E ρ( )

Festk0203_24 198 6/6/2003
kann man sowohl Grundlagenforschung betreiben (z. B. Quantenhalleffekt) oder
technische Anwendungen verwirklichen (Laser, Hochfrequenztransistoren etc.). In k x -
und y k -Richtung hat man parabolische Bänder, während in k z -Richtung diskrete
Zustände mit Energieniveaus bei 0 E etc. entstehen (vgl. Landauniveaus).
ρ( E)
E 0
E 1
E 1/2
5.7. Defekte in Gittern
E 2
E , 1
E
E
E 2
E1 E0 2
E prop. to kx,y
Bei der Diskussion der Halbleiter haben wir vorausgesetzt, dass die Fremdatome auf
regulären Gitterplätzen des Diamantgitters eingebaut werden. Im allgemeinen können
Fremdatome auch auf Zwischengitterplätzen eingebaut werden. Wir wollen im folgenden
etwas auf Defekte in Kristallen eingehen.
Defekte sind in Kristallen wegen des Entropieterms in der freien Energie
F = U − TS
auch im thermischen Gleichgewicht vorhanden. Fehlstellen erhöhen die Entropie. Man
unterscheidet
• Punktdefekte ( d = 0 ): Intrinsisch, Verunreinigungen, Dotierung
• Versetzungen ( d = 1):
Es fehlt eine Linie von Atomen
Versetzung
• Korngrenzen, Grenzflächen, Stapelfehler, Zwillinge, Oberflächen ( d = 2 ): z.B.
wenn man in eine Folge von dichtgepackten, hexagonalenen Ebenen einen
2
kx,y

Festk0203_24 199 6/6/2003
Stapelfehler einfügt: abcabcabcabcabc ⇒ abcabcababcabc. Die folgende Figur
zeigt als Beispiel eine Zwillingsstruktur.
Zwillingsebene (113)
Den Zwillingsbereich erhält man durch Spiegelung des einen Kristalls an der
Zwillingsebene.
Eigenschaften von Materialien werden nicht nur von den Eigenschaften des Kristalls,
sondern auch von Defekten kontrolliert: Leitfähigkeit, Farbe von Kristallen,
Lumineszenz, Magnetismus (Kondo-Effekt), mechanische Eigenschaften, Plastizität etc.
Neueste Entwicklungen sind Nanokristalle.
Wir besprechen hier nur kurz die Punktdefekte. Dazu gehören auch Dotierungen. Der
einfachste Defekt ist der Schottky-Defekt. Er entspricht einem fehlenden Atom in der
sonst regelmässigen Kristallstruktur. Man erhält ihn, indem man das Atom an die
Oberfläche des Kristalls transportiert. In dichtgepackten Kristallstrukturen hat man in der
−3 −4
Nähe des Schmelzpunkts typisch 10 − 10 Leerstellen. In harten Materialien wie TiC
kann man bis zu 50% Fehlstellen haben.
Schottky-Defekt
Frenkel-Defekt
Wenn man N Atome und n Fehlstellen hat, ist die Besetzungswahrscheinlichkeit für die
Besetzung von n Stellen gegeben durch den Boltzmannfaktor
n −ES
/ kBT
= e
N − n
.

Festk0203_24 200 6/6/2003
−ES
/ kBT
Da n

Festk0203_24 201 6/6/2003
Farbzentren: Reine Alkalihalogenid Kristalle (Isolatoren) sind normalerweise
durchsichtig im sichtbaren Bereich. Dotiert man einen Alkalihalogenid-Kristall mit
zuvielen Alkaliatomen,dann werden negative geladene Ionenfehlstellen erzeugt. Ein
Elektron kann dann in die Fehlstelle diffundieren. Die Farbe wird erzeugt durch
elektrisch Dipolanregung des im Potentialtopf gefangenen Elektrons. Fehlstellen können
auch durch Bestrahlung erzeugt werden (Neutronen, Ionen).
-
e
Merke: Reines Silberbromid ergibt bei Belichtung kein Bild (Kodak). Das Entfernen von
negativ geladenen Ionen kann als Dotierung aufgefasst werden. Damit können Isolatoren
leitend gemacht werden:
• Überschusshalbleiter: Durch Entfernen von O 2- aus ZnO erzeugt man Donatoren.
• Oxidationshalbleiter (Mangelhalbleiter): Durch Entfernen von Cu + aus CuO
erzeugt man Akzeptoren

Festk0203_24 202 6/6/2003
6. Magnetismus
Elektronen haben Bahndrehimpuls und Spin. In einem äusseren Magnetfeld werden L
und S antiparallel zu B ausgerichtet: Paramagnetismus: M//B ⇔ µ > 1.
Beispiel: Pd.
µ L
µ S
B M
Falls das “Magnetfeld” durch die Momente der “benachbarten” Atome erzeugt wird,
kann langreichweitige Ordnung wie
• Ferromagnetismus (Fe, Co, Ni): µ >> 1,
bis 10 4 ! Hysterese
• Antiferromagnetismus (Cr)
• Helimagnetismus (MnSi, Ho)
auftreten. Beachte, dass die Richtkraft nicht aufgrund einer magnetische Wechselwirkung
auftritt, sondern ein quantenmechanischer Effekt ist.
Falls die magnetischen Momente von einem äusseren Feld induziert werden spricht man
von Diamagnetismus. Ein diamagnetischer Stab richtet sich antiparallel zum angelegten
Magnetfeld aus. Beispiel: Bi, He, Ar.

Festk0203_24 203 6/6/2003
6.1. Einführung
Wir wollen hier einige wichtige Grössen definieren (alles SI-Einheiten). Die
magnetischen Eigenschaften werden makroskopisch beschrieben durch
B
I
M
B µ µ H = µ H + M
t
.
= 0 0
Man kann auch schreiben M µ χH
t
= ,
t t
woraus folgt: µ = 1 + χ
Hier bezeichnen
B:
Vs
As
Induktion [ 1 = 1T
] (vergleiche dielektrische Verschiebung: D [ ]
2 2
m
m
)
H:
A V
magnetische Feldstärke [ ] (vergleiche elektrische Feldstärke: E [ ] )
m
m
µ 0 :
−7
Vs
Induktionskonstante µ 0 = 4π10
Am
µ t : Permeabilität (Tensor)
χ t : Suszeptibilität (Tensor).
Merke:
• Maxwell’sche Gleichung div B = 0 : B ist quellenfrei
• Die magnetische Kraft ist proportional zu B (und nicht zu H): F = qv × B
• Maxwell’sche Gleichung rotH = ( ∂ / ∂t
) D + j:
Für D = 0 gilt
Magnetisches Dipolmoment:
0
∫ H ⋅ ds = I .
Stromschleife
Magnetfeld eines Kreisstroms in grossem Abstand z zur Stromschleife (siehe
Elektrizitätslehre:

Festk0203_24 204 6/6/2003
µ 0 2 2
( z >> ρ) = Iρ
π ≡
3
4π
z
µ 0
2πz
IA .
µ L
µ S
B z 3
Denn Term µ = IAbezeichnet
man als magnetisches Dipolmoment (A ist die
Schleifenfläche, I der Strom). Unter der einfachen Annahme eines Kreisstroms mit einem
Elektron erhält man
~
~ ~
e v e ameve
2 e L eh
L
µ = = − A = −e
A = − ρ π = − = − = −
2
T 2πρ
m 2πρ
m 2 2m
h
IA
e µ B
e
e
e
e e v m L ρ =
µ B das Bohr’sche Magneton (J/T = Am 2 )
ρ
[Js] bezeichnet den Drehimpuls. L ist der Drehimpuls in Einheiten von h und
eh
−24
J
µ B = = 9.
274 ⋅10
.
2m
T
Damit erhält man für das Bahnmoment eines Elektrons
e
µ L B
= −µ
L .
Für den Eigendrehimpuls des Elektrons erhält man
µ S
B
= −gµ
S .
Der g-Faktor ist gegeben durch (siehe QED) g = 2.
002326 . In guter Näherung hat das
Elektron ein magnetisches Moment
µ = ± µ .
Für ein freies Atom oder Ion ist der Gesamtdrehimpuls gegeben durch
S
B
J = L + S .
Die Berechnung des entsprechenden magnetischen Moments ist nicht trivial, da die g-
Faktoren für L ( g = 1)
und S ( g = 2.
0023 ) verschieden sind. Man erhält für das
magnetische Moment:
L.

Festk0203_24 205 6/6/2003
= −g
µ J
µ J B
mit dem Landé-Faktor (Ashcroft-Mermin p. 797)
g J
3J
( J + 1)
+ S(
S + 1)
− L(
L + 1)
=
.
2J
( J + 1)
6.2. Diamagnetismus (Langevin)
Der Diamagnetismus kann mit Hilfe der Lenz’schen Regel erklärt werden:
Induktionsströme sind so gerichtet, dass sie der Flussänderung entgegenwirken.
B
I
M
Dadurch wird das äussere Feld abgeschirmt (vgl. Supraleiter). Das angelegte B Feld wird
reduziert: µ < 1 ⇔ χ dia < 0 . Reine Diamagnete sind Systeme bei denen der
Gesamtdrehimpuls J = 0 ist: Bi, Ar, kovalente Halbleiter, Ionenkristalle. Da χ dia

Festk0203_24 206 6/6/2003
I
1
Ze
T
eB
4πm
2
= ( − ) = ( − ) ⋅
L
= ( − ) = − .
Ze
ω
2π
Ze
e
Ze B
4πm
Um die Magnetisierung zu erhalten, muss man zuerst das magnetische Moment
berechnen
µ
Ze B
4πm
2
2
dia = IA = − π ρ .
e
Zur Illustration nehmen wir eine kugelförmige Ladungsverteilung an. Damit erhält man
für das mittlere Abstandsquadrat
2
r
3
2 2 2
2
ρ = x + y = .
Für die Magnetisierung folgt (N: Anzahl Atome pro Volumeneinheit)
M
NZe
B
= Nµ
dia = −
2
6me
2
r .
Damit erhält man für die diamagnetische Suszeptibilität das klassische Langevin
Ergebnis
M
M
NZe
2
χ dia = =
µ 0H
B
= −
6me
2
r .
χ dia (willk. Einheiten)
4
2
0
-2
-4
-6
diamagnetische Suszeptibilität
χ dia < 0
-8
0 40 80 120 160
T (K)
e
File Magnetismus.opj

Festk0203_24 207 6/6/2003
Beachte, dass in manchen Lehrbüchern das magnetische Moment definiert wird durch
µ = µ 0IA
. Viele Materialien werden recht gut mit dem Modell von Langevin
beschrieben, das im wesentlichen auf eine Berechnung des mittleren Abstandquadrats der
Elektronen hinausläuft. Wir werden sehen, dass auch magnetische Materialien einen
diamagnetischen Beitrag liefern. Die diamagnetische Suszeptibilität hängt innerhalb der
getroffenen Annahmen nicht von der Temperatur ab.
6.3. Paramagnetismus
Paramagnetismus tritt vor allem in Materialien mit einer ungeraden Zahl von Elektronen
auf. Sauerstoff ist aber ein Beispiel eines paramagnetischen Materials mit einer geraden
Anzahl von Elektronen. Das magnetische Moment ist gegeben durch
= −g
µ J .
µ J B
Legt man ein Magnetfeld an, dann erzeugt man Zeeman-Niveaus deren Energie gegeben
ist durch
U J J B
= −µ
⋅ B = m g µ B .
Dabei kann die Quantenzahl m J die 2 J + 1 möglichen Werte J, J − 1,...
− J annehmen.
Die geringste Energie hat der Zustand mit mJ = −J
, der Zustand mit dem Spin
antiparallel zu B, i.e. dem magnetischen Moment parallel zu B.
Der Einfachheit halber betrachten wir das magnetische Verhalten eines einzelnen Spins
1 J = S = . Die Energie der Niveaus ist dann = ± µ B . Die Besetzung der zwei
mit 2
U 1
± B
2
möglichen Zustände m1 / 2
1 = ± ist gegeben durch Boltzmann-Faktoren exp( − U / k T )
2
B .
Mit der Abkürzung ≡ g Jµ
B /( k T ) = µ B /( k T ) erhält man
N 1
x
− e
2
= x
N 1 + N 1 e + e
−
2 2
x J B B B B
−x
N 1
−x
e
2
= x
N 1 + N 1 e + e
−
2 2
−x
.
2µ BB
m J
1/2
-1/2
µ L
-µ B
µ B

Festk0203_24 208 6/6/2003
Besetzung
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
Besetzung des
unteren Zustands
Besetzung des
oberen Zustands
0.0
0 1 2
x = µ B/k T
Β B
3 4
File Magnetismus.opj
Die Magnetisierung der Probe ist gerade proportional zur Differenz der beiden Kurven.
Normalerweise ist µ ⋅ B > N
induzierte Magnetisierung erhält man mit N N + N
= 1
−
2
M N N B N = − = x − x
e − e
( 1 1 ) µ µ N x
− B = µ
x x B tanh .
−
2 2
e + e
1
2
1
2
. Für die
Für x

Festk0203_24 209 6/6/2003
χ para
100
80
60
40
20
χ para = C/T
Suszeptibilität
0.20
0.16
0.12
0.08
0.04
0
0 40 80 120 160 0.00
T (K)
-1
χ = T/C
para
1/χ para
File Magnetismus.opj
Für beliebige J hat man 2 J + 1Niveaus
und man erhält für die Magnetisierung und die
Suszeptibilität die allgemeineren Ausdrücke
M = Ng J Jµ
B BJ
(x)
und für die Suszeptibilität im Grenzfall ≡ g J B /( k T )

Festk0203_24 210 6/6/2003
0 1 2 3 4
B/T (T/K)
Bei hohen Temperaturen ist die paramagnetische Suszeptibilität umgekehrt proportional
zur Temperatur. Dies ist im Gegensatz zum Langevin’schen Diamagnetismus, der
unabhängig von der Temperatur ist. Die Curiekonstante ist gegeben durch
C =
Ng
2
J
2
µ B J ( J + 1)
.
3k
Denn Ausdruck µ eff = g J ( J + 1)
bezeichnet man als “effektives Moment”. Durch
Messen der Temperaturabhängigkeit der paramagnetischen Suszeptibilität kann man
µ eff eines Materials bestimmen, indem man 1 / χ para gegen die Temperatur T aufträgt. Die
−1
Steigung entspricht dann gerade der inversen Curiekonstanten C . Andererseits kann
man natürlich das magnetische Moment auch bestimmen durch Messen der
Magnetisierung: Man sättigt die Probe in einem hohen B-Feld und bestimmt M. Daraus
kann das Sättigungsmoment µ s bestimmt werden: mJ = −J
. Für viele Materialien erhält
man konsistente Werte für µ s und µ eff .
Tabelle: Effektives Moment von einigen seltenen Erden Ionen bei Raumtemperatur.
Ion Elektronische
Konfiguration
Grundzustand
(Hund’sche Regeln)
µ eff (berechnet) µ eff (gemessen)
Ce 3+
4f 1 5s 2 p 6
Pr
2
F5/2 2.54 2.4
3+
4f 2 5s 2 p 6
3
H4 3.58 3.5
….. …. … …. ….
Sm 3+
4f 5 5s 2 p 6
Eu
6
H5/2 0.84 1.5
3+
4f 6 5s 2 p 6
7
F0 0 3.4
B

Festk0203_24 211 6/6/2003
….. …. … …. ….
Yb 3+
4f 13 5s 2 p 6
2
F7/2 4.54 4.5
Bezeichnung: Die hochgestellte Zahl bedeutet 2 S + 1,
der grosse Buchstaben bezeichnet
den Bahndrehimpuls L und die tiefgestellte Zahl den totalen Drehimpuls j .
Merke:
L (Zahl) 0 1 2 3 4 5 6
L (Symbol) S P D F G H I
Die Hund’schen Regeln besagen folgendes zur Besetzung des Grundzustands:
1. S = ∑ si
hat maximal erlaubten Wert, der kompatibel ist mit dem Pauli-Prinzip.
Grund: Minimierung der Coulomb-Abstossung.
2. L = ∑l
i nimmt maximal möglichen Wert an, der kompatibel ist mit S.
3. J = L − S , wenn die Schale weniger als halb gefüllt ist, sonst ist J = L + S .
Für eine halbgefüllte Schale ist also L = 0 und damit J = S .
2S+1 L
J
Die 3. Hund’sche Regel folgt aus der Tatsache, dass für ein einzelnes Elektron die Spin-
Orbit Wechselwirkung am kleinsten ist, wenn L und S antiparallel sind.
Die Übereinstimmung der berechneten und gemessenen Werte für µ eff ist relativ gut, weil
die f-Elektronen von den s- und p-Elektronen gut abgeschirmt werden und damit als
lokalisiert betrachtet werden können. Im weiteren sind die Anregungen in andere J-
Multiplets vernachlässigbar mit der Ausnahmen von Sm 3+ und Eu 3+ .