3 Anwendungen und Modellbildungen im Mathematik- unterricht

Die folgenden Überlegungen beziehen sich immer noch auf die Aufgabe zum Wachstum einer
Hefekultur auf S. 7.
Modellannahmen (a):
• Das Wachstum verläuft zunächst annähernd proportional
zur vorhandenden Hefemasse.
• Durch begrenzte Ressourcen und evtl. andere Faktoren
ist unbeschränktes Wachstum nicht möglich.
(Hefe produziert Alkohol, der das Hefewachstum
bremst.)
• Wachstum erfolgt nur bis zu einem Maximalwert M.
Mathematisierung (b):
m ′ (t) = k·m(t)·(M − m(t))
m ′ (t) = k·M·m(t) − k·m(t) 2
(Logistische Differentialgleichung: VERHULST, 1844/45)
Lösung im mathematischen Modell (c):
Für t0 = 0 ist m(t) =
M · m0
m0 + (M − m0) · e −M·k·t
Rückinterpretation (d):
Bestimmung der Konstanten
(Methode der kleinsten Quadrate):
M ≈ 663,1
m0 ≈ 9,135
k ≈ 0,0008246
• Das konkrete Experiment (und viele andere Situationen)
werden durch das Modell des logistischen Wachstums
gut beschrieben.
• Bedingung:
Isolierte Populationen auf begrenztem Raum, keine Interaktion
mit anderen Spezies.
• Logistisches Wachstum: deskriptives Modell mit einigen durchaus plausiblen Annahmen –
aber keine Erklärung für Zusammenhänge im Detail.
„Biologen halten das logistische Wachstum für einen mathematisch bewiesenen Sachverhalt, während
Mathematiker [es] für ein experimentell nachweisbares Naturgesetz halten.“ 4
4 RACKE, U.; STEIN, G.: Das logistische Wachstum als problematisches Beispiel mathematischer Modellbildung.
In: Zentralblatt für Didaktik der Mathematik (ZDM) 27 (1995), 1, S. 3.
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