Gasthermometer - auf Matthias-Draeger.info

Gasthermometer
durchgeführt am 21.06.2010
1 PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN
von Matthias Dräger, Alexander Narweleit und Fabian Pirzer
1 Physikalische Grundlagen
1.1 Zustandgleichung des idealen Gases
Ein ideales Gas ist durch den Zusammenhang zwischen Den Größen Temperatur (T), Druck (ρ) und
Volumen (V) wie folgt definiert:
ρ · V = n · R · T (1)
J
Dabei ist n die Stoffmenge (in mol) und R die allgemeine Gaskonstante (R = 8, 314472 mol·K ). Ein
ideales Gas besteht in der Vorstellung aus einer Menge von Massenpunkten, zwischen den keine Wechselwirkungen
bestehen.
Die Stoffmenge n setzt sich aus der Anzahl der Teilchen geteilt durch die Avogadrozahl NA ≈
6, 022 · 1023mol−1 , die die Anzahl der Teilchen pro Stoffmenge angibt:
n = N
NA
Diese Gleichung kann nun in (1) eingesetzt werden und man erhält:
ρ · V = N
NA
(2)
· R · T = N · k · T (3)
Dabei ist k = R die universelle Boltzmann-Konstante. Die Zustandsgleichung (1) gilt nicht im
NA
Kondensationsbereich, da durch die hohe Dichte die Wechselwirkungen der teilchen untereinander
nicht mehr vernachlässigt werden können.
1.2 Temperatureinheit und Temperaturskala
Aus der Gleichung (1) folgt, dass die Temperatur nur positive Werte annehmen kann und ein Nullpunkt
bei T = 0, ρ = 0 und V = 0 existiert. Diese Temperaturskala wird thermodynamische oder absolute
Temperaturskala genannt und die Werte in Kelvin (1 K) angegeben. Die Celsius-Skala betrachtet
hingegen den Tripelpunkt des Wassers, der umgerechnet bei 273,16 K liegt. Die Beziehungen zwischen
Kelvin und Grad-Celsius sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst:
Celsius-Skala in ◦ C Kelvin-Skala in K
Absoluter Nullpunkt -273,15 0
Schmelzpunkt Wasser 0 273,15
Siedepunkt Wasser 100 373,15
Tabelle 1: Celsius- und Kelvin-Skala
Der Zusammenhang zwischen den Skalen ist wie folgt definiert:
T t
= + 273, 15 (4)
K ◦C 1.3 Praktische Realisierung der Temperatureinheit
Die Kelvin-Skala hat weitere Fixpunkte erhalten, da der Nullpunkt nicht erreichbar ist und reale
Thermometersubstanzen ein nicht lineares Verhalten Zeigen. Einige sind in folgender Tabelle unter
Normaldruck (1013 hPa) aufgelistet:
1

1.4 Gasgesetze und Spannungskoeffizienten 2 AUFGABEN
in K
Siedepunkt von Wasserstoff 20,28
Siedepunkt von Sauerstoff 90,188
Siedepunkt von Wasser 373,15
Schmelztemperatur von Silber 1235,08
Schmelztemperatur von Gold 1337,58
Tabelle 2: Auswahl von Fixpunkten der Kelvin-Skala bei Normaldruck
1.4 Gasgesetze und Spannungskoeffizienten
Betrachtet man Gleichung (1) und hält dabei die Stoffmenge n und eine beliebige andere Größe
konstant, dann ergeben sich folgende Gesetzmäßigkeiten:
Gesetz von Konstante Größe in (1) Prozessart Gesetz
Boyle-Mariotte Temperatur T isotherm ρ ∼ 1
Gay-Lussac Druck ρ isobar
V
V ∼ T
Charles Volumen V isochor ρ ∼ T
Tabelle 3: Spezielle Gasgesetze bei konstanter Stoffmenge n und einer weiteren Größe
Das Gesetz von Charles beschreibt einen linearen Zusammenhang als Ursprungsgerade zwischen Druck
und Temperatur. Bei Benutzung der Celsius-Skala verschiebt sich die Druckachse (Ordinate) entlang
der Temperaturachse (Abszisse) um 273,15 K (entspricht 0 ◦ C).
Als Geradengleichung erhält man:
ρ = ρ0 +
Abbildung 1: Gasgesetz von Charles
ρ0
273, 15K · t = ρ0 ·
1 +
Dabei ist β der Spannungskoeffizient, der für ein ideales Gas
2 Aufgaben
t
= ρ0 · (1 + β · t) (5)
273, 15
1
273,15K ≈ 3, 66 · 10−3 K −1 beträgt.
1. (Zimmertemperatur) Messung der Zimmertemperatur mit dem Gasthermometer und Vergleich
mit der Anzeige eines Quecksilberthermometers.
2. (Spannungskoeffizient) Bestimmung des Spannungskoeffizienten von Luft.
2

3 Geräte und Materialien
Für den Versuch verwendeten wir folgende Geräte:
4 VERSUCHSDURCHFÜHRUNG
• Gasthermometer (offener Quecksilbermanometer und geschlossene, mit Luft erfüllte Glaskugel)
• Elektrische Heizplatte
• 1000ml Becherglas, niedere Form
• Digitalthermometer
• Digitalbarometer
• Zimmerthermometer (für Vergleich mit berechnetem Wert)
4 Versuchsdurchführung
Gerät Fehler
Gasthermometer ±1mmHg (geschätzt)
Digitalthermometer ±1 ◦ C
Digitalbarometer ±1mbar = ±1hPa = ±100Pa
Zimmerthermometer ±1 ◦ C (geschätzt)
Tabelle 4: Messfehler in der Übersicht
Wichtig bei der Durchführung war, darauf zu achten, dass der Quecksilberpegel auf der rechten Seite
des Rohres immer an der eingezeichneten Linie ausgerichtet war, um sinnvolle Vergleichswerte zu
erhalten. Anhand des Quecksilberpegels auf der linken Seite konnten wir dann die Druckdifferenz von
Normaldruck bei Zimmertemperatur ablesen. Hierbei gehen wir von einem manuellen Ablesefehler von
±1 Skaleneinheiten aus.
4.1 Messungen
Aufgabe 1
Zuerst haben wir den Außendruck mithilfe des Barometers bestimmt und kamen auf 1016 ± 1mbar.
Die Druckdifferenz, die wir dabei am Gasthermometer ablesen konnten, betrug 6 ± 1mmHg bei einer
Zimmerthemperatur von 24 ± 1 ◦ C.
Aufgabe 2
Hiernach haben wir einerseits Eis und andererseits die Heizplatte genutzt, um die Temperatur des
Wassers zu verändern und die Auswirkungen auf den abgelesenen Druck zu beobachten. Wir erhielten
folgende Werte:
Temperatur Druckdifferenz
4, 0 ± 1 ◦ C −57 ± 1mmHg
99, 0 ± 1 ◦ C 189 ± 1mmHg
Tabelle 5: Ablese-Ergebnisse in der Übersicht
3

5 Auswertung
5.1 Aufgabe 1
5 AUSWERTUNG
Nach Umrechnung der Druckdifferenz von mmHg in Pa (1 mmHg = 133,3 Pa; Angabe von Skript,
Fehler vernachlässigbar) und Addition dieses Wertes (800 ± 134)Pa zu dem mit Hilfe des Digitalbarometers
gemessenen Außendruck ergab sich ein Druck innerhalb der Glaskugel bei Raumtemperatur
von:
Fehlerrechnung
5.2 Aufgabe 2
ρz = (102.400 ± 234)Pa
δ(∆Hg) = 1
= 0, 167
6
∆ρ = (6 ± 1) · 133, 3 = 799, 8 ± ( 1
· 799, 8)Pa = 800 ± 134Pa
6
ρz = ρ + ∆ρ = 101600 ± 100 + 800 ± 234Pa = 102400 ± 234Pa
Die Drücke beim Schmelzpunkt (ρSmp) des Wassers (4, 0±1, 0) ◦ C und Siedepunkt (ρSdp) des Wassers
(99, 0 ± 1, 0) ◦ C werden analog zu Aufgabe 1 umgerechnet. Wir erhalten folgende Werte:
ρSmp = (94.001 ± 234)Pa
ρSdp = (126.794 ± 234)Pa
Nach β umgeformte Geradengleichung mit ausgerechnetem Spannungskoeffizient (mit ∆t = (99 ±
1) ◦ C − (4 ± 1) ◦ C = (95 ± 2) ◦ C:
β =
ρSdp − ρSmp
ρSmp · ∆t
β = (3, 7 ± 0, 14) · 10 −3 K −1
Modifizierte Gleichung für Berechnung des Temperaturunterschieds zwischen (unbekannter) Zimmertemperatur
und der Schmelztemperatur:
∆t = (ρz − ρSmp)
ρSmp · β
∆t = (24, 2 ± 2, 5) ◦ C
Die Zimmertemperatur ergab sich folgend durch Addition mit der Schmelztemperatur:
tz = tSmp ± ∆ = (25 ± 4) ◦ C
4

Fehlerrechnung
δ(∆HgSmp) = 1
= 0, 018
57
6 ZUSAMMENFASSUNG UND DISKUSSION
∆Smp = (−57pm1) · 133, 3 = −7598, 1 ± ( 1
· 7598, 1)Pa = −7598 ± 134Pa
57
ρSmp = ρ + ∆ρSmp = 101600 ± 100 − 7599 ± 134Pa = 94011 ± 234Pa
δ(∆HgSdp) = 1
= 0, 005
189
∆Sdp = (189pm1) · 133, 3 = 25193, 7 ± ( 1
· 25193, 7)Pa = 25194 ± 134Pa
189
ρSdp = ρ + ∆ρSdp = 101600 ± 100 + 25194 ± 134Pa = 126794 ± 234Pa
∆t = (99, 0 ± 1, 0 − 4, 0 ± 1, 0) ◦ C = 95, 0 ± 2, 0 ◦ C
δ(∆t) = 0, 021
β = ρSdp − ρSmp
ρSmp · ∆t
ρSdp − ρSmp = 32793 ± 468Pa
δ(ρSdp − ρSmp) = 0, 014
δρSmp = 0, 0025
δ(ρSdp · ∆t) = 0, 0025 + 0, 021 = 0, 024
δβ = 0, 014 + 0, 024 = 0, 038
β = 0, 003692 ± (0, 038 · 0, 003489)K −1 = 0, 00370 ± 0, 00014K −1
∆t = ρZ − ρSmp
ρSmp · β
ρZ − ρSmp = 8399 ± 468Pa
δ(ρZ − ρSmp) = 0, 056
δ(ρSmp · β) = 0, 0025 + 0, 0378 = 0, 041
δ(∆tZ) = 0, 056 + 0, 041 = 0, 097
∆tZ = 24, 15 ± (0, 097 · 24, 15) = 24, 2 ± 2, 5 ◦ C
6 Zusammenfassung und Diskussion
tZ = tSmp + ∆tZ = 25, 2 ± 3, 5 ◦ C = 25 ± 4 ◦ C
Die aus den isochoren Druckänderungen berechnete Zimmertemperatur stimmt mit dem tatsächlichen
Wert gut überein (25 ◦ C gegenüber 24 ◦ C), obwohl der Mittelwert wenige Grad höher liegt, befindet
sich die gemessene Temperatur immer noch ca. bei einen Viertel des Fehlerintervalls.
Die Abweichung kann dadurch erklärt werden, dass wir mit keinem idealen Gas (oder z.B. mit Edelgasen,
die die Kriterien des idealen Gases im Wesentlichen ganz gut erfüllen), sondern mit Luft arbeiteten.
Für nicht-ideale Gase gilt die van-der-Waals-Gleichung, nach der das p-T-Diagramm keinen linearen
5

6 ZUSAMMENFASSUNG UND DISKUSSION
Verlauf mehr hätte.
Würde der Spannungskoeffizient des idealen Gases (0, 00366K −1 ) statt dem berechnetem Wert benutzt,
wäre das Endergebnis dem tatsächlichen Wert um ca. 1 ◦ C näher. Auch die Genauigkeit des
Zimmerthermometers kann in Frage gestellt werden, da es sich um kein physikalisches Gerät, sondern
um ein für den Haushalt bestimmtes Produkt handelt.
Der vergleichsmäßig große Fehler (±4 ◦ C) des Endergebnisses stammt von der Fortpflanzung der eher
auf der oberen Grenze gewählten Messfehlern durch mehrere Rechenoperationen.
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