 

auf die Graphen mit Hilfe 

vorbereiteter GeoGebra-Arbeitsblätter 

Anwendungen in der Physik (noch im 

Entwicklungszustand) 

Erkennen der Auswirkung der Variation von Parametern im 

Funktionsterm auf die Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion, und 

umgekehrt 

Unterschiedliche Variablenbezeichnungen identifizieren können 


Funktionen der Form x a sin(b x + c) + d und x a cos(b x + c) + d werden in zahlreichen Anwendungen 

der Winkelfunktionen benötigt, und das die Frage, wie sie – und ihre Graphen – von den Parametern 

abhängen, rührt an das Verständnis des Funktionsbegriffs generell. Zudem ist die Variation der Parameter ein 

Paradebeispiel für die Nützlichkeit interaktiver Werkzeuge. 


• Der Lernpfad eignet sich zum eigenverantwortlichen Erarbeiten des Stoffes in Einzel- oder 

Partnerarbeit. Die Lehrperson sollte für Fragen zur Verfügung stehen. 

• Der zentrale Abschnitt „Einfluss der Parameter“ eignet sich zum Arbeiten in Expertenteams. 

Vorschlag zur Einteilung der SchülerInnen in Expertenteams: 

o Zunächst Einteilung der Teams nach Buchstaben (A, B,...). SchülerInnen bearbeiten 

in Einzel- oder Partnerarbeit die entsprechenden Aufgaben. 



o Danach werden neue Teams nach Zahlen (1, 2, 3, 4) gebildet – pro Team also vier 

SchülerInnen. Jede/r stellt den Anderen das Gelernte vor. Gemeinsames Bearbeiten 

der Aufgaben. 

o Hinweise zur Gruppeneinteilung sowie ein Buchstaben/Zahlen-Raster zum 

Ausdrucken und Ausschneiden sind im Lernpfad integriert. 

• Der Lernpfad kann auch zur Wiederholung des Stoffes zu Hause verwendet werden. 


Im Lernpfad werden vor allem vorbereitete GeoGebra-Arbeitsblätter eingesetzt. Vereinzelt wird auf externe 

Webseiten mit weiteren interaktiven Materialien verwiesen. 


SchülerInnen arbeiten vor allem mit vorbereiteten GeoGebra-Arbeitsblättern. 

LEISTUNGSFESTSTELLUNGLEISTUNGSBEURTEILUNG 

Die Art der Leistungsfeststellung/Leistungsbeurteilung wird im Lernpfad nicht weiter spezifiziert, d.h. sie 

bleibt der Lehrperson anheim gestellt. 



Von der Visualisierung zur Formulierung 

Die Variation der Parameter von Funktionsgraphen ist eines der Paradebeispiele für die Nützlichkeit 

interaktiver Werkzeuge. GeoGebra bietet den zusätzlichen Vorteil, die entsprechende 

Funktionsgleichung anzuzeigen und automatisch zu aktualisieren. 

Im zentralen Abschnitt „Einfluss der Parameter“ sollen SchülerInnen die Bedeutung der Parameter a, b, c und 

d für die Familie von Funktionen 

und 



untersuchen und ihre Ergebnisse formulieren. Sie gehen dabei vom – visuell erfahrbaren – Verhalten des 

Graphen aus und sollen einer mathematischen Formulierung dieses Sachverhalts erzielen. Interessant bei 

diesem Zugang ist, dass die beiden Aspekte 

• wissen, wie die Funktionsgraphen von den Parametern abhängen 

• wissen, warum das so ist 

voneinander getrennt werden können. 







Die Arbeitsanweisungen für SchülerInnen sind gegenüber der Organisation des Unterrichts „neutral“ 

gehalten, d.h. sie beziehen sich nicht auf bestimmte Einsatzformen. Im didaktischen Kommentar, der sich an 

LehrerInnen richtet, wird auf verschiedene Einsatzmöglichkeiten des Lernpfads verwiesen. 


Im didaktischen Kommentar wird auf verschiedene Einsatzmöglichkeiten des Lernpfads verwiesen. 


Neben dem Einsatz der vorbereiteten GeoGebra-Arbeitsblätter wird im Lernpfad vereinzelt auf externe 

Webseiten mit weiteren interaktiven Materialien verwiesen. 


Physikalische Anwendungen Akustik statt Oszilloskop 

Thema Biorhythmus vermeiden! 


Da die AutorInnen in verschiedenen Ländern und in einiger Entfernung voneinander wohnen (Deutschland, 

Österreich), fand die Kommunikation zur Planung des Lernpfads – ausgenommen eine kurze Absprache beim 

Projekttreffen in Würzburg Anfang Juni 2008 – ausschließlich per eMail statt. 

In der Anfangsphase (Juli 2008 – September 2008) lag der Fokus auf der Erstellung von GeoGebra- 

Arbeitsblättern zur Variation der Parameter in Funktionen von Typ 

und 



und der Einbindung in geeignete Aufgabentexte sowie der Gestaltung eines „Mottos“, unter das das 

mathematische Thema des Lernpfad gestellt werden sollte. 

In der Phase ab September 2008 wurden mehrere Überarbeitungen der Anordnung und Gruppierung der 

Aufgaben sowie Formulierungsdetails durchgeführt und das Layout übersichtlicher gestaltet. 

Eine eingehende Diskussion über das methodisch-didaktische Konzept wurde kaum geführt. Die Idee, den 

zentralen Abschnitt „Einfluss der Parameter“ in Expertenteams zu bearbeiten und erste Stichworte zu einem 

didaktischen Kommentar wurden gewissermaßen „nachgeliefert“. 

Zum Zeitpunkt der Berichterstellung (28. 11. 2008) bleibt vor allem die Frage, ob das zunächst vorgesehene 

Motto „Biorythmus“ ein geeignetes ist oder durch ein anderes ersetzt werden soll, noch zu klären. 

Insgesamt wurde die Hauptarbeit von Silvia Joachim und Karlo Haberl durchgeführt. 



4.5.9. Mikrolernpfad: EXPONENTIAL- UND LOGARITHMUSFUNKTION 

Lernpfad - Pflichtenblatt: 


Andreas Lindner, Anita Dorfmayr, Gaby Jauck 


Exponential- und Logarithmusfunktionen 

Schulstufe: 10.Schulstufe 

Voraussichtliche Stundenanzahl: 2 



1) fachlich 

Kennen allgemeiner Eigenschaften von reellen Funktionen (z. B. Monotonie, ...), 

Zeichnen von Funktionsgraphen mit Hilfe einer Wertetabelle oder aufgrund ihrer 

Eigenschaften, Kapitalentwicklung und Zinseszinsrechnung, Begriff der Umkehrfunktion 

2) technisch 

Bedienung eines Browsers, grundlegende Bedienung von GeoGebra 

3) methodisch 

eigenverantwortlich arbeiten können 


• Das Vorwissen aktivieren. 

• Einleitung: ein Beispiel zur Kapitalentwicklung. 

• Einfache Zinsenrechnung versus Zinseszinsrechnung mit Übergang vom diskreten 

zum kontinuierlichen Modell. 

• Die Eigenschaften und der Verlauf der Graphen der Exponentialfunktionen werden 

an dynamischen Arbeitsblättern erforscht. Ebenso werden die Graphen der 

Logarithmusfunktionen in interaktiven Arbeitsblättern selbst erstellt. 

• Zur Exaktifizierung trägt eine genaue Beschreibung der Eigenschaften der 

Exponentialfunktionen bei. Weiters sollen die SchülerInnen erkennen, warum der 

Logarithmus zur Basis a nur für a aus R + \{1} definiert ist. 




Den Übergang von der diskreten zur kontinuierlichen Modellbildung nachvollziehen 

können. 

Den ungefähren Verlauf von Graphen der Exponentialfunktionen für verschiedene 

Basen a auch ohne Wertetabelle zeichnen können 

Ein intuitives Verständnis für das exponentielle Verhalten einer Zu- oder Abnahme 

entwickeln können. 

Die Eigenschaften der Logarithmusfunktionen aus den Eigenschaften der 

Exponentialfunktionen ableiten können. 



MIKRO-LERNPFAD: EXPONENTIAL- UND 

LOGARITHMUSFUNKTION 


AUTOREN/INNEN: JAUCK, LINDNER 


Die Exponentialfunktion ist Voraussetzung zur Beschreibung vieler Vorgänge in den Naturwissenschaften. 






Verwendete Medien Browser mit Java Applets (online und offline), Internet 


Autoren Andreas Lindner, Gabriele Jauck 


Technische Voraussetzungen 

Internet Browser, Java Runtime, Internetzugang, Drucker zum Ausdrucken der Arbeitsblätter. 

Der Lernpfad ist so konzipiert, dass er zum größten Teil ohne Internetzugang bearbeitet werden 

kann. 

Vorwissen 

Die Schüler/innen sollten als Vorwissen mitbringen: 

• Sie kennen allgemeine Eigenschaften von reellen Funktionen (z. B. Monotonie, ...) 

• Sie können Funktionsgraphen mit Hilfe einer Wertetabelle oder aufgrund ihrer 

Eigenschaften zeichnen. 

• Sie können die Kapitalentwicklung mit der Zinseszinsrechnung nach n Jahren berechnen. 

• Sie kennen den Begriff der Umkehrfunktion und können den Graph durch Spiegeln an der 

1.Mediane ermitteln. 



Exponentielles Anwachsen eines Kapitals 

bei Zinseszinsrechnung 

Die Schüler/innen sollen die Berechnung des Kapitals 

nach n Jahren wiederholen und anwenden können. 



Festlegung des Begriffs 

Exponentialfunktion 

Eigenschaften der Exponentialfunktion 

Gestalt des Graphen der 

Exponentialfunktion 

Einfluss der Basis a und des Faktors c in 

f(x) = c·a x 

Gestalt des Graphen der 

Logarithmusfunktion 

Die Schüler/innen sollen die Exponentialfunktion als 

neuen Typ von Funktion mit der Variablen im 

Exponenten beschreiben können. 

Die Schüler/innen sollen die wesentlichen 

Eigenschaften der Exponentialfunktion wiedergeben 

können. 

Die Schüler/innen sollen den Graphen der 

Exponentialfunktion für verschiedene Basen zeichnen 

können. 

Die Schüler/innen sollen die Auswirkungen des 

Faktors c und der Basis a auf das Verhalten der 

Funktion kennen. 

Die Schüler/innen sollen den Graphen der 

Logarithmusfunktion für verschiedene Basen 

zeichnen können. 


Dieser Lernpfad bietet einen Einstieg in die Grundlagen zu Exponential- und Logarithmusfunktion. 

Aufbauend auf einem bereits aus der Sekundarstufe I vorhandenen diskreten Modell der 

Kapitalentwicklung für n ganze Jahre wird ein kontinuierliches Modell der Kapitalentwicklung für 

einen beliebigen Zeitpunkt x entwickelt. Nach der Untersuchung der Eigenschaften der 

Exponentialfunktion sollen die Schüler/innen Graphen der Exponentialfunktion für verschiedene 

Basen zeichnen. 

Ein weiterer Schwerpunkt ist das Herausarbeiten des Unterschieds zwischen einer linearen und 

einer Exponentialfunktion. Dabei wird die Änderung der Funktionswerte untersucht, wenn das 

Argument um 1 anwächst. 

Die Logarithmusfunktion wird nur als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion eingeführt und auf 

Berechnungen von Logarithmen verzichtet. Ein Zeichnen des Graphen der Logarithmusfunktion mit 

Hilfe Wertetabellen ist daher nicht möglich, da die notwendigen Funktionswerte noch nicht ermittelt 

werden können. 

Durch interaktive Applets, Übungen, Arbeitsblätter und Aufgaben mit Lösungen sollen die 

Schüler/innen zum Experimentieren und selbstständigen Arbeiten angeregt werden. 


Grundsätzlich wäre für ein effizientes Arbeiten pro Schüler/Schülerin ein PC notwendig; allerdings 

ist auch eine Partnerarbeit an einem Gerät bei entsprechender Abstimmung der 

Lerngeschwindigkeiten der beiden Partner durchaus möglich. Das Arbeiten am Computer wird öfter 

durch Aufgabenstellungen, die im Heft durchzuführen sind, unterbrochen, weshalb idealerweise für 

ausreichend freien Arbeitsplatz zwischen den PCs gesorgt sein sollte. 


In dem vorliegenden Lernpfad wird versucht, durch interaktive Applets das erforschende Lernen der 

Schüler/innen zu fördern. Die neu gewonnenen Erkenntnisse sollen im Anschluss daran durch 

Zeichnen von Graphen in einem Arbeitsblatt vertieft und gefestigt werden. Viele der 

Aufgabenstellungen sind eine Verflechtung von Arbeiten am PC und Rechnen mit Papier und 

Bleistift, wobei die Lösungen der Übungen entweder aus der Konstruktion ersichtlich sind oder 

explizit als solche angeführt werden. 




Computer, Heft, Schreibutensilien. 

LEISTUNGSFESTSTELLUNG - LEISTUNGSBEURTEILUNG 

Selbstkontrolle durch Schüler, Kontrolle der Notizen und Arbeitsblätter durch die Lehrperson. 

Im Rahmen dieses Lernpfades ist kein Prüfungsmodul enthalten, die behandelten Lehrinhalte 

eignen sich jedoch zur schriftlichen Leistungsfeststellung bei Schularbeiten. Die Aufgabenstellung 

bleibt dem Lehrer überlassen. 



Begriffsbildung erleben 

Aus der Formel für das Anwachsen eines Kapitals nach der Formel K(x) = K0·(1+p/100) x ergibt sich 

zwanglos die Definition einer Exponentialfunktion. 


Im Lernpfad wird versucht, das erforschende und entdeckende Lernen zu fördern. Die 

Schüler/innen sollen außerdem ihre Vermutungen sprachlich zusammenzufassen und in einer 

mathematischen Form ausdrücken. 

Vermuten – Begründen 



Das Experimentieren mit Applets ermöglicht das Erkennen der Eigenschaften der 

Exponentialfunktion. Beispielsweise sollen die Schüler/innen die prozentuelle Zunahme der 

Funktionsweise untersuchen. 

Das Ergebnis dieser Untersuchung soll festgehalten werden und lautet in mathematisch exakter 

Form: 

Wiederholen und Festigen des Vorwissens 

Als Einstieg und Wiederholung wird ein bereits bekanntes Beispiel aus 7.Schulstufe über 

Kapitalentwicklung gewählt. 







Arbeitsplan für Schüler/innen 









• Treffen in Würzburg – 3 Tage (30.5. – 1.6), Gruppenfindung, Themenfindung, 

Erstellung div. Vorlagen, Ausfüllen des Pflichtenblatts 

• Juni – September: Internetrecherche, Individuelle Arbeit an Lernmaterialien der 

Projektteilnehmer, 

• Juli, August: Umsetzung als HTML-Lernpfad 

• September, Oktober: Abstimmung der Inhalte per Mail und Skypekonferenzen, 

gegenseitige Evaluation innerhalb der Projektteilnemer, Überarbeitung und 

Auflistung der noch fehlenden Inhalte, 

• November: Arbeit an didaktischem Kommentar, Arbeitsblättern und div. Anlagen 

zum Lernpfad 

• Ende November: Arbeitstreffen 3 Tage Altlengbach – Feinabstimmung und Fertigstellung 

des Lernpfads, Schreiben des Rechenschaftsbericht. 



4.5.10. Mikrolernpfad: 

DIFFERENZEN- / DIFFERENZIALGLEICHUNGEN 

MIKRO-LERNPFAD: 

DIFFERENZEN-/DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 

Diskret – Kontinuierlich - Beschreibung der Veränderung von Zuständen 

http://wikis.zum.de/medienvielfalt/index.php/Diskret_-_kontinuierlich 

11. - 13. SCHULSTUFE 

AUTOREN/INNEN: MATTHIAS KITTEL, JOCHEN 

MAIERHOFER, WALTER WEGSCHEIDER 


Die Möglichkeit der Beschreibung von dynamischen Vorgängen nimmt in zahlreichen Anwendungen von 

Biologie über Medizin bis zu Technik und Physik eine zentrale Rolle ein. Während es relativ einfach ist, 

dynamische Zusammenhänge mathematisch korrekt zu beschreiben, ist die Lösung derartiger Aufgaben ohne 

technische Hilfsmittel extrem aufwändig. Dies hat dazu geführt, dass die Behandlung dieser Themenbereiche 

in zahlreichen Schularten beinahe komplett aus den Lehrplänen verschwunden ist. Wir wollen zeigen, dass 

mit den Möglichkeiten der Visualisierung und der Unterstützung der rechnerischen Problemlösung durch 

technologische Hilfsmittel die Behandlung von dynamischen Vorgängen einen stärkeren Platz im Curriculum 

haben könnte. 


Ziele des Lernpfads 

Voraussetzungen: 


• Kenntnis der Auswirkung von Variationen in verschiedenen Darstellungsformen (lineare, 

quadratische Funktionen, Potenzfunktionen, trigonometrische Funktionen u.a.) 

Lernziele: 

• Der Lernpfad beschreibt mit Hilfe von bekannten Beispielen aus Ökologie und Ökonomie 

(Zerfall/Wachstum, Räuber-Beute-Modell, Ausbreitung von Krankheiten, Volkswirtschaftliche 

Modelle, …) die formalisierte Darstellung von Prozessen durch Differenzengleichungen (diskret) und 

Differentialgleichungen (kontinuierlich). 

• Wie beschreibt man diskrete dynamische Vorgänge mit Hilfe von Differenzengleichungen - 

Lösungsmöglichkeiten und Visualisierung an verschiedenen Beispielen 

o Rekursive Beschreibung von Veränderungen 

o Visualisierungsmöglichkeiten (Cobweb, …) 

o Simulation dynamischer Systeme mittels geeigneter Software (z.B. VenSIM) 



• Wie beschreibt man kontinuierliche dynamische Vorgänge mit Hilfe von Differentialgleichungen - 

Visualisierung und Lösungsansätze mit Hilfe verschiedener Technologieunterstützungen an 

verschiedenen Anwendungsbeispielen 

o Aufstellen und Lösen einfacher Differentialgleichungen – Lösung über Integration 

o Aufstellen komplexerer Differentialgleichungen – Lösung mittels Technologie 

o Visualisierung über Richtungsfelder 

• Erweiterung – numerische Verfahren: Euler-Cauchy, Runge-Kutta 

Methodische Hinweise 

Einsatzmöglichkeiten des Lernpfades: 

• Der Lernpfad eignet sich für Blended-Learning 

o Neben der von der Lehrperson unterstützten Einführungsphase soll in 

eigenverantwortlicher Einzelarbeit bzw. Partnerarbeit der Stoff vertieft werden. Die 

Lehrperson sollte für Fragen zumindest in der Präsenzphase zur Verfügung stehen. 

o Im Anschluss stehen einige Erweiterungsbereiche für Selbststudium zur Verfügung. 

• Die Begleitung der Online-Phase über eine Lernplattform ist empfehlenswert. 

Schulstufe 11. bis 13. Schulstufe 


Dauer 4 Stunden – Erweiterungsmöglich für Selbststudium 


Verwendete Medien 

Technische 


Dynamische Geometrie Software (DGS), Java Applets, Tabellenkalkulation, 

Computeralgebra (CAS) 

Java, Internet, CAS-Software, installiertes Officepaket 

Autoren Matthias Kittel, Jochen Maierhofer, Walter Wegscheider 


Im Lernpfad werden verschiedene Medien / Softwaremöglichkeiten eingesetzt. Während im Bereich der 

diskreten Anwendungen vor allem die Tabellenkalkulation eine große Rolle spielt, ist für die Berechnung der 

kontinuierlichen dynamischen Vorgänge eine leistungsfähige Computeralgebra-Software notwendig (z.B. 

DERIVE, Mathematica, Maxima, …). Die Visualisierung kann auch über dynamische Mathematik-Software 

wie GeoGebra erfolgen. 


Die Art der Leistungsfeststellung/Leistungsbeurteilung wird im Lernpfad nicht weiter spezifiziert, d.h. sie 

bleibt der Lehrperson anheim gestellt. 



4.5.11. Mikrolernpfad: ZUGANG ZUR POISSONVERTEILUNG 

Lenrpfad – Pflichtenblatt 


Gabi Bleier, Heidi Metzger-Schuhäker, Peter Hofbauer 

(Arbeits-)Titel des Lernpfads: ZUGANG ZUR POISSINVERTEILUNG 

Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen 

Schulstufe:11-13 

Voraussichtliche Stundenanzahl:2 



o Werte einer Tabelle grafisch darstellen und interpretieren 

o statistische Zentral - und Streumaße berechnen und sinnvoll anwenden 

o Treppenfunktionen zeichnen und ihren Graph interpretieren 

o Parameter variieren und die Auswirkung dieser Variation beschreiben 


Dieser Lernpfad bietet einen Einstieg in das Thema "diskrete Wahrscheinlichkeits- bzw. 

Verteilungsfunktion". 

Der Einstieg in das Thema soll am Beispiel einer Unfallstatistik erfolgen. 

Anfangs sollen die SchülerInnen den funktionalen Zusammenhang zwischen der Anzahl 

der Unfälle, in die ein Autofahrer im Laufe seines Lebens verwickelt ist und der 

Wahrscheinlichkeit, mit welcher ein Autofahrer diese Unfallanzahl aufweist, erkennen und 

grafisch darstellen. Statistische Kennzahlen werden in diesem Zusammenhang 

wiederholt. Dazu können verschiedene Technologien eingesetzt werden. 

Anschließend werden die Begriffe „diskrete Zufallsvariable“ und nach eigenständiger 

Internetrecherche auch die statistische Definition von Wahrscheinlichkeit exaktifiziert. 

Im nächsten Schritt wird der Begriff der diskreten Wahrscheinlichkeitsfunktion exakt 

formuliert und an dem konkreten Beispiel der Autounfallstatistik deren Eigenschaften 

beschrieben. 

Sehr experimentell mit Hilfe von Excel, CAS oder Geogebra sollen die SchülerInnen nun 

anhand des Graphen den Zusammenhang des vorliegenden Beispiels mit der 

Poissonverteilung erkennen, welche zuletzt exakt definiert wird. 

Die Zusatzaufgaben im Anschluss bieten Möglichkeiten zur weiteren Übung und 

Vertiefung. 




o Übersetzen von einer Realsituation in ein mathematisches Modell 

o grafische Darstellung diskreter Zufallsvariable erkennen 

o Treppenfunktionen als Graphen von diskreten Verteilungsfunktionen identifizieren 

o charakteristische Merkmale einer poissonverteilten Zufallsvariable kennenlernen 




ZUGANG ZUR POISSONVERTEILUNG 

12. / 13. SCHULSTUFE 


HEIDI METZGER-SCHUHÄKER, PETER HOFBAUER, GABI 

BLEIER 


Dieser Lernpfad bietet eine kurze Einführung in das Thema diskrete Wahrscheinlichkeits- und 

Verteilungsfunktionen anhand eines Anwendungsbeispiels. Dabei wird eine Unfallstatistik als Maß der 

Sicherheit genauer untersucht. Als Alternative zur im Unterricht häufig verwendeten Binomialverteilung wird 

hier bewusst die Poissonverteilung eingesetzt. 


Anhand der Unfallstatistik soll eine Einführung in die diskrete Poissonverteilung gegeben werden. 

Im ersten Teil des Lernpfades werden die Daten einer Unfallstatistik vorgelegt, mit deren Hilfe die 

Schüler/innen selbständig die wichtigsten Zentral- und Streuungsmaße berechnen sollen. Dazu 

können verschiedene Technologien eingesetzt werden. Anschließend werden im zweiten Schritt die 

Begriffe der Wahrscheinlichkeitsfunktion und der Zufallsvariable wiederholt, es wird dabei jedoch 

vorausgesetzt, dass die Begriffe grundsätzlich im Unterricht schon behandelt wurden. Eigenständig 

bzw. in Teamarbeit sollen dabei Beispiele diskreter Zufallsvariabler gefunden werden. 

Im zweiten Schritt sollen die Schüler den statistischen Wahrscheinlichkeitsbegriff im 

Zusammenhang mit relativen Häufigkeiten mittels Internetrecherche erarbeiten. Für die grafische 

Gestaltung können die Schüler/innen sowohl Tabellenkalkulationsprogramme ihrer Wahl, ein CAS 

oder GeoGebra verwenden. 

Im nächsten Schritt wird die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Poissonverteilung eingeführt und 

intuitiv mit Hilfe eines GeoGebra-Applets mit dem Diagramm der relativen Unfallhäufigkeiten in 

Zusammenhang gebracht. Die Schüler/innen sollen dabei die wichtigsten Eigenschaften dieser 

Verteilung erkennen. 

Zuletzt sollen konkrete Fragestellungen die Schüler/innen zu einer eigenständigen Erarbeitung der 

Verteilungsfunktion als Summenfunktion der Wahrscheinlichkeitfunktion führen. 

Weitere Aufgaben dienen der Vertiefung und Anwendung der neuen Inhalte, neben dem Einsatz von 

Tabellenkalkulation, CAS oder GeoGebra sollen Verweise auf Internetseiten die Möglichkeit zur 

Vertiefung bieten. 




Dauer 3 Unterrichtseinheiten 


Unterrichtsfächer Mathematik bzw. Mathematik und angewandte Mathematik 


Technische 


Dynamische Geometrie Software (DGS), Computer Algebra Systeme (CAS), 

Tabellenkalkulationsprogramme, Internet 

Internetanbindung, oben angeführte Programme 

Autoren Heidi Metzger-Schuhäker, Peter Hofbauer, Gabi Bleier 


• Werte einer Tabelle grafisch darstellen und interpretieren 

• statistische Zentral - und Streuungsmaße berechnen und ihre Bedeutung kennen 

• die Begriffe des Zufalls, der Zufallsvariablen und der Wahrscheinlichkeitsfunktion kennen 

• Treppenfunktionen zeichnen und ihren Graph interpretieren 

• Parameter variieren und die Auswirkung dieser Variation beschreiben 

• Funktionseigenschaften grafisch interpretieren können 



Beschreibende Statistik (Zentral – und Streumaße) 

und grafische Darstellung von Datenmaterial 

Diskrete Zufallsvariable 

Wahrscheinlichkeitsfunktion 

Diskrete Verteilungsfunktionen 


o Interpretation von statistischem Datenmaterial 

o Verwendung der geeigneten Zentral – bzw. 

Streumaße 

o Wählen geeigneter grafischer 

Darstellungsformen 

o grafische Darstellung diskreter Zufallsvariable 

erkennen 

o Zusammenhang relativer Häufigkeiten und 

dem Wahrscheinlichkeitsbegriff erkennen 

o Treppenfunktionen als Graphen von diskreten 

Verteilungsfunktionen identifizieren 

Bereits in den vorangegangenen Schulstufen Gelerntes soll gefestigt werden. Neu ist der Begriff der 

Poissonverteilung. Zentral ist dabei das Erkennen der Zusammenhänge dieser Verteilung mit dem gegebenen 

Datenmaterial. Dynamische Applets unterstützen die Visualisierung, dabei können die Parameter n und p 

durch Schieberegler frei gewählt werden und damit die Annäherung an gegebenes grafisches Datenmaterial 

erreicht werden. 


Grundsätzlich ist dieser Lernpfad als Einzel – bzw. Partnerarbeit konzipiert, es wäre dabei von Vorteil, wenn 

jede/r Schüler/in einen PC zur Verfügung hat. Da die einzelnen Lernschritte aufeinander aufbauen, ist dieser 

Lernpfad in der vorgegebenen Reihenfolge abzuarbeiten. Wichtig ist die Dokumentation der einzelnen 



Arbeitsschritte und abschließend eine kurze Zusammenfassung der neu erlernten Inhalte in Form eines 

Handouts. 


Einsatz von CAS, DGS und Tabellenkalkulation – Einbindung der Programme in eine Textverarbeitung zur 

Erarbeitung des Handouts. 


• CAS, DGS oder Tabellenkalkulation – je nach Verfügbarkeit 

• Internet 


Anhand des Handouts 



Durch grafische Annäherung mittels Schieberegler Finden einer Modellfunktion 

Aufgabe 

Finde durch Probieren mit Hilfe von EXCEL eine POISSONVERTEILUNG, die der 

Wahrscheinlichkeitsfunktion der Autounfälle möglichst nahe kommt. Variiere dabei die Parameter p 

und n durch Einsetzen der Schieberegler. 

p n 

0.00062 4500 

62 4500 




Jeder Schüler soll in Einzelarbeit das statistische Material mittels Tabellenkalkulation, CAS oder GeoGebra 

grafisch darstellen, in Partnerarbeit sollen die Schüler/innen ihre Überlegungen schriftlich dokumentieren und 

abschließend in einem Handout zusammenfassen. 




Vor Beginn des Lernpfades ist sicherzustellen, dass die Schüler/innen grundlegende Kenntnisse über Zentralund 

Streuungsmaße sowie über die Begriffe des Zufalls, der Zufallsvariablen sowie der 

Wahrscheinlichkeitsfunktion haben. Dieses Wissen sollte vor dem Beginn des Lernpfades aktiviert werden, 

da es während des Arbeitens nur in kurzen Zügen wiederholt, nicht jedoch von Grund auf erarbeitet wird. 

Anfangs kann gemeinsam mit den Schülern über geeignete Daten als Maß der Sicherheit diskutiert werden. 

Im Vorfeld sollten die zu berechnenden Zentral – und Streuungsmaße vereinbart werden. 

Zur Bearbeitung des Lernpfads ist es notwendig, dass die Schüler/innen Kenntnisse notwendiger 

Computerprogramme vorweisen können um das Datenmaterial grafisch aufzuarbeiten. 

Während der Arbeitsphase sollten die Gruppen individuell betreut werden, kurze Hilfestellungen in einzelnen 

Fällen sollten bei Bedarf gegeben werden. Bei geforderten Internetrecherchen muss darauf hingewiesen 

werden, die Quellen genau zu überprüfen, gegebenenfalls sollten diese vom Lehrer geprüft werden. 

Der Lernpfad ist vom Schwierigkeitsgrad derart gestaltet, dass auch schwächere Schüler/innen mit 

allgemeinen Hilfestellungen das Auslangen finden sollten. Ein gemeinsames Erarbeiten der Inhalte erscheint 

nicht notwendig. 


Zur Bearbeitung des Lernpfads sind keine weiteren Materialien notwendig. 


ÜBERBLICK ÜBER DEN ERSTELLUNGSPROZESS 

12.08.2008 (Eggenburg): Treffen zur Themenabgrenzung, Ideenfindung, Grobstrukturierung des 

Lernpfads, Materialsuche, Erstellung des vorläufigen Pflichtenheftes 

21.08.2008 (Heidenreichstein): Treffen zur Abklärung der einzusetzenden Medien, Erstellung der 

endgültigen Lernpfadstruktur, Überblick über die Möglichkeiten verschiedener Technologien 

28.08.2008 (Horn): Besprechung des aktuellen Entwicklungsstandes, Abklärung verschiedener 

Ungereimtheiten in der Struktur und der Tiefe und Umfang des Lernpfads; Finalisierung des 

Pflichtenheftes 

20.09.2008 (Wien): Besprechung und Kontrolle des vorläufigen Endprodukts, Diskussion von 

Verbesserungsvorschlägen, Erstellung des didaktischen Konzepts 

September 2009 (via Email): Korrektur des Lernpfads und Einarbeitung der 

Verbesserungsvorschläge, Übermittlung des Pflichtenheftes 

09.10.2008 (Horn): Beginn der Einbindung ins Wiki 

11.10.2009 (Horn): Treffen zur Abklärung von Schwierigkeiten bei der Wiki-Einbindung 

Oktober 2009 (via Email, Skype): Fertigstellung der Wiki-Einbettung 

28.11.2008: Erstellung des Rechenschaftsberichts 

Abbildung10: Zusatzinformation für Lehrer/innen 



4.5.12. Mikrolernpfad: WIE LANGE DAUERN PROJEKTE? – DIE 

DREIECKSVERTEILUNG 

Lernpfad- Pflichtenblatt: 




WIE LANGE DAUERN PROJEKTE? – DIE 

DREIECKSVERTEILUNG (KONTINUIERLICHE 

WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN) 

12. / 13. SCHULSTUFE 


PETER HOFBAUER, HEIDI METZGER-SCHUHÄKER, GABI 

BLEIER 


Dieser Lernpfad bietet eine kurze Einführung in das Thema kontinuierliche Wahrscheinlichkeits- und 

Verteilungsfunktionen. Die Einführung soll in einem Beispiel erfolgen, bei dem versucht wird, die Dauer von 

Projekten vorherzusagen. 


Anhand der Dreiecksverteilung soll eine Einführung in kontinuierliche 

Wahrscheinlichkeitsverteilungen gegeben werden. 

Im ersten Schritt sollen die Schüler/innen möglichst selbständig ein Modell einer kontinuierlichen 

Wahrscheinlichkeitsfunktion entwickeln und wesentliche Eigenschaften dieser Funktionen erkennen. 

Dazu können verschiedene Technologien eingesetzt werden. Die Schüler/innen sollen möglichst 

intuitiv den Übergang von diskreten zu kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsmodellen vollziehen. 

Im zweiten Schritt sollen die Begriffe der kontinuierlichen Zufallsvariable, der 

Wahrscheinlichkeitsfunktion und deren Eigenschaften exakter formuliert und die Gemeinsamkeiten 

und Unterschiede zwischen diskreten und kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen 

erarbeitet werden. 

Neben dem Einsatz von Tabellenkalkulation, CAS oder GeoGebra sollen Verweise auf Internetseiten 

die Möglichkeit zur Vertiefung bieten. 




Unterrichtsfächer Mathematik bzw. Mathematik und angewandte Mathematik 


Technische 


Dynamische Geometrie Software (DGS), Computer Algebra Systeme (CAS), 

Tabellenkalkulationsprogramme, Internet 

Internetanbindung, oben angeführte Programme 



Autoren Peter Hofbauer, Heidi Metzger-Schuhäker, Gabi Bleier 


• Integrale als Übergang von diskreten zu kontinuierlichen Modellen verstehen 

• mit diskreten Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktionen arbeiten können 

• Schieberegler zur Parametervariation verwenden können 

• Funktionseigenschaften grafisch interpretieren können 

• grafische Darstellungen durch Terme formulieren können 



Modellbildung, Skizzieren 

Integralrechnung, 

Grenzübergänge 


Zentrales Anliegen des Lernpfades sind 

• Modellbilden 

• Argumentieren 

• Begründen 

• Reale Problemstellungen mithilfe mathematischer Modelle beschreiben und 

diese exaktifizieren 

• Skizzen und mathematische Vorgaben kombinieren und zu einem 

mathematischen Modell verbinden 

• die Integralrechnung im Bereich der Wahrscheinlichkeitsrechnung einsetzen 

• Fragestellungen aus dem Bereich der Wahrscheinlichkeit mathematisch 

formulieren 

• Möglichkeiten und Grenzen der kontinuierlichen Wahrscheinlichkeits- und 

Verteilungsfunktionen erkennen 

Das Ziel des Lernpfades ist die Entwicklung des Begriffs der Dichtefunktion einer kontinuierlichen 

Wahrscheinlichkeitsverteilung am Beispiel der Dreiecksverteilung. 

Die Schüler/innen sollen in die Lage versetzt werden, die Unterschiede und Gemeinsamkeiten zwischen 

diskreten und kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsmodellen zu erkennen und zu beschreiben sowie die 

passenden Modelle in anderen Aufgabensituationen anwenden zu können. 


Als Gruppenarbeit von 2 bis 3 Schüler/innen, die gemeinsam den Lernpfad bearbeiten und abschließend ihre 

Erkenntnisse in einem kurzen Handout zusammenfassen. 


Einsatz von CAS, DGS und Tabellenkalkulation – Einbindung der Programme in eine Textverarbeitung zur 

Erarbeitung des Handouts. 


• DGS, CAS oder Tabellenkalkulation – je nach Verfügbarkeit 

• Internet 


Anhand des Handouts bzw. durch Schüler/innenbeobachtung in der Gruppenphase. 





Experimentieren – systematisch Probieren – Exaktifizieren – Kontrollieren 

Die Möglichkeit, interaktiv (z.B. im GeoGebra-Applet) die für die Dreiecksverteilung wesentlichen Parameter 

zu manipulieren bietet eine ausgezeichnete Möglichkeit, die Entwicklung des kontinuierlichen 

Wahrscheinlichkeitsbegriffs experimentell zu erleben und eigene Vermutungen durch systematische 

Probieren zu überprüfen. 

Der Umstand, dass GeoGebra eigenständig algebraische Darstellungsformen von graphische Objekte 

bereitstellt, bietet die Chance, den vorerst intuitiven Zugang zur Dichtefunktion schrittweise zu exaktifizieren 

und letztendlich die Fläche unterhalb der Dichtefunktion mithilfe des Integrals als Wahrscheinlichkeit zu 

erkennen. 

Die Tatsache, dass zur allgemeinen exakten Beschreibung der Dreiecksfunktion stückweise definierte 

Funktionen Anwendung finden (müssen), lässt sich bei Betrachtung des Applets intuitiv erkennen, GeoGebra 

liefert sofort die dazu notwendigen formalen Beschreibungen der Funktionen und ermöglicht durch die 

Anzeige der wesentlichen Bedingungen für die Dichtefunktion auch gleich die Kontrolle der eigenen 

Berechnungen. 





Gruppenarbeit; Skizzen sollen unbedingt auf Papier freihändig gezeichnet werden; während des Erarbeitens 

sollen die Schüler/innen ihre Überlegungen schriftlich dokumentieren und abschließend in einem Handout 

zusammenfassen. 


Zur Bearbeitung des Lernpfads ist es notwendig, dass die Schüler/innen das Integral als Grenzübergang 

diskret – kontinuierlich begreifen können; zur Erarbeitung des Themas reichen grundsätzlich einfache 

geometrische Überlegungen (Dreieckskonstruktion, Strahlensatz) aus; ein Hinweis auf die Verwendung von 

stückweise definierten Funktionen kann bei der Bearbeitung des Themas hilfreich sein. 

Während der Arbeitsphase sollten die Gruppen individuell betreut werden, kurze Hilfestellungen in einzelnen 

Fällen sollten bei Bedarf gegeben werden. Der Lernpfad ist vom Schwierigkeitsgrad derart gestaltet, dass 

Abbildung10: Zusatzinformation für Lehrer/innen 



auch schwächere Schüler/innen mit allgemeinen Hilfestellungen das Auslangen finden sollten. Ein 

gemeinsames Erarbeiten der Inhalte erscheint nicht notwendig. 


Zur Bearbeitung des Lernpfads sind keine weiteren Materialien notwendig. 


12.08.2008 (Eggenburg): Treffen zur Themenabgrenzung, Ideenfindung, Grobstrukturierung des 

Lernpfads, Materialsuche, Erstellung des vorläufigen Pflichtenheftes 

21.08.2008 (Heidenreichstein): Treffen zur Abklärung der einzusetzenden Medien, Erstellung der 

endgültigen Lernpfadstruktur, Überblick über die Möglichkeiten verschiedener Technologien 

28.08.2008 (Horn): Besprechung des aktuellen Entwicklungsstandes, Abklärung verschiedener 

Ungereimtheiten in der Struktur und der Tiefe und Umfang des Lernpfads; Finalisierung des 

Pflichtenheftes 

20.09.2008 (Wien): Besprechung und Kontrolle des vorläufigen Endprodukts, Diskussion von 

Verbesserungsvorschlägen, Erstellung des didaktischen Konzepts 

September 2009 (via Email): Korrektur des Lernpfads und Einarbeitung der 

Verbesserungsvorschläge, Übermittlung des Pflichtenheftes 

10.10.2008 (Horn): Beginn der Einbindung ins Wiki 

11.10.2009 (Horn): Treffen zur Abklärung von Schwierigkeiten bei der Wiki-Einbindung 

Oktober 2009 (via Email, Skype): Fertigstellung der Wiki-Einbettung 

28.11.2008: Erstellung des Rechenschaftsberichts 



4.5.13. Schnittstellenlernpfad: 

SEKUNDARSTUFE2 / UNIVERSITÄT/HOCHSCHULE 

Lernpfad – Pflichtenblatt 



SCHNITTSTELLEN-LERNPFAD: LERNPFAD ZUR 

SCHNITTSTELLE SEKUNDARSTUFE 2 – UNIVERSITÄT 

http://wikis.zum.de/medienvielfalt/index.php/Sek2Uni 

12. SCHULSTUFE + WEITERFÜHRENDE AUSBILDUNG 

AUTOREN/INNEN: FRANZ EMBACHER, PETER HOFBAUER, 

MATTHIAS KITTEL, JOCHEN MAIERHOFER, WALTER 

WEGSCHEIDER 


Die Schnittstelle zwischen der Sekundarstufe und der Universität ist eine Zäsur für Schüler/innen, sowie für 

die Lehrer/innen an der Schule und der Universität. Um einen reibungslosen und frustrationsfreien Übergang 

zu gewährleisten, besteht die Notwendigkeit, Schülerinnen und Schüler mit jenen Methoden und 

Anforderungen zu konfrontieren, denen sie auf ihrem Weg zu Beginn des Studiums begegnen. 

Die Beispiele und Aufgaben sind so gewählt, dass sie Matura/Abiturniveau haben oder darüber hinausgehen, 

aber mit in der Schule gelernten Methoden lösbar sind. Besonders wichtig ist die exakte Formulierung von 

mathematischen Inhalten und die Verwendung der korrekten mathematischen Fachausdrücke, um das 

Verständnis von Universitätsinhalten zu vereinfachen. Aus diesem Grund wird besonderer Wert auf Aufgaben 

mit Exaktifizierung mathematischer Formulierungen und Verständnis für den mathematischen Hintergrund 

gelegt. 


Ziel des Lernpfads 

Der Lernpfad soll Schüler/innen sowohl bei der Vorbereitung auf die Matura/das Abitur helfen und 

gleichzeitig eine Einstimmung auf die weiterführende Ausbildung (z.B. an der Universität oder in 

einer Fachhochschule) darstellen. Er kann im Rahmen des Mathematikunterrichts durchgeführt 

werden oder auch von Gruppen von Studierenden, die gemeinsam lernen, bearbeitet werden. 

Er soll die Ausbildung folgender Kompetenzen unterstützen: 

• Das gemeinsame Arbeiten mit mathematischen Inhalten und Fragestellungen, 

• das Einbeziehen von Elementen der Arbeitsteilung, 

• das Sprechen über Mathematik, das Diskutieren von Ergebnissen, 

• die Fähigkeit, mathematische Sachverhalte einigermaßen genau zu formulieren, 

• die Kenntnis verschiedener Darstellungsformen von funktionalen Abhängigkeiten, 

• die Fähigkeit, mehrere Darstellungsformen gleichzeitig benutzen zu können, um die 

Eigenschaften einer funktionalen Abhängigkeit herauszuarbeiten sowie 

• die Fähigkeit, allgemeine Zusammenhänge und Methoden aus dem Bereich der funktionalen 

Abhängigkeiten und dem Operieren mit Funktionen zu formulieren 



• die Fähigkeit, funktionale Abhängigkeiten höherer Stufen (z.B. die Anhängigkeit eines 

Funktionsverlaufs von einem Parameter oder die Zuordnung Funktion Ableitung der 

Funktion) zu erkennen und mit ihnen in gewissem Ausmaß operieren zu können. 

Struktur des Lernpfads 

Der Lernpfad stellt zwei Aufgabenpools bereit, die zwei unterschiedlichen Arbeitsmethoden 

entsprechen: 

• Aufgabenpool 1 ist charakterisiert durch eine Phase der Aufgabenteilung und eine 

anschließende Phase der Zusammenführung und Diskussion der Ergebnisse, gegebenenfalls 

der Korrektur. Die Gruppengröße ist jeweils bei der Aufgabenstellung angegeben. 

• Aufgabenpool 2 dient der kooperativen Erstellung kurzer Texte und Visualisierungen zu 

mathematischen Themen in Gruppen. Die Gruppengröße kann den Gegebenheiten flexibel 

angepasst werden, sollte aber nicht mehr als 4 betragen. 

Diese beiden Aufgabenpools können in unterschiedlicher Weise eingesetzt werden. 

Einsatzformen in der Schule 

Die folgenden Einsatzformen sind Vorschläge, die natürlich entsprechend der vorhandenen 

Gegebenheiten und zeitlichen Ressourcen abgeändert werden können. Im vollen Szenario umfasst 

der Lernpfad 4 bis 5 Unterrichtseinheiten: 

• Unterrichtseinheit: Gruppen von SchülerInnen bekommen/wählen je eine Aufgabe aus dem 

Aufgabenpool 1. Die Zeiteinteilung wird (beispielsweise) wie folgt festgelegt: 

o 5 Minuten Lesen des Aufgabentextes 

o 15 Minuten getrenntes Arbeiten 

o 30 Minuten gemeinsames Arbeiten 

• 2. Unterrichtseinheit: Gruppen von Schüler/innen bekommen/wählen je eine Aufgabe aus 

dem Aufgabenpool 2 und bearbeiten sie. 


dem Aufgabenpool 1 und arbeiten wie in der 1. Unterrichtseinheit. 



Die Gruppenzusammensetzung muss nicht in jeder Unterrichtseinheit die gleiche sein. 

• Gegebenenfalls können in einer 5. Unterrichtseinheit die Ergebnisse der (oder einiger) 

Aufgaben kommuniziert werden (z.B. durch Diskussion in neu zusammengestellten Gruppen 

oder durch Kurzreferate der Schüler/innen vor der Klasse). 

Ob die Schüler/innen-Gruppen die Aufgaben selbst wählen oder (etwa entsprechend sinnvoller 

Schwerpunkte bei der Vorbereitung auf Matura/Abitur) zugewiesen bekommen, entscheidet die 

Lehrkraft. Besonders wichtig ist es, die Form der schriftlichen Dokumentation mit den Schüler/innen 

zu vereinbaren. Die einfachste Möglichkeit wird die Abgabe eines von der jeweiligen Gruppe 

(handschriftlich oder elektronisch) verfassten Textes und allfälliger Zusatzmaterialien (wie 

Ausdrucke, CAS-Dateien,...) am Ende der Unterrichtseinheit sein. Die Aufgaben sind so gestellt, 

dass zusätzliche Arbeit zu Hause nicht unbedingt notwendig ist. 

Einsatzformen im Studium 



Im Rahmen des gemeinsamen Lernens können Studierende die für sie relevanten Aufgaben 

entsprechend der angegebenen Aufgabenstellungen durcharbeiten. Die oben für den Unterricht in der 

Schule beschriebenen Arbeitsformen können - so gut es geht - an die jeweilige Situation (Zahl der 

Mitwirkenden und zur Verfügung stehende Zeit) angepasst werden. 

Lehrende in weiterführenden Bildungsinstitutionen (wie Universitäten und Fachhochschulen) 

werden gebeten, ihre Studierenden auf diese Möglichkeit hinzuweisen, ihnen beim Auswählen der 

Aufgaben zu helfen und - sofern möglich - Feedback zu den schriftlichen Ausarbeitungen geben. 


Schulstufe 12. Schulstufe/weiterführende Ausbildung 

Dauer 4 – 5 Stunden 



Technische 


Autoren 

weitgehend freie Wahl der Werkzeuge (CAS, Tabellenkalkulation, DGS, 

Funktionsplotter,...) 

je nach Wahl der Werkzeuge 

Franz Embacher, Peter Hofbauer, Matthias Kittel, Jochen Maierhofer, Walter 

Wegscheider 


Als Voraussetzungen gelten alle im Unterricht der Schule erarbeiteten Inhalte, da es sich um Aufgaben 

handelt, die zur Matura/Abiturvorbereitung beziehungsweise als Grundlage für ein weiterführendes Studium 

dienen. Im Speziellen sind theoretische und praktische Grundlagen der Differential- und Integralrechung 

Voraussetzung, darüber hinaus das Wissen über die Eigenschaften von Kurven und über das Auffinden 

derselben. 



Differenzialrechnung 

Integralrechnung 

Differenzen- und 

Differntialgleichung 

Verschiedenes 

Bilden der Ableitung von unterschiedlicher Funktionen (Polynomf., gebrochen 

rationale F., Winkelf., Exponentialf., Logarithmusf. und Wurzelfunktionen) sowie 

Erkennen der Eigenschaften derselben, Erkennen können von Texten mit 

fehlerhaften Inhalten und deren Richtigstellung mittels korrekter mathematischer 

Fachsprache, Berechnen der charakteristischen Eigenschaften (Nullstellen, Extrema, 

etc.) von Funktionen und Wissen über den theoretischen Hintergrund 

Unterschiedliche Arten der Integration durchführen können, Kennen lernen des 

bestimmten und unbestimmten Integrals und wissen über die zwei Arten der 

Interpretation (Umkehrung der Differentation, Flächeninhalt der Fläche unter der 

Kurve), Erkennen können von Texten mit fehlerhaften Inhalten und deren 

Richtigstellung mittels korrekter mathematischer Fachsprache, Festigen der 

Rechenfähigkeiten an Hand unterschiedlicher Integralen 

Wissen über das unterschiedliche Verhalten der beiden Arten von Gleichungen, 

Kennen lernen der Abhängigkeiten von Parametern (logistische Gleichung) 

Erkennen der notwendigen Lerninhalte, um ein gestelltes Problem lösen zu können, 

selbständiges Erarbeiten von Lösungswegen und Anwendung aller gelernten 

Fähigkeiten während des Problemlösungsprozesses. 




Der Lernpfad soll Schüler/innen sowohl bei der Vorbereitung auf die Matura/das Abitur helfen und 

gleichzeitig eine Einstimmung auf die weiterführende Ausbildung (z.B. an der Universität oder in 

einer Fachhochschule) darstellen. Er soll die Ausbildung folgender Kompetenzen unterstützen: 

• Das gemeinsame Arbeiten mit mathematischen Inhalten und Fragestellungen, 

• das Einbeziehen von Elementen der Arbeitsteilung, 

• das Sprechen über Mathematik, das Diskutieren von Ergebnissen, 

• die Fähigkeit, mathematische Sachverhalte einigermaßen genau zu formulieren, 

• die Kenntnis verschiedener Darstellungsformen funktionaler Abhängigkeiten, 

• die Fähigkeit, mehrere Darstellungsformen gleichzeitig benutzen zu können, um die 

Eigenschaften einer funktionalen Abhängigkeit herauszuarbeiten sowie 

• die Fähigkeit, allgemeine Zusammenhänge und Methoden aus dem Bereich der funktionalen 

Abhängigkeiten und dem Operieren mit Funktionen zu formulieren 

• die Fähigkeit, funktionale Abhängigkeiten höherer Stufen (z.B. die Anhängigkeit eines 

Funktionsverlaufs von einem Parameter oder die Zuordnung Funktion Ableitung der 

Funktion) zu erkennen und mit ihnen in gewissem Ausmaß operieren zu können. 


Die folgenden Einsatzformen sind Vorschläge, die natürlich entsprechend der vorhandenen 

Gegebenheiten und zeitlichen Ressourcen abgeändert werden können. Im vollen Szenario umfasst 

der Lernpfad 4 bis 5 Unterrichtseinheiten: 

• Unterrichtseinheit: Gruppen von Schüler/innen bekommen/wählen je eine Aufgabe aus dem 

Aufgabenpool 1. Die Zeiteinteilung wird (beispielsweise) wie folgt festgelegt: 

o 5 Minuten Lesen des Aufgabentextes 

o 15 Minuten getrenntes Arbeiten 

o 30 Minuten gemeinsames Arbeiten 


dem Aufgabenpool 2 und bearbeiten sie. 





Die Gruppenzusammensetzung muss nicht in jeder Unterrichtseinheit die gleiche sein. 

• Gegebenenfalls können in einer 5. Unterrichtseinheit die Ergebnisse der (oder einiger) 

Aufgaben kommuniziert werden (z.B. durch Diskussion in neu zusammengestellten Gruppen 

oder durch Kurzreferate der Schüler/innen vor der Klasse). 


Alle Angaben, sowie ein Teil der Lösungen sind in elektronischer Form vorhanden, die Beispiele verbinden 

die Nutzung von CAS, Tabellenkalkulation und elektronischer Textverarbeitung mit dem traditionellen 

Arbeiten auf Papier. Das Erarbeiten der numerischen Lösungen sollte auf Papier erfolgen. 



Besonders wichtig ist es, die Form der schriftlichen Dokumentation mit den Schüler/innen zu vereinbaren. 

Die einfachste Möglichkeit wird die Abgabe eines von der jeweiligen Gruppe (handschriftlich oder 

elektronisch) verfassten Textes und allfälliger Zusatzmaterialien (wie Ausdrucke, CAS-Dateien, 

Tabellenkalkulation...) am Ende der Unterrichtseinheit sein. Die Aufgaben sind so gestellt, dass zusätzliche 

Arbeit zu Hause nicht unbedingt notwendig ist. Die Aufgaben und Unterlagen sind so gestaltet, dass auch ein 

selbständiges Erarbeiten im Rahmen der Matura/Abiturvorbereitung ohne Lehrerunterstützung möglich ist. 


Wiki, ausgedruckte Arbeitsblätter und Lösungen, Tabellenkalkulation, Taschenrechner oder CAS, Papier, 

Stift 


Die von den Schüler/innen erstellten Mitschriften können überprüft werden, falls diese nicht zu den zur 

Verfügung gestellten Lösungen gelangen. Da dieser Lernpfad zur Vorbereitung der Matura/des Abiturs dient, 

ist eine klassische Leistungsbeurteilung unserer Meinung nicht Ziel führend und unnötig, da die Schüler/innen 

höchst motiviert auf die Abschlussprüfung hinarbeiten. 




Mit Hilfe der Tabellenkalkulation zur logistischen Gleichung (hier: Ein-Lebewesen-Modell nach Verhulst) 

lassen sich dynamisch die Auswirkungen der Veränderung eines Parameters an Hand eines Diagramms und 

der ausgegebenen Daten in einer Tabelle ablesen. Das Variieren der Parameter führt zu einer Reihe 

unterschiedlichster Ergebnisse, die sich auf eine Kombination dieser Parameter zurückführen lassen und so 

eine eindeutige Abhängigkeit von einem Wert (Chaosparameter) entsteht. Der Zusammenhang zwischen 

diesem Wert und dem Graphen der programmierten Differenzengleichung soll erforscht und in geeigneter 

Weise dokumentiert werden. Dies erfolgt laut Arbeitsauftrag in der Erstellung eines Protokolls, in dem die 

Werte und entsprechende Graphen eingebaut werden sollen. An Hand dieser Dokumentation sollen 

Wertebereiche des Chaosparameters bestimmt werden, in denen sich die Differenzengleichungen 

unterschiedlich verhalten. Darüber hinaus sollen die Schüler/innen erfahren, dass bei einer bestimmten Wahl 

der Parameter – kleine Änderungen an weit hinter dem Komma liegenden Stellen zu sehr großen Änderungen 

in den berechneten Daten und in dem Diagramm führen. 

Wiederholen und Festigen des Vorwissens 

Da sich dieser Lernpfad an Schüler/innen wendet, die vor der Matura/ dem Abitur stehen, liegt auf dem 

Wiederholen und Festigen des Vorwissens und des mathematischen Verständnis ein Hauptaugenmerk. 

Bei der Aufgabenstellung Integration ist die Umkehroperation der Differentation wird das Vorwissen benutzt, 

um Funktionen abzuleiten und zu integrieren. Es sind acht Funktionen in zwei Viergruppen gegeben. 

Differentiert man die Funktionen der ersten Gruppe ergeben sich diejenigen der zweiten. Werden jene der 

zweiten Gruppe integriert, sind die Funktionen der ersten die richtigen Ergebnisse (bis auf eine Konstante). 

Die Schüler/innen sind so in der Lage ihre Ergebnisse gegenseitig zu überprüfen 



Durch das Integrieren/Differenzieren wird die Rechenfertigkeit gestärkt und das Wissen über die zu 

verwendenden Rechenoperationen gefestigt. Das Wissen über das Zusammenhängen der Integral- und 

Differentialrechnung über den Begriff Umkehroperation wird während der Selbstkontrolle intensiviert 

beziehungsweise aufgefrischt. 

Kritisches Betrachten, Erkennen und Korrigieren von Fehlern 

An Hand vorgegebener Texten (Integralrechung, Kurvendiskussion, …) sollen Schüler/innen vorgegebene 

Fehler erkennen, diese korrigieren und in einem Partnergespräch durch Erläuterungen und unter Verwendung 

von mathematischer Fachsprache präsentieren. Das Erkennen und die Aufbereitung der Fehler bedingen 

mathematisches Fachwissen und das Verständnis für die oben genannten Bereiche der Mathematik. Durch das 

Korrigieren werden die Schüler/innen veranlasst, mathematisch exakt zu denken und vor allem mathematisch 

präzise zu formulieren und sich in einer für die Mathematik geeigneten Sprache auszudrücken. 





Die Arbeitsanhaltungen und dazugehörige notwendige Informationen finden sich als Wiki-Lernpfad unter 

http://wikis.zum.de/medienvielfalt in der Rubrik Sek2/Uni in zwei Aufgabenpools inklusive didaktischem 

Kommentar. Die Aufgaben sind in zwei Pools Dort sind Arbeitsblätter zum Herunterladen und eventuell 

Ausdrucke zur Verfügung gestellt. Weiterführende Links zu Seiten mit interaktiven Elementen sind ebenfalls 

angegeben und selbsterklärend. 

Die Lösungen der Rechnungen sind großteils ebenfalls herunterladbar. Auf Grund der Motivation der 

Schüler/innen im Hinblick auf die Matura/das Abitur sehen wir keine Problematik in der 

Zurverfügungstellung der Lösungen, die sonst möglicherweise einfach abgeschrieben werden. Die Ergebnisse 

können so leicht auf ihre Richtigkeit überprüft werden. 


Die vorgestellten Beispiel sind mit dem Vorwissen selbsterklärend und bedürfen nur einer kleinen 

Einführungsphase, falls Fachausdrücke oder der physikalische Zusammenhang erklärungsbedürftig sind. 

Zu jedem Beispiel sind die Aufgaben im Wiki formuliert, die auf Arbeitsblättern oder als kleine Projektarbeit 

dokumentiert werden können. Zur Bearbeitung der Tabellenkalkulationen ist ein Rechner pro Schüler 

Voraussetzung. 


Im Frühjahr 2008 wurde mit der Planung begonnen und im Juni 2008 begann die Arbeitsgruppe mit der 

Umsetzung. Am Donnerstag, den 11 09 08 wurde im Cafe Votiv ein Planungstreffen veranstaltet, in dem die 

Ziele und die Vorgehensweise genau besprochen und beschlossen wurden. Neben einer Einteilung der zu 

erarbeitenden Lerninhalte wurden die fachdidaktische Grundlinie und die Art der Lernobjekte diskutiert. 

Zwischen weiteren zwei Treffen in Hollabrunn (Freitag, 26 09 08 und Freitag 31 10 08) und Amstetten 

(Freitag 17 10 08 und Freitag 14 11 08) ist im Mailverkehr und über das Wiki 

http://wikis.zum.de/medienvielfalt kommuniziert worden, indem Ergänzungen, Hinweise und Aufforderungen 

angesprochen wurden. 



4.5. LINKDATENBANK 

Bei den erstellten Lernpfaden zum Längsschnitt „Funktionale Abhängigkeit“ wurden nur einzelne Aspekte 

beachtet. Weitere Inhalte und Unterrichtsvorschläge, sowie Materialien wurden von der Pentagrammgruppe in 

Zusammenarbeit mit deutschen und österreichischen Lehrer/innen aufbereitet. Diese Aufbereitung wird für 

alle mathematischen Themenkreise angeboten, jedoch auch speziell für den Längsschnitt „Funktionale 

Abhängigkeit. 

Wie kann das Internet sinnvoll in den Unterricht integriert werden? 

Auf der Seite www.mathematik-digital.de findet sich eine Zusammenstellung empfehlenswerter 

Internetseiten für den Mathematikunterricht nach Klassenstufen und Lehrplanthemen sortiert. Diese 

bilden die Grundlage für individuell zusammengestellte interaktive Unterrichtseinheiten, die im 

ZUM-Wiki unter Mathematik-digital (wiki.zum.de/mathematik-digital) zu finden sind. 

Wie kann man sich beteiligen? 

• Jeder kann ohne Anmeldung interessante Links in die Linkdatenbank eintragen. 

• Jeder kann die im ZUM-Wiki bereits vorhandenen Wiki-Lernpfade ( Lernpfade) nutzen. 

• Jeder kann im ZUM-Wiki eigenständig schnell und unkompliziert interaktive 

Unterrichtseinheitenzusammenstellen oder vorhandene verändern. 

Siehe Anhang von Maria Erich: a7_Anleitung_Linkdatenbank_gym.pdf 



4.5. IMPULSE ZUR UMSETZUNG IM UNTERRICHT 

Vorschlag für das Konzept zum Einsatz von Lernplattformen und Social Software im Mathematikunterricht 

(Klaus Himpsl) 

AUSGANGSLAGE 

Während der Laufzeit des Projekts Medienvielfalt im Mathematikunterricht vollzog sich durch die Installation 

von Lernplattformen an zahlreichen Schulen eine bedeutende technologische Neuerung. Auf 

Weiterbildungsveranstaltungen kam das Bedürfnis vieler Kolleginnen und Kollegen nach methodischdidaktischen 

Konzepten im Umgang mit Lernplattformen klar zum Ausdruck. Das Thema wurde vom 

Medienvielfaltsprojekt aufgegriffen, stellte aber einen untergeordneten Aspekt dar. Eine eingehendere 

Bearbeitung erscheint besonders wichtig, um die für den Mathematikunterricht spezifischen Erfordernisse zu 

untersuchen und in praktischen Beispielen aufzuzeigen. 

In der aktuellen E-Learning-Fachliteratur (vgl. Reinmann 2005) sind verschiedene Trends zu beobachten, die 

kurz zusammengefasst eine Verschiebung des Augenmerks weg vom „Content“ hin zum „Context“ zur Folge 

haben, d.h.: vor etwa zehn Jahren stand im Zusammenhang mit dem Aufkommen der ersten webbasierten 

Lernplattformen (LMS/LCMS) die Frage im Vordergrund, wie hochwertiges, didaktisch aufbereitetes 

Lernmaterial produziert, ausgetauscht und den Lernenden zugänglich gemacht werden kann. Die Aktivität der 

Lernenden beschränkte sich oft auf das Durcharbeiten der Materialien, Lösen von einzelnen Aufgaben und 

Absolvieren von interaktiven Übungen. Aus der Perspektive einer eher konstruktivistisch motivierten 

Unterrichtsphilosophie wurde dabei stets kritisiert, dass bei diesen Lernformen – vor allem für den Erwerb 

von Handlungskompetenzen – der sinnstiftende Kontext und das soziale Lernen in der Gruppe zu wenig 

berücksichtigt werde. Für nachhaltige Lernerfolge bedürfe es relativ komplexer, möglichst realer 

Aufgabenstellungen, die eine aktive Auseinandersetzung mit den dargebotenen Inhalten im Austausch mit 

anderen aus der Lerngruppe einfordern und die Lernenden dazu anhalten, das neu Gelernte nicht nur 

anzuwenden, sondern auch zu analysieren, zu bewerten und selbst neue Inhalte zu generieren. 

Damit gehen neueste Entwicklungen von so genannten Web2.0-Applikationen einher, die einen Wandel in der 

Nutzung des Internets hervorrufen (vgl. Baumgartner&Himpsl 2008). Stand noch vor wenigen Jahren das 

„Sich zurechtfinden“ in der Fülle der dargebotenen Informationen im WWW im Vordergrund, so laden nun 

mehr und mehr Dienste zur aktiven Teilnahme am Netz ein. Dabei reicht die Palette von praktischen, leicht 

bedienbaren Tools (wie. z.B. Online-Terminkalender oder Online-Mindmapping-Software) über diverse 

Wiki-Plattformen, die zur Kollaboration einladen, bis hin zu Social Software-Anwendungen (z.B. Facebook, 

MySpace). Diese Plattformen binden die User/innen an sich und stellen den Kontakt zu Gleichgesinnten her. 

Diese Web2.0-Anwendungen bilden die optimale Ergänzung zu den traditionellen Lernplattformen und 

schließen in idealer Weise die Lücke hinsichtlich einer Kompetenzentwicklung, wie sie oben kurz skizziert 

wurde (vgl. Erpenbeck&Sauter 2007). Daneben sehen immer mehr Autoren/Autorinnen eine wichtige 

Aufgabe der Lehrenden darin, die Lernenden bei der Gestaltung einer „Personal Learning Environment 

(PLE)“ zu unterstützen (vgl. Attwell 2007). In der Form des elektronischen Portfolios werden diese neuesten 

technologischen Entwicklungen mit traditionellen reformpädagogischen Ansätzen verknüpft (vgl. Himpsl 

2008). 

Bei der Entwicklung der Lernpfade im Rahmen des Projekts Medienvielfalt im Mathematikunterricht wurden 

beide Aspekte – Content und Context – bereits berücksichtigt. So wurden neben dem Lernpfad selbst 

didaktische Kommentare verfasst, die den Lehrenden die Möglichkeit geben sollten, die entwickelten 

Materialien in verschiedenen Szenarien einzusetzen. Dabei hat sich in der Evaluation und in zahlreichen 

Fortbildungsveranstaltungen gezeigt, dass die Lehrer/innen hinsichtlich künftiger Lernpfade vor allem 

zweierlei wünschen: 

eine einfache Möglichkeit, die Lernpfade den eigenen Bedürfnissen anzupassen 

nicht nur kurze didaktische Kommentare, sondern umfangreichere, erprobte Konzepte zur Einbettung der 

Lernpfade in einen methodisch abwechslungsreichen, mediengestützten Unterricht 



Geplant ist deshalb die Entwicklung und Evaluation von Konzepten und Lernmaterialien hinsichtlich des 

Einsatzes von Lernplattformen, Wiki, Social Software und E-Portfolios sowie die Untersuchung 

der notwendigen methodisch-didaktischen Veränderungen im Unterricht und beim Lernen zu Hause, 

der notwendigen Veränderungen der Lehrer/innenrolle, 

des Arbeitsaufwands und der benötigten Kompetenzen von Lehrer/innen und Schüler/innen, 

sinnvoller begleitender Werkzeuge (z.B. webbasierte Formelerstellung) und 

des Einflusses auf den Lernzuwachs. 

KONZEPTION 

Aufgrund der jüngsten Entwicklungen ist der Software-Markt von Produkten, die für Bildungszwecke 

eingesetzt werden können, schier unüberschaubar geworden. Folgende Grafik gibt einen Überblick über 

Softwarearchitekturen, die im Bildungskontext relevant sind: 

Abbildung 1: Softwarearchitekturen im Bildungskontext (Himpsl, adaptiert nach Erpenbeck/Sauter) 

Wie stellt sich die Situation an Schulen dar? 

Relativ weit verbreitet sind bereits traditionelle Lernplattformen, Moodle ist hier sicherlich der prominenteste 

Vertreter. 

Eine steigende Zahl von Schülern/Schülerinnen besitzt ein Notebook und nutzt dieses mehr oder weniger für 

Lernprozesse, teilweise unter Anleitung in von der Schule organisierten Laptopklassen. Für den 

Mathematikunterricht kommen hier verschiedene Technologien zum Einsatz, wie z.B. CAS, DGS oder 

Tabellenkalkulationsprogramme. 

Immer mehr Jugendliche nutzen privat und für die Schule diverse Web2.0-Dienste, dazu gehören soziale 

Netzwerke wie MySpace, Wikipedia als Online-Lexikon, praktische Tools wie z.B. Google Maps, aber auch 

Programme wie z.B. Geogebra. Bei einzelnen Lehrkräften werden zudem solche Plattformen in den 

Unterricht integriert. 

Was bedeutet dies nun für die Weiterentwicklung der Lernpfade? Im Projekt Medienvielfalt im 

Mathematikunterricht waren diese so konzipiert, dass 

eine individuelle Anpassung des Lernpfades selbst nur schwer möglich war, 

methodisch versierte Lehrkräfte mit Hilfe des didaktischen Kommentars unterschiedliche Einsatzszenarien 

umsetzen konnten, 

viele Lehrer/innen aber den Wunsch äußerten, mehr Anleitung und Unterstützung für eine didaktisch 

sinnvolle Einbettung und Verwendung entsprechender Werkzeuge und Methoden zu erhalten. 



Um diesen Wünschen Rechnung zu tragen, werden zu einzelnen Lernpfaden didaktische Anleitungen 

ausgearbeitet, die mit einer oder mehreren der folgenden Werkzeuge/Methoden arbeiten: 

einzelne Web2.0-Applikationen wie Podcasts, Screencasts, Online-Mindmapping, etc. 

Wiki als Kollaborationsplattform für Teamarbeiten 

E-Portfolio als individueller Begleiter durch den Lernpfad 

1. Einsatz einzelner Web2.0-Applikationen 

Es werden zu einzelnen Stationen aus verschiedenen Lernpfaden Beispiele ausgearbeitet, wie diverse 

Web2.0-Applikationen sinnvoll eingesetzt werden können. „Sinnvoll“ meint hier, dass die Schüler/innen zum 

einen gewisse Methodenkompetenzen erwerben sollen, die unabhängig vom Mathematikunterricht von 

Bedeutung sind (z.B. Online-Mindmapping), dass aber zum anderen die Tools so ausgewählt werden, dass sie 

für ein tieferes Verständnis der mathematischen Sachverhalte beitragen. So können z.B. von 

Schülern/Schülerinnen erstellte Podcasts oder Screencasts das Verständnis erhöhen, weil die Schüler/innen 

angeregt werden, über Mathematik zu sprechen. Hier können die modernen Technologien durchaus mit 

Ansätzen wie dem Dialogischen Lernen verbunden werden, die die Bedeutung von Sprache für das Verstehen 

von Mathematik hervorheben (vgl. Ruf&Gallin 1998). 

Folgende Fragen werden untersucht: 

Welche Tools eignen sich besonders zur Förderung methodischer Grundfertigkeiten? Wie können sie bei den 

einzelnen Lernpfaden eingesetzt werden? 

Welche Tools eignen sich besonders für den Einsatz im Mathematikunterricht? An welchen Stellen in den 

Lernpfaden bietet sich ein Einsatz an? 

Welche Tools eignen sich besonders, um Sprechanlässe über Mathematik zu schaffen? An welchen Stellen in 

den Lernpfaden bietet sich ein Einsatz an? 

Wie werden die Schüler/innen zur Verwendung dieser Tools angeleitet? Welche Tools sind für welche 

Altersstufe gut geeignet? Wie sieht die Lehrer/innenrolle aus? Wie sieht die Einbettung in den Unterricht aus? 

Welche Fertigkeiten bzw. Kompetenzen sind als Voraussetzung notwendig bzw. welche werden dadurch 

speziell gefördert? 

2. Einsatz von Wiki-Systemen 

Beim Einsatz von Wiki-Plattformen sind zwei Hauptziele zu unterscheiden: 

Wiki für Lehrer/innen 

Wiki für Schüler/innen 

ad 1): Auf http://wiki.zum.de/Mathematik-digital wird ein Media-Wiki-System verwendet, um leicht 

anpassbare Lernpfade erstellen zu können. Dieses Wiki soll Lehrern und Lehrerinnen die Möglichkeit bieten, 

zum einen bereits vorhandene Lernpfade schnell zu finden und einzusetzen, zum anderen leicht individuelle 

Anpassungen vornehmen zu können. 

(vgl. Kapitel 2 - 2.6.2 Pentagrammgruppe, Kapitel 3 - 3.3.3. Lernpfaderstellung im ZUM-Wiki sowie 

Kapitel 4 - 4.5. Linkdatenbank) 

ad 2): Es bietet sich an, die gleiche Wiki-Software (Media-Wiki) für Lehrer/innen und Schüler/innen 

einzusetzen. Allerdings stellt sich die Frage, ob es sinnvoll ist, sämtliche am Projekt beteiligten Schüler/innen 

auf EINER Wiki-Plattform arbeiten zu lassen. 

Grundsätzlich gibt es folgende Möglichkeiten: 

Alle am Projekt Beteiligten arbeiten auf dem ZUM-Wiki 

Nur die Lehrer/innen arbeiten auf dem ZUM-Wiki, für die Schüler/innen innerhalb des Projektes wird EINE 

GEMEINSAME Wiki-Plattform eingerichtet 

Für am Projekt beteiligte Schulklassen werden EIGENE, SEPARATE Wikis eingerichtet, die wahlweise 

öffentlich oder geschlossen betrieben werden können. 



Unabhängig von der gewählten Variante stellen sich für das Projektteam folgende Aufgaben: 

Überarbeitung und Ergänzung der Anleitungen und Tutorials von Mathematik digital für Lehrer/innen 

Schaffung der Infrastruktur und Organisation für Wikis, die von Schulklassen genutzt werden können, 

Entwicklung von Anleitungen für Schüler/innen 

Exemplarische Ausarbeitung von Wiki-Einsatzbeispielen zu einzelnen Lernpfaden 

Der Einsatz von Wiki bietet sich insbesondere dann an, wenn Aufgabenstellungen zur Kollaboration in der 

Gruppe im Lernpfad enthalten sind. Bestehende Lernpfade könnten auf solche Aufgaben hin untersucht 

werden, bei der Neukonzeption von Lernpfaden können sie besonders berücksichtigt werden. 

Eine Übersicht verschiedener Einsatzzwecke von Wiki im Unterricht und deren lerntheoretische 

Einordnung findet sich bei Himpsl (2007). Dabei wurde das Modell von Baumgartner und Kalz 

(2004) herangezogen, die aus den drei klassischen Theorien Behaviourismus, Kognitivismus und 

Konstruktivismus drei Modelle entwickelten, die sie Lehren I/II/III nannten. Folgende Grafik stellt 

die drei Modelle kurz gegenüber: 

Abbildung 2: Die Lehr-/Lernmodelle nach Baumgartner und Kalz (2004) 

Der Haupteinsatzzweck eines Wikis ist das kollaborative Schreiben, das eindeutig einer 

konstruktivistischen Unterrichtsphilosophie und damit auch dem Modell "Lehren III" von 

Baumgartner und Kalz zuzuordnen ist. In vielen Fällen ist diese prototypische Verwendung des 

Modells in einer sehr starken Ausprägung anzutreffen. Ebenso gibt es aber Beispiele, die sich auf 

das Modell "Lehren I" oder "Lehren II" beziehen oder phasenweise Elemente aus allen drei 

Modellen enthalten. Die folgende Tabelle gibt einen Überblick über die erprobten Einsatzzwecke 

von MediaWiki und die Einordnung in die Lehrmodelle I, II, III: 



Abbildung 3: Einordnung verschiedener Wiki-Einsatzzwecke in die Lehr-/Lernmodelle nach Baumgartner und 

Kalz (Himpsl 2007) 

Insbesondere zu den Punkten „Linksammlung“, „Brainstorming“, „Handouts für Referate“ sowie 

„Ergebnissammlung zu Webquests“ lassen sich zahlreiche Anknüpfungspunkte zu den Lernpfaden herstellen 

und entsprechende Handlungsanleitungen für Lehrer/innen ausarbeiten. 

(Hier lässt sich hinsichtlich Vorteile/Wiki-Philosophie/Soziale Kompetenzen etc. beliebig ausbauen, was 

entweder aus meiner Masterthesis übernommen werden kann oder von den Bayern aus deren eigenen Quellen 

ergänzt werden kann) 

3. Die E-Portfolio-Software Mahara 

Innerhalb des EU-Rahmenprogrammes für "Lebenslanges Lernen" hat sich die Initiative "E-Portfolio for all" 

zum Ziel gesetzt, allen EU-Bürgerinnen und Bürgern bis zum Jahr 2010 die Möglichkeit zu bieten, ein 

digitales Portfolio, in erster Linie zu Bewerbungszwecken, anlegen zu können. Der zunächst sehr 

pragmatische Ansatz hat das Portfolio als Unterrichtsmethode, die im angloamerikanischen Raum weit 

verbreitet und erfolgreich ist, auch bei uns wieder in das Gedächtnis gerufen und verbindet langbewährte 

reformpädagogische Gedanken sinnvoll mit dem Einsatz Neuer Medien in der Schule. 

Das Portfolio bietet die Perspektive, als Reforminstrument für Schule hinsichtlich einer Verbesserung der 

Lernkultur und der Leistungsbeurteilungskultur zu fungieren (vgl. Brunner/Häcker/Winter 2006). In 

Ergänzung zu punktuellen Prüfungen in Form von Tests oder Schularbeiten stellen die Schüler/innen im 

Portfolio ihre Leistungsfähigkeit unter „realeren“ Bedingungen unter Beweis, indem sie begleitend zum 

Unterricht ihre besten Arbeiten sammeln, Spuren des Lernprozesses dokumentieren und das eigene Lernen 

zunehmend reflektieren und selbst steuern. Partizipation bei der Erarbeitung der Beurteilungskriterien für das 

Portfolio, Kommunikation über die Lernergebnisse in Form von Feedback durch Peers und Lehrende sowie 

Tranzparenz hinsichtlich der erwartbaren Leistungen sind nach Häcker wichtige Säulen von Portfolioarbeit, 

die einen Weg eröffnet von der Leistungsfeststellung zur Leistungsdarstellung, von der Defizitorientierung 

zur Kompetenzorientierung. 

In der elektronischen Variante bleiben die Portfolioprozesse gegenüber der reformpädagogischen Tradition 

unverändert, es kommen aber Vorteile in zweierlei Hinsicht hinzu: 

Die Vorteile von Hypertext: elektronische Portfolios ersetzen durch Hyperlinks zwischen den Lernzielen, den 

Lernergebnissen, den Bewertungskriterien und Feedbacks das mühsame Blättern in Mappen. Die Portfolios 



können leichter überarbeitet werden, das Erzeugen unterschiedlicher Ansichten für verschiedenen 

Zielgruppen ist leicht möglich, und eine orts- und zeitunabhängige Feedbackmöglichkeit über das Internet 

erleichtert die Kommunikation. 

Die Förderung einer Media Literacy: die neuen Formen der Partizipation im Netz stellen zusätzliche 

Herausforderungen für die Jugendlichen dar, so dass der Begriff „Literalität“ nicht mehr nur als „Lesen, 

schreiben, rechnen lernen“ gesehen werden kann. Neben Fähigkeiten, wie am besten mit der Fülle an frei im 

Netz verfügbaren Informationen und deren Bewertung umgegangen werden kann, werden Fragen des 

sensiblien Umgangs mit den eigenen Daten immer wichtiger. Mit Hilfe des elektronischen Portfolios besteht 

die Möglichkeit, solche Fragen in der Schule zu thematisieren und die Partizipation im Web nicht allein in der 

Freizeit stattfinden zu lassen. 

Mit dem E-Portfolio bietet sich die Möglichkeit, die Arbeit an den Lernpfaden relativ unabhängig vom 

gewählten didaktischen Unterrichtssetting von den Schülern und Schülerinnen begleiten zu lassen. 

Wie die Übersichtsgrafik zeigt, ist eine „vernünftige“ Softwarearchitektur für E-Portfolios kein triviales 

Thema, da Daten aus dem Portfolio an ganz verschiedenen „Orten“ abgelegt werden. Künftige Entwicklungen 

deuten auf eine verteilte Architektur hin, die allerdings mit den derzeit vorhandenen Technologien noch 

relativ schwierig umzusetzen ist. Eine umfangreiche Evaluation von E-Portfolio-Software im Auftrag des 

bmwf liefert aktuell eine Liste von 12 empfehlenswerten Produkten, von denen PebblePad und Mahara als 

die ausgeglichensten bezeichnet werden (Himpsl & Baumgartner 2008). 

Mahara ist ein Open-Source-Projekt, das von Neuseeland aus koordiniert wird (vgl. www.mahoodle.at), und 

bietet einen lerner/innenzentrierten Portfolioansatz, der als Social Community konzipiert ist und sich durch 

eine einfache Bedienung auszeichnet, die zudem an typischen Prozessen der Portfolioarbeit orientiert ist. 

Das Department für Interaktive Medien und Bildungstechnologien der Donau-Universität Krems verwendet 

Mahara innerhalb von mehreren Studiengängen, bietet die Plattform zu Forschungszwecken aber auch 

anderen Bildungseinrichtungen im deutschsprachigen Raum an, so dass für Hosting und Wartung keine 

Kosten für die Projektpartner/innen anfallen (www.mahara.at). 

In der pädagogischen Fachliteratur werden etwa 20 verschiedene Arten von Portfolios unterschieden, wobei 

nach aktuellen Arbeiten an einer Taxonomie für E-Portfolios sich fünf Grundtypen von Portfolios 

herausschälen, die mit der Software Mahara auch gut abgebildet werden können (Himpsl & Baumgartner 

2008): 

Working Portfolio 

Reflection Portfolio 

Assessment Portfolio 

Development Portfolio 

Presentation Portfolio 

Sämtliche dieser Grundtypen bzw. eine Kombination daraus sind für eine Verwendung in Zusammenhang mit 

den Lernpfaden denkbar, wobei es sicher für einen Ersteinstieg günstig ist, Fragen der Leistungsbeurteilung 

außen vor zu lassen und mit einem Arbeits- bzw. Reflexionsportfolio begleitend zum Lernpfadeinsatz zu 

beginnen. Handlungsanleitungen für Lehrende und Vorlagen für Reflexion und Feedback finden sich in 

Brunner/Häcker/Winter (2006) und in Schwarz/Volkwein/Winter (2008); dort ist auch ein Beispiel aus dem 

Mathematikunterricht der 6. Jahrgangsstufe zum Thema „Traumwohnung“ dokumentiert. Als Expertin für 

Portfolioarbeit im Mathematikunterricht könnte Dr. Christine Biermann, didaktische Leiterin der Laborschule 

Bielefeld, kontaktiert werden. 



LITERATUR 

Attwell, G., 2007. Personal Learning Environments - the future of eLearning? eLearning Papers, (vol. 2 no. 

1), p. 1 - 8. 

Baumgartner, P. & Himpsl, K. (2008). Auf dem Weg zu einer neuen Lernkultur - Was die Schule vom Web 2.0 

lernen kann. LOG IN - Informatische Bildung und Computer in der Schule. Nr. 152/2008: 11-15. 

Baumgartner, P. & Kalz, M. (2004). Content Management Systeme aus bildungstechnologischer Sicht. 

Abgerufen am 17.11.2008 von http://www.peter.baumgartner.name/goodies/paperde/cms_bildungstechnologische_sicht.pdf 

Brunner, I., Häcker, T., & Winter, F. (2006). Das Handbuch Portfolioarbeit (1. Aufl., S. 272). Kallmeyer. 

Erpenbeck, J., & Sauter, W. (2007). Kompetenzentwicklung im Netz: New Blended Learning mit Web 2.0 (1. 

Aufl., S. 316). Luchterhand (Hermann). 

Himpsl, K. (2007). Wikis im Blended Learning (S. 172). Boizenburg: Verlag Werner Hülsbusch. (zum 

Download: http://himpsl.htldornbirn.vol.at/wiki/index.php/Master_Thesis) 

Himpsl, K. (2008). E-Portfolios sind mehr!! Educast für die TU Ilmenau. Abgerufen November 16, 2008, von 

http://www.bildungstechnologie.net/blog/e-portfolio-educast-fuer-die-tu-ilmenau. 

Himpsl, K. & Baumgartner, P (2008). Evaluation of ePortfolio Software. Interactive Computer Aided 

Learning, Kassel: Kassel Univesity Press. http://www.icl-conference.org/. 

Jabornegg, D. (2004). Der Portfolio-Ansatz in der Schülerbeurteilung der USA 

und seine Bedeutung für die Schülerbeurteilung in der 

neuen kaufmännischen Grundbildung (NKG). Universität St. Gallen. Abgerufen 11.03.2008, von 

http://www.edk.ch/xd/2004/47.pdf. 

Reinmann, G. (2005). Blended Learning in der Lehrerbildung. Dustri (2005), Gebundene Ausgabe, 

284 Seiten. 

Ruf, U., & Gallin, P. (1998). Dialogisches Lernen in Sprache und Mathematik 1/2: Bd. 1: Austausch 

unter Ungleichen. Grundzüge einer interaktiven und fächerübergreifenden Didaktik. ... mit 

Kernideen und Reisetagebüchern: 2 Bde. (S. 328). Kallmeyer. 

Schwarz, J., Volkwein, K., & Winter, F. (2008). Portfolio im Unterricht: 13 Unterrichtseinheiten mit 

Portfolio (1. Aufl., S. 248). Kallmeyer. 



ANHANG 

a7_Anleitung_Linkdatenbank_gym.pdf 

Lernpfade - Seite 112


Kurzanleitung zu www.mathematik-digital.de 

Wie kann das Internet sinnvoll in den Unterricht integriert werden? 

Auf der Seite www.mathematik-digital.de findet sich eine Zusammenstellung empfehlenswerter 

Internetseiten für den Mathematikunterricht nach Klassenstufen und Lehrplanthemen sortiert. Diese 

bilden die Grundlage für individuell zusammengestellte interaktive Unterrichtseinheiten, die im 

ZUM-Wiki unter Mathematik-digital (wiki.zum.de/mathematik-digital) zu finden sind. 

Wie kann man sich beteiligen? 

• Jeder kann ohne Anmeldung interessante Links in die Linkdatenbank eintragen. 

• Jeder kann die im ZUM-Wiki bereits vorhandenen Wiki-Lernpfade ( Lernpfade) nutzen. 

• Jeder kann im ZUM-Wiki eigenständig schnell und unkompliziert interaktive Unterrichtseinheiten 

zusammenstellen oder vorhandene verändern. 

Überblick 

Lernpfadsammlung 

im ZUM-Wiki 

Auswahl der Schulart 

Überblick über 

alle vorhandenen 

Materialien 

Link einfügen 

Änderungen 

beobachten 

Einfügen eines Links 

http://www.superlink.de 

Aufgaben mit Lösungen 

• Adresse: Kopiere die gefundene Linkadresse in das Adressenfeld. 

• Beschreibung: Wähle eine geeignete Kurzbeschreibung. 

• Thema: Ordne den Link einem Lehrplanthema zu. 

• interaktiv: Wähle die Art der Aktion aus. 

• Einfügen: Füge den Link in die Datenbank ein. 

© Maria Eirich


5. KONZEPTION ZUR EVALUATION 

5.1. KONZEPTION DER EVALUATION DER LÄNGSSCHNITT-LERNPFADE 

Für die Testung und Evaluation der entwickelten Materialien ist der Zeitraum April bis November 2009 

vorgesehen. Die Zielsetzung der (formativen) Evaluation besteht darin, die Lernpfade unter den Kriterien 

Einsatzmöglichkeiten und Gender zu analysieren und weiterzuentwickeln. Die externe begleitende Evaluation 

findet daher auf drei analytischen Ebenen statt. Zum einem soll eine Expert/innenbefragung durchgeführt 

werden, mit der Zielsetzung drei ausgewählte Lernpfade unter fachdidaktischen Aspekten zu untersuchen. 

Des Weiteren ist eine Befragung von Lehrer/innen vorgesehen, die unterrichtsrelevante Fragestellungen in 

Bezug auf die Lernpfade aufnehmen soll. Um die Lernpfade unter den Gesichtspunkten Usability und Gender 

zu analysieren, ist es sinnvoll mindestens 3 Lernpfade mit Schüler/innengruppen zu testen und anschließend 

zu evaluieren. 

Folgende Forschungsfragen sind dabei forschungsleitend: 

Welche didaktischen Lernszenarien befördern den erfolgreichen Einsatz von Lernpfaden? 

Wodurch zeichnen sich „gute bzw. erfolgreiche“ Lernpfade im Bereich der Mathematik aus? 

Sind gendersensitiv konzipierte Lernpfade erfolgreicher als nicht-gendersensitiv konzipierte? 

Durch welche inhaltlichen Komponenten werden Jungen und Mädchen besonders 

angesprochen? 

Welche Lernpfade (good practice) sind besonders geeignet, um die Interessen der Mädchen und 

Jungen an mathematischen Fragestellungen zu steigern? 

Um die Qualität der Lernpfade zu prüfen und gegebenenfalls steigern zu helfen, ist es sinnvoll, diese nicht nur 

unter Usability-Kriterien zu evaluieren, sondern auch die darin eingebundenen Lernszenarien und 

Aufgabenstellungen einer Analyse zu unterziehen. 

1. Experten/innenbefragung 

FORMATIVE EVALUATION 

Evaluation der 

Lernpfade 

3. Befragung der Schüler/innen 

2. Befragung der 

Lehrer/innen 

Konzeption zur Evaluation, Seite 1


Inhaltlicher Ablauf Zeitraum 

Fertigstellung der Lernpfade Mitte Februar 2009 

Konzeption der Evaluation (Leitfäden Experten/innen) Ende Februar 2009 

Experten/innenbefragung plus Auswertung März/April 2009 

Lehrer/innenbefragung plus Auswertung September/Oktober 2009 

Schüler/innenbefragung plus Auswertung September/Oktober 2009 

5.1.1. EXPERTEN/INNENBEFRAGUNG 

Im Rahmen einer qualitativen Analyse sollen 2 bis 3 good practice Lernpfade Experten/innen zugänglich 

gemacht werden. Im Zentrum der Experten/innenbefragung stehen fachliche und didaktische 

Fragenstellungen sowie Aspekte, die die Kategorie Gender in den Fokus stellen. 

Als Experten/innen sollen Personen aus der Fachdidaktik, Mathematik, Gender und digitalen Medien 

ausgewählt werden. Anhand eines leitfadengestützten Fragebogens sollen die Experten/innen nach ihrer 

Durchsicht der Lernpfade interviewt werden. 

Die Interviews können entweder face-to-face oder als Telefoninterview geführt und aufgezeichnet werden. 

Anschließend werden die Aussagen vollständig transkribiert und durch die Methode der Inhaltsanalyse in 

Anlehnung an Mayering 1 ausgewertet. Die evaluierten Ergebnisse sollen gestaltungsorientiert wieder in die 

Lernpfade zurückfließen. 

Folgende Experten/innen sollen u.a. angefragt werden für ein Interview: 

• Prof. Dr. Chrstine Bescherer (PH Ludwigsburg, Deutschland) 

• Prof. Dr. Beate Curdes (FHOOW Wilhelmshaven, Deutschland) 

• Prof. Dr. Stefan Götz (Universität Wien) 

• Ao. Univ.-Prof. Mag. Dr. Karl Josef Fuchs (Universität Salzburg) 

• Mag. Dr. Hans-Stefan Siller (Universität Salzburg) 

• O.Univ.-Prof. Dr. Roland Fischer (Universität Klagenfurt) 

• Ao.Univ.-Prof. Mag. Dr. Franz Rauch (Universität Klagenfurt) 

• Univ.-Prof. Mag. Dr. Konrad Krainer (Universität Klagenfurt) 

• Ao.Univ.-Prof. Mag. Dr. Edith Schneider (Universität Klagenfurt) 

• Dipl.-Psych. Maria Tulis (Universität Bayreuth, Deutschland) 

• Prof. Dr. Hans-Wolfgang Henn (Universität Dortmund, Deutschland) 

• Dr. Martin Bracke (Technische Universität Kaiserslautern, Deutschland) 

• Prof. Dr. Regina Bruder (Technische Universität Darmstadt, Deutschland) 

• Dr. Helga Jungwirth (IFF/München, Deutschland) 

• Univ. Prof. Univ. Doz. Dr. Jürgen Maaß (Universität Linz) 

5.1.2. LEHRER/INNENBEFRAGUNG 

Um einerseits zu eruieren, ob die Lernpfade unter dem Aspekt fachliche Inhalte und Zielgruppenrelevanz 

einen Erfolg bringen, ist es notwendig, dass die verschiedenen Lernpfade von den Lehrer/innen professionell 

bewertet werden. Andererseits sollen die befragten Lehrer/innen eine Bewertung der Lernpfade unter dem 

Gesichtspunkt Gender abgeben. Auch hier ist als Methode ein leitfadengestütztes Interview vorgesehen. 

Die Auswahl der Lehrer/innen wird im Sommersemester 2009 erfolgen. Ziel der Befragung ist es, einen 

tieferen Einblick in unterrichtsrelevante Handhabung der Lernpfade zu gewinnen und eine möglichst 

praxisnahe Einschätzung zur Relevanz des Aspektes Gender zu erhalten. 

1 Qualitative Inhaltsanalyse. Grundlagen und Techniken von Philipp Mayring 2007 



5.1.3. SCHÜLER/INNENBEFRAGUNG 

Um einerseits zu eruieren, ob eine gendersensitive Gestaltung der Lernpfade einen Erfolg bringt oder auch 

nicht, ist es notwendig, dass die verschiedenen Lernpfade von den Schüler/innen bewertet werden. 

Innerhalb der Befragung ist somit auch ein Fragebogen mit einigen testbezogenen Fragen geplant, um 

gegebenenfalls Lernerfolge festzustellen. 

An mindestens 2 Einsatzorten sollten halbstandardisierte Befragungen von Schüler/innen durchgeführt 

werden, um nicht nur eine nutzerorientierte Rückmeldung von den Lernpfaden insgesamt zu erhalten, sondern 

darüber hinaus auch eine – wenn auch nur punktuell zu erfassende – Lernerfolgskontrolle der Lernpfade zu 

gewinnen. 

5.2. EXEMPLARISCHE LERNERFOLGSKONTROLLE 

Zu einer ausgesuchten Anzahl von Lernpfaden werden Lernerfolgskontrollen erstellt und durchgeführt. 

Derzeit ist geplant einen Diplomanden der Universität Wien, Mitglieder der Pentagramm-Gruppe sowie 

Mitarbeiter/innen der PH-Niederösterreich (D2, D3) einzubinden. 

5.3. LEHRER/INNENFEEDBACK 

Geplant ist die kurze Erhebung eines allgemeinen Feedbacks zu den von den Testlehrer/innen eingesetzten 

Lernpfaden nach Abschluss der Testphase. 




gemeinsames Projekt von ACDCA, mathe online und GeoGebra 

in Zusammenarbeit mit 

der Pädagogischen Hochschule Niederösterreich, 

dem Regionalen Fachdidaktikzentrum Mathematik und Informatik, 

der Universität Würzburg und der Pentagrammgruppe 

Gefördert vom Bundesministerium für 

Unterricht, Kunst und Kultur 

Kurzbericht / Summary 

Dezember 2008 

1

Inhaltsverzeichnis 

1. Ausgangslage.................................................................................................................... 3 

2. Inhalte und Ziele des Projekts ........................................................................................... 3 

2.1 Elektronische Medien und Neue Lernkultur ..................................................................... 3 

2.2 Elektronische Medien in der exaktifizierenden und vernetzenden Lernphase, 

Längsschnitte ........................................................................................................................ 4 

2.3 Einsatz von Lernplattformen und Social Software im Mathematikunterricht ..................... 4 

2.4 Gender-Aspekte .............................................................................................................. 4 

2.5 Begleitmaterial für Lehrer/innen....................................................................................... 4 

2.6 Dissemination.................................................................................................................. 4 

3. Projektorganisation............................................................................................................ 5 

4. Entwicklung von Materialien .............................................................................................. 6 

4.1 Lernpfade ........................................................................................................................ 6 

4.2 Linkdatenbank und Materialien für den Mathematikunterricht .......................................... 7 

5. Evaluation der Materialien im Mathematikunterricht........................................................... 8 

5.1 Externe Evaluation - Konzeption...................................................................................... 8 

5.1.1 Die Expert/innenbefragung ........................................................................................... 9 

5.1.2 Lehrer/innen ................................................................................................................. 9 

5.1.3 Schüler/innen ............................................................................................................... 9 

5.2 Zeitplan – Externe Evaluation.......................................................................................... 9 

6. Öffentlichkeitsarbeit..........................................................................................................10 

7. Finanzmittel......................................................................................................................10 

8. Ausblick – Nachhaltigkeit..................................................................................................11 

2



Im Rahmen des Projekts Medienvielfalt im Mathematikunterricht wurden 13 Lernpfade im 

Jahr 2008 erstellt, die einen Längsschnitt vom Ende der Volksschule bis zur weiterführenden 

Ausbildung nach der Matura darstellen. Sie werden ab März 2009 im praktischen 

Unterrichtseinsatz getestet und einer Evaluation unterzogen. 

1. Ausgangslage 

In den Jahren 2004 – 2006 wurden im Rahmen des Projekts Medienvielfalt und 

Mathematikunterricht Materialien (Lernpfade) für einen innovativen Mathematikunterricht 

entwickelt und einem umfangreichen Praxistests unterworfen. Damit wurde gezeigt, dass das 

Zusammenspiel schülerInnenzentrierter Arbeits- und Lernformen mit elektronischen Medien 

dem Mathematikunterricht – angesichts der Herausforderungen, die sich heute stellen und in 

Zukunft verstärkt stellen werden – neue Perspektiven eröffnet. 

Anknüpfend an die Erfahrungen der vorangegangenen Jahre wurde im Rahmen des Projekts 

eine Weiterentwicklung der Konzepte und die Verfolgung weiterführender Fragen ins Auge 

gefasst. 

Als Kooperationspartner konnte die Universität Würzburg und die sogenannte 

„Pentagrammgruppe“, die sich unter der Leitung von Prof. Dr. Hans-Georg Weigand für die 

Weiterentwicklung des Mathematikunterrichts einsetzt, gewonnen werden. Die Evaluation 

der Gender-Aspekte wird von Dr. Heike Wiesner (Fachhochschule Berlin) durchgeführt 

werden. 

2. Inhalte und Ziele des Projekts 

Entsprechend dem im Februar 2008 vorgelegten Projektplan stehen die Entwicklung und die 

Evaluation von Materialien in Form von Lernpfaden im Zentrum, wobei folgende 

Gesichtspunkte besondere Beachtung finden: 

2.1 Elektronische Medien und Neue Lernkultur 

Besonderes Augenmerk hinsichtlich der Verbindung elektronischer Medien mit 

eigenverantwortlichen Lern- und Arbeitsformen wird den folgenden Aspekten gewidmet: 

- Unterstützung von sozialem Lernen (Partner- und Gruppenarbeit), 

- Unterstützung von Kommunikation und Präsentation, 

- Berücksichtigung verschiedener Lernstile und Lernstrategien (lesendes, akustisches, 

bildliches und handelnd-kooperatives Lernen) 

- Sicherung von Lerninhalten (nach dem Prinzip: Vorwissen, Vorschau, Vernetzung – 

Neuer Inhalt – Wiederholen, Festigen) 

3

2.2 Elektronische Medien in der exaktifizierenden und vernetzenden 

Lernphase, Längsschnitte 

Die entwickelten Lernpfade stellen einen Längsschnitt vom Ende der Volksschule bis zur 

weiterführenden Ausbildung nach der Matura dar. Drei Lernpfade sind den Schnittstellen 

Volksschule Sekundarstufe 1, 

Sekundarstufe 1 Sekundarstufe 2 

Sekundarstufe 2 weiterführende Ausbildung (PHs, FHS, Universität,...) 

gewidmet. Der inhaltliche Schwerpunkt bei diesen „Schnittstellen-Lernpfaden“ liegt dabei 

zum einen auf den Kompetenzen, die zur Bewältigung dieser Übergänge nötig sind und zum 

anderen auf der Sicherung bzw. Vertiefung des bisher Gelernten. Die anderen Lernpfade 

betreffen kleinere Themengebiete und werden als „Mikro-Lernpfade“ bezeichnet. 

Der thematische Schwerpunkt aller entwickelten Lernpfade liegt auf den verschiedenen 

Aspekten funktionaler Abhängigkeiten. 

2.3 Einsatz von Lernplattformen und Social Software im 


Die Bedeutung von Lernplattformen und Social Software wird nicht nur allgemein (unter dem 

Stichwort „Web 2.0“), sondern auch für den Mathematikunterricht zunehmen. Besonders 

interessant sind dabei Unterrichtskonzepte zu folgenden Themen: 

- notwendige methodisch-didaktische Veränderungen im Unterricht und beim Lernen zu 

Hause 

- notwendige Veränderung der Lehrer/innenrolle 

- Arbeitsaufwand für Lehrer/innen und Schüler/innen 

- sinnvolle begleitende Werkzeuge (z.B. webbasierte Formelerstellung) 

- Einfluss auf den Lernzuwachs 

Ein Teil der Lernpfade wird im Rahmen einer Wiki-Umgebung zur Verfügung gestellt und 

entspricht damit dem „Mitmach- und aktivem Partizipier-Gedanken“ des Web 2.0. 

2.4 Gender-Aspekte 

Anknüpfend an die Evaluationsergebnisse der Testklassen aus dem Jahr 2006 und früheren 

Aktivitäten von ACDCA zu diesem Thema ist die Untersuchung genderspezifischer Aspekte 

der für den Mathematikunterricht geeigneten elektronischen Werkzeuge geplant. (siehe 

Abschnitt 5) 

2.5 Begleitmaterial für Lehrer/innen 

Alle entwickelten Lernpfade werden wie beim bereits vergangenen Projekt mit methodischdidaktischen 

Anleitungen für Lehrer/innen („didaktische Kommentare“) versehen. 

2.6 Dissemination 

Die im Rahmen des Projekts entwickelten Konzepte und Materialien werden im praktischen 

Unterrichtseinsatz getestet und evaluiert. 

4

Hierbei sollen vor allem die im Schuljahr 2005/2006 begonnenen und bewährten 

Disseminationsaktivitäten weitergeführt werden, insbesondere 

- Medienvielfaltstage in den einzelnen Bundesländern und 

- Disseminationsseminare für Multiplikatorinnen und Multiplikatoren in Zusammenarbeit mit 

nationalen Bildungsinstitutionen. 

Das Jahr 2008 stellte die Entwicklungsphase des Projekts dar, für 2009 ist die Evaluation der 

entwickelten Materialien und Konzepte geplant. 

3. Projektorganisation 

Das österreichische Projektteam besteht aus 17 Personen, das Team der deutschen 

Kooperationsinstitution wird von Prof. Dr. Hans-Georg Weigand (Universität Würzburg) 

geleitet. Insgesamt fanden 4 Projekttreffen statt, davon 3 unter Einbeziehung der deutschen 

Kooperationspartner/innen: 

• Altlengbach 14.-16.10.2007 – Hotel Lengbachhof – Internationales Treffen 

• Amstetten 8.-9.3.2008 – Hotel Gürtler – Treffen der österreichischen 

Medienvielfaltsgruppe 

• Würzburg 30.5.-1.6.2008 – Universität Würzburg – Internationales Treffen 

• Altlengbach 28.-30.11.2008 – Hotel Lengbachhof – Internationales Treffen 

Die Projektvorbereitung und organisatorische Detailplanung sowie die Entwicklung der 

Detailkonzepte und Materialien fand in kleineren Arbeitsgruppentreffen bzw. in Einzelarbeit 

statt. Insgesamt waren etwa 90 derartige Treffen zu verzeichnen. 

Für die Konzeption und Umsetzung der externen Evaluation konnte Prof. Dr. Heike Wiesner, 

von der Fachhochschule Berlin eingebunden werden. Sie ist eine Expertin aus dem Bereich 

der Informatik und Forschung bzw. Evaluation (Genderaspekte, e-learning). 

Hinsichtlich der Kommunikation zwischen den Treffen wurden die bewährten Strukturen 

(hauptsächlich eine Mailingliste für des österreichischen Team und eine Mailingliste für das 

internationale Gesamtprojekt) und zusätzlich ein Wiki 1 eingesetzt. 

1 http://wikis.zum.de/medienvielfalt/index.php/Hauptseite 

5

4. Entwicklung von Materialien 

4.1 Lernpfade 

Im Jahr 2008 wurden 13 Lernpfade konzipiert und realisiert (als Web- oder Wiki-Lernpfad). 

Zum Zeitpunkt der Berichtlegung (Dezember 2008) liegen 3 Schnittstellen-Lernpfade und 10 

Mikro-Lernpfade zum Längsschnittthema Funktionale Abhängigkeit vor: 

Schulstufe 

… Sekundarstufe II 

Sekundarstufe I 

VS 

M 

4 

Zeigen 9Längsschnittidee 

... 

Volksschule Sekundarstufe I 

5 Intuitive Zustandsbeschreibung voneinander abhängiger Größen 

6 

7 


8 Erweiterung des Repertoires an Funktionstypen u. Eigenschaften 

Sekundarstufe I Sekundarstufe II 

Die Lernpfade werden yyy 

Quadratische 

fertig sein. 

Funktionen 

Welche 

10 

Konzepte wurden 

Potenzfunktionen 

erarbeitet? 

Trigonometrische Funktionen 

Exponential- und Logarithmusfunktion 

11 Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion 


12 Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion 

Sekundarstufe II weiterführende Ausbildung 

(Universität, FHS, PH,...) 

6

Dabei bezeichnen die großen Kreise Lernpfade für die Schnittstellen, die kleinen Kreise 

Lernpfade für die entsprechenden Schulstufen. 

Die Lernpfade wurden im Rahmen der projektinternen Qualitätssicherung am Projekttreffen 

vom 28. – 30. November 2008 evaluiert. Nach einer entsprechenden Überarbeitung werden 

sie im März 2009 freigeschaltet und ab diesen Zeitpunkt auf der Homepage des Regionalen 

Fachdidaktikzentrums http://rfdz.ph-noe.ac.at für alle interessierten Kollegen und Kolleginnen 

zur Verfügung stehen. Kurzinformationen werden ab dem 12. Jänner 2009 auf der 

Homepage des RFDZ einzusehen sein. 

Folgende Themen werden für die Erprobung in den angegebenen Schulstufen zur Verfügung 

stehen (drei Schnittstellenlernpfade und zehn Mirkolernpfade): 

Übersicht der Lernpfade: 

Schnittstellenlernpfad: Volksschule/Sekundarstufe 1 (4. + 5. Schulstufe) 

Mikrolernpfad: Wetter – Temperaturkurven (5. + 6. Schulstufe) 

Mikrolernpfad: Direktes und indirektes Verhältnis (6. + 7. Schulstufe) 

Mikrolernpfad: Lineare Funktionen (8. Schulstufe) 

Schnittstellenlernpfad: Sekundarstufe 1/Sekundarstufe 2 (8. bzw. 9. Schulstufe) 

Mikrolernpfad: Quadratische Funktionen (9. Schulstufe) 

Mikrolernpfad: Potenzfunktionen (9. Schulstufe) 

Mikrolernpfad: Trigonometrische Funktionen (10. Schulstufe) 

Mikrolernpfad: Exponential- und Logarithmusfunktion (10. Schulstufe) 

Mikrolernpfad: Differenzen-/Differentialgleichung (10. + 11. Schulstufe) 

Mikrolernpfad: Zugang zur Poissonverteilung (12. + 13. Schulstufe) 

Mikrolernpfad: Wie lange dauern Projekte? – Die Dreiecksverteilung (12. + 13. Schulst.) 

Schnittstellenlernpfad: Sekundarstufe 2/Universität/Hochschule (12. Schulstufe) 

4.2 Linkdatenbank und Materialien für den Mathematikunterricht 

Da durch diese Lernpfade nicht alle Inhalte des Längsschnitts zur Funktionalen Abhängigkeit 

abgedeckt werden, werden den Lehrern und Lehrerinnen für die „Lücken“ Materialien durch 

eine Linkdatenbank angeboten. Diese Datenbank beinhaltet neben einer Orientierung nach 

Schulstufen (nach bayerischen und österreichischen Lehrplänen und Schularten getrennt) 

auch ein Angebot nach Kategorien, z.B.: Funktionale Abhängigkeit (kleiner Auszug: siehe 

Seite von mathematik-digital - http://www.zum.de/Faecher/M/mathematik-digital/). 

7

5. Evaluation der Materialien im Mathematikunterricht 

Für die Testung der entwickelten Materialien in Testklassen ist der Zeitraum April – Oktober 

des Jahres 2009 vorgesehen. Eine diesbezügliche Ausschreibung an Mathematik-Lehrer 

und Lehrerinnen aller Schultypen wird Anfang des Jahres 2009 ergehen. 

Die Sichtung und Evaluation der Rückmeldungen der Testlehrer/innen wird in ähnlicher 

Weise durchgeführt werden wie bereits im Jahr 2006 (ggf. als Diplomarbeit an der Universität 

Wien). Daneben kommen stärkere Elemente einer externen Evaluation zum Tragen. 

5.1 Externe Evaluation - Konzeption 

Die Zielsetzung der (formativen) Evaluation besteht darin, die Lernpfade unter den Kriterien 

Einsatzmöglichkeiten und Gender zu analysieren und weiterzuentwickeln. Die externe 

begleitende Evaluation findet daher auf drei analytischen Ebenen statt. Zum einem soll eine 

8

Expert/innenbefragung durchgeführt werden, mit der Zielsetzung drei ausgewählte Lernpfade 

unter fachdidaktischen Aspekten zu untersuchen. Des Weiteren ist eine Befragung von 

Lehrer/innen vorgesehen, die unterrichtsrelevante Fragestellungen in Bezug auf die 

Lernpfade aufnehmen soll. Um die Lernpfade unter den Gesichtspunkten Usability und 

Gender zu analysieren, ist es sinnvoll mindestens 3 Lernpfade mit Schüler/innengruppen zu 

testen und anschließend zu evaluieren. 

5.1.1 Die Expert/innenbefragung 

Im Rahmen einer qualitativen Analyse sollen 3 good practise Lernpfade Expert/innen 

zugänglich gemacht werden. Als Expert/innen sollen Personen aus der Fachdidaktik, 

Mathematik und digitalen Medien ausgewählt werden. Anhand eines leitfadengestützten 

Fragebogens sollen die Expert/innen nach ihrer Durchsicht der Lernpfade interviewt werden. 

Die Interviews können entweder face-to-face oder als Telefoninterview geführt werden. 

Anschließend werden die Aussagen transkribiert und durch die Methode der Inhaltsanalyse 

ausgewertet. Die Ergebnisse sollen gestaltungsorientiert wieder in die Lernpfade 

zurückfließen. 

5.1.2 Lehrer/innen 

Um einerseits zu eruieren, ob die Lernpfade unter dem Aspekt fachliche Inhalte und 

Zielgruppenrelevanz einen Erfolg bringen, ist es notwendig, dass die verschiedenen 

Lernpfade von den Lehrer/innen professionell bewertet werden. Andererseits sollen die 

befragten Lehrer/innen eine Bewertung der Lernpfade unter dem Gesichtspunkt Gender 

abgeben. Auch hier ist als Methode ein leitfadengestütztes Interview vorgesehen. 

5.1.3 Schüler/innen 

Um einerseits zu eruieren, ob eine gendersensitive Gestaltung der Lernpfade einen Erfolg 

bringt oder auch nicht, ist es notwendig, dass die verschiedenen Lernpfade von den 

Schüler/innen bewertet werden. Innerhalb der Befragung ist auch ein Fragebogen mit 

einigen testbezogenen Fragen geplant, um gegebenenfalls Lernerfolge festzustellen. 

Auf der Grundlage der evaluierten Ergebnisse wird ein Abschlussbericht erstellt, in dem die 

wichtigsten Auswertungsergebnisse qualitativ (Interviews mit den Expert/innen und 

Lehrer/innen) und quantitativ (Fragebögen Schüler/innen) zusammengefasst und 

empfehlungsorientiert ausgewertet werden. Dieser Bericht soll spätestens 6-8 Wochen nach 

Beendigung der Evaluation vollständig vorliegen, um einen Beitrag zur Verbesserung der 

Lernpfade zu bewirken. 

5.2 Zeitplan – Externe Evaluation 

Inhaltlicher Ablauf Zeitraum 

Ende der Einarbeitung der Ergebnisse der internen 

Evaluation der Lernpfade 

Mitte Februar 2009 

Konzeption der Evaluation (Leitfäden Expert/innen) Ende Februar 2009 

Expert/innenbefragung plus Auswertung März/April 2009 

Lehrer/innenbefragung plus Auswertung September/Oktober 2009 

Schüler/innenbefragung plus Auswertung September/Oktober 2009 

Abschlussbericht November 2009 

9

Es werden an allen Schularten (AHS, APS, BBS sowie Neue Mittelschule) Testlehrer/innen 

gesucht und Rückmeldungen zu Unterrichtsorganisation und lernpfadspezifisches Feedback 

eingeholt und ausgewertet. 

Es sind weiters Test für Schüler/innen zu den Inhalten der einzelnen Lernpfade mit 

Nachhaltigkeitsorientierung angedacht. 

6. Öffentlichkeitsarbeit 

Das Projektjahr 2008 diente vor allem der Materialentwicklung. An Akitvitäten der 

Öffentlichkeitsarbeit sind zu verzeichnen: 

• Im März 2008 wurde im Rahmen eines Bundesseminares in Amstetten die Intention 

des Projektes vorgestellt 

• Am 12. September fand in Tulln die Eröffnung des Regionalen Fachdidaktikzentrums 

Informatik und Mathematik der Pädagogischen Hochschule Niederösterreich statt. Im 

Rahmen der Eröffnungsvorträge wurde auf die Anliegen und Ziele des Projekts 

Medienvielfalt im Mathematikunterricht hingewiesen und über moderne Konzepte 

zum Zusammenspiel von Lernkultur und elektronischen Medien berichtet. 

• St. Gilden – Das Projekt wurde bei der IMST-Besprechung neben anderen Projekten 

dargestellt 

• Linz – Das Medienvialfaltsprojekt wurde bei der GDM-Arbeitstagung vorgestellt 

Betreffend Öffentlichkeitsarbeit sind für das Jahr 2009 folgende Aktivitäten geplant: 

• Im Jänner 2009 werden alle Landesschulräte/Stadtschulrat und die Pädagogischen 

Hochschulen von diesem Projekt informiert und es wird neben der Bekanntmachung 

der inhaltlichen Konzeption ein Testlehrer/innenaufruf erfolgen. 

• In Kooperation mit der Pädagogischen Hochschule Niederösterreich wird von 28. 

März bis 1. April 2009 ein Bundesseminar abgehalten, in dessen Rahmen die 

entwickelten Lernpfade und das Konzept des Längsschnitts vorgestellt wird. 

• Weiters wird im Zeitraum April – Oktober 2009 in jedem österreichischen Bundesland 

ein Medienvielfaltstag abgehalten. 

7. Finanzmittel 

Die zur Verfügung gestellten Finanzmittel wurden zum Großteil zur Abgeltung der Fahrt- und 

Unterkunfts-Kosten (4 Projekttreffen und viele Arbeitstreffen zur Entwicklung der Lernpfade 

und der Konzipierung der weiteren Vorgangsweise) sowie Öffentlichkeitsarbeit und 

Dissemination aufgewendet. 

10

8. Ausblick – Nachhaltigkeit 

Eine Längsschnittuntersuchung im Sinne einer nachhaltigen Untersuchung von 

Testlehrer/innen und Testklassen über einen längeren Zeitraum hinweg ist natürlich nicht 

innerhalb eines Jahres möglich. Daher ist parallel zur Vorbereitung der Testphase die 

Entwicklung eines organisatorisch-technischen und inhaltlichen Konzepts zu einem 

derartigen langfristigen Monitoring geplant. 

Projektteam: 

_____________________________________ 

Mag. Irma Bierbaumer 

Mag. Gabriele Bleier 

Dr. Anita Dorfmayr 


Dr. Helmut Heugl 

Mag. Klaus Himpsl 

Mag. Peter Hofbauer 

Dr. Markus Hohenwarter 

Mag. Gabriele Jauck 

Mag. Mathias Kittel 


Mag. Andreas Lindner 

Mag. Jochen Maierhofer 

Mag. Metzger-Schuhäker 

Dr. Evelyn Stepancik 

Mag. Walter Wegscheider 

Prof. Dr. Heike Wiesner 

11

Endbericht (als pdf ca. 12 MB) - Regionales Fachdidaktikzentrum ...

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