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Ad (b): Ad (c): womit x 2 sin(2x) dx p. I. = − 1 2 x2 cos(2x) + p. I. = − 1 2 x2 cos(2x) + x cos(2x) dx 1 1 x sin(2x) − 2 2 = − 1 2 x2 cos(2x) + 1 1 x sin(2x) + 2 4 cos(2x). sin(2x) dx p. I. sin(2x) cos x dx = sin(2x) sin x − 2 cos(2x) sin x dx p. I. = sin(2x) sin x − 2 − cos(2x) cos x − 2 sin(2x) cos x dx = sin(2x) sin x + 2 cos(2x) cos x + 4 sin(2x) cos x dx, −3 sin(2x) cos x dx = sin(2x) sin x + 2 cos(2x) cos x. Unter Verwendung der Doppelwinkelformeln (a.k.a. Additionstheoreme) erhält man schliesslich sin(2x) = 2 sin x cos x und cos(2x) = sin 2 x − cos 2 x sin(2x) cos x dx = − 2 3 cos3 x. Ad (d): Wir substituieren y := 1 + x2 , womit dy = 2x dx und somit x 1 + x2 dx = 1 2 √y 1 3 dy = y 2 = 3 1 3 (1 + x2 ) 3 2 . Aufgabe 3. Berechne die unbestimmten Integrale (a) 1 x2 dx, + 16 (b) 1 x2 dx, − 8x + 16 (c) Lösung. Ad (a): Wir substituieren x =: 4y, womit dx = 4 dy und somit 1 x2 dx = + 16 4 16y2 1 dy = + 16 4 1 x 2 − 10x + 16 dx. 1 y2 1.1 dy = + 1 1 1 x arctan y = arctan 4 4 4 . Ad (b): Wir bemerken, dass x2 − 8x + 16 = (x − 4) 2 und also 1 x2 dx = − 8x + 16 1 1 dx = − (x − 4) 2 x − 4 . Sowohl die gegebene Funktion als auch die gefundene Stammfunktion sind auf R \ {4} definiert. Ad (c): Es ist x 2 − 10x + 16 = (x − 2)(x − 8) und wir machen die Partialbruchzerlegung. D.h. wir suchen a, b ∈ R sodass 1 a b = + (x − 2)(x − 8) x − 2 x − 8 (a + b)x − 8a − 2b = , (x − 2)(x − 8)
womit durch Koeffizientenvergleich im Zähler a = −b und b = 1/6 (womit a = −1/6). Man integriert nun leicht 1 x2 1 1 1 dx = −1 dx + − 10x + 16 6 x − 2 6 x − 8 dx = 1 (− ln |x − 2| + ln |x − 8|) 6 = 1 6 ln x − 8 x − 2 . Die gegebene Funktion, sowie diese Stammfunktion sind auf R \ {2, 8} definiert. Aufgabe 4. Berechne (a) 1 dx und (b) sin x Lösung. Wir setzen u := tan x 1 2 , womit du = 2 (1 + u2 ) dx und Ad (a): sin x = 2u 1 + u2 1 − u2 und cos x = 1 + u2 1 1 + u2 dx = sin x 2u 2 1 du = 1 + u2 u was natürlich nur für x /∈ πZ (d.h. sin x = 0) definiert ist. Ad (b): 1 dx = sin x + cos x 1 + u2 −u2 + 2u + 1 2 du = −2 1 + u2 1 sin x + cos x dx. für x /∈ π + 2πZ. du = ln |u| = ln x tan 2 , 1 u 2 − 2u − 1 du. Wir bemerken, dass u 2 − 2u − 1 = (u − (1 − √ 2))(u − (1 + √ 2)) und wir machen wiederum eine Partialbruchzerlegung. D.h. wir suchen a, b ∈ R, sodass 1 u 2 − 2u − 1 = a u − (1 − √ 2) + b u − (1 + √ 2) = (a + b)u − a(1 + √ 2) − b(1 − √ 2) u2 , − 2u − 1 womit durch Koeffizientenvergleich im Zähler a = −b und b = 1/(2 √ 2) (d.h. a = −1/(2 √ 2)). Man erhält nun also 1 1 dx = −√ − sin x + cos x 2 1 u − (1 − √ du + 2) = 1 √ ln u − (1 − 2 √ 2) − ln = 1 u − (1 − √ ln 2 √ 2) u − (1 + √ 1 = √ ln 2) 2 1 u − (1 + √ 2) du u − (1 + √ 2) tan x tan x 2 − (1 − √ 2) 2 − (1 + √ 2) , was für x /∈ π + 2πZ (dies sind die Stellen, wo tan x 2 nicht definiert ist) und x /∈ −π/4 + πZ sinnvoll ist (dies sind die Stellen wo tan x 2 ∈ {1 ± √ 2} oder äquivalent sin x + cos x = 0). Da jedoch unsere Funktion 1/(sin x + cos x) in einer Umgebung der Stellen π + 2πZ stetig ist, muss dort eine Stammfunktion existieren und tatsächlich ist für k ∈ Z lim x→π+2πk 1 √ ln 2 tan x tan x 2 − (1 − √ 2) 2 − (1 + √ = 1, 2)
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Seite 5: Bemerkung. Alternativ kann auch gan

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