Seminararbeit
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Binomialmodell: Grundlagen und<br />
Future Contracts<br />
Wien, am 28. Februar<br />
Studienkennzahl: 1027250<br />
<strong>Seminararbeit</strong><br />
Verfasser:<br />
Bernhard Knapp<br />
Studienrichtung: Bachelorstudium Finanz- und Versicherungsmathematik<br />
Betreuer: Privatdoz. Dipl.-Ing. Dr.techn. Stefan Gerhold
INHALTSVERZEICHNIS INHALTSVERZEICHNIS<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
1 Einleitung 2<br />
1.1 Arbitrage und weitere Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2<br />
2 Das Binomialmodell 5<br />
2.1 Das Basis-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5<br />
2.2 Forwards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8<br />
2.2.1 Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<br />
2.3 FX-Derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<br />
2.3.1 Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10<br />
2.4 Zinsderivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11<br />
3 Mehr-Perioden-Modell 13<br />
3.1 Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13<br />
3.2 Rückwärts Induktions Preis Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14<br />
3.3 Forwards im Mehr-Perioden Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15<br />
4 Futures 16<br />
4.1 Margin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16<br />
4.2 Future-Preis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17<br />
4.3 Der Marginwert zur Fälligkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19<br />
4.4 Forwards und Futures im Vergleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20<br />
Quellenverzechnis 22<br />
1
1 Einleitung<br />
1 EINLEITUNG<br />
Das Ziel dieser <strong>Seminararbeit</strong> ist zu beschreiben, wie man Preise von Derivate in einem<br />
binomialen Rahmen mit diskreten Zeitabständen und diskreten Zuständen festlegt. Be-<br />
vor wir vernünftige Preise für diese Finanzinstrumente festlegen können, müssen wir<br />
allgemeine Grundlagen, wie die Struktur von finanzmathematischen Binomialmodel-<br />
len einführen. Die wichtigste Grundlage wird sein, dass die eingeführten Modelle kei-<br />
ne Arbitrage-Möglichkeiten zulassen. Nachdem wir uns im vereinfachten Ein-Schritt-<br />
Binomialmodell, Preisformeln für beliebige Derivate hergeleitet haben, erweitern wir<br />
das vorhandene Binomialmodell um weitere diskrete Zeitschritte und Zustände in ein<br />
Mehr-Perioden-Modell. Durch die Resultate der vorigen Kapitel können wir auch in<br />
diesem Modell die Preise von Finanzgeschäften festlegen, sodass wir uns zum Schluss<br />
den börsengehandelten Finanzgeschäften, die sogenannten Futures, widmen können.<br />
1.1 Arbitrage und weitere Grundlagen<br />
Zur Erinnerung, ein Derivat ist ein Finanzinstrument, dessen Preis von anderen Ver-<br />
mögenswerten (engl.: assets) abhängt. Diese Wirtschaftsgüter dienen dann für dieses<br />
Derivat als Basiswert (engl.: underlying asset) und können sein:<br />
• Güter, Rohstoffe, Aktien, Währungskurse und Anleihen.<br />
Die Derivative, denen wir einen Preis festlegen wollen, sind Optionen, Forwards und<br />
Futures. Die Festlegung der Preise hat als Basis, dass keine Arbitrage-Möglichkeiten<br />
existieren. Die Nichtexistenz von Arbitrage-Möglichkeiten ist ein ganz allgemeiner Be-<br />
griff unabhängig von dem Binomial-Modell, welches wir erst später einführen werden.<br />
Definition (Arbitrage-Möglichkeit 1 ): Ist ein Asset (oder ein Portfolio von Assets), des-<br />
sen Wert heute gleich Null ist und dessen Wert in der Zukunft in allen möglichen Zustän-<br />
den nie negativ ist, aber in zumindest einem Zustand strikt positiv ist.<br />
1 Definition 1.1 (Arbitrage Oppurtunity) [2, S.1]<br />
2
1.1 Arbitrage und weitere Grundlagen 1 EINLEITUNG<br />
Durch das folgende Axiom, legen wir nun fest, dass wir keine Arbitrage-Möglichkeiten<br />
zulassen.<br />
Axiom: Es existieren keine Arbitrage-Möglichkeiten. 2<br />
Daraus können wir direkt die nächste Grundlage folgern.<br />
Theorem (Gesetz des einheitlichen Preises 3 ): Sind A und B Assets, für deren Preise in<br />
der Gegenwart(t = 0) gilt P0(A) ≥ 0 , P0(B) ≥ 0, und zu einem beliebigen Zukunfts-<br />
wert T ≥ 0 sind die Preise der beiden Assets gleich in allen möglichen Zuständen:<br />
Dann gilt:<br />
PT (A) = PT (B). (1)<br />
P0(A) = P0(B). (2)<br />
Beweis : Wir zeigen, wenn Gleichung (2) nicht gilt, existiert eine Arbitrage Möglich-<br />
keit. Das heißt ohne Beschränkung der Allgemeinheit (o.B.d.A) nehmen wir an es gilt<br />
P0(A) > P0(B). So können wir ein Portfolio zum gegenwärtigen Zeitpunkt t = 0 mit<br />
einem Startkapital von 0 e konstruieren. Indem wir das asset A ausborgen und verkau-<br />
fen, erhalten wir den Geldbetrag P0(A). Mit diesem kaufen wir das asset B um P0(B)<br />
und wegen der obigen Ungleichung bleibt uns ein Restkapital P0(A) − P0(B) übrig,<br />
welches wir beiseite legen.<br />
Im nächsten Zeitschritt t = T verkaufen wir das Asset B und erhalten den Betrag<br />
PT (B), dann kaufen wir das Asset A um PT (A) zurück und geben es dem ursprüngli-<br />
chen Besitzer wieder, wegen Gleichung (1) haben wir Nettokosten von 0 e. Aus dem<br />
ertsen Zeitschritt haben wir aber noch den positiven Betrag P0(A) − P0(B) und damit<br />
eine Arbitrage-Möglichkeit konstruiert, doch das widerspricht dem Axiom. <br />
Da Optionen die ersten Derivate sind, für die wir eine Preis-Formel herleiten, wieder-<br />
holen wir die Eigenschaften dieser Termingeschäfte.<br />
2 Axiom 1 [2, S.2]<br />
3 Theorem 1.2 (Law of One Price) [2, S.2]<br />
3
1.1 Arbitrage und weitere Grundlagen 1 EINLEITUNG<br />
Definition (Optionen 4 ): Eine Call-Option ist das Recht, aber nicht die Verpflichtung,<br />
ein Asset für einen bestimmten Preis vor oder zu einem Fälligkeitsdatum zu kaufen.<br />
Eine Put-Option ist das Recht, aber nicht die Verpflichtung, ein Asset für einen bestimm-<br />
ten Preis vor oder zu einem Fälligkeitsdatum zu verkaufen.<br />
Die notwendigen Parameter, die eine Option beschreiben sind:<br />
• ein Fälligkeitsdatum T, einen Strike bzw. Ausübungspreis K und den Style der<br />
Option.<br />
Der Style einer Option beschreibt, ob es sich bei der Option um eine europäische, ame-<br />
rikanische oder eine andere exotische Art von Optionen handelt.<br />
Bei der Beschreibung einer Preis-Formel wird der Begriff risiko-neutrale Wahrschein-<br />
lichkeiten von Bedeutung sein, dessen Definition nun folgt.<br />
Definition5 : Ein Wahrscheinlichkeitsmaß P ∗ heißt risiko-neutrales Maß, wenn gilt<br />
S0 = E ∗<br />
<br />
S1<br />
. (3)<br />
1 + r<br />
4 Definition 1.4 (Options) [2, S.5]<br />
5 Definition 1.5 [1, S.7]<br />
4
2 Das Binomialmodell<br />
2.1 Das Basis-Modell<br />
2 DAS BINOMIALMODELL<br />
Das Einschritt-Binomialmodell hat zwei Zeitwerte, den gegenwärtigen bzw. zukünfti-<br />
gen Zeitpunkt t = 0 bzw. t = 1. Wie der Ausdruck binomial schon vermuten lässt haben<br />
wir zum Zeitpunkt t = 1 nur zwei mögliche Zustände, die wir einfach mit upstate ↑ und<br />
downstate ↓ bezeichnen. In unserem Basis-Modell haben wir zwei handelbare Assets:<br />
1. Ein riskantes Asset,<br />
2. und ein risikoloses Asset.<br />
Das riskante Asset:<br />
Zu t = 0 , hat das riskante Asset S den bekannten Wert S0 und zu t = 1 bezeichen wir<br />
die zwei möglichen Werte mit S1(↑) und S1(↓). O.B.d.A. können wir annehmen, dass<br />
S1(↑) = S1(↓) und S1(↑) > S1(↓) gilt. Nehmen wir an, dass St in unserem Basismodell<br />
die Entwicklung einer Aktie entspricht.<br />
Das risikolose Asset:<br />
Zu t = 0 hat das risikolose Asset B den Wert B0 = 1 und zu t = 1 auch nur einen Wert<br />
und zwar B1 = R = 1 + r. Das Asset B kann als risikolose Anleihe angesehen werden<br />
und r als der Zins betrachtet werden, den man an 1 e verdient.<br />
Da das Basismodell (Abbildung 1) arbitragefrei sein soll, müssen gewisse Einschrän-<br />
kungen für die Werte der Assets gelten. Durch diesbezügliche Überlegungen erhält man<br />
folgende wichtige Ungleichung<br />
S1(↓) < RS0 < S1(↑), (4)<br />
die äquivalent dazu ist, dass unser Einschritt-Binomialmodell arbitragefrei ist 6 .<br />
6 Exercise 1.1.2 [1, S.6] : in einer Übung der VO Finanzmathematik 1: diskrete Modelle bewiesen.<br />
5
2.1 Das Basis-Modell 2 DAS BINOMIALMODELL<br />
B0<br />
S0<br />
B1<br />
S1(↑)<br />
S1(↓)<br />
Abbildung 1: Basis-Modell<br />
Ein Portfolio von Assets ist in unserem Modell ein Vektor ξ = (ξ 0 , ξ 1 ) T ∈ R 2 , wobei<br />
ξ 0 bzw. ξ 1 die Menge der gehaltenen Anteile von B0 bzw. S0 sind, in der Zeit zwischen<br />
t = 0 und t = 1. Die beiden Assets jeweils zu t = 0 bzw. t = 1 fassen wir noch zu den<br />
Vektoren S0 = (B0, S0) T bzw. S1 = (B1, S1) T zusammen 7 .<br />
Nun wollen wir von einer beliebigen Option X, mit den zwei möglichen Werten X1(↑)<br />
und X1(↓) zum Zeitpunkt t = 1, den Preis X0 festlegen. In diesem Fall bezeichnen wir<br />
X als beliebigen Contingent Claim aus dem Englischen, welches von unserem riskanten<br />
Asset S abhängt.<br />
Zunächst suchen wir ein Portfolio ξ = (ξ 0 , ξ 1 ) T ∈ R 2 , welches unseren Claim repliziert.<br />
Das heißt wir formen folgendes Gleichungssytem nach ξ um:<br />
und erhalten<br />
X1 = ξ · S1 = ξ 0 R + ξ 1 S1, (5)<br />
ξ 1 = X1(↑) − X1(↓)<br />
S1(↑) − S1(↓) , ξ0 = S1(↑)X1(↑) − S1(↓)X1(↓)<br />
. (6)<br />
R(S1(↑) − S1(↓))<br />
Aus der Gleichung (5) und der Annahme das unser Modell arbitragefrei ist, erhalten wir<br />
durch Anwendung des Theorems auf Seite 3 die Gleichung<br />
X0 = ξ · S0 = ξ 0 + ξ 1 S0. (7)<br />
Nun setzen wir die Gleichungen von (6) in die Gleichung (7) ein und erhalten durch<br />
Umformung die Allgemeine Preis Formel 8 eines Contingent Claims X einer Option<br />
7 Verwendete Notation[1, S.3-5]<br />
8 General Pricing Formula[2, S.19]<br />
6
2.1 Das Basis-Modell 2 DAS BINOMIALMODELL<br />
im Einschritt-Binomial-Modell<br />
mit<br />
X0 = p∗X1(↑) + (1 − p∗ )X1(↓)<br />
, (8)<br />
R<br />
p ∗ = RS0 − S1(↓)<br />
S1(↑) − S(1, ↓) > 0, 1 − p∗ = S1(↑) − RS0<br />
S1(↑) − S(1, ↓)<br />
> 0. (9)<br />
Aus der Defintion des Erwartungswerts und der Gleichung (3) folgt unmittelbar, dass<br />
p ∗ bzw. 1 − p ∗ die risiko-neutralen Wahrscheinlichkeiten für die Zustände (↑) bzw. (↓)<br />
sind und wegen der Ungleichung (4)<br />
gelten muss.<br />
0 < p ∗ < 1,<br />
7
2.2 Forwards 2 DAS BINOMIALMODELL<br />
2.2 Forwards<br />
Definition (Forward 9 ): Ein (long/short) Forward ist ein Abkommen zum Kaufen oder<br />
Verkaufen eines Asset S, an einem zukünftigen Zeitpunkt T für einen ausgemachten<br />
Preis F . Zu t = 0 findet keine Zahlung statt und der Preis F heißt Basis-Preis.<br />
Die Bezeichnungen long bzw. short sagen aus, ob sich die Vertragsparteien zum Kauf<br />
bzw. Verkauf verpflichtet haben. In weiterer Folge wird auch die Formulierung benutzt,<br />
dass sich eine Vertragsseite in der long- bzw. short-Position befindet mit den entspre-<br />
chenden Bedeutungen.<br />
Die Auszahlung eines long-Forward entspricht dem Wert ST − F und klarerweise wer-<br />
den wiederum zum Ausstellungszeitpunkt keine Zahlungen vorgenommen. Der ausge-<br />
machte Preis F heißt Forward-Preis und entspricht dem Wert<br />
F = S0 · R. (10)<br />
In einem angepassten Basismodell (Abb.:2) aus Abschnitt 2.1 können wir die Gültigkeit<br />
der Gleichung (10) beweisen.<br />
B0 = 1 B1 = R<br />
S0<br />
ST (↑)<br />
ST (↓)<br />
Abbildung 2: Adaptiertes Basis-Modell<br />
Da zum Ausstellungszeitpunkt keine Zahlungen stattfinden, ist der Wert des Forwards<br />
zum Zeitpunkt t = 0 gleich 0, daraus folgt:<br />
0 = 1<br />
R [p∗ (ST (↑) − F ) + (1 − p ∗ )(ST (↓) − F )<br />
9 Defintion 1.3 (Forward Contract)[2, S.41]<br />
= 1<br />
R [p∗ ST (↑) + (1 − p ∗ )ST (↓] − F<br />
R<br />
= S0 − F<br />
R ⇒ F = S0 · R.<br />
8
2.3 FX-Derivate 2 DAS BINOMIALMODELL<br />
2.2.1 Anwendung<br />
Die Forwards und die im Kapitel 4 eingeführten Futures haben eine praktische Bedeu-<br />
tung für Marktteilnehmer die mit Waren und Rohstoffen handeln wollen 10 .<br />
Ein Bauer und ein Nudelhersteller werden das gegenseitige Interesse haben einen For-<br />
ward abzuschließen, der die Vertragsparteien verpflichtet, eine gewisse Menge und Güte<br />
von Weizen zu verkaufen bzw. kaufen und das zu einem bestimmten Preis und Zeit-<br />
punkt.<br />
Durch den Abschluss eines Forwards nehmen sich die Beteiligten die Ungewissheit<br />
zu welchem Preis sie eine Ware kaufen bzw. verkaufen müssen und können mit dem<br />
fixierten Preis ihre Finanzgeschäfte besser planen.<br />
2.3 FX-Derivate<br />
Unter Verwendung des Basis-Modells aus Abschnitt 2.1 führen wir ein Modell ein, das<br />
die Entwicklung eines Wechselkurses beschreibt. Der Wechselkurs kann in dem Sinn<br />
gewählt werden, dass er eine beliebige ausländische Währung (USD) in der heimischen<br />
Währung (EUR) ausdrückt. In weiterer Folge erweitern wir das Modell um eine heimi-<br />
sche und eine ausländische Zinsrate deren Entwicklungen folgendermaßen beschrieben<br />
werden:<br />
• B h 0 = 1, B h 1 = Rh = 1 + rh bzw. B a 0, B a 1 = Ra = 1 + ra.<br />
Die Abbildung 3 zeigt, dass das Modell nicht nur von der Entwicklung des Wechselkur-<br />
ses, sondern auch von den betreffenden Zinsraten abhängt.<br />
Nun legen wir den Preis eines Derivats fest, das vom Wechselkurs abhängt, sogenannte<br />
Foreign Exchange-Derivate(FX-Derivate). Dazu wählen wir ein beliebiges Contingent<br />
Claim mit dem Wert W1 in den zwei möglichen Zuständen zum Zeitpunkt t = 1.<br />
10 Remark 3.2[2, S.43]<br />
9
2.3 FX-Derivate 2 DAS BINOMIALMODELL<br />
B h 0<br />
X0<br />
B h 1 = Rh<br />
Ra · X1(↑)<br />
Ra · X1(↓)<br />
Abbildung 3: Wechselkurs-Modell<br />
Um den Preis W0 festzulegen gehen wir analog wie in Abschnitt 2.1 vor, indem wir zu-<br />
nächst ein replizierendes Portfolio von W1 beschreiben und anschließenden das Theo-<br />
rem auf Seite 3 anwenden. Die Gleichungen in der Zeile (11) zeigen den beschriebenen<br />
Lösungsweg,<br />
W1 = ξ 0 Rd + ξ 1 RfX1, W0 = ξ 0 + ξ 1 X0. (11)<br />
Durch Umformen und Einsetzen erhalten wir eine allgemeine Formel, um den Preis<br />
eines beliebigen Contingent Claims zu berechnen<br />
W0 = 1<br />
mit den risiko-neutralen Wahrscheinlichkeiten<br />
p ∗ =<br />
2.3.1 Anwendung<br />
[p<br />
Rd<br />
∗ W1(↑) + (1 − p ∗ )W1(↓)], (12)<br />
Rd<br />
Rf X0 − X1(↓)<br />
X1(↑) − X1(↓) , 1 − p∗ = X1(↑) − Rd<br />
Rf X0<br />
X1(↑) − X1(↓)<br />
. (13)<br />
Modelle dieser Art sind notwendig um Preise von Optionen festzulegen, die Marktteil-<br />
nehmer kaufen um sich vor Wechselkursschwankungen abzusichern.<br />
Betrachten wir eine europäische Firma die Waren nach Amerika exportiert. Für den<br />
Transport gibt die Firma Geld aus, welches sie durch den Verkauf dieser Waren in Ame-<br />
rika erst später wieder einnehmen kann. Um sich vor einem fallenden Wechselkurs des<br />
USD abzudecken, kann sich die Firma Put-Optionen kaufen und diese zum Fälligkeits-<br />
datum ausüben, wenn der Kurs XT unter dem ausgemachten Strike Preis K gefallen<br />
ist. Der Firmenbesitzer kann also mit dem höheren Kurs K, sein durch den Verkauf der<br />
Waren angesammeltes Vermögen(in USD) in seine heimische Währung umwechseln.<br />
10
2.4 Zinsderivate 2 DAS BINOMIALMODELL<br />
2.4 Zinsderivate<br />
Um ein geeigenetes Binomialmodell zu formulieren benötigen wir die Funktion P T<br />
t ,<br />
die den Wert zum Zeitpunkt t, von 1 EUR zum späteren Fälligkeitszeitpunkt T , anzeigt.<br />
Die Funktion P T<br />
t entspricht dann also dem Wert einer auf den Zeitpunkt t diskontierten<br />
Anleihe, die 1 EUR zum Fälligkeitsdatum T wert ist.<br />
Erneut unter Verwendung des Basismodells aus Abschnitt 2.1 für die Entwicklung der<br />
diskontierten Anleihe P T<br />
t , mit beliebigem Fälligkeitsdatum T ≥ 2 erhalten wir das in<br />
Abbildung 4 dargestellte Binomialmodell.<br />
B0 = 1<br />
P T 0<br />
B1 = R = 1<br />
P 1 0<br />
P T 1 (↑)<br />
P T 1 (↓)<br />
Abbildung 4: Zinsraten-Modell<br />
Durch die Resultate der vorigen Abschnitte, können wir die Preisformel eines Contin-<br />
gent Claims W sofort anschreiben durch<br />
mit den risiko-neutralen Wahrscheinlichkeiten<br />
W0 = 1<br />
R [p∗ W1(↑) + (1 − p ∗ )W1(↓)], (14)<br />
p ∗ = RP T 0 − P T 1 (↓)<br />
P T 1 (↑) − P T 1 (↓) , 1 − p∗ = P T 1 (↑) − RP T 0<br />
P T 1 (↑) − P T . (15)<br />
1 (↓)<br />
Die risiko-neutrale Wahrscheinlichkeit p ∗ ist unabhängig vom Fälligkeitszeitpunkt T ,<br />
denn für ein beliebiges T gilt<br />
P T 0 = 1<br />
R [p∗ P T 1 (↑) + (1 − p ∗ )P T 1 (↓)], (16)<br />
und durch Umformen nach p ∗ erhalten wir die Gleichung<br />
p ∗ = RP T 0 − P T 1 (↓)<br />
P T 1 (↑) − P T , (17)<br />
1 (↓)<br />
11
2.4 Zinsderivate 2 DAS BINOMIALMODELL<br />
die mit der ersten Gleichung aus Zeile (15) übereinstimmt.<br />
Zwei bekannte und erwähnenswerte Zinsraten-Modelle sind das Ho-Lee-Modell 11 und<br />
das Black-Derman-Toy-Modell 12 .<br />
Das Ho-Lee-Modell war das erste arbitragefreie Zinsraten-Modell 13 , und bei gegebener<br />
Wahrscheinlichtkeit p ∗ und Konstante k gilt in diesem Modell R1(↑) = kR1(↓).<br />
Im Black-Derman-Toy-Modell werden die Zinsraten r1(↑) und r1(↓), bei gegebener<br />
Wahrscheinlichkeit p ∗ und Volatilität σ > 1 durch r1(↑) = σr1(↓) festgelegt.<br />
11 [2, S.57] und [2, Abschnitt 13.3]<br />
12 [2, S.58] und [2, Abschnitt 13.6]<br />
13 http://en.wikipedia.org/wiki/Ho-Lee_model<br />
12
3 Mehr-Perioden-Modell<br />
3.1 Struktur<br />
3 MEHR-PERIODEN-MODELL<br />
Zum Aufbau des Mehr-Perioden-Modells (Abb.: 5) führen wir Knoten mit der Beschrif-<br />
tung (n, j) ein, die den gegenwärtigen Zeitpunkt n und den jeweiligen Zustand j dar-<br />
stellen. Bei der Beschreibung der Entwicklung von Assets, werden die Knoten in die<br />
Indizes des jeweiligen Assets geschrieben(s. Abb. 6).<br />
Ein beliebiger Knoten (n, j) entwickelt sich im nächsten Zeitschritt nur in die zwei<br />
möglichen Zustände (n + 1, j + 1) und (n + 1, j). Zu jedem Zeitpunkt n gibt es n + 1-<br />
Zustände und j nimmt die Werte j = 0, 1, 2, . . . , n an. Als maximalen Zeitwert werden<br />
wir die Variable N benützen.<br />
(0, 0)<br />
(1, 1)<br />
(1, 0)<br />
(2, 2)<br />
(2, 1)<br />
(2, 0)<br />
(3, 3)<br />
(3, 2)<br />
(3, 1)<br />
(3, 0)<br />
Abbildung 5: Mehr-Perioden-Modell<br />
Die Vorgehensweise in den N − n-ten Schritten zur Vervollständigung des Modells bis<br />
zum maximalen Zeitwert N ist aus der Abbildung 5 offentsichtlich.<br />
Die Erweiterung der Basismodelle aus Kapitel 2 in ein Mehr-Perioden-Modell, stellt die<br />
Abbildung 6 auf S.14 anhand einer Aktie dar.<br />
Klarerweise ist Rn,j = 1 + rn,j der Wert zum Zeitpunkt t = n + 1, den man nach einer<br />
Investition von 1 EUR zum Zeitpunkt t = n verdient hat.<br />
13
3.2 Rückwärts Induktions Preis Formel 3 MEHR-PERIODEN-MODELL<br />
1<br />
Sn,j<br />
Rn,j = 1 + rn,j<br />
Sn+1,j+1<br />
Sn+1,j<br />
Abbildung 6: Entwicklung einer Aktie S im n-ten Schritt<br />
3.2 Rückwärts Induktions Preis Formel<br />
Da das Multi-Perioden-Modell offensichtlich aus einzelnen Basismodellen besteht, ist<br />
es naheliegend die Resultate aus Kapitel 2 anzuwenden, um den Preis eines Contingent<br />
Claims festzulegen.<br />
Ist W ein beliebiges Contingent Claim einer Option mit den bekannten Auszahlungen<br />
WN,j für alle j = 0, 1, . . . , N. So können wir unter der Anwendung der Allgemeinen<br />
Preis Formel (8), in den einzelnen Basismodellen<br />
1<br />
SN−1,j<br />
RN−1,j = 1 + rN−1,j<br />
SN,j+1<br />
SN,j<br />
Abbildung 7: Entwicklung einer Aktie S im N-ten Schritt<br />
die Werte WN−1,j für alle j = 0, 1, . . . , N − 1 durch<br />
berechnen.<br />
WN−1,j =<br />
1<br />
[p<br />
RN−1,j<br />
∗ N−1,jWN,j+1 + (1 − p ∗ N−1,j)WN,j] (18)<br />
In analoger Weise können wir anschließend die Werte WN−2,j für alle j = 0, 1, . . . , N −<br />
2 in den Basismodellen im N − 2-ten Schritt(s. Abbbildung 8, S.15) berechnen.<br />
14
3.3 Forwards im Mehr-Perioden Modell 3 MEHR-PERIODEN-MODELL<br />
1<br />
SN−2,j<br />
RN−2,j = 1 + rN−2,j<br />
SN−1,j+1<br />
SN−1,j<br />
Abbildung 8: Entwicklung einer Aktie S im N − 1-ten Schritt<br />
Diesen Vorgang können wir induktiv für alle weiteren Schritte N −3, . . . , 1, 0 fortsetzen<br />
und erhalten schlussendlich den Preis W0,0 des Contingent Claims.<br />
Die angewendete Formel (18) im Knoten (n, j) definieren wir als Rückwärts Indukti-<br />
ons Preis Formel 14 :<br />
Wn,j = 1<br />
3.3 Forwards im Mehr-Perioden Modell<br />
[p<br />
Rn,j<br />
∗ n,jWn+1,j+1 + (1 − p ∗ n,j)Wn+1,j]. (19)<br />
Aufbauend auf Abschnitt 2.2 entspricht der Wert des Forwards zum Fälligkeitszeitpunkt<br />
N im Knoten (N, j) dem Ausdruck SN,j − F0,0. Diskontiert man diesen Ausdruck zum<br />
Knoten (0, 0), dann muss dieser Wert für einen fairen Wert von F0,0 gleich 0 sein. So<br />
erhalten wir die Gleichung für den Preis von F durch folgende Schritte:<br />
0 = SN,jP N 0 − F0,0P N 0 = S0,0 − F0,0P N 0 ⇒ F0,0 = S0,0<br />
P N . (20)<br />
0<br />
Wenn Fn,j mit Fälligkeit N, der Forward-Preis von S ist, der im Knoten (n, j) eingelei-<br />
tet ist, dann gilt<br />
Im Mehr-Perioden-Modell zeigt die Funktion P n j,T<br />
EUR zum Zeitpunkt T + n an.<br />
14 Generalized Backward Induction Pricing Formula[2, Abschnitt 4.4]<br />
Fn,j = Sn,j<br />
P n . (21)<br />
j,N−n<br />
15<br />
den Wert im Knoten (n, j) von 1
4 Futures<br />
4 FUTURES<br />
Ein Future ist ein verbindliches Termingeschäft, das an Börsen gehandelt wird. Er ist<br />
wie der Forward(s. Abschnitt 2.2), ein Abkommen zwischen zwei Vertragsparteien, hat<br />
aber einen bedeutsamen Vorteil. Die Futures lösen nämlich das Problem, dass die Partei<br />
in der short-Position das Risiko des Zahlungsverzugs bzw. Versäumnisses des Vertrags-<br />
partners trägt.<br />
Da die Ausstellungs- und Fälligkeitsdaten eine große Zeitspanne entwickeln können,<br />
kann das Szenario auftreten, dass der zum Kauf verpflichtete Vertragspartner nicht mehr<br />
ausreichend liquide ist und dadurch in Zahlungsverzug kommt, was der anderen Ver-<br />
tragspartei natürlich schadet. Wie der Future dieses Problem beseitigt wird im letzten<br />
Abschnitt 4.4 gezeigt.<br />
Zusammengefasst ist also ein Future, ein börsengehandelter Vertrag, der zum Kauf bzw.<br />
Verkauf eines Assets zu einem ausgemachten Preis G0,0 und zu ausgemachter Zeit N<br />
verpflichtet. Diese Verträge sind standardisiert durch die jeweiligen Börsen. Zur Be-<br />
deutung der Futures sei erwähnt, dass auf einer der größten Options-Börsen der Welt,<br />
der Chicago Board Options Exchange (CBOE 15 ), über eine Milliarde Verträge jährlich<br />
abgeschlossen werden.<br />
4.1 Margin<br />
Jede Börse hat ihre eigenen speziellen Regeln, aber im Allgemeinen muss man eine<br />
Margin(engl.:Margin Account[2, S.90]) an einer Börse eröffnen um einen Future über-<br />
haupt abschließen zu können. Ähnlich wie bei Bankkonten verdient man durch einge-<br />
zahltes Kapital Zinsen, muss aber auch einen durch die Börse festgesetzten Mindestbe-<br />
trag auf dem Konto haben, der einer gewissen Sicherheitsleistung gegenüber der Börse<br />
entspricht. Die Abrechnungsstelle der Börse hat Zugriff auf das Konto und kann zu-<br />
sätzliche Beträge einzahlen bzw. entnehmen. Wenn der Betrag auf dem Konto unter<br />
dem Mindestbetrag fällt, kommt es zu einem Margin Call(deutsch:Aufruf zur Sicher-<br />
15 http://de.wikipedia.org/wiki/Chicago_Board_Options_Exchange<br />
16
4.2 Future-Preis 4 FUTURES<br />
heitsleistung 16 ), der ein Warnhinweis an den betroffenen Kontoinhaber ist. Kommt der<br />
Händler dem Aufruf zur erneuten Hinterlegung einer Sicherheitsleistung nicht nach,<br />
dann wird der Vertrag automatisch ausgeschlossen.<br />
4.2 Future-Preis<br />
Betrachten wir ein konkretes Beispiel in dem zwei Firmen einen Future an der Börse<br />
abschließen wollen und es sich bei dem Asset um eine Aktie S handelt. Weiters nehmen<br />
wir an, dass in diesem Beispiel kein Margin Call notwendig sein wird.<br />
Die Firma in der long-Position, eröffnet einen Margin Account mit dem Betrag M0,0 und<br />
die Firma die sich zum Verkauf verpflichtet hat, eröffnet ebenso einen Margin Account<br />
mit dem Betrag L0,0 . Klarerweise beschreiben Mn,j und Ln,j die Werte der Margin<br />
Accounts und Gn,j den Future Preis zum Zeitpunkt n in dem Zustand j. Offensichtlich<br />
gilt für den Future-Preis zum Fälligkeitsdatum N, GN,j = SN,j für alle j = 0, 1, . . . , N.<br />
Um den Preis des Futures in den vorigen Zeitschritten n < N zu berechnen, betrachten<br />
wir zunächst die Entwicklung der Margin Accounts. Die Dynamic der Margin Accounts<br />
M bzw. L beschreiben die Gleichungen (22) und (23) bzw. (24) und (25).<br />
Mn+1,j+1 = Mn,jRn,j + [Gn+1,j+1 − Gn,j] (22)<br />
Mn+1,j = Mn,jRn,j + [Gn+1,j − Gn,j] (23)<br />
Ln+1,j+1 = Ln,jRn,j − [Gn+1,j+1 − Gn,j] (24)<br />
Ln+1,j = Ln,jRn,j − [Gn+1,j − Gn,j] (25)<br />
Von einem gegenwärtigen Zeitpunkt n zum zukünftigen Zeitwert n + 1 verdienen beide<br />
Margin Accounts durch den aktuellen Betrag Zinsen Mn,jRn, j bzw. Ln,jRn,j.<br />
Aus den Vorzeichen der Gleichungen (22) und (24) ist weiters ersichtlich, dass wenn<br />
der Preis des Futures steigt, dann wird den Margin Accounts M bzw. L, die Differenz<br />
Gn+1,j+1 − Gn,j > 0 gutgeschrieben bzw. belastet.<br />
16 http://de.wikipedia.org/wiki/Margin_Call<br />
17
4.2 Future-Preis 4 FUTURES<br />
Im Szenario, dass der Future-Preis sinkt ist aus den Gleichungen (23) und (25) der<br />
umgekehrte Fall zu betrachten.<br />
Den Prozess, die Margin Accounts in jeder Zeitperiode den Entwicklungen anzupassen,<br />
nennt man marking to market[2, S.91]. An den Börsen werden also die Gewinne bzw.<br />
Verluste nicht erst zur Auflösung des Vertrages ermittelt, sondern durch die verantwort-<br />
liche Abrechnungsstelle täglich berechnet und den jeweiligen Konten gutgeschrieben<br />
bzw. belastet. Dieser Prozess entspricht also einem täglichen Gewinn- und Verlustaus-<br />
gleich 17 .<br />
Um den Future-Preis zu berechnen, verwenden wir die Rückwärts Induktions Preis For-<br />
mel (19) für den Margin Account M, so gilt in einem beliebigen Knoten (n, j):<br />
Mn,j = p∗ n,j<br />
Mn+1,j+1 +<br />
Rn,j<br />
1 − p∗n,j Rn,j<br />
Mn+1,j. (26)<br />
Im nächsten Schritt setzten wir (22) und (23) in die Gleichung (26) ein und formen nach<br />
Gn,j um:<br />
Mn,j = p∗n,j (Mn,jRn,j + [Gn+1,j+1 − Gn,j]) +<br />
Rn,j<br />
1 − p∗n,j Rn,j<br />
= Mn,j + p∗n,j [Gn+1,j+1 − Gn,j] +<br />
Rn,j<br />
1 − p∗n,j [Gn+1,j − Gn,j]<br />
Rn,j<br />
= Mn,j + p∗n,j [Gn+1,j+1] +<br />
Rn,j<br />
1 − p∗n,j [Gn+1,j] −<br />
Rn,j<br />
Gn,j<br />
Rn,j<br />
Aus den obigen Gleichungen folgt unmittelbar<br />
(Mn,jRn,j + [Gn+1,j − Gn,j])<br />
Gn,j = p ∗ n,jGn+1,j+1 + (1 − p ∗ n,j)Gn+1,j, (27)<br />
und da zusätzlich GN,j = SN,j für alle j = 0, 1, . . . , N gilt, können wir in analoger<br />
Weise zu Abschnitt 3.2, Gn,j zu jedem Zeitpunkt n und in jedem Zustand j berechnen.<br />
17 http://www.deifin.de/fuma2.htm<br />
18<br />
.
4.3 Der Marginwert zur Fälligkeit 4 FUTURES<br />
4.3 Der Marginwert zur Fälligkeit<br />
Für beide Vertragsparteien wird sich natürlich die Frage stellen, welchen Betrag MN,j<br />
bzw. LN,j sie zum Fälligkeitszeitpunkt auf ihren Margin Accounts haben.<br />
Dazu betrachten wir erneut die Gleichungen (22) - (25) und formen diese um. Den<br />
Ausdruck Rn,j ersetzen wir mit 1 + rn,j und bringen Mn,j bzw. Ln,j auf die andere Seite<br />
und erhalten folgende Gleichungen:<br />
Mn+1,j+1 − Mn,j = Mn,jrn,j + [Gn+1,j+1 − Gn,j] (28)<br />
Mn+1,j − Mn,j = Mn,jrn,j + [Gn+1,j − Gn,j] (29)<br />
Ln+1,j+1 − Ln,j = Ln,jrn,j − [Gn+1,j+1 − Gn,j] (30)<br />
Ln+1,j − Ln,j = Ln,jrn,j − [Gn+1,j − Gn,j]. (31)<br />
Betrachten wir nun ein beliebiges Szenario mit Fälligkeitsdatum N = 3, dessen Ent-<br />
wicklung durch die Knoten (0, 0) → (1, 1) → (2, 1) → (3, 2) beschrieben wird. Die<br />
entsprechende Entwicklung des Margin Accounts M nach dem Szenario, ergibt aus den<br />
Gleichungen (28) und (29) folgende Beziehungen:<br />
M1,1 − M0,0 = M0,0r0,0 + G1,1 − G0,0<br />
M2,1 − M1,1 = M1,1r1,1 + G2,1 − G1,1<br />
M3,2 − M2,1 = M2,1r2,1 + G3,2 − G2,1.<br />
Durch Addieren der drei Gleichungen miteinander und dem Ersetzen von G3,2 durch<br />
S3,2 erhalten wir<br />
M3,2 − M0,0 = M0,0r0,0 + M1,1r1,1 + M2,1r2,1 + [S3,2 − G0,0].<br />
Mit der letzten Umformung ist nun klar ersichtlich, dass sich der Betrag M3,2 zum Fäl-<br />
ligkeitsdatum, aus dem ursprünglichen Wert, den verdienten Zinsen und der Differenz<br />
des Future-Peises und der Aktie S zusammensetzt:<br />
M3,2 = M0,0 + M0,0r0,0 + M1,1r1,1 + M2,1r2,1 + [S3,2 − G0,0].<br />
Durch analoger Vorgehensweise für den Margin Account L erhalten wir die jeweiligen<br />
19
4.4 Forwards und Futures im Vergleich 4 FUTURES<br />
allgemeinen Formeln<br />
Mn,j = M0,0 + Zinsen + [Gn,j − G0,0] (32)<br />
Ln,j = L0,0 + Zinsen + [Gn,j − G0,0] (33)<br />
die für alle Knoten (n, j) mit n = 1, 2, . . . , N und j = 0, 1, . . . , n gelten.<br />
4.4 Forwards und Futures im Vergleich<br />
Wir werden uns nun dem Problem des Zahlungsverzugs stellen, und nehmen an, dass<br />
der Kontoinhaber des Margin Accounts M in einem beliebigen Knoten (n, j) in Verzug<br />
kommt. Das kann geschehen wenn der Betrag Mn,j unter der in Abschnitt 4.1 eingeführ-<br />
ten Sicherheitsleistung fällt. Der Besitzer erhält in weiterer Folge einen Margin Call.<br />
Nehmen wir an, der Kontoinhaber folgt diesem Warnhinweis nicht, dann wird diese<br />
Handelsposition automatisch geschlossen.<br />
Die zuständige Abrechnungsstelle der Börse arrangiert in diesem Fall mit einem an-<br />
deren Marktteilnehmer einen neuen Vertrag mit gleichem Fälligkeitsdatum N. In den<br />
meisten Fällen ist es den Marktteilnehmern auch nicht bekannt, dass der ursprüngliche<br />
Vertragspartner in Zahlungsversäumnis geraten ist und keine weitere Sicherheitsleistung<br />
hinterlegt hat.<br />
Wir sehen, dass die Erfindung des Prozesses marking to market und von Margin Ac-<br />
counts, das Problem des Zahlungsverzugs in Forwards gelöst hat. Tatsächlich ist mar-<br />
king to market eine übliche Eigenschaft vieler Finanzmärkte, die garantiert, dass kein<br />
Marktteilnehmer dieses Risiko trägt.<br />
20
4.4 Forwards und Futures im Vergleich 4 FUTURES<br />
Das nächste Theorom zeigt unter welchen Voraussetzungen die Preise von Futures und<br />
Forwards übereinstimmen.<br />
Theorem 18 : Stimmen die Zinsraten in jedem Zeitschritt n in allen Zuständen j =<br />
0, 1, . . . , n überein, dann gilt:<br />
Beweis :Die Prämisse lässt sich wie folgt formulieren:<br />
Fn,j = Gn,j für alle (n, j). (34)<br />
∀n = 0, 1, . . . , N ∀i, j = 0, 1, . . . , n : i = j ⇒ Rn,i = Rn,j.<br />
In Folge verwenden wir Rn für alle n, als verdiente Zinsrate an 1 EUR im Zeitschritt<br />
n − 1 für alle j = 0, 1, . . . , n. Weiters gilt<br />
FN,j = GN,j = SN,j, ∀j = 0, 1, . . . , N. (35)<br />
Wir müssen im Folge dessen nur zeigen, dass die Rückwärts Induktions Preis Formel<br />
von Fn,j, mit der von Gn,j (Gleichung (27)) übereinstimmt.<br />
Der Ausdruck P n j,N−n<br />
beschreibt den diskontierten Wert im Knoten (n,j) von 1 EUR<br />
zum Zeitpunkt N und kann deswegen folgendermaßen umformuliert werden:<br />
P n j,N−n = 1<br />
Rn<br />
·<br />
1<br />
Rn+1<br />
Die obige Gleichung in (21) eingesetzt ergibt:<br />
Fn,j = Rn · Rn+1 · · · · · RN−1 · Sn,j<br />
<br />
1<br />
= Rn · Rn+1 · · · · · RN−1 ·<br />
· · ·<br />
1<br />
RN − 1 .<br />
[p<br />
Rn<br />
∗ n,jSn+1,j+1 + (1 − p ∗ n,j)Sn+1,j]<br />
= Rn+1 · · · · · RN−1 · p ∗ n,jSn+1,j+1 + (1 − p ∗ <br />
n,j)Sn+1,j .<br />
Daraus folgt die Gleichung<br />
Fn,j = p ∗ n,jFn+1,j+1 + (1 − p ∗ n,j)Fn+1,j,<br />
die mit der Rückwärts Induktions Preis Formel (27) für G übereinstimmt. Aus der Glei-<br />
chung (35) können wir nun schließen, dass Fn,j = Gn,j für alle n < N und j =<br />
0, 1, . . . , n gilt. <br />
18 Theorem 6.5 [2, S.2]<br />
21
LITERATUR LITERATUR<br />
Quellenverzeichnis<br />
Literatur<br />
[1] Hans Föllmer and ; Alexander Schied. Stochastic Finance. De Gruyter.<br />
[2] John van der Hoek and ; Robert J. Elliott. Binomial Models in Finance. Springer<br />
Finance Textbook, 2006.<br />
22