Technische Physik I - The Faculty of Computer Science and ...

Technische Physik I
für den Studiengang Electrical Engineering
Vorlesungsmanuskript
von
Prof. Dr. G. Waller
Fachhochschule Kiel
Fachbereich
Informatik und Elektrotechnik
Version 4.0
ab WS 2005/2006

Seite 2 Technische Physik 2. September 2005

2. September 2005 Technische Physik Seite 3
Inhaltsverzeichnis:
1. Einleitung .......................................................... 7
1.1 Physik, was ist das? ............................................... 7
1.2 Basisgrößen und -einheiten ......................................... 8
1.3 Physikalische Gleichungen ........................................ 11
2. Mechanik fester Körper............................................... 13
2.1 Kinematik...................................................... 13
2.1.1 Geradlinige Bewegung ...................................... 13
2.1.2 Das Unabhängigkeitsprinzip .................................. 21
2.1.3 Bewegung in mehreren Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.4 Bewegung auf der Kreisbahn.................................. 26
2.2 Dynamik....................................................... 30
2.2.1 Die Newtonschen Bewegungsgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.2 Beschleunigte Bezugssysteme und Trägheitskräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 Der Impuls ..................................................... 41
2.4 Arbeit und Energie............................................... 43
2.5 Stoßprozesse ................................................... 51
3. Mechanische Schwingungen ........................................... 55
3.1 Freie, ungedämpfte Schwingung .................................... 55
3.2 Freie, gedämpfte Schwingung ...................................... 60
3.3 Erzwungene Schwingungen........................................ 64
3.4 Gekoppelte Schwingungen ........................................ 70

Seite 4 Technische Physik 2. September 2005
4. Wärmelehre ........................................................ 75
4.1 Die Temperatur ................................................. 75
4.2 Thermische Ausdehnung .......................................... 77
4.2.1 Festkörper ................................................ 77
4.2.2 Flüssigkeiten .............................................. 79
4.2.3 Gase ..................................................... 80
4.3 Die Wärmekapazität.............................................. 82
4.4 Wärmeübertragung............................................... 84
4.4.1 Wärmequellen ............................................. 84
4.4.2 Konvektion, Wärmeströmung ................................. 86
4.4.3 Wärmeleitung ............................................. 86
4.4.4 Wärmestrahlung............................................ 88
5. Einführung in die Wellenlehre ......................................... 93
5.1 Die harmonische Welle ........................................... 93
5.2 Typische Wellenerscheinungen .................................... 103
5.2.1 Dopplereffekt............................................. 103
5.2.2 Überlagerung von Wellen (Interferenz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.2.3 Stehende Wellen .......................................... 111
5.2.4 Das Huyghenssche Prinzip .................................. 115
5.2.5 Reflexion von Wellen ...................................... 116
5.2.6 Brechung von Wellen ...................................... 117
5.2.7 Beugung von Wellen ....................................... 118
6. Geometrische Optik................................................. 119
6.1 Modellvorstellungen des Lichtes ................................... 119

2. September 2005 Technische Physik Seite 5
6.2 Reflexion des Lichtes............................................ 120
6.3 Brechung des Lichtes ............................................ 124
6.4 Anwendung der Lichtbrechung .................................... 126
6.4.1 Prisma .................................................. 126
6.4.2 Optische Linsen ........................................... 127
6.43 Lichtleitfasern ............................................ 129
6.4.4 Brechungserscheinungen in der Natur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7. Wellenoptik ....................................................... 135
7.1 Die Spektralfarben des Lichtes .................................... 135
7.2 Die Interferenz des Lichtes ....................................... 145
7.2.1 Kohärenz ................................................ 145
7.2.2 Interferenz an planparallelen Platten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.3 Die Beugung des Lichtes ......................................... 150
7.4 Die Polarisation des Lichtes....................................... 157

Seite 6 Technische Physik 2. September 2005

2. September 2005 Technische Physik Seite 7
1. Einleitung
1.1 Physik, was ist das?
Physik kommt vom griechischen Wort physis=Natur. Das Hauptziel der Physik ist die Erforschung
und das Verstehen der unbelebten Natur sowie die Beschreibung der Erscheinungen
durch eine begrenzte Anzahl von Naturgesetzen. Dazu werden die Naturvorgänge gezielt
durch Experimente studiert und anschließend mathematisch beschrieben. Dabei hat man
historisch die Feststellung gemacht, dass ein Grundgesetz um so einfacher wird, je mehr man
sich der Wahrheit annähert.
Beispiel Planetenbewegung: Kristallsphären � Keplersche Gesetze.
Eine Vielzahl von Grundgesetzen bilden zusammen gefasst eine wissenschaftliche Theorie,
die in sich widerspruchsfrei sein muss. Beispiele solcher Theorien sind die Newtonsche Mechanik,
die Quantenmechanik oder die Relativitätstheorie. Wichtiges Kennzeichen einer
physikalischen Theorie ist, dass sie einerseits Vorhersagen macht, die durch Experimente
prinzipiell überprüft werden können (z.B. Bahnkurve eines Steines beim schiefen Wurf), andererseits
stets und überall in ihren Grundaussagen nachprüfbar ist durch entsprechende Experimente
(z.B. F = m�a). Einstein hat dies sehr streng formuliert: "Jedes physikalische Gesetz
muss gleichzeitig eine Messvorschrift für eine reproduzierbare Messung darstellen".
Beispiel: Einsteins Vorhersage der Lichtablenkung im Gravitationsfeld der Sonne
Bezeichnender Weise ist es bisher nicht gelungen alle physikalischen Theorien unter einer
gemeinsamen Theorie zusammenzufassen. Während die Quantenmechanik und die Newtonsche
Mechanik ineinander überzuführen sind beim Übergang von kleinen Dimensionen zu
großen Dimensionen und dabei nicht zum Widerspruch führen, sind die Aussagen der Quantenmechanik
konträr zu denen der Relativitätstheorie, wenn man sie auf kosmische Bereiche
anwendet. Eines der Hauptziele der theoretischen Physik ist heute die Vereinheitlichung
dieser beiden Theorien.
Beispiel: Heisenbergsche Weltformel in den 60ern oder Stephen Hawking heute
Warum Physik für Elektroingenieure?
In der Elektrotechnik stellt man sich gern auf den Standpunkt, die Elektrizitätslehre als abgeschlossenes
Gebiet zu betrachten, welches auch ohne den physikalischen Hintergrund zu
behandeln ist. Dies ist in vielen Fällen auch sinnvoll und richtig und erlaubt ein praxisnahes
Verständnis der elektrischen Vorgänge (Beispiel: technische Stromrichtung, der Strom fließt
vom Pluspol einer Spannungsquelle zum Minuspol, physikalisch werden aber Elektronen
durch den Draht transportiert, vom Minuspol zum Pluspol. Dies ist z.B. wichtig beim Halleffekt
oder den Halbleitern).

Seite 8 Technische Physik 2. September 2005
Zunehmend werden heute aber die Elektroingenieure mit Arbeitsbereichen konfrontiert, die
mehr und mehr dem Bereich der Physik zuzuordnen sind. Hierzu einige Beispiele:
- der überwiegende Anteil der elektrischen Energie wird durch Wärmekraftmaschinen
erzeugt, hier spielt die Thermodynamik die entscheidende Rolle; für Kernkraftwerke
kommt die Atomphysik hinzu;
- die moderne Kommunikation wird zukünftig verstärkt durch optische Nachrichtenübertragung
erfolgen, ein sehr wichtiges Instrument hierfür ist der Laser, der sich nur
auf der Basis der Atomphysik verstehen lässt; (Inhalt des zweiten Semesters)
- die Halbleitertechnik entwickelt sich derzeit zu einer Nanostrukturtechnik, d.h. die
Abmessungen der Bauteile sind kleiner als 1�m
Folie Nr.1: 4-Mbit-DRAM
bei der Herstellung solcher Strukturen müssen ganz neue Technologien zum Tragen
kommen, wie die Röntgenstrahl-Lithographie oder der Einsatz von Synchrotron-Strahlung;
- neueste Entwicklungen im Halbleiterbereich sprechen von der Elektronik mit einzelnen
Elektronen (Quantenpunkte), hier kann ohne die Quantentheorie nicht mehr
gearbeitet werden;
Folie: Atome als Datenspeicher
- die Energieübertragung setzt große Hoffnungen auf Supraleiter, die schon nahe der
Raumtemperatur supraleitend sind, die Entwicklung ist bisher bei einer Temperatur
von etwa 125K (-148°C) angelangt, ein Verständnis der Supraleitung ist nur über die
Quantenmechanik möglich (die Hochtemperatur-Supraleitung ist bis heute noch nicht
vollständig verstanden).
1.2 Basisgrößen und -einheiten
Ein großer Teil der Physik beschäftigt sich mit der Messung von physikalischen Größen, wie
z.B. Länge, Zeit, Frequenz, Geschwindigkeit u.v.m. Dabei wird einer Größe G immer ein bestimmter
Zahlenwert {G} zugeordnet. Dieser Zahlenwert macht aber nur dann einen Sinn,
wenn wir ihn mit einer bestimmten Grundeinheit vergleichen können. So ist die Aussage, dass
die Länge 2 ist sinnlos, solange wir nicht sagen, auf welche Grundeinheit (z.B. m, ft, Å) sich
dieser Wert bezieht. Daher gibt man zu jedem Zahlenwert der physikalischen Größe auch stets
die Einheit [G] mit an. Eine physikalische Größe ist also nach folgendem Schema aufgebaut:
So gilt für die Länge � = 2m: {�} = 2 und [�] = m.
(1.1)

2. September 2005 Technische Physik Seite 9
Viele physikalische Größen lassen sich durch andere Größen ausdrücken, so dass nicht für
jede Größe eine eigene Grundeinheit definiert werden muss. So lässt sich die Größe
Geschwindigkeit als Quotient aus Länge und Zeit ausdrücken oder die Kraft als Produkt aus
Masse und Länge dividiert durch das Quadrat der Zeit. Für einige Größen führen wir abkürzende
neue Einheiten ein (z.B. [Kraft] = N = kg�m/s²), bei anderen benutzen wir eine zusammengesetzte
Einheit (z.B. [Geschwindigkeit] = m/s). Es ist gelungen, alle physikalische Größen
auf eine Zusammensetzung aus sieben Basisgrößen zu reduzieren. Diese Größen bilden
das internationale Einheitensystem (SI-System):
Basisgröße Basiseinheit Abkürzung
Zeit Sekunde s
Länge Meter m
Masse Kilogramm kg
elektrische Stromstärke Ampere A
Temperatur Kelvin K
Lichtstärke Candela cd
Stoffmenge Mol mol
Da diese Größen voneinander unabhängig sind, werden sie oft auch als Dimensionen bezeichnet
(ähnlich, wie wir von einem dreidimensionalen Raum sprechen und damit die drei
unabhängigen Raumrichtungen meinen, mit deren Hilfe wir jeden Punkt im Raum eindeutig
beschreiben können). Im Laufe der Vorlesung werden wir einige dieser Größen an geeigneter
Stelle genauer definieren. Für die im folgenden betrachtete Mechanik reichen drei dieser
Basisgrößen zur Beschreibung vollständig aus. Es sind dies: Zeit, Länge und Masse.
Aus allen Einheiten lassen sich durch entsprechende Vorsilben größere oder kleinere Einheiten
bilden:
Vorsilbe Abkürzung Zehnerpotenz
Yotta Y 10 24
Zetta Z 10 21
Exa E 10 18
Peta P 10 15
Tera T 10 12
Giga G 10 9
Mega M 10 6

Seite 10 Technische Physik 2. September 2005
Kilo k 10 3
Hekto h 10 2
Dezi d 10 -1
Zenti c 10 -2
Milli m 10 -3
Mikro � 10 -6
Nano n 10 -9
Pico p 10 -12
Femto f 10 -15
Atto a 10 -18
Folie: Gewicht der Erde
Video Nr 1: "Zehn hoch"
Zeit
Die Einheit der Zeitmessung ist die Sekunde. Sie wurde ursprünglich aus der Rotationsdauer
der Erde abgeleitet, dadurch dass jeder Tag in 24h, jede Stunde in 60min und jede Minute in
60s eingeteilt wurde. Eine Sekunde war somit der 86400ste Teil eines mittleren Sonnentages.
Präzisionsmessungen haben allerdings ergeben, dass die Rotation der Erde nicht konstant ist,
sondern sich beständig verlangsamt. Aus diesem Grunde hat man eine unabhängige Zeitdefinition
getroffen:
1s ist die Dauer von 9.192.631.770 Perioden der Strahlung des Atoms Caesium 133
zwischen den Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandes
Realisiert wird die Zeiteinheit in Deutschland durch die sogenannte Atomuhr bei der Physikalisch
Technischen Bundesanstalt (PTB) in Braunschweig. Diese Zeiteinheit wird über Funksignale
jedem Nutzer zugänglich gemacht. Um die Zeitrechnung des Kalenders (Erddrehung)
mit der Atomuhr zu synchronisieren sind am Ende eines Jahres oft sogenannte Schaltsekunden
notwendig.
Video Nr. 2: Definition der Sekunde, Atomuhr
-10
Folie Nr. 2: Atomuhr, Uhrengenauigkeit (heute 10 s/Tag)
-13
Folie: neue Atomuhr (zukünftig 10 s/Tag)

2. September 2005 Technische Physik Seite 11
Länge
Die Längeneinheit Meter wurde ursprünglich als ein Zehnmillionstel des Abstandes zwischen
Nordpol und Äquator definiert und als so genanntes Urmeter in Paris für jeden nachmessbar
aufbewahrt. Um eine höhere Genauigkeit zu erreichen und eine allgemeinere Festlegung zu
schaffen, wurde folgende SI-Definition getroffen:
1m ist die Länge der Strecke, die Licht im Vakuum während der Zeitspanne von
1/299.792.458 Sekunden durchläuft
Bei dieser Definition sehen wir zweierlei: Zum einen wird die Geschwindigkeit des Lichtes
im Vakuum als konstant und unveränderlich vorausgesetzt, zum anderen hängt diese Festlegung
von der Definition der Sekunde ab. Die Basiseinheiten sind somit zwar unabhängig
voneinander, ihre Darstellung kann aber von anderen Basiseinheiten abhängen.
Video Nr. 3: Definition des Meters
Masse
Die Festlegung der Masseneinheit kg ist praktisch noch "antiquiert". Man benutzt einen in
Paris aufbewahrten Zylinder aus Platin-Iridium von 39mm Durchmesser und 39mm Höhe.
Angelehnt ist diese Definition an die ursprüngliche Festlegung der Masse von 1g als 1cm³
Wasser unter bestimmten Druck und Temperaturbedingungen. Verglichen werden Massen
miteinander durch die Kräfte, welche die Schwerkraft der Erde (Gravitation) auf die Massen
ausübt (Wiegen).
Video Nr. 4: neue Massendefinition mit Hilfe von Silizium
Folie: Wie viel Atome hat ein kg?
Folie Nr. 3: Wertebereich in der Natur
1.3 Physikalische Gleichungen
Größengleichungen
Jedes physikalische Gesetz verbindet verschiedene physikalische Größen miteinander und
stellt so einen Zusammenhang zwischen ihnen her. Diese Gleichungen werden als Größengleichungen
bezeichnet. Jede Größe ist hier durch ein Größensymbol (Formelzeichen) vertreten.
Beispiel: Berechne die Masse von 300 m Kupferdraht des Querschnitts 0,785 mm² und der
Dichte �=8,93 g/cm³. Es ergibt sich die allgemeine Lösung

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mit den Formelzeichen m = Masse, A = Querschnitt, V = Volumen und � = Länge.
Durch Einsetzen der jeweiligen Größen als Produkt von Zahlenwert und Einheit folgt eine
spezielle Lösung
Hier ist zu sehen, dass die Einheiten wie Faktoren behandelt werden, gekürzt werden können
und ineinander umgerechnet werden können.
Einheitengleichungen
Mit den Einheiten kann man folglich genauso rechnen, wie mit den physikalischen Größen
selbst. Dies ist oft dann von Nutzen, wenn man sich über die Einheit einer physikalischen
Größe, die keine Basisgröße ist, klar werden möchte.
Beispiel: Kraft = Masse � Beschleunigung = m � a = F
Diese Einheitengleichungen kann man auch sehr gut verwenden, um sich über den Aufbau
einer Größengleichung Klarheit zu verschaffen.
Beispiel: Zusammenhang zwischen Wellenlänge �, Frequenz f und Ausbreitungsgeschwindigkeit
v einer Welle
[�]=m, [f]=1/s, [v]=m/s
Aus diesen Einheiten lässt sich folgende Einheitengleichung zusammenstellen:
[v] = [f]�[�]
Bis auf eventuelle Proportionalitätsfaktoren folgt damit auch der Zusammenhang:
v = f � �

2. September 2005 Technische Physik Seite 13
2. Mechanik fester Körper
2.1 Kinematik
Die Kinematik befasst sich mit der Untersuchung von Bewegungen, d.h. den Zusammenhängen
zwischen den physikalischen Größen Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung und Zeit,
ohne auf die Ursachen der Bewegung einzugehen. Letzteres bleibt dem nächsten Abschnitt,
der Dynamik vorbehalten. Zur Definition der angegebenen Größen betrachten wir zunächst
den einfachen Fall einer linearen Bewegung und verallgemeinern dies später auf die
dreidimensionale Bewegung.
2.1.1 Geradlinige Bewegung
Der Begriff der Geschwindigkeit wird meist als das Verhältnis des zurückgelegten Weges zur
dafür benötigten Zeit definiert:
Wie das einfache Experiment mit der Luftkissenbahn zeigt, ist dies durchaus korrekt:
Experiment 2.1: Luftkissenbahn mit konstanter Geschwindigkeit
Weg s in m Zeit t in s Geschwindigkeit v in m/s
0,358 1,04 0,344
0,621 1,86 0,334
0,930 2,94 0,316
Wir sprechen in diesem Fall von einer gleichförmigen
Bewegung des Körpers, d.h. einer
Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit.
Im Weg-Zeit-Diagramm stellt sich diese Abhängigkeit
wie nebenstehend dar. Dabei kann
der Weg zur Zeit t = 0s schon einen Wert s0
besitzen, so dass gilt
(2.2)
Wir sehen, dass die Geschwindigkeit v als
Steigung der Geraden in dieser linearen Gleichung
auftritt. Wir können daher auch schreiben:
(2.1)
Abb. 2.1

Seite 14 Technische Physik 2. September 2005
Im allgemeinen Fall ändert sich die Geschwindigkeit
eines Körpers mit der Zeit. Wir sprechen
dann von einer ungleichförmige Bewegung.
Mit Hilfe der Gleichung (2.3) kann die Geschwindigkeit
nur noch näherungsweise bestimmt
werden. Wir sprechen dann von der
mittleren Geschwindigkeit im Zeitintervall
�t.
Wollen wir dagegen zu einem bestimmten Zeit-
Abb. 2.2
punkt t die momentane Geschwindigkeit bestimmen,
so müssen wir das Zeitintervall �t möglichst klein machen, d.h. �s und �t gegen
Null gehen lassen. Mathematisch wird dies als Übergang vom Differenzenquotienten zum
Differentialquotienten beschrieben:
Bei diesem Grenzübergang geht die Steigung
der Sekante aus Abb. 2.2 über in die Steigung
der Tangente, wie es in Abb. 2.3 dargestellt
ist. Damit können wir ganz allgemein feststellen:
Die Geschwindigkeit v ist die Steigung der
Kurve im Weg-Zeit-Diagramm.
Beispiel:
Der Weg s ändere sich quadratisch mit der
2
Zeit, d.h. s=A�t . Berechne die
Geschwindigkeit v zur Zeit t 1 (Abb. 2.4).
Ausgehend von Gleichung (2.3) berechnen wir zunächst eine mittlere Geschwindigkeit:
(2.3)
(2.4)
Abb. 2.3

2. September 2005 Technische Physik Seite 15
Für t 2 setzen wir t 1+�t
ein und erhalten:
Führen wir jetzt den Übergang �t� 0 durch,
so folgt:
Dieses Ergebnis hätten wir natürlich mit den
Regeln der Differentialrechnung und der
Beziehung (2.4) schneller erreichen können:
Abb. 2.4
Die Änderung der Geschwindigkeit mit der Zeit bei der ungleichförmigen Bewegung wird
durch eine Beschleunigung a beschrieben. Auch hier müssen wir wieder unterscheiden zwischen
einer gleichförmig beschleunigten Bewegung und einer ungleichförmig beschleunigten
Bewegung. Im ersten Fall ändert sich die Geschwindigkeit linear mit der Zeit (Abb. 2.5).
Für diesen Fall gilt
a besitzt die Einheit [a]= m/s .
2
Entsprechend errechnet sich die
Geschwindigkeit zu einem bestimmten
Zeitpunkt t zu
Wir sehen auch hier:
(2.5)
(2.6)
Abb. 2.5
Die Beschleunigung entspricht der Steigung der Geraden im Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm
(v-t-Diagramm).
Im Falle der ungleichförmig beschleunigten Bewegung können wir mit Hilfe der Gleichung
(2.5) wiederum nur eine mittlere Beschleunigung bestimmen (siehe Abb. 2.6).

Seite 16 Technische Physik 2. September 2005
Abb. 2.6
Abb. 2.7
Zur Ermittlung der momentanen Beschleunigung müssen wir wieder den Grenzübergang zu
kleinen Intervallen durchführen (Abb. 2.7):
Wie schon bei der Geschwindigkeit gilt auch hier:
Die Beschleunigung stellt die Steigung im Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm dar.
Während die Berechnung der Geschwindigkeit bei einer gleichmäßig beschleunigten
Bewegung nach (2.6) sehr einfach ist (a = const.), ist dies im allgemeinen Fall nicht so trivial
(Abb. 2.8).
Aus (2.5) folgt zunächst �v = a��t.
Um hieraus die Geschwindigkeit zur Zeit t
zu bestimmen, müssen wir die einzelnen Elemente
�v aufsummieren. Dies stellt sich im
Beschleunigung-Zeit-Diagramm als Bildung
der Fläche unter der Kurve dar. Damit dies
mit hoher Genauigkeit geschieht, muss wieder
mit dem Grenzübergang �t� 0 gearbeitet
werden:
Abb. 2.8
Diese Rechenvorschrift bezeichnet man als Integration. Besitzen wir zur Zeit t = 0 schon eine
Geschwindigkeit v 0,
so folgt:
(2.7)

2. September 2005 Technische Physik Seite 17
Die Geschwindigkeit zur Zeit t entspricht der Fläche unter der Kurve im Beschleunigung-Zeit-
Diagramm.
Für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung ist a konstant und kann somit vor das Integral
gezogen werden. Es resultiert dann die Formel (2.6).
Ausgangspunkt für die Berechnung des Weges bei ungleichförmiger Bewegung bieten in gleicher
Weise die Beziehungen (2.3) und (2.4) (siehe Abb. 2.9). Wiederum erhalten wir durch
Summation bzw. Integration die Formel:
Da das Integral wiederum die Fläche unter der entsprechenden Kurve darstellt, gilt:
Der zurückgelegte Weg entspricht der Fläche unter der Kurve im Geschwindigkeits-Zeit-
Diagramm.
Abb. 2.9
Betrachten wir wiederum eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit v = a�t (a = const.) so
finden wir aus Abb. 2.9 das Ergebnis
Da auf der anderen Seite gilt
(2.8)
(2.9)
(2.10)

Seite 18 Technische Physik 2. September 2005
finden wir hier die Bestätigung für die allgemeine Integrationsregel
Hat zur Zeit t=0 die Geschwindigkeit v den Wert v 0 und der Weg den Wert s 0,
so muss in das
Integral zur Wegberechnung v = a�t + v 0 eingesetzt werden. Wir erhalten dann die allgemeinere
Beziehung:
Experiment 2.2: Luftkissenbahn mit konstanter Beschleunigung
Anmerkungen:
Weg s in m Zeit t in s Beschleunigung a in
m/s 2
0,429 1,34 0,478 0,641
0,747 1,82 0,451 0,821
1,023 2,16 0,439 0,948
Geschwindigkeit v in
m/s
Abb. 2.10
1) Bremsvorgänge sind ebenfalls Beschleunigungen, allerdings mit negativem Vorzeichen.
2) Eine Bewegung mit einer größeren Geschwindigkeit als der des Lichtes ist nicht
möglich. Die Gleichungen (2.6) und folgende können daher nicht ganz korrekt sein,
da sie bei genügend langer Zeit eine beliebig hohe Geschwindigkeit liefern. Die von
(2.11)
(2.12)

2. September 2005 Technische Physik Seite 19
Einstein entwickelte Relativitätstheorie gibt folgende korrekte Beziehung an:
Dabei ist c die Lichtgeschwindigkeit und a die konstante Beschleunigung. Man
erkennt, dass für kleine Zeiten t und damit geringe Geschwindigkeiten der Nenner zu 1
wird und wir die Formel (2.6) so als Grenzfall erhalten. Für sehr große Zeiten t ist
dagegen die 1 im Nenner zu vernachlässigen und wir erhalten v=c.
Fallbewegung:
Ein sehr typisches Beispiel für eine gleichförmig beschleunigte Bewegung ist der freie Fall
von Körpern nahe der Erdoberfläche. Schon von Galilei wurde festgestellt, dass alle Körper
die gleiche Fallbeschleunigung erfahren, sofern der Luftwiderstand ausgeschaltet ist.
Experiment 2.3: Freier Fall im Vakuum
Der Wert der Beschleunigung kann durch Fallversuche ermittelt werden:
Experiment 2.4: Freier Fall mit elektronischer Zeitmessung
Grundlage für die Auswertung ist die Gleichung (2.10): a = 2s/t 2
s/m 0,3 0,4 0,6 0,8 0,8 1,0 1,0 1,2 1,4 1,4
t/s 0,24 0,27 0,34 0,40 0,39 0,45 0,44 0,49 0,52 0,53
2
a/m/s 10,4 11,0 10,4 10,0 10,5 9,9 10,3 10,0 10,4 10,0
Wir sehen, dass wir bei dieser Messreihe verschiedene Werte für die Beschleunigung erhalten.
Ursache sind nicht exakt zu kontrollierende Fehler des Experimentes, wie z.B. eine ungleiche
Reibkraft der Kugel in der Halterung. Aus diesem Grunde müssen physikalische Messungen
häufig wiederholt werden. Einen Näherungswert für den gesuchten Messwert liefert uns dann
das arithmetische Mittel über alle durchgeführten Messungen:
x i stellt dabei das einzelne Messergebnis dar, N die Anzahl der Messungen.
a� = 10,3 m/s 2
Auch dieser Mittelwert der Messung kann mehr oder weniger stark vom tatsächlich gültigen
(2.13)
(2.14)

Seite 20 Technische Physik 2. September 2005
Wert abweichen. Die mittlere Erdbeschleunigung ist international auf den Wert
g = 9,80665 m/s 2
festgelegt. Ursache für Abweichungen sind einerseits in der Form der Erde zu suchen,
andererseits spielen noch eine Reihe von systematischen Messfehlern eine wichtige Rolle.
Hier sind in erster Linie zu nennen: Luftreibung und Auftrieb; Gangungenauigkeit der Uhr;
Fehler in der Längenmessung der Fallstrecke, Hysterese des Haltemagneten.
Die Erdbeschleunigung ist ein für die Erde typischer Wert und hängt mit der Größe der Erde
und deren Masse zusammen (dies wird später gezeigt).
Betrachten wir nun den senkrechten
Wurf als Beispiel für die
Fallbewegung. Wir legen unser
Koordinatensystem so, dass die
positive Wegachse nach oben weist
und werfen einen Ball mit der
Anfangsgeschwindigkeit v 0 = 10
m/s senkrecht in die Höhe. Die
Starthöhe sei h 0 = 0 m. Der Vorgang
wird durch die Gleichung (2.12) beschrieben,
die Beschleunigung weist
in die negative Richtung, d.h. a = -g.
Damit folgt:
Abb. 2.11
Wir sehen in Abb. 2.11, dass der Ball zunächst ansteigt, dann eine maximale Höhe erreicht,
anschließend wieder zu fallen beginnt. Im Punkt der maximalen Höhe muss die Geschwindigkeit
v auf Null abgefallen sein. Um
den Scheitelpunkt festzulegen,
bestimmen wir zunächst den Verlauf
der Geschwindigkeit.
Hierzu müssen wir entsprechend (2.4)
den Weg differenzieren. Wir erhalten:
Abb. 2.12

2. September 2005 Technische Physik Seite 21
Dies ergibt eine Gerade mit negativer Steigung und einem Achsenabschnitt bei v 0.
Der Zeitpunkt für die maximale Höhe bestimmt sich jetzt zu
und das Maximum der Höhe dann durch Einsetzen in die Höhenformel zu:
Für den Aufschlagzeitpunkt des Balles errechnet sich aus der Höhenformel mit h=0:
und
D.h. der Ball trifft mit der gleichen Geschwindigkeit wieder auf, mit der er abgeworfen wurde.
2.1.2 Das Unabhängigkeitsprinzip
Aus unserer täglichen Erfahrung ist uns bewusst, dass Bewegungen überlagert werden
können, z.B. Laufen im Zug, Rudern mit oder gegen den Strom. Hierbei addieren sich die
Geschwindigkeiten beider Bewegungen zu einer Gesamtgeschwindigkeit. Dies ist allerding
nur dann physikalisch und mathematisch korrekt, wenn wir davon ausgehen, dass sich die
beiden Bewegungen nicht gegenseitig beeinflussen. Wir wollen die Unabhängigkeit von
Bewegungen in einem Experiment untersuchen:
Experiment 2.5: Überlagerung von horizontaler und vertikaler Bewegung
Wir sehen, dass die Kugel, der eine zusätzliche horizontale Bewegung mitgegeben wurde,
trotzdem zur gleichen Zeit auf dem Boden aufkommt, wie die frei fallende Kugel. Die
Fallbewegung wird augenscheinlich nicht von der horizontalen Bewegung beeinflusst.
Dies wird allgemein als das Unabhängigkeitsprinzip oder Prinzip der ungestörten
Superposition bezeichnet:
Zwei gleichzeitig stattfindende Bewegungen eines Körpers sind unabhängig voneinander.
Sie setzen sich so zusammen, als ob sie zeitlich nacheinander stattfinden würden

Seite 22 Technische Physik 2. September 2005
Anmerkung:
Bei sehr hohen Geschwindigkeiten in der Nähe der Lichtgeschwindigkeit kann dieses Prinzip
so nicht mehr gelten, da sonst durch Addition zweier Geschwindigkeiten leicht die Lichtgeschwindigkeit
überschritten werden könnte (Abschießen einer Rakete von einer Rakete). Hier
müssen folglich Korrekturen vorgenommen werden. Im Bereich der in der Alltagspraxis auftretenden
Geschwindigkeiten spielt dies allerdings keine Rolle.
2.1.3 Bewegung in mehreren Dimensionen
Bewegt sich ein Körper nicht mehr geradlinig, sondern auf einer Bahnkurve durch den Raum,
so reicht zur Beschreibung seiner aktuellen Lage nicht mehr eine einzige Zahl aus. Wir
müssen ein Koordinatensystem einführen und den Körper in Bezug auf dieses System
beschreiben.
Jedem Punkt des Raumes lässt sich
durch seine Projektion auf die Achsen
ein Zahlentripel zuweisen, welches
seine Lage im Raum symbolisiert.
Diese drei Koordinaten fasst man zu
einem Ortsvektor zusammen:
Die Bahnkurve wird dann durch die
zeitliche Änderung des Ortsvektors
beschrieben:
Beispiel:
Abb. 2.13
für z(t)=0 ergibt sich ein Kreis in der x-y-Ebene mit dem Radius R, für z(t)=c�t Spirale um die
z-Achse mit dem Radius R.
Wie in der Abb. 2.13 dargestellt, wird ein Vektor immer durch einen Pfeil symbolisiert. Er besitzt
eine bestimmte Richtung und eine bestimmte Länge. Seine Länge lässt sich aus den Koordinaten
mit Hilfe des Satzes des Phytagoras ermitteln:
Die Geschwindigkeit des Körpers finden wir wieder aus der zeitlichen Änderung des
Ortsvektors bezogen auf das Zeitintervall, mit �t� 0 (Abb. 2.13):
(2.16)

2. September 2005 Technische Physik Seite 23
In dieser Formel taucht wieder das Unabhängigkeitsprinzip auf, da wir die drei Bewegungen
in die Koordinatenrichtungen als unabhängig voneinander betrachtet haben.
Wie aus der Abbildung 2.13 deutlich wird, stellt der Geschwindigkeitsvektor einen Tangentenvektor
an die Bahnkurve dar, d.h seine Richtung ist die Richtung der Tangente an die
Bahnkurve, seine Länge entspricht dem Betrag der momentanen Geschwindigkeit.
Mit Hilfe der Vektordarstellung ist es jetzt sehr
einfach möglich Geschwindigkeiten zu addieren.
Die Abb. 2.14 zeigt zunächst die Definition des
negativen Vektors. Bei ihm ist der Betrag gleich,
die Richtung umgekehrt. Die Vektoraddition
erfolgt nun entsprechend des Unabhängigkeitsprinzips
so, dass die einzelnen Komponenten der
Vektoren addiert werden:
In der grafischen Addition der Vektoren entspricht
dies der Bildung eines Vektorparallelogramms,
bzw. dem Ansetzen des zweiten Vektors an die
Spitze des Ersten. Bei der Bildung der
Abb. 2.14
Vektordifferenz wird entweder der negative Vektor
addiert oder die direkte Verbindung zwischen den beiden Vektorspitzen verwendet.
1. Beispiel:
Eine Fähre will einen Fluss auf
kürzestem Wege überqueren, der mit
einer Geschwindigkeit von 5km/h strömt.
Das Boot besitzt eine maximale Geschwindigkeit
von 10km/h. Unter welchem
Winkel muss gesteuert werden und
wie groß ist die resultierende Geschwindigkeit?
Lösung:
(2.18)
(2.17)
Abb. 2.15
Die resultierende Geschwindigkeit v' ist
die Vektorsumme aus v und v W. Sie steht senkrecht zu v W.
Daher bilden die drei Vektoren ein
rechtwinkliges Dreieck. Hier gilt:

Seite 24 Technische Physik 2. September 2005
2. Beispiel: schiefer Wurf
Beim schiefen Wurf wird ein Ball
unter einem bestimmten Winkel
� und mit fester Geschwindigkeit
v 0 abgeschossen:
Experiment 2.6: schiefer Wurf
Es stellt sich die Frage, unter
welchem Winkel � die größte
Weite erreicht wird.
Die Bewegung ist zusammengesetzt
aus zwei unabhängigen Teilbewegungen:
a) In x-Richtung liegt eine
gleichförmige Bewegung mit der Geschwindigkeit
vor;
b) In y-Richtung liegt eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung vor, die wir vom
senkrechten Wurf her kennen:
Durch Integration folgt für die Wege:
Wir erhalten die Bahnkurve, indem wir t eliminieren:
Wir sehen, dass dies eine Parabelgleichung ist (Wurfparabel).
Abb. 2.16

2. September 2005 Technische Physik Seite 25
Experiment 2.7: Wasserstrahl als Wurfparabel
Die Wurfweite können wir über die Bedingung y=0 bestimmen:
Für die maximal erreichbare Wurfweite folgt dann sofort, dass sin2� maximal sein muss, also
2�=90° sein muss und damit �=45°.
Die Steighöhe y m wird aus Symmetriegründen bei x m/2
erreicht:
Maximale Steighöhe wird folglich bei �=90° erreicht, also dem senkrechten Wurf.
Bisher haben wir uns mit der Zusammensetzung von Vektoren beschäftigt. Das letzte Beispiel
hat aber gezeigt, dass Vektoren auch zerlegt werden können. Hier hatten wir die Geschwindigkeit
v 0 zerlegt in zwei Komponenten jeweils parallel zu den Koordinatenachsen x und y.
Bisher haben wir nur den Ort und die Geschwindigkeit als Vektor betrachtet, aber auch die
Beschleunigung stellt als Ableitung der Geschwindigkeit einen Vektor dar:
Den Geschwindigkeitsvektor konnten wir als Tangentenvektor an die Bahnkurve interpretieren.
Welche Bedeutung kommt jetzt dem Beschleunigungsvektor zu.
Betrachten wir einen Teil der Bahnkurve, so finden wir, dass
der Beschleunigungsvektor a im allgemeinen schräg zu
dieser Bahnkurve liegen muss, da die Geschwindigkeit nicht
nur ihren Betrag ändert, sondern auch ihre Richtung. Wir
zerlegen den Beschleunigungsvektor daher in eine
Komponente parallel zur Geschwindigkeit, also eine
tangentiale Beschleunigung a t und eine Komponente senk-
recht hierzu, die sogenannte Normalbeschleunigung a n.
Die
tangentiale Beschleunigung verändert den Betrag der Geschwindigkeit,
die normale Beschleunigung verändert die
Richtung der Geschwindigkeit. Wir werden beide Komponenten
im nächsten Abschnitt am Beispiel der
Abb. 2.17

Seite 26 Technische Physik 2. September 2005
Kreisbewegung ausführlich diskutieren.
2.1.4 Bewegung auf der Kreisbahn
Die Bewegung auf der Kreisbahn ist ein Spezialfall der
allgemeinen krummlinigen Bewegung. Da man jede
Bahnkurve aber lokal durch einen Kreisbahnabschnitt
annähern kann, lassen sich die hier gewonnenen
Erkenntnisse auch auf die allgemeine Bewegungsform
übertragen.
Bewegt sich ein Körper auf einer Kreisbahn, so sind der
Winkel � und der Radius r geeignete Größen um diese
Bewegung zu beschreiben. Wir sprechen hierbei von
sogenannten Polarkoordinaten. Zur Umrechnung in
die kartesischen Koordinaten gilt:
Abb. 2.18
Unter einem ebenen Winkel versteht man das Verhältnis vom Kreisbogen s zum Radius r:
Die Einheit des Winkel ergibt sich zu [�]= m/m = 1 � 1 rad (Radiant).
Zu einem Winkel von 1rad gehört folglich ein Kreisbogen der Länge r. Da der volle Kreis
einen Umfang von U=2�r besitzt, entspricht der Vollkreis einem Winkel von 2� rad. Wir
sprechen hier meist vom Winkel im Bogenmaß. Für die Umrechnung zur SI-fremden, aber
häufig verwendeten Einheit Grad (Winkel im Gradmaß) gilt dann:
-3
2� rad = 360°; 1rad = 57,3°; 1° = 17,45�10 rad
Betrachten wir die Bewegung im einzelnen:
Winkelgeschwindigkeit:
Bewegt sich der Körper in der Umlaufzeit T einmal um den Mittelpunkt herum, so können
wir ihm eine Drehzahl n zuschreiben:
Die Bahngeschwindigkeit v ist dann gegeben durch:
(2.22)

2. September 2005 Technische Physik Seite 27
Wir sehen, dass die Bahngeschwindigkeit vom Radius r des Kreises abhängt. Daher definiert
man für die Kreisbewegung eine Winkelgeschwindigkeit �, welche die
Änderungsgeschwindigkeit des Winkels � darstellt:
[�] = 1 rad/s = 1/s
Wie hängen die Bahngeschwindigkeit v und die Winkelgeschwindigkeit � zusammen?
Bei einer gleichförmigen Drehung sind n und � konstant, dann gilt:
Da in der Umlaufzeit T der Winkel 2� zurückgelegt wird, gilt weiter:
Multipliziert man diesen Ausdruck mit dem Radius r und vergleicht das Ergebnis mit (2.23)
so folgt sofort:
Dieser für die gleichförmige Drehung abgeleitete Zusammenhang gilt auch ganz allgemein für
die beschleunigte Drehbewegung.
Zentripetalbeschleunigung:
Wir hatten festgestellt, dass bei einer allgemeinen Bahnkurve zwei Beschleunigungskomponenten
auftreten. Diese wollen wir separat untersuchen. Im ersten Fall betrachten wir die
gleichförmige Kreisbewegung, d.h. die Bahngeschwindigkeit ist konstant. Dann kann keine
Tangentialkomponente der Beschleunigung vorliegen, wir haben nur eine Normalkomponente.
Diese wird als Zentripetalbeschleunigung bezeichnet.
(2.23)
(2.24)
(2.25)
(2.26)
(2.27)
Wir betrachten zwei Zeitpunkte der Bahnbewegung, die um �t auseinander liegen. In dieser
Zeit wird der Winkel �� durchlaufen. Die Geschwindigkeit ändert sich um �v, wobei die Beträge
von v 1 und v 2 identisch sind. Für kleine Zeiten �t sehen wir, dass �v senkrecht auf v
steht, so dass tatsächlich nur eine Normalkomponente der Beschleunigung vorliegt. Weiter

Seite 28 Technische Physik 2. September 2005
entspricht �s dem Bogen, der
durchlaufen wird. Da die Geschwindigkeiten
senkrecht auf den
Radien stehen, sind die
Dreiecke ähnlich zueinander
und es gilt daher:
Dividieren wir beide Seiten
durch �t, so folgt:
Im Grenzfall �t � 0 folgt somit:
In Vektorschreibweise folgt:
Beispiel: Satellit auf der Erdumlaufbahn
Bei einer erdnahen Umlaufbahn des Satelliten wirkt die Erdbeschleunigung g als
Zentripetalbeschleunigung:
Es resultiert eine Geschwindigkeit von
Abb. 2.19
(2.28)
(2.29)
Ist die Geschwindigkeit geringer als dieser Wert, so resultiert aus (2.28) ein Radius kleiner als
R E und der Satellit stürzt auf die Erde, ist die Geschwindigkeit höher, so erreicht er eine
höhere Umlaufbahn. Die errechnete Geschwindigkeit stellt somit eine
Mindestgeschwindigkeit für Satelliten dar. Sie wird als erste kosmische Geschwindigkeit
bezeichnet. Es errechnet sich eine Umlaufzeit von

2. September 2005 Technische Physik Seite 29
Winkelbeschleunigung:
Betrachten wir eine zusätzliche Änderung des
Betrages der Bahngeschwindigkeit, so tritt neben der
Zentripetalbeschleunigung auch noch eine
Tangentialbeschleunigung auf.
Diese ist für die Betragsänderung zuständig. Nach
Abb. 2.20 gilt für die Betragsänderung:
und
(2.30)
Zu beachten ist, dass hier nur die Beträge verwendet
werden.
Wir sprechen bei a t von der Bahnbeschleunigung.
Wie bei der Definition der Winkelgeschwindigkeit kann man jetzt auch eine Winkelbeschleunigung
definieren:
Für eine gleichmäßig beschleunigte Drehbewegung gilt wieder �=const. und somit
Für den Zusammenhang zwischen Winkelbeschleunigung und Bahnbeschleunigung gilt:
Zwischen den Bahngrößen und den Winkelgrößen gilt also stets der Zusammenhang:
Abb. 2.20
(2.31)
(2.32)
(2.33)

Seite 30 Technische Physik 2. September 2005
Alle Größen �, � und � hängen somit genauso miteinander zusammen, wie die Größen der
linearen Bewegung s, v und a. Alle Gleichungen der eindimensionalen Kinematik können wir
auf die Drehbewegung übertragen, indem wir s � �, v � � und a � � ersetzen.
Beispiel: gleichmäßig beschleunigte Drehbewegung
2.2 Dynamik
Die bisher betrachtete Kinematik beschrieb verschiedene Bewegungszustände ohne danach zu
fragen, wie diese Zustände entstanden sind. Die jetzt zu betrachtende Dynamik beschäftigt
sich dagegen mit den Ursachen der Bewegung. Schon von Aristoteles wurde die erste
Ursachenforschung betrieben. Er formulierte als Bewegungsgesetz:
Alles, was sich bewegt, bewegt sich entweder von Natur aus (fallender Stein) oder durch eine
äußere Kraft (Wagen) oder vermöge seines freien Willens (Mensch).
Hiervon wird der Kerngedanke, dass eine Bewegung nur durch eine äußere Kraft in Gang
gesetzt und aufrecht erhalten werden kann, bis heute immer noch von vielen Menschen auf
Grund der persönlichen Erfahrungen als richtig angesehen.
Schon im 17. Jahrhundert (und zuvor auch schon von Galilei) wurde allerding von Isaac
Newton eine ganz andere Sichtweise entwickelt und in den drei Newtonschen Axiomen
festgehalten. Diese Axiome beschreiben die klassische, makroskopische Welt exakt, versagen
jedoch in Bereichen der Quantenphysik sowie bei Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit.
2.2.1 Die Newtonschen Bewegungsgesetze
1. Newtonsches Axiom (Trägheitsgesetz)
Ein Körper bleibt solange im Zustand der Ruhe oder gleichförmig geradlinigen
Bewegung, wie keine Kräfte auf ihn einwirken.
Mathematisch:
(2.34)

2. September 2005 Technische Physik Seite 31
2. Newtonsches Axiom (Aktionsgesetz=Grundgesetz der Mechanik)
Die zeitliche Änderung der Bewegungsgröße p�=m�v� ist gleich der resultierenden
Kraft, die auf den Körper einwirkt.
Mathematisch:
3. Newtonsches Axiom (Wechselwirkungsgesetz: Actio = Reactio)
Wirkt ein Körper 1 auf einen Körper 2 mit der Kraft F 12 , so wirkt der Körper 2 auf den
Körper 1 mit der Kraft F 21 ; beide Kräfte haben den gleichen Betrag, aber entgegengesetzte
Richtungen.
Mathematisch:
Betrachten wir diese drei Axiome und ihre Auswirkungen etwas näher:
Das erste Newtonsche Axiom wurde in seiner verbalen Form schon von Galilei formuliert.
Es erscheint uns wie ein Spezialfall des zweiten Axioms. Wenn man jedoch vom Weltbild des
Aristoteles kommt, so hat diese Aussage einen sehr grundsätzlichen Charakter. Darüber
hinaus steckt in diesem Axiom die Existenz der so genannten Inertialsysteme:
Betrachten wir die Bahnkurve eines Körpers (z.B. rollende Kugel) von zwei Koordinatensystemen
aus, die sich gegeneinander mit konstanter Geschwindigkeit bewegen (z.B. Bahnsteig
und Zug mit konstanter Geschwindigkeit), so werden wir von beiden Standpunkten aus registrieren,
dass keine Kraft auf die Kugel einwirkt, d.h. die Addition einer konstanten Geschwindigkeit
verändert nicht die wirkenden Kräfte.
Experiment 2.8: rotierendes Bezugssystem
Betrachten wir dagegen die Bewegung der Kugel von einem
rotierenden Bezugssystem aus, so finden wir eine gekrümmte
Bahnkurve. Für diesen Betrachter muss folglich eine Kraft gewirkt
haben. Das Trägheitsgesetz hat hier folglich keine Gültigkeit
mehr. Über die hier wirkenden Scheinkräfte werden wir
später sprechen.
Inertialsysteme sind folglich besonders ausgezeichnete
Bezugssysteme:
Abb. 2.21

Seite 32 Technische Physik 2. September 2005
Inertialsysteme sind Bezugssysteme, die relativ zum Fixsternhimmel ruhen oder sich
relativ zu ihm geradlinig oder gleichförmig bewegen
Die Erde stellt infolge ihrer Rotation kein Inertialsystem dar, kann aber wegen ihrer Größe für
kurzzeitige Experimente als solches benutzt werden. Abweichungen werden wir später
diskutieren.
Im zweiten Newtonschen Axiom wird zunächst eine neue Größe eingeführt, die man Impuls
nennt:
und welche die Geschwindigkeit eines Körpers mit seiner Masse verknüpft. Wir werden uns
später noch ausführlich mit den Eigenschaften des Impulses vertraut machen. Das zweite
Newtonsche Axiom definiert nun mit Hilfe des Impulses den Begriff der Kraft in der Form,
dass eine Kraft gleich der zeitlichen Änderung des Impulses ist:
In der klassischen Mechanik ist die Masse eines Körpers in der Regel eine Konstante und
dann kann (2.36) zu der allgemein bekannten Beziehung
umgeschrieben werden. Wichtig ist, dass man bei Anwendung der Gleichung (2.37) immer
die Wirkung aller Kräfte berücksichtigt, F� also die resultierende Kraft darstellt (z.B. wird
ein Körper nicht beschleunigen, wenn er von einer Kraft gegen die Wand gedrückt wird).
In der Relativitätstheorie gilt dies nicht mehr, hier hängt die Masse eines Körpers von der Geschwindigkeit
ab:
Ursache ist die Äquivalenz von Masse und Energie, die Einstein formuliert hat und die dazu
führt, dass eine hohe Bewegungsenergie eines Körpers wie eine zusätzliche Masse wirkt.
Wir wollen den Begriff der Kraft, der hier definiert wird, etwas näher untersuchen:
Entsprechend dem zweiten Newtonschen Axiom ist die Kraft ein Vektor, der parallel zum
(2.35)
(2.36)
(2.37)
(2.38)

2. September 2005 Technische Physik Seite 33
Beschleunigungsvektor liegt. Folglich lassen sich auch alle Vektoreigenschaften auf die Kraft
anwenden (z.B. Addition und Zerlegung von Vektoren). Als Einheit ergibt sich für die Kraft
2
[F] = kg�m/s = N (Newton).
Experiment 2.9: Zusammensetzung und Zerlegung von Kräften (Magnetwand)
a) statisches Gleichgewicht
Ist die Beschleunigung eines Körpers a = 0, so muss die resultierende Wirkung alle Kräfte
ebenfalls gleich Null sein:
Dies ist die Grundgleichung aller statischen Probleme.
b) Gravitationskraft
Die Bewegung des Mondes um die Erde brachte Newton dazu, eine Kraft zu postulieren,
welche die für die Kreisbahn notwendige Zentripetalbeschleunigung bewirkt. Diese sollte den
beiden Massen der Körper proportional sein, sowie mit dem Abstand abnehmen. Durch
einfache Rechnung (siehe Übungen) fand er den Zusammenhang
Da alle drei physikalischen Größen schon in ihrer Einheit festliegen, müssen wir noch eine
Konstante einführen, die aus dieser Proportionalität eine Gleichung macht:
Durch Messungen kann die Gravitationskonstante � bestimmt werden:
Dieses Gesetz können wir auch anwenden, um die Kraft zu bestimmen, mit der ein Körper auf
der Erdoberfläche angezogen wird:
Diese Kraft bezeichnen wir allgemein als Gewicht oder Gewichtskraft. Die Größe g, die in
(2.39)
(2.40)
(2.41)
(2.42)

Seite 34 Technische Physik 2. September 2005
dieser Gleichung auftritt, hat die Einheit einer Beschleunigung und wird als
Erdbeschleunigung bezeichnet. Er entspricht dem Wert, den wir aus den Fallversuchen
ermittelt hatten:
g = 9,80665 m/s . 2
Mit Hilfe von (2.42) läßt sich dann z.B. die Masse der Erde errechnen, bzw. die mittlere
Dichte der Erde.
Folie: Laserwaage ermittelt exaktes Gewicht der Erde
c) Zentripetalkraft
Die Beschleunigung, die einen Körper auf einer Kreisbahn hält, hatten wir im letzten
Abschnitt bestimmt. Nach dem 2. Newtonschen Axiom ist hiermit eine Kraft verbunden:
Diese Kraft wird als Zentripetalkraft bezeichnet. Sie ist zum Mittelpunkt der Kreisbahn
gerichtet.
Experiment 2.10: Bestimmung der Zentripetalkraft
-1 -1
n/min �/s r/cm m/g F zp /N Sollwert
200 20,9 9,5 12,5 0,6 0,52
200 20,9 9,5 25 1,05 1,04
200 20,9 19 25 2,4 2,08
300 31,4 9,5 12,5 1,25 1,17
Das Experiment bestätigt also den oben dargestellten Zusammenhang.
d) Federkräfte
Kräfte können nicht nur Massen
beschleunigen, sondern auch die
geometrische Form von Körpern verändern.
Umgekehrt üben deformierte Körper Kräfte
aus, die als elastische Kräfte oder
Federkräfte bezeichnet werden. Ein Beispiel
bei dem man dies besonders gut erkennen
kann ist die Deformation einer Feder:
Experiment 2.11: Ermittlung der Federkon
stante
(2.43)
Abb. 2.22

2. September 2005 Technische Physik Seite 35
m / g F / N s / cm
50 0,5 1,7
100 1,0 3,4
200 2,0 6,7
400 4,0 13,4
Wie das Experiment zeigt, ist die Längenänderung der Feder der angreifenden Kraft
proportional. Die elastische Kraft F el muss nach dem dritten Newtonschen Axiom entgegengesetzt
gleich der angreifenden Kraft sein. Wir finden folglich in Vektorschreibweise:
Alle Festkörper zeigen bei kleinen Verformungen dieses lineare elastische Verhalten. Wir
sprechen vom Hookeschen Gesetz.
Für die Federkonstante D ergibt sich im Experiment:
Eine sehr wichtige Anwendung der elastischen Verformung ist die Messung von Kräften. Die
folgende Folie gibt hierzu einige Beispiele:
Folie Nr. 4: Kraftmessung durch Verformung
e) Reibungskraft
Befindet sich ein Körper auf einer waagerechten Ebene in Ruhe, so kann auf ihn eine
waagerechte Kraft ausgeübt werden, ohne dass sich der Körper bewegt.
Experiment 2.12: Haftreibung
Das Experiment zeigt, dass die
Kraft bis zu einem Grenzwert
erhöht werden kann, an dem die
Bewegung dann einsetzt. Weiter
zeigt das Experiment, dass die
Kraft F R der wirkenden
Normalkraft F N proportional ist,
aber nicht von der Berührungsfläche des Körpers abhängt. Wir können folgenden
Zusammenhang aufstellen:
(2.44)
Abb. 2.23
(2.45)

Seite 36 Technische Physik 2. September 2005
Dieses Phänomen wird als Haftreibung bezeichnet, die Konstante � als Reibungszahl. Sie
ist lediglich abhängig von den Materialien, die hier in Kontakt sind. Ursache für die Haftreibung
sind Oberflächenrauheiten, die zu einer Verzahnung
führen, sowie Kräfte zwischen den
Randatomen beider Körper, sogenannte Adhäsionskräfte.
Wichtig ist, dass die Gleichung (2.45) keinen vektoriellen
Zusammenhang herstellt. Die Reibungskraft ist
senkrecht zur Normalkraft gerichtet und immer der
Bewegungskraft entgegen gerichtet.
Abb. 2.24
Wird die Haftreibungskraft überwunden durch eine größere äußere Kraft, so setzt sich der
Gegenstand in Bewegung. Aber auch jetzt ist ständig eine äußere Kraft notwendig um eine
konstante Geschwindigkeit aufrecht zu erhalten. Nach dem 2. Newtonschen Axiom muss
folglich eine Kraft vorhanden sein, welche die angreifende Kraft kompensiert. Auch dies ist
eine Reibungskraft, welche den gleichen Gesetzmäßigkeiten genügt wie die Haftreibungskraft.
Da sie beim Gleiten des Körpers auftritt sprechen wir von der Gleitreibung.
Experiment 2.13: Gleitreibung
m / g F N / N F RH / N F RG / N �H�G 100 1 0,25 0,12 0,25 0,12
300 3 0,6 0,4 0,2 0,13
500 5 0,9 0,65 0,18 0,13
(2.46)

2. September 2005 Technische Physik Seite 37
Die Reibungszahl � G ist im
allgemeinen kleiner als die
Haftreibungszahl, so dass nach
Überwinden der Haftreibung
eine geringere Kraft zur
Aufrechterhaltung einer
Bewegung notwendig ist. Die
Reibungszahl ist wiederum
stark abhängig von der Oberflächenbeschaffenheit,
den
Werkstoffen sowie den
Schmiermitteln zwischen den
Werkstoffen. Im Bereich der
Festkörperreibung (d.h. ohne
Abb. 2.25
Schmiermedium) ist die
Gleitreibung nahezu geschwindigkeitsunabhängig. Bei Flüssigkeiten und Gasen tritt dagegen
eine starke Geschwindigkeitsabhängigkeit auf.
Betrachten wir schließlich noch das dritte
Newtonsche Axiom. Für zwei Massen m Aund m B,
die aufeinander Kräfte ausüben, gilt stets, dass die
Kraft F AB,
die A auf B ausübt genauso groß ist wie
die Kraft F BA,
die B auf A ausübt. Dies können
Gravitationskräfte, elektrische Kräfte oder auch
Kontaktkräfte sein, falls sich die Massen berühren:
Wir wollen dies zunächst an zwei einfachen
Beispielen untersuchen:
Wird ein Körper mit einer Kraft F gegen eine Wand
gedrückt (Abb. 2.27), so muss von der Wand eine
gleichgroße Kraft F 1 auf den Körper wirken. Damit
ist die Summe der Kräfte Null und der Körper wird
nicht beschleunigt. Das gleiche gilt auch für die Gewichtskraft
F G. Sie wird durch die Kraft F2
kompensiert.
Betrachten wir jetzt die Masse m A,
die durch die
Kraft F gegen m B gedrückt wird. Bei Massen liegen
auf einer reibungslosen Fläche.
Mit welcher Kraft F AB drückt A gegen B? Wird die
Abb. 2.26
(2.47)
Abb. 2.27

Seite 38 Technische Physik 2. September 2005
Kraft F durch A auf B übertragen?
Wäre F AB = F, so wäre auch F BA = F und die resultierende Kraft auf A wäre 0. Trotz wirkender
Kraft würde also A nicht beschleunigt. Dies widerspricht dem 2. Newtonschen Axiom. Wir
können über F AB zunächst noch keine Aussage machen, sondern müssen die Kräfte an den
Einzelmassen separat untersuchen.
Auf A wirkt dann die Kraft F-F BA und auf B die Kraft F AB.
Das zweite Newtonsche Gesetz
ergibt dann:
Durch Addition beider Gleichungen folgt:
hierbei wurde Gleichung (2.47) ausgenutzt.
Wir sehen, beide Blöcke werden wie ein einzelner Block mit der Summenmasse beschleunigt.
2.2.2 Beschleunigte Bezugssysteme und Trägheitskräfte
Wir hatten bisher gesehen, dass die Newtonschen
Axiome nur in Bezugssystemen gelten, die sich mit
konstanter Geschwindigkeit bewegen oder in Ruhe sind.
Betrachten wir als Beispiel die Bewegung eines
Fahrstuhls, in dem sich eine Masse an einem Kraftmesser
befindet:
Befindet sich der Fahrstuhl in Ruhe oder bewegt er sich
mit konstanter Geschwindigkeit, so wird der Kraft-
messer die Kraft F feder = mg anzeigen (F Feder - mg = 0; a =
0). Wird der Fahrstuhl mit der Beschleunigung a nach
oben beschleunigt, so ändert sich die Federkraft, da jetzt
eine resultierende Kraft für die Beschleunigung der
Masse vorhanden sein muss:
ruhendes Bezugssystem
Versetzen wir uns jetzt in einen Beobachter, der mit dem Fahrstuhl mitfährt:
Abb. 2.28
Wird der Fahrstuhl beschleunigt, so beobachtet er ebenfalls ein Anwachsen der Federkraft.

2. September 2005 Technische Physik Seite 39
Für ihn ist die Masse aber weiterhin im Ruhezustand, muss
sich also im Gleichgewicht befinden. Die Federkraft muss
folglich durch eine zusätzliche Kraft in Richtung der Gewichtskraft
ausgeglichen werden. Wir erhalten wiederum:
Da diese Kraft der wirkenden Beschleunigung entgegen
gerichtet ist, handelt es sich um eine Gegenkraft, die der
Körper der Änderung seines Bewegungszustandes
entgegensetzt. Wir sprechen von der Trägheit des Körpers
und bezeichnen die Kraft als Trägheitskraft:
beschleunigtes Bezugssystem
(2.48)
Abb. 2.29
Diese Trägheitskraft ist eine sogenannte Scheinkraft, da sie
nur in beschleunigten Bezugssystem auftritt. Betrachtet man das Experiment aus der Sicht
eines ruhenden Beobachters, so treten keine Trägheitskräfte auf.
Führt man diese Scheinkräfte in einem beschleunigten Bezugssystem zusätzlich mit ein, so
gelten dann auch die Newtonschen Gesetze in dem beschleunigten Bezugssystem. a� ist dabei
die Beschleunigung des Systems.
Der französische Physiker d'Alembert interpretierte diesen Sachverhalt im 18. Jahrhundert
anders. Ausgehend von den oben angestellten Überlegungen fand er, dass jedes dynamische
Problem in ein statisches Problem umgeschrieben werden kann, wenn man zu den realen
Kräften die Trägheitskräfte addiert:
Dies wird als das d'Alembertsche Prinzip bezeichnet:
Die Trägheitskräfte stehen mit den äußeren Kräften im Gleichgewicht
Für unseren Fahrstuhl heißt dies, ohne dass wir uns über das Bezugssystem Gedanken machen
müssen:
Nicht nur in linear beschleunigten Bezugssystemen treten Trägheitskräfte auf, auch in
(2.49)

Seite 40 Technische Physik 2. September 2005
rotierenden Bezugssystemen, die ja einer ständigen Zentripetalbeschleunigung unterliegen
werden solche Kräfte beobachtet.
Ein nicht mit rotierender Beobachter A wird immer
nur die Zentripetalkraft feststellen.
Für den mit rotierenden Beobachter ist die Masse m
jedoch im Ruhezustand. Da er aber die Kraft F zp registriert,
mit der die Masse gehalten werden muss,
geht er von einer entgegen gerichteten Zusatzkraft
F z aus, welche die Zentripetalkraft kompensiert:
Diese Trägheitskraft wird als Zentrifugalkraft
bezeichnet.
Bewegt sich ein Körper in einem rotierenden
Bezugssystem, so tritt eine weitere Kraft auf. Als Beispiel
betrachten wir eine Kugel, welche von der Scheibenmitte
mit konstanter Geschwindigkeit v zum Rand rollt. Der
außenstehende Beobachter wird eine geradlinige Bahn
sehen. Nach der Zeit t=r/v erreicht die Kugel den Rand.
Der mit rotierende Beobachter B beobachtet eine
gekrümmte Bahn, da sich die Scheibe unter der Kugel
hindurch dreht. In der Zeit t hat sich die Scheibe um den
Winkel �=��t weitergedreht. Somit hat die Kugel für diesen
Beobachter zusätzlich die Strecke s=r�� zurückgelegt.
Hieraus errechnet sich eine Beschleunigung von:
Abb. 2.30
Abb. 2.31
Diese Beschleunigung wird als Coriolis-Beschleunigung
bezeichnet. Sie steht immer senkrecht zur Geschwindigkeit v und tritt nur bei bewegten
Körpern in rotierenden Bezugssystemen auf. Verbunden mit der Beschleunigung ist natürlich
eine entsprechende Kraft:
Wir sprechen von der Corioliskraft.
(2.50)
(2.51)
Da auch die Erde ein rotierenden Bezugssystem darstellt, müssen hier Auswirkungen dieser
Scheinkräfte zu beobachten sein.
(2.52)

2. September 2005 Technische Physik Seite 41
Die Zentrifugalkraft der Erde spiegelt sich wider in der Abplattung der Erde:
Experiment 2.14: Modellversuch zur Erdabplattung
Ursache ist der größere Radius und damit die größere Zentrifugalkraft am Äquator. Die
Erdabplattung an den Polen beträgt allerdings nur 1/297 des Äquatordurchmessers.
Die Auswirkung der Corioliskraft läßt sich durch das Foucaultsche Pendel zeigen:
Video Nr. 5: Foucaultsches Pendel
Die nur für einen mit rotierenden Beobachter sichtbare Drehung der Pendelebene wird durch
die Corioliskraft bewirkt.
Video Nr.6: Anwendung der Corioliskraft
Entdeckt wurde die Corioliskraft bei der Untersuchung unerklärlicher Abweichungen von
Geschossbahnen, da beim Abschießen nach Norden stets eine Ostabweichung und beim
Abschießen nach Süden stets eine Westabweichung auftritt.
Lässt man einen Stein von einem Turm fallen, so fällt er nicht genau senkrecht, sondern wird
etwas nach Osten abgelenkt. Bei 100m Höhe und einer nördlichen Breite von 54� ergibt sich
eine Abweichung von 1,9cm.
Video Nr. 7: Wolkenwirbel und Abflusswirbel
2.3 Der Impuls
Im zweiten Newtonschen Axiom haben wir den Begriff Impuls schon als eine Eigenschaft
bewegter Körper kennen gelernt:
Insbesondere beschreibt das Newtonsche Axiom die Änderung des Impulses als Wirkung
einer Kraft:
Für die Einheit des Impulses gilt: [p]=kgm/s=Ns.
Betrachten wir als erstes ein System aus zwei Körpern, zwischen
denen Wechselwirkungskräfte wirken und auf die
äußere Kräfte einwirken.
Für jeden Massenpunkt wenden wir das 2. Newtonsche
Gesetz separat an:
Abb. 2.32

Seite 42 Technische Physik 2. September 2005
Durch Summenbildung folgt:
Die beiden inneren Kräfte F 21 und F 12 sind nach dem 3. Newtonschen Axiom entgegengesetzt
gleich groß. Ihre Summe verschwindet folglich und es bleibt:
Die zeitliche Änderung des Gesamtimpulses ist folglich gleich der von außen am System
angreifenden Gesamtkraft:
Dies entspricht wiederum dem 2. Newtonschen Gesetz und wird als Impulssatz bezeichnet.
Aus dieser Ableitung ergibt sich eine wichtige Folgerung: Greifen an einem System keine
resultierenden äußeren Kräfte an, so ist die Änderung des Gesamtimpulses Null, der
Gesamtimpuls eines Systems ist somit konstant:
Für die Summe der Einzelimpulse eines Systems gilt der Impulserhaltungssatz,
solange keine äußeren Kräfte wirken
Dabei können sich die Einzelimpulse eines Systems durchaus auf Grund der inneren Kräfte
ändern.
Beispiel:
Ein Gewehr, mit einer Masse von 3kg, verschießt Kugeln einer Masse von 10g mit einer
Mündungsgeschwindigkeit von 600m/s. Wie groß ist die Rückstoßgeschwindigkeit?
(2.53)
(2.54)

2. September 2005 Technische Physik Seite 43
Lösung:
Eine besondere Anwendung des Impulserhaltungssatzes ist der Raketenantrieb. Eine Masse
wird mit hoher Geschwindigkeit ausgestoßen, auf Grund der Impulserhaltung wird der Körper
in die entgegengesetzte Richtung beschleunigt.
Experiment 2.15: Rakete mit CO 2 Patrone
Wegen der Impulserhaltung muss gelten:
Für eine große
Abb. 2.33
Geschwindigkeitsänderung der Rakete
ist folglich ein hoher Massenausstoß und
eine große Treibstoffgeschwindigkeit erforderlich. Typisch heute: v tr = 2200 m/s. dabei kann
die Endgeschwindigkeit der Rakete deutlich größer werden als die Treibstoffgeschwindigkeit
(z.B. 7,9 km/s für die Erdumlaufbahn).
2.4 Arbeit und Energie
Wirkt eine Kraft auf einen Körper ein und verändert
dessen Position, so sprechen wir davon, dass an dem
Körper eine Arbeit verrichtet wird. Diese Arbeit ist um
so größer, je größer die Kraft ist und je größer die
Wegstrecke ist, die zurückgelegt wird. Dabei bewirkt
allerdings nur die Kraftkomponente eine
Ortsveränderung, die parallel zum Weg liegt. Als
Arbeit wird folglich definiert:
(2.55)
Da aber sowohl F als auch s vektorielle Größen sind,
können wir dies auch wie folgt schreiben:
Abb. 2.34
Diese Art der Produktbildung zweier Vektoren wird als Skalarprodukt bezeichnet, da das
Ergebnis kein Vektor sondern eine skalare Größe (also eine Zahl) ist. Es gilt die allgemeine
Regel:
(2.56)

Seite 44 Technische Physik 2. September 2005
Die Berechnung der Arbeit nach (2.56) setzt voraus, dass die Kraft über den gesamten Weg
konstant wirkt. Dies ist sicherlich nur in Sonderfällen gegeben.
Im allgemeinen Fall setzt sich die
Gesamtarbeit zusammen aus kleinen
Elementen �W, über die aufsummiert
werden muss. Die Arbeit ergibt sich somit
als Fläche unter der Kraft-Weg-Kurve
und damit als Integral über Kraft und
Weg:
Die Einheit der Arbeit ist [W]=Nm=J
(Joule).
(2.57)
Wir wollen uns einige Typen mechanischer Arbeit näher anschauen:
Abb. 2.35
a) Für den Körper, der in Abb. 2.34 über eine Ebene gezogen wird, gilt bei konstanter
Geschwindigkeit, dass die angreifende horizontale Kraftkomponente gleich der
Reibkraft sein muss. Wir sprechen von der Verschiebearbeit oder Reibungsarbeit:
b) Wird ein Körper in die Höhe gehoben, so ist eine Kraft gegen das Gewicht des
Körpers zu leisten, der Weg entspricht der Höhendifferenz h. Wir sprechen von
Hubarbeit:
(2.58)
(2.59)
Da immer nur die zur Kraft parallele Wegkomponente die Größe der Arbeit bestimmt,
spielt beim Hochheben der Last eine seitliche Bewegung keine Rolle. Die Hubarbeit
ist allein von der Höhe abhängig, also nur vom Anfangspunkt und Endpunkt der
Bewegung. Wir bezeichnen Kräfte, die diese Eigenschaft besitzen als konservative
Kräfte. Bei der oben diskutierten Reibungskraft handelt es sich nicht um eine
konservative Kraft, die verrichtete Arbeit hängt von der Weglänge und nicht von der
kürzesten Verbindung zwischen Start- und Endpunkt ab.
c) Wird ein Körper durch die Wirkung einer Kraft beschleunigt, so wird Arbeit gegen die
Trägheitskraft F=m�a geleistet. Wir sprechen von der Beschleunigungsarbeit. Betrachten
wir den einfachen Fall einer konstanten Beschleunigung eines zunächst
ruhenden Körpers, so gilt:

2. September 2005 Technische Physik Seite 45
Lag bei Beginn der Beschleunigung schon eine Geschwindigkeit v 0 vor, so muss die
Arbeit zur Erreichung von v 0 abgezogen werden:
d) Spannen wir durch die Wirkung
einer Kraft eine Feder, so haben wir
es hier mit einer wegabhängigen
Kraft zu tun, da gilt:
Da die geleistete Arbeit gleich der
Fläche unter der Kurve im Kraft-
Weg-Diagramm ist, folgt sofort:
Wir sprechen hierbei von der Spannarbeit oder Verformungsarbeit.
Abb. 2.36
Wird die Arbeit gegen eine Kraft in einer bestimmten Zeitspanne t durchgeführt, so sprechen
wir von einer hohen Leistung, wenn t sehr klein ist und von einer geringen Leistung, wenn t
sehr groß ist. Folglich ist es sinnvoll einen physikalischen Begriff der Leistung als Quotient
der Arbeit und der dafür benötigten Zeitspanne zu definieren. Wir sprechen von der mittleren
Leistung:
Als Einheit der Leistung ergibt sich: [P]=J/s=Nm/s=W (Watt). Eine veraltete aber oft noch
gebräuchliche Leistungseinheit ist das PS: 1PS = 735,5W.
Die momentane Leistung ergibt sich dann beim Übergang zu sehr kleinen Zeiteinheiten:
(2.60)
(2.61)
(2.62)
(2.63)

Seite 46 Technische Physik 2. September 2005
Eng verbunden mit dem Begriff Arbeit ist auch der Begriff des Wirkungsgrades. Die von
einer Maschine geleistete mechanische Arbeit ist stets geringer als die ihr zugeführte Arbeit.
Ursache sind die nicht zu vermeidenden Reibungskräfte, gegen die ebenfalls Arbeit geleistet
werden muss.
Das Verhältnis der Nutzarbeit zur zugeführten Arbeit wird als Wirkungsgrad bezeichnet
Da die Nutzarbeit in der Regel in der gleichen Zeit geleistet wird, in der die Arbeit auch
zugeführt wird, gilt diese Beziehung auch für die Leistungen:
Wird allerdings die Arbeit in einer anderen Zeitdauer geleistet als sie zugeführt wird, so kann
man diese Gleichung nicht mehr anwenden (z.B. Rammbär: langsames Anheben und schneller
Aufprall).
Beispiele: Arbeit und Leistung eines Menschen
a) Hochlaufen einer Treppe (4. Stock) in 15s
b) 60 Kniebeugen in einer Minute
Mit den Beinen kann der Mensch also kurzzeitig eine Leistung von etwa 1PS
erbringen. Mit den Armen schafft er nur etwa 0,1PS=74W:
(2.64)
(2.65)
(2.66)

2. September 2005 Technische Physik Seite 47
c) Wie viele Klimmzüge schafft man in 60s?
Man schafft also etwa 12 Klimmzüge in einer Minute.
d) Ausschachten eines Loches von 1m² Querschnitt und 1m Tiefe in einer Stunde:
Die mittlere Leistung dieser Tätigkeit ist also sehr gering.
Wenn wir an einem Körper eine Arbeit verrichten, so wird der Körper verändert. Er kann
seine Lage im Gravitationsfeld verändern (Hubarbeit), er kann seine Form ändern
(Verformungsarbeit) oder er kann seine Geschwindigkeit ändern (Beschleunigungsarbeit). Hat
man dem Körper in dieser Weise Arbeit zugeführt, so kann er anschließend Arbeit leisten. Die
Arbeit ist quasi im Körper gespeichert. Dieses Vermögen Arbeit zu leisten bezeichnen wir als
Energie des Körpers.
Energie ist die Fähigkeit eines Körpers Arbeit zu verrichten
Durch Zufuhr oder Abgabe von Arbeit wird die Energie eines Körpers erhöht oder erniedrigt:
Im Bereich der Mechanik unterscheiden wir zwei Energieformen:
Hängt die geleistete Arbeit von einer Ortskoordinate ab, so sprechen wir von einer
potenziellen Energie (Energie der Lage). Beispiele hierfür sind die Hubarbeit, die zu einer
potenziellen Energie des angehobenen Körpers führt
sowie die Federspannung, die zu einer potenziellen Energie der Feder führt:
Leisten wir an dem Körper dagegen Beschleunigungsarbeit und erhöhen so seine
(2.67)
(2.68)
(2.69)

Seite 48 Technische Physik 2. September 2005
Geschwindigkeit, so sprechen wir bei der Energie des Körpers von der kinetischen Energie
(Energie der Bewegung):
Die Arbeit gegen die Reibungskraft führt nicht zu einer Erhöhung der mechanischen Energie
des Körpers, sondern der Körper und seine Umgebung erwärmen sich. Mit der Wärme tritt
hier eine neue Energieform auf, über die wir uns später unterhalten werden. Für ein
mechanisches System stellt sich diese Wärmeenergie als Verlust dar (Reibungsverluste),
weshalb der Wirkungsgrad einer Maschine auch immer kleiner als 1 ist.
Die Einheit der Energie entspricht natürlich der Einheit der Arbeit: [W kin]=[W pot]=
[W] = J.
Da die Änderung der Energie gleich der geleisteten Arbeit ist, können wir über die Definition
der Arbeit auch die potenzielle Energie wie folgt schreiben:
Das Minuszeichen wird benötigt, da per Definition die potenzielle Energie zunehmen soll,
wenn Arbeit gegen eine Kraft verrichtet wird, die Vektoren F und s also entgegengesetzte
Richtung haben.
Das zweite Gleichheitszeichen gilt für konservative Kräfte, bei Ihnen ist die
Energieänderung nicht vom speziell gewählten Weg abhängig. Für diese sehr häufig
auftretenden Kräfte sieht man, dass eigentlich immer nur Änderungen der Energie wichtig
sind. Üblicher Weise wählt man aber den Startpunkt A so, dass dort die potenzielle Energie
verschwindet. Dann kann man jeder Ortskoordinate auch eine potenzielle Energie
zuschreiben.
Beispiele:
a) Federspannung
(2.70)
(2.71)

2. September 2005 Technische Physik Seite 49
b) Gravitation
Wir sehen, dass in beiden Fällen die
potenzielle Energie mit dem Weg
zunimmt. Die Wahl der Nullpunkte ist
aber in beiden Fällen sehr
unterschiedlich.
Der Nullpunkt der Energie kann dabei
willkürlich gewählt werden, da nur die
Änderungen der Energie einen
physikalischen Sinn haben.
Dies gilt auch für die kinetische Energie.
Wir hatten gelernt, dass alle
Inertialsysteme gleichwertig sind. Sie
Abb. 2.37
unterscheiden sich nur durch ihre
Geschwindigkeiten. Ein Körper besitzt folglich in verschiedenen Inertialsystemen
unterschiedliche kinetische Energien, physikalisch wichtig sind aber nur die Änderungen der
Energie und diese sind vom Inertialsystem unabhängig. Diese ganze Überlegung gilt nur für
so genante konservative Kräfte, bei denen das Wegintegral in (2.71) vom gewählten Weg
unabhängig ist. Ansonsten ließe sich keine eindeutige potentielle Energie definieren.
Lassen wir eine konservative Kraft eine Beschleunigungsarbeit leisten, so gilt entsprechend zu
(2.71) ebenfalls:
Hier tritt kein Minuszeichen auf, da wir eine Erhöhung der kinetischen Energie bekommen,
wenn die Kraft in Richtung des Weges wirkt.
Wenn sowohl bei der potenziellen wie auch bei der kinetischen Energieänderung die selbe
Kraft über den selben Weg wirkt, dann können wir das Arbeitsintegral aus (2.71) in (2.72)
einsetzen und erhalten:
(2.72)

Seite 50 Technische Physik 2. September 2005
Dies bedeutet, für ein mechanisches System, in dem nur konservative Kräfte wirken, ist die
Summe aus potentieller Energie und kinetischer Energie konstant.
Energieerhaltungssatz der Mechanik:
Mit Hilfe dieses Energieerhaltungssatzes lassen sich viele Probleme der Mechanik in sehr
einfacher und eleganter Weise lösen, ohne dass immer die gesamten Bewegungsabläufe
beschrieben werden müssen. Dies gilt immer dann, wenn nur die Anfangs- und Endzustände
eines Systems von Interesse sind. Wir wollen dies an einem Beispiel deutlich machen:
Experiment 2.16: mathematisches Pendel
a) Eine Masse m hängt an einem starren Stab der
Länge �. Welche Geschwindigkeit v0 muss der
Masse gegeben werden, damit sie den oberen
Punkt B erreichen kann?
Lösung:
Am unteren Punkt definieren wir die potenzielle
Energie zu Null, der obere Punkt wird gerade erreicht,
wenn die Geschwindigkeit zu Null wird
und damit die kinetische Energie. Nach dem
Energieerhaltungssatz folgt jetzt:
b) Was verändert sich, wenn der Stab durch einen Faden ersetzt wird?
Lösung: Damit der obere Punkt erreicht wird, muss an diesem Punkt die
Zentripetalbeschleunigung gleich der Gravitationsbeschleunigung sein:
Nach dem Energieerhaltungssatz folgt jetzt:
(2.73)
Abb. 2.38

2. September 2005 Technische Physik Seite 51
Experiment 2.17: Looping-Bahn
Den Energieerhaltungssatz kann man noch allgemeiner formulieren:
In einem abgeschlossenen System bleibt der Energieinhalt konstant. Energie kann
weder vernichtet werden noch aus dem Nichts entstehen; sie kann in verschiedene
Formen umgewandelt werden oder zwischen verschiedenen Teilen des Systems
ausgetauscht werden
Ein abgeschlossenes System kennzeichnet dabei ein System ohne äußere Kräfte.
Hieraus folgt auch folgende wichtige Tatsache:
Es ist unmöglich ein Perpetuum mobile erster Art zu bauen
Dies kennzeichnet eine Maschine, die ständig Arbeit leistet, ohne dass ihr ein entsprechender
Energiebetrag zugeführt wird.
2.5 Stoßprozesse
Stoßprozesse sind das typische Bespiel für Probleme, bei denen sowohl die Energieerhaltung,
wie auch die Impulserhaltung zu beachten sind.
Diese Stoßprozesse laufen in der Regel in so kurzen Zeiträumen ab, daß während dessen praktisch
keine Ortsveränderungen der Körper zu berücksichtigen sind. Dies hat zur Konsequenz,
daß während eines Stoßes die potenzielle Energie nicht verändert wird. Der Energieerhaltungssatz
reduziert sich also auf die Betrachtung der kinetischen Energie.
Wir wollen im folgenden zwei typische Stoßprozesse untersuchen:
a) gerader, elastischer Stoß
Von einem geraden oder zentralen Stoß
sprechen wir immer dann, wenn die
Bewegungsrichtung des stoßenden
Körpers mit der Verbindungslinie der beiden
Schwerpunkte (Wirkungslinie) zusammenfällt.
Beim elastischen Stoß ist
die kinetische Energie vor und nach dem Stoß die gleiche.
Experiment 2.18: elastischer Stoß auf der Fahrbahn
Es müssen jetzt die beide bekannten Erhaltungssätze gelten:
Abb. 2.39

Seite 52 Technische Physik 2. September 2005
Wir haben damit zwei Gleichungen für die beiden unbekannten Geschwindigkeiten nach dem
Stoß vorliegen. Hieraus kann man die beiden Geschwindigkeiten nach dem Stoß bestimmen:
Dies sind die allgemeinen Lösungen für einen zentralen, elastischen Stoß.
Diese sehr unübersichtlichen Gleichungen werden anschaulicher, wenn wir einige Spezialfälle
betrachten:
- m 1 = m 2 :
Wir sehen, dass in diesem Fall die beiden Körper ihre Geschwindigkeiten austauschen.
Experiment 2.19: elastischer Stoß auf der Fahrbahn mit m 1 = m2
Insbesondere bleibt bei v 2 =0 nach dem Stoß die Masse 1 in Ruhe.
- m 2 >> m 1 : (z.B. Fahrt gegen Mauer m 2 � �, v 2 =0)
Experiment 2.20: elastischer Stoß gegen Begrenzung
Wir sehen, dass in diesem Fall die Masse 1 ihre Bewegung umkehrt. Dies ist
allerdings keine Verletzung des Impulserhaltungssatzes, da die Mauer in diesem Fall
den Impuls p’ 2 = 2m 1 v1 aufnimmt:
b) gerader, inelastischer Stoß
(2.74)
(2.75)
Geht beim Stoßvorgang kinetische Energie verloren, z.B. durch Reibung oder nichtelastische
Verformung, so muß dies entsprechend im Energieerhaltungssatz berücksichtigt werden:
(2.76)

2. September 2005 Technische Physik Seite 53
Unter Berücksichtigung des Impulserhaltungssatzes haben wir somit zwei Gleichungen für
drei unbekannte Größen, dies ist nicht
allgemein lösbar. Man benötigt folglich
weitere Informationen, z.B. über die Geschwindigkeiten
nach dem Stoß um etwas
über den Energieverlust aussagen zu
können. Wir wollen daher einen speziellen
inelastischen Stoß betrachten, bei
dem beide Körper nach dem Stoß zusammen
haften und die selbe Ge-
schwindigkeit v ges besitzen. Wir sprechen
vom unelastischen Stoß.
Abb. 2.40
Wir wollen zwei Beispiele betrachten:
a) m 1 = m 2 =m
Experiment 2.21: unelastischer Stoß auf der Fahrbahn
Jetzt gilt für die Impulserhaltung:
Die Endgeschwindigkeit ergibt sich als Mittelwert der Anfangsgeschwindigkeiten.
Setzen wir dies in die Energieerhaltung ein, so folgt:
Bei v 2 =0 wird
d.h. die Hälfte der kinetischen Energie wird in Verformungsenergie umgewandelt.
b) ballistisches Pendel
Das ballistische Pendel wird verwendet um Geschwindigkeiten von Kugeln zu bestimmen.
Dabei wird mit einer Waffe auf einen Holzklotz geschossen der als Pendel

Seite 54 Technische Physik 2. September 2005
aufgehängt ist. Aus der Auslenkung des
Pendels kann die Kugelgeschwindigkeit
bestimmt werden.
Experiment 2.22: ballistisches Pendel
mit Pistole
Lösung: Impulssatz:
Die kinetische Energie nach dem Stoß wird durch das Pendel bei maximaler
Auslenkung in potentielle Energie umgewandelt:
Für die gesuchte Geschwindigkeit gilt somit:
Für das Verhältnis der kinetischen Energien gilt:
Abb. 2.41
In unserem Experiment beträgt die Masse der Kugel 1g, die Masse des Pendels 51,5g
und die Länge der Pendelstange 27cm. Das Experiment ergibt einen Ausschlagwinkel
von � = 40�. Setzen wir diese Werte in die obigen Gleichungen ein, so errechnet sich
die Geschwindigkeit der Kugel zu 58,4 m/s und das Verhältnis der kinetischen
Energien zu 1,9%. D.h. 98% der kinetischen Energie der Kugel wird in
Verformungsarbeit und Reibung umgesetzt.

2. September 2005 Technische Physik Seite 55
3. Mechanische Schwingungen
3.1 Freie, ungedämpfte Schwingung
Schwingungen begegnen uns in unserer Umgebung sehr häufig. Oft sind sie erwünscht, oft
aber auch störend. Dabei kommen sie in unterschiedlichster Form vor: mechanische
Schwingungen einer Mikrofonmembran oder einer Lautsprechermembran ermöglichen eine
Umwandlung von Luftdruckschwankungen in elektrische Schwingungen und umgekehrt; ein
elektrischer Schwingkreis wählt aus den vielen Signalen, die eine Antenne auffängt den
gewünschten Sender heraus; die Dickenschwingung eines Quarzkristalls ermöglicht den
Aufbau von sehr genauen Zeitnormalen. Unerwünscht sind Schwingungen, die bei Maschinen
infolge ihrer Arbeitstätigkeit auftreten, sie führen zu verstärkter Lärmabstrahlung und zur
Ermüdung von Maschinenkomponenten. Auch die Schwingungen, die von der Straße auf einen
PKW und dessen Insassen übertragen werden sind unerwünscht und müssen entsprechend
gedämpft werden.
Unter einer Schwingung verstehen wir einen periodischen oder quasiperiodischen Vorgang.
Echt periodisch ist er nur, wenn die Schwingungsamplitude zeitlich konstant bleibt. Dies ist
aber ein Grenzfall des allgemein auftretenden Falles einer zeitlichen Abnahme der
Schwingungsamplitude z.B. durch stets unvermeidbare Reibungsanteile. Letzteres bezeichnet
man dann als quasiperiodischen Vorgang.
Als einführendes Beispiel wollen wir
ein Feder-Masse-System betrachten und
hieran die wichtigsten Eigenschaften
eines schwingenden Systems erarbeiten.
Experiment 3.1: Feder-Masse-System
Das Feder-Masse-System befindet sich
zunächst im Zustand der Ruhe.
Jetzt wird die Masse um den Weg s�
nach unten ausgelenkt und die Feder
somit gespannt. In dem System steckt
jetzt die potentielle Energie
Abb. 3.1
Wird die Masse jetzt losgelassen, so wird sie durch die elastische Kraft F el nach oben
beschleunigt. Erreicht die Masse die alte Ruhelage, so besitzt sie jetzt eine Geschwindigkeit v�.

Seite 56 Technische Physik 2. September 2005
Die gesamte potentielle Energie ist in kinetische Energie umgewandelt worden:
Bei ihrer weiteren Bewegung nach oben drückt die Masse die Feder zusammen. Dadurch
entsteht eine elastische Kraft, welche die Masse abbremst. Sie kommt schließlich zur Ruhe.
Jetzt ist die gesamte kinetische Energie wieder in potentielle Energie umgewandelt worden.
Der Vorgang läuft anschließend in umgekehrter Richtung erneut ab. Bei einem solchen
schwingenden System oder Oszillator wird also ständig Energie von einem Energietyp
(potentielle Energie) in den anderen (kinetische Energie) umgewandelt. Die verschiedenen
Oszillatorarten unterscheiden sich lediglich in der Art der Energiespeicherung. Bei
mechanischen Schwingern wird die kinetische Energie in einer bewegten Masse gespeichert,
die potentielle Energie kann in verformten Festkörpern, komprimierten Gasen und ähnliches
gespeichert werden. Bei elektrische Schwingern wird die potentielle Energie durch die
Ladungsspeicherung in einem Kondensator (elektrisches Feld), die kinetische Energie durch
einen Stromfluß durch eine Spule (Magnetfeld) realisiert.
All diese verschiedenen Arten von Schwingern lassen sich daher letztlich ähnlich beschreiben
und besitzen ähnliche Gesetzmäßigkeiten.
Da wir zunächst von einer konstanten Schwingungsamplitude ausgehen, muss die
Gesamtenergie des Systems konstant sein. Daher gilt zu jedem Zeitpunkt:
Dabei ist s� die maximale Auslenkung und v� die Geschwindigkeit im Nulldurchgang.
Wir wollen im folgenden untersuchen,
welchen Bewegungsablauf die
Schwingung besitzt.
Experiment 3.2: Nachweis der
harmonische Schwingungsform
Das Experiment zeigt, dass die lineare
Schwingung der Masse im Einklang steht
mit der Projektion einer Kreisbewegung.
Wie die Abb. 3.2 verdeutlicht, entspricht
diese Projektion aber dem Sinus des
momentanen Drehwinkels �. Somit
können wir die Schwingungsbewegung
(3.1)
Abb. 3.2

2. September 2005 Technische Physik Seite 57
beschreiben durch folgenden Ansatz:
In der Periodendauer T durchläuft der
Winkel der Kreisbewegung den Bereich
0 bis 2�, so dass gilt:
� wird jetzt als Kreisfrequenz bezeichnet,
f als Frequenz.
Im folgenden wollen wir untersuchen,
wie die Frequenz der Schwingung von
Abb. 3.3
den Systemeigenschaften abhängt. Dafür
müssen wir nach dem zweiten Newtonschen Axiom die Bewegungsgleichung aufstellen. Die
rücktreibende Kraft der Feder bewirkt die Beschleunigung der Masse:
Mit
folgt:
(3.2)
(3.3)
Die Gleichung (3.3) stellt eine Differentialgleichung dar, welche den Weg s mit der
Beschleunigung a verknüpft. Solche Differentialgleichungen sind häufig schwer zu lösen, eine
geläufige Methode hierzu ist, eine Lösung zu „erraten” und diese dann einzusetzen. Wir
kennen nach der obigen Überlegung schon eine Lösung der Differentialgleichung und setzen
diese daher ein:

Seite 58 Technische Physik 2. September 2005
Hiermit folgt:
Damit ergibt sich:
Wir erhalten auf diese Weise sofort die Schwingungsfrequenz des Systems
Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung ergibt sich zu
da zur Zeit t=0 die Auslenkung nicht notwendigerweise Null sein muss.
Experiment 3.3: Computersimulation: D = 9 kg/s², m = 1 kg � � = 3 s -1
-1
(abgelesen: 6 Schwingungen = 12,6 s � T = 2,1 s; andererseits: T=2�/� = 2�/3s =2,1 s)
Die Größen s� und � 0 ergeben sich dann aus den sogenannten Anfangsbedingungen zur Zeit
t=0:
Mit v 0 = 0 ergibt sich: � 0 = 90�, � = s 0.
Ist die rücktreibende Kraft, wie in diesem Fall, der Auslenkung stets proportional, so
bezeichnen wir das schwingende System als harmonischen Oszillator, die resultierende
Schwingung ist eine Sinusschwingung oder harmonische Schwingung. Die harmonische
Schwingung ist ein Grenzfall der allgemeinen Schwingung, da eine absolute Proportionalität
in der Regel nicht gegeben ist. Selbst die einfache Schraubenfeder zeigt Abweichungen vom
(3.4)
(3.5)
(3.6)
(3.7)

2. September 2005 Technische Physik Seite 59
Hookeschen Gesetz.
Setzen wir (3.4) in (3.3) ein, so erhalten wir eine sehr allgemeine Form der
Differentialgleichung eines harmonischen Oszillators:
Umgekehrt können wir sagen, dass jede Differentialgleichung, die sich auf diese Form
bringen läßt, einen harmonischen Oszillator beschreibt und durch (3.6) gelöst wird.
Beispiel: das mathematische Pendel
Experiment 3.4: Fadenpendel
Dieses Pendel wird beschrieben durch einen
masselosen Faden und eine punktförmige Masse
(daher mathematisches Pendel). Für die rücktreibende
Kraft gilt jetzt:
Wir sehen, dass in diesem Fall die rücktreibende
Kraft nicht proportional zur Auslenkung � ist.
Die entstehende Schwingung ist daher nicht
harmonisch sondern anharmonisch. Die
entstehende Differentialgleichung
ist daher auch nicht mehr einfach lösbar. Für kleine Winkelausschläge � < 5° gilt allerdings in
guter Näherung:
Damit folgt dann
Dies ist wiederum die Gleichung eines harmonischen Oszillators und es gilt somit:
Experiment 3.5: Fadenpendel, Bestimmung von T und Vergleich mit Rechnung
(3.8)
Abb. 3.4
(3.9)

Seite 60 Technische Physik 2. September 2005
3.2 Freie, gedämpfte Schwingung
Ohne Energiezufuhr nimmt die Amplitude eines schwingungsfähigen Systems mit der Zeit ab.
Diesen Vorgang bezeichnen wir als Dämpfung.
Experiment 3.6: Federschwingung mit Wirbelstrom-Bremse
Ursache der Dämpfung ist die nie zu vermeidende Reibung. Dabei haben wir zwei wichtige
Fälle zu unterscheiden:
a) Geschwindigkeitsunabhängige Reibungskraft
Diese Art der Reibung beobachten wir
immer dann, wenn Festkörper direkt
aufeinander reiben. Auch die
Lagerreibung fällt in diese Kategorie.
Die Reibungskraft ist dann immer
konstant, die Richtung der Reibungskraft
kehrt sich jedoch ständig
um mit der Bewegungsrichtung des
Schwingers.
Die Größe der Amplitudenabnahme
können wir einfach aus dem Ener-
Abb. 3.5
gieverlust während einer Halbwelle der Schwingung ermitteln. Der Schwinger legt in dieser
Zeit den Weg s 0 + s 1 zurück. Die potentiellen Energien in den Umkehrpunkten unterscheiden
sich dann um die Reibungsarbeit:
Hieraus folgt:
Dies ist die Abnahme während einer halben Periodendauer T. Die Amplitude der Schwingung
nimmt folglich in jeder Periode um den gleichen Betrag

2. September 2005 Technische Physik Seite 61
ab. Wir erhalten somit eine lineare Abnahme der Amplitude mit der Zeit. Nach einer bestimmten
Anzahl von Schwingungen kommt das System zur Ruhe. Dabei muss die Ruhelage
nicht mit der Nullage des Systems übereinstimmen, da die ständig wirkende Reibungskraft
eine bestimmte Mindestfederkraft benötigt um überwunden zu werden (Haftreibung). Dies ist
insbesondere auch bei Zeigermeßgeräten zu beobachten, bei denen die Reibungskraft zu groß
geworden ist. Der Zeiger geht nicht mehr in die Nullage zurück.
b) geschwindigkeitsabhängige Dämpfung
Die geschwindigkeitsabhängige Dämpfung wird dann beobachtet, wenn Reibung in
Flüssigkeiten oder Gasen vorliegt, solange diese Medien ohne Verwirbelung strömen können.
Auch die elektrische Wirbelstromdämpfung ist der Geschwindigkeit proportional. Solche
Wirbelstromdämpfung tritt immer dann auf, wenn eine leitende Platte in einem Magnetfeld
bewegt wird.
Experiment 3.7: Wirbelstromdämpfung
Video Nr. 8: Wirbelstromdämpfung
Für die wirkende Reibkraft machen wir
folgenden Ansatz:
Experiment 3.8: Computersimulation
mit b = 0,6 kg/s
Da mit abnehmender Amplitude auch
Abb. 3.6
die Geschwindigkeit der Masse abnimmt,
wird auch die Reibkraft ständig schwächer. Man beobachtet daher keine lineare
Abnahme der Amplitude, sondern eine Abnahme nach einer Exponentialfunktion. Für die
Schwingungsgleichung folgt:
Auf Grund der bisherigen Erfahrungen und der exponentiellen Abnahme der Amplitude
machen wir folgenden Lösungsansatz:
Für die Zeitableitungen folgt somit:
(3.10)
(3.11)

Seite 62 Technische Physik 2. September 2005
und
Setzen wir diese Ergebnisse in (3.10) ein, so erhalten wir eine Summe aus Sinus- und Cosinusfunktionen,
deren Ergebnis Null sein soll. Dies ist aber nur möglich, wenn die Amplituden
dieser Funktionen Null sind. Daher fassen wird die beiden Anteile getrennt zusammen:
Sinusfunktion:
Cosinusfunktion:
Die Größe � in der Exponentialfunktion ist daher proportional zur Reibkraftgröße b. Sie wird
als Dämpfungkonstante bezeichnet. Wir sehen auch, dass die Wirkung der Reibkraft durch
eine große Masse abgeschwächt wird, d.h. eine große Masse verringert ihre Amplitude
langsamer als eine kleine Masse.
Bestimmen wir noch die Frequenz �:
Dabei wurde (3.12) und (3.4) verwendet.
(3.12)

2. September 2005 Technische Physik Seite 63
Wie dieses Ergebnis zeigt, ist die Schwingungsfrequenz einer geschwindigkeitsproportional
gedämpften Schwingung geringer, als die einer ungedämpften Schwingung und zwar um so
kleiner, je höher die Dämpfung ist.
Mit Hilfe von (3.12) und (3.4) können wir die Differentialgleichung wieder in eine allgemein
gültige Form bringen:
Diese besitzt die allgemeine Lösung:
Die Dämpfungskonstante � können wir aus der Änderung der Amplitude bestimmen. Diese
Änderung wird durch die Exponentialfunktion beschrieben:
Die Größe �=�T wird als logarithmisches Dekrement bezeichnet, denn:
Experiment 3.9:Computersimulation: Bestimmung von � aus den Amplituden und nach b/2m
mit b=1kg/s, s 0 = -1m, m = 1kg, D = 9 kg/s 2
Rechnung: m = 1 kg, b = 1 kg/s � � = 0,5 1/s; D = 9 kg/s², m = 1 kg � � = 3 1/s � T =
2,1 s
Messung: s 0 = -1 m � s n = 0,58 m, s n+1 = 0,2 m, T = 2,1 s � � = 0,51 1/s
Die Gleichung (3.13) zeigt einen wichtigen Sonderfall bei sehr großer Dämpfung. Für �=�0
wird die Frequenz der Schwingung Null, d.h. das System kann nicht mehr schwingen. Nach
(3.13)
(3.14)
(3.15)
(3.16)

Seite 64 Technische Physik 2. September 2005
einer Auslenkung aus der Ruhelage bewegt sich die Masse entsprechend der Exponentialfunktion
wieder zur Ruhelage zurück.
Diesen Fall bezeichnet man als
aperiodischen Grenzfall. Dieser Fall ist
für schwingende Systeme sehr wichtig,
da das System jetzt ohne Schwingungen
schnell zur Ruhelage zurück kehrt.
Aperiodischer Grenzfall:
� = � 0 = 3 1/s = b/2m,
m = 1 kg � b = 6 kg/s
Experiment 3.10:Computersimulation
mit b=6kg/s, 5kg/s, 4kg/s
Experiment 3.11: aperiodisch gedämpfte Schwingung eines Messgerätezeigers
Dieser Fall der Dämpfung wird gern bei Messgeräten eingesetzt, da der Zeiger dann bei einem
Ausschlag nicht über schwingt, sondern sich schnell auf den Messwert einstellt. Dabei bleibt
man meist etwas unter dem Grenzfall, so dass noch ein minimales Überschwingen zu
beobachten ist. Die Einstellzeit auf den Messwert verkürzt sich dadurch weiter.
Wird die Dämpfung noch größer, so stellt sich das System nur noch nach unendlich langer
Zeit auf den neuen Zustand ein. Wir sprechen vom Kriechfall.
3.3 Erzwungene Schwingungen
Wird ein schwingungsfähiges System durch eine einmalig wirkende Kraft ausgelenkt, so führt
es anschließend eine freie Schwingung mit der ihm eigenen Frequenz aus. Geschieht die
Anregung dagegen periodisch, so wird dem System eine ihm fremde Frequenz aufgezwungen.
Experiment 3.12: Feder-Masse-System mit Handanregung
Wir wollen den einfachsten Fall einer sinusförmigen Anregung näher betrachten:
Experiment 3.13: Drehschwinger mit externer Anregung
Fassen wir die Beobachtungen zunächst zusammen:
a) Bei geringen Anregungsfrequenzen folgt das schwingende System mit geringer
Verzögerung der Anregung. Die Schwingungsamplitude entspricht der Anregungsamplitude.
Abb. 3.7
(3.17)

2. September 2005 Technische Physik Seite 65
b) Erhöht man die Frequenz der Anregung, so steigert sich die Schwingungsamplitude
bis zu einem Maximalwert. Die Schwingung erfolgt deutlich verzögert zur Anregung.
c) Bei noch höherer Anregungsfrequenz nimmt die Schwingungsamplitude sehr schnell
auf geringe Werte ab. Man beobachtet eine Gegenphasigkeit der Schwingung zur
Anregung.
Zur Klärung dieser Ergebnisse betrachten wir ein
einfaches Feder-Masse-System mit periodischer
Anregung. Nach dem 2. Newtonschen Axiom gilt:
Mit
folgt
Diese Art der Differentialgleichung wird als inhomogene Differentialgleichung bezeichnet.
Wir können sie wieder lösen durch eine speziell ausgesuchte Lösung. Diese finden wir nach
dem obigen Experiment wie folgt:
Wir haben beobachtet, dass das System
mit der Anregungsfrequenz schwingt,
seine Schwingung allerdings etwas
verzögert auftritt:
Setzt man diesen Ansatz in die obige
Differentialgleichung ein, so lassen sich
die unbekannten Größen s 0 und �
wieder bestimmen, indem man die
Sinus- und Cosinusterme einzeln
betrachtet:
Abb. 3.8
Abb. 3.9

Seite 66 Technische Physik 2. September 2005
Da die anregende Kraft auf den oberen Punkt der Feder wirkt, lässt sich noch folgender
Zusammenhang aufstellen:
Aus diesen Formeln ergibt sich folgendes grafisches Ergebnis für die Frequenzabhängigkeit
der Schwingung:
Experiment 3.14: Computersimulation: Aufnehmen der Resonanzkurve und der Phasenkurve
Es ergeben sich folgende Halbwertsbreiten �� der Resonanzkurven und folgende Güten
Q = ��/� 0:
(3.18)
Abb. 3.10 Abb. 3.11
Hub = 0,15; Startpunkt = 0; Frequenz = 2,0....4,0 1/s; b = 0,1 kg/s, 0,2 kg/s und 0,5 kg/s;
�t = 0,01s �10000 Zyklen = 100 s � 50 Schwingungen; Schrittrate �� = 0,05

2. September 2005 Technische Physik Seite 67
-1
b / kg/s �� / s Q
0,1 0,26 11,5
0,2 0,56 5,4
0,5 1,23 2,44
Die maximale Amplitude der Schwingung wird in der Nähe der Eigenschwingungsfrequenz
erreicht. Sie wird ausschließlich durch die Dämpfung bestimmt. Die Phasenverschiebung an
diesem Punkt beträgt 90°. Dies bezeichnen wir als Resonanz. Bei stärkerer Dämpfung nimmt
die Amplitude ab. Das Maximum verschiebt sich etwas zu geringeren Frequenzen. Bei sehr
hohen Frequenzen geht die Amplitude gegen Null und die Phase gegen 180°. Die Masse kann
jetzt infolge ihrer Trägheit der Anregung nicht mehr folgen.
Bei sehr geringen Dämpfungen kann die Amplitude im Resonanzfall sehr groß werden. Dies
kann dann zu unzulässigen Belastungen des schwingenden Systems führen. Wir sprechen von
der Resonanzkatastrophe.
Experiment 3.15: Modellauto mit Unwucht
Video Nr. 9: Brückeneinsturz
Da jedes schwingungsfähige System solche Resonanzen besitzt, müssen diese entsprechend
beachtet werden.
a) Eine Turbine, die bei sehr hohen Drehzahlen arbeitet, wird so konstruiert, dass ihre
Resonanz bei niedrigen Frequenzen liegt. Dann sind die auftretenden Schwingungsamplituden
sehr gering. Allerdings muss man beim Hochfahren der Turbine
diese Resonanzfrequenz durchlaufen. Dies muss entsprechend schnell geschehen,
damit sich keine starken Schwingungen ausbilden können.
b) Ein Lautsprecher soll mit möglichst großer Amplitude schwingen können. Seine
Resonanz muss daher bei hohen Frequenzen liegen. Um einen möglichst linearen Frequenzgang
zu erreichen, wird er zusätzlich künstlich gedämpft, was einen
verschlechterten Wirkungsgrad zur Folge hat.
c) Eine technische Ausnutzung der mechanischen Resonanzschwingung ist der
mechanische Frequenzmesser.
Experiment 3.16: mechanischer Frequenzmesser
Er beruht auf der Anregung von Metallzungen mit unterschiedlicher Länge. Die
Längen sind so abgestimmt, dass bei der Sollfrequenz (z.B. 50Hz) die entsprechende
Zunge in Resonanz ist.

Seite 68 Technische Physik 2. September 2005
d) Eine sehr wichtige Anwendung der
erzwungenen Schwingung stellt der
elektrische Schwingkreis dar. Ohne
auf die elektrischen Zusammenhänge
näher einzugehen, wollen wir dies
unter dem Hinblick Schwingungen
einmal näher betrachten:
Der Schwingkreis besteht aus den
Abb. 3.12
beiden Bauelementen Kondensator
und Spule sowie einem Widerstand. Betrachten wir zunächst den Schwingkreis ohne
äußere Anregung. Nach dem zweiten Kirchhoffschen Gesetz muss die Summe aller
Spannungen in einem geschlossenen Stromkreis Null sein:
Nun gilt für die Einzelspannungen:
und für den Zusammenhang zwischen Strom I und Ladung Q:
Fassen wir dies zusammen, so gilt:
(3.19)
Im Vergleich mit der mechanischen Schwingungsgleichung sehen wir, dass die Spule
die Aufgabe der Masse übernimmt (kinetische Energie), der Kondensator die Aufgabe
der Feder besitzt (potentielle Energie) und der Widerstand die Reibungskraft darstellt.
Die Lösung dieser Differentialgleichung können wir jetzt durch direkte Analogie im

2. September 2005 Technische Physik Seite 69
Vergleich mit (3.14) ableiten:
Wir sehen, dass die Resonanzfrequenz des Schwingkreises durch die Spule und den
Kondensator bestimmt wird, die Dämpfung dagegen durch den Verlustwiderstand R.
Die Betrachtung lässt sich in gleicher Weise auch auf den fremd angeregten Schwingkreis
übertragen:
Mit dem Lösungsansatz
erhalten wir ein Maximum der transportierten bzw. im Kondensator gespeicherten Ladung
bei der Frequenz � 0.
Experiment 3.17: elektrischer Schwingkreis
(3.20)
(3.21)

Seite 70 Technische Physik 2. September 2005
3.4 Gekoppelte Schwingungen
Bei vielen Erscheinungen in der Natur treten mehrere
miteinander verkoppelte schwingende Systeme in
Erscheinung. Das wichtigste Beispiel sind die festen
Körper. Jedes Atom kann um seine Ruhelage Schwingungen
ausführen. Es übt dabei Kräfte auf die
benachbarten Atome aus, die ebenfalls schwingen können.
Diese Schwingungen beeinflussen sich in ganz
charakteristischer Weise. Wir wollen uns den
einfachsten Fall von zwei miteinander gekoppelten
Pendeln anschauen:
Experiment 3.18: gekoppelte Pendel
Zwischen den beiden Pendeln bewirkt eine Feder mit der Federkonstanten D eine
Verkopplung der Bewegungen. Das Experiment zeigt, dass hierdurch die Bewegungsenergie
von einem Pendel auf das nächste übertragen werden kann. In der Natur der festen Körper
bedeutet dies ein Transport von Wärme (= atomare Schwingungen) durch den Körper. Um
dieses Verhalten verstehen zu können, stellen wir zunächst die Bewegungsgleichungen der
Pendel für kleine Auslenkungen auf:
Pendel 1:
Pendel 2: (analog)
Abb. 3.13
Wir sehen, dass beide Differentialgleichungen miteinander verkoppelt sind. Durch Addition
beider Gleichungen erhalten wir:
(3.22)
(3.23)

2. September 2005 Technische Physik Seite 71
Durch Subtraktion ergibt sich:
Wir erhalten somit zwei homogene, ungedämpfte Schwingungsgleichungen, einmal für die
Summe beider Auslenkungen, einmal für die Differenz beider Auslenkungen. Diese beiden
Gleichungen lassen sich in der gewohnten Weise lösen:
mit
Wir wollen uns die Bedeutung dieser beiden Lösungen an einigen Spezialfällen näher
anschauen:
a) � 1 = �2
Dies bedeutet, dass beide Pendel
gleichsinnig schwingen. Die zweite
Lösung verschwindet, dass System
schwingt mit der Frequenz � 1,
als
wäre die Feder nicht vorhanden:
Experiment 3.19: gleichsinnige
Schwingung
Experiment 3.20: Computersimulation: � 0,1 = 0,28; � 0,2 = 0,20; A = 0,24
(3.24)
(3.25)
(3.26)
(3.27)
Abb. 3.14

Seite 72 Technische Physik 2. September 2005
b) � 1 = -�2
In diesem Falle schwingen die Pendel gegensinnig. Die erste Lösung verschwindet
und das System wird allein durch die zweite Lösung beschrieben. Die Pendel
schwingen jetzt mit der höheren Frequenz � 2,
da die Feder eine zusätzliche
rücktreibende Kraft bewirkt.
Experiment 3.21: gegensinnige Schwingung
Experiment 3.22: Computersimulation: � 0,1 = -0,20; � 0,2 = 0,20; A = 0,24
� T 2 = 1,83 s; abgelesen T 2 = 20 s/11 =1,83 s
Diese beiden Schwingungen bezeichnet man als Fundamentalschwingungen dieses
Systems. Bei diesen Schwingungen findet kein Energieaustausch zwischen den beiden
Pendeln statt. Im ersten Fall gilt dies, da die Feder nie belastet wird, im zweiten Fall
bleibt der Mittelpunkt der Feder immer in Ruhe, auf jedes Pendel wirkt daher eine
halbe Feder mit damit doppelter Federkonstanten.
c) � 1(0)=A 1, � 2(0)=0, �� 1(0)=0, �� 2(0)=0,
Am Anfang wird das Pendel 1 ausgelenkt, das Pendel 2 bleibt in Ruhe:
Experiment 3.23: einseitige Auslenkung mit graphischer Aufzeichnung
Experiment 3.24: Computersimulation: � 0,1 = 0,04; � 0,2 = 0,2
Aus den beiden Lösungen (3.26) folgt zur Zeit t=0:
sowie
� T 1 = 2 s; abgelesen T 1 = 2 s

2. September 2005 Technische Physik Seite 73
d.h. A 1 = A 2 und � = � = 0. Damit folgt:
Durch Addition und Subtraktion können wir hieraus die Schwingungen der
Einzelpendel bestimmen:
Die Bedeutung dieses Ergebnisses erkennt man besser, wenn man die Formeln umschreibt
mit Hilfe der Additionstheoreme:
Dann ergibt sich:
Dieses Ergebnis lässt sich jetzt wie folgt interpretieren:
Die Pendel schwingen mit einer mittleren Frequenz aus beiden Fundamentalfrequenzen,
(3.28)
(3.29)
(3.30)
die Amplitude der Schwingungen wird verändert im Rhythmus der halben Differenzfrequenz.
Die entstehende Zeitabhängigkeit wird als Schwebung bezeichnet.
Deutlich zu erkennen ist, wie beide Pendel ihre Schwingungsenergie austauschen. Der

Seite 74 Technische Physik 2. September 2005
zeitliche Abstand zweier Maxima wird als Schwebungsperiodendauer T p bezeichnet.
Experiment 3.24: Auswertung der Computersimulation
P P
Berechnet: T = 2�/(3,44 - 3,13) s = 20,3 s; abgelesen: T = 20,9 s
Berechnet: T = 2�/(3,44 + 3,13)/2 s = 1,92 s; abgelesen: T = 1,9 s
Das System aus zwei Pendeln wird durch
zwei Fundamentalschwingungen
beschrieben. Für jedes weitere Pendel
kommt eine weitere Fundamentalschwingung
hinzu, bei der die Pendel
ohne Energieaustausch schwingen. In
einem Festköper mit seinen etwa 10 23
Atomen liegen daher entsprechend viele
Fundamentalschwingungen vor, die das
System beschreiben. Da mit jeder
Fundamentalschwingung eine bestimmte
Schwingungsenergie verknüpft ist, gibt es
entsprechend viele Energiezustände in
einem Festkörper.
Experiment 3.25: Pendelkette als linearer
Festkörper
(3.31)
Abb. 3.15

2. September 2005 Technische Physik Seite 75
4. Wärmelehre
4.1 Die Temperatur
Neben einer kinetischen oder potentiellen Energie kann ein Körper (System) auch eine
Energie in Form von Wärme aufnehmen oder abgeben. Die Wärmelehre beschreibt die
hiermit verbundenen Zustände und den möglichen Energieaustausch mit anderen
Energieformen.
Wir Menschen haben ein natürliches, aber mehr oder weniger subjektives Empfinden für den
Wärmezustand eines Körpers, den wir dann mit "kalt", "warm" oder "heiß" kennzeichnen. Zur
objektiven Beschreibung des Wärmezustandes benötigen wir eine neue Messgröße, da die
bisher verwendeten Größen nur mechanische Vorgänge beschreiben. Diese neue Basisgröße
wird Temperatur genannt.
Die Temperatur ist die den Wärmezustand eines Körpers kennzeichnende Größe
Wir werden sehen, dass die Temperatur nicht mit der Wärmemenge identisch ist, die in einem
Körper steckt. Es ergeben sich z.B. unterschiedliche Temperaturänderungen bei gleicher
Wärmezufuhr.
Zur Messung der Temperatur verwendet man z.B. die Volumenänderung eines Körpers, die
mit einer Temperaturänderung einhergeht (s.u.).
Die Festlegung der Einheit der Temperatur hat einen historischen Hintergrund und geht darauf
zurück, dass Celsius bei der Definition seiner Temperaturskala den Erstarrungspunkt von
Wasser und den Kochpunkt von Wasser als Referenzpunkte verwendete und ihren Abstand
auf seiner Messskala in 100 Teile unterteilte. Man bekommt so eine Temperaturskala in �C
(Grad Celsius) mit dem Nullpunkt am Erstarrungspunkt des Wassers. Diese heute noch sehr
gebräuchlich (aber nicht zum SI-System gehörende Einheit) hat den Nachteil, dass beide
Referenzpunkte nicht fix sind sondern von den Umgebungsbedingungen abhängen.
Folie Nr. 6: Temperatureichwerte
Aus diesem Grunde wurde 1967 als Temperatureinheit das Kelvin (K) festgelegt. Die
Grundlage der Definition dieser Einheit ist, dass alle Experimente bisher gezeigt haben, dass
es einen absoluten Nullpunkt der Temperatur gibt. Diesen Punkt verwendet man als Nullpunkt
der Kelvinskala. Er entspricht dem Wert -273,15�C. Als zweiten Referenzpunkt verwendet
man den so genannten Tripelpunkt des Wassers, der bei 0,01�C liegt, allerdings bei einem
sehr tiefen Druck von 610 Pa (normaler Luftdruck ca. 100 000 Pa). An diesem Punkt liegt
Wasser in allen drei Aggregatzustände (fest, flüssig, gasförmig) vor. Dieser Tripelpunkt ist
leicht zu realisieren und daher ein guter Referenzpunkt. Wir sprechen jetzt von der

Seite 76 Technische Physik 2. September 2005
thermodynamischen Temperatur. Als Einheit dieser Temperatur wird jetzt definiert:
1 Kelvin ist der 273,16te Teil der thermodynamischen Temperatur des Tripelpunktes
von Wasser
Durch diese Definition wird erreicht, dass Temperaturdifferenzen sowohl in der Kelvin-Skala
wie auch in der Celsiusskala den selben Wert haben. Als Umrechnung gilt:
Zur Messung der Temperatur verwendet man verschiedene physikalische Prinzipien:
a) Volumenänderung von Festkörpern, Flüssigkeiten und Gasen
typische Beispiele: Quecksilberthermometer, Alkoholthermometer,
Bimetallthermometer (s.u.).
Experiment 4.1: verschiedene Thermometer
b) Änderung elektrischer Eigenschaften
typische Beispiele: Widerstandsthermometer, Thermoelemente (siehe Vorlesung
Bauelemente und Werkstoffkunde)
c) Strahlung heißer Körper
typische Beispiele: Pyrometer (Messung der Farbe des vom heißen Körper emittierten
Lichtes)
Was unterscheidet einen Körper mit geringer Temperatur von einem Körper mit hoher
Temperatur?
Experiment 4.2: Brownsche Molekularbewegung
Wir sehen hieran, dass mit zunehmender Temperatur die Bewegung der Atome und Moleküle
ebenfalls zunimmt:
Die Temperatur eines Körpers ist ein Maß für die thermische Bewegung seiner Atome
und Moleküle
Folie Nr. 5: Temperaturskalen der Welt
(4.1)

2. September 2005 Technische Physik Seite 77
4.2 Thermische Ausdehnung
4.2.1 Festkörper
Die meisten Festkörper dehnen sich beim Erwärmen aus (Ausnahmen: Leder, Gummi, Stoffe
mit Kristallumwandlung z.B. Eisen bei der Curie-Temperatur, Wasser in der Nähe des
Erstarrungspunktes).
Experiment 4.3: Längenausdehnung fester Körper
Die Experimente ergeben, dass die Längenausdehnung fester Körper über einen mittleren
Temperaturbereich der Temperatur direkt proportional ist:
� wird als Längenausdehnungskoeffizient bezeichnet. Für größere Temperaturbereiche kann
man � nicht mehr als Konstante annehmen. In der Regel nimmt � mit der Temperatur leicht
zu:
-6 -1
� in 10 K
Temperaturbereich 0 ... 100 �C 0 ... 500 �C
Aluminium 23,8 27,4
Kupfer 16,4 17,9
rostfreier Stahl V2A 16,4 18,2
Invarstahl 1
Quarzglas 0,5 0,6
gewöhnliches Glas 9 10,2
Selbstverständlich dehnt sich ein Körper nicht nur in einer Richtung aus, sondern in alle
Raumrichtungen. Dabei kann für die meisten Festkörper angenommen werden, dass diese
Ausdehnung für alle Richtungen gleich groß ist. Für die Volumenänderung eines Körpers
errechnet sich daher:
Der Volumenausdehnungskoeffizient � kann also etwa gleich dem dreifachen
Längenausdehnungskoeffizienten � gesetzt werden.
(4.2)
(4.3)

Seite 78 Technische Physik 2. September 2005
Experiment 4.4: Kugel durch Ring
Die Ausdehnung fester Körper hat viele technische Konsequenzen:
a) Wärmespannungen
Wird die Ausdehnung der Körper durch äußere Kräfte verhindert, so treten im
Werkstoff Spannungen auf. Diese Spannungen dürfen die Elastizitätsgrenze nicht
überschreiten, sonst treten bleibende Verformungen auf. Bei noch höheren
Spannungen kann das Werkstück zerstört werden.
Experiment 4.5: Bolzensprenger
Ausgenutzt werden diese Wärmespannungen beim Zusammenfügen von Bauteilen. So
werden Lagerringe erhitzt auf eine Welle geschoben und sitzen nach dem Abkühlen
sehr fest (durch die Reibungskräfte gehalten). Einzupassende Teile werden dagegen
stark abgekühlt und passen sich dann von Innen an.
Probleme können auftreten beim zu schnellen Aufheizen oder Abkühlen, da dann eine
ungleichmäßige Temperaturverteilung im Werkstoffinneren zu starken Spannungen
und damit zu Rissbildungen führen kann.
b) technische Berücksichtigung der thermischen Ausdehnung
Nahezu alle technischen Anlagen sind ständigen Temperaturschwankungen
unterworfen, allein schon durch die Änderung der Umgebungstemperatur. Die damit
verbundenen Längenänderungen müssen berücksichtigt werden. Beispiele hierfür sind:
- Kurven bei Bahnstrecken, welche die Ausdehnung aufnehmen können; (Problem
bei langen geraden ICE-Strecken, da nahtlos verschweißt; heute daher anders
gelöst: Die Schienen werden beim Verlegen gestreckt, diese Streckung nimmt
die Wärmeausdehnung auf)
- Ausdehnungsbogen bei Heißwasser- oder Heißdampfleitungen;
- Dehnungsfugen in Brücken (bewegliche Brückenlagerung);
- Durchhängen von Überlandleitungen;
- Längenänderungen von Maßstäben;
- Zwei unterschiedliche Materialien können nur dann dauerhaft miteinander
verbunden werden, wenn ihre Ausdehnungskoeffizienten sehr ähnlich sind:
positive Beispiele: Beton und Stahl; Spezialglas und Invar;
negative Beispiele: Email auf Stahlblech; Gold oder Aluminium auf Silizium

2. September 2005 Technische Physik Seite 79
Folie Nr 6: Ausdehnungskoeffizienten
c) technische Ausnutzung der Wärmeausdehnung
Bekanntestes Beispiel ist der
Bimetallstreifen. Hier werden zwei
Metalle mit unterschiedlichem
Ausdehnungskoeffizienten
miteinander verbunden. Die
unterschiedliche Ausdehnung der
Werkstoffe führt zu einer Verbiegung
Abb. 4.1
des Streifens. Dies kann man
ausnutzen um, temperaturabhängige Schalter zu realisieren oder um die Temperatur
zu messen (Bimetallthermometer).
Experiment 4.6: Bimetallverbiegung
4.2.2 Flüssigkeiten
Da Flüssigkeiten keine feste Gestalt besitzen, ist bei ihnen nur die Volumenausdehnung von
Interesse. Auch hier gilt:
Der Volumenausdehnungskoeffizient ist allerdings ein Vielfaches größer als bei den festen
Körpern:
Experiment 4.7: Wärmeausdehnung von Wasser
-3 -1
Flüssigkeit (bei 20 �C) � in 10 K
Wasser 0,208
Alkohol 1,10
Quecksilber 0,182
Öl 0,7...1,0
Äther 1,60
Damit sind die Raumausdehnungskoeffizienten der Flüssigkeiten etwa um den Faktor 10-50
größer als die der Festkörper.
Die Ausdehnung von Quecksilber muss insbesondere bei Quecksilberbarometern berücksichtigt
werden, da bei höheren Temperaturen sonst ein zu großer Luftdruck gemessen wird.

Seite 80 Technische Physik 2. September 2005
Die Abweichung von der linearen
Änderung des Volumens mit der
Temperatur ist beim Wasser am
stärksten ausgeprägt. Wir sprechen
von der Anomalie des Wassers.
Wir finden bei einer Temperatur von
4�C die größte Dichte des Wassers.
Bei weiterer Abkühlung nimmt die
Dichte wieder ab.
Die Ursache für dieses Verhalten ist
im Aufbau des Wassermoleküls zu
Abb. 4.2
finden. Das Molekül besteht aus zwei
Wasserstoffatomen und einem Sauerstoffatom, die in einem
Winkel von 105� zueinander angeordnet sind. Auf Grund der
Bindungskräfte sind die Wasserstoffatome positiv geladen, das
Sauerstoffatom dagegen negativ. Dadurch kommt es zu
Anziehungskräften zwischen benachbarten Molekülen. Diese
Anziehungskräfte spielen bei höheren Temperaturen aber nur
eine untergeordnete Rolle im Vergleich zur Bewegungsenergie
der Moleküle. In der Nähe des Gefrierpunktes beginnen diese
Abb. 4.3
Kräfte aber zu dominieren. Die Wassermoleküle nehmen daher
schon im flüssigen Zustand eine Vorzugsorientierung ein, die man bei noch tieferen
Temperaturen auch im Eis wiederfindet (z.B. in der Form der Schneeflocken, sechszackige
Sterne). In diese Struktur sind die Moleküle aber weniger dicht gepackt als in der wärmeren
Flüssigkeit (die Dichte von Eis ist daher 10% geringer als die Dichte des Wassers).
Diese Anomalie des Wassers ist von größter Bedeutung für das Leben auf der Erde. Wäre sie
nicht vorhanden, so würde das dann dichtere kalte Wasser und das dichtere Eis auf den Boden
der Seen und Meere absinken. Dies führte zu einer ständigen Zirkulation des Wassers
(gefrieren an der Oberfläche und Absinken) bis das gesamte Wasser gefroren wäre. Seen und
Meere würden also im Winter und insbesondere während der Eiszeiten zufrieren und damit
das Leben unmöglich machen. Durch die Anomalie sammelt sich das 4�C kalte Wasser an der
tiefsten Stelle, das noch kältere Wasser sowie das Eis lagert sich darüber an. Es findet keine
Durchmischung mehr statt und die weitere Abkühlung des Wassers kann nur noch über
Wärmeleitung stattfinden. Dies geht aber so langsam von statten, dass die Seen im Winter bei
ausreichender Tiefe nicht vollständig einfrieren.
4.2.3 Gase
Wollen wir die Temperaturabhängigkeit des Volumens eines Gases untersuchen, so müssen
wir den Druck konstant halten, da dieser natürlich auch einen starken Einfluß auf das

2. September 2005 Technische Physik Seite 81
Volumen besitzt.
Experiment 4.8: Wärmeausdehnung der Luft (Luftballon auf Flasche)
Die Experimente von J.L. Gay-Lussac zeigen, dass sich das Volumen der Gase unter der
Bedingung p = const. wiederum linear mit der Temperatur ändert.
Dabei ist V 0 das Volumen bei 0�C und � die Temperatur in �C.
Für praktisch alle Gase fand Gay-Lussac dabei den gleichen Wert für den
Volumenausdehnungskoeffizienten. Dabei nähert sich der Wert mit abnehmendem Druck der
Gase einem festen Grenzwert von
Alle Gase, die sich in diesem Grenzzustand befinden, d.h. sich entsprechend diesem
Volumenausdehnungskoeffizienten verhalten werden als ideale Gase bezeichnet.
Abweichungen davon werden den realen Gasen zugeschrieben.
Trägt man das Volumen über der
Temperatur auf, so findet man folglich
für ideale Gase, dass das Volumen
genau beim absoluten Nullpunkt verschwindet.
Dies war der Grund dafür,
den absoluten Nullpunkt einzuführen.
Natürlich gilt das Gesetz von Gay-
Lussac bei sehr tiefen Temperaturen
nicht mehr, da das Volumen ja nicht verschwinden
kann.
(4.4)
Verwenden wir die absolute Temperatur
Abb. 4.4
zur Beschreibung der
Volumenveränderung, so nimmt das Gesetz von Guy-Lussac für die idealen Gase folgende
einfache Form an:
(4.5)

Seite 82 Technische Physik 2. September 2005
4.3 Die Wärmekapazität
Wir haben bisher gesehen, dass die Temperatur eines Körpers ein Maß für die ungeordnete
thermische Bewegung der Teilchen ist. Bringen wir zwei Körper mit unterschiedlicher
Temperatur in Kontakt miteinander, so beobachten wir, dass die Temperatur des kälteren
Körpers ansteigt, die des wärmeren Körpers abnimmt. Dies bedeutet, dass Energie übertragen
wird vom wärmeren Körper auf den kälteren Körper. Diese Energieübertragung belegen wir
mit dem Wort Wärme oder Wärmemenge.
Wärme ist die Energie, die aufgrund eines Temperaturunterschiedes zwischen zwei
Körpern übertragen wird. Die Wärme fließt dabei stets in Richtung der niedrigeren
Temperatur.
Der Wärmeübergang ist folglich ein irreversibler Prozess, d.h. er kann nicht umgekehrt
ablaufen.
Das Formelzeichen für die Wärme ist Q, die Einheit der Wärme ist natürlich die
Energieeinheit: [Q] = J.
Wird einem Körper Energie in Form von Wärme zugeführt, so erhöht sich in der Regel seine
Temperatur, d.h. die Bewegung der Teilchen wird schneller. Nur in wenigen Ausnahmefällen
trifft dies nicht zu, z.B. bei Phasenumwandlungen. Wir finden folgenden linearen
Zusammenhang:
Die Konstante C bezeichnet man als Wärmekapazität des Körpers. Sie ist nur in gewissen
Grenzen eine Konstante und hängt mehr oder weniger stark von der Temperatur ab. Die
Wärmekapazität ist der Masse eines Körpers proportional, da die Verteilung der
Wärmeenergie auf die einzelnen Teilchen natürlich entsprechend der Gesamtzahl der Teilchen
erfolgt. Daher definiert man sinnvoller Weise die spezifische Wärmekapazität entsprechend:
Früher hatte man für die Wärmeenergie eine eigene Einheit eingeführt um sie von der
mechanischen Energie abzuheben. Diese Einheit war die Kilokalorie (kcal). Sie war dabei
wie folgt definiert: 1 kcal ist die Wärmemenge, die benötigt wird um 1 kg Wasser von
14,5 �C auf 15,5 �C zu erwärmen.
Da man diese Erwärmung auch durch mechanische Reibarbeit herbeiführen kann, lässt sich
zwischen der mechanisch definierten Energieeinheit J und der Wärmeeinheit kcal der
Zusammenhang bestimmen:
(4.6)
(4.7)

2. September 2005 Technische Physik Seite 83
1 kcal = 4,1868 kJ
Diese Größe wird oft als mechanisches Wärmeäquivalent bezeichnet. Man sollte sich
jedoch angewöhnen, alle Energien in J anzugeben.
Betrachten wir zunächst einmal die Wärmekapazität verschiedener, gleich schwerer Körper,
die sich alle auf der gleichen Temperatur befinden:
Experiment 4.9: Eintauchtiefe in Wachs
Wir sehen, dass die Körper unterschiedlich weit in das Parafin eintauchen, d.h. sie haben
unterschiedlich viel Wärme an das Wachs abgegeben. Da die Massen gleich sind, müssen sich
ihre spezifischen Wärmekapazitäten unterscheiden.
Im Folgenden wollen wir diese spezifischen Wärmekapazitäten bestimmen. Dazu können wir
die Energieabgabe eines heißen Körpers messen. Die einfachste Möglichkeit hierzu ist, diesen
Körper in eine Flüssigkeit mit bekannter Wärmekapazität zu tauchen und deren Aufheizung
zu bestimmen. Führt man diesen Versuch in einer Umgebung aus, die keinen Wärmeverlust
zuläßt, so muß nach dem Energieerhaltungssatz gelten:
dabei ist C k die Wärmekapazität des Testgefäßes, die in einem Vorversuch ermittelt werden
muß und c die spezifische Wärmekapazität der Flüssigkeit. Es ergibt sich:
1
Aus den gleichen Überlegungen können wir auch ableiten, was geschieht wenn wir eine heiße
Flüssigkeit mit einer kalten vermischen. Wir nehmen an c 1 = c 2 und C k = 0:
Dieser Zusammenhang wird als Mischungsregel bezeichnet.
Experiment 4.10: Bestimmung der Mischungstemperatur
(m Al = 35,2 g, m W = 100 g, c W = 4,187 kJ/kgK, C K = m Gl � c Gl = 0,092 kg � 0,84 kJ/kgK =
77,5 J/K, T = 100�C; gemessen wird: T und T )
Al W m
(4.9)
(4.10)

Seite 84 Technische Physik 2. September 2005
Als Ergebnis solcher Versuche finden wir folgende typische spezifische Wärmekapazitäten:
spezifische Wärmekapazitäten (0...100�C) in J/g�K
Flüssigkeiten Metalle andere Festkörper
Wasser 4,19 Aluminium 0,89 Eis 2,0
Alkohol 2,43 Stahl 0,5..0,7 Erde 1,3..2,5
Glycerin 2,39 Eisen 0,47 Holz 1,0..1,7
Öl 1,9..2,1 Kupfer 0,38 Porzellan 0,92
Quecksilber 0,138 Blei 0,13 Glas 0,8
Wir sehen an diesen Werten, dass die Flüssigkeiten und hier insbesondere das Wasser eine
sehr hohe spezifische Wärmekapazität besitzen. Die Metalle können deutlich weniger
Wärmeenergie speichern, bei gleichen Temperaturunterschieden.
Die hohe spezifische Wärmekapazität des Wassers ist wieder dafür verantwortlich, dass das
Leben hier auf der Erde möglich ist. Die Meere können große Wärmemengen speichern, ohne
dass sich ihre Temperatur dramatisch erhöht. Die Wärme kann in den kälteren Tages- und
Jahreszeiten abgegeben werden und so die Temperaturschwankungen ausgleichen.
Beispiele:
a) der Golfstrom ist nur wenige Grad wärmer als das umgebende Meer, transportiert
aber eine riesige Wärmemenge nach Nordeuropa und sorgt so für relativ milde
Winter;
b) in den Wüstenbereichen ist wenig Wasser vorhanden, daher heizen sie sich tagsüber
stark auf und kühlen nachts stark ab;
c) Das kontinentale Klima ist deutlich stärkeren Temperaturschwankungen zwischen
Sommer und Winter unterworfen als das Klima in Küstennähe.
4.4 Wärmeübertragung
4.4.1 Wärmequellen
Die größte und wichtigste Wärmequelle stellt für uns die Sonne dar. Die Wärme wird dabei in
Form von Strahlung transportiert (s.u.). Auf eine Fläche von 1 m², die senkrecht zur
Sonneneinstrahlung steht, fällt dabei pro Sekunde eine Energie von 1,3 kJ. Dies entspricht
einer Leistungsdichte von 1,3 kW/m². Dieser Wert wird als Solarkonstante bezeichnet.
Durch Absorption in der Erdatmosphäre und durch Reflexion an den Wolken erreicht davon
im Mittel nur etwa die Hälfte die Erdoberfläche.
Eine direkte Nutzung der Sonnenenergie ist durch Sonnenkollektoren möglich, bei denen

2. September 2005 Technische Physik Seite 85
durch die Sonneneinstrahlung Wasser oder eine andere Flüssigkeit erwärmt wird. Eine
indirekte Nutzung als Wärmequelle ist durch Ausnutzung der Bodenerwärmung mit Hilfe von
Wärmepumpen gegeben. Auch zur Stromerzeugung kann diese Energiequelle eingesetzt
werden, entweder über direkte Umsetzung der Strahlung in elektrische Energie innerhalb der
Solarzelle oder bei der Umsetzung der Wärmeenergie z.B. mit Hilfe von Windkraftwerken.
Die Ausnutzung von Sonnenenergie hat bisher allerdings nur einen sehr geringen Anteil an
der Energieerzeugung. Dies liegt insbesondere daran, dass alternative Energieformen bisher
sehr viel günstiger verfügbar waren. Hierbei handelt es sich insbesondere um die
Verbrennungsenergie, die bei der chemischen Reaktion eines Stoffes mit Sauerstoff entsteht.
Für die verschiedene Stoffe findet man einen Brennwert H, aus dem sich die erzeugbare
Wärmemenge bestimmen lässt:
Heizwert in MJ/kg in MJ/m³
(4.11)
Torf 14 Benzin 42,5 Acetylen 86
Steinkohle 30 Heizöl 41,8 Stadtgas 20
Holz 15 Methylalkohol 19,5 Wasserstoff 10,8
Holzkohle 31 Spiritus 25,0 Erdgas 43,9
Eine weitere wichtige Wärmequelle ist die Atomenergie, bei der die durch Spaltung eines
Atomkerns frei gewordene Bindungsenergie zunächst in Bewegungsenergie der Kernbruchstücke
umgesetzt wird und dann auf ein Kühlmittel durch Abbremsung übertragen wird. Bei
235
der Verwendung von reinem U und vollständiger Spaltung aller Kerne können dabei etwa
7
7�10 MJ/kg gewonnen werden, also etwa 2 Millionen mal mehr Energie als bei der
Kohleverbrennung. Selbst wenn man berücksichtigt, dass nur etwa 1...5 % des Spaltstoffes
235 238
aus U und der Rest aus U besteht, macht dies immer noch einen Faktor 20...100-Tausend
238 239
aus. Dazu kommt, dass das U im Reaktor in Pu umgewandelt wird, welches sich wieder
spalten lässt. Hierdurch verdoppelt sich der Energiegewinn. Dies war der Grund für den sehr
euphorischen Aufschwung der Kernkraft in den sechziger und siebziger Jahren.
Eine Wärmequelle der Zukunft könnte die Kernfusion werden, bei der aus schwerem
7
Wasserstoff Heliumkerne erzeugt werden. Die erzielbare Energie liegt bei etwa 28�10 MJ/kg
und damit ca. 8 Millionen mal höher als bei der Steinkohleverbrennung. Nachteilig und heute
noch nicht beherrschbar sind die notwendigerweise sehr hohen Temperaturen von etwa 100
Millionen K.

Seite 86 Technische Physik 2. September 2005
4.4.2 Konvektion, Wärmeströmung
Der Wärmetransport durch Konvektion ist auf Flüssigkeiten und Gase beschränkt. Er beruht
auf einem direkten Transport von Molekülen und Atomen, die dabei ihre Wärmeenergie
mitnehmen. Dabei spielen einerseits die Dichteunterschiede zwischen warmen und kalten
Bereichen eine große Rolle, da hierdurch Auftriebskräfte entstehen. Warme und damit
leichtere Gase und Flüssigkeiten steigen nach oben, kalte sinken nach unten. Dies bezeichnet
man als freie Konvektion. Beispiele hierfür sind die Erwärmung der Raumluft durch
Heizkörper oder die Lufterwärmung, die tagsüber durch Sonneneinstrahlung am Erdboden
stattfindet. Diese erwärmte Luft steigt auf und kühlt sich an anderer Stelle wieder ab (z.B.
über dem Meer) hierdurch entstehen Luftbewegungen (Winde), die global das ganze Wetter
bestimmen (Passat-Winde am Äquator, Auf-, Land- und Seewind).
Experiment 4.11: Wärmeströmung in Wasser und Luft
Neben der freien Konvektion spielt die erzwungene Konvektion eine große Rolle, da hiermit
gezielt Wärme transportiert werden kann. Dies trifft z.B. bei Pumpen für warmes Wasser
(Heizung) oder bei Ventilatoren zu.
4.4.3 Wärmeleitung
Im Gegensatz zur Konvektion findet bei der Wärmeleitung kein Massentransport statt,
sondern es wird nur Wärmeenergie durch das Medium transportiert.
Bei Festkörpern sind dabei
zwei verschiedene
Mechanismen zu
unterscheiden. Da die
Wärmeenergie eines Festkörpers
in den Schwingungen
der Atome um ihre
Bindungsplätze gespeichert
ist und die Atome über die
Bindungskräfte miteinander
verkoppelt sind, kann die
Schwingung von einem Atom
Abb. 4.5
auf das Nachbaratom übertragen werden, wie wir dies bei den gekoppelten Pendeln gesehen
haben. Da die Atome bei höherer Temperatur stärker schwingen, wird von diesen auch mehr
Energie auf die Nachbaratome übertragen. Die Wärme wird folglich vom heißen Bereich zum
kälteren Bereich transportiert. Dieses wird als Wärmetransport durch Gitterschwingungen
bezeichnet.
Daneben tritt bei den Metallen noch ein weiterer Wärmetransport über die freien Elektronen
auf, die sich wie ein Elektronengas zwischen den Atomen befinden. Hier wird die

2. September 2005 Technische Physik Seite 87
Wärmeenergie durch Stöße von einem Elektron auf das nächste übertragen oder auch durch
Stöße zwischen Elektronen und Atomen ausgetauscht. Wir sprechen vom Wärmetransport
durch das Elektronengas.
Bei Flüssigkeiten und Gasen ist die Wärmeenergie in der Bewegungsenergie der Moleküle
und Atome gespeichert. Diese kann durch Stöße auf andere Teilchen übertragen werden.
Dabei übertragen die schnelleren Teilchen mehr Energie auf die langsamen als umgekehrt, so
dass auch hier ein Wärmetransport vom heißen Bereich zum kalten erfolgt. Wir sprechen vom
Wärmetransport durch Stöße.
Betrachten wir einen Stab der Länge �, dessen
beide Enden sich auf den Temperaturen T 1 und T2
befinden, so wird durch diesen Stab in der Zeit t
die Wärmemenge
transportiert. Die Konstante � wird als Wärmeleitfähigkeit
des Werkstoffes bezeichnet:
([�] = W/m�K)
(4.11)
Experiment 4.12: Wärmeleitung bei verschiedenen Stoffen
Beim Vergleich der verschiedenen Metalle finden wir einen direkten Zusammenhang
zwischen der Wärmeleitfähigkeit und der elektrischen Leitfähigkeit. Dies zeigt, dass die
Wärmeleitung der Metalle überwiegend auf dem Transport durch das Elektronengas beruht.
Dieser Zusammenhang wird als Wiedemann-Franz-Gesetz bezeichnet:
Wärmeleitfähigkeit � in W/mK
Silber 411 Beton ~1 Wasser 0,6
Kupfer 380 Eis 2,2 dünne Luftschicht
Aluminium 220 Glas ~0,8
< 5mm
Stahl ~40 Holz ~0,2 dicke Luftschicht
Stein ~2 Hartschaum 0,035
15 cm
Die hohe Wärmeleitung der Metalle hat man sich früher bei den Grubenlampen zunutze
Abb. 4.6
(4.12)
0,025
~1

Seite 88 Technische Physik 2. September 2005
gemacht. Die offene Flamme war von einem Drahtgitter umgeben. Hierdurch wird die Wärme
der Flamme abgeleitet und das Gas kann außerhalb der Lampe nicht entzündet werden.
Experiment 4.13: Wärmeleitung durch Drahtnetz
Die geringe Wärmeleitung des Wassers ist neben der Anomalie des Wassers mit dafür
verantwortlich, dass die Seen im Winter nicht mehr zufrieren. Hat das Wasser in der Tiefe
4�C erreicht, so findet keine Konvektion mehr statt. Die weitere Abkühlung kann nur über
Wärmeleitung erfolgen.
Die sehr geringe Wärmeleitfähigkeit der Gase macht man sich in der Wärmeisolationstechnik
zu nutze. Bei sehr dünnen Luftschichten findet keine Konvektion statt und wir erhalten eine
gute Wärmeisolierung (z.B. Isolierverglasung). Auch die geringe Wärmeleitfähigkeit der
Dämmstoffe und der Porenbetons beruhen auch dem Einschluss von Luft in diesem Material.
Auch unser Temperaturempfinden beim Berühren verschiedener Stoffe wird im wesentlichen
durch die Wärmeleitung und nicht durch die absolute Temperatur bestimmt. So erscheint uns
ein Stück Metall stets kühler als ein Stück Holz, auch wenn sie die gleiche Temperatur
besitzen und diese unter der Körpertemperatur liegt. Das Metall führt die Wärme viel
schneller vom Körper ab, als das Holz.
4.4.4 Wärmestrahlung
Die Wärmeenergie, die von der Sonne zu uns kommt, kann nicht durch Konvektion oder
Wärmeleitung übertragen werden, da das hierfür notwendige Medium fehlt. Diese Wärme
kann nur in Form von Strahlung übertragen werden. Ursache dieser Strahlung ist die
Bewegung der geladenen Bausteine der Materie, insbesondere der Elektronen. Diese
Bewegung ist nicht gleichförmig sondern die Teilchen werden ständig beschleunigt und
abgebremst. Beschleunigte Ladungen geben aber Energie in Form einer elektromagnetischen
Welle ab. Dies zeigt, das jeder Körper, der eine gewisse Temperatur besitzt
elektromagnetische Wellen abstrahlt, und dies um so mehr, je heißer er ist. In ihrer Art
unterscheiden sich die Wärmestrahlen nicht von anderen bekannten elektromagnetischen
Strahlungen, wie z.B. Licht oder Rundfunkwellen. Der einzige Unterschied liegt in der
Wellenlänge der Strahlung.
Die Wärmestrahlen sind elektromagnetische Wellen, die von einem Körper infolge
seines Temperaturzustandes ausgesandt werden.
Experiment 4.14: Nachweis der Wärmestrahlung
Das Experiment zeigt, dass das Thermoelement durch die Lampe aufgeheizt wird. Bei jedem
Körper sind aber stets zwei Prozesse vorherrschend. Einerseits gibt jeder Körper entsprechend
seiner Temperatur Wärmeenergie in Form von Strahlung ab, andererseits nimmt er aus der

2. September 2005 Technische Physik Seite 89
Umgebung zu jedem Zeitpunkt Energie über die Wärmestrahlung auf. Ein Körper ist dann im
Gleichgewicht mit seiner Umgebung, wenn er genau so viel Energie aufnimmt, wie er durch
Strahlung wieder abgibt.
Betrachten wir zunächst die von außen auf den Körper einfallende Strahlung. Diese kann vom
Körper reflektiert werden, sie kann absorbiert werden oder sie kann durchgelassen
(transmittiert) werden. Wir definieren daher:
Da die Summe aller drei Anteile die Gesamtstrahlung ergibt, muss gelten:
Die Werte für diese drei Anteile sind stark von der Wellenlänge abhängig. So ist Wasser für
sichtbares Licht durchlässig, d.h. � ist sehr groß, absorbiert die Wärmestrahlung dagegen sehr
gut. Umgekehrt ist das schwarze Silizium für Licht undurchlässig, die Wärmestrahlung kann
dagegen sehr leicht hindurch dringen.
Ein Körper, der alles sichtbare Licht
absorbiert erscheint uns vollkommen
schwarz (� = 1). Einen solchen Körper
gibt es in der Natur nicht. Selbst Ruß
besitzt noch einen Reflexionsgrad von
etwa 4%. Er lässt sich aber technisch in
sehr guter Näherung realisieren. Dazu wird
ein Hohlraum verwandt, dessen
Innenwände gut geschwärzt sind. Die
einfallende Strahlung wird häufig
reflektiert und verliert jedesmal Energie. Es kann praktisch keine Strahlung aus dem
Hohlraum entweichen. Wir sprechen von einem schwarzen Körper.
(4.13)
Abb. 4.7
Durch die ständige Energiezufuhr würde sich der schwarze Körper aber ständig aufheizen.
Damit nimmt automatisch seine Emission zu. Es stellt sich ein Gleichgewicht ein, bei dem der
schwarze Körper genau so viel Energie abstrahlt, wie er aufnimmt. D.h. seine Emission ist
genau so groß wie seine Absorption. Da ein schwarzer Körper optimal absorbiert, muss er
umgekehrt genauso gut emittieren. Damit gilt:

Seite 90 Technische Physik 2. September 2005
Ein schwarzer Körper besitzt von allen Körpern bei gegebener Temperatur die höchste
Wärmeabstrahlung: schwarzer Strahler.
Experiment 4.15: Abhängigkeit der Wärmeabstrahlung von der Oberflächenbeschaffenheit
Das Experiment zeigt, dass eine Oberfläche mit geringem Absorptionskoeffizienten auch eine
geringe Emission besitzt.
Betrachten wir die Abstrahlung näher. Wenn von einer Fläche A in der Zeit t die
Wärmemenge Q e abgestrahlt wird, so sprechen wir von einer Strahlungsleistung
oder bezogen auf die Fläche von einer spezifischen Ausstrahlung
Ein schwarzer Körper besitzt die höchste spezifische Ausstrahlung, so dass wir für jeden
anderen Körper einen Emissionsgrad wie folgt definieren können:
Dabei ist M e,SK die spezifische Ausstrahlung eines schwarzen Körpers, die wie wir sehen
werden nur noch von der Temperatur des Körpers abhängt.
Nun muss aber für jeden Körper gelten, dass er genausoviel Wärme abstrahlt, wie er
absorbiert, wenn er sich im Gleichgewicht mit der Umgebung befindet. Hieraus folgt sofort:
D.h. der Absorptionsgrad entspricht dem Emissionsgrad.
Für die gesamte Strahlungsmenge, die von einem schwarzen Körper ausgesandt wird, wurde
von Stefan und Boltzmann die folgende Beziehung gefunden:
Die Konstante � heißt Stefan-Boltzmann-Konstante und hat den Wert:
(4.13)
(4.14)
(4.15)
(4.16)
(4.17)

2. September 2005 Technische Physik Seite 91
Dieses Gesetz wird auch häufig als Boltzmannsches T-hoch-4-Gesetz bezeichnet, da es nur
wenige physikalische Gesetze mit so hohen Potenzen gibt. Diese hohe Potenz bewirkt, dass
bei hohen Temperaturen der größte Teil der Wärmeabgabe eines Körpers über die Strahlung
erfolgt, bei niedrigen Temperaturen dagegen die Konvektion und die Wärmeleitung
überwiegt.
Die Gesamtstrahlung eines schwarzen Körpers kann natürlich nicht auf alle Wellenlängen
gleichmäßig verteilt sein, da dann immer eine unendliche Energiemenge vorliegen müßte.
Man beobachtet vielmehr eine Wellenlänge, bei der die Energieabstrahlung maximal ist,
darüber und darunter nimmt die Energieabstrahlung stark ab. Der erste, der die Verteilung der
Strahlungsenergie auf die Wellenlängen exakt beschreiben konnte war Max Plank. Dafür
mußte er annehmen, dass die Energie nicht kontinuierlich abgestrahlt wurde, sondern immer
in Energiepaketen zusammengefasst ist (sogenannte Quanten). Hierauf wird im Abschnitt
Atomphysik näher eingegangen.
Die Strahlungskurve eines schwarzen
Körpers zeigt auf der Seite kurzer
Wellenlängen einen sehr steilen
Abfall, auf der Seite großer
Wellenlängen dagegen einen
langsamen Abfall. Erst bei sehr hohen
Temperaturen liegt das Maximum der
Kurve in dem Wellenlängenbereich,
der dem menschlichen Auge
zugänglich ist. Naturgemäß entspricht
die zugehörige Temperatur genau der
Oberflächentemperatur der Sonne von
5800K.
Bei niedrigeren Temperaturen liegt das Maximum der Strahlung im so genannten Infrarot-
Bereich. Dies bezeichnen wir als Wärmestrahlung, da alle heißen Körper auf der Erde in
diesem Bereich ihre maximale Abstrahlung
besitzen. Das Maximum der Kurve ist
temperaturabhängig nach dem so genannten
Wienschen Verschiebungsgesetz:
(4.18)
Da jeder reale Körper eine geringere Emis
sion besitzt als ein schwarzer Körper, muss
dessen Strahlungsverteilung über der
Wellenlänge stets unterhalb der Plankschen
Strahlungskurve bei gleicher Temperatur
Abb. 4.8
Abb. 4.9

Seite 92 Technische Physik 2. September 2005
verlaufen. Dabei ist der Verlauf in der Regel sehr unregelmäßig über der Wellenlänge verteilt.
Da der Absorptionskoeffizient gleich dem Emissionskoeffizienten ist, besitzt dieser auch die
gleiche Wellenlängenabhängigkeit.
Da jeder Körper bei seiner eigenen Temperatur T strahlt und infolge der Raumtemperatur TU
gleichzeitig Strahlung aufnimmt, gilt insgesamt für die abgestrahlte Wärmeleistung:
(4.19)

2. September 2005 Technische Physik Seite 93
5. Einführung in die Wellenlehre
5.1 Die harmonische Welle
Im Kapitel 3 haben wir harmonische Schwingungen betrachtet und dabei festgestellt, dass bei
einer Kopplung von zwei Pendeln Energie zwischen diesen Pendeln ausgetauscht wird:
Experiment 5.1: gekoppelte Pendel
Erweitern wir diese beiden Pendel zu einer Pendelkette, so beobachten wir eine Anregung
aller Pendel. Diese erfolgt aber zeitlich verzögert gegenüber dem ersten Pendel:
Experiment 5.2: Pendelkette
Man erkennt, dass die erste Auslenkung wie ein Berg durch die gesamte Pendelkette läuft.
Dieses Phänomen bezeichnet man als Welle. Die Welle ist gekennzeichnet durch eine
Ausbreitungsgeschwindigkeit, mit der sich die Anregung in eine bestimmte Richtung
fortpflanzt. Steht, wie in diesem Fall, die Auslenkung der Pendel senkrecht zur
Ausbreitungsrichtung der Welle, so sprechen wir von einer Transversalwelle.
Experiment 5.3: Wellenmaschine
Experiment 5.4: longitudinale Welle in der Pendelkette, Feder
Wird die Pendelkette in Ausbreitungsrichtung
angeregt, so
schwingen auch alle übrigen Pendel
in Ausbreitungsrichtung. Wir Abb. 5.1
beobachten Bereiche mit geringem
Abstand der Pendel voneinander sowie Bereiche mit großem Abstand der Pendel voneinander.
Eine derartige Welle bezeichnet man als Longitudinalwelle.
Eine besondere Art der Transversalwelle ist die Torsionswelle. Sie entsteht bei Wirkung
eines Drehmomentes:
Experiment 5.5: Torsionswelle
Wichtig ist: Bei einer Welle wird keine Materie transportiert, es wird aber Energie
transportiert.
Damit sich eine transversale Welle ausbreiten kann, sind stets Kräfte notwendig, die quer zur
Ausbreitungsrichtung wirken. In einem festen Körper stellen die einzelnen Atome die Pendel
dar, die Bindungskräfte zwischen den Atomen bilden die Kopplung der Pendel. Diese
Kopplungskräfte wirken auch senkrecht zur Ausbreitung einer Welle, d.h. in einem festen
Werkstoff können sich Transversalwellen ausbreiten.

Seite 94 Technische Physik 2. September 2005
Anders sieht es bei Flüssigkeiten und Gasen aus. Hier können nur Kräfte übertragen werden,
wenn die Atome gegeneinander stoßen (Druckkräfte). In diesen Medien sind daher nur
Longitudinalwellen möglich.
Wie können wir eine solche Welle jetzt beschreiben? Der Einfachheit halber betrachten wir
eine Transversalwelle, die grafisch einfacher darstellbar ist. Da die Anregung der Welle
harmonisch ist, wird jeder Schwinger ebenfalls eine harmonische Schwingung ausführen. Wir
können folglich einige Begriffe der harmonischen Schwingung auch auf die Welle übertragen.
Die Amplitude der Welle entspricht der
Amplitude der einzelnen Schwinger (^s).
Die Periodendauer der Welle entspricht
der Periodendauer der Schwinger (T).
Damit entspricht auch die Frequenz der
Welle der Frequenz der Schwinger
(f=1/T).
Diese Frequenz muss dabei nicht die
Eigenfrequenz der Schwinger sein. Vielmehr
handelt es sich in den meisten
Fällen um erzwungene Schwingungen,
die ja mit jeder Frequenz möglich sind.
Machen wir eine Momentaufnahme der Welle zu einer bestimmten Zeit, so erkennen wir, dass
entlang der Ausbreitungsrichtung x ebenfalls eine sinusförmige (harmonische) Auslenkung
vorliegt. Die periodische Wiederholung der Auslenkung legt die Definition einer Wellenlänge
� nahe.
Als letzte Größe fehlt uns jetzt
noch die Ausbreitungsgeschwindigkeit
der Welle,
die wir mit c kennzeichnen.
Um diese zu bestimmen, betrachten
wir die Entstehung der
Welle an der Pendelkette in
Abb. 5.3. Wenn das erste
(anregende) Pendel eine volle
Schwingung ausgeführt hat, hat
sich die Welle genau um � in
der Pendelkette fortgepflanzt.
Die
Abb. 5.2
Abb. 5.3

2. September 2005 Technische Physik Seite 95
Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle ist somit gegeben durch:
Während die Frequenz f und die Periodendauer T von der Anregung vorgegeben werden, stellt
sich die Wellenlänge und damit auch die Ausbreitungsgeschwindigkeit nach den Kopplungsgegebenheiten
ein. Bei einer sehr starren Kopplung werden die benachbarten Pendel
schon frühzeitig ausgelenkt, es ergibt sich somit eine große Wellenlänge und eine große
Ausbreitungsgeschwindigkeit. Bei schwacher Kopplung dagegen wird die Wellenlänge klein,
die Ausbreitungsgeschwindigkeit gering.
Ein Beispiel dafür ist die Schallgeschwindigkeit in verschiedenen Medien:
Medium Luft Wasser Stahl
Schallgeschwindigkeit in m/s 330 1500 5100
Die Ausbreitungsgeschwindigkeit c einer Welle müssen wir streng von der Geschwindigkeit
unterscheiden, mit der sich die einzelnen Pendel oder auch Atome bewegen. Diese
Teilchenbewegung wird als Schnelle bezeichnet.
Wie können wir eine solche Welle jetzt mathematisch beschreiben?
Für den Ort x=0 finden wir eine einfache
harmonische Schwingung:
Betrachten wir einen beliebigen anderen
Ort x 1,
so zeigt die Abb. 5.4, dass hier
der gleiche mathematische Verlauf
vorliegen muss. Er tritt aber erst um die
Zeit �t verzögert auf:
Den Zeitunterschied �t können wir mit Hilfe der Ausbreitungsgeschwindigkeit berechnen:
(5.1)
Abb. 5.4

Seite 96 Technische Physik 2. September 2005
Setzen wir dies ein, so ergibt sich für die mathematische Beschreibung der Welle an einem
beliebigen Ort x und zu einer beliebigen Zeit t folgender Zusammenhang:
Mit den folgenden Abkürzungen
ergibt sich dann:
Die Größe k wird als Wellenzahl bezeichnet und dient im wesentlichen der vereinfachten
mathematischen Schreibweise.
Welche Energie wird durch eine Welle transportiert?
Hierzu betrachten wir zunächst wieder die Pendelkette und einen einzelnen Schwinger. Im
Kapitel 3 haben wir festgestellt, dass sich die Gesamtenergie eines schwingenden Systems
errechnet nach:
Führen wir die Schwingungsfrequenz über ein, so finden wir:
(5.2)
(5.3)
(5.4)
(5.5)

2. September 2005 Technische Physik Seite 97
Diese, für ein mit der Eigenschwingung schwingendes Pendel abgeleitete Beziehung gilt auch
ganz allgemein für jede Schwingungsfrequenz.
Die Energie einer Schwingung und damit einer Welle wächst mit dem Quadrat der
Frequenz und dem Quadrat der Amplitude
Da zunächst nur ein Pendel schwingt, zu einem späteren Zeitpunkt aber auch weitere, muss
diese Energie mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle transportiert werden.
Betrachten wir eine Wellenausbreitung in einem Medium (z.B. Luft), so müssen wir die
Masse m durch ein bestimmtes, betrachtetes Volumenelement V ersetzen:
Sinnvoll wird dann die Einführung der Energiedichte einer Welle:
Die Energie, die mit der Welle pro
Sekunde durch eine Fläche A hindurch
strömt, wird bezogen auf diese Fläche als
Energiestromdichte oder Intensität der
Welle bezeichnet:
Beispiele für verschiedene Wellen:
a) Wasserwellen
(5.7)
Während sich im Innern des Wassers Wellen nur in Form von Longitudinalwellen ausbreiten
können, sind an der Oberfläche auch Transversalwellen möglich. Die Ursache hierfür ist die
rückstellende Kraft durch die Schwerkraft sowie durch die Oberflächenspannung.
Beobachtet man Wasserwellen, so hat man den Eindruck, daß mit den Wellen eine gewisse
Wassermenge transportiert wird:
(5.6)
Abb. 5.5

Seite 98 Technische Physik 2. September 2005
Experiment 5.6: Wellenwanne
Legt man einen schwimmenden Gegenstand auf das Wasser so erkennt man allerdings, daß
auf diesen keine Nettobewegung wirkt. Er bewegt sich lediglich auf und ab und etwas vor und
zurück.
Video Nr. 10: Wellenbad
Experiment 5.7: Wellenwanne mit zwei verschiedenen Tiefen
Wir beobachten, daß sich die Wellen im flacheren Wasser langsamer ausbreiten als im tiefen
Wasser. Läuft eine Welle schräg auf ein Ufer zu, bemerken wir daher eine Ablenkung der
Ausbreitungsrichtung der Welle. Die Wellen treffen dadurch nahezu senkrecht auf das Ufer.
Diesen Welleneffekt werden wir später in der Optik als Brechung des Lichtes wiederfinden.
Experiment 5.8: Computersimulation Brechung
Im Gegensatz dazu hat die Frequenz der Welle keinen Einfluß auf die
Ausbreitungsgeschwindigkeit.
Dies ist anders, als in der Optik. Dort beobachten wir eine Abhängigkeit der
Wellengeschwindigkeit von der Frequenz.
Einmal angeregte Wasserwellen können sich über sehr große Strecken fortbewegen. So
konnte man beispielsweise Wellen an der Südwestküste Englands mit einem Hurrikan in
Verbindung bringen, der vier Tage zuvor in Florida wütete. Auch die Energien, welche die
Wellen transportieren können ganz erheblich sein. So kann eine Brandungswelle pro
Quadratmeter eine Kraft von 500 000 N auf eine Steilküste übertragen. Dies führt zu heftigen
Zerstörungen an den Küsten, die dann zum Teil um mehrere Meter pro Jahr abgetragen
werden.
Video Nr. 11: Wasserwellen laufen auseinander, Solitonen, Tsunami
b) Schallwellen
Experiment 5.9: Lochsirene
Es entstehen durch die Unterbrechung des Luftstromes Druckschwankungen in der Luft, die
sich als Druckwelle ausbreiten.
Die Luftmoleküle selbst bewegen sich dabei ähnlich wie die Pendel bei der Longitudinalwelle
in der Pendelkette. Nur auf diese Weise können in einem Gas Kräfte ausgetauscht werden.
Schallwellen in einem Gas sind also immer Longitudinalwellen. Das diese Schallwellen an
das Medium Luft gebunden sind können wir in einem berühmten Versuch von Boyle
nachvollziehen:
Experiment 5.10: Wecker im Vakuum

2. September 2005 Technische Physik Seite 99
Auch in Flüssigkeiten können in der Regel keine Scherkräfte übertragen werden. Daher
breiten sich Schallwellen in Flüssigkeiten ebenfalls nur als Longitudinalwelle (Druckwelle)
aus.
In einem festen Körper können
dagegen über die Bindungskräfte auch
Scherkräfte übertragen werden. Lenkt
man ein Atom aus, so entstehen
folglich gleichzeitig sowohl
Transversalwellen, wie auch
Longitudinalwellen. Natürlich
entstehen auch komplizierte
Mischformen dieser Wellen.
Als Menschen verstehen wir unter
akustischen Wellen im allgemeinen
immer nur Wellen, die wir hören und
Abb. 5.6
eventuell noch fühlen können. In der
Physik muß man allerdings sagen, daß jede mechanische Welle in einem Medium eine
akustische Welle ist, unabhängig von ihrer Entstehung und ihrer Frequenz. Dies geht sogar
soweit, daß die Ausbreitung von Gitterschwingungen in einem Kristallgitter als Phononen bezeichnet
wird, denen man ähnliche Eigenschaften zuschreiben kann wie den Photonen des
Lichtes (Teilcheneigenschaften).
Der Frequenzbereich der Schallwellen ist daher sehr ausgedehnt. Frequenzen unterhalb des für
Menschen hörbaren Bereiches (< 20 Hz) bezeichnen wir als Infraschall. Hierzu gehören z.B.
Erdbebenschwingungen aber auch der Schall der längsten Orgelpfeifen (19,5 m lang, 16,5
Hz).
12
Der Ultraschall beginnt etwa bei einer Frequenz von 20kHz und reicht bis zu 10 Hz. Diese
Schallwellen werden von einigen Tieren noch wahrgenommen (z.B. Delphin bis 500 000 Hz,
Fledermaus bis 200 000 Hz). In der Technik ist besonders die hohe Energie der Ultraschallwellen
(prop. zu f²) nutzbringend, z.B. zum Reinigen von Oberflächen.
Video Nr. 12: Ultraschallanwendungen
Abb. 5.7

Seite 100 Technische Physik 2. September 2005
Folie: Ultraschalllautsprecher
Die Geschwindigkeit, mit der sich eine Schallwelle in Luft ausbreitet, wurde schon um 1640
zum ersten Mal bestimmt, indem man die Laufzeit des Schalles beim Abfeuern einer Kanone
maß. Startpunkt der Messung war der Lichtblitz des Mündungsfeuers. Man erhielt damals
einen Wert von etwa 300 m/s. Später verglich man den Knall einer Kanone mit dem einer
Flinte und konnte so feststellen, daß die Schallgeschwindigkeit in Luft nicht von der
Frequenz der Schallwelle abhängt.
Experiment 5.11: Bestimmung der Schallgeschwindigkeit in Luft
Das Experiment zeigt:
Die Schallgeschwindigkeit in Luft beträgt bei 20�C etwa 340 m/s
Schallgeschwindigkeit in verschiedenen Medien in m/s
Gas 0�C und 1013mbar Flüssigkeiten 20�C Festkörper 20�C
Luft 332 Wasser 1483 Stahl 5100
Helium 971 Meerwasser 1531 Glas 5300
Wasserstoff 1286 Quecksilber 1421 Ziegel 3650
c) elektromagnetische Wellen
Die elektromagnetischen Wellen stellen den wohl
wichtigsten Wellentyp dar. Sie entstehen immer
dann, wenn eine Ladung beschleunigt wird.
Schalten wir einen Kondensator und eine Spule
zusammen zu einem Schwingkreis, so ist zu einem
Zeitpunkt der Kondensator vollständig geladen, es
fließt kein Strom. Die gesamte Energie ist im
elektrischen Feld des Kondensators gespeichert. Im
nächsten Moment entlädt sich der Kondensator über
die Spule, es fließt ein Strom, in der Spule wird ein
Magnetfeld erzeugt. Ist der Kondensator entladen,
so ist die gesamte Energie im Magnetfeld
gespeichert.
Ein ähnliches Feldlinienbild ergibt sich auch bei einem Antennendipol, den wir uns als
aufgebogenen Plattenkondensator vorstellen können.
Abb. 5.8
Auch bei diesem Antennendipol wechselt sich das E-Feld und das B-Feld ab, denn bei der

2. September 2005 Technische Physik Seite 101
Ladung und Entladung des Dipols fließt ein Strom entlang der Antenne, welcher ein Magnetfeld
erzeugt.
Damit entsteht allerdings noch
keine Welle.
Folie Nr. 8: ablösende
Feldlinien von einem Dipol
Video Nr. 13: Entstehung
elektromagnetischer Wellen
Betrachten wir die örtliche
und zeitliche Änderung der
Feldstärkevektoren, so finden
Abb. 5.9
wir sowohl für das E-Feld, wie auch für das B-Feld sinusförmige Abhängigkeiten. Der
Feldstärkevektor des E-Feldes ist dabei
immer parallel zum Antennendipol
ausgerichtet. Der Feldstärkevektor des
Magnetfeldes steht stets senkrecht dazu.
Elektromagnetische Wellen sind also
immer Transversalwellen und sie sind
durch die Lage der Antenne polarisiert.
Als Polarisationsrichtung ist die
Richtung des E-Feld-Vektors festgelegt
Abb. 5.10
worden.
Video Nr. 14: Hertz und die Entdeckung der elektromagnetischen Wellen
Aus den so genannten Maxwellschen Gleichungen der Elektrodynamik lässt sich die
Geschwindigkeit der elektromagnetischen Welle ableiten. Da diese durch die elektrischen und
magnetischen Eigenschaften der Umgebung geprägt sein wird, ist es nicht verwunderlich, dass
sich folgender Zusammenhang ergibt:
� stellt die sogenannte Permittivität ( früher Dielektrizitätszahl), � die magnetische
Permeabilität des Werkstoffes dar (siehe Vorlesung Werkstoffkunde).
Da elektromagnetische Wellen, im Gegensatz zu den Schallwellen, nicht an ein Medium
(5.7)
(5.8)

Seite 102 Technische Physik 2. September 2005
gebunden sind, können sie sich auch im Vakuum ausbreiten. Hier gilt � r = � r = 1 und somit:
Die Ausbreitungsgeschwindigkeit in einem Werkstoff ergibt sich dann zu:
c 0 bezeichnet man auch als Vakuum-Lichtgeschwindigkeit, da dieser Wert auch für Licht
bestimmt wird. Innerhalb eines Mediums ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der
elektromagnetischen Welle also immer geringer als im Vakuum.
Diese Übereinstimmung der Ausbreitungsgeschwindigkeit der elektromagnetischen Wellen
mit der Lichtgeschwindigkeit führte dazu, dass man auch das Licht als eine
elektromagnetische Welle betrachtete. Dies wurde durch die Ergebnisse der Atomphysik dann
bestätigt, als man erkannte, dass Licht immer dann entsteht, wenn ein Elektron in Atomnähe
Energie verliert, also seinen Bewegungszustand ändert. Damit lassen sich auch alle Erscheinungen
der Optik, die wir später behandeln werden, auf die Maxwellschen Gleichungen
zurückführen.
Der Frequenzbereich der elektromagnetischen Wellen ist sehr groß. Er reicht von den
niederfrequenten Anwendungen innerhalb des Hörfrequenzbereiches bis zu dem um 20
Zehnerpotenzen höheren Frequenzbereich der kosmischen Strahlung und �-Strahlung, also
23 5
von etwa von 10³ Hz bis zu 10 Hz. Die entsprechenden Wellenlängen gehen von etwa 10 m
-15
bis hinab zu 10 m. Die wichtigsten Bereiche und Größenordnungen sind in folgender Folie
dargestellt:
Folie Nr.9: Spektrum der elektromagnetischen Strahlung
Wir werden uns im Rahmen dieser Vorlesung mit dem Bereich des sichtbaren Lichtes sowie
mit den atomaren Größen auseinander setzen.
(5.9)

2. September 2005 Technische Physik Seite 103
5.2 Typische Wellenerscheinungen
5.2.1 Dopplereffekt
Wir alle kennen das Phänomen, wenn ein Rettungswagen mit eingeschalteter Sirene an uns
vorbei fährt. Im Moment der Vorbeifahrt ändert sich der Klang der Sirene, der Ton wird
plötzlich tiefer. Dieser Effekt wurde schon 1842 von Christian Doppler untersucht. Er wies
darauf hin, dass die Tonhöhe nicht durch die Frequenz der Schallquelle festgelegt wird,
sondern durch die Frequenz, mit der die Schallwelle das Ohr erreicht.
Wir wollen zwei einfache Fälle untersuchen:
a) ruhende Schallquelle (Q), bewegter Beobachter (B)
Von der ruhenden Schallquelle breiten
sich die Schallwellen in alle
Richtungen gleichmäßig aus:
Experiment 5.12: Kreiswellen in der
Wellenwanne
Die Ausbreitungsgeschwindigkeit c ist
folglich in alle Richtungen gleich und
damit auch die Wellenlänge � der
Schallwellen:
Experiment 5.13: Computersimulation Albert, Wellen 1x1
Abb. 5.11
Für den Beobachter, der sich mit der Geschwindigkeit v B auf die Schallquelle zubewegt, ist
die Geschwindigkeit der Schallwelle scheinbar höher. Der Schall läuft mit c + v B an ihm
vorbei. Da die Wellenlänge � fest ist, registriert der Beobachter folglich die Frequenz:
Die vom Beobachter registrierte Frequenz wird also höher. Entfernt sich der Beobachter
umgekehrt von der Quelle, so muss seine Geschwindigkeit negativ eingesetzt werden, die
Frequenz wird folglich tiefer. Zusammen gefasst findet man folgende Formel:

Seite 104 Technische Physik 2. September 2005
b) bewegte Schallquelle (Q), ruhender Beobachter (B)
Bei der Bewegung der Schallquelle
entsteht keine gleichmäßige
Schallausbreitung, da die aufeinander
folgenden Wellenberge von
verschiedenen Orten ausgesandt
werden.
Experiment 5.14: Computersimulation
Albert, Machkegel für v < c
In Bewegungsrichtung erscheint
Schallausbreitung verlangsamt, da die
Quelle dem Schall hinterherläuft. Man
findet eine Ausbreitungsgeschwindigkeit
von c - v Q.
Damit ergibt sich eine Wellenlänge von:
Der ruhende Beobachter registriert dagegen eine normale Schallgeschwindigkeit c und findet
somit die Frequenz:
Entfernt sich die Quelle dagegen vom Beobachter, so muss mit negativem v Q gerechnet
werden. Damit ergibt sich als allgemeine Formel:
Der Vergleich von (5.10) mit (5.11) zeigt, dass es nicht egal ist, ob sich der Beobachter
bewegt oder ob sich die Schallquelle bewegt. Die Ursache hierfür ist das als ruhend
angenommene Trägermedium Luft, in welchem sich der Schall ausbreitet.
(5.10)
Abb. 5.12
(5.11)

2. September 2005 Technische Physik Seite 105
Der Doppler-Effekt wird nicht nur bei Schallwellen beobachtet, sondern auch bei
elektromagnetischen Wellen. In der mathematischen Behandlung gibt es aber einen wichtigen
Unterschied. Die Relativitätstheorie sagt, dass die Lichtgeschwindigkeit für jeden Beobachter
gleich ist, egal ob er sich bewegt oder nicht. Aus diesem Grunde gibt es keine Addition der
Lichtgeschwindigkeit mit der Quellen- oder Beobachtergeschwindigkeit wie beim Schall.
Trotzdem kommt es natürlich zu der beschriebenen Wellenlängenveränderung. Die
Relativitätstheorie liefert als Frequenzveränderung durch den Dopplereffekt:
Dabei ist v die Relativgeschwindigkeit mit der sich Quelle und Beobachter aufeinander
zubewegen. Entfernen sie sich von einander, muss v negativ angesetzt werden.
Diese Frequenzverschiebung hat verschiedene Anwendungen:
- In der Astronomie findet man die sogenannte Rotverschiebung des Lichtes weit
entfernter Sterne. Dies bedeutet, dass sich die Frequenz des Lichtes, welches diese
Sterne aussenden, zu geringeren Frequenzen verschiebt. (5.12) liefert dafür eine
negative Geschwindigkeit, was bedeutet, dass sich die Sterne von uns entfernen. Da
dies für alle Sterne gefunden wird, postuliert man, dass sich das Universum beständig
ausdehnt. Diese Ausdehnung verläuft um so schneller, je weiter die Sterne von uns
entfernt sich. So hat man für die am weitesten entfernten Objekte Rotverschiebungen
um den Faktor 3 gefunden (f Q = 3f B),
welches einer Geschwindigkeit von etwa 80%
der Lichtgeschwindigkeit entspricht.
- Mit Hilfe der Frequenzverschiebung kann man Geschwindigkeiten messen. Dies wird
z.B. beim Verkehrsradar ausgenutzt. Man verwendet hierfür Mikrowellenstrahlung
mit einer Frequenz von einigen GHz und registriert die vom Messobjekt reflektierte
Strahlung. Es ergibt sich eine doppelt so große Frequenzverschiebung wie nach
(5.12). Hieraus kann elektronisch die Objektgeschwindigkeit ermittelt werden.
c) Schallquelle bewegt sich mit Überschallgeschwindigkeit
Experiment 5.15: Computersimulation Albert, Machkegel für v > c
(5.12)
Steigert man in Abb 5.12 die Geschwindigkeit der Quelle immer weiter, bis v Q = c wird, so
fallen die Wellenflächen auf der Vorderseite schließlich alle zusammen. Die Summe aller
Wellen erscheint jetzt wie eine ebene Wand. Man spricht hierbei von der Schallmauer.
Durchstößt die Quelle diese Schallmauer bei noch höherer Geschwindigkeit, so stellt sich das
Wellenfeld der Abb. 5.13 ein.

Seite 106 Technische Physik 2. September 2005
Die Wellenfronten liegen jetzt alle auf
einer Kegeloberfläche, dem so
genannten Machschen Kegel. Auf
diesem Kegelmantel addieren sich alle
Druckerhöhungen, weshalb ein
Beobachter, auf den diese Wellenfront
trifft einen explosionsartigen Knall
vernimmt (Überschall-Knall).
Das Objekt muss dabei gar keine Schallwellen
aussenden. Allein durch die
Verdrängung der Luftmoleküle baut sich
diese Stoßwelle auf.
Der halbe Öffnungswinkel � des Machschen Kegels ergibt sich über die zurückgelegten
Strecken zu:
Ma wird als sogenannte Machsche Zahl bezeichnet.
Beispiele für solche Überschallphänomene findet man insbesondere bei Flugzeugen und Geschossen,
aber auch beim Peitschenknall. Bei speziellen Hubschraubern (US-Hubschrauber im
Vietnamkrieg) hört man bei jeder Rotorumdrehung mehrfach den Knall, da die Rotorspitze
hier den Überschallkegel ständig im Kreis herum führt. In der Regel vermeidet man aber die
Überschallgeschwindigkeit der Rotorblätter um die Materialbelastung und die Lautstärke zu
verringern.
Auch bei Schiffen auf dem Meer findet man derartige Phänomene, da sie sich in der Regel mit
einer Geschwindigkeit fortbewegen, die größer ist als die Ausbreitungsgeschwindigkeit der
Wasserwellen. Es entsteht eine sogenannte Bugwelle.
Folie Nr. 10: Bugwelle eines Schiffes
Wie das Bild zeigt, sind aber deutliche Unterschiede zur Schallwelle zu erkennen, da die
Wellen nicht tangential an den Kegel grenzen. Ursache ist, dass es sich hier um
Oberflächenwellen eines nicht komprimierbaren Mediums handelt (Schwerewellen) und nicht
um Schallwellen in Luft. Der Öffnungswinkel des Kegels ist daher auch nicht direkt von der
Schiffsgeschwindigkeit abhängig.
5.2.2 Überlagerung von Wellen (Interferenz)
Abb. 5.13
Betrachten wir zunächst zwei Wasserwellen, so stellen wir fest, dass beide Wellen sich
ungestört durchdringen und nach der Durchdringung so weiter laufen als hätte es die zweite
(5.13)

2. September 2005 Technische Physik Seite 107
Welle nicht gegeben. Dies hatten wir bei den Solitonen-Wasserwellen im Video Nr. 11
gesehen.
Dieses allgemeingültige Verhalten bezeichnet man als das Gesetz der ungestörten
Überlagerung:
Zwei Wellen laufen übereinander hinweg, ohne sich gegenseitig zu beeinflussen. An
der Überlagerungsstelle erhält man die Auslenkung der resultierenden Welle durch
vektorielle Addition der Einzelauslenkungen
Die Gültigkeit dieses Gesetzes erkennt man z.B. auch daran, dass man sich innerhalb einer
größeren Gruppe durchaus unterhalten kann, auch wenn mehrere Personen gleichzeitig sprechen
oder wenn Musik spielt.
Wir wollen dieses Gesetz zunächst auf zwei harmonische Wellen anwenden, welche die
gleiche Frequenz besitzen und sich in gleicher Richtung ausbreiten.
Hierzu müssen wir zunächst einige neue
Begriffe einführen:
- Gangunterschied
Unter dem Gangunterschied d
zwischen zwei Wellen gleicher
Wellenlänge verstehen wir den
räumlichen Abstand um den
die erste Welle vor der zweiten
herläuft.
- Schwingungsebene
Bei Transversalwellen steht die
Auslenkung stets senkrecht zur
Ausbreitungsrichtung. Damit ist
sie aber nicht eindeutig
charakterisiert. Wir definieren
daher die sogenannte Schwingungsebene
oder Polarisationsebene.
Diese Ebene wird gebildet durch
die Schwingungsrichtung und
die Ausbreitungsrichtung.
Abb. 5.14
Abb. 5.15

Seite 108 Technische Physik 2. September 2005
Besitzt eine Welle eine feste Schwingungsrichtung und damit Polarisationsebene, so
bezeichnen wir diese Welle als linear polarisiert.
a) Konstruktive und destruktive Interferenz
Überlagern wir zwei gleichartige, linear polarisierte Wellen, deren Schwingungsebenen
zusammenfallen und die sich in gleicher Richtung ausbreiten, so entscheidet der
Gangunterschied zwischen beiden Wellen, wie die resultierende Welle aussieht. Als
Grenzfälle betrachten wir d = 0, d = �/2, d = �/4.
Experiment 5.16: Computersimulation Albert, Wellen 1x1, zwei Wellen
Im Fall d=0 verstärken sich beide Wellen vollständig. Wir sprechen von der konstruktiven
Interferenz.
Im Fall d=�/2 löschen sich beide Wellen vollständig aus. Wir sprechen von der destruktiven
Interferenz.
Im Fall d=�/4, und jedem anderen Gangunterschied ergibt sich die resultierende Welle als
Summenbildung der örtlichen Amplituden.
Solche Interferenzerscheinungen treten
auch bei Longitudinalwellen auf. Daher
findet man sie auch bei Schallwellen.
Experiment 5.17: Interferenzversuch mit
Lautsprecher und Mikrophon
Eine besondere Anwendung der destruktiven
Interferenz bei Schallwellen
ist die Lärmbekämpfung. Dabei werden
Störgeräusche über ein Mikrophon
gezielt aufgenommen und der Person
über einen Kopfhörer mit
entgegengesetzter Phasenlage (also
Abb. 5.16
d = �/2) zugespielt. Gemeinsam mit dem Außengeräusch wird dadurch das Störgeräusch
ausgelöscht.
Video Nr 15: Schallauslöschung durch Gegenschall
Interferenzen von Wellenfeldern kann man in einer Wellenwanne besonders deutlich machen:
Experiment 5.18: Interferenz von zwei Wellenfeldern in der Wellenwanne
Wir erkennen dort, wo die Wellenberge zusammentreffen (bzw. wo die Täler
zusammentreffen) eine konstruktive Interferenz. Hier findet eine starke Wellenbewegung statt,

2. September 2005 Technische Physik Seite 109
die sich durch dunkle Linien
widerspiegelt. Dazwischen liegen
Bereiche destruktiver Interferenz in
denen das Wasser sehr ruhig ist.
Dies können wir auch mit Hilfe von
zwei Folien nachvollziehen:
Experiment 5.19: Überdeckung von zwei
transparenten Folien mit konzentrischen
Kreisen
b) zirkular polarisierte Welle
Abb. 5.17
Überlagern wir zwei linear polarisierte
Wellen, deren Schwingungsebenen senkrecht aufeinander stehen, so erhalten wir in den Fälle
wo der Gangunterschied d=0 oder d=�/2 ist wieder eine linear polarisierte Welle, deren
Schwingungsebene jetzt um 45� bzw 135� geneigt ist.
Experiment 5.20: Computersimulation Albert, Polarisiertes Licht
Beträgt der Gangunterschied zwischen beiden Wellen dagegen d=�/4 oder d=3�/4, so erhalten
wir eine zirkular polarisierte Welle. Betrachten wir einen festen Ort, an dem die Welle
vorbei läuft, so beobachten wir einen Auslenkungsvektor der Welle, der ständig den gleichen
Betrag besitzt aber seine Richtung im Uhrzeigersinn oder im Gegenuhrzeigersinn verändert.
Die Spitze bewegt sich auf einem Kreis. Wir sprechen von rechtszirkular und linkszirkular.
Sind die Amplituden der Ausgangswellen unterschiedlich groß, so erhalten wir eine elliptisch
polarisierte Welle.
Zirkular polarisierte Wellen werden wir insbesondere in der Optik wiederfinden.
Abb. 5.18

Seite 110 Technische Physik 2. September 2005
c) Schwebung
Experiment 5.21: Computersimulation Albert, Wellen 1x1, zwei verschiedene Frequenzen
Überlagert man zwei Wellen
gleicher Polarisation und Ausbreitungsrichtung,
die sich geringfügig
in Frequenz und Wellenlänge
unterscheiden, so bildet die Überlagerung
einen Wellenzug, dessen
Amplitude nicht konstant ist. Wir
finden Zonen der Verstärkung und
der Auslöschung. Dieses
Phänomen wird als Schwebung
bezeichnet. Wir finden sie auch bei
den Schallwellen:
Experiment 5.22: Schwebung mit
zwei Stimmgabeln
Experiment 5.23: Darstellung der Schwebung auf dem Oszillographen
Wird der Frequenzunterschied zwischen den Wellen größer so wird die Periode der
Schwebung immer kürzer. Schließlich nimmt man beide Wellen getrennt war. Umgekehrt
kann man die Schwebung ausnutzen, um zwei Tongeber auf die gleiche Frequenz
abzustimmen (Stimmen von Musikinstrumenten).
Diese Überlagerung von zwei Wellen führt zu einer neuen Welle. Diesen Sachverhalt können
wir weiter verallgemeinern. Es gilt der Satz von Fourier:
Jede Welle läßt sich in eindeutiger Weise aus harmonischen Wellen zusammensetzen
Wir wollen diesen Sachverhalt an einem
einfachen Beispiel deutlich machen:
Eine Rechteckwelle kann aus
harmonischen Wellen zusammengesetzt
werden, die folgender Beziehung
genügen:
Abb. 5.19
Abb. 5.20

2. September 2005 Technische Physik Seite 111
Video Nr. 16: Fourier-Synthese einer Rechteckwelle
Dies bedeutet auch, dass jeder beliebige Ton aus harmonischen Wellen zusammengesetzt
werden kann:
Folie Nr. 11: Frequenzspektrum der Vokale A und I
Wir erhalten stets eine Grundschwingung und entsprechende Oberschwingungen mit einem
Vielfachen der Grundfrequenz. Die Amplituden der einzelnen Schwingungen bestimmen dann
die Erscheinung des Tones. Die Gesamtheit aus Grundschwingung und Oberschwingungen
bezeichnet man als Frequenzspektrum des Tones.
5.2.3 Stehende Wellen
Bisher haben wir Interferenzen erzeugt, indem wir zwei gleichartige Wellen überlagert haben,
die sich in gleicher Richtung ausbreiteten. Im folgenden wollen wir die beiden Wellen
entgegengesetzt laufen lassen. Mathematisch bedeutet dies:
Die resultierende Welle ergibt sich durch Addition:
Dabei wurde das Additionstheorem
verwendet. Diese Welle zeigt
folgende Orts- und
Zeitabhängigkeiten:
Wir erhalten Schwingungs
knoten und Schwingungsbäuche.
Diese sind ortsfest
und der Grund dafür, dass man
diese Welle als stehende Welle
(5.14)
Abb. 5.21

Seite 112 Technische Physik 2. September 2005
bezeichnet. Zwischen zwei benachbarten Knoten bzw. Bäuchen liegt stets die halbe
Wellenlänge.
Experiment 5.24: stehende Wellen auf Gummiband und Torsionswellenmaschine (Einfrieren
der stehenden Welle)
Auch mit (longitudinalen) Schallwellen lassen sich stehende Wellen erzeugen. Dabei findet in
den Bäuchen eine starke Bewegung der Luftmoleküle statt, während in den Knoten praktisch
keine Bewegung stattfindet. Dafür findet hier eine starke Druckänderung statt. Dies kann auch
optisch sichtbargemacht werden:
Experiment 5.25: Kundtsche Staubfiguren
Ergebnis: f=495Hz, �=0,68m � c=f��=337m/s
Zur Erzeugung stehender Wellen sind immer zwei identische Wellen notwendig, die sich in
entgegengesetzter Richtung ausbreiten. Am einfachsten kann man sich die zweite Welle durch
Reflexion der ersten Welle schaffen. Hierzu betrachten wir zunächst den Effekt der Reflexion
an einem Wellenberg:
Experiment 5.26: Reflexion eines Wellenberges am festen und am losen Ende
(Torsionswellenmaschine)
Experiment 5.27: Computersimulation Albert, Wellenmaschine: festes und loses Ende, D=1
und D=2 (c ändert sich)
Läuft der Wellenberg auf ein festes Ende (starre
Aufhängung) zu, so kann hier keine Auslenkung
auftreten. Es wirkt folglich eine Kraft dem
Wellenberg entgegen. Dies bewirkt eine Auslenkung
des Wellenberges in die entgegengesetzte Richtung:
der Wellenberg wird als Wellental reflektiert.
Läuft der Wellenberg dagegen auf ein loses Ende
(elastische Aufhängung) zu, so kann er hier frei
ausschwingen: der Wellenberg wird als
Wellenberg reflektiert.
Mathematisch bedeutet dies:
Abb. 5.22
Bei der Reflektion am festen Ende (optisch dichteres Medium) ergibt sich ein Phasensprung
von �/2;
bei der Reflexion am losen Ende (optisch dünneres Medium) ergibt sich kein Phasensprung

2. September 2005 Technische Physik Seite 113
Für die stehende Welle, die aus der hinlaufenden Welle und der reflektierten Welle gebildet
wird bedeutet dies:
Eine stehende Welle besitzt am festen Ende stets einen Knoten, am freien Ende dagegen
stets einen Bauch
Beispiele für stehende Wellen:
a) Transversale Wellen auf Saiten
Spannen wir eine Saite (Gummiband) ein und regen sie zu stehenden Wellen an, so müssen
wir bedenken, dass jetzt an beiden Einspannstellen ein Schwingungsknoten vorliegen muss:
Experiment 5.28: Stehende Wellen einer Saite (Gummiband)
Experiment 5.29: Computersimulation Albert, Wellenmaschine: D=2,6, Hub=0,7, f=0,10,
0,20, 0,30, 0,40, 0,50
Da die Wellenlänge aber durch die
Anregung und die Ausbreitungsgeschwindigkeit
vorgegeben
ist, lassen sich nur bestimmte stehende
Wellen anregen. Für diese muss gelten:
Mit c = ��f ergibt sich dann für die
Frequenzen:
Diese möglichen stehenden Wellen bezeichnet man als harmonische Eigenschwingungen.
Für n=1 sprechen wir von der Grundschwingung, für die höheren n von den
Oberschwingungen.
Die Frequenz der Eigenschwingungen hängt von der Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle
ab. Diese kann bei einem Musikinstrument durch die Spannung der Saiten verändert werden.
Experiment 5.30: Monochord mit veränderlicher Spannung
Abb. 5.23
(5.15)

Seite 114 Technische Physik 2. September 2005
Hier wird natürlich nicht die Schallgeschwindigkeit im Werkstoff verändert, sondern die
Ausbreitungsgeschwindigkeit der transversalen Saitenauslenkung.
Experiment 5.31: Computersimulation Albert, Wellenmaschine: D=2,6 � f=0,10,
D=4,0 � f=0,13
b) Longitudinalwellen in Luftsäulen
Hierfür haben wir schon ein Beispiel kennen gelernt, das Kundtsche Rohr (Staubfiguren).
Hierbei handelt es sich um einseitig geschlossenen Röhren:
Am geschlossenen Ende muss immer ein
Schwingungsknoten auftreten, am
offenen Ende wird dagegen ein Schwingungsbauch
liegen. Grund für den
Schwingungsbauch ist, dass auch am
offenen Ende eine Änderung der Schallausbreitung
erfolgt und dies mit einer
Reflexion der Schallwelle einhergeht.
Abb. 5.24
Allerdings können sich hier die Luftmoleküle ungehindert bewegen. Für die Wellenlänge der
stehenden Welle ergibt sich somit folgende Bedingung:
Mit c = � � f folgt sofort:
Experiment 5.32: Computersimulation Albert, Wellenmaschine: D=2,6, Hub=0,7, f=0,05,
0,15, 0,25, 0,35
Für n = 1 erhalten wir die Grundschwingung mit der Frequenz f = c/4�.
Öffnen wir die bisher verschlossene
Seite der Glasröhre, so ändert sich die
Frequenz der Eigenschwingung. Auf
beiden Seiten der Röhre muss jetzt ein
Schwingungsbauch entstehen.
Wir sehen in Abb. 5.25, dass sich hier
frequenzmäßig die gleichen Eigenschwingungen
einstellen, wie bei der
(5.16)
Abb. 5.25

2. September 2005 Technische Physik Seite 115
Saitenschwingung. Wir können folglich die Gleichung (5.15) übernehmen:
Anwendungsbeispiele für diese stehenden Wellen finden wir in der Akustik bei den
Musikinstrumenten.
c) Transversale Eigenschwingungen einer Membran
Auch flächenhafte Körper zeigen Eigenschwingungen. Betrachten wir eine dünne Platte
(Membran), die zu Schwingungen angeregt wird, so erkennen wir komplizierte Muster auf der
Oberfläche. Diese Muster können wir durch feinen Sand auf der Oberfläche sichtbar machen,
da dieser in den Schwingungsbäuchen entfernt wird und sich in den Schwingungsknoten
ansammelt. Wir erhalten folglich ein Muster von Knotenlinien.
Video Nr. 18: Chladnische Klangfiguren
Die Grundschwingungen einer kreisförmigen Membran sind in folgender Folie dargestellt:
Folie Nr. 12: Grundschwingungen einer Membran
Experiment 5.33: Computersimulation Albert, Paukenfell kreisförmig, C 00=0,6 bzw. C 01=0,6
bzw. C 10=0,6
5.2.4 Das Huyghenssche Prinzip
Betrachten wir die Wellenausbreitung in einer Wellenwanne, so sehen wir dunkle Linien, die
sich über die Wasseroberfläche bewegen. Diese Linien verbinden Punkte gleicher Phase in
der Wasserwelle (Wellenberge bzw. -täler).
Experiment 5.34: Kreiswelle und ebene Welle in der Wellenwanne
Dieses Prinzip können wir für beliebige
Wellen verallgemeinern. Verbinden wir
die benachbarten Punkte gleicher Phase
miteinander, so erhalten wir sogenannte
Wellenflächen. Ein einzelner Punkt
einer Wellenfläche ist physikalisch
dabei nicht zu unterscheiden vom
Erregungszentrum der Welle, er führt
die gleichen Wellenbewegungen aus.
Dies hat schon im 17. Jahrhundert den
Wissenschaftler Christian Huyghens
dazu gebracht, sich die Ausbreitung
(5.17)
Abb. 5.26

Seite 116 Technische Physik 2. September 2005
einer Welle so vorzustellen, dass er jeden Punkt einer Welle wieder als Erregungszentrum
ansah, von dem eine sogenannte Elementarwelle (Kugelwelle) ausgeht. Die Wellenfläche zu
einem späteren Zeitpunkt ergibt sich dann aus der Überlagerung dieser Elementarwellen.
Dieses Prinzip können wir an der Wellenwanne sehr schön veranschaulichen. Dazu betrachten
wir zunächst eine ebene Wasserwelle, die auf eine Wand mit einem Spalt fällt.
Experiment 5.35: Wellenwanne mit Spalt, Computersimulation Medium 2D mit Spalt
Hinter dem Spalt beobachten wir eine Elementarwelle, die sich kreisförmig ausbreitet.
Ersetzen wir den Einzelspalt durch sehr viele Spalte, so sehen wir eine Vielzahl von
Elementarwellen, die sich zu einer neuen ebenen Welle vereinigen.
Experiment 5.36: Wellenwanne mit Vielfachspalt
Mit Hilfe der Elementarwellen lässt sich das Verhalten von Wellen an einem Hindernis jetzt
sehr schön beschreiben. Im folgenden wollen wir verschiedene Fälle untersuchen: Reflexion,
Brechung und Beugung von Wellen.
5.2.5 Reflexion von Wellen
Experiment 5.37: Reflexion in der Wellenwanne
Video Nr. 19: Reflexion nach dem Huyghensschen Prinzip
Wir betrachten eine ebene Welle, die
unter dem Winkel � auf ein Hindernis
zu läuft. Die Wellenfläche A�D�
kennzeichnet die Welle, wenn sie im
Punkt A auf das Hindernis trifft. Während
Punkt D mit der Geschwindigkeit c
auf den Punkt C zuläuft, breitet sich von
A eine Elementarwelle aus, die sich
ebenfalls mit c fortbewegt. Hat D den
Punkt C erreicht, so hat die
Elementarwelle den Radius A�E�
zurückgelegt. Verbindet man diese
Abb. 5.27
Elementarwelle mit der jetzt in Punkt C
entstehenden, so entsteht die neue Wellenfront E�C�. Diese neue Welle bewegt sich unter dem
Winkel � vom Hindernis weg.
Nun sind die Dreiecke ACD und ACE beide rechtwinklig und kongruent, da D�C� = A�E� und
A�C� für beide gleich. Hieraus folgt für die Winkel � und �:

2. September 2005 Technische Physik Seite 117
5.2.6 Brechung von Wellen
Experiment 5.38: Brechung in der Computersimulation Medium 2D: Brechung, mechanisches
Modell der Brechung
Wie das Experiment zeigt, werden die Wellen beim Übergang zwischen zwei Bereichen mit
unterschiedlicher Ausbreitungsgeschwindigkeit aus ihrer ursprünglichen Richtung abgelenkt.
Bei Wasserwellen wird dies durch veränderte Wassertiefen hervorgerufen, bei Luft durch
unterschiedliche Luftdichten, bei elektromagnetischen Wellen durch unterschiedliche
Werkstoffe. Wir sprechen ganz allgemein von verschiedenen Ausbreitungsmedien.
Wieder betrachten wir eine ebene Welle,
die unter dem Winkel � auf das
Hindernis zuläuft. Die Wellenfront wird
durch A�D� festgelegt, wenn die Welle in
A auftrifft. Während sich D mit der
Geschwindigkeit c 1 auf C zubewegt,
breitet sich von A eine Elementarwelle
mit c 2 aus. Kommt D bei C an, so hat
diese Elementarwelle den Radius A�E�
zurückgelegt. Die neue Wellenfläche im
Medium 2 erhalten wir jetzt, indem wir
die Elementarwelle von A mit der in C
Abb. 5.28
entstehenden verbinden. Wieder
entstehen zwei rechtwinklige Dreiecke mit der Basis A�C�, die Strecken D�C� und A�E� sind
jedoch unterschiedlich lang auf Grund der unterschiedlichen Ausbreitungsgeschwindigkeiten.
Es gilt:
Für die Winkel folgt:
Fassen wir dies zusammen, so ergibt sich:
(5.18)

Seite 118 Technische Physik 2. September 2005
Dieses Gesetz wird als das Brechungsgesetz von Snellius bezeichnet.
In der Optik spricht man auch davon, dass die Welle beim Übergang zum optisch dichteren
Medium zum Lot hin gebrochen wird. Da die oben gezeigte Herleitung von der Richtung der
Welle unabhängig ist, kann der Weg natürlich auch umgekehrt werden, die Welle wird dann
vom Lot weggebrochen.
Die Brechung tritt natürlich nicht isoliert auf, vielmehr beobachtet man stets auch die
reflektierte Welle.
5.2.7 Beugung von Wellen
Betrachten wir ein begrenztes Hindernis oder ein Hindernis mit Löchern, so kommt es zu
einem weiteren Wellenphänomen.
Experiment 5.39: Beugung von Wasserwellen in der Wellenwanne
Experiment 5.40: Computersimulation Medium 2D, Beugung am breiten Spalt
Ein Teil der Welle läuft am Hindernis
vorbei, ein Teil wird am Hindernis
reflektiert. An der Kante des
Hindernisses entstehen
Elementarwellen, die sich hinter dem
Hindernis ausbreiten, obwohl dieser
Bereich nicht von der Quelle der Welle
einsehbar ist. Diesen Effekt bezeichnen
wir als Beugung der Welle. Er stellt die
wohl seltsamste Eigenschaft einer
Welle dar und wird daher oft als das
besondere Charakteristikum einer Welle
angesehen. So konnte Hertz bei der
Abb. 5.29
Entdeckung der elektromagnetischen Wellen den Wellencharakter durch
Beugungsexperimente nachweisen. Auch die Welleneigenschaften von Elektronen und
anderen Elementarteilchen werden insbesondere durch Beugung nachgewiesen.
Insbesondere in der Optik werden wir auf Beugungserscheinungen näher eingehen.
(5.19)
Während es für die Reflexion und die Beugung auch ein mechanisches Analogon gibt,
existiert dieses für die Beugung nicht. Die Beugung ist folglich eine reine Wellenerscheinung.

2. September 2005 Technische Physik Seite 119
6. Geometrische Optik
6.1 Modellvorstellungen des Lichtes
Im Abschnitt "Einführung in die Wellenlehre" hatten wir das Licht als elektromagnetische
Welle kennen gelernt. Damit verbunden waren eine Reihe von Welleneigenschaften, wie
Reflexion, Brechung und Beugung, auf die wir auch in diesem Abschnitt wieder eingehen
werden.
Die älteste Vorstellung vom Licht knüpft aber an die geradlinige Ausbreitung des Lichtes an.
Man stellte sich das Licht als Bündel von einzelnen Strahlen vor (diese Vorstellung wird
insbesondere durch Naturbeobachtungen gestützt: wenn das Sonnenlicht zwischen den
Wolken hindurch strahlt, meint man diese Strahlen direkt beobachten zu können).
Die Strahlentheorie des Lichtes konnte allerdings nicht die Reflexions- und Brechungserscheinungen
des Lichtes befriedigend erklären sondern nur anschaulich machen.
Daher unternahm schon Isaac Newton den Versuch, das Licht als einen Strom von Teilchen
zu beschreiben. Mit Hilfe der Impulserhaltung konnte er dann das Reflexionsgesetz erklären,
durch Anziehungskräfte zwischen den Teilchen und den Atomen konnte er auch die Brechung
in einem Stoff erklären. Allerdings vermochte er nicht zu beschreiben, warum sich kreuzende
Lichtstrahlen ohne Behinderung durchdringen können.
Überraschender Weise ist
man mit der Entwicklung
der Atomphysik wieder
zu einem neuen
Teilchenbild des Lichtes
gekommen, da bestimmte
Phänomene nur durch
solche
Teilcheneigenschaften erklärt werden können (z.B. der Photoeffekt, Einstein 1905). Hierauf
werden wir im Abschnitt Atomphysik näher eingehen. Man spricht heute von der so
genannten Welle-Teilchen-Dualität, und meint damit, dass sich das Licht bei einigen
Versuchen wie eine Welle verhält, bei anderen dagegen wie ein Teilchen.
Innerhalb der geometrischen Optik stellt man sich gern auf den Standpunkt des Strahlenmodells,
da hiermit insbesondere die Konstruktion von Abbildungen sehr anschaulich ist.
Wir sprechen daher auch von der Strahlenoptik.

Seite 120 Technische Physik 2. September 2005
6.2 Reflexion des Lichtes
Das Phänomen der Reflexion hatten wir schon anhand der Welleneigenschaften erläutert und
mathematisch behandelt. Als Ergebnis ergab sich das Gesetz:
Experiment 6.1: Reflexionsgesetz
Als Beispiele für die Reflexion wollen
wir uns verschiedene Spiegeltypen
ansehen:
Experiment 6.2: verschiedene
Spiegeltypen
a) Bildentstehung am ebenen Spiegel
Betrachten wir mit dem Auge eine
Lichtquelle L in einem Spiegel, so
scheint das Licht von einem Punkt
hinter dem Spiegel zu kommen. Diesen
können wir konstruieren, indem wir die
Abb. 6.1
reflektierten Strahlen nach hinten verlängern. Sie schneiden sich dann bei L'. Dieses hinter
dem Spiegel liegende Bild bezeichnen wir als virtuelles Bild, da wir es nicht mit einer
Leinwand auffangen können. Der Abstand des virtuellen Bildes entspricht dem des realen
Gegenstandes.
Betrachten wir einen Gegenstand im
Spiegel, so finden wir, dass Bildgröße
und Gegenstandsgröße immer gleich
sind. Das virtuelle Bild des
Gegenstandes konstruiert man am
leichtesten unter Verwendung eines ins
Auge reflektierten Strahles und des
senkrecht zum Spiegel laufenden Lichtstrahles.
Wir erkennen, dass das
Spiegelbild seitenverkehrt entsteht.
b) Bildentstehung am Hohlspiegel
Beim Hohlspiegel gehen wir von einer Kugelfläche vom Radius r aus:
Experiment 6.3: Brennweite eines Hohlspiegels (Hertelsche Scheibe)
Abb. 6.2

2. September 2005 Technische Physik Seite 121
Das Experiment zeigt, dass ein paralleles Lichtbündel in einem Punkt konzentriert wird.
Diesen Punkt bezeichnen wir als Brennpunkt des Spiegels. Wir wollen zunächst überlegen ,
wo dieser Brennpunkt liegt. Dazu betrachten wir einen Lichtstrahl, der parallel zur
Symmetrieachse (optische Achse) des Spiegels im Abstand d einfällt:
Experiment 6.4: ausgezeichnete
Strahlen am Hohlspiegel
Für jeden Punkt des Spiegels gilt das
Reflexionsgesetz. Wie die Abbildung
zeigt, steht die Normale der Reflexion
ebenfalls unter dem Winkel � zur
optischen Achse. Damit ergibt sich:
Da das Dreieck MAF gleichschenklig ist, gilt für den Winkel � ebenfalls:
und damit für den Schnittpunkt der reflektierten Strahlen mit der optischen Achse:
Diesen Abstand vom Scheitelpunkt des Spiegels bezeichnet man als Brennweite des
Spiegels. Für achsennahe Lichtstrahlen, also d � r, wird � klein und damit kann cos � mit 1
angenähert werden. Dann gilt für die Brennweite des Hohlspiegels:
Wir sehen, dass die Brennweite jetzt
unabhängig von � und damit von d ist.
Achsennahe Strahlen laufen folglich nach
der Reflexion alle durch diesen Punkt.
Für achsenferne Strahlen wird die Brennweite
entsprechend (6.1) dagegen kleiner.
Diese Abweichung des Brennpunktes ist
auf die Kugelform des Spiegels zurück
zuführen.
Abb. 6.3
(6.1)
(6.2)
Abb. 6.4

Seite 122 Technische Physik 2. September 2005
Verändern wir die Spiegelform zu einem parabolischen Spiegel, so beobachten wir, dass sich
alle Lichtstrahlen, auch die achsenfernen, in einem Punkt schneiden.
Experiment 6.5: Brennpunkt
des Parabolspiegels
Bei Umkehrung des
Strahlenganges beobachten
wir, dass eine im Brennpunkt
stehende Lampe jetzt ein
paralleles Lichtbündel
Abb. 6.5
aussendet. Dies wird bei allen
Scheinwerfern angewandt um das Licht über große Entfernungen ausnutzen zu können.
Im Folgenden wollen wir die Bildentstehung
am Hohlspiegel betrachten:
Anstatt alle Lichtstrahlen, die von einem
Gegenstandspunkt ausgehen, zu
betrachten, verwendet man zur
Bildkonstruktion 3 ausgezeichnete
Strahlen:
- der Parallelstrahl wird zum
Brennpunktstrahl
- der Brennpunktstrahl wird zum
Parallelstrahl
- der Mittelpunktstrahl wird in sich reflektiert
Dort, wo sich diese drei Strahlen
schneiden, entsteht das Bild. Wir
erkennen, dass in diesem dargestellten
Fall ein reelles Bild entsteht, da sich die
Strahlen schneiden. Hier könnte man
eine Leinwand aufstellen und das Bild
auffangen.
Abb. 6.6
Um den Zusammenhang zwischen der
Abb.6.7
Gegenstandsgröße G, der Bildgröße B,
der Gegenstandsweite g und der Bildweite b herzustellen, reduzieren wir das Problem auf
zwei Strahlen und vernachlässigen die Krümmung des Spiegels dadurch, dass wir nur
achsennahe Strahlen betrachten.

2. September 2005 Technische Physik Seite 123
Mit Hilfe des Zentrumsstrahles (gestrichelt) sowie des Reflexionsgesetzes ergibt sich folgende
Beziehung:
Mit Hilfe des Brennpunktstrahles gewinnen wir die Beziehung:
Kombinieren wir beide Gleichungen und multiplizieren aus, so folgt schließlich:
Diese Beziehung bezeichnet man als Abbildungsgleichung, v bezeichnet man als
Abbildungsmaßstab.
Bisher haben wir den Fall behandelt, das g > r ist. Dabei ergibt sich immer ein verkleinertes,
kopfstehendes, reelles Bild. Lassen wir jetzt g immer kleiner werden, so ergeben sich
folgende Besonderheiten:
Experiment 6.6: Computersimulation, Erlangen: sphärische Linsen, Hohlspiegel
g = r = 2f: Dann zeigt die obige Gleichung (6.4): b = 2f oder g = b. Damit gilt auch G=B.
2f > g > f: Hier wird b > g und auch B > G. Wir erhalten ein vergrößertes, kopfstehendes,
reelles Bild.
g = f: Aus (6.3) folgt: 1/b = 0 oder b = �. Wir erhalten somit ein unendlich großes Bild im
unendlichen.
g < f: Aus (6.3) folgt 1/b wird negativ, d.h. b
nimmt einen negativen Wert an und
damit auch B. Dies bedeutet, wir erhalten
ein virtuelles Bild des Gegenstandes,
welches hinter dem Spiegel liegt.
Experiment 6.7: virtuelles Bild am Hohlspiegel
Wir erhalten ein aufrechtstehendes,
vergrößertes, virtuelles Bild des
Gegenstandes.
(6.3)
Abb. 6.8

Seite 124 Technische Physik 2. September 2005
6.3 Brechung des Lichtes
Auch die Brechung haben wir als allgemeine Welleneigenschaft schon beschrieben. Dabei
fanden wir, dass die Ursache der Brechung einer Welle die unterschiedliche
Ausbreitungsgeschwindigkeit in verschiedenen Medien ist. Das Strahlenbild des Lichtes kann
ein solches Verhalten nicht erklären, die Brechung lässt sich in ihm aber sehr gut darstellen.
Betrachten wir einen Lichtstrahl, der unter
dem Winkel � auf eine Grenzfläche trifft, so
wird er hier gebrochen und läuft im Medium
2 unter dem Winkel � weiter. Als Beziehung
zwischen beiden Winkeln hatten wir ganz
allgemein gefunden:
(6.4)
n 12 wird dabei als Brechungsquotient für
den Übergang vom Medium 1 zum Medium
2 bezeichnet.
Experiment 6.8: Brechung des Lichtes, Luft-Glas-Übertritt, Glas-Luft-Übertritt,
Umkehrbarkeit des Strahlenganges
Das Medium mit der kleineren Lichtgeschwindigkeit wird als optisch dichter, das mit der
größeren Lichtgeschwindigkeit als optisch dünner bezeichnet. Fällt ein Lichtstrahl vom
optisch dünnen Medium in ein optisch dichtes Medium, so folgt aus (6.5) � < �, d.h. der Strahl
wird zum Lot hin gebrochen. Fällt ein Lichtstrahl vom optisch dichteren Medium in das
optisch dünnere Medium, so gilt entsprechend � > �, d.h. der Strahl wird vom Lot
weggebrochen.
Experiment 6.9: Brechung beim Übergang Wasser-
Luft
Bei diesem Experiment erkennen wir einen
Grenzfall, die sogenannte Totalreflexion. Mit
zunehmendem Einfallswinkel � im Wasser nähert
sich der Ausfallswinkel � dem Wert 90� an. Dieser
Wert wird nach (6.5) erreicht für:
(6.5)
Abb. 6.9
Abb. 6.10

2. September 2005 Technische Physik Seite 125
Hierbei ist c 1 < c 2 und n 12 < 1. Diesen Winkel bezeichnet man als Grenzwinkel der
Totalreflexion. Für größere Einfallswinkel � kann das Licht folglich nicht mehr in das
Medium 2 eindringen. Es wird an der Grenzfläche total reflektiert.
Video Nr. 20: Totalreflexion mechanisch
Um zu einer eindeutigen Kennzeichnung der Brechung in einem Medium zu kommen,
betrachtet man den Lichtübertritt aus dem Vakuum in dieses Medium. Hierfür gilt:
Da die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit die größtmögliche Geschwindigkeit ist, ergibt sich
hierbei immer ein Wert n M > 1. Diesen Wert nennt man den Brechungsindex des Mediums.
Für den Übergang zwischen zwei verschiedenen Stoffen findet man dann:
Wir sehen, der Brechungsquotient, der den Übergang zwischen zwei verschiedenen
Materialien beschreibt, errechnet sich als Quotient der Brechungsindizes beider Materialien.
Brechungsindex einiger Stoffe für gelbes Licht � = 589,3nm
Quarzglas 1,4588 Wasser 1,3329
Kronglas 1,5181 Äthylalkohol 1,3605
Diamant 2,4173 Benzol 1,5013
Aluminiumoxid
(Rubin,Saphir)
1,64
Eis 1,31 Luft 1,000292
Plexiglas 1,491 Kohlendioxid 1,00449
Bei den meisten Problemen der Optik haben wir es mit einem Übergang von Luft in ein
anderes Medium zu tun. Dann kann in der Regel n 1 = 1 gesetzt werden, da die Abweichung
vom Vakuumwert nur sehr gering ist. Entsprechend vereinfachen sich die obigen Formeln:
(6.6)
(6.7)
(6.8)

Seite 126 Technische Physik 2. September 2005
6.4 Anwendung der Lichtbrechung
6.4.1 Prisma
Unter einem Prisma verstehen wir einen
dreikantigen Glaskörper entsprechend
der Abb. 6.11. Zwei ebene, polierte
Flächen sind gegeneinander um den brechenden
Winkel � geneigt. Sie
schneiden sich in der brechenden
Kante K und werden unten durch die
Basis b abgeschlossen. Wir betrachten
einen Lichtstrahl, der in der
Zeichenebene unter dem Winkel � 1 auf
Abb. 6.11
eine Fläche fällt. Das Prisma bestehe aus einem Werkstoff mit dem Brechungsindex n. Der
Lichtstrahl wird durch das Prisma um den Winkel � abgelenkt.
Experiment 6.10: Strahlengang am Ablenkprisma, Bestimmung der minimalen Ablenkung
Wie das Experiment zeigt, gibt es einen Einfallswinkel � 1,
bei dem die Gesamtablenkung �
minimal wird. Der Strahl verläuft dann im Prisma parallel zur Basis b. Wir sprechen vom
Minimum der Ablenkung.
Da der Brechungsindex für Glas etwa bei 1,5 liegt, ergibt sich ein Grenzwinkel der
Totalreflektion von etwa 42� beim Übergang zur Luft. Verwendet man ein rechtwinkliggleichschenkliges
Prisma, so kann dieser Grenzwinkel im Innern leicht überschritten werden,
da die Eckwinkel mit 45� etwas größer sind und es tritt Totalreflektion ein. Die Abbildung
zeigt drei Anwendungsbeispiele dieser Totalreflexion:
Experiment 6.11: Strahlengang im Umlenkprisma
Hierbei findet eine Reflexion der Lichtstrahlen auch ohne Spiegelfläche statt. Das Licht wird
dabei mit sehr geringen Verlusten reflektiert. Solche Prismen werden z.B. in Ferngläsern
eingesetzt.
Folie Nr. 13: Strahlengang im Prismenfernglas
Abb. 6.12

2. September 2005 Technische Physik Seite 127
6.4.2 Optische Linsen
Linsen sind durchsichtige Körper, die von zwei gekrümmten Flächen begrenzt sind. In der
Regel handelt es sich dabei um Kugelflächen, weswegen man auch von sphärischen Linsen
spricht. Diese Kugelflächen können entweder konvex, konkav oder im Grenzfall plan sein.
Damit ergeben sich sechs verschiedene Linsentypen:
a) bikonvex
b) plankonvex
c) konkavkonvex
d) bikonkav
e) plankonkav
f) konvexkonkav
Der erste Wortteil steht immer für die Fläche mit dem größeren Krümmungsradius. Da der
kleinere Krümmungsradius (stärker gekrümmte Fläche) das Gesamtverhalten der Linse
bestimmt, werden die ersten drei Linsen als Sammellinsen, die zweiten drei als
Zerstreuungslinsen bezeichnet. Den Grund dafür liefert uns das Experiment:
Experiment 6.12: Strahlengang an einer Sammellinse und einer Zerstreuungslinse
a) Sammellinsen
Diese Linsen sind in der Mitte
alle dicker als am Rand. Sie
haben die Eigenschaft
achsenparallele Strahlen in
einem Punkt zu fokussieren.
b) Zerstreuungslinsen
Diese Linsen sind in der Mitte
alle dünner als am Rand. Sie
haben die Eigenschaft
achsenparallele Strahlen zu
zerstreuen. Die zerstreuten
Strahlen scheinen alle aus einem
Punkt zu kommen.
Betrachten wir zwei ausgezeichnete
Strahlen, so stellen wir fest: der Mittelpunktstrahl
erleidet einen Parallelversatz,
Abb. 6.13
Abb. 6.14
Abb. 6.15

Seite 128 Technische Physik 2. September 2005
der Parallelstrahl wird zweimal gebrochen. Für sehr dünne Linsen können wir das Problem
wesentlich vereinfachen, da hier der Parallelversatz vernachlässigt werden kann und die
beiden Brechungen durch eine einzige Brechung an der Mittelebene der Linse ersetzt werden
kann. Die Brennweite f der Linse muss dabei erhalten bleiben. Sie ist die allein bestimmende
Größe der Linse. Eine ähnliche Analyse, wie wir sie am Hohlspiegel durchgeführt haben, führt
zu einer Bestimmungsgleichung für diese Brennweite:
r 1 > 0 ist dabei der Radius der ersten brechenden Fläche, r 2 < 0 derjenige der zweiten
brechenden Fläche, n der Brechungsindex des Linsenmaterials. Ist die Linse nicht von Luft,
sondern von einem anderen Medium umgeben, so muss n ersetzt werden durch n L/n M.
Den Kehrwert der Brennweite f bezeichnet man als Brechkraft der Linse:
-1
Die Einheit von D ist [D] = 1dpt = 1m (Dioptrie).
Mit diesem Wissen können wir
das Abbildungsverhalten einer
Linse jetzt beschreiben. Dazu
betrachten wir wieder die
ausgezeichneten Strahlen.
Das Ergebnis zeigt die Abb. 6.15
Für den Abbildungsmaßstab
können wir sofort ablesen:
Außerdem ergibt sich:
(6.11)
Dividieren wir durch b, so folgt sofort:
(6.9)
(6.10)
Abb. 6.15
(6.12)

2. September 2005 Technische Physik Seite 129
Es zeigt sich, dass wir die gleichen Abbildungsgleichungen erhalten, wie bei der Abbildung
am Spiegel. Die Gleichung (6.12) wird oft als Linsengleichung bezeichnet.
Experiment 6.13: Bestätigung der Linsengleichung, Abbildungsmaßstab
Eine sehr einfache Beziehung erhalten wir, wenn wir die Abstände von den Brennpunkten aus
messen: g = f + z, b = f + z'. setzen wir dies in (6.12) ein, so ergibt sich sofort:
Diese Gleichung wird als Newtonsche Abbildungsgleichung bezeichnet.
Für verschiedene Abstände des Gegenstandes von der Linse erhalten wir folgende
Zusammenhänge:
g � 2f � b � f B � G umgekehrt, reell
g > 2f � f < b < 2f B < G "
g = 2f � b = 2f B = G "
2f < g < f � b > 2f B > G "
g = f � b = � B = �
g < f � b < 0, �b� > g �B� > G aufrecht, virtuell
Die Abb. 6.16eigt die Konstruktion des
Bildes für den Fall g < f.
6.43 Lichtleitfasern
Die Lichtleitfasern oder Lichtwellenleiter sind eine direkte Anwendung der Totalreflexion.
Experiment 6.14: Lichtleitfasern
Wir unterscheiden zwei Typen von Fasern, die Stufenindexfaser und die Gradientenfaser.
- Stufenindexfaser
(6.13)
Abb. 6.16

Seite 130 Technische Physik 2. September 2005
Die Stufenindexfaser besteht
aus einem Kern mit hohem
Brechungsindex und einem
Mantel mit niedrigerem Brechungsindex.
Typische Daten
sind:
Mantel: SiO 2 n 1 = 1,453
Durchmesser 125�m
Kern: SiO 2 mit 13,5% GeO 2 n2
= 1,474
Durchmesser 50�m.
Ein Lichtstrahl, der unter dem Winkel � 0 auf den Eintritt der Lichtleitfaser fällt, wird
im Innern unter � 1 weitergeleitet. Er trifft dann unter dem Winkel � = 90� - � 1 auf die
Grenzfläche zum Mantel. Ist dieser Winkel größer als der Grenzwinkel der
Totalreflexion, so wird der Strahl zu 100% reflektiert und somit weitergeleitet. Aus
den Beziehungen:
errechnet sich ein maximaler Eintrittswinkel von:
Mit den angegebenen Werten errechnet sich ein Grenzwinkel von: � 0,max = 14,3�. Es
werden also nur sehr flach einfallende Lichtstahlen weiter transportiert.
- Gradientenfaser
Abb. 6.17
(6.14)
Die Stufenindexfaser hat den Nachteil, dass Lichtstrahlen, die unter einem Winkel in
die Faser eintreten immer einen längeren Weg zurücklegen, als die Strahlen, die
entlang der Achse verlaufen, mit der Konsequenz, dass Lichtimpulse auseinander
laufen, also breiter werden. Hierdurch wird die Übertragungskapazität der Faser eingeschränkt.
Dies wird durch die Gradientenfaser vermieden.
Ändert sich der Brechungsindex kontinuierlich, so findet eine permanente Brechung
des Lichtstrahles statt. Diesen Effekt nutzt die Gradientenfaser aus, um das Licht über
eine große Strecke zu transportieren. Der Laufzeiteffekt wird hierbei stark verringert,
da die stark gekrümmten Lichtstrahlen sich häufig in einem Gebiet mit geringerem

2. September 2005 Technische Physik Seite 131
Brechungsindex aufhalten
und damit schneller laufen.
Diese Lichtleitfasern haben
also eine höhere
Übertragungskapazität.
Ihre größte Bedeutung haben
diese Lichtleitfasern in der
Datenübertragung gewonnen.
Sie sind heute schon so
hochwertig, dass auf einer
Länge von 5km nur so viel
Lichtverlust auftritt wie bei einer normalen Fensterscheibe von 3mm Dicke.
Aber auch in der Medizintechnik ist ihre Bedeutung sehr groß, da mit den dünnen
Fasern optische Informationen aus dem Innern des Menschen gewonnen werden
können (z.B. Magen, Blutgefäße, Herz).
Experiment 6.15: Hohlraumsonde
Video Nr. 21: Darmspiegelung,
Video Nr. 22: Herstellung von Glasfasern
6.4.4 Brechungserscheinungen in der Natur
a) Luftspiegelung und Fata morgana
Abb. 6.18
Luftspiegelungen können verschiedene Ursachen haben. Nimmt der Brechungsindex
kontinuierlich ab, so
beobachten wir eine
Krümmung der
Lichtstrahlen, die dazu führt,
dass man quasi um die Erdkrümmung
herumschauen
kann. Dies ist besonders
über dem Meer zu
beobachten, wo durch das
Wasser die bodennahen
Luftschichten stets kühler
sind als die höheren und
somit auch entsprechend
dichter sind. Man findet
dann ein aufrechtstehendes
Abb. 6.19

Seite 132 Technische Physik 2. September 2005
Bild des Gegenstandes, z.B. von weit entfernten Inseln.
Schiebt sich dagegen eine warme Luftmasse über eine kühlere, so erhält man eine
Trennschicht mit unterschiedlichem Brechungsindex. Hieran kann eine Totalreflexion
eintreten. Das Bild erscheint dann kopfstehend.
Bei der Fata Morgana (Fee Morgana = arabische Zauberin) erscheinen sogar mehrfache
Spiegelbilder übereinander durch entsprechenden Verläufe des Brechungsindex (wird nur an
wenigen Orten der Erde beobachtet, z.B. Straße von Messina).
Liegt am Boden eine heiße Luftschicht und darüber eine kältere, so kommt es zur Spiegelung
des Himmels durch Totalreflexion. Der helle Himmel täuscht dann Wasser am Boden vor.
Dies findet man z.B. im Sommer auf Asphaltstraßen oder auch in Wüsten, wo dann Oasen
vorgetäuscht werden. Insbesondere wird durch die Bewegung der heißen Luft auch eine
vermeintliche Wellenbewegung des Wassers erzeugt.
Video Nr. 23, Nr. 24: Luftspiegelungen am Boden und in der Luft
b) Regenbogen
Ein Regenbogen entsteht, wenn es bei
Sonnenschein regnet. Ein Beobachter
sieht ihn immer mit dem Rücken zur
Sonne, d.h. es muss eine Rückreflektion
des Lichtes vorliegen. Entscheidend ist
hierfür die Brechung des Lichtes in
einem Wassertropfen:
Experiment 6.16: Modellversuch für die
Entstehung eines Regenbogens
Die Winkel, unter denen das Licht in
einem Wassertropfen gebrochen und
reflektiert wird, wurden schon von
Descartes berechnet und experimentell nachgeprüft.
Abb. 6.20
Wir finden eine Brechung in Vorwärtsrichtung, die aber nicht beobachtet werden kann, da
dieses Licht von der Sonne überstrahlt wird (allerdings kann man mitunter den Vollmond von
einem solchen Regenbogen umgeben finden).
Nach einer Reflexion tritt der Lichtstrahl unter einem Winkel von 42� nach hinten aus, nach
zwei Reflexionen unter einem Winkel von 51� nach hinten. Weitere Reflexionen führen
wieder in die Vorwärtsrichtung und können somit nicht beobachtet werden.

2. September 2005 Technische Physik Seite 133
Es lassen sich somit zwei Regenbogen
beobachten, wobei der
äußere sehr schwach ist. Der
eigentliche Regenbogeneffekt
kommt jetzt dadurch zustande,
dass der Brechungsindex von
Wasser für rotes Licht kleiner ist
als der für blaues Licht. Das blaue
Licht (gestrichelte Linien) wird
also stärker gebrochen als das rote
Abb. 6.21
Licht (durchgezogene Linien). Dadurch ist der Austrittswinkel im Hauptregenbogen für blaues
Licht kleiner, im Nebenregenbogen größer als für rotes Licht. Folglich beobachtet man im
Hauptregenbogen Innen die blaue Farbe und Außen die rote Farbe. Im Nebenregenbogen ist es
genau umgekehrt.
In der Regel sieht man immer nur einen kleinen Ausschnitt vom Regenbogen, da der Bogen
die Basis eines Kegels bildet, dessen Mittelachse die Verbindungslinie Sonne-Beobachter
darstellt. Nur auf hohen Bergen kann man mitunter vollständige Kreise beobachten.

Seite 134 Technische Physik 2. September 2005

2. September 2005 Technische Physik Seite 135
7. Wellenoptik
7.1 Die Spektralfarben des Lichtes
Lässt man Sonnenlicht auf ein Prisma fallen, so tritt auf der gegenüberliegenden Seite ein
regenbogenähnlich gefärbtes Farbband aus:
Experiment 7.1: Zerlegung von weißem Licht durch ein Prisma
Diese Tatsache war schon im Altertum bekannt. Aristoteles war der Meinung, dass die Farben
erst beim Durchgang durch das Glas entstehen. Diese Auffassung wurde bis zum Ende des 17.
Jahrhunderts beibehalten. Erst Newton war es vorbehalten, genauere Untersuchungen hierzu
anzustellen. Diese Experimente wollen wir hier nachvollziehen:
a) Zerlegung eines dünnen Lichtbündels
Experiment 7.2: Zerlegung eines
Lichtbündels
Lassen wir ein schmales Lichtbündel auf
das Prisma fallen, so beobachten wir
einen Farbstreifen mit folgenden Farben:
Rot, Orange, Gelb, Grün, Blau, Violett.
Das rote Licht hat dabei die geringste
Ablenkung erfahren, das blaue Licht
erfährt die größte Ablenkung.
Diese Farben, die bei der Zerlegung des Sonnenlichtes entstehen, nennt man Spektralfarben,
die Gesamtheit wird als Spektrum bezeichnet.
b) Unzerlegbarkeit der Spektralfarben
Schneidet man mit Hilfe von Blenden
eine dieser Spektralfarben heraus und
leitet diese auf ein zweites Prisma, so
lässt sich diese Farbe nicht weiter
zerlegen.
Experiment 7.3: Unzerlegbarkeit der
Spektralfarben
Abb. 7.1
Abb. 7.2
Weiter beobachten wir wieder, dass die blau Farbe stärker abgelenkt wird als die rote Farbe.
Da die Brechung eine Eigenschaft des Werkstoffes ist und um so stärker ist, je kleiner die
Lichtgeschwindigkeit im Werkstoff ist, stellen wir fest:

Seite 136 Technische Physik 2. September 2005
Der Brechungsindex von Glas ist für blaues Licht größer als für rotes Licht, entsprechend
ist die Lichtgeschwindigkeit in Glas für blaues Licht kleiner als für rotes
Licht
Dieses Verhalten des Werkstoffes bezeichnet man als Dispersion.
c) Wiedervereinigung der Spektralfarben
Lassen wir das Spektrum auf eine
Sammellinse fallen, so können die
Spektralfarben in der Brennebene
wieder zusammengeführt werden.
Experiment 7.4: Wiedervereinigung
der Spektralfarben
Auf dem Schirm sehen wir, dass die
Abb. 7.3
Vereinigung aller Spektralfarben
wieder weißes Licht ergibt. Diesen Effekt können wir auch durch Rotation einer Farbscheibe
erzielen:
Experiment 7.5: Wiedervereinigung der Spektralfarben durch Rotation einer Farbscheibe
d) Wiedervereinigung eines Teiles der Spektralfarben
Blenden wir einen Teil des Spektrums
mit einer Blende aus, so
entsteht in der Brennebene kein
weißer Fleck.
Experiment 7.6: Ausblenden eines
Spektrumteiles
Wird Blau und Grün ausgeblendet,
so erscheint der Fleck Orange.
Abb. 7.4
Obwohl Orange auch eine der Spektralfarben ist, handelt es sich in diesem Fall nicht um eine
Spektralfarbe sondern um eine Mischfarbe. Diese könnten wir nämlich durch ein Prisma in
weitere Farben zerlegen.
Betrachten wir in einem zweiten Versuch das auf der Blende zurückgehaltene Licht, so stellen
wir einen grünlichen Farbton fest. Da das gesamte Licht zusammen wieder Weiß ergeben
muss, können wir auch sagen, dass Orange gemeinsam mit Grün-Blau wieder Weiß ergeben
muss.

2. September 2005 Technische Physik Seite 137
Zwei solche Farben, die zusammen Weiß ergeben, bezeichnen wir als Komplementärfarben.
Experiment 7.7: Demonstration von Komplementärfarben
Diese Komplementärfarben können entweder reine Spektralfarben oder aber Mischfarben
sein. Dies bedeutet, dass weißes Licht auch aus zwei geeigneten Spektralfarben
zusammengesetzt werden kann. Weißes Licht enthält also nicht notwendiger Weise alle
Spektralfarben.
Wie wir später noch
nachweisen werden,
unterscheiden sich die
verschiedenen Farben des
Lichtes durch ihre
Wellenlänge bzw. Frequenz.
Wir können hierfür
folgende Klassifizierung
vornehmen:
Der sichtbare Bereich
erstreckt sich von � = 380 nm bis 780 nm. Die kurzen Wellenlängen erscheinen dem Auge
blau, die langen Wellenlängen erscheinen rot. Streng genommen darf nur dieser Bereich als
Licht bezeichnet werden.
Im kurzwelligen Bereich schließt sich der Ultraviolettbereich UV an, der sich in UV-A, UV-
B, und UV-C aufteilt. Dieser Bereich wird bis etwa 100nm gerechnet.
Im langwelligen Bereich schließt sich
der Infrarotbereich IR an, der
wiederum in IR-A, IR-B und IR-C
unterteilt wird. Der IR-B Bereich
endet bei etwa � = 3�m, der IR-C Bereich
wird bis � = 1mm gerechnet.
Abb. 7.5
Beschäftigen wir uns zunächst mit
dem sichtbaren Licht. Dies ist die
Welt der Farben. Der Farbeindruck
entsteht natürlich erst im Auge, wenn
Licht einer bestimmten Wellenlänge
auf die Zapfen der Netzhaut fallen.
Abb. 7.6
Die drei Sorten von Zapfen reagieren
sehr wellenlängenspezifisch auf die Farben Rot, Grün und Blau. Diese Empfindlichkeit der
Augen hängt natürlich evolutionsbedingt sehr eng zusammen mit der Verteilung der
Sonnenstrahlung. Diese hat entsprechend dem Plankschen Strahlungsgesetz ihr Maximum

Seite 138 Technische Physik 2. September 2005
gerade im sichtbaren Bereich, woraus sich eine Oberflächentemperatur der Sonne von etwa
6000K errechnet.
Wir wollen jetzt untersuchen, warum uns ein Körper in einer bestimmten Farbe erscheint.
a) Die Farben undurchsichtiger Körper
Experiment 7.8: farbiges Papier im Spektrum
Wir erkennen, dass farbiges Papier bevorzugt die Spektralfarben reflektiert, die wir als seine
Körperfarbe ansehen. Im Licht anderer Spektralfarben erscheint uns der Körper schwarz.
Undurchsichtige farbige Körper reflektieren nur einige Spektralfarben. Sie erscheinen
uns in der Mischfarbe des reflektierten Lichtes.
Ein Körper, der alle Spektralfarben gleich gut reflektiert, erscheint uns im weißen Licht grau,
in rotem Licht rötlich und im blauen Licht bläulich.
b) Die Farben durchsichtiger Körper
Experiment 7.9: Zerlegung des von einem farbigen Glas durchgelassenen Lichtes mit einem
Prisma
Wir erkennen, dass ein durchsichtiger Körper nur einige Spektralfarben durchlässt.
Durchsichtige farbige Körper lassen nur einige Spektralfarben durch. Sie erscheinen
uns in der Mischfarbe des durchgelassenen Lichtes.
Experiment 7.10: Vergleich der Spektralzerlegung hinter einem (gelben) Farbfilter und einem
gleichfarbigem Glas
Wir erkennen, dass ein Farbfilter nur eine Spektralfarbe hindurch lässt, während ein
gleichfarbiges Glas in der Regel mehrere Spektralfarben hindurch lässt und uns in der
Mischfarbe erscheint.
Beide Effekte treten in der Regel gemeinsam auf. Beleuchten wir ein Rotfilter von hinten, so
erscheint uns das durchgelassene Licht rot, beleuchten wir dagegen das Filter von vorn, so
erscheint uns das reflektierte Licht grün.
Experiment 7.11: rotes Interferenzfilter im reflektierten und durchgehenden Licht
Im allgemeinen wird immer ein Teil des Lichtes an der Oberfläche eines Körpers reflektiert,
der Rest dringt in den Körper ein. Hier wird wieder ein bestimmter Anteil des Lichtes

2. September 2005 Technische Physik Seite 139
absorbiert. Der verbleibende Rest durchdringt den Körper (er wird transmittiert).
Video Nr.25: Absorption von Licht
Es gibt weitere Möglichkeit, Farberscheinungen hervorzurufen. Eine haben wir schon bei der
Behandlung des Regenbogens kennen gelernt. Hier liegt wieder die Dispersion der
Lichtbrechung zu Grunde, die wir auch vom Prisma kennen. In der Atmosphäre der Erde
beobachten wir aber noch einen anderen Farbeffekt:
Video Nr. 26: Streuung von weißem Licht in Milchwasser
Lassen wir das Licht durch ein Wasserbecken laufen, so können wir den Lichtstrahl von der
Seite her praktisch nicht erkennen. Geben wir einige Tropfen Milch ins Wasser, so wird der
Strahl aber sofort sichtbar. Diesen Effekt bezeichnen wir als Lichtstreuung. Die Streuung ist
dabei eine Kombination von Lichtabsorption und Lichtaussendung durch die kleinen
Teilchen.
Dieser Streuung verdanken wir unser Tageslicht. Die zahlreichen Luftteilchen streuen das
Licht der Sonne so, dass es von allen Seiten her zur Erdoberfläche gelangt. Ohne Atmosphäre
wäre der Himmel schwarz und man könnte die Sterne sehen. Dies ist ab 16000m Höhe der
Fall, da hier die Atmosphäre so dünn ist, dass nahezu keine Streuung stattfindet. Auch auf
dem Mond beobachtet man dieses Verhalten. Hier kommt hinzu, dass alle Schattenbereiche,
die nicht direkt von der Sonne beschienen werden, absolut dunkel sind.
Weiter finden wir, dass das seitlich austretende Licht bläulich erscheint, während das Licht in
Durchsicht rötlich erscheint. Dies zeigt, dass das blaue Licht stärker der Streuung unterliegt
4
als das rote Licht (ähnlich wie bei der Brechung)(� 1/� ). Dadurch enthält das seitlich
gestreute Licht vermehrt Blauanteile, die im durchgehenden Licht dann fehlen.
Auch dieses Verhalten spiegelt sich in der Atmosphäre wider. In einiger Entfernung vom
Sonnenstand erscheint uns der Himmel blau. Dieses Licht ist einer starken Streuung
ausgesetzt, damit es unser Auge erreichen kann und die Rotanteile fehlen daher. Geht die
Sonne unter, so muss das Licht einen größeren Weg durch die Atmosphäre zurücklegen. Der
blaue Lichtanteil wird dabei sehr stark zur Seite gestreut und die Sonne erscheint uns zunächst
gelb, dann orange und zuletzt tiefrot. Gleiches gilt auch für den Sonnenaufgang. Hieraus
ergibt sich das Abend- und das Morgenrot.
Mit Hilfe des Spektrums können wir auch verschiedene Lichtquellen untersuchen und
charakterisieren. Hierfür schaffen wir uns zunächst ein verbessertes Spektrometer nach
Fraunhofer:
Ein sehr schmaler Spalt wird mit Hilfe von zwei Sammellinsen auf einen Schirm abgebildet.
Dazu macht man das Licht des Spaltes mit der ersten Linse parallel und fokussiert dieses
Licht mit der zweiten Linse wieder auf den Schirm.

Seite 140 Technische Physik 2. September 2005
Im Bereich des Parallelstrahls wird
ein Prisma untergebracht, welches
das Spektrum erzeugt. Hierdurch
erzielt man ein sehr scharfes
Spektrum, bei dem jeder
Wellenlänge ein genau definierter
Ort auf dem Schirm zukommt.
Experiment 7.12: Spektrometer mit
Glühlampe und Hg-Lampe
Das Experiment zeigt, dass die
Glühlampe ein kontinuierliches Spektrum erzeugt. D.h. alle Spektralfarben sind im
Spektrum enthalten. Ein solches Spektrum erhält man immer, wenn man glühende Körper
betrachtet, d.h. eine Strahlung auf Grund der hohen Temperatur abgegeben wird. Diese
Strahlung hatten wir im Rahmen der Wärmelehre als Wärmestrahlung kennen gelernt und sie
nach dem Plankschen Strahlungsgesetz berechnet. Alle Wellenlängen sind hier mit
verschiedenen Intensitäten vertreten.
Betrachten wir das Spektrum der Quecksilberdampf-Lampe, so finden wir an Stelle des
kontinuierlichen Spektrum nur einzelne Linien. Wir sprechen daher von einem
Linienspektrum und hier insbesondere von einem Emissions-Linienspektrum. Ein
derartiges Licht entsteht immer dann, wenn Gase zum Leuchten angeregt werden. Wir werden
im Rahmen der Atomphysik sehen, dass hierbei Elektronen von einer Schale auf eine höhere
gehoben werden und beim Rückfall Licht einer genau festliegenden Wellenlänge aussenden.
Diese Linien sind charakteristisch für das verwendete Gas und somit können gasförmige
Stoffe anhand dieser Linien identifiziert werden:
Experiment 7.13: Demonstration verschiedener Emissionsspektren
Neben diesen Emissionsspektren existieren auch noch Absorptionsspektren. Diese entstehen
dann, wenn das Licht, bevor es auf das Prisma fällt, andere Stoffe durchdringt.
Experiment 7.14: Absorptionsspektren mit farbigen Gläsern und Flüssigkeiten
Auch hier sind die Absorptionsbereiche typisch für die untersuchten Materialien und können
wieder zur Charakterisierung verwendet werden. Insbesondere lassen sich auch Filter, die nur
einen bestimmten Wellenlängenbereich durchlassen sollen, untersuchen.
Besondere Bedeutung haben die Absorptions-Linienspektren.
Derartige Absorptionslinien wurden zuerst von Fraunhofer bei der Untersuchung des
Sonnenlichtes gefunden:
Experiment 7.15: Sonnenspektrum mit Fraunhoferlinien
Abb. 7.7

2. September 2005 Technische Physik Seite 141
Nach ihm werden diese Linien auch Fraunhofersche Linien genannt. Heute sind über 20000
solcher Linien im Sonnenspektrum bekannt (Fraunhofer hatte 567 gefunden). Auch diese
Linien stehen für die Absorption des Sonnenlichtes durch ein bestimmtes chemisches Element
in der Sonnenatmosphäre. An Hand dieser Linien kann man folglich eine chemische Analyse
der Sonne vornehmen. Auch das Licht ferner Sterne lässt sich auf diese Weise untersuchen.
Hierbei stellt man fest, dass überall die gleichen chemischen Elemente vertreten sind. Des
weiteren findet man bei fernen Sternen eine Verschiebung dieser Linien zum langwelligen
Bereich, die sogenannte Rotverschiebung infolge des Doppler-Effektes.
Die Untersuchung der Spektren hat gezeigt, dass farbiges Licht durch Emission und
Überlagerung von Spektralfarben entstehen kann, andererseits können Farben aber auch
entstehen, wenn durch Absorption Teile des Spektrums entfernt werden. Wir unterscheiden
daher zwei grundsätzliche Möglichkeiten der Farbmischung, die additive und die subtraktive
Farbmischung.
a) additive Farbmischung
Um 1800 machte der englische Arzt Thomas Young die Entdeckung, dass alle Farbeindrücke
durch die Mischung von drei farbigen Strahlenbündeln hervorgerufen werden können. Als
Grundfarben (Grundlichter) werden hierbei in der Regel Rot, Grün und Blau verwendet. Dies
deckt sich mit den Empfindlichkeiten der drei Zapfenarten im Auge. Es sind aber auch andere
Farbkombinationen denkbar.
Experiment 7.16: Dreifarbenversuch
Wir erkennen, wo rotes und grünes Licht gemischt werden entsteht gelbes Licht, Rot und Blau
liefert Purpur, Grün und Blau ergibt Grün-Blau (Magenta). Alle drei Grundlichter zusammen
ergeben den Eindruck von weißem Licht. Ändert man die Intensitäten der einzelnen Farben,
so entstehen weitere Mischfarben. Auf dieser Basis arbeiten heute alle Farbbildschirme,
sowohl beim Fernsehen, wie auch beim Computer. Hier werden rote, grüne und blaue
Leuchtfarben durch Elektronenstrahlen zum leuchten angeregt. Die verschiedenen Farbpunkte
stehen dabei so nahe zusammen, dass sie für das Auge nicht mehr trennbar sind.
Experiment 7.17: Bildschirm mit Lupe betrachtet
b) subtraktive Farbmischung
Ein gelbes Glas lässt die Farben Rot, Gelb und Grün hindurch dringen. Ein blaues Glas
dagegen die Farben Grün, Blau und Violett. Lassen wir das Licht durch beide Gläser fallen, so
finden wir nur noch die Farbe, die von beiden Gläsern durchgelassen wird, nämlich Grün:
Experiment 7.18: Subtraktive Farbmischung mit gelbem und blauem Glas
Dieses Verhalten kennen wir auch vom Farbmischen im Tuschekasten. Auch hier kann man
die grüne Farbe herstellen durch Vermischen von blauer und gelber Farbe.

Seite 142 Technische Physik 2. September 2005
Experiment 7.19: Vermischen von gelber und blauer Kreide
Hier liegt die Ursache daran, dass die gelben Farbstoffe rotes, gelbes und grünes Licht
reflektieren, blaues und violettes Licht aber absorbieren. Der blaue Farbstoff dagegen
reflektiert grünes, blaues und violettes Licht, absorbiert aber gelbes und rotes Licht. In einer
Mischung wird daher nur noch das grüne Licht reflektiert.
Man kann zeigen, dass mit Hilfe der drei Grundfarben Gelb, Purpur und Blaugrün durch
subtraktive Farbmischung alle Farbeindrücke für das Auge erzeugt werden können.
Experiment 7.20: Subtraktive Farbmischung mit drei Filtern
Eine Überlagerung aller drei Farben führt in der subtraktiven Farbmischung zum Farbeindruck
schwarz, d.h. es wird kein Licht mehr hindurch gelassen bzw. reflektiert. Dieses Verfahren
findet Anwendung bei den Farbdias, wo drei Filterschichten dieser Grundfarben existieren
und so jede Farbe im Durchlicht erzeugen. Ebenso wichtig ist die subtraktive Farbmischung
bei den Farbdrucken, die dann auf der Reflexion der nicht absorbierten Restkomponente
beruht.
Abschließend wollen wir uns noch mit den beiden Randbereichen des sichtbaren Bereiches
befassen:
a) Infrarotstrahlung
Die Infrarotstrahlung ist der langwelligere Bereich der Strahlung, wenn wir vom Licht
ausgehen. Wir wissen aus der Wärmelehre, dass ein Körper mit einer bestimmten Temperatur
eine Strahlung nach dem Plankschen Strahlungsgesetz aussendet. Ist die Temperatur zu
gering, erhalten wir im Bereich des sichtbaren Lichtes noch keine wesentliche Emission. Das
Maximum der Strahlung liegt dann im Infrarotbereich. Sie macht sich für uns Menschen nur
in Form einer Erwärmung der Umgebung bemerkbar. Daher sprechen wir bei dieser infraroten
Strahlung auch von
Wärmestrahlung.
Man kann die Infrarotstrahlung
aber auch für optische
Anwendungen einsetzen. Das bekannteste
Beispiel ist die
Infrarotkamera. Hier werden
Halbleiterchips verwendet, die
nicht im sichtbaren Bereich
sondern im Infrarotbereich auf die
Strahlung reagieren. Man erhält so
ein Wärmebild der Umgebung,
kann also Temperaturunterschiede
Abb. 7.8

2. September 2005 Technische Physik Seite 143
aufdecken, die sich als Helligkeitsunterschiede im Wärmebild bemerkbar machen.
Video Nr. 27: Bilder mit Infrarotkamera
Die Infrarotstrahlung hat auch für das
ökologische Gleichgewicht auf der Erde
einen entscheidenden Einfluss. Das
Temperaturgleichgewicht entsteht dadurch,
dass von der Sonne Strahlung auf die Erde
kommt, die ihr Maximum bei etwa 550nm
hat und damit einer Temperatur von 6000K
entspricht. Die Erde strahlt diese Energie
wieder in den Weltraum ab, aber mit einer
wesentlich geringeren Wellenlänge, da die
mittlere Temperatur der Erde etwa 300K entspricht.
Die Abstrahlung erfolgt also im
Abb. 7.9
Infrarotbereich. Wird diese Abstrahlung
verändert, so ergeben sich Temperaturänderungen. In einer klaren Nacht wird daher sehr viel
mehr Wärme abgestrahlt als bei einem bewölkten Himmel. Dies macht sich direkt in der
Lufttemperatur bemerkbar (kalte Wüstennächte). Aber auch bestimmte Gase in der
Atmosphäre können dieses Abstrahlungsgleichgewicht stören. So reflektiert das Molekül CO2
bevorzugt die Infrarotstrahlung zur Erde zurück, sie kann nicht in den Weltraum entweichen.
Durch alle Verbrennungsvorgänge wird der CO2-Gehalt in der Atmosphäre gesteigert, so dass
damit zu rechnen ist, dass die mittlere Temperatur der Erde ansteigt. Dies bezeichnet man als
Treibhauseffekt, da dieses Verhalten auch bei Treibhäusern gefunden wird. Nur ist es hier
nicht das CO 2,
sondern das normale Glas, welches das sichtbare Licht zwar eintreten, die
Infrarotstrahlung aber nicht austreten lässt.
Video Nr. 28, 29: Treibhauseffekt, Modellrechnung zum Treibhauseffekt
b) Ultraviolettstrahlung
Da die Energie einer Welle mit zunehmender Frequenz anwächst und, wie wir später sehen
werden, für Licht direkt der Frequenz proportional ist, stellt die ultraviolette Strahlung eine
sehr energiereiche Strahlung dar. Dies hat eine Reihe von Auswirkungen und Anwendungen:
1. Wärmewirkung
Auch mit dieser Strahlung kann man natürlich Wärmewirkungen erzielen, die sich
durch Temperatursteigerungen nachweisen lassen.
2. Photochemische Wirkung
Schon im 18Jhd. erkannte man, dass die UV-Strahlung chemische Reaktionen
einleiten kann. So werden Silbernitratsalze durch die Strahlung zur Reduktion

Seite 144 Technische Physik 2. September 2005
angeregt. Dies äußert sich dann in einer Schwärzung der Salze, die proportional zur
Strahlungsintensität ist. Hieraus entwickelte sich die gesamte Photographie. Außerdem
kann man dieses Verfahren verwenden um die Spektren im UV-Bereich zu
untersuchen.
3. Fluoreszenz
Experiment 7.21: Fluoreszenzwirkung
Bei der Fluoreszenz beobachtet man, dass
der Stoff, der mit ultraviolettem Licht
bestrahlt wird, im sichtbaren Bereich zu
leuchten beginnt, d.h. er sendet selbst eine
Strahlung aus. Hintergrund hierfür ist,
dass die Atome durch die UV-Strahlung
angeregt werden, diese Anregungsenergie
aber in mehreren Schritten wieder
abgeben. Dadurch besitzt das abgestrahlte
Licht eine niedrigere Frequenz (�
Abb. 7.10
Energie) und eine höhere Wellenlänge.
Fluoreszenzstoffe sind quasi Wellenlängentransformatoren. Dieses Verfahren wird
z.B. bei den Leuchtstoffröhren ausgenutzt, wo der Leuchtstoff, der sich auf der
Innenfläche des Glasrohres befindet, durch eine Gasentladung zur Fluoreszenz
angeregt wird. Eine andere Anwendung sind die Weißmacher in den Waschmitteln,
die unter UV-Strahlung aufleuchten und so die Wäsche weißer erscheinen lassen:
Experiment 7.22: Weißmacher im UV-Licht, verschiedene Waschmittel
4. Phosphoreszenz
Experiment 7.23: Phosphoreszenz mit UV-Strahlung
Die Phosphoreszenz unterscheidet sich von der Fluoreszenz dadurch, dass auch nach
Abschalten der UV-Strahlungsquelle der bestrahlte Stoff weiterhin leuchtet. Dies
bedeutet, hier wird Energie im Stoff gespeichert und erst nach und nach abgegeben.
Diese Energie wird in angeregten Atomen gespeichert, diese Anregungen können über
Stunden aufrecht erhalten werden. Als Anwendungen dieser Stoffe sind insbesondere
die Leuchtziffern von Uhren zu nennen. Aber auch bei vielen Spielzeugen wird dieser
Effekt ausgenutzt um im Dunkeln Geistereffekte zu erzeugen.
5. Biologische Wirkung
Infolge der hohen Energien können UV-Strahlungen auch Moleküle aufbrechen. Dies
ist insbesondere bei biologischen Geweben gefährlich, da das Gewebe hierbei zerstört
wird. Eine zu intensive Bestrahlung mit UV-Stahlen führt zu einer Verbrennung der

2. September 2005 Technische Physik Seite 145
Haut (Sonnenbrand). Bei geringerer Strahlendosis baut die Haut dagegen einen
Schutzmantel auf. Es wird ein Farbstoff produziert, der die UV-Strahlung in den
obersten Hautschichten absorbiert und nicht in das tiefer gelegene Gewebe dringen
lässt, die Haut bräunt sich. Diese Möglichkeit ist dem Auge nicht gegeben. Daher
muss es durch Sonnenbrillen, die das UV-Licht nicht durchlassen, geschützt werden.
In der Regel reicht hier schon normales Fensterglas, da dieses keine UV-Strahlung
durch lässt. Anders sieht es bei Kunststoffgläsern aus. Diese haben keine
Sperrwirkung im UV-Bereich und müssen daher mit Filterschichten belegt werden.
Der Abdunkelungsgrad der Gläser ist dabei kein Hinweis auf die Absorption der UV-
Strahlung. Gute Sonnenbrillen lassen erst ab etwa 380-400nm die Sonnenstrahlung
hindurch. Da Autoscheiben und Fensterscheiben keine UV-Strahlung durchtreten
lassen, kann man sich folglich auch nicht bräunen hinter diesen Scheiben.
Eine biologische Wirkung der UV-Strahlung ist auch die Zersetzung von Farbstoffen
in Textilien und Bildern. Dies hat man früher zum Bleichen der Wäsche ausgenutzt. In
Museen sind durch das UV-Licht der verwendeten Leuchtstoffröhren sehr viele
Kunstwerke geschädigt worden bevor man den Zusammenhang erkannte.
Video Nr. 30: Farbzerstörung durch UV-Licht
Auch die UV-Strahlung spielt im Ökosystem der Erde eine große Rolle. Durch ihre
biologische Wirkung hätte sie die Entstehung des Lebens vermutlich in ganz andere
Bahnen gelenkt oder sogar verhindert. Zum Glück besitzt die Erde in der Atmosphäre
eine Filterschicht, die nur noch einen Bruchteil der UV-Strahlung der Sonne durch
lässt. Diese Filterschicht wird durch das Molekül Ozon gebildet und heißt daher
Ozonschicht. In den letzten Jahren hat man nun festgestellt, dass diese Ozonschicht
insbesondere über den Polen der Erde geschwächt wird. Die Ursache hierfür sind
insbesondere der starke Gebrauch von chlorierten Kohlenwasserstoffen als Treibgase
in Sprühdosen, als Kältemittel in Kühlschränken oder als Reinigungsmittel in der
Industrie (Frigen). Diese geschwächten Bereiche der Ozonschicht (Ozonlöcher) lassen
vermehrt UV-Strahlung auf die Erde treffen und es ist mit stärkeren biologischen
Schädigungen zu rechnen (z.B. Hautkrebs). Da die Abbauzeit dieser chlorierten
Kohlenwasserstoffe in der oberen Atmosphäre mehrere Jahrzehnte beträgt, ist trotz
weltweiter Reduktion der Produktion dieser Stoffe nicht mit einer Verringerung des
Gefahrenpotentials in den nächsten Jahren zu rechnen.
7.2 Die Interferenz des Lichtes
7.2.1 Kohärenz
Über die Überlagerung von Wellen hatten wir schon ganz allgemein gesprochen. Dabei hatten
wir festgestellt, dass sich die lokalen Amplituden zweier Wellen zu einer resultierenden Welle
addieren. Besitzen beide Wellen die gleiche Frequenz, so kann es zur Auslöschung

Seite 146 Technische Physik 2. September 2005
(destruktive Interferenz) oder Verstärkung (konstruktive Interferenz) der Wellen
kommen. Will man die Interferenz von Licht untersuchen, so stellt man bei Verwendung von
zwei Lichtquellen zunächst keine Interferenzerscheinungen fest:
Experiment 7.24: Überlagerung zweier Lichtquellen
Erzeugt man dagegen mit Hilfe von mehreren Spalte aus einer Lichtquelle mehrere virtuelle
Lichtquellen, so beobachtet man auf dem Schirm konstruktive und insbesondere destruktive
Interferenz:
Experiment 7.25: Interferenz mit Hilfe von weißem Licht und einem Gitter
Wie kommt es zu diesem Unterschied der Ergebnisse?
Die Ursache hierfür ist in der
Erzeugung des Lichtes in der
Lichtquelle zu suchen. Ein einzelnes
Atom der Lichtquelle sendet Licht in
Form eines Photons aus. Dieser
Aussendeprozess verläuft ungesteuert
und zufällig. Er ist auch nach sehr
-10
kurzer Zeit ( 10 s) abgeschlossen.
Hieraus folgt, dass man einer
Lichtwelle etwa eine Wellenzuglänge
von � = c/�t = 3cm zuschreiben
kann.
Überlagert man jetzt zwei solche
Abb. 7.11
Wellenzüge von unabhängigen Lichtquellen, so kommt es nur sehr kurzzeitig zu einer
-10
Interferenz ( 10 s). Danach überlagern sich andere Wellenzüge mit einer anderen
Phasenbeziehung zueinander. Die Interferenzerscheinung wechselt also ständig und wir
erhalten nur den Mittelwert als Helligkeit.
In der zweiten Versuchsanordnung werden dagegen aus jedem Photon, welches sich ja als
Kugelwelle ausbreitet, mit Hilfe der Spalte zwei gleichartige Wellenzüge gemacht, die in
einem Punkt zur Interferenz gebracht werden. Da hierbei jede Welle mit sich selbst zur
Interferenz gebracht wird, entsteht auch immer ein Interferenzmuster. Beide Wellenzüge
haben stets eine feste Phasenbeziehung zueinander.
Zwei (virtuelle) Lichtquellen, die auf diese Weise zur Interferenz gebracht werden können,
nennt man kohärente Lichtquellen. Die Länge des Wellenzuges, die zur Interferenz zur
Verfügung steht nennt man daher die Kohärenzlänge des Lichtes, da nur dann eine
Interferenz möglich ist, wenn der Wegunterschied kleiner als die Kohärenzlänge ist.
Experiment 7.26: Laser mit Doppelspalt (0,1/0,3mm)

2. September 2005 Technische Physik Seite 147
Wir wollen die auf dem Schirm
entstehenden
Interferenzerscheinungen näher
untersuchen. Dafür ersetzen wir
die Spalte durch zwei kohärente
Lichtquellen und betrachten das
Interferenzmuster auf einem
Schirm im Abstand a.
Im Abstand d vom Zentrum sei
der m-te helle Streifen zu finden
(m. Ordnung). Dann gilt für den
Wegunterschied zwischen den
beiden Lichtstrahlen:
Weiter gilt nach Pythagoras:
Da der Schirmabstand a im Vergleich zu d und � sehr groß ist, können wir in sehr guter
Näherung x + y = 2a setzen. Damit folgt:
Diese Gleichung lässt sich jetzt verwenden, um die Wellenlänge des Lichtes zu bestimmen:
Da die Lage der Beugungsmaxima von der Wellenlänge und damit von der Farbe des Lichtes
abhängt, erhalten wir bei Verwendung von weißem Licht sehr farbige Interferenzstreifen. Wir
sprechen hierbei von Interferenzfarben, da sich hier die Maxima verschiedener Farben
überlagern können (Mischfarben). Nur bei den ersten Ordnungen treten Spektralfarben auf.
7.2.2 Interferenz an planparallelen Platten
Abb. 7.12
Auch mit Hilfe einer planparallelen Platte können wir uns kohärente Lichtquellen schaffen.
Hierbei verwenden wir die an den beiden verschiedenen Grenzflächen reflektierten Lichtstrahlen.
Der Einfachheit halber betrachten wir nur den senkrechten Lichteinfall.
(7.1)

Seite 148 Technische Physik 2. September 2005
Wir erhalten zunächst beim Übergang
von der Luft ins Glas eine Reflexion 1'
sowie eine Brechung 2. Der gebrochene
Strahl wird dann beim Übergang Glas-
Luft erneut reflektiert 2' und gebrochen
3. Dieser Vorgang kann sich mehrfach
wiederholen. Bei der Reflexion am Luft-
Glas-Übergang tritt dabei zusätzlich ein
Phasensprung um �/2 auf, da hier eine
Reflexion am festen Ende (optisch
dichteres Medium) vorliegt.
Betrachten wir das reflektierte Licht im
Punkt P, so finden wir zwischen den
benachbarten Strahlen einen Wegunterschied von:
Hierbei haben wir den Weg im Glas um den Faktor n vergrößert, da das Licht sich hier mit
geringerer Geschwindigkeit ausbreitet. Dies können wir berücksichtigen, indem wir vom
wahren Weg d auf den optischen Weg d’ übergehen: d' = n � d.
Beträgt dieser Gangunterschied ganzzahlige Vielfache von � (� = m��), so erhalten wir im
Punkt P Helligkeit, bei ungeradzahligen Vielfachen von �/2 (� = (2m+1)��/2) erhalten wir
Dunkelheit.
Betrachten wir dagegen das durchgehende Licht, so tritt bei keiner Reflexion ein
Phasensprung auf. Hierfür gilt folglich:
Dies bedeutet, beobachten wir in P Auslöschung (Dunkelheit) so erhalten wir in Q
Verstärkung (Helligkeit) und umgekehrt.
Wie beim Doppelspaltversuch hängen die Auslöschungen und Verstärkungen wieder von der
Wellenlänge des Lichtes ab. Verwenden wir weißes Licht, so werden wir folglich farbige
Interferenzmuster erhalten. Ein deutliches Beispiel für diese farbigen Interferenzmuster bietet
eine Seifenblase:
Experiment 7.27: Interferenz an einer Seifenblase
Abb. 7.13
Schon Newton vermutete, dass dieser Effekt mit der Reflexion an der Innen- und Außenseite
der Seifenblase zusammen hängt.
(7.2)
(7.3)

2. September 2005 Technische Physik Seite 149
Welche Mindestdicke benötigt eine solche Seifenblase, damit diese Interferenzen auftreten?
Setzen wir in (7.2) � = 3/2 � an, so ergibt sich d�n = �/2. Da die mittlere Wellenlänge des
sichtbaren Lichtes etwa 500 nm beträgt, erhalten wir eine Mindestdicke der Seifenblase von
200 nm (n = 1,33). Wodurch ist die maximale Dicke der Seifenblase gegeben? Die
Farbstreifen auf der Seifenblase sind im allgemeinen sehr breit. Dies bedeutet, es liegen nur
Interferenzen niederer Ordnung vor. Die Dicke einer Seifenblase liegt folglich in der
Größenordnung der Lichtwellenlänge.
Auch Ölfilme auf Wasseroberflächen liefern diese farbigen Streifenmuster. Wir beobachten
ebenfalls Streifenbreiten von einigen mm bis zu cm. Dies deutet ebenfalls darauf hin, dass
diese Ölfilme eine Dicke von etwa der Lichtwellenlänge besitzen.
Eine wichtige technische Anwendung dieses Verfahrens ist die Vergütung von Linsen zur
Verminderung der Reflexionen (Entspiegelung).
Dazu wird auf die Oberfläche der Linse
eine dünne Schicht aufgebracht. Damit an
beiden Grenzflächen der Schicht eine
Reflexion stattfinden kann, muss der
Brechungsindex des Schichtmaterials
zwischen dem von Luft und dem von Glas
liegen. Man findet durch Intensitätsbetrachtungen
(da die beiden reflektierten
Strahlen etwa die gleiche Intensität
besitzen müssen):
(7.4)
An beiden Grenzflächen tritt jetzt ein Phasensprung auf, der sich damit aufhebt. Für den
senkrechten Lichteinfall folgt dann in Analogie zu (7.2):
Als Dicke der Schicht für die Auslöschung mit m=0 erhalten wir damit:
Geeignete Materialien für die Beschichtung sind z.B. Kryolith (Na3AlF 6)
mit n=1,33 und
Magnesiumfluorid (MgF 2)
mit n=1,38.
Abb. 7.14
(7.5)

Seite 150 Technische Physik 2. September 2005
Natürlich kann man die Auslöschung nur für eine Wellenlänge und einen Einfallswinkel
vollständig erreichen. Mit Hilfe einer Schicht lässt sich der Anteil des reflektierten Lichtes
aber schon von etwa 8% auf 1% reduzieren. Mit Hilfe von Mehrfachschichten erreicht man
sogar 0,3% Reflexion.
Da die Schichten in der Regel für gelbes Licht ausgelegt werden (� = 550nm) erscheint das
reflektierte Licht in einer Mischung aus Blau und Rot (violette Farberscheinung). Man spricht
daher auch vom Blaubelag auf den Linsen und erkennt die Linsenvergütung an dieser
Farbwirkung. Oft spricht man auch von �/4-Schichten, da die Dicke der Schicht etwa �/4
beträgt.
Beispiel: Wie dick muss die Entspiegelungsschicht aus Magnesiumfluorid für �=550nm sein?
Lösung:
Beispiel: Entspiegelung von Silizium-Solarzellen
n Si = 3,5 � hohe Reflexion von ca. 30%;
es werden verschiedene Antireflexschichten verwendet: SiO 2 n = 1,45
(Sollwert: �3,5 = 1,87) Si3N 4 n = 2,0
TiO 2 n = 2,5 - 2,7
Die Schichtdicken sind auf den nahen Infrarotbereich (800 - 1000 nm) abgestimmt, da das
Silizium hier am empfindlichsten ist. Rot wird daher nur schwach reflektiert und die Schicht
erscheint dem Betrachter bläulich.
7.3 Die Beugung des Lichtes
Die Beugung als allgemeines Wellenphänomen hatten wir schon bei den Wasserwellen
beschrieben.
Experiment 7.28: Computersimulation, Medium 2D: Beugung von Wellen an einer Kante
Geht man davon aus, dass Licht ebenfalls eine Wellenerscheinung ist, so sollte auch hier die
Beugung zu beobachten sein. Machen wir dazu einige Experimente:
Experiment 7.29: Beugung an einem veränderlichen Spalt
Das Experiment zeigt, solange der Spalt einen Durchmesser im Millimeterbereich hat, wird er
durch das monochromatische Licht entsprechend den Vorhersagen der geometrischen Optik
auf dem Schirm abgebildet. Wird der Spalt schmaler, so wird das Spaltbild zunächst

2. September 2005 Technische Physik Seite 151
unschärfer, schließlich treten neben dem Spaltbild helle Streifen hervor. Diese werden um so
intensiver und häufiger, je enger der Spalt wird. Dieses Verhalten ist mit der geometrischen
Optik nicht mehr erklärbar.
Auch an anderen Gegenständen finden wir beim genauen Hinsehen solche Beugungseffekte:
Experiment 7.30: Beugung an der Kante, Draht und Spalt mit Laser
Zur Erklärung dieses Phänomens betrachten wir einen Spalt der Breite d, welcher mit
parallelem Licht beleuchtet wird.
Nach dem Huyghenschen Prinzip können wir uns jeden Punkt im Innern des Spaltes als Ausgangspunkt
einer Elementarwelle vorstellen. Wir müssen jetzt die Überlagerung dieser
Elementarwellen unter verschiedenen Winkeln � betrachten. Der Einfachheit halber wählen
wir zunächst spezielle Richtungen aus, die sich durch die Größe � beschreiben lassen. � ist
der Wegunterschied zwischen den beiden am weitesten auseinander liegenden Strahlen:
� = 0, sin � = �/d = 0:
Alle Elementarwellen haben in dieser
Richtung die gleiche Phase. Dies
bedeutet, sie verstärken sich und wir
beobachten auf dem Schirm Helligkeit.
� = �, sin � = �/d:
Wir teilen das Lichtbündel in Richtung �
in zwei gleichbreite Bündel ein. Zwischen
diesen beiden Bündeln besteht
jetzt ein Wegunterschied von �/2, d.h.
für jeden Lichtstrahl aus dem einen
Abb. 7.15
Bündel finde ich im anderen Bündel
einen Lichtstrahl der um �/2 verschoben ist. Damit müssen sich beide Bündel auslöschen. In
Richtung � herrscht damit Dunkelheit.
� = m��, sin � = m��/d:
Wir teilen das Bündel in 2m Bündel auf. Für jeweils zwei benachbarte Bündel gilt dann das
oben gesagte. Wir erhalten in dieser Richtung Dunkelheit.
� = 3/2��, sin � = 3�/2d:
Wir teilen das Bündel in drei gleiche Bündel auf. Zwischen zwei benachbarten Bündeln ist der
Gangunterschied dann wieder �/2. Zwei der drei Bündel löschen sich daher aus. Das dritte
bleibt übrig. In dieser Richtung erhalten wir folglich eine gewisse Lichtintensität und damit
Helligkeit.

Seite 152 Technische Physik 2. September 2005
� = (2m+1)��/2,
sin � = (2m+1)��/2d:
Wir teilen wieder in 2m+1 Bündel auf. für
zwei benachbarte gilt das oben gesagte.
Ein Bündel bleibt stets übrig und wir
erhalten Helligkeit in dieser Richtung.
Allgemein gilt somit:
Dazu kommt der Winkel � = 0 für die zentrale Helligkeit.
Experiment 7.31: Computersimulation Albert, Beugung am Gitter (Einfachspalt, reales Gitter,
� = 0,25, d = 0,8)
Wir erhalten über dem Winkel �
also die nebenstehende Verteilung
der Intensität. Je kleiner d wird, um
so größer wird der Winkel � für das
erste Minimum. Bei d = � liegt
dieser Winkel sogar bei 90�, d.h der
gesamte Bereich hinter dem Spalt
wird gleichmäßig erhellt.
Abb. 7.16
Der Spalt stellt jetzt eine Huyghensche Elementarquelle dar. Für größere Spaltbreiten sehen
wir, dass der Schatten dadurch entsteht, dass sich die einzelnen Elementarwellen nahezu vollständig
auslöschen (er hat also nichts mit der geradlinigen Ausbreitung des Lichtes zu tun).
(7.6)
Abb. 7.17
Betrachten wir in Erweiterung des Problems die Beugung an zwei Spalten der Breite d und
des Abstandes g. Jeder einzelne Spalt liefert zunächst ein Beugungsbild, wie wir es vom
Einzelspalt kennen. Da die Spaltabstände gering sind, fallen diese Bilder praktisch zusammen.

2. September 2005 Technische Physik Seite 153
Experiment 7.32: Computersimulation
Albert, Beugung am Gitter, 2-fach Spalt:
g=2,7, d=0,9
Das Experiment zeigt aber eine ganz
andere Verteilung der Intensität als am
Einfachspalt. Ursache hierfür ist, dass
zwischen beiden Spalten ebenfalls noch
eine Interferenz eintreten kann. Ist der
Gangunterschied zwischen beiden Spalten
�/2, so werden sich beide Spalte
gegenseitig auslöschen. Wir erhalten
Dunkelheit. Ist der Gangunterschied
Abb. 7.18
dagegen �, so verstärken sich beide
Spalte und wir erhalten Helligkeit. Dies gilt auch für die Vielfachen, so dass sich ergibt:
m bezeichnen wir als Beugungsordnung.
Wir erkennen an der
Intensitätsverteilung, dass durch den
zusätzlichen Spalt zusätzliche
Minima eingebracht werden. Die
verbleibenden Maxima werden dabei
heller, da keine Intensität verloren
gehen kann.
Vergrößern wir die Zahl der Spalte
weiter, so werden wir weiterhin
Helligkeit in der Richtung � entsprechend
(7.7) erhalten, da dann
Abb. 7.20
zwischen zwei benachbarten Spalten stets ein Gangunterschied von � besteht. Die in Abb.
7.20 dargestellten Maxima bleiben somit bestehen.
Experiment 7.33: Computersimulation Albert, Beugung am Gitter, 4-fach Spalt: g=2,7, d=0,9
(7.7)

Seite 154 Technische Physik 2. September 2005
Betrachten wir z.B. vier Spalte, so
werden sich bei einem Gangunterschied
von �/4, �/2 und 3�/4 jeweils zwei
Spalte gegenseitig auslöschen, so dass
hier Dunkelheit entsteht. Wir erhalten
somit 4-1 = 3 Minima zwischen den
Maxima. Dies setzt sich auch bei höherer
Spaltzahl fort. Zwischen zwei Maxima
entstehen immer n-1 Minima, wobei n
die Zahl der Spalte ist.
Damit müssen die Maxima immer
schmaler und gleichzeitig immer höher werden, denn es kann keine Intensität verloren gehen.
Bei sehr großer Spaltzahl sprechen wir
von einem Gitter, der Spaltabstand g
wird dann zur Gitterkonstanten und es
gilt:
Dabei ist n die Strichzahl je cm. Bei
einem solchen Gitter verschwinden die
Nebenmaxima vollständig und wir
beobachten nur noch die Hauptmaxima, für die dann gilt:
Experiment 7.34: Beugung am Gitter
(7.8)
Experiment 7.35: Computersimulation Albert, Beugung am Gitter, 10-fach Spalt: g=2,7,
d=0,9
Wie wir sehen, liefert das Gitter sehr scharfe Beugungsbilder des Spaltes.
Führen wir diesen Versuch mit Licht verschiedener Farbe aus, so stellt man fest, dass der
Abstand der Beugungsordnungen für rotes Licht größer ist, als für blaues Licht.
Abb. 7.20
Abb. 7.21
Entsprechend der Formel (7.9) bedeutet dies, dass das blaue Licht eine kleinere Wellenlänge
besitzt als das rote Licht. Auf diese Weise hat man zum ersten Mal den Zusammenhang
zwischen der Farbe des Lichtes und seiner Wellenlänge nachweisen können.
(7.9)

2. September 2005 Technische Physik Seite 155
Bestrahlen wir das Gitter mit weißem
Licht, so erhalten wir wieder die
Spektralfarben.
Experiment 7.36: Beugung am Gitter
mit weißem Licht
Es ergibt sich allerdings nicht nur ein
Spektrum, sondern jede
Beugungsordnung wird zu einem
Abb. 7.22
Spektrum. Wie wir in der Abb. 7.22
erkennen, überlagern sich diese unterschiedlichen Spektren. Nur die erste Beugungsordnung
erscheint noch getrennt. Im Gegensatz zum Prisma ist die Ablenkung streng der Wellenlänge
des Lichtes proportional. Beim Prisma hängt es von der speziellen Dispersion n(�)der Glassorte
ab und dieser Zusammenhang ist in der Regel nicht linear. Wir können daher mit dem
Gitter ein so genanntes Normalspektrum erzeugen. Insbesondere lassen sich hiermit die
Wellenlängen der Fraunhoferlinien im Sonnenspektrum sehr exakt bestimmen.
Experiment 7.37: Beugung an der CD
Ergebniss: Schirmabstand 2200 mm; Abstand der Beugungspunkte 1100 mm; � � = 26,6�
Bisher haben wir die Beugung nur in einer Richtung betrachten, indem wir mehrere Spalte
nebeneinander angeordnet haben. Bei einem Kreuzgitter sind jetzt zusätzlich auch noch
senkrecht dazu angeordnete Spalte vorhanden.
Experiment 7.38: Beugung am Kreuzgitter
Wie wir sehen, wird jedes der Beugungsbilder der
senkrechten Spalte jetzt durch die Beugung der
waagerechten Spalte nochmals unterteilt. An Stelle der
Striche erhalten wir so ein Punktraster. Für beide
Richtungen gilt aber weiterhin die Gleichung (7.9), jetzt
mit der jeweiligen Gitterkonstanten g 1 und g 2.
Ein Beispiel für derartige Beugungsbilder liefert uns
auch ein Regenschirm. Betrachten wir durch das
Gewebe eines Regenschirmes das Licht einer
Straßenlaterne oder die Lichter eines Autos so finden
wir sehr eindrucksvolle farbige
Beugungserscheinungen.
Abb. 7.23

Seite 156 Technische Physik 2. September 2005
Die Beugungserscheinungen sind nicht nur bei eckigen Begrenzungen anzutreffen, sondern
bei jeglicher Begrenzung des Strahlenganges.
Experiment 7.39: Beugung an der Lochblende und der Scheibenblende mit dem Laser
Die Beugungserscheinungen beim Licht sind nicht so augenfällig. Dies liegt an der Kleinheit
der Effekte, die sich hier ergeben. In der Wissenschaft und Technik hat sich in den letzten
Jahrzehnten aber ein weites Feld an Untersuchungen mit Hilfe von Beugungserscheinungen
ergeben. Hierzu zählt insbesondere die Beugung von Röntgenstrahlen an Kristallgittern, die
ähnlich abläuft wie die Beugung des Lichtes am Kreuzgitter. Hiermit war es erstmals möglich
Kristalle zu untersuchen und den Atomabstand in den Kristallen (Gitterkonstante) zu
bestimmen. Nachdem man erkannt hatte, dass auch die Elementarteilchen
Welleneigenschaften besitzen, hatte man Zugriff auf noch geringere Wellenlänge zur
Beugungsuntersuchung im atomaren Bereich.
Es gibt aber auch für die Beugungserscheinungen des Lichtes einen technisch sehr wichtigen
Bereich, nämlich die optischen Instrumente. Wie wir oben bei der Beugung an der
Kreisblende gesehen haben, treten auch an solchen Öffnungen Beugungsbilder auf. Nun stellt
jede Linse aber eine solche kreisförmige Öffnung dar. D.h. auch an den Rändern einer Linse
treten Beugungen auf.
Beleuchten wir eine Linse mit
parallelem Licht, so ergibt sich im
Brennpunkt daher ein
Beugungsscheibchen. Betrachten wir
wegen der hohen Intensität nur das
zentrale Beugungsmaximum, so finden
wir wie beim Einfachspalt für das erste
Minimum (7.6):
Abb. 7.24
(exakt gilt allerdings sin � = 1,22 �/D). Für den Radius r des zentralen Beugungsmaximums
ergibt sich dann:
(7.10)
Da jede Öffnung eines optischen Instrumentes (z.B. auch des Auges) eine Beugung bewirkt,
ergibt sich, dass optische Abbildungen nie vollständig scharf sein können. Nahe
zusammenliegende Objekte können daher auch nicht mehr getrennt gesehen werden, da sich
ihre Beugungsbilder überlagern.

2. September 2005 Technische Physik Seite 157
7.4 Die Polarisation des Lichtes
Die bisher besprochenen Effekte Brechung, Reflexion und Beugung gelten sowohl für
Transversalwellen, wie auch für Longitudinalwellen (Wasser bzw. Schall). Es war lange Zeit
unklar, ob das Licht eine transversale Welle ist oder eine longitudinale Welle. Insbesondere
sprach die Äthertheorie für longitudinale Wellen, da der Äther sehr dünn sein musste und
keine Scherkräfte übertragen konnte. Die Entdeckung der elektromagnetischen Wellen durch
Hertz führte schließlich dazu, dass man das Licht als transversale Welle erkannte.
Experiment 7.40: Aussendung und Empfang elektromagnetischer Wellen mit einem Dipol
Dies Experiment zeigt deutlich, dass die elektromagnetischen Wellen eine bevorzugte
Schwingungsrichtung besitzen, die durch ihre Erzeugung vorgegeben ist. Wir sagen, die
Welle ist polarisiert.
Wenn das Licht ebenfalls eine elektromagnetische Welle ist, dann muss auch hierfür eine
Polarisation möglich sein. Wir wollen einige Methoden hierzu kennen lernen:
a) Polarisation durch Absorption (Polarisationsfolien)
Experiment 7.41: Polarisation des Lichtes mit Hilfe von Polarisationsfolien
Diese Polarisationsfolien besitzen die gleiche Eigenschaft wie das Metallgitter, welches wir
bei den elektromagnetischen Wellen verwendet haben. Sie bestehen aus einer Kunststoffolie,
welche bei der Herstellung in einer Richtung gedehnt wurde. Dadurch erreicht man eine
lineare Anordnung der langen
Kunststoffkettenmoleküle. Taucht man
diese Folie dann in eine jodhaltige
Lösung, so lagern sich entlang der
Ketten Ionen an. Diese Ionen führen
dazu, dass die Folie bei den
Frequenzen des Lichtes entlang der
Ketten leitfähig wird. Schwingt der E-
Feld-Vektor des Lichtes parallel zu
diesen Ketten, so werden hierdurch
Ströme erzeugt und die Lichtenergie
wird über diese Ströme absorbiert.
Schwingt der E-Feld-Vektor senkrecht
Abb. 7.25
zu den Ketten, so können keine Ströme
fließen und das Licht gelangt ungehindert durch die Folie hindurch. Diese Richtung senkrecht
zu den Ketten bezeichnen wir als Transmissionsachse oder Polarisationsachse der Folie.
Das Licht einer Lichtquelle erscheint in der Regel zunächst unpolarisiert. Lassen wir es durch
ein Polarisationsfilter hindurchtreten, so wird nur die Schwingungsrichtung hindurch

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gelassen, die parallel zur Polarisationsachse liegt (dieses erste Filter wird daher auch als
Polarisator bezeichnet). Wir erhalten auf diese Weise linear polarisiertes Licht. Fällt dieses
Licht auf ein zweiten Polarisationsfilter (den so genannten Analysator), so besitzt das Licht
hinterher die Polarisationsrichtung der Analysatorachse. Die Intensität muss dabei
abgenommen haben. Dazu wird der Vektor E aufgespalten in zwei Komponenten, jeweils
senkrecht und parallel zur Analysatorachse. Es gilt dann:
Dies ist das Gesetz von Malus.
b) Polarisation durch Reflexion
Experiment 7.42: Polarisationszustand des an einer Glasplatte reflektierten Lichtes
Das Experiment zeigt, dass das reflektierte Licht teilweise polarisiert ist. Verändern wir den
Einfallswinkel des Lichtes, so finden wir bei dem verwendeten Kronglas unter dem Winkel
von � P = 57� sogar eine vollständige Polarisation des reflektierten Lichtes:
Experiment 7.43: vollständige Polarisation des reflektierten Lichtes
Das reflektierte Licht schwingt dabei senkrecht zur Reflexionsebene des Lichtes. Für den
gebrochenen Lichtstrahl finden wir dann:
Die Summe von � P und � ergibt genau 90�.
Diesen Winkel � P bezeichnet man als
Polarisationswinkel oder Brewster-
Winkel. Aus der Bedingung � P + � =
90� folgt sofort sin � = cos � P und
damit:
(7.12)
Dies ist das Brewstersche Gesetz. Aus
dem Polarisationswinkel lässt sich
folglich der Brechungsindex
bestimmen.
(7.11)
Abb. 7.26

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Stehen reflektierter und gebrochener Strahl senkrecht aufeinander, so ist der reflektierte
Strahl linear polarisiert und schwingt senkrecht zur Einfallsebene
Dieses Prinzip gilt bei allen Reflexionen an transparenten Medien. Der gebrochene Strahl, der
ins Medium eindringt, ist nur teilweise polarisiert.
Diese Polarisationserscheinung findet man auch in der Natur: Sonnenlicht, welches an einer
Wasseroberfläche reflektiert wird ist mehr oder weniger stark polarisiert. Dabei liegt die
Polarisationsrichtung parallel zur Wasseroberfläche. Trägt man eine Sonnenbrille mit einer
Polarisationsfolie (Polaroid-Brille) deren Polarisationsachse senkrecht steht, so wird dieses
reflektierte Sonnenlicht teilweise ausgeblendet. Dies nutzt man auch in der Fotografie, wo
durch Polarisationsfilter eine Kontrasterhöhung und Reflexverminderung erzielt wird.
c) Polarisation durch Streuung
Diese Polarisation tritt auch bei der Streuung des
Sonnenlichtes an Luftmolekülen auf.
Auch hier gilt, dass die Polarisation nie in
Ausbreitungsrichtung liegen kann. Daher muss
bei einer 90�-Streuung eine Polarisationsrichtung
entfallen.
Betrachtet man den Himmel mit einem
Polarisationsfilter (Polaroidbrille), so findet man
unter einem Streuwinkel von 90� zur Sonne
linear polarisiertes Licht. Diese Polarisation wird
von der Biene zur Orientierung heran gezogen.
Abb. 7.27
Aber auch eine Reihe anderer Tieren können den
Polarisationzustand des Lichtes wahrnehmen. Fotografen nutzen bei Schwarz-Weiß-
Aufnahmen Polarisationsfilter um das Blau des Himmels (Streulicht) abzudunkeln und so
einen höheren Kontrast zu den weißen Wolken zu erzeugen.
d) Polarisation durch Doppelbrechung
Bei einigen optisch transparenten Kristallen sowie einigen Kunststoffen beobachtet man das
Phänomen, dass die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes von der Richtung der
Polarisation des Lichtes abhängt. Dabei gibt es stets eine Richtung in diesem Werkstoff, in der
die Geschwindigkeit unabhängig von der Polarisation ist, in allen anderen Richtungen besteht
eine Abhängigkeit. Diese ausgezeichnete Richtung bezeichnet man als optische Achse des
Stoffes.
Bei den Kunststoffen kann man dieses Phänomen an Hand der langen Kettenmoleküle leicht

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verstehen. Breitet sich das Licht parallel zu
den Kettenmolekülen aus, so besteht kein
Grund für eine Abhängigkeit von der Lichtpolarisation.
Breitet sich das Licht dagegen
senkrecht zu den Ketten aus, so wird der
Lichtanteil, dessen Polarisation senkrecht auf
den Ketten steht durch die Ketten nicht
beeinflusst. Liegt die Polarisation dagegen
parallel zu den Ketten, so wird die
Ausbreitungsgeschwindigkeit verändert. Sie
kann größer oder kleiner werden, je nach
Werkstoff.
Bei den Kristallen wird der gleiche Effekt durch eine bestimmte Anordnung der Atome im
Kristallgitter hervorgerufen.
Diese Stoffe sind folglich durch zwei Brechungsindizes gekennzeichnet, jeweils für parallel
und senkrecht zur optischen Achse polarisiertes Licht. Den Lichtstrahl, dessen
Geschwindigkeit sich mit der Orientierung zur optischen Achse ändert nennt man den
außerordentlichen Strahl, er ist stets in der aus Einfallsrichtung und optischer Achse
gebildeten Ebene polarisiert. Der anderen Strahl bezeichnet man als ordentlichen Strahl,
seine Polarisation steht immer senkrecht zur optischen Achse. Den größten Unterschied im
Brechungsindex findet man für Kalkspat: ordentlicher Strahl (o) n = 1,658, außerordentlicher
Strahl (ao) n = 1,486.
Experiment 7.45: Doppelbrechung bei Kalkspat
Anwendungen:
i. �/4-Plättchen
Schneiden wir aus dem Kalkspat-Kristall ein Plättchen der Dicke d so heraus, dass das Licht
senkrecht zur optischen Achse auftrifft(Abb. 7.32), so breiten sich ordentlicher und
außerordentlicher Strahl unterschiedlich schnell aus. Nach dem Durchtritt durch den Kristall
besitzen beide einen Phasenunterschied von
Die Dicke d wird jetzt so eingestellt, dass der Phasenunterschied genau �/4 beträgt. Lässt man
jetzt linear polarisiertes Licht unter einem Winkel von 45� zur optischen Achse auftreffen, so
erhalten wir einen ordentlichen und einen außerordentlichen Strahl gleicher Intensität. Hinter
dem Plättchen besitzen beide einen Gangunterschied von �/4. Dies bedeutet aber, dass wir
hiermit aus dem linear polarisierten Licht zirkular polarisiertes Licht erzeugen.
Experiment 7.46: Erzeugung von zirkular polarisiertem Licht mit einem �/4-Plättchen
Abb. 7.28

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Dieses Plättchen wird als �/4-Plättchen
bezeichnet. Umgekehrt können wir hiermit
aus zirkular polarisiertem Licht
wieder linear polarisiertes Licht machen:
ii) Spannungsoptik
Experiment 7.47:
Spannungsdoppelbrechung an verschiedenen
Modellen
Bringt man ein transparentes Werkstück aus Glas oder Plexiglas zwischen zwei gekreuzte
Polarisatoren, so bleibt der Schirm zunächst dunkel. Üben wir jetzt eine Kraft auf das Werkstück
aus, so erscheinen uns die
Bereiche der stärksten Belastung
plötzlich farbig auf dem Schirm.
Ursache ist eine Doppelbrechung
des Materials durch die inneren
mechanischen Spannungen. Diese
können hiermit folglich sichtbar
gemacht werden und entsprechend
bewertet werden. Auf diese Weise
können komplizierte Geometrien
Abb. 7.30
und Belastungsfälle untersucht und
optimiert werden.
Heute ist man allerdings auch in der Lage diese inneren Spannungen mit Hilfe aufwendiger
Computer-Programme zu berechnen. Dies wird als "finite Elemente Berechnung" bezeichnet.
Zur Kontrolle der Rechnungsergebnisse sind aber diese optischen Darstellungen wieder sehr
hilfreich.
iii) elektrooptische Schalter
Bei einigen Flüssigkeiten und
einigen speziellen Kristallen kann
die Doppelbrechung auch durch
Anlegen eines elektrischen Feldes
hervorgerufen werden. Dieser
Effekt wird als elektrooptische
Doppelbrechung oder Kerr-
Effekt bezeichnet.
Der Unterschied im
Brechungsindex für den
Abb. 7.29
Abb. 7.31

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²
ordentlichen und den außerordentlichen Strahl steigt dabei mit der Spannung an (�n � ��E).
Wir erhalten bei einem Gangunterschied von �/4 zirkularpolarisiertes Licht und damit
Helligkeit hinter dem Analysator. Bei einem Gangunterschied von �/2 liegt die
Polarisationsrichtung parallel zum Analysator und wir erhalten maximale Helligkeit. Die
Kerr-Zelle kann folglich zur trägheitslosen Helligkeitssteuerung und als schneller
Lichtschalter verwendet werden. Außerdem lassen sich so Laserstrahlen mit einem
elektrischen Signal modulieren, was für die optische Datenübertragung wichtig ist. Es sind
hier Frequenzen bis 100MHz möglich. Allerdings ist dies heute auch direkt über Laserdioden
möglich.
Auch durch Magnetfelder können in transparenten Ferromagneten Drehungen der
Polarisationsebene bewirkt werden. Dies bezeichnet man als Faraday-Effekt und hat
besondere Wichtigkeit gewonnen in der magnetooptischen Datenspeicherung (bespielbare und
löschbare CD).