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Vektorfelder Lie-Ableitung.pdf

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Vektorfelder

Wiederholung: Tangentialraum, Vektorfeld Ist und x∈G , so identifizieren wir den Tangentialraum T x0 mit einer in den Punkt x verschobenen Kopie des ℝ n . Geometrisch denken wir uns die Vektoren in T x mit ihrem Fußpunkt in x angeheftet. Für zwei Punkte x≠ y sind die Tangentialräume T x ,T y disjunkt zu denken, also T x∩T y=∅ , so daß die Addition von Vektoren aus Tangentialräumen mit verschiedenen Basispunkten keinen Sinn macht. Die vom ℝ n geerbte natürliche Basis von T x bezeichnen wir mit e 1 x ,,e n x , so daß ein beliebiger Vektor X x∈T x eine eindeutige Darstellung X x=∑ X i=1 i xe i x besitzt mit Koeffizienten X i x∈ℝ . Man faßt nun für alle x∈G die Tangentialräume T x zum Gesamt-Tangentialbündel TG= T x zusammen. x∈G Ein Vektorfeld auf G ist eine Abbildung X :G TG , wobei für jedes x∈G gilt: X x∈T x , d.h. für jeden Punkt x∈G gibt es einen zugeordneten Vektor X x mit Fußpunkt in x . Ein Vektorfeld auf G läßt sich offenbar schreiben als X =∑ X i=1 i ei , wobei die X i reellwertige Funktionen auf G sind und die ei „Basisvektorfelder“ . Die punktweise Auswertung des Vektorfelds ergibt wieder die obige Gleichung X x=∑ i=1 n n n X i xe i x . Man nennt nun ein Vektorfeld auf G stetig, differenzierbar, etc., wenn die Koeffizientenfunktionen X i sämtlich stetig, differenzierbar, etc. sind. Vektorfelder auf G kann man in natürlicher Weise addieren und mit reellen Skalaren multiplizieren. Sie bilden selbst einen Vektorraum. Wir werden uns aus Bequemlichkeitsgründen meist nur mit dem Unterraum XG der unendlich oft differenzierbaren Vektorfelder auf G beschäftigen. Tangentialvektoren, also Vektoren in einem Tangentialraum T x , operieren in natürlicher Weise n als „Richtungsableitungen“. Sei X x=∑ X i=1 i xe i x∈T x gegeben, sowie eine differenzierbare Funktion f , die in einer Umgebung von x erklärt ist. Wir setzen einfach n X x f :=∑ X i=1 i ∂ f x x . Damit wirkt i ∂ x X x und übrigens jede Richtungsableitung als Derivation in x . Eine Derivation in x ist ein Operator, der auf einer in einer Umgebung von x definierten differenzierbaren Funktion mit Summen- und Produktregel operiert, wobei z.B. die Produktregel für X x so aussieht: X x fg = f x X x g g x X x f . Damit können wir einem Vektorfeld X ∈XG und einer differenzierbaren Funktion f auf G eine neue differenzierbare Funktion Xf zuordnen nach der Vorschrift Xf x:= X x f . Die Produktregel nimmt jetzt die besonders einfache Gestalt X fg= f⋅Xg Xf⋅g an. Bezeichnet man die Menge der auf G (unendlich oft) differenzierbaren Funktion mit G , so wirkt ein

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