Über schwach zyklische Abbildungen in nichtlinearen ...

gegeben. Damit ist
(PX) — (xPj) — (x3, x5, xl9 x4, x6, x2)
und wir verstehen z. B. unter der Funktion ft(XN2) eine Abbildung von R 3 in R
gegeben durch
ft(XN2) : = f(P T (o, O, xl9 x2, x3, O) T ) = f(x1? o, o, x2, O, x3).
Die Definition der schwachen Zyklizität für n x tz-Matrizen läßt sich nun in
natürlicher Weise auf Vektorfunktionen erweitern:
Definition 11. ES sei {R, +, •} ein Ringoid und F = (f) : B c R n -> R n eine
Vektorfunktion, die B in R n abbildet. F heißt „schwach zyklisch vom Index k",
falls eine n x n-Permutationsmatrix P existiert derart, daß gilt
PF(P T X) =
ÍA(Җ.)
ЧX,-t)
Pk( x k-i]
wobei F t und X i9 i = 1, ..., k, jeweils die selbe Anzahl von Komponenten besitzen.
Ist P die Einheitsmatrix, so bezeichnen wir die schwach zyklische Vektorfunktion F
vom Index k als in Normalform gegeben. •
Die vorliegende Definition ist nicht der erste Versuch zur Verallgemeinerung des
Konzepts schwach zyklischer Matrizen auf Vektorfunktionen. In [3] finden wir
diesen Begriff in einer Weise festgelegt, welche von Permutationsmatrizen keinen
Gebrauch macht. Wir wollen nun die Äquivalenz der beiden Definitionen nachweisen:
Satz 12. Es ist F = (ft) : B £ R" -> R n eine schwach zyklische Vektorfunktion
vom Index k genau dann, wenn eine disjunkte Zerlegung Nl9N29 ..., Nk von N
existiert und für eine zyklische Permutation P der Menge (1, ..., k} gilt
FNi = FNi{XNpi) , i = 1(1) k .
Beweis. 1. Sei zunächst F eine schwach zyklische Vektorfunktion vom Index k,
die mittels der n x n-Permutationsmatrix P auf Normalform transformiert wird.
Da die Anwendung von P auf einen Vektor X = (xt) eine Permutation P der Komponenten
von X und die Anwendung ihrer Transponierten P T deren Umkehrung P~ 1
ergibt, erhalten wir
PX = (xPi) =: (*,) , P r X = (*,-..) = : (x.)
(*) PF(P T X) = (f^,...,*„) = (fPi(xpl -.,...,*-- ,„)) •
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