Über schwach zyklische Abbildungen in nichtlinearen ...

Dann ist F k isoton, falls #(K \ IS) gerade, sonst antiton.
Beweis. Nach Voraussetzung existiert eine n x n-Permutationsmatrix P, die F
auf die Normalform einer schwach zyklischen Vektorfunktion vom Index k transformiert.
Für die k-fache Anwendung von F auf ein Element X e R n erhalten wir also
F k (X) = P T PF(P T PF(... (P T PF(P T PX) ...)
fc-mal
= P T (P . F • P T f (PX) =
= P T (Fi(Fzi(...(Fz*-li((PX)zki)...)
^ 7 (n'fz«)).
j = 0
Die Monotonie von F k ergibt sich nun unmittelbar durch
X ^ Y ^ ^ ^ - ^ P Y ) ; , i= 1,2,. ..,k
JllF^PXl) ^P-,, UhttiPY),) > . = 1, 2,..., fc,
J = 0 (bzw. ^p- l/)j = 0
falls #(K\LS) gerade (bzw. ungerade)
=> F fe (Z) ^ F k (Y) mit P(P- X I) = I nach Hilfssatz 9 . •
(bzw. =J)
In Satz 15 werden Monotonieeigenschaften für die Abschnittsfunktionen F^
der Normalform von F gefordert. Diese Voraussetzung läßt sich ohne weiteres in
Monotonieforderungen an die Komponentenfunktionen von F umformen.
Satz 16. Es sei {R, +, •} ein Ringoid, {R, :g} eine geordnete Menge und F =
= (ft) : B £= R n -> R n eine schwach zyklische Vektorfunktion vom Index k der
geordneten Menge {R n , ^j}. F werde durch die n x n-Permutationsmatrix
auf die zur sequentiellen Zerlegung Nl9 ..., Nfc gehörige Normalform P gebracht
und IS sei eine Teilmenge von K := {], ..., k}. Dann gilt
A ( A fi(X) isoton (bzw. antiton) A A fifä) antiton (bzw. isoton)
ielS lePNinl lePNtn(N\I)
(bzw. K\IS)
genau dann, wenn für alle ielS (bzw. ieK\IS) Pt eine isotone (bzw. antitone)
Abbildung von {R nzi , ^P-i/} in {R ni , Sp-^i} mit der zyklischen Permutation
"1 2 ... k
Z : = k 1 2 .. k - 1 ìst.
Beweis.
1. FürK, Fe/T gilt
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