Vortrag - Desy
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Allgemeine<br />
Relativitätstheorie<br />
Einführung in die Grundlagen
Bisher: Newton‘sche Theorie der Gravitation<br />
Bewegungen von Teilchen durch Feld:<br />
Feld erzeugt durch Massen:<br />
(Poisson-Gleichung)<br />
Einstein (1915): Allgemeine Relativitätstheorie<br />
(Geodätengleichung)<br />
(Einsteingleichung)
Spezielle Relativitätstheorie<br />
Lichtgeschwindigkeit c ist konstant und wird in allen Inertialsystemen gemessen!<br />
Weitreichende Folgen:<br />
Längenkontraktion, Zeitdilatation, Verlust der Gleichzeitigkeit, …<br />
Beschreibe ein Ereignis durch 4 Koordinaten:<br />
Graphische Darstellung: Minkowski-Diagramm<br />
Dann: neue relativistische Invariante:<br />
Raumzeitintervall Eigenzeit<br />
(= Zeit, die entlang eines geraden<br />
Pfades zwischen Ereignissen vergeht)
Definiere die Minkowski-Metrik<br />
Damit wird das Raumzeitintervall zu<br />
Die Metrik gibt ein „Skalarprodukt“, und erlaubt Berechnung von Längen, z.B.:<br />
Geschwindigkeit: Quadrat der Länge:<br />
(Skalarprodukt mit sich selbst)<br />
Mögliche Koordinatentransformationen sind Lorentztransformationen,<br />
sie erfüllen die Gleichung:<br />
Sie lassen das Raumzeitintervall (Eigenzeit) invariant.<br />
Spezielle Relativitätstheorie
In Newton‘scher Theorie der Gravitation:<br />
Träge Masse: Widersetzt sich einer Beschleunigung<br />
Schwere Masse: Bestimmt die Stärke der Gravitation<br />
Trotzdem findet man:<br />
Bevorzugte Teilchenbahnen, die alle Teilchen beschreiben<br />
(Masse kürzt sich aus Bewegungsgleichung heraus)<br />
Äquivalenzprinzip<br />
Unterschiedliche<br />
Parameter!
Schwaches Äquivalenzprinzip:<br />
Oder:<br />
Es ist unmöglich, durch Beobachtung der Bahnkurven von Teilchen zu<br />
entscheiden, ob man sich in Schwerelosigkeit oder im freien Fall befindet.<br />
Es gibt mit solchen Experimenten keine Möglichkeit, die Effekte eines<br />
Schwerefelds von denen gleichförmiger Beschleunigung zu unterscheiden.<br />
Experiment im<br />
gleichförmig<br />
beschleunigtem<br />
Labor<br />
(aus englischer Wikipedia:<br />
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Elevator_gravity.svg)<br />
Äquivalenzprinzip<br />
Experiment im<br />
Schwerefeld
Einstein erweitert die Aussage zum Einstein‘schen Äquivalenzprinzip:<br />
Es ist grundsätzlich unmöglich, die Existenz eines Schwerefeldes durch<br />
lokale Experimente nachzuweisen.<br />
Wie soll Beschleunigung durch Gravitation definiert werden?<br />
Es gibt kein Objekt, welches nicht durch Gravitation beeinflusst wird!<br />
Wir können keinen sinnvollen Bezugspunkt wählen!<br />
Umdenken! Wir definieren:<br />
unbeschleunigt = frei fallend<br />
(trotzdem von Gravitation beeinflusst!)<br />
Äquivalenzprinzip
Äquivalenzprinzip<br />
Damit: Gravitation ist keine Kraft, sondern „Hintergrunderscheinung“, die wir durch<br />
Krümmung des Raumes beschreiben.<br />
Vgl.:<br />
Zwei Teilchen bewegen sich<br />
in gleicher Richtung auf einer<br />
Kugeloberfläche und treffen<br />
sich am Pol<br />
Beobachter, der<br />
Krümmung nicht sieht:<br />
Auf die Teilchen scheint<br />
eine Kraft zu wirken!<br />
Folge der Krümmung: Es gibt keine globalen Inertialsysteme mehr!
Wir beschreiben unseren gekrümmten Raum als Mannigfaltigkeit!<br />
Mannigfaltigkeiten<br />
Definition: „Eine Mannigfaltikeit ist eine Menge M mit maximalem Atlas“<br />
„Ein Atlas ist eine maximale Kollektion kompatibler Karten“<br />
Salopp: Eine Menge M, die lokal so aussieht, wie der<br />
(sich wie dieser verhält im Bezug auf Differentiation, Integration, …)<br />
Wie etwa…<br />
Bild aus engl. Wikipedia<br />
Torus
Karten<br />
Karten (oder Koordinatensysteme) bestehen aus…<br />
einer Menge, auf der sie definiert sind einer injektiven Abbildung,<br />
deren Wertebereich offen ist<br />
Bild der Erdkugel aus Wikipedia<br />
Mannigfaltigkeiten
Dann ist die Umkehrabbildung eine Möglichkeit, ein n-Tupel einem Punkt<br />
zuzuordnen!<br />
Kann man als Koordinaten auffassen!<br />
Bild der Erdkugel aus Wikipedia<br />
Gilt aber nicht überall (i.d.R. ist U nur Teilmenge), nur ein lokales System.<br />
Mannigfaltigkeiten
Mehrere Karten benötigt: Sammlung aller „kompatibler“ Karten sind der<br />
in der Definition genannte maximale Atlas.<br />
Weitere Forderungen an die Karten im Atlas:<br />
Mannigfaltigkeiten<br />
Übergänge verschiedener Karten im Atlas müssen sinnvoll definiert sein<br />
(„smoothly sewn together“)<br />
Siehe dazu Literatur.
Wir ordnen jedem Punkt x der Mannigfaltigkeit ihren Tangentialraum zu.<br />
Bisher: Direkte, geometrische Vorstellung dieses Raumes:<br />
Basiert auf Einbettung der Mannigfaltigkeit in höherdimensionalen Raum!<br />
Unsere Mannigfaltigkeit ist die Raumzeit selbst, die nicht eingebettet ist!<br />
Wie sollen wir Vektoren darin beschreiben?<br />
Umdenken in der Anschauung nötig, allgemeinere Definition wählen!<br />
Vektoren & Tensoren<br />
Bild aus Wikipedia:<br />
http://de.wikipedia.org/wiki/Tangentialraum
Vektoren & Tensoren<br />
Um wirkliche Unabhängigkeit des gewählten Koordinatensystems<br />
(der von uns verwendeten Karte) zu erhalten, identifizieren wir Vektoren mit<br />
Richtungsableitungen.<br />
Sie entsprechen dann einem Operator für Funktionen auf der Mannigfaltigkeit.<br />
Die partiellen Ableitungen nach den einzelnen Koordinaten bilden dann eine Basis.<br />
(nicht vergessen: Einstein‘sche Summenkonvention!)<br />
Wechseln wir nun die Koordinaten, so ändern sich die Basisvektoren:<br />
Damit erhalten wir dann auch eine Vorschrift für die Vektorkomponenten:<br />
(genau andersherum!)
Wir werden 1-Formen brauchen: das sind lineare Abbildungen<br />
Sie bilden den Dualraum zum Tangentialraum.<br />
Vektoren & Tensoren<br />
Das sind hier Gradienten skalarer Funktionen df, sie wirken auf Vektoren wie folgt:<br />
Das sieht kompliziert aus – ist es aber nicht:<br />
Dieser Ausdruck ist die Richtungsableitung von f entlang von V.
Als Basis für unsere 1-Formen, d.h. von , wählen wir die<br />
Koordinatenfunktionen<br />
Praktisch, denn:<br />
Damit transformieren Basisvektoren und 1-Formen so:<br />
(Summen über µ)<br />
Vektoren & Tensoren
Vektoren & Tensoren<br />
Tensoren sind die logische Weiterführung von Vektoren und Dualformen.<br />
Ein (k,l)-Tensor nimmt k Elemente des Dualraums und l des Tangentialraumes und<br />
bildet diese ab auf eine reelle Zahl. Tensoren sind linear in jedem Argument.<br />
Da die Tensoren linear sind, sind sie eindeutig durch Wirken auf alle Kombinationen<br />
von Basisvektoren bestimmt.<br />
Ein (1,1)-Tensor in 2 Dimensionen ist z.B. bestimmt, wenn wir diese Werte kennen:<br />
Beachte:Die Position der Indizes entspricht der Reihenfolge der<br />
zugehörigen Basisvektoren!<br />
Sie müssen nicht „sortiert“ angeordnet sein.
Aus der Linearität folgt das Transformationsverhalten von Tensoren.<br />
So ein Term für jeden<br />
oberen Index<br />
So ein Term für jeden<br />
unteren Index<br />
Vektoren & Tensoren<br />
Viele Bücher definieren Tensoren als Sammlung von Zahlen, die so transformieren.<br />
Das Transformationsverhalten von Tensoren ist von großer Bedeutung, denn<br />
Gleichungen, die so transformieren wie Tensoren gelten in allen Koordinatensystemen.
Wir haben nun das wichtigste mathematische Handwerkszeug beisammen.<br />
Der ideale Moment, Fragen zu stellen!<br />
Bildquelle unbekannt<br />
Durchatmen!<br />
Alle Rechenregeln, die wir brauchen, finden sich in der ausgeteilten Formelsammlung.
Krümmung<br />
In der gekrümmten Raumzeit gilt die alte Rechenvorschrift für das Raumzeitintervall<br />
so nicht mehr. Denn nirgends wird dort die Krümmung des Raumes berücksichtigt!<br />
Abhilfe schafft die Metrik. Dies ist im Allgemeinen nicht mehr die Minkowskimetrik.<br />
Die Metrik ist ein symmetrischer (0,2)-Tensor.<br />
Mit ihr sieht der Ausdruck oben wie gewohnt aus:<br />
Aus der Metrik erhalten wir die inverse Metrik, mit Indizes oben. Sie erfüllt:
Man benötigt die Metrik beispielsweise, um Indizes zu erhöhen oder zu erniedrigen.<br />
Das erlaubt dann z.B. die Definition des Skalarprodukts:<br />
Die Metrik beinhaltet Informationen zur Krümmung des Raumes.<br />
Nicht nur deswegen kommt ihr immense Bedeutung zu:<br />
Krümmung<br />
• Metrik gibt an, was „Zukunft“ und was „Vergangenheit“ ist<br />
• Die Metrik bestimmt Weglängen, und damit die Bahn von Teilchen<br />
• Die Metrik beinhaltet die Informationen, die vorher im Gravitationsfeld steckten
Krümmung<br />
Ihre Komponenten können aber vom Punkt auf der Mannigfaltigkeit abhängen, z.B.:<br />
Diese Metrik erhalten wir, wenn wir in Kugelkoordinaten rechnen.<br />
Ihre Komponenten sind nicht konstant, trotzdem ist es der ungekrümmte Raum<br />
Anscheinend sieht man der Metrik nicht sofort an, wie der Raum beschaffen ist!<br />
Aber: An jedem Punkt können wir jede Metrik in Diagonalform bringen.<br />
Mehr noch:<br />
In der ART können wir durch geeignete Koordinatenwahl Folgendes erreichen:<br />
Solche Koordinaten heißen lokale Inertialkoordinaten.
Krümmung<br />
Wir haben gesehen, wie nützlich es ist, Beziehungen mit Tensoren auszudrücken.<br />
Dies liegt an dem Transformationsverhalten von Tensoren:<br />
Dadurch gelten solche Beziehungen in allen Koordinatensystemen.<br />
(„minimal-coupling principle“)<br />
Aber: Die partielle Ableitung eines Tensors ist im Allgemeinen kein Tensor,<br />
d.h. der erhaltene Ausdruck transformiert anders.<br />
Auch dies folgt aus der Krümmung des Raumes:<br />
Die partiellen Ableitungen der Transformationsmatrix sind nicht null,<br />
und geben daher Störterme.<br />
Abhilfe schafft die kovariante Ableitung.
Idee: Korrigiere die partielle Ableitung mithilfe von n Matrizen<br />
Für die kovariante Ableitung eines Vektors gilt damit die Vorschrift:<br />
Für die kovariante Ableitung eines Dualvektors gilt dann:<br />
Wir sehen:<br />
1 Index oben:<br />
(1,0)-Tensor<br />
1 Index oben, 1 Index unten:<br />
(1,1)-Tensor<br />
1 Index unten:<br />
(0,1)-Tensor<br />
kovariante Ableitung<br />
0 Indizes oben, 2 Indizes unten:<br />
(0,2)-Tensor<br />
Die kovariante Ableitung macht aus einem (k,l)-Tensor einen (k,l+1)-Tensor.
Für einen Tensor höherer Ordnung müssen wir mehrmals korrigieren.<br />
jeder obere Index:<br />
ein „Plus Gamma“<br />
einmal partiell ableiten<br />
kovariante Ableitung<br />
jeder untere Index:<br />
ein „Minus Gamma“
Theoretisch sind viele solcher möglich (n³ unabh. Komponenten).<br />
In der ART fordern wir u.a. Symmetrie in den unteren Indizes,<br />
und dass gilt.<br />
Daraus folgen dann die Christoffelsymbole, die (eindeutig!) gegeben sind durch:<br />
Sie sind von Ableitungen der Metrik abhängig!<br />
Sie enthält daher ebenfalls Informationen über die Krümmung.<br />
kovariante Ableitung
Es ist das selbe Symbol, welches wir in der Geodätengleichung gesehen haben!<br />
Sie beschreibt (in dieser Form) die Bewegung von Teilchen, auf die keine Kraft wirkt.<br />
In der flachen Raumzeit verwenden wir die Metrik:<br />
D.h. alle Ableitungen der Metrik verschwinden, und daher wg. :<br />
Was tatsächlich genau Geraden als Lösung ergibt!<br />
kovariante Ableitung
Paralleltransport<br />
Grundsätzlich wollen wir gerne Vektoren an verschiedenen Orten vergleichen,<br />
Beispielsweise die Geschwindigkeit eines Teilchens am Punkt p mit der eines<br />
Teilchens am Punkt q.<br />
Diese liegen in unterschiedlichen Vektorräumen! Wie vergleichen?<br />
Idee: Verschiebe Vektor U entlang der Mannigfaltigkeit nach q.<br />
Realisierung durch Paralleltransport.
Problem: Das Ergebnis hängt vom Weg ab!<br />
Beispiel: Paralleltransport eines Vektors entlang der Kugeloberfläche.<br />
Weg 1<br />
START<br />
Weg 2<br />
Bild: Wikimedia Commons<br />
(http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Connection-on-sphere.png)<br />
Grundsätzliches Problem „ohne Lösung“.<br />
Physikalische Konsequenz: Geschwindigkeiten (o.ä.) an verschiedenen Orten<br />
können nicht sinnvoll verglichen werden.<br />
Paralleltransport
Paralleltransport<br />
Bisher haben wir uns darum keine Gedanken gemacht, wir haben gesagt, dass<br />
Vektoren frei im Raum verschiebbar sind:<br />
Mathematisch können wir das formulieren, indem wir sagen:<br />
„Die Tensorkomponenten entlang des Weges blieben konstant“,<br />
oder: „Die Richtungsableitung der Tensorkomponenten war stets null“.
Um einen äquivalenten Ausdruck für beliebig geartete Koordinatensysteme<br />
zu finden, können wir unseren alten Trick verwenden:<br />
Schreibe den Ausdruck als Tensor!<br />
Zahl entspricht<br />
(0,0)-Tensor.<br />
Glücklicherweise wissen wir, wie wir hier Abhilfe schaffen können:<br />
Dies ist die Paralleltransportgleichung.<br />
Partielle Ableitung eines Tensors:<br />
Ist selbst kein Tensor!<br />
Paralleltransport
Geodätengleichung<br />
Wir können nun die Geodätengleichung verstehen, eine der beiden eingangs<br />
gezeigten Gleichungen!<br />
Eine Geodäte ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten.<br />
(ungeladene) Teilchen, auf die keine Kraft wirkt, bewegen sich auf Geodäten.<br />
Das ist in gekrümmten Räumen im Allgemeinen keine Gerade.<br />
(Bild aus Wikipedia:<br />
http://de.wikipedia.org/wiki/Geod%C3%A4te)
Herleitung 1:<br />
Geodäten sind Kurven, entlang derer ihr Tangentialvektor<br />
paralleltransportiert wird.<br />
Einsetzen in die Paralleltransportgleichung:<br />
Geodätengleichung<br />
Herleitung 2:<br />
Gehe von der Gleichung in flacher Raumzeit aus und schreibe sie als Tensor<br />
Partielle Ableitung eines Tensors ist kein Tensor!<br />
Ersetze durch kovariante Ableitung!
Geodätengleichung<br />
Beispiel:<br />
Nehmen wir ein sich ausdehnendes (oder zusammenziehendes) Universum an<br />
Daraus folgen die Christoffelsymbole:<br />
Indizes i,j laufen von 1..3<br />
Achtung. Das Beispiel wurde in natürlichen Koordinaten mit c=1 gerechnet.
Riemanntensor<br />
Wir haben gesehen, dass sich Vektoren bei einem Paralleltransport verändern.<br />
Sie tun dies auch, wenn wir sie „in einer Schleife bewegen“.<br />
Wir stellen uns vor, dass wir einen Vektor paralleltransportieren!<br />
B<br />
A<br />
A<br />
B<br />
Erst infinitesimal entlang A, dann infinitesimal entlang B,<br />
Dann wieder zurück entlang A, dann B.<br />
Wie stark sich der Vektor ändert, gibt der<br />
Riemanntensor an!<br />
Besser: Betrachte Kommutator kovarianter Ableitungen (siehe Ausarbeitung).<br />
Daraus folgt die Rechenvorschrift:
Riemanntensor<br />
Aus dem Riemanntensor erhalten wir den wichtigen Riccitensor durch Verjüngung,<br />
d.h. Summation über einen oberen und einen unteren Index:<br />
Dieser Tensor taucht in der Einsteingleichung auf. Er hängt von der Metrik selbst<br />
und ihrer Ableitungen ab, und beschreibt damit die Krümmung des Raumes.<br />
Durch Bilden der Spur erhalten wir den Ricciskalar:<br />
Aufgrund der verschiedenen Symmetrien gibt es im n-dimensionalen nur<br />
n²(n²-1)/12 freie Parameter, die die Krümmung charakterisieren.
In der Newton‘schen Theorie erzeugten Massen das Feld:<br />
Energie-Impuls-Tensor<br />
Da Masse und Energie äquivalent sind, werden wir dies durch einen Tensor<br />
ersetzen, der mit der Energie zusammenhängt.<br />
Das ist der Energie-Impuls-Tensor, ein (2,0)-Tensor<br />
„Gibt Fluss der µ-ten Impulskomponente durch Fläche mit = const. an“<br />
Die verschiedenen Erhaltungssätze werden als Tensor geschrieben zu:
Finale: Einsteingleichung<br />
Jetzt haben wir alles beisammen, um die Einsteingleichung zu verstehen.<br />
Wir ersetzen:<br />
Naiver Ansatz:<br />
Aber:<br />
von Massen erzeugte Gravitationskraft<br />
durch von Energien verursachte Krümmung des Raumes.
Finale: Einsteingleichung<br />
Abhilfe schafft der Einsteintensor, gegeben durch die Tensorkombination:<br />
Für diesen gilt:<br />
Die Einsteingleichung muss für kleine Geschwindigkeiten, geringe Energien, etc.<br />
die Newtongleichungen ergeben!<br />
Bestimme daraus die Konstante.
Damit hätten wir alles beisammen.<br />
Teilchen bewegen sich in gekrümmten Räumen ohne Krafteinfluss auf Geodäten:<br />
Hurra!<br />
Energie krümmt den Raum. Den genauen Zusammenhang gibt die Einsteingleichung:<br />
Aber: Die Einsteingleichung ist nichtlinear. Sie ist damit i.d.R. nicht analytisch lösbar.<br />
Man kann aber solche Lösungen für sehr symmetrische Probleme finden.<br />
Eine solche Lösung ist beispielsweise die Schwarzschildmetrik.
Erfahren Sie nächstes Mal alles, was Sie je über Anwendungen der<br />
Allgemeinen Relativitätstheorie wissen wollten!<br />
Bild bearbeitet mit Quellen<br />
Aus 1960 Skippy Peanut Butter Anzeige<br />
(http://oldmagazineads.blogspot.com/2008/08/<br />
1960-skippy-peanut-butter-magazine-ad.html)<br />
• Schwarzschildlösung & Schwarze Löcher<br />
• Kosmologische Konstante & Vakuumenergie<br />
• Friedmanngleichung<br />
• Experimentelle Bestätigungen der ART<br />
• und vieles mehr!<br />
Coming up next…<br />
fin.