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9. Leistung im Wechselstrom
9.1 Leistung am ohmschen Widerstand
Die sinusförmige Wechselspannung und -strom am ohmschen Widerstand sind in Phase.
u(t)=Û sin ωt
i(t)=Î sin t
ω
Abb. 9.1.: Strom und Spannung am ohmschen Widerstand
Die zeitabhängige Leistung p(t) am ohmschen Widerstand beträgt:
p(t) = u(t) ⋅ i(t) = U sin ωt ⋅ I sin ωt = U ⋅ I ⋅ sin 2 ωt = U ⋅ I ⋅ 1
(1 − cos 2ωt)
2
u
i
p
u(t)
ÛÎ
i(t)
R
t
p=P=U I
Abb. 9.2.: Zeitlicher Verlauf von Strom, Spannung und Leistung am ohmschen Widerstand
Die Augenblicksleistung pulsiert mit 100Hz im 50Hz-Netz. Ihr arithmetischer Mittelwert
beträgt P = U ⋅ I.
Den Mittelwert der Leistung im Wechselstromnetz bezeichnet man als
Wirkleistung.
Die Wirkleistung am ohmschen Widerstand beträgt:
P =
U ⋅ I
2 = U ⋅ I = I 2 2
⋅ R =
U
R
Die Leistung im Wechselstromnetz pulsiert mit doppelter Netzfrequenz
Der Mittelwert der Augenblicksleistung heißt Wirkleistung P
9.2 Leistung an der Induktivität und an der Kapazität
Die sinusförmige Wechselspannung und -strom an der Induktivität und an der Kapazität sind
um 90° Phasenverschoben.
t
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u(t)=Û sin ωt
i(t)=- Î cos t
ω
L
i(t)=Î cos t
ω
u(t)=Û sin ωt C
Abb. 9.3.: Strom und Spannung an der Induktivität und an der Kapazität
Die zeitabhängige Leistung p(t) an der Induktivität beträgt:
p(t) = u(t) ⋅ i(t) = U sin ωt ⋅ −I cos ωt = U ⋅ I ⋅ sin ωt ⋅ cos ωt = U ⋅ I ⋅ 1
sin 2ωt 2
Strom, Spannung und Leistung an der Induktivität:
u
i
p
u(t)
i(t)
t
t
p=P=0
Abb.9.4.: Zeitlicher Verlauf von Strom, Spannung und Leistung an der Induktivität und an der Kapaität
Die Augenblicksleistung pulsiert mit 100Hz im 50Hz-Netz. Ihr arithmetischer Mittelwert ist
Null . Es wird im Mittel keine Leistung an die Induktivität übertragen, obwohl Spannung
anliegt und Strom fließt.
Die Induktivität nimmt keine Leistung auf. Das Gleiche gilt für die Kapazität. Die 90°
Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung bewirkt, dass die Leistung positiv und
negativ wird, d.h. die Induktivität bzw. die Kapazität nimmt Leistung auf und gibt sie wieder
ab. Diese Leistung wird als Blindleistung Q bezeichnet. Die Leistung pendelt zwischen
Spannungsquelle und Induktivität bzw. Kapazität. Die Induktivität bzw. die Kapazität
bezeichnet man in diesem Zusammenhang als Blindelement X.
Der Mittelwert der Augenblicksleistung an der reinen Kapazität und der reinen
Induktivität ist Null.
9.3 Allgemeine Leistungsberechnung im Wechselstromnetz
U
I
Z
I cosϕ
ϕ
I
U
I sin ϕ
Abb. 9.5.: Strom und Spannung an der Impedanz Z
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An einer allgemeinen Wechselstromlast sind die Spannung U und der Strom I
phasenverschoben um den Winkel ϕ. Man kann den Strom in zwei Komponenen darstellen,
nämlich den Teil I cos ϕ in Phase mit U und den Teil I sin ϕ um 90° phasenverschoben von
U. Ebenso könnte man die Spannung in einen Teil in Phase mit U und einen Teil um 90°
phasenverschoben von I zerlegen. Das Produkt U I cos ϕ erzeugt die Wirkleistung an Z, das
Produkt U I sin ϕ die Blindleistung an Z. Das Produkt U I heißt Scheinleistung S (VA).
Allgemein gilt:
Wirkleistung 1 : P = U ⋅ I ⋅ cos ϕ (W)
Blindleistung 2 : Q = U ⋅ I ⋅ sin ϕ (var)
Scheinleistung 3 : S = U ⋅ I (VA)
Zur Unterscheidung werden die verschiedenen Leistungen mit unterschiedlichen Einheiten
versehen: Wirkleistung in Watt (W), die Scheinleistung in VoltAmpere (VA) und die
Blindleistung in Volt Ampere reaktiv (var).
Der cos ϕ heißt Leistungsfaktor.
P, Q und S bilden das sogenannte Leistungsdreieck:
ϕ
S
P
Q
Abb.9.6.: Das Leistungsdreieck
S 2 = P 2 + Q 2
9.4 Messen von Spannung, Strom und Leistung im Wechselstromnetz
Spannungsmesser messen den Effektivwert der Spannung. Sie sollen möglichst wenig Strom
aufnehmen, um die Messgröße nicht zu belasten. Sie sind deswegen sehr hochohmig.
Strommesser messen den Effektivwert des Stromes. Sie sollen einen möglichst kleinen
Spannungsabfall haben, damit sie die Spannung am Messobjekt nicht merklich beeinflussen.
Sie sind deswegen sehr niederohmig.
Leistungsmesser messen den Mittelwert der Leistung, d.h. die Wirkleistung. Sie haben einen
Spannungspfad und einen Strompfad, weil sie Strom und Spannung messen und miteinander
multiplizieren müssen. Der Spannungspfad ist sehr hochohmig, der Strompfad ist sehr
niederohmig.
1
2
3
Wirkleistung: (real) power
Blindleistung: reactive power
Scheinleistung: apparent power
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V
Z
A
Z
P
Spannungspfad
Strompfad
Abb. 9.7.: Messen von Strom, Spannung und Leistung
Mittels der Strom-, Spannungs- und Leistungsmessung können alle weiteren Größen
bestimmt werden:
S = U ⋅ I
9.5 Blindstromkompensation
cos ϕ = P
S
Z
= P
U ⋅ I
Q = S ⋅ sin ϕ
Blindleistung ist oft unerwünscht. Sie ist keine Nutzleistung, verursacht jedoch durch ihren
Strom Verluste auf den Leitungen. Industriebetriebe müssen deswegen nicht nur für
Wirkleistung Gebühren an den Energieversorger bezahlen, sondern auch für Blindleistung. In
Industriebetrieben wird deswegen der Blindstrom bzw. die Blindleistung kompensiert.
U
IΝ
I cos ϕ
ϕ
I
Ν
U
U
IΝ I Ic
V
I =
Ν
I
A
I cos ϕ
Abb. 9.8.: Netzstrom bei der ohmsch-indutiven Last a)ohne und b) mit Blindstromkompensation
Als Wirkleistung wird nur der Teil U ⋅ I cos ϕ übertragen. Demgegenüber fließt aber der
deutlich größere Strom IN durch die Zuleitungen bzw. durch die Netzleitungen (siehe Abb.
9.8a) Die Zuleitungen müssen deswegen für den Scheinleistungsstrom I dimensioniert
werden. Mit einem Trick, der sogenannten Blindstromkompensation kann der
Zuleitungsstrom vermindert werden. Man schaltet der ohmsch-induktiven Last einen
Kondensator parallel. Dadurch wird der Strom IC addiert. Siehe Abb. 9.8b. Durch die
Zuleitungen fließt nun der verminderte Strom IN = I cos ϕ.
Für eine vollständige Blindstromkompensation muß gelten:
Daraus folgt für C:
Ic = I sin ϕ = U
1/ωC
C =
I sin ϕ
U ⋅ ω
ϕ
P
Ic
U
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Z
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Die Blindstromkompensation kann auch als Blindleistungskompensation betrachtet und
berechnet werden. Indukive Blindleistung muß durch kapazitive Blindleistung und kapazitive
Blindleistung durch induktive kompesiert werden. Dafür muß für das Beispel in Abb. 9.8
gelten:
Darus folgt wie oben:
Qind = QC
U ⋅ I ⋅ cos ϕ =
C =
I sin ϕ
U ⋅ ω
U 2
1/ωC
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Hinweis:
Es wird üblicherweise keine vollständige Kompensation durchgeführt. Bei kleinen Winkeln ϕ
unterscheiden sich I und I cosϕ nicht wesentlich. Die vollständige Kompensation bringt
gegenüber einer Kompensation auf cos ϕ = 0,9 nicht mehr viel, benötigt aber deutlich mehr
Kompensationskondensatoren bzw. Kompensationsinduktivitäten.
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