Diplomarbeit Peter Eiswirt (2011)

1.2. Heizen durch technische Ursachen
valls df. Die Integration über alle Frequenzen ergibt dann das mittlere Quadrat 〈X(t) 2 〉
der Größe X(t). Sofern der Mittelwert X0 = 〈X(t)〉 verschwindet, ist das mittlere Quadrat
〈X(t) 2 〉 gleich der mittleren quadratischen Abweichung
〈∆X 2 〉 = 〈X(t) 2 〉 − 〈X(t)〉 2
der Größe X(t). Ist die PSD einer Größe X(t) unabhängig von der Frequenz
(1.17)
SX(f) = const , (1.18)
so spricht man von einem „weißen Rauschen“. Die Frequenzunabhängigkeit gilt jedoch
typischerweise nur innerhalb eines Frequenzbereichs.
Bestimmung der Speicherzeiten durch parametrisches Heizen
Zur Berechnung der parametrischen Heizrate wird eine zeitabhängige Federkonstante
k(t) in den Hamilton-Operator in Gleichung 1.14 eingeführt. Mit der relativen Störung
kann dies zu
ɛ(t) = ∆k
H = p2
2M
k0
= k(t) − k0
k0
+ 1
2 k0(1 + ɛ(t))x 2
(1.19)
umgeschrieben werden. Dabei ist k0 die zeitgemittelte Federkonstante des harmonischen
Oszillators. Die Position x0 in Gleichung 1.14 kann für die Berechnung der Heizrate
o.B.d.A. auf Null gesetzt werden. Zur Berechnung der mittleren Heizrate 〈 ˙ E〉 wird der
Term
H ′ (t) = 1
2 ɛ(t)k0x 2 = 1
2 ɛ(t)Mω2 trx 2
(1.20)
in Gleichung 1.19 als kleine Störung angesehen. Mit Methoden der zeitabhängigen Störungstheorie
1. Ordnung werden die Übergangsraten zwischen den Zuständen |n〉 des
ungestörten Hamilton-Operators berechnet. Mit diesen kann dann ein Ausdruck für die
mittlere Heizrate 〈 ˙ E〉 bestimmt werden. Für eine ausführlichere Darstellung der Berechnung
sei auf [20] verwiesen. Es ergibt sich der Zusammenhang
〈 ˙ E〉 = π
2 ω2 trSɛ(2ωtr)〈E〉 = π 2 f 2 trSɛ(2ftr)〈E〉 , (1.21)
wobei ftr die Fallenfrequenz in Hz und Sɛ(f) die spektrale Leistungsdichte der Größe
ɛ ist. Nur Schwankungen mit der doppelten Fallenfrequenz 2ftr haben Einfluss auf die
Heizrate der Atome in der Falle. Weiterhin ist zu erkennen, dass die mittlere Heizrate
19