Lösung 11 - TUM

Physik Department, Technische Universität München, PD Dr. W. Schindler
ÜBUNGEN ZU EXPERIMENTALPHYSIK 1 - WS 12/13
Lösungen zu Übungsblatt 11
1. Ideales Gas
An einem zylindrischen Gefäß der Höhe H, der Grundfläche A und dem Volumen V 0 ist ein dünnes Rohr dicht angeschlossen.
Dieses Rohr wird mit Wasser der Dichte ρ bis zur Höhe l gefüllt. Der atmosphärische Druck sei p 0 (vergleiche
mit Skript, Kapitel 4.2).
(a) Geben Sie einen Ausdruck für das Gasvolumen im Gefäß in Abhangigkeit von x (siehe Zeichnung) nach Einfüllen des
Wassers an.
(b) Wie groß ist der Gasdruck im Gefäß, wenn die Temperatur beim Einfüllen konstant geblieben ist?
(c) Wie groß ist der Wasserdruck im Gefäß auf Höhe der Grenzfläche zwischen Wasser und Gas?
(d) Berechnen Sie die Wasserhöhe x im Gefäß.
(a) V = A · (H − x) =V 0
H−x
H
(b) Zustandsgleichung des idealen Gases: pV = nRT = konstant =⇒ p 0 V 0 = p V → p = p0V0
V aus (a)=⇒ p = p 0
H
H−x
(c) Das Wasser im Rohr ist mit dem Wasser im Gefäß verbunden, d.h. der Druck auf Höhe der Grenzfläche im Gefäß ist
gleich dem Druck auf der gleichen Höhe im Rohr.
Sei h die Höhe der Wassersäule im Rohr oberhalb von x: p wx = p 0 + ρgh = p 0 + ρg (l − x)
(d) Da sich an der Grenzfläche zwischen Wasser und Gas ein Gleichgewicht einstellt, müssen die Ergebnisse aus (b) und
H
(c) gleich sein: p 0 H−x = p 0 + ρg (l − x)
Auflösen nach x: p 0 H = p 0 (H − x)+ρg (l − x)(H − x)
p 0 H = p 0 H − p 0 x + ρg lH − xH − lx + x 2
0=ρgx 2 + x(−p 0 − ρgH − ρgl)+ρglH
x 2 − l + H + p0
ρg
x + lH =0
pq-Formel benutzen: x 1,2 = l+H+ p 0
ρg (l+H+ p 0
ρg ) 2
2
±
4
− lH
Lösung sinnvoll, wenn Wasserhöhe x → 0 für Füllstand l → 0
=⇒ x = l+H+ p 0
ρg
2
−
(l+H+ p 0
ρg ) 2
4
− lH
1

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2. Gasaustausch
Zwei Behälter A und B enthalten ein ideales Gas. Das Volumen von B sei 4-mal so groß wie das Volumen von A. Druck
und Temperatur der Behälter sind: p A = 7 bar; T A = 400 K; p B = 1 bar; T B = 500 K. Beide Behälter werden nun
verbunden, wobei die Temperatur jedes Behälters auf ihrem anfänglichen Wert gehalten wird. Welcher Enddruck stellt
sich ein, nachdem das Gas die jeweilige Behältertemperatur angenommen hat?
p A = 7 bar, T A = 400 K, V A = 1 4 V B
p B = 1 bar, T B = 500 K, V B =4V A
nach Verbinden:
p A = p B (gesuchte Größe)
TA = T A und TB = T B
VA = V A und VB = V B
Anzahl der Teilchen im System ändert sich nicht:
N A + N B = NA + N B
Zustandsgleichung: pV = Nk B T → N = pV
k B T
Mit den jeweiligen Indizes einsetzen in Teilchengleichung:
p A V A
k B T A
+ p BV B
k B T B
Auflösen nach p A :
p A =
= p A V A
k B T
+ p
A
B V B
k B TB
k B pA V A
1 V A T + 4 T A k B
A T B
+ 4pB
TA T
B
1
T + 4
A T B
p A = p B = pA
+ p BV B
T B k B
= p A V A
k B T A
+ p A 4V A
k B T B
= p A V A
k B
1
= pA V A
1 V A T + 4 T A
A T B
=2, 43 · 10 5 Pa = 2, 43 bar
1
T A
+ 4
T B
+ p B4V A
T B
1
=
1
T + 4
A T B
pA
TA
+ 4p B
T B
3. Heizbarer Druckbehälter
Ein Druckbehälter enthält ein Gemisch aus 0,368 kg Stickstoff (N 2 ) und 0,514 kg Kohlendioxid (CO 2 )bei0°C und
einem Druck von 15,4 bar. Durch elektrische Heizung steigt die Temperatur auf 100°C (siehe z.B. im Skript Kapitel 4.1.7
und 4.2).
(a) Berechnen Sie für beide Gase die molaren isochoren Waermekapazitaeten nach c mol,V = f 2 N Ak B in J
mol K ,mitf:
Anzahl der Freiheitsgrade (siehe Skript 4.1.2).
Stickstoff ist ein zweiatomiges Gas und hat daher 3 Translations- und 2 Rotationsfreiheitsgrade: f =5
→ c mol,V,N2 = 5 ”T eilchen”
2 · 6, 022 · 1023
mol
· 1, 38 · 10 −23 J J
K
= 20, 78
mol K
Kohlendioxid ist ein mehratomiges, nichtlineares Molekül und hat daher 3 Translations- und 3 Rotationsfreiheitsgrade:
f =6

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→ c mol,V,CO2
= 6 2
”T eilchen”
· 6, 022 · 1023
mol
· 1, 38 · 10 −23 J J
K
= 24, 93
mol K
(b) Welche Wärme wurde dem Gemisch zugeführt?
Im Bild des idealen Gases lässt sich die Wärmemenge zur Erwärmung des Gasgemisches aus den Wärmemengen zur
Erwärmung der einzelnen Stoffanteile zusammensetzen:
W Q = W Q,i = c mol,V,i · n i ·T mit c mol,V,i : molare isochore Wärmekapazität fuer jeden einzelnen Stoff
i
i
Stoffmengen aus den molaren Massen M N2 =2· 14 g
mol = 28 g
mol , M CO 2
=(2· 16 + 12) g
mol = 44 g
mol :
n N2 = m N 2
M N2
= 13.14 mol; n CO2 = m CO 2
M CO2
= 11.68 mol
−→ W Q = 56.42 kJ
(c) Welches Volumen hat der Behälter?
Gasgleichung für das Gemisch: p 1 V g = n g RT 1 mit p 1 = 15, 4 bar = 15, 4 · 10 5 J m 3
n g = Stoffmenge Gasgemisch = n N2 + n CO2 = 24, 82 mol
−→ V g = n g R T1
p 1
=3, 66 · 10 −2 m 3
(d) Wie groß ist der Druck nach der Erwärmung?
aus Gasgleichung: p 2 = n g R T2
V g
= 21, 03 bar
und T 1 =0 ◦ C = 273, 15 K
4. Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung
In einem idealen Gas bewegen sich nicht alle Gasteilchen mit der gleichen Geschwindigkeit, sondern statistisch verteilt
mit verschiedenen Geschwindigkeiten gemäß der Maxwell-Boltzmann-Verteilung. Die Wahrscheinlichkeitsdichte für die
Geschwindigkeit ist gegeben durch (vergleiche mit Skript, Kapitel 4.1.2):
2
f (v) =
π
3/2
m
· v 2 · exp
− mv2
k B T
2k B T
Berechnen Sie die Geschwindigkeit mit der größten Wahrscheinlichkeitsdichte v w an für ein Wasserstoffmolekül bei 300
K und 1000 K. (Tipp: Siehe zur Maximalwertberechnung von f(v) Blatt 2, Aufgabe 2.1!)
!
Gesucht: Maximalwert der Verteilung → ∂f(v)
∂v
=0wurde auf Blatt 2, Aufgabe 2.1 bereits detailliert hergeleitet.
3/2
Kurze Wiederholung: ∂f(v) 2 m
∂v
=
π ·
· exp
− mv2 ·
2v − mv3 =0
k B T
2k B T k B T
wird nicht null!
=0
=⇒ v · (2 − mv2
k B T )=0=⇒v =0(Minimum) und v = 2k B T
m
= v w (Maximum)
Masse eines Wasserstoffmoleküls:
m H2 = M H 2
N A
=
=3.32 · 10 −24 g=3.32 · 10 −27 kg k B =1.3807 · 10 −23 J K
v w (300 K) =
2 g
mol
6.022·10 23 1
mol
2k B T
v w (1000 K) = 2884 m s
K ·300 K
3.32·10 −27 kg
m =
2·1.3807·10 −23 J
1 J=1 Nm; 1 N=1 kg·m
s 2
= 1579 m s