Über schwach zyklische Abbildungen in nichtlinearen ...

wenn gilt
A P T X = (x,-Hl))
XeVnR
Beweis. Die Aussage des Korollars läßt sich wegen
A Plp-Hi) = PP-HW = PJPJ = e m i t P ' l f = J
i=l(l)n
unmittelbar aus dem Hilfssatz ablesen. •
Bemerkungen. 1. Wie aus dem Beweis zu dem Korollar ersichtlich, läßt sich
Eigenschaft (3.1) auf den Zusammenhang von P r und P" 1 umschreiben in der Form:
A pJp-HD^e.
»=l(l)n
2. Es ist P • P T = P T • P = E, was z. B. anhand von
T _ je für j = Pi, k = P~ l j = i
PiJ ' Pjk - \o sonst
für den ersten Teil der Gleichung unmittelbar einzusehen ist. Entsprechendes gilt
für den zweiten Teil.
3. Für Matrizen A, B e MnR rechnet man leicht nach:
P • (A • B) = (P • Ä) • B
(A • B) • P T = A • (B • P T )
4. In Erweiterung von 2. bildet die Menge der Permutationsmatrizen über einem
Ringoid {R, +, •} bezüglich der im Ringoid {MnR, +, •} erklärten Multiplikation
eine Gruppe. Das Produkt zweier Permutationsmatrizen P, P' läßt sich dabei formal
schreiben in der Form
P-P-(P»)-W„-W). H::ir mi)) '
wobei P, P' dieden Matrizen P,P'zugehörigen Permutationen gemäß (3.1) bezeichnen.
5. Aufgrund der Bemerkungen 2. und 3. ist unmittelbar klar, daß die Relation
eine Äquivalenzrelation definiert.
A - B : \/A = P • P • P T
p
Sei nun zusätzlich {P, ^} eine geordnete Menge und rg7 die durch die Indexmenge
I in P" festgelegte Ordnungsrelation. Im allgemeinen ist dann eine Permutationsmatrix
P keine isotone Abbildung in {R n , ^7}. Es gilt jedoch der folgende
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