Seminararbeit

1.1 Arbitrage und weitere Grundlagen 1 EINLEITUNG
Durch das folgende Axiom, legen wir nun fest, dass wir keine Arbitrage-Möglichkeiten
zulassen.
Axiom: Es existieren keine Arbitrage-Möglichkeiten. 2
Daraus können wir direkt die nächste Grundlage folgern.
Theorem (Gesetz des einheitlichen Preises 3 ): Sind A und B Assets, für deren Preise in
der Gegenwart(t = 0) gilt P0(A) ≥ 0 , P0(B) ≥ 0, und zu einem beliebigen Zukunfts-
wert T ≥ 0 sind die Preise der beiden Assets gleich in allen möglichen Zuständen:
Dann gilt:
PT (A) = PT (B). (1)
P0(A) = P0(B). (2)
Beweis : Wir zeigen, wenn Gleichung (2) nicht gilt, existiert eine Arbitrage Möglich-
keit. Das heißt ohne Beschränkung der Allgemeinheit (o.B.d.A) nehmen wir an es gilt
P0(A) > P0(B). So können wir ein Portfolio zum gegenwärtigen Zeitpunkt t = 0 mit
einem Startkapital von 0 e konstruieren. Indem wir das asset A ausborgen und verkau-
fen, erhalten wir den Geldbetrag P0(A). Mit diesem kaufen wir das asset B um P0(B)
und wegen der obigen Ungleichung bleibt uns ein Restkapital P0(A) − P0(B) übrig,
welches wir beiseite legen.
Im nächsten Zeitschritt t = T verkaufen wir das Asset B und erhalten den Betrag
PT (B), dann kaufen wir das Asset A um PT (A) zurück und geben es dem ursprüngli-
chen Besitzer wieder, wegen Gleichung (1) haben wir Nettokosten von 0 e. Aus dem
ertsen Zeitschritt haben wir aber noch den positiven Betrag P0(A) − P0(B) und damit
eine Arbitrage-Möglichkeit konstruiert, doch das widerspricht dem Axiom.
Da Optionen die ersten Derivate sind, für die wir eine Preis-Formel herleiten, wieder-
holen wir die Eigenschaften dieser Termingeschäfte.
2 Axiom 1 [2, S.2]
3 Theorem 1.2 (Law of One Price) [2, S.2]
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