Bestimmung der Modulationstransferfunktion einer CCD-Kamera ...

Universität Bremen 

Institut für Festkörperphysik 

Otto-Hahn-Allee 

28359 Bremen 

Master-Arbeit 

Bestimmung der Modulationstransferfunktion 

einer CCD-Kamera und Kontrasttransfer in der 

Transmissionselektronenmikroskopie 

Erstgutachter: 

Zweitgutachter: 

Betreuer: 

Eingereicht von: 

Dennis Zillmann 

Abgegeben am: 

24. Oktober 2011 

Prof. Dr. A. Rosenauer 

Prof. Dr. R. Bergmann 

Dr. K. Müller

Name: Dennis Zillmann 

Matrikel-Nr.: 2120502 

An den 

Master-Prüfungsausschuss 

Erklärung gem. § 22 (9) Allgemeiner Teil der MPO vom 13.07.2005 

Ich versichere hiermit, dass ich meine Master-Arbeit ohne fremde Hilfe angefertigt habe, und 

dass ich keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt habe. 

Alle Stellen, die wörtlich oder sinngemäß aus Veröffentlichungen entnommen sind, habe ich 

als solche kenntlich gemacht. 

Die Master-Arbeit darf nach Abgabe nicht mehr verändert werden. 

Bremen, 24. Oktober 2011 

Unterschrift 

iii

Inhaltsverzeichnis 

Einleitung 1 

1 Transmissionselektronenmikroskopie und Elektronenoptik 3 

1.1 Aufbau eines Transmissionselektronenmikroskops . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 

1.2 Abbildungsmodi im TEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 

1.3 Komponenten des TEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 

1.3.1 Feldemissionsquelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 

1.3.2 Objektivlinse und Linsenfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 

1.3.3 Elektronische Detektoren und ladungsgekoppelte Geräte . . . . . . . . . . 8 

1.4 Rauschprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 

1.5 Optisch relevante Ebenen im Transmissionselektronenmikroskop . . . . . . . . . . 11 

2 Wechselwirkung hochenergetischer Elektronen mit Kristallen 13 

2.1 Auflösungsvermögen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 

2.2 Wellenlängen relativistischer Elektronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 

2.3 Beugung im Nah- und Fernfeldbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 

2.4 Kristallgitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 

2.5 Kinematische Beugungstheorie und Beugung am idealen Kristall . . . . . . . . . 19 

2.5.1 Bragg-Beugung und Ewald-Konstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

2.5.2 Orientierung in Zonenachse und Laue-Zonen . . . . . . . . . . . . . . . . 20 

2.5.3 Reflexintensität und Strukturfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 

2.5.4 Debye-Waller-Faktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 

2.6 Dynamische Beugungstheorie und Elektron-Phonon-Streuung . . . . . . . . . . . 23 

2.6.1 Thermisch diffuse Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 

2.6.2 Hochenergie-Näherung für Elektronen und die Multislice-Lösung . . . . . 25 

2.6.3 Frozen Phonon und Frozen Lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 

2.7 Kohärenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 

3 Kontrastenstehung und Abbildung 33 

3.1 Kontrastdefinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 

3.2 Phasenkontrast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 

3.3 Nichtlineare Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 

3.3.1 Kohärente Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 

3.3.2 Inkohärente Abbildung mit Transmissionskreuzkoeffizienten . . . . . . . . 37 

3.3.3 Inkohärente Abbildung mit inkohärenter Summierung . . . . . . . . . . . 38 

3.4 Modulationstransferfunktion bildgebender Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 

3.5 Signalabtastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 

3.5.1 Abtasttheorem von Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 

3.5.2 Unterabtastung und Aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 

v

Inhaltsverzeichnis 

4 Messung der Modulationstransferfunktion der eingesetzten CCD-Kamera 47 

4.1 Stand der Forschung: Kantenmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 

4.2 Methode zur MTF-Auswertung nach Thust . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 

4.2.1 Prinzip der Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 

4.2.2 Erstellung eines synthetischen Referenzbilds . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 

4.2.3 Normierung des Kantenbilds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 

4.2.4 Kosinusfensterfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 

4.2.5 Berücksichtigung von Aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 

4.2.6 Gewichtung und rotatorischer Mittelwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 

4.2.7 Abschätzung der Rauschleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 

4.3 Auswertung mit Beamblanker-Kantenbildern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 

4.3.1 Experimentelle Vorarbeiten und Aufnahmen der Kantenbilder . . . . . . . 57 

4.3.2 Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 

4.4 Untersuchung des Aliasings mit alternativen Objekten . . . . . . . . . . . . . . . 59 

4.4.1 Simulationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 

4.4.2 Praktische Umsetzung und Aufnahmen des Dreisegment-Sterns . . . . . . 61 

4.4.3 Ergebnisse mit Dreisegment-Siemens-Stern . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 

4.5 Verifizierung der Auswertungsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 

4.6 Diskussion der Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 

5 Kontrastmessungen an einer Gallium-Arsenid-Probe 67 

5.1 Mikroskopjustage und Kompensation von Aberrationen . . . . . . . . . . . . . . 67 

5.2 Dickenprofil und Probenstellenbestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 

5.3 Radien der Objektivaperturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 

5.4 Bestimmung des Defokus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 

5.5 Ergebnisse und Diskussion der experimentellen Kontrastuntersuchungen . . . . . 76 

6 Kontrastbestimmung von simulierten Gallium-Arsenid-Proben 79 

6.1 Simulationen mit STEMsim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 

6.2 Durchführung und Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 

6.3 Ergebnisse und Vergleich mit experimentellen HRTEM-Aufnahmen . . . . . . . . 87 

Zusammenfassung 89 

A Anhang I 

A.1 Grundlagen der Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I 

A.2 Datenzusammenstellung des Titan 80-300 und UltraScan1000 CCD-Kamera . . II 

A.3 Aufbau und Implementierung der MTF-Bestimmungsmethode . . . . . . . . . . . III 

Literaturverzeichnis V 

Danksagung IX 

vi

Abkürzungsverzeichnis 

As Arsen 

BFP Back Focal Plane 

CCD Charge-Coupled Device, ladungsgekoppeltes Gerät 

CTF Contrast transfer function, Kontrasttransferfunktion 

EZ Einheitszelle 

FEG Field Emission Gun, Feldemissionsquelle 

FT Fourier-Transformation 

FFT Fast Fourier Transformation 

HAADF High Angular Annular Dark Field 

HR High Resolution, Hochauflösung 

Ga Gallium 

GaAs Gallium-Arsenid 

IP Imaging Plate, Bildspeicherplatte 

MTF Modulationstransferfunktion 

MIS Metal Insulator-Semiconductor 

OA Objektivapertur 

OAWF Objektaustrittswellenfunktion 

PSF Point Spread Function, Punktverwaschungsfunktion 

SAD Selected Area Diffraction 

SZ Superzelle 

SRT speziellen Relativitätstheorie 

STEM Scanning TEM, Raster-TEM 

TDS Thermal diffuse scattering, thermisch diffuse Streuung 

TEM Transmissionselektronenmikroskop 

vii

TCC Transmission Cross Coefficent, Transmissionkreuzkoeffizient 

WW Wechselwirkung 

ZA Zonenachse 

viii

Einleitung 

Das durch das sichtbare Spektrum des Lichts begrenzte Auflösungsvermögen von Lichtmikroskopen 

und das Postulat von De Broglie 1925, einem Elektron könne eine Wellenlänge anhand 

seines Impulses zugeordnet werden, führten zu einer raschen, technischen Entwicklung des 

Transmissionselektronenmikroskops (TEMs) [1]. Bereits 1932 berichteten Knoll und Ruska von 

experimentellen Versuchen mit magnetischen Elektronenlinsen in einem Elektronenmikroskop, 

dessen Auflösungsvermögen mit der De Broglie Wellenlänge der Elektronen und der Abbe’schen 

Theorie abgeschätzt wurde [2]. 1939 arbeitete Ruska bei Siemens und Halske weiter an der 

Entwicklung des ersten serienproduzierten TEM [1]. Bereits 1936 zeigte Scherzer jedoch, dass 

bei rotationssymmetrischen Elektronenlinsen ein sphärischer Linsenfehler nicht zu vermeiden 

ist [3]. Dieser auflösungsbegrenzende Linsenfehler konnte erst 1998 mit Hilfe eines von Uhlemann 

und Haider entwickelten Cs-Korrektors kompensiert werden [4]. 2008 konnte im Rahmen 

des TEAM-Projekts mittels eines Doppelkorrektors die Auflösungsgrenze eines TEMs sogar auf 

0,5˚A gesenkt werden [5]. 

Die Einführung der Charge-Coupled Device-Kamera (CCD-Kamera) in der Transmissionselektronenmikroskopie 

Ende der achtziger Jahre [6, 25] erlaubte den direkten Vergleich von experimentellen 

und simulierten, hochauflösenden TEM-Bildern (engl. High Resolution (HR)TEM) 

an Computern, ohne vorher z.B. Negativfilme entwickeln und anschließend scannen zu müssen 

[39]. Das Bestreben quantitative Rückschlüsse aus den HRTEM-Aufnahmen von Kristallstrukturen 

ziehen zu können, führte in den letzten Jahrzehnten aufgrund der immer leistungsfähiger 

werdenden Rechnern zu einer rasanten Implementierung von bereits seit langem vorhandener 

Simulationsverfahren [7, 8, 20]. Diese berücksichtigen insbesondere die Wechselwirkung zwischen 

Elektronen und Coulomb-Potenzial des Kristalls und die damit einhergehende Mehrfachstreuung, 

was die Anwendung der dynamischen Beugungstheorie erforderlich macht. Zwei der meist 

verwendeten Simulationsverfahren sind die Blochwellen- und Multislice-Methode, wobei Letztere 

auch für die Simulation von thermisch diffuser Streuung (TDS) benutzt werden kann [8, 20]. 

Obwohl Auflösungen im Sub-Angström-Bereich prinzipiell möglich und etablierte Simulationsmethoden 

verfügbar sind, konnten bislang keine mit den experimentellen Bildern übereinstimmenden 

Simulationen erzielt werden. So berichteten M.J. Hytch und W.M. Stobbs 1994 erstmals 

bei quantitativen Vergleichen von expermimentellen und simulierten HRTEM-Bildern von einem 

stets zwei bis dreimal höheren Kontrast in den simulierten Bildern [7]. Dieser als Stobbs-Faktor 

bezeichnete Kontrastunterschied besteht seit jeher und konnte bis heute nur teilweise erklärt 

werden [11]. Zurzeit gibt es drei verschiedene Ansatzpunkte in den Simulationen, bei denen die 

Ursache des Stobbs-Problems vermutet wird [11, 15, 17, 18]. Dies sind: 

1. die Simulation der Objektaustrittswellenfunktion (OAWF), 

2. die Abbildung der Wellenfunktion mit der Objektivlinse und 

3. der Aufzeichnungsprozess der detektierenden CCD-Kamera. 

Viele Simulationsprogramme wie z.B. Bloch4TEM von Müller [14] oder das EMS-Paket von 

1

Einleitung 

Stadelmann [13] berücksichtigen noch immer ausschließlich elastische Streuprozesse für die Berechnung 

der Objektaustrittswellenfunktion. Einen Hinweis auf den Einfluss von inelastischer 

Streuung an Phononen hingegen gibt die Holographie, bei der die Interferenzfähigkeit der Elektronen 

bereits bei Energieverlusten von 10 −15 eV zerstört ist [15, 16]. Lehmann und Lichte zeigten 

beispielsweise mit aufgenommenen Hologrammen von Gallium-Arsenid, dass die aus dem Seitenband 

rekonstruierte Wellenfunktion einen geringeren Stobbs-Faktor aufwies als die aus dem 

Hauptband rekonstruierte [15]. 

In Abbildungsprozessen wurden zudem die endliche räumliche und temporale Kohärenz der 

Elektronen mit Enveloppen-Funktionen im Spektrum des HRTEM-Bildes berücksichtigt [9, 11, 

24]. Die durch die Inkohärenzenveloppen zu hohen Ortsfrequenzen weggedämpften Elektronen 

tragen dann nicht mehr zum HRTEM-Bild bei [11, 18]. Im neuesten Ansatz von Van Dyck wird 

hingegen über viele Kristallkonfigurationen gemittelt, so dass die Abbildung der Objektwellenfunktion 

mittels inkohärenter Summierung vorliegt [18]. Die zuvor weggedämpften Elektronen 

tragen zwar auch weiterhin nicht zum HRTEM-Muster bei, allerdings liegen diese dann als Hintergrundintensität 

im Bild vor, womit der Kontrast im HRTEM-Bild modifiziert wird [17, 18]. 

Zuvor hat Thust in seinen Untersuchungen an dünnen Proben einen von der Mikroskopvergrößerung 

abhängigen Kontrast beobachtet. Dies ist nur möglich, wenn die Übertragungseigenschaft 

der CCD-Kamera nicht korrekt berücksichtigt wird [11]. Der Einfluss der Kameracharakteristik 

in Form der Modulationstransferfunktion (MTF) war bereits bekannt, so dass Thust eine 

neue Methode zur genaueren Bestimmung der MTF publizierte [11]. Mit der so gemessenen und 

korrekt in den Simulationen einbezogenen MTF zeigte Thust einen mit Experimenten übereinstimmenden 

Kontrast für dünne Proben von 2, 8 nm [11]. Die geringe Probendicke ließ allerdings 

keinen Rückschluss bzgl. der TDS zu, da diese erst bei dicken Proben verstärkt entsteht [34]. 

So lässt sich zunächst nur ein Einfluss der TDS auf den Kontrast bei dicken Proben vermuten. 

Um also diesen Ansätzen auf den Grund zu gehen, wird zunächst in der vorliegenden Arbeit die 

MTF der CCD-Kamera anhand der von Thust vorgestellten Methode bestimmt [11]. Der zweite 

Teil der Arbeit umfasst dann anschließend die Kombination aller Ansätze. Dafür werden neben 

den Aufnahmen von HRTEM-Bildern dicker Proben (≥30 nm) auch Simulationen durchgeführt, 

die dem Ansatz der inkohärenten Summierung nach Van Dyck zugrunde liegen [18]. 

Die vorliegende Arbeit beginnt in Kap. 1 mit einer Einführung in die Funktionsweise des verwendeten 

TEM und seiner Komponenten. Neben beugungstheoretischen Grundlagen werden in 

Kap. 2 Begriffe wie Kohärenz und Auflösungsvermögen erklärt. In Kapitel 3 wird sowohl auf 

die Bild- und Kontrastentstehung als auch auf den Aufzeichnungsprozess der CCD-Kamera Bezug 

genommen. Beim Letzteren stehen systemtheoretische Grundlagen der CCD-Kamera, wie 

die Signalabtastung, im Vordergrund. Kapitel 4 gibt dann den Schwerpunkt der Arbeit mit 

der Bestimmung der MTF der im TEM verwendeten CCD-Kamera an. Dafür wurde eine von 

Thust entwickelte und in Rahmen dieser Arbeit nachimplementierte Methode verwendet [11]. In 

Hinblick auf Aliasing-Artefakte wurden optimierte Objekte simuliert und experimentell umgesetzt. 

Das sich anschließende Kapitel 5 enthält experimentelle Untersuchungen des Kontrasts in 

HRTEM-Aufnahmen einer vergleichsweisen dicken Gallium-Arsenid-Probe von mehr als 30 nm, 

um den Einfluss der TDS genauer zu untersuchen. Kap. 6 präsentiert die mit dem STEMsim- 

Programm [30] umgesetzten Simulationen, wobei eine anschließende Berücksichtigung der zuvor 

bestimmten MTF die Simulation vervollständigt. Ein Vergleich zwischen experimentellen und 

simulierten HRTEM-Bildern ist inbegriffen, um den Stobbs-Faktor zu bestimmen. Abschließend 

werden die erzielten Ergebnisse in einer Zusammenfassung mit Ausblick zusammengetragen. 

2

1 Transmissionselektronenmikroskopie und 

Elektronenoptik 

1.1 Aufbau eines Transmissionselektronenmikroskops 

Ein Transmissionselektronenmikroskop (TEM) wird unter Hochvakuum bei Drücken von etwa 

10 −10 Torr betrieben. Mit dem in der Arbeit vorliegenden Mikroskop Titan 80-300 der Firma 

Fei kann bei Beschleunigungsspannungen von U = 80 kV bis 300 kV gearbeitet werden. Es 

gehört mit einer Auflösungsgrenze von 0,8˚A zu den derzeit modernsten Mikroskopen und ist mit 

einem Korrektor zur Kompensation der sphärischen Aberration der Objektivlinse ausgestattet. 

heizbares Filament 

Emissionsspitze 

Extraktoranode 

“Gun”-Linse 

Beschleunigungsanode 

C1-Linse 

C1-Blende 

C2-Linse 

C2-Blende 

C3-Linse 

Deflektionsspule 

Minikondensorlinse 

obere Objektivlinse 

Probe + Halter 

untere Objektivlinse 

Objektivblende 

Korrektor 

“SAD”-Blende 

Zwischenlinse 

Projektionslinse 

HAADF-Detektor 

Fluoreszenzschirm 

Abbildung 1.1: Der Aufbau und Strahlengang eines TEMs [38]: Links ist der Strahlengang des Mikroskops 

im Abbildungsmodus, in der Mitte im Beugungsmodus und rechts im STEM-Modus zu sehen. 

3

1 Transmissionselektronenmikroskopie und Elektronenoptik 

Grafik 1.1 zeigt den schematischen Aufbau des Titan, in der überdies die Strahlengänge des 

Abbildungs-, Beugungs- und des Scanning TEM (STEM)-Modus aufgeführt sind. Die einzelnen 

Modi werden im Abschn. 1.2 besprochen. Im Weiteren ist dort ein Überblick über die wesentlichen 

Komponenten des Titan und ihre Anordnung im Mikroskop dargelegt. Anhand ihrer 

Funktionen lassen sie sich in sechs Abschnitte einordnen [20]: 

4 

• Emittiert werden die Elektronen aus der Spitze einer heizbar gelagerten Schottky-Feldemissionsquelle 

(Field Emission Gun (FEG)). Sie werden anschließend mit einer elektrostatischen 

Linse (Gun lens) zu einem Elektronenstrahl gebündelt. Die Elektronen werden 

weiter durch eine Anode mit der Beschleunigungsspannung U auf die in dieser Arbeit 

verwendete Energie von 300 keV gebracht. 

• Der Elektronenstrahl wird dann durch die C1-, C2- und C3-Linsen sowie die zwischenliegenden 

C1- und C2-Aperturen geleitet und je nach Wahl divergent, parallel oder konvergent 

ausgerichtet. Bis auf die Gun lens basieren alle weiteren Linsen im TEM auf Magnetfeldern 

und nutzen daher die Lorentz-Kraft zur Strahlführung aus. Nach der Passage durch 

das Blenden- und Kondensorsystem gelangen sie durch eine Minikondensorlinse und obere 

Objektivlinse. Im STEM-Modus wird zusätzlich mit einem Deflektorspulenpaar über die 

nachfolgende Probe abgerastert. 

• Nach dem Kondensorsystem und der oberen Objektivlinse treffen die Elektronen parallel 

(TEM- bzw. Beugungsmodus) oder fokussiert (STEM-Modus) auf die Probe. Diese 

ist drehbar in einem Doppelkipphalter gelagert. Die Objektivlinse erzeugt die erste Vergrößerung 

und weist große Einstrahlwinkel auf. Damit haben die in der Objektivlinse 

auftretenden Aberrationen einen großen Einfluss (s. Abschn. 1.3.2). Unterhalb der Objektivlinse 

befindet sich die hintere Brennebene (engl. Back Focal Plane (BFP)), in der eine 

Objektivapertur (OA) zur Selektierung von Bragg-Reflexen eingeführt werden kann. Eine 

Korrektur der Linsenfehler findet durch den bereits erwähnten Cs-Korrektor statt, der u.a. 

die sphärische Aberration der Objektivlinse ausgleicht. 

• Eine weitere Vergrößerung des Elektronenstrahls erfolgt über eine Zwischen- und eine 

Projektionslinse. Mit Ausnahme des STEM-Modus lassen sich optional mit Hilfe einer 

Feinbereichsbeugung (engl. Selected Area Diffraction (SAD)) Beugungsbilder expliziter 

Probenbereiche untersuchen. 

• Abschließend werden die Elektronen auf einen Fluoreszenzschirm geführt, wo das Bild 

bzw. Beugungsbild der Probe scharf erscheint. Die Abbildung der Probe kann alternativ 

auf einer Bildspeicherplatte (engl. Imaging Plate (IP)) oder mit einer ladungsgekoppelten 

Kamera (engl. Charge-Coupled Device (CCD)-Kamera) aufgezeichnet werden. 

• Ferner können Elektronen einer bestimmten Energie mit einem Energiefilter selektiert werden. 

Die Filterung erfolgt mit einem magnetischen Prisma, das die Elektronen aufgrund 

ihrer unterschiedlichen Energien und der auf sie wirkenden Lorentz-Kraft auf verschiedene 

Trajektorien bringt. Die durch einen schmalen Spalt am Ende des Prismas hindurchtretenden 

Elektronen werden mit einer weiteren CCD-Kamera aufgenommen, insbesondere 

können das Energieverlustspektrum oder Bilder der Probe bei gewünschten Energieverlusten 

betrachtet werden.

1.2 Abbildungsmodi im TEM 

1.2 Abbildungsmodi im TEM 

In der Abbildung 1.1 sind die drei für die Abbildungsmodi typischen Strahlenverläufe gezeigt. 

Auf der linken Seite wird eine Realraum-Abbildung der Probe erreicht. Die Elektronen treten als 

ebene Welle parallel in die Probe ein und propagieren durch sie hindurch. Innerhalb der Probe 

werden sie gebeugt und interferieren miteinander. Da die Objektivlinse eine kleine Brennweite f 

von 5 mm hat und somit eine starke Vergrößerung erzeugt, erscheint das so erzeugte Zwischenbild 

durch die nachfolgende Zwischen- und Projektionslinse weiter erheblich vergrößert. Auf dem 

Schirm oder der CCD-Kamera kann das reale und vergrößerte Abbild der Probe beobachtet 

werden. Dies wird nachfolgend als Abbildungsmodus bezeichnet. 

Die mittlere Grafik in Abb. 1.1 gibt den Strahlengang für den Beugungsmodus wieder. Nach 

Probenpassage werden die nachfolgenden Linsen so geregelt, dass nicht die Bildebene der Objektivlinse, 

sondern ihre hintere Brennebene, in der das Beugungsbild entsteht, auf den Schirm 

abgebildet wird. 

Im dritten Modus fungiert die obere Objektivlinse als Kondensorlinse und fokussiert den Elektronenstrahl 

als Punkt mit einem Durchmesser von etwa 1,2˚A auf die Probe [38]. Anschließend 

wird mit einem Deflektionsspulenpaar die Probe Punkt für Punkt abgerastert, weswegen dieser 

Modus den Namen Raster-TEM oder STEM trägt. 

Für den High Angular Annular Dark Field (HAADF) STEM-Modus wird ein ringförmiger Detektor 

in der Brennebene platziert, der die zu hohen Winkeln gestreuten Elektronen detektiert. 

Das HAADF-Signal zeigt eine starke Abhängigkeit von Probendicke -und Zusammensetzung 

sowie Temperatur. Da schwere Elemente stärker streuen als leichte, wird diese Methode auch 

Z-Kontrast-Methode genannt [47]. Der HAADF-Detektor registriert je nach Kameralänge Streuwinkel 

zwischen 33 und 200 mrad (roter Kegel in Abb. 1.1, rechts) und hat in der Mitte ein 

Loch (hellblauer Kegel) [35]. Schwach bzw. gar nicht gestreute Elektronen durchlaufen hierbei 

das zentrale Loch und tragen nicht zum HAADF-Signal bei. 

1.3 Komponenten des TEM 

Dieser Abschnitt geht aufgrund seiner technischen Komplexität nicht auf alle Komponenten des 

Titan ein, sondern beschränkt sich auf diejenigen, die für die vorliegende Arbeit wichtig sind. 

1.3.1 Feldemissionsquelle 

Die Spitze der Schottky-FEG ist durch ein Filament heizbar und wird bei einer Temperatur von 

T=1800K betrieben. Im Inneren besteht sie aus einem Wolfram-Einkristall in [0 0 1]-Richtung 

und hat eine äußere Zirkonium-Oxid-Beschichtung (ZrO) zur Reduzierung der Austrittsarbeit 

der Wolframspitze auf W = 2, 8 ±0, 2 eV [20, 23, 10]. Der Spitzendurchmesser beträgt nur wenige 

Nanometer. Die Besetzung der elektronischen Zustände im Material ist quantenmechanisch 

durch die Fermi-Dirac-Verteilung gegeben, die in Abb. 1.2(a) vertikal über die Energie-Achse 

aufgetragen ist. Für die Emission von Elektronen aus einem Material muss die Austrittsarbeit 

überwunden werden, welche über W = EVAC−EF gegeben ist (EF: Fermi-Niveau (Fermi-Kante) 

und EVAC: Vakuumenergieniveau) [20]. Bei T=1800 K ist die Fermi-Kante bereits stark aufgeweicht, 

so dass Elektronen auch energetisch höhere Zustände im Metall einnehmen können. 

Wirkt zudem ein zusätzliches elektrisches Feld E = (0, 0, Ez) parallel zur optischen Achse (in 

5


(a) Schema für ZrO/W-Schottky-FEG mit W=2,8 eV 

[20]. ∆W gibt die Absenkung der Potenzialbarriere an. 

(b) Schema für Emissionkegel der FEG mit 

Radius s und Semikohärenzwinkel α. 

Abbildung 1.2: In (a) gibt der gestrichelte Verlauf den Feldstärke- und den Coulomb-Term an. φ(z) 

ist die durchgezogene Linie. Links ist auf der Vertikalen ist die aufgeweichte Fermi-Dirac-Verteilung zu 

erkennnen. (b) zeigt den festen Raumwinkel Ω(α), mit dem die Elektronen abgestrahlt werden. 

z-Richtung), ist die für die Emission ausschlaggebende Potenzialbarriere φ(z) gegeben durch [20] 

φ(z) = W − eEz − e2 

. (1.1) 

16πε0z 

Der letzte (Coulomb-) Term entsteht aufgrund der positiv geladenen Spitze nach der Emission 

der Elektronen. Mit zunehmender Feldstärke | E| = E = Ez und konstantem, kleinem Abstand 

in z-Richtung, sinkt die Bariere und eine Emission wird wahrscheinlicher (s. Abb. 1.2(a)). Die 

Emission mit der um ∆W = W − φ(zmax) reduzierten Austrittsarbeit W (mit zmax als Maximumsstelle) 

wird als Schottky-Effekt bezeichnet [20]. 

Die endliche Ausdehnung der FEG zeigt Abb. 1.2(b) und liefert eine gekrümmte Wellenfront 

der Elektronen, da aus verschiedenen Punkten der FEG Elektronen emittiert werden. Für eine 

ideale, parallele Beleuchtung ist eine Punktquelle erforderlich, deren sphärische Wellenfront in 

großer Distanz für den betrachteten Bereich als plan angesehen werden kann bzw. die eine parallele 

Welle ergibt, wenn sie sich im Brennpunkt der Linse befindet. Die sich daraus ergebenden 

räumlichen Eigenschaften sind durch die Größe der reduzierte Brillianz (reduced Brightness) Br 

und dem Semikohärenzwinkel α gekennzeichnet [10, 23]. 

Br(α) = 

I 1 

· 

A · Ω(α) U 

= I 

A · 

1 j 

= 

Uπα2 Uπα2 Dabei steht I für den durch die Elektronen erzeugte Strom, A für die (virtuelle) Emissionsfläche 

der FEG und Ω ist der von α abhängige Raumwinkel. Im dabei entstehenden Kegel werden die in 

orange dargestellten Elektronen aus Abb. 1.2(b) abgestrahlt. α charakterisiert die laterale bzw. 

6 

(1.2)


räumliche Inkohärenz und wird daher als Kohärenzwinkel bezeichnet (s. Abschn. 2.7). Für einen 

Kegel mit Radius s gilt Ω ≈ πs2 

r2 = πα2 für s ≪ r, wobei r die Distanz zur FEG ist. Ein kleiner 

Kohärenzwinkel entspricht demzufolge einer hohen Brillianz und damit einer hohen lateralen 

bzw. räumlichen Kohärenz. Ein typischer Wert für die reduzierte Brillianz der Schottky-FEG 

ist 107 A [32, 36]. 

Vm 2 sr 

1.3.2 Objektivlinse und Linsenfehler 

Die Abbildung erfolgt maßgeblich mit der aus zwei magnetischen Dipolen bestehenden Objektivlinse. 

Dabei befindet sich zwischen den Dipolen die zu untersuchende Probe. Sie stellt mit 

der Brennweite f = 5 mm die wichtigste Vergrößerungslinse im Mikroskop dar, da die Einstrahlwinkel 

βi der Elektronen relativ zur optischen Achse groß sind und somit die Linsenfehler nicht 

vernachlässigbar sind (s. links in Abb. 1.3(a)). Die aus der Objektivlinse austretenden Elektro- 

(a) Ein- und Austrittswinkel der Objektivlinse 

bei der Abbildung eines Punktes. 

(b) Links: Darstellung und Vergrößerung der Beugungsreflexe 

in der hinteren Brennebene (BFP). Rechts: Zur 

Definition der Kameralänge [20]. 

Abbildung 1.3: (a) zeigt die Verkleinerung der Austrittswinkel βo aus der Objektivlinse gegenüber den 

Eintrittswinkel βi der Elektronen und die Abbildung des Punkts Pi in der Gauss-Bildebene (analog zu [34]). 

Der zusätzliche rote Strahlengang veranschaulicht die sphärische Aberration. (b) illustriert die Vergrößerung 

des Beugungsbildes anhand der Kameralänge L (links) und lässt sich mit Hilfe der geometrischen 

Anordnung (rechts) herleiten (aus [20]). 

nen haben relativ zu den Eintrittswinkeln βi verkleinerte Winkel βo (s. rechts in Abb. 1.3(a)), so 

dass deren Aberrationen nicht weiter relevant sind. Die laterale Vergrößerung der Objektivlinse 

ist mit M = B b 

A = a gegeben, wobei A das Objekt und B das Abbild ist. Die Kleinbuchstaben bezeichnen 

hierbei die dazugehörenden Weiten. Die Winkelvergrößerung ist mit m = βo 

= |M|−1 

βi 

gegeben und ist damit reziprok zur lateralen Vergrößerung M. 

In der hinteren Brennebene (engl. Back Focal Plane (BFP)) der Objektivlinse befindet sich das 

Beugungsbild der Probe, das bei Kristallen in Wesentlichen aus Bragg-Reflexen der zugehörenden 

Netzebenen besteht. Anhand einer Objektivapertur (OA) lassen sich dann Reflexe bzw. Bereiche 

des Beugungsbilds gezielt ausblenden, so dass das Bild bzw. die Objektaustrittswellenfunktion 

(OAWF) entsprechend gefiltert werden kann. In diesem Zusammenhang lässt sich nach Abb. 

1.3(b) mit r ≈ 2Lθ, der Kameralänge L und der Bragg-Bedingung 2.13 der Abstand r eines 

Bragg-Reflexes im Beugungsbild zu 

r = λL 

d = λL|ghkl| bestimmen [20]. (1.3) 

7


Eine weitere Eigenschaft der Objektivlinse ist die Modifizierung der Objektaustrittswellenfunktion 

durch Aberrationen, so dass nicht jeder von einem Objekt ausgehende Punkt Pi in 

einem Punkt Po in der Gauß-Bildebene konvergiert. Diese Linsenfehler lassen sich in verschiedene 

Kategorien einordnen. Blendenfehler sind unabhängig von der Position Pi in der Objektebene. 

Chromatische Aberrationen sind hingegen unabhängig von der Position PL in der Linsenebene 

[20]. Die wichtigsten Linsenfehler sind dabei: 

• Sphärische Aberration: 

Die Brennweite f ist vom Eintrittswinkel βi in die Objektivlinse abhängig. Bei zunehmendem 

Eintrittswinkel wird die Brennweite kleiner, wie der rote Strahlengang in Abb. 1.3(a) 

veranschaulicht. Deswegen wird er auch als Öffnungsfehler bezeichnet. Bei der Abbildung 

eines Punktes an der Stelle Pi entsteht in der Gauß-Bildebene aufgrund der sphärischen 

Aberration an der Stelle Po eine Scheibe mit dem Radius ro. Für den Radius gilt 

ro = CsMβ 3 i = CsM 4 β 3 o. (1.4) 

Dabei wurde für den Eintrittswinkel βi = Mβo verwendet. Cs ist die sphärische Aberrationskonstante, 

deren Berechnung in Literatur [20, 33, 34] angegeben wird. 

• Chromatische Aberration: 

Die Elektronen haben aufgrund der Spannungschwankungen ∆U und der von der Temperatur 

abhängigen Fermi-Verteilung verschiedene Energien mit einer Energiestreuung ∆E, 

wie anhand von Abb. 1.2 veranschaulicht wurde. Damit liegen verschiedene Wellenlängen λ 

vor, die unterschiedlich durch die Objektivlinse gebrochen werden und für die sich folglich 

verschiedene Brennebenen ausbilden. Es folgt somit für den Abstand ro in der Bildebene 

[34] 

ro = ǫMβi = ǫM 2 βo mit ǫ = Cc 

∆U 

U 

 

2∆I 

+ . (1.5) 

I 

Dies bewirkt letztlich eine Defokussierung ǫ, die zudem durch kleine Schwankungen der 

Linsenströme I verursacht wird. Cc = Kf stellt mit der Brennweite f der Objektivlinse 

und einem Proportionalitätsfaktor K die chromatische Aberrationskonstante dar [34]. 

• Astigmatismus: 

Astigmatismus wird durch asymmetrische Linsen verursacht und zeichnet sich dadurch ab, 

dass sich eine sagittale und meridionale Ebene ausprägt. Dadurch entstehen Brennlinien 

mit verschiedenen Brennweiten anstatt eines gemeinsamen Brennpunkts. Mit der Differenz 

fmax −fmin von maximaler und minimaler Brennweite wird die Aberrationskonstante 

Ca definiert. Der Astigmatismus kann überdies als eine vom Azimutalwinkel abhängige 

Brennweite aufgefasst werden [34, Kap. 2.8]. 

1.3.3 Elektronische Detektoren und ladungsgekoppelte Geräte 

Die im Mikroskop verwendete CCD-Kamera ist eine UltraScan1000 der Firma Gatan [31]. 

Ihre wichtigsten Bestandteile sind in Abb. 1.4 schematisch aufgeführt. Zunächst treffen die 

Elektronen auf die in blau dargestellte Szintillationsschicht. Das Szintillatormaterial besteht aus 

einem Phosphor-Pulver [31], dessen Moleküle bei Elektroneneinfall durch Stöße auf höhere Energieniveaus 

angeregt werden. Bei Relaxation der angeregten Elektronen auf ihr ursprüngliches 

8


Abbildung 1.4: Skizze einer Gatan UltraScan1000 CCD-Kamera. Die Elektronen strahlen von oben auf 

die CCD-Kamera ein und gelangen zunächst auf den Szintillator. In diesem werden Photonen erzeugt, die 

über die Faseroptik auf die CCD-Detektormatrix mit den MIS-Strukturen als Pixel geleitet werden. In der 

CCD-Matrix werden dann die Photonen elektrischen Pulsen zur elektronischen Signalweiterverarbeitung 

zugeordnet. 

Energieniveau wird die Energiedifferenz ∆E als Lichtquanten mit der Frequenz ν und dem 

Planck’schen Wirkungsquantum h gemäß ∆E = hν emittiert. 

Die in Abb. 1.4 in gelb gehaltene Faseroptik leitet das im Szintillator generierte Licht weiter 

zu einer Halbleiterdetektormatrix, der eigentlichen CCD. Innerhalb der Faseroptik basiert die 

Lichtwellenleitung auf Totalreflexion. Bei zu flachem Einfall des eingekoppelten Lichts auf die 

Fasern kann es zu Rückreflexionen zurück in den Szintillator kommen. Ebenso ist auch eine 

Reflexion der Elektronen an der Halterung zwischen Szintillator und Faseroptik möglich, so dass 

die Elektronen fern von ihrem ursprünglichen Einfallsort wieder in den Szintillator gelangen 

und dort Photonen erzeugen [21]. Dies ist insbesondere wichtig für Abbildungen bei hohen 

Beschleunigungsspannungen, da das Bild dadurch stark verzerrt wird [21]. Dies ist somit eine 

maßgebende Abbildungseigenschaft der CCD-Kamera, die später nochmal aufgegriffen und in 

den hier getätigten Untersuchungen berücksichtigt wird. 

(a) MIS-Struktur eines Pixels. (b) Zeilenweises Auslesen im CCD. 

Abbildung 1.5: (a) Bei Belichtung einer MIS-Struktur als Pixel entstehen aufgrund des inneren Photoeffekts 

Minoritätsträger. Diese werden mit der Gate-Spannung in der Verarmungszone gebunden. In 

(b) werden die so gebundenen Ladungsträger spaltenweise durch die Detektormatrix abgeführt und am 

rechten Ende des Detektors in eine zusätzliche Spalte geleitet. Die dort gesammelten Ladungen werden 

anschließend über ein Auslesesystem weiterverarbeitet. 

Die Halbleiterdetektormatrix setzt sich aus einer Vielzahl von aneinander gereihten, quadratischen 

Bildelementen (Pixel) zusammen, die widerum aus einer sogenannten Metall-Isolator- 

9


Halbleiter-Struktur (engl. Metal Insulator-Semiconductor (MIS)) bestehen. Dabei wird häufig 

p-dotiertes Silizium als Halbleitermaterial verwendet. Die Detektormatrix selbst ist ebenfalls 

quadratisch und enthält 2048 × 2048 Pixel mit jeweils einer Kantenlänge von 14µm. Damit 

resultiert für den Detektor also eine physikalische Ausdehnung von 29 mm × 29 mm. 

Das von der Faseroptik auf die MIS-Struktur der einzelnen Pixel weitergeleitete Licht hat 

eine ausreichend hohe Energie, damit die Ladungsträger die für Silizium charakteristische Energielücke 

∆E ≈ 1 eV überwinden können. Die Elektronen des durch den inneren Photoeffekt erzeugten 

Elektron-Defektelektron-Paars werden als Minoritätsträger in einem zweidimensionalen 

Potenzialtopf gebunden. Das dafür notwendige Potenzial wird durch eine an der Gate-Elektrode 

(Metallkontakt) anliegenden positiven Spannung U erzeugt. Metallkontakt und Halbleiterregion 

sind durch einen Isolator (meist Siliziumdioxid) getrennt, so dass die Minoritätsträger nicht über 

die Gate-Elektrode abfließen können (s. Abb. 1.5(a)). Nach ausreichender Belichtung der CCD- 

Kamera werden die in den Potenzialtöpfen gesammelten Minoritätsträger gemäß Abb. 1.5(b) 

zeilenweise ausgelesen und erzeugen am Ende einer Zeile nach und nach elektrische Entladungen 

(Pulse). Das zeilenweise Auslesen geschieht über die Gate-Elektroden, deren Potenziale so geschaltet 

werden, dass sie die Ladungsträger von einer Zelle zur nächsten sukzessive weitergeben 

(s. Abb. 1.5(b)). Ein abgeführter Strompuls ist dann proportional zur eingestrahlten Lichtintensität 

des belichteten Pixels [20, 41, 25]). 

Generell kann die Szintillatorfläche eine andere Größe haben als die Detektormatrix, d. h. die 

Faseroptik leitet z.B. bei einer vierfach größeren Szintillatorfläche vier Fasern auf einen Pixel. 

Die verwendete UltraScan1000 CCD-Kamera weist hier jedoch eine 1-1 Abbildung auf. Des 

Weiteren kann durch die Beschaffenheit des Szintillatormaterials und durch lokale Unterschiede 

im Brechungsindex der Faseroptik bei homogener Belichtung der CCD-Kamera jedes Pixel eine 

unterschiedliche Intensität detektieren [25]. Diese räumliche Charakteristik der Pixel wird daher 

als räumlich systematischer Fehler klassifiziert, der mittels Referenzbilder korrigiert werden kann 

[26]. 

Weitere Komponenten 

Um das TEM betreiben zu können, bedarf es des Weiteren ein Hochvakuum, da die mittlere 

freie Weglänge für Stöße an Molekülen der Elektronen groß sein muss. Andernfalls würden die 

Elektronen mit den verunreinigenden Gasmolekülen wechselwirken und zu fehlerhaften Abbildungen 

führen bzw. den Detektor oder die Probe gar nicht erreichen. Ferner würde die hohe 

Beschleunigungsspannung diese Moleküle ionisieren und auf hohe Energien beschleunigen. Eine 

Folge wäre die Beschädigung der FEG, weswegen im FEG-Bereich sogar ein Ultrahochvakuum 

erzeugt wird. Demzufolge ist ein Pumpen- und Kammersystem erforderlich, in denen Drücke 

von ca. 10 −10 Torr bzw. 10 −7 Pa herrschen. Zum Pumpensystem gehören u. a. eine Kühlfalle 

für Restmoleküle, diverse Vorpumpen und eine Turbomolekularpumpe. 

Die magnetischen Elektronenlinsen werden mit elektromagnetischen Spulen mit bis zu 300 

Windungen pro cm 2 realisiert [20]. Durch die Lorentz-Kraft werden die Elektronen auf eine 

Trajektorie gezwungen, welche die Abbildung der Linse bestimmt. Insbesondere hat die Objektivlinse 

als weitere Bestandteile zwei Polschuhpaare, deren Form die genaue Feldlinienführung 

vorgibt. Eine detaillierte Funktionsweise der Spulen und die genaue Feldlinienform wird an dieser 

Stelle nicht behandelt. Für weiterführende Literatur wird auf [20, 33, 34] verwiesen. 

10

1.4 Rauschprozesse 

1.4 Rauschprozesse 

Nach Kenntnis der physikalischen Funktionsweise eines Detektors sind die inhärenten Rauschprozesse 

einer CCD-Kamera von Bedeutung, da sich diese störend auf das zu messende Signal 

(Bild) auswirken. Sie gliedern sich zunächst in räumlich systematische und zeitlich zufällige 

Komponenten. 

Die im Szintillator generierten Photonen erzeugen beim Auftreffen auf den Halbleiter Photoelektronen. 

Die bei konstanter Bestrahlung entstehende, zeitliche Verteilung der ursprünglichen 

Elektronen ist maßgebend für die auf die Pixel einfallenden Photonen. Dabei sind die Wahrscheinlichkeiten, 

mit der die Elektronen auf ein Pixel τ der Gatan-CCD treffen, unabhängig 

voneinander. Da ein Elektron oder ein erzeugtes Photon entweder auf ein Pixel trifft oder nicht 

wird diese Situation auch mit einem Bernoulli-Experiment beschrieben. Dieses wird dann durch 

den Einfall von N Elektronen entsprechend oft wiederholt. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein 

Elektron auf das Pixel τ trifft, wird mit pτ bezeichnet und ist wie folgt Poisson-verteilt [26] 

pτ(λτ) = λnτ τ 

nτ! e−λτ . (1.6) 

Es werden dann nτ Elektronen registriert. Die einfallenden Elektronen schwanken um den Mittelwert 

λτ und haben die Varianz σ 2 = λτ. Das Produkt von pτ · N = λτ ist dabei zeitlich 

konstant. Diese diskrete Aufzeichnung des Messsignals und der damit verbundene, statistische 

Charakter wird als Poisson-Rauschen bezeichnet. 

Ein weiterer Rauschbeitrag wird durch das elektronische Rauschen hervorgerufen [25], was 

sowohl systematisch räumliche als auch zeitlich zufällige Komponenten enthält. Es setzt sich u.a. 

aus einem Dunkelstrom und einem Verstärkerrauschen zusammen. Die mit der Zeit auftretende 

Schwankung des Dunkelstromanteils hat seine Ursache in der Lichtempfindlichkeit des CCDs 

und folgt auch einer Poisson-Verteilung [26]. 

Des Weiteren liegt systematisches und räumliches Rauschen vor, was durch Unterschiede in 

den einzelnen CCD-Pixeln hervorgerufen wird, d.h. jedes Pixel hat bei homogener Belichtung 

eine individuelle Charakteristik. Diese räumliche Variation kann jedoch mit Referenzbildern korrigiert 

werden [26], wodurch das Rauschen maßgeblich durch die zeitabhängigen Rauschprozesse 

charakterisiert wird und damit eine Poisson-verteilte Natur hat [21]. 

1.5 Optisch relevante Ebenen im Transmissionselektronenmikroskop 

Nachdem die wichtigsten Komponenten des TEMs erläutert wurden, wird nun der Blick auf 

die optisch relevanten Ebenen, die sich zwischen Objekt und Bild befinden, gerichtet und deren 

mathematische Verknüpfung untereinander betrachtet. 

Die Elektronen durchlaufen entlang der optischen Achse in z-Richtung diverse Bild- und Brennebenen 

im Mikroskop, bevor sie als Bild oder Beugungsbild auf dem Schirm oder der CCD- 

Kamera beobachtet werden. In den sukzessiv passierten Ebenen lassen sich verschiedene Bilder 

der Objektaustrittswellenfunktion ψ(r) beobachten und untersuchen (s. Abb. 1.6). Aus der skalaren 

Beugungstheorie ist bekannt (s. Abschn. 2.3), dass mit dem Verwenden einer Sammellinse 

(hier die Objektivlinse) die FT der Objektaustrittswellenfunktion F {ψ(r)} in der hinteren 

Brennebene (Fourier-Ebene) vorliegt (s. Abb. 1.6). Diese erfährt dort aufgrund der aus Abschn. 

1.3.2 bekannten Aberrationen der Objektivlinse eine Phasenverschiebung. Dies geschieht in der 

11


ψ(r) 

FT 

Objektaustrittsebene 

Linsen- 

ebene 

F{ψim(r)}= 

F{ψ(r)}CTF(k) ψim(r) 

inv. FT 

Fourier- 

Ebene 

Gauss- 

Ebene (CCD) 

I(k)=|F{ψim(r)}|² I(r)=|ψim(r)|² 

FT 

optische 

Achse 

Diffraktogramm 

D(q)=F{I(r)} 

Abbildung 1.6: Die OAWF ψ(r) in den unterschiedlichen Ebenen (von links nach rechts): In der Fourier- 

Ebene wird die FT der OAWF mit der Kontrasttransferfunktion (Contrast transfer function (CTF)) der 

Objektivlinse multipliziert und führt auf die phasenverschobene Bildwellenfunktion F{ψim(r)} in der 

Fourier-Ebene. Dort wird dann mit dem Betragsquadrat I( k) = |F{ψim(r)}| 2 das Beugungsbild betrachtet. 

In der Bildebene erhält man mit der inversen FT die Bildwellenfunktion ψim(r). Das Bild wird dann 

anhand des Betragsquadrats mit I(r) = |ψim(r)| 2 berechnet. 

Fourier-Ebene mittels Multiplikation der FT der Objektaustrittswellenfunktion mit der Kontrasttransferfunktion 

(engl. Contrast transfer function (CTF)) der Objektivlinse. Dies ergibt 

dann die FT der Bildwellenfunktion F{ψim(r)}. Beim Umstellen in den Beugungsmodus lässt 

sich damit das Beugungsmuster mit I( k) = |F{ψ(r)}| 2 auf dem Schirm beobachten, wobei beim 

Berechnen der Intensität mit dem Betragsquadrat die CTF als reiner Phasenfaktor wegfällt. 

Die inverse FT führt dann zur Bildwellenfunktion ψim(r) = F −1 {F {ψ(r)} · CTF( k)} in der 

Gauß’schen Bildebene. Im Abbildungsmodus wird dann mit dem Betragsquadrat der Bildwellenfunktion 

gemäß I(r) = |ψim(r)| 2 das Bild des Objekts beobachtet. Bei einem Kristall können 

dies die Bilder entsprechender Netzebenen sein. Eine darauffolgende FT erzeugt das Diffraktogramm 

D(q) = F{I(r)}, welches das Bildspektrum im Frequenzraum q repräsentiert. Im 

Diffraktogramm lassen sich folglich die im Bild enthaltenen Raumfrequenzen identifizieren. 

Eine vollständige Propagation der Wellenfunktion durch das TEM ist äußerst schwierig, so 

dass nur für die aufgeführten, ausgezeichneten Ebenen, die der Abbildungsgleichung nach Gauß 

1 1 1 

f = a + b gehorchen, eine mathematische Formulierung mit der FT möglich ist [28, 42]. Darauf 

wird gesondert in Abschn. 2.3 eingegangen. 

12

2 Wechselwirkung hochenergetischer 

Elektronen mit Kristallen 

Im vorangegangenen Kapitel sind die Funktionsweise und wichtige Elemente des TEMs behandelt 

worden. Dieses Kapitel geht auf die Voraussetzungen, die an eine Probe gestellt werden, 

und auf die Wechselwirkungen der Elektronen mit der Probe ein. Dabei spielt die Beugung 

der Elektronen an einem Kristallgitter die zentrale Rolle und wird maßgeblich durch die atomaren 

Abstände bzw. Struktur des Kristalls und die De Broglie-Wellenlänge λ der Elektronen 

bestimmt. Die hohe Beschleunigungsspannung im TEM von 300 kV bringt die Elektronen auf 

Geschwindigkeiten von 77% der Vakuumlichtgeschwindigkeit 1 c0, was einerseits auf kleine Wellenlängen 

führt. Andererseits erfordern diese hohen Geschwindigkeiten aber auch die relativistische 

Korrektur der Wellenlänge, die das Auflösungsvermögen des TEMs vorgibt. 

2.1 Auflösungsvermögen 

Die Auflösungsgrenze stellt ein Kriterium für optische Instrumente dar, das die kleinste noch 

auflösbare Struktur angibt. Es ist erreicht, wenn sich zwei benachbarte Punkte im Mindestab- 

stand δ noch gerade voneinander unterscheiden lassen. Dabei steht R für den Radius der Objek- 

mit der Brennweite f bedeutend, 

tivöffnung. Für Mikroskope ist der Öffnungswinkel sin(θ) = R 

f 

Abbildung 2.1: Zum Auflösungsvermögen nach der Abbe’schen Theorie (nach [42, 41]). Links ist δ 

als Abstand zwischen beiden Punktquellen gezeigt. Die Objektivlinse überträgt dabei gerade noch die 

Beugungsmaxima 0. und 1. Ordnung, so dass nach Abbe noch beide Punkte voneinander zu unterscheiden 

und damit noch auflösbar sind. 

da die Wellenvektoren k ′ der gebeugten Wellen nicht mehr parallel zur optischen Achse durch 

1 c0 = 2, 9979 · 10 8 m 

s 

13

2 Wechselwirkung hochenergetischer Elektronen mit Kristallen 

die Objektivlinse hindurchtreten. Die Auflösungsgrenze δ ist nach Abbe gegeben mit 

δ = 

λ 

λ 

= . (2.1) 

Numerische Apertur sin(θ) 

Die Abbe’sche Theorie bezieht das Beugungsmuster beider Objekte mit ein. Tritt nur das primäre 

Maximum 0. Ordnung durch die Objektivlinse bzw. Blende, werden die Objekte nicht aufgelöst. 

Daher ist wenigstens die zusätzliche Übertragung der ersten Nebenmaxima (1. Ordnung) mit 

dem Winkel θ erforderlich (s. Abb. 2.1). Dies ist gleichermaßen der Öffnungswinkel des von 

den beiden Nebenmaxima aufgespannten Kegel, womit sich ein Sehwinkel des Objektivs von 2θ 

ergibt [41]. Für den kleinsten Punktabstand δ gilt damit sinθ = λ 

δ . Das Auflösungsvermögen ist 

als Kehrwert der Auflösungsgrenze δ definiert, so dass eine abnehmende Wellenlänge λ zu einem 

höheren Auflösungsvermögen führt [42]. 

2.2 Wellenlängen relativistischer Elektronen 

Die Einführung des Auflösungsvermögens hat gezeigt, dass mit kleinen Wellenlängen eine hohe 

Auflösung des Mikroskops erzielt werden kann. Nach De Broglie können in der Quantenmechanik 

Elektronen Welleneigenschaften zugeordnet werden, d.h. mit der Planck-Konstante h hat der 

Impuls p eines Elektrons die De Broglie Wellenlänge λ [48] 

p = h 

λ = hk bzw. vektoriell p = h k. (2.2) 

Dabei wurde die Wellenzahl k = 1 

λ als Länge des Wellenvektors k der Elektronenwelle eingeführt. 

Aufgrund der hohen Beschleunigungsspannungen, mit dem das Titan betrieben wird, erreichen 

die Elektronen hohe Geschwindigkeiten v die nahe der Lichtgeschwindigkeit c sind. Nach der 

speziellen Relativitätstheorie (SRT) muss daher eine relativistische Korrektur der elektronischen 

Wellenlänge λ und des Impulses p erfolgen. 

Die SRT geht auf Einsteins Postulat, die Lichtgeschwindigkeit c = c0 

n in einem Medium mit 

Brechindex n sei konstant, zurück und führt auf die Lorentzinvarianz mit den Orten r = (x, y, z) 

und den Zeiten t: 

x ′ 2 + y ′ 2 + z ′ 2 − c 2 t ′ 2 = x 2 + y 2 + z 2 − c 2 t 2 . 

Diese folgt beispielsweise aus der Begegnung zweier relativ zueinander bewegter Bezugssysteme 

S bzw. S ′ 

, bei der eine elektromagnetische Kugelwelle ausgelöst wird und sich radial in beiden 

Systemen ausbreitet. 

Ein wichtiges Ergebnis aus Einsteins Betrachtungen ist die Äquivalenz von Masse m und 

Energie E der Elektronen [20], was zur bekannten Gleichung 

Eges = γmc 2 = mc 2 + Ekin = mc 2 + eU mit dem Faktor γ = 

Weiter folgt als Beziehung zwischen Energie E und Impuls p 

14 

1 

 

1 − v2 

c2 führt. (2.3) 

E 2 ges = m 2 c 4 + p 2 c 2 . (2.4)

2.3 Beugung im Nah- und Fernfeldbereich 

Aus den Gleichungen 2.3 und 2.4 lässt sich die relativistische Abhängigkeit des Impulses p von 

der Beschleunigungsspannung U bestimmen: 

p = 

 

2meU + 

2 eU 

. Mit Gl. 2.2 folgt λ = 

c 

 

h 

2meU + eU 

c 

2 . (2.5) 

Mit der Beschleunigungsspannung von U = 300 kV bestimmt sich die Wellenlänge der Elektronen 

zu λ300kV = 1, 969 pm. Diese Größenordnung wird im TEM verwendet, um die Winkel der in die 

Objektivlinse eintretenden Elektronen, und die davon abhängigen Linsenfehler, gering zu halten. 

2.3 Beugung im Nah- und Fernfeldbereich 

Unsere quantenmechanischen Betrachtungen führten mit der De Broglie-Wellenlänge auf die 

Behandlung der Elektronen als Elektronenwelle ψ(r). Es ist bekannt, dass Wellen insbesondere 

beim durchtreten kleiner Öffnungen bzw. Aperturen gebeugt werden [48]. Daher wird hier auf 

die skalare Beugungstheorie eingegangen, die ihren Ursprung in den Maxwell-Gleichungen hat 

und die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen in einem Medium beschreibt [43]. Der Ausdruck 

skalar bezieht sich dabei auf die Vereinfachung, dass das Medium, in dem sich die Welle 

fortpflanzt, als isotrop, homogen und nicht-dispersiv angenommen wird. Demzufolge reicht die 

Betrachtung einer skalaren Feldkomponente, anstatt aller, als repräsentative Lösung der Wellengleichungen 

[43]. Weiter muss die Durchtrittsgröße der beugenden Apertur (x, y) viel größer 

sein als die Wellenlänge und damit (x, y)min ≪ λ. Da die Elektronen als Welle aufgefasst werden 

können und unter Vakuumbedingungen propagieren, lassen sich diese Annahmen auch auf 

die Elektronen übertragen. In Abbildung 2.2(a) wird eine ebene Elektronenwelle am Kristall 

(a) Am beugenden Kristall entstehen 

die in orange gehaltenen Huygens- 

Wellen. 

y 

Objekt- 

ebene 

x 

r-s 

s 

L 

sy 

o 

sx 

Schirm 

z-Achse 

(b) Geometrische Betrachtung zu der Objekt- bzw. 

Bildebene. 

Abbildung 2.2: In (a) treten von links ebene Wellen in den Kristall (blau) ein. Bei der Propagation durch 

den Kristall werden die Wellen gebeugt und es treten Huygens-Elementarwellen aus dem Kristall heraus. 

Diese interferieren unmittelbar hinter der Austrittsebene im Nahfeld zum Fresnel- (links) bzw. im Fernfeld 

(rechts) zum Fraunhofer-Beugungsmuster. (b) zeigt die Geometrie, die für die weiteren Kennzeichnungen 

wichtig sind. 

gebeugt, wodurch eine Vielzahl von in Abb. 2.2(a) orange dargestellten, Huygens’schen Elementarwellen 

in der Objektebene r = (x, y, z = 0) entspringen. Die Einhüllende aller überlagernder 

Wellen bildet nach dem Huygens’schen Prinzip eine neue Wellenfront als Objektaustrittswellenfunktion 

ψ(r) [42]. Die Superposition der Huygens-Wellen kann folglich als Summe bzw. im 

15


Grenzfall als Integral über den gesamten Blenden- bzw. Kristallbereich verstanden werden. Das 

Huygens’sche Prinzip kann mit Hilfe des Huygens-Fresnel-Integrals [43] 

ψ(s) = L 

 

ψ(r) 

iλ 

ei2πk|r−s| 

|r − s| 2 d2r mit k = 1 

formuliert werden. (2.6) 

λ 

Blende 

Der in Abb. 2.2(b) dargelegte Vektor r − s steht für den Abstandvektor zwischen dem in der 

Objektebene befindlichen Punkt Pi mit den Koordinaten r = (x, y,0) und dem in der Bildebene 

vorliegenden Punkt Po mit den Koordinaten s = (sx, sy, L). Aus dieser in Abb. 2.2(b) dargestellten 

Geometrie ergibt sich direkt ein Abtand L zwischen Objekt- und Bildebene entlang der 

optischen Achse (z-Richtung). Die Wellenlänge der Elektronen wird weiterhin mit λ bezeichnet. 

Für den Abstand |r − s| zwischen den Punkten Pi und Po aus Abb. 2.2(b) ergibt sich 

|r − s| = L 2 + (sx − x) 2 + (sy − y) 2 . Bei der Betrachtung des Beugungsmusters werden in 

Abb. 2.2(a) zwei Grenzfälle unterschieden, die Fernfeld- und Nahfeldnäherung. Im Fernfeld wird 

die Fraunhofer- und im Nahfeld die Fresnel-Beugung beobachtet. 

Fresnel-Beugung: Für die Distanz |r − s| kann, nachdem L aus der Wurzel gezogen wurde, 

der Ausdruck √ 1 + n ≈ 1 + 1 

sx−x 

2n + ... für n = L ≪ 1 mit der Taylorentwicklung erster 

Ordnung folgendermaßen genähert werden 

 

|r − s| ≈ L 1 + 1 

2 sx − x 

+ 

2 L 

1 

 

2 

sy − y 

. 

2 L 

Der quadratische Abstand |r − s| 2 im Nenner von Gl. 2.6 kann mit L 2 genähert werden, da 

die Ausdehnungen von Objekt (x, y)max und Beugungsmuster (sx, sy)max sehr klein gegenüber 

dem Abstand L zwischen Objekt- und Bildebene ist. Diese Annahmen führen mit der aus dem 

Kristall austretenden Objektaustrittswellenfunktion ψ(r) und der am Schirm beobachtbaren 

Wellenfunktion ψ(s) auf die Nahfeldnäherung 

ψ(s) = 1 

 

iLλ 

„ 

iL2π 

1+ λ 

ψ(r)e 

Blende 

1 

2( sx−x 

L ) 2 + 1 

2 

=e iL2π 

 

λ ψ(r) 

Blende 

1 

iLλ 

=:P(s−r) 

 

e iπ 

Lλ ((sx−x)2 +(sy−y) 2 ) 

“ ” « 

sy−y 2 

L 

d 2 r 

d 2 r = e i2πL 

λ (ψ ⊗ P) (s). 

Die Nahfeldpropagation einer Elektronenwelle ψ(r) ergibt sich mathematisch mit der Faltung 

eines quadratischen Phasenfaktors P, der im Weiteren als Fresnel-Propagator bezeichnet wird. 

Der Phasenfaktor außerhalb des Integrals verschwindet bei der Berechnung der Intensität I(s). 

Werden nun die Klammern von P(s − r) aus Gl. 2.7 ausmultipliziert und s mit q = s 

Lλ substi- 

tuiert, folgt weiter 

16 

ψ(q) = e i2πL 

λ e iπ(q2 x+q2 

y) 

Blende 

⎛ 

=e i2πL 

λ e iπLλ(q2 x+q 2 y) · F {ψ(r) · P(r)} . 

⎞ 

⎜ 

1 iπ 

⎝ψ(r) e Lλ 

iLλ (x2 +y2 ⎟ 

) ⎟ 

⎠ 

 

=:P(r) 

· e−i2πq·r d 2 r 

(2.7) 

(2.8)

2.4 Kristallgitter 

Die Gl. 2.8 zeigt, dass die gebeugte und am Ort q vorliegende Welle ψ(q) mit dem Faltungsthoerem 

A.4 berechnet werden kann. Dabei entspricht die FT des Produkts von Objektwelle ψ(r) 

und Fresnel-Propagator P im Wesentlichen der Nahfeldpropagation aus Gl. 2.7. Die zusätzlichen 

Phasenfaktoren verschwinden bei Beobachtung des mit dem Faktor 1 

Lλ skalierten Beugungsbildes 

mit I(q) = |F {ψ(r) · P(r)} | 2 . 

Fraunhofer-Beugung: Befindet sich die Objektwellenfunktion im Fernfeld, und gilt für die 

Ausdehnung der beugenen Apertur k 

2 (x2 + y2 )max ≪ z, wird aus dem Fresnel-Propagator von 

. Daher resultiert in Fernfeldnäherung 

Gl. 2.8 P(x, y,0) ≈ 1 

iLλ 

ψ(q) = e i2πL 

λ 

e iπLλ(q2 x +q2 y ) 

iLλ 

 

Blende 

ψ(r)e −i2πq·r d 2 r = e i2πL 

λ 

e iπLλ(q2 x +q2 y ) 

iLλ 

F {ψ(r)} . (2.9) 

In Fraunhofer- bzw. Fernfeldapproximation ist das Beugungsbild maßgeblich durch die FT der 

Objektaustrittswellenfunktion ψ(r) gegeben. Für das Betragsquadrat ergibt sich dann I(q) = 

1 

(Lλ) 2 |F {ψ(r)} | 2 . Nach [20] ist die Fraunhofer-Bedingung aufgrund des vergleichsweisen großen 

Abstands von Objektivlinse zur Bildebene erfüllt. 

Wird eine Sammellinse direkt hinter dem beugenden Objekt platziert, kann bereits in der hinteren 

Brennebene das Fraunhofer-Beugungsbild des Fernfeldes von Gl. 2.9 betrachtet werden. 

Die sphärische Geometrie der Linse verändert dabei beim Hindurchtreten der Elektronenwelle 

ihre Phase um einen Phasenfaktor P ∗ iπ 

− (r) = e Lλ (x2 +y2 ) , der komplex konjugiert zum Fresnel- 

Propagator ist und diesen in Gl. 2.8 kompensiert. Damit fungiert die Objektivlinse im Mikroskop 

als zweidimensionaler Fourier-Transformator und rechtfertigt die Annahme aus Abschn. 1.5, die 

Wellenpropagation durch das Mikroskop mit Hilfe der FT erfassen zu können. 

2.4 Kristallgitter 

Im vorangegangenen Abschnitt wurde als beugende Apertur ein Kristall verwendet, da dessen 

atomare Abstände im Vergleich mit der Wellenlänge der Elektronenwelle von λ = 1, 969pm 

groß sind. Aus diesem Grund werden zunächst allgemeine Kristalleigenschaften und Begriffe 

eingeführt. 

Ein Kristall lässt sich grundsätzlich durch die Aneinanderreihung einer sich periodisch fortsetzenden 

Einheitszelle (EZ) zusammensetzen. Der folgende Begriff des direkten Gitters ist Synonym 

des Kristallgitters und dient nur zur Unterscheidung vom reziproken Gitter. Eine EZ 

wird durch Basisvektoren ai des direkten Gitters, die linear unabhängig sind, aufgespannt. Ein 

Gittervektor R besteht aus einer Kombination ganzzahliger Vielfache ni dieser Basisvektoren, 

also 

3 

R = niai. (2.10) 

i=1 

Die Verschiebung um einen Gittervektor führt stets auf einen anderen Gitterpunkt im Kristall. 

Die im Kristall periodisch angeordneten Atome befinden sich in Netzebenen, die durch 

die Millerschen Indizes (hkl) charakterisiert werden. Diese Indizes (hkl) lassen sich mit den 

Schnittpunkten ( 1 1 1 , , ) von Netzebene und Einheitszelle des direkten Gitters bestimmen [20]. 

s1 s2 s3 

17


Überdies werden reziproke Gittervektoren ghkl definiert, die senkrecht auf den Ebenen (hkl) stehen 

und deren Beträge gleich den reziproken Abständen dhkl = 1 

|ghkl| der Netzebenenscharen sind. 

Da das Konzept des reziproken Gitters sehr hilfreich bei der Beschreibung von Beugungsexperimenten 

ist, wird eine kurze Einführung gegeben. Die Definition der reziproken Basisvektoren 

bi erfolgt anhand der direkten Basisvektoren ai mit [20] 

ai · bj = δi,j mit bi = aj ×ak 

. (2.11) 

ai · (aj ×ak) 

Damit lässt sich also analog zum direkten Gittervektor R von Gl. 2.10 ein reziproker Gittervektor 

ghkl = h b1 + k b2 + l b3 angeben, (2.12) 

der senkrecht auf einer Netzebene (hkl) steht und mit dem direkten Gitter eng verknüpft ist. 

Die Millerschen Indizes (hkl) entsprechen den ganzen Zahlen h,k,l des reziproken Gittervektors. 

Gallium-Arsenid 

In den Untersuchungen wurden Gallium-Arsenid-Proben (GaAs) als binäres Halbleitermaterial 

verwendet. Gallium-Arsenid kristallisiert in Zinkblendestruktur, deren Einheitszelle in Abb. 

2.3(a) gezeigt ist. 

(a) Zinkblendestruktur von GaAs. (b) Beugungsmuster in 〈1 00〉-ZA-Orientierung mit 

den verbotenen Reflexen markiert als Kreuze zwischen 

den Punktreflexen. 

Abbildung 2.3: (a) illustriert die EZ von GaAs. Die Atompositionen sind für As (0,0,0), ( 1 1 

2 ,0, 2 ), 

(0, 1 1 1 

1 1 

2 , 2 ) bzw. (1 

2 , 2 ,0). Die Ga-Atome sind dann um (1 

4 , 4 , 4 ) zu den As-Positionen verschoben. (b) 

zeigt das Beugungsbild in [100]-ZA-Orientierung. Dabei symbolisieren die Kreuze die verbotenen -und 

die Punkte die erlaubten Reflexe (beide Abb. aus [20]) 

. 

Die Zinkblendestruktur ist ein kubisch flächenzentiertes (engl. face-centered cubic) Gitter mit 

den Konstanten a = b = c = 0, 5653 nm und α = β = γ = 90◦ [20]. Darüber hinaus hat 

, 0) für 

es eine zweiatomige Basis mit den Atompositionen (0, 0, 0), ( 1 

2 

18 

, 0, 1 

2 

), (0, 1 

2 

, 1 

2 

) bzw. (1 

2 

, 1 

2

2.5 Kinematische Beugungstheorie und Beugung am idealen Kristall 

Arsen und ( 1 1 1 3 3 1 3 1 3 

4 , 4 , 4 ), (1 

4 , 4 , 4 ), (1 

4 , 4 , 4 ) bzw. (3 

4 , 4 , 4 ) für Gallium. Aufgrund der oben angeführten 

Kristallmerkmale war bei den für die Arbeit gemachten TEM-Aufnahmen die Betrachtung 

des Beugungsbildes in ZA-Orientierung wichtig. Diese ist in Abb. 2.3(b) für GaAs in [1 0 0]- 

Zonenachse illustriert. Dabei repräsentieren die Kreuze zwischen den erlaubten Punktreflexen 

verbotene Reflexe. Im Folgeabschnitt wird ausführlicher auf die Bedeutung der ZA-Orientierung 

eingegangen. 


Ausgangspunkt für die betrachtete Elektronenbeugung ist zunächst ein idealer Kristall ohne Defekte 

und Versetzungen. Weiter trete nur Einfachstreuung und elastische Streuung im Kristall 

auf, für die | k| = | k ′ | = 1 

λ gilt. k ′ bezeichnet dabei den Wellenvektor der gestreuten -bzw. k 

den der in den Kristall eintretenden Elektronenwelle. Dies sind wichtige Aspekte bei der Betrachtung 

der Streuprozesse mit der kinematischen Beugungstheorie, die zwar zur Beschreibung 

der stattfindenden Streuprozesse nicht ausreicht, aber zur Erläuterung grundlegender Begriffe 

und als Zugang für die Beugungstheorie von Elektronen geeignet ist. Die Berücksichtigung von 

Mehrfachstreuung ist Gegenstand der in Abschn. 2.6.1 besprochenen, dynamischen Beugungstheorie. 

2.5.1 Bragg-Beugung und Ewald-Konstruktion 

Beim Auftreffen einer Elektronenwelle mit dem Wellenvektor k auf einem idealen Kristall entsteht 

ein Beugungsbild, dessen Punktreflexe der Bragg-Bedingung 

nλ = 2dhkl sin(ΘB) gehorchen. (2.13) 

Dabei muss der in Abb. 2.4(a) in rot dargestelle Gangunterschied ∆s zwischen zwei an verschiedenen 

Netzebenen reflektierten Elektronenwellen k und k ′ die Bedingung ∆s = nλ genügen. 

Das ganzzahlige Vielfache n der Wellenlänge λ entspricht hierbei der Ordnung des Beugungsmaximums 

und der Bragg-Winkel ΘB gibt den Winkel für konstruktive Interferenz an. Die 

Übertragung hoher Ordnungen durch die Objektivlinse ist überdies für hochauflösende TEM- 

Aufnahmen zwingend erforderlich sind (s. Abschn. 2.1). 

Nach De Broglie sind Wellenvektor k und Impuls eines Elektrons p gleichgerichtet, d.h. k 

entspricht der Einfallsrichtung der Elektronenwelle. Anhand der Wellenvektoren k lässt sich die 

Bragg-Bedingung auch in eine für das reziproke Gitter äquivalente Form bringen [20, 33]: 

ghkl = k ′ 

− k = ∆k ⇐⇒ k ′ 

= k + ghkl. (2.14) 

Für einen reziproken Differenzvektor ghkl = ∆k von gestreuter und einfallender Elektronenwelle 

treten Beugungsreflexe auf, wenn dieser in einem reziproken Gitterpunkt auf der Ewald-Kugel 

endet, wie dies in Abb. 2.4(b) für die grün und orange markierten Gitterpunkte dargestellt ist. 

Die Ewald-Kugel mit dem Radius | k| wird so konstruiert, dass die Spitze des Wellenvektors k im Ursprung des reziproken Gitters, des Beugungsbildes, steht. Dabei befindet sich die Spitze 

des Wellenvektors k ′ der elastisch gestreuten Elektronenwelle ebenfalls auf der Ewald-Kugel. Die 

Äquivalenz beider Formulierungen lässt sich durch die Bildung des Skalarprodukts mit ghkl auf 

beiden Seiten von Gl. 2.14 und | k| = 1 

λ 

schnell nachprüfen. Eine weitere Interpretation von Gl. 

2.14 ist der Impulsaustausch zwischen den elastisch gestreuten Elektronen und dem Kristallgitter 

[20], was mit der in Abb. 2.4(b) skizzierten Ewald-Kugel verdeutlicht wird. 

19


(a) Bragg-Beugung am direkten Kristallgitter. 

(b) Ewald-Konstruktion im reziproken Gitter mit Einstrahlrichtung 

k der Elektronenwelle und Verkippung um 

den Winkel ϑ. 

Abbildung 2.4: (a) zeigt die vereinfachte Geometrie, die bei der konstruktiven Interferenz für zwei an verschiedenen 

Netzebenen reflektierten Elektronenwellen k und k ′ vorliegt und welche die Bragg-Bedingung 

erfüllt. Dabei muss für den rot markierten Gangunterschied ∆s = nλ gelten. Die in (b) gezeigte Ewald- 

Kugel im reziproken Gitter hat den Radius | k| = 1 

λ , wobei der Wellenvektor k in einem reziproken Gitterpunkt 

endet und damit den Ursprung festlegt. Alle die Ewald-Kugel schneidenden, reziproken Gitterpunkte 

können als Reflexe zum Beugungsbild beitragen und geben die Streurichtungen k ′ für konstruktive Interferenz 

an (grün markierter Gitterpunkt). Zudem treten aufgrund der dünnen Probe in z-Richtung und 

des Anregungsfehlers sz weitere Reflexe auf, dessen funktionaler Verlauf schematisch links unten dargestellt 

ist. Weiterhin führt die Verkippung um ϑ gegenüber der Zonenachse zur Entstehung der nullten 

Laue-Zone (orange markierter Gitterpunkt). 

Um die Ewald-Bedingung für Beugungsreflexe mathematisch zu erfassen, kann eine Ewald- 

Kugel mit einer Kugelgleichung und dem Radius | k| 2 = k2 = 1 

λ2 konstruiert werden. Die 

Einführung eines beliebigen, reziproken Gittervektors q führt zu [20] 

1 

λ 2 = (q + k) 2 = q · q + 2q · k + k 2 

 

=λ −2 

=⇒ q · (q + 2 k) = 0. (2.15) 

Jeder reziproke Vektor q, der dieser Ewald-Bedingung folgt, befindet sich somit auf der Ewald- 

Kugel und kann demnach zu einem Beugungsreflex führen. Wird in Gl. 2.15 q = ghkl = ∆k gesetzt, was der Bragg-Bedingung entspricht, folgt ghkl · (( k ′ 

− k) + 2k) = ghkl · ( k ′ 

+ k) = 0, 

womit ( k + k ′ 

) in der Netzebene liegt. 

2.5.2 Orientierung in Zonenachse und Laue-Zonen 

Im Zusammenhang mit der Ewald-Konstruktion ist für die in dieser Arbeit gemachten TEM- 

Aufnahmen die Zonenachsen-Orientierung ein wichtiger Begriff. Die Zonenachse tuvw (ZA) steht 

senkrecht zu den reziproken Gittervektoren ghkl zweier oder mehrerer Ebenenscharen, z.B. zu den 

Gittervektoren g1, g2 und g3 aus Abb. 2.5(a). Mit dem Kreuzprodukt dieser reziproken Vektoren, 

z.B. g1 und g2, resultiert die gesuchte ZA zu tuvw ∝ g1 × g2. Diese Relationen definieren dann 

20


(a) (b) 

Abbildung 2.5: In (a) definiert die in grün dargestellte Zonenachse tuvw (ZA) eine Zone. Dabei steht 

die ZA senkrecht zu den reziproken Gittervektoren g1, g2 und g3 und bildet mit den dazugehörenden 

Ebenenscharen gemeinsame Schnittlinien. (b) zeigt für Gallium-Arsenid ein experimentelles Beugungsbild 

mit Kikuchi-Bändern in [100]-Zonenachsen-Orientierung. 

die Zonen-Gleichung für die nullte Laue-Zone zu 

tuvw · ghkl = hu + kv + lw = 0. (2.16) 

Alle Ebenen (hkl), die mit der ZA eine Schnittlinie bilden und dessen reziproke Gittervektoren 

ghkl somit senkrecht zur ZA stehen, geben die Zone an (s. Ebenen in Abb. 2.5(a)). Sind bei 

GaAs-Kristallen Probe und Wellenvektor k in [1 0 0]-Zonenachse orientiert und damit nicht 

verkippt, werden die Beugungsmuster aus Abbildungen 2.3(b) und 2.5(b) als Tangentialschnitt 

des reziproken Raums beobachtet. Bei einer verkippten Probe bilden sich sogenannte Laue-Zonen 

aus, wenn ein reziproker Gittervektor senkrecht auf der ZA steht und sein reziproker Gitterpunkt 

die Ewald-Kugel schneidet. Die Ewald-Konstruktion für eine verkippte Probe ist exemplarisch 

in Abb. 2.4(b) dargestellt. Dabei steht der reziproke Vektor g2 senkrecht auf der ZA und endet 

im orange unterlegten Gitterpunkt. Es entsteht damit der Laue-Kreis für die nullte Laue-Zone, 

dessen Zentrum in Grafik 2.4(b) als blauer Punkt markiert ist [20]. Laue-Zonen höherer Ordnung 

haben sehr große Radien und sind in der Grafik nicht dargestellt. Ferner liegen im Beugungsbild 

von Abb. 2.5(b) sogenannte Kikuchi-Bänder vor, welche Indikatoren für das Zentrum des Laue- 

Kreises sind. Die Kikuchi-Bänder entstehen durch Mehrfachstreuung am thermisch ungeordneten 

Kristall, bei dem zunächst die Bragg-Bedingung für die Elektronen nicht erfüllt ist. Im Zuge der 

weiteren Propagation durch den Kristall kann jedoch die Bragg-Bedingung für anschließende 

Streuungen wieder erfüllt sein, so dass sich Kikuchi-Bänder im Beugungsbild ausbilden (s. Abb. 

2.5(b)). 

21


2.5.3 Reflexintensität und Strukturfaktor 

Die Bragg-Reflexe entstehen bei näherer Betrachtung durch die Streuung der Elektronenwelle 

an den Coulomb-Potenzialen, die sich im Kristall an den Atompositionen r = R + rj befinden. 

Das Streuvermögen eines einzelnen Atoms j wird mit der atomaren Streuamplitude f j ( k ′ − k) 

charakterisiert, welche die Wahrscheinlichkeit eines Elektrons mit dem Wellenvektor k angibt, 

am Atom j mit dem Potenzial V (rj) in Richtung k ′ gestreut zu werden [20]. Das Streuvermögen 

einer einzelnen EZ resultiert weiter mit der Summe aller atomarer Streuamplituden f j ( k ′ − k) 

und wird mit dem Strukturfaktor Fhkl formuliert. Ferner beschreibt die Gitteramplitude G mit 

der Summe über alle direkten Gittervektoren R den Einfluss des endlich ausgedehnten Kristalls 

Ω. Diese Größen ergeben sich aus der Fourier-transformierten Amplitude A(q) der gestreuten 

Elektronenwelle [33]: 

A(q) ∝ 

f j ( k ′ − k)e −i2π(k ′ −k)·( 

R+rj) 

= f j ( k ′ − k)e −i2π(k ′ −k)·rj 

e −i2π(k ′ −k)· R 

. 

j∈EZ R∈Ω 

j∈EZ 

 

 

:=Fhkl 

(2.17) 

Die Bragg-Intensität berechnet sich dann mit dem Strukturfaktor und der Gitteramplitude zu 

R∈Ω 

:=G 

I(q) = |A(q)| 2 ∝ |Fhkl| 2 |G| 2 . (2.18) 

Die Intensität ist damit proportional zum Betragsquadrat des Strukturfaktors. Mit der Bragg- 

Bedingung 2.13 treten allerdings nur Bragg-Reflexe dort auf, wo die Ewald-Kugel reziproke 

Gittervektoren schneidet. Bei strikter Einhaltung dieser Bedingung könnten aber nicht so viele 

Reflexe angeregt werden, wie beispielsweise in Abb. 2.5(b) tatsächlich beobachtet werden. Die 

dennoch auftretenden Reflexe lassen sich dabei auf die endliche Größe des Kristalls zurückführen. 

Daher wird ein Anregungsfehler s eingeführt, so dass die Bragg-Bedingung für den Differenzvektor 

aus Gl. 2.14 k ′ − k = g + s aufgeweicht wird [33, 20]. Die Gitteramplitude aus Gl. 2.17 

setzt sich aufgrund der drei Kristallrichtungen aus einer Dreifachsumme zusammen. Für sehr 

viele Einheitszellen werden diese im Grenzfall zu einem Dreifachintegral, deren Grenzen über 

das gesamte Kristallvolumen Ω = LxLyLz mit Li = Miai gehen. Wird nun der Anregungsfehler 

in die Gitteramplitude von Gl. 2.17 eingesetzt, wird aus Gl. 2.18: 

I(q) ∝ |Fhkl| 2 |G| 2 = |Fhkl| 2 sin2 (πsxM1a1) 

(πsxa1) 2 

sin2 (πsyM2a2) 

(πsya2) 2 

sin2 (πszM3a3) 

(πsza3) 2 . (2.19) 

Mi gibt dabei die Anzahl der Einheitszellen mit den Komponenten der Basisvektoren ai in die 

i-te Richtung an [33]. 

Ist die laterale Ausdehnung des Kristall (x, y)max → ∞ sehr groß, können in x- und y-Richtung 

nur noch für sehr kleine Anregungsfehler sx,y ≈ 0 Beugungsreflexe angeregt werden, was der 

Bragg-Bedingung von Gl. 2.13 entspricht. Dieser Sachverhalt ist mit der schmalen Sinusfunktion 

in Abb. 2.6(a) illustriert. Es ergibt sich hingegen für eine dünne Probe in z-Richtung mit dem 

in Abb. 2.6(b) illustrierten, breiten Bereich eine größere Anzahl von angeregten Punktreflexen, 

was z.B. dem in Abb. 2.5(b) gezeigten Beugungsbild entspricht [20, 33]. Der Sinusverlauf für 

den Anregungsfehler in z-Richtung ist auch in Grafik 2.4(b) links unten skizziert. 

2.5.4 Debye-Waller-Faktor 

Wegen den stets auftretenden, thermischen Oszillationen der Atomrümpfe, die im Kristall in ihrer 

Gesamtheit als Phononen beschrieben werden, wird bei der Betrachtung des idealen Kristalls 

22

|G| 2 

−0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 

s x,y (nm −1 ) 

(a) Verlauf der ersten beiden Sinusfaktoren in 

x-/y-Richtung mit lateralen Ausdehnung von 

56,53nm aus Gl. 2.19. 

2.6 Dynamische Beugungstheorie und Elektron-Phonon-Streuung 

|G| 2 

−0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 

s z (nm −1 ) 

(b) Verlauf in z-Richtung des letzten Sinusfaktors 

von Gl. 2.19 mit 5, 65nm dünner Probe. 

Abbildung 2.6: (a) zeigt den schmalen Sinusverlauf der Gitteramplitude |G| 2 über die Anregungsfehler 

sx,y, mit dem nur sehr kleine von der Bragg-Bedingung abweichende Anregungsfehler sx,y zu einem 

Beugungsreflex führen können. (b) gibt aufgrund der dünnen Probe in z-Richtung eine breitere Kurve 

vor, womit bei größeren Fehlern sz noch Reflexe angeregt werden können. 

eine Korrektur der atomaren Streuamplitude f j vorgenommen [20, 34]. Der atomare Formfaktor 

f j ergibt sich mit dem Kristallpotenzial des j-ten Atoms V (rj) und der Dirac-Notation zu 

f j (ghkl) = 〈e i2π k ′ ·rj |V (rj, t)|e −i2π k·rj 〉. (2.20) 

Für den korrigerten atomaren Formfaktor f j (ghkl) ist es zweckmäßig den Erwartungswert der 

zeitabhängigen, atomaren Schwingungen des Potenzials V (rj, t) zu berechnen. Für kleine Schwingamplituden 

u(t) um die Ruhelage r0 kann eine Taylor-Näherung vorgenommen werden, in der 

die ungeraden Terme im zeitlichen Mittel verschwinden. Es ergibt sich exemplarisch für die 

x-Richtung die Näherung 

V (xj + ux(t)) ≈ V |x0 + u2x(t) d 

2! 

2V dx2 |x0 bzw. 〈V (x)〉t ≈ V |x0 + 〈u2x〉t 2! 

d2V |x0 . (2.21) 

dx2 Die sich mit dem zeitlich gemittelten Potenzial 〈V 〉t ergebende atomare Streuamplitude ist nach 

[20] 

〈f j (ghkl)〉t = 〈e i2πk ′ ·r 

|〈V (xj)〉t|e −2πk·r −B·( 

〉 ≈ e 1 

ghkl) 

2 

2 f j (ghkl). (2.22) 

Die Folge ist also eine Gauß-förmige Dämpfung der Bragg-Reflexe im Beugungsbild, die vom 

Differenzvektor ghkl und dem Debye-Waller-Faktor B = 8π 2 〈u 2 〉t abhängt. Die Bestimmung 

des zudem temperaturabhängigen Debye-Waller-Faktors geschieht z.B. über die Berechnung der 

Phononendispersionen mittels der Dichtefunktionaltheorie [19]. 


Die bisher getroffenen Annahmen der kinematischen Theorie bezogen sich alle auf einen idealen 

und damit translationsinvaranten Kristall, dessen thermische Schwingungen mit der Einführung 

des Debye-Waller-Faktors ausreichend berücksichtigt wurden. Auch wurde bislang die Mehrfachstreuung 

und damit die Dickenabhängigkeit der Bragg-Intensitäten nicht betrachtet. 

Geht man zunächst weiter von einem idealen Kristall aus, so können aufgrund der Translationsinvarianz 

die Intensitäten der Bragg-Reflexe mit der Blochwellen-Methode simuliert werden 

23


[35]. In dieser Methode geht die Mehrfachstreuung ein, und es wird von der Mehrelektronenstrahl- 

Näherung ausgegangen, wodurch die Beugungsreflexe der betreffenden Strahlen als gekoppeltes 

System betrachtet werden können [20, 38]. Sieht man insbesondere von Absorptionen durch den 

Kristall ab, bleibt die Summe aller Reflexintensitäten im System konstant, so dass nur eine 

Umverteilung der Intensitäten zwischen den Bragg-Reflexen stattfindet [33, 46]. 

Im realen Kristall können nun zwei weitere Prozesse auftreten. Abweichend vom idealen Kristall 

kann elastische Streuung auch an einem ungeordneten Kristallgitter entstehen, wodurch 

weiterhin kein Energieaustausch mit der Probe stattfindet. Somit können die Phononen als 

zeitabhängig oszillierende Unordnung der Kristallpotenziale aufgefasst werden. Ein weiterer Prozess 

ist die inelastische Streuung von Elektronen an Phononen, wodurch Phononen angeregt 

werden können und folglich ein Energietransfer von den Elektronen zum Kristallgitter vollzogen 

wird. Die Phononenenergien liegen dabei in der Größenordnung von E ∝ kT, und damit 

bei Raumtemperatur bei 3 · 10 −2 eV [16]. Die statistische Physik zeigt ferner, dass die innere 

Energie der Phononen mit dem harmonischen Oszillator der Quantenmechanik und der Bose- 

Einstein-Verteilung analytisch berechnet werden kann [48, 50]. Ein wichtiges Resultat dieser 

Rechnungen ist die stets vorliegende Nullpunktsenergie, auch bei Temperaturen von T → 0K, 

d.h. es liegt selbst am absoluten Nullpunkt thermische Unordnung im Kristall vor. Für eine 

detaillierte Behandlung der Phononen sei auf [49, Kap. 6.4] und [50, Kap. 3.4] verwiesen. 

2.6.1 Thermisch diffuse Streuung 

Wie bereits angesprochen, bedeuten thermische Atomschwingungen eine zeitabhängige Störung 

der Translationsinvarianz des Kristalls, die mit Hilfe der Phononen beschrieben werden kann. 

Das in Abb. 2.7 simulierte und das in Abb. 2.5(b) experimentell aufgenommene Beugungsbild 

zeigen im Gegensatz zu den in Abschn. 2.5 ausschließlich vorhergesagten Bragg-Reflexen des 

idealen Kristalls überall Intensitäten. Es geht weiter aus dem simulierten Beugungsbild hervor, 

dass die Intensität im Beugungsbild zu hohen Streuwinkeln hin überwiegend von der diffusen 

Hintergrundintensität bestimmt wird. Dabei tragen die Bragg-Reflexe in diesen Bereichen immer 

weniger zur Intensität im Beugungsbild bei. Bei der Analyse weiterer Probendicken zeigt sich 

zudem eine starke Dickenabhängigkeit. Somit dominiert der durch die thermischen Schwingungen 

verursachte Effekt mit zunehmender Probendicke und zu hohen Streuwinkeln [17]. Aufgrund des 

thermischen Ursprungs wird die Elektron-Phonon-Streuung auch als thermisch diffuse Streuung 

(engl. Thermal diffuse scattering (TDS)) bezeichnet [49, 17, 18]. In HAADF-STEM-Methoden 

wird diese Charakteristik genutzt, um die chemische Zusammensetzung des Materialsystems und 

seine Dicke zu bestimmen [35, 52]. 

Die Verwendung der Blochwellen-Methode zur Simulation von TDS ist wegen den oben genannten 

Gründen ungeeignet, da diese einerseits das Bloch-Theorem [50] und andererseits für 

die Fourier-Reihenentwicklung des Kristallpotenzials translationsinvariante Gittervektoren voraussetzt 

[8, 35]. Auch kann wie die Simulation aus Grafik 2.7 zeigt, nicht mehr von einem 

ausschließlichen Intensitätsaustausch der Bragg-Reflexe untereinander ausgegangen werden. 

Ein geeignetes Verfahren zur Berechnung von dynamischer Beugung an ungeordneten Kristallen 

ist jedoch das Multislice-Verfahren, in dem der Kristall in Schichten gleicher oder verschiedener 

Dicke unterteilt wird [8, 35, 17]. Überdies kann für jede Schicht ein anderes Potenzial 

mit unterschiedlichen Auslenkungen aus der Ruhelage innerhalb der Schicht angenommen werden. 

Aufgrund seiner Anpassungfähigkeit wird im Weiteren nur noch das Multislice-Verfahren 

eine Rolle für die vorliegende Arbeit spielen, das aus der Hochenergienäherung für Elektronen 

24

ky (nm −1 ) 

−20 

−15 

−10 

−5 

0 

5 

10 

15 

kx (nm −1 −20 −10 0 10 

) 

(a) Simuliertes Beugungsbild von GaAs. 


ky (nm −1 ) 

−8 

−6 

−4 

−2 

0 

2 

4 

6 

8 

kx (nm −1 −10 −5 0 5 10 

) 

(b) Vergrößerung der Bragg-Reflexe des nebenstehenden 

Beugungsbildes. 

Abbildung 2.7: Beide Bilder zeigen ein mit STEMsim [30] und mittels der Multislice-Methode simuliertes 

Beugungsbild einer an GaAs elastisch gestreuten Elektronenwelle in 〈100〉-ZA-Orientierung. Die Probendicke 

ist 140nm. Die Intensität ist in beiden Aufnahmen logarithmisch aufgetragen, so dass der überall 

vorliegende TDS-Hintergrund deutlich hervortritt. Zudem zeigen sich im Hintergrund die im Abschn. 2.5.2 

erläuterten Kikuchi-Bänder. 

resultiert. 

2.6.2 Hochenergie-Näherung für Elektronen und die Multislice-Lösung 

Ein Ansatz, um die Streuung hochenergetischer Elektronen am Kristall zu erfassen, ist das 

Multislice-Verfahren. Das Prinzip besteht darin, den Kristall in Schichten (engl. Slices) zu unterteilen 

und die Elektronen schrittweise durch diese in Nahfeld-Näherung gemäß Gl. 2.7 propagieren 

zu lassen (s. Abschn. 2.3). 

Ein Zugang zur mathematischen Beschreibung hochenergetischer Elektronen ist zunächst die 

relativistische Energie-Impuls-Beziehung aus Gl. 2.4. Wird dort gemäß des Korrespondenzprinzips 

der Quantenmechanik die Energie mit E → E + ˆ V (r) und der Impuls mit ˆp = −i∇ ersetzt, 

gelangt man zur Klein-Gordon-Gleichung, die nach Ferwada et al. gegeben ist mit [40]: 

 

∆ + 4π 22 k 

ψ(r) = −4π 22eE ˆ V (r) + e2Vˆ 2 (r) 

h2c2 ψ(r) 

= −4π 2 ÛE(r)ψ(r) mit ÛE(r) = 2eE ˆ V (r) 

h 2 c 2 . (2.23) 

Der Wellenvektor k ist der eintretenden Elektronenwelle zugeordnet. E entspricht weiterhin der 

Elektronenenergie und ˆ V (r) dem ortsabhängigen Kristallpotenzial. Der quadratische Term kann 

aufgrund der erheblich höheren Elektronenenergie gegenüber dem Potenzial mit 2eE ˆ V (r) ≫ 

e 2 ˆ V 2 (r) vernachlässigt werden [39]. Verwendet man nun als Ansatz eine ebene Welle mit z als 

Ausbreitungsrichtung gemäß ψ(r) = ˆ ψ(r)·e i2πk·z und der ortsabhängigen Amplitude ˆ ψ(r) erhält 

die Klein-Gordon-Gleichung mit der Auftrennung des Laplace-Operators in seine lateralen und 

25


zur optischen Achse parallele Komponenten ∆r = ∆xy + ∂2 

∂z 2 die Form [35] 

 

∆xy + ∂2 i4π 

+ 

∂z2 λ 

∂ 

∂z + 4π2 ÛE(r) 

 

ψ(r) = 0. (2.24) 

Entlang der Propagationsrichtung z ändert sich die Amplitude nur geringfügig, und es gilt für 

sehr kleine λ = 1, 969 pm die Relation ∂2 

∂z2 ≪ 1 ∂ 

λ ∂z . Für hohe Beschleunigungsspannungen kann 

daher nach [8, 35] die zweite Ableitung ∂2 

∂z2 vernachlässigt werden, was letztlich zur Hochenergie- 

Näherung der Elektronen führt [35]: 

∂ψ(r) 

∂z = 

 

iλ 

4π ∆xy + iπλÛE(r) 

ψ(r). (2.25) 

Lösung mit Multislice 

Die formale Lösung dieser inhomogenen Differentialgleichung erster Ordnung nach z aus Gl. 2.25 

ist mit den quantenmechanischen Operatoren ˆ ∆ := iλ 

4π ∆xy und Û(r) := iπλÛE(r) wie folgt [8] 

⎡ 

 

ψ(x, y, z + δz) = exp ⎣ 

z+δz 

z 

⎤ 

( ˆ ∆ + Û(x, y, z′ )dz ′ ⎦ψ(x, y, z). (2.26) 

Die Operatoren in Exponentialform werden auf die Wellenfunktion ψ(r) angewendet, wobei die 

Ausführung des Integrals im Exponenten weiterführt zu 

ψ(x, y, z + δz) = e [δz· ˆ ∆+ˆvδz(x,y)] · ψ(x, y, z) mit ˆvδz(x, y) = 

 

z+δz 

z 

Û(x, y, z ′ )dz ′ . (2.27) 

ˆvδz(x, y) stellt den Operator des projizierten und lateral ausgedehnten Potenzials mit den Koordinaten 

(x,y) für die Schicht j der Dicke δz dar (s. Abb. 2.8(b)). Nach dem Zassenhaus-Theorem 

[8, 20] führt die FT mit k 2 = k 2 x + k 2 y auf 

 

F {ψ(x, y, z + δz)} =F e δz· ˆ 

∆ ˆvδz (e ψ(x, y, z)) 

=e −i·δz·πλk2 

 

· F e ˆvδz 

 

ψ(x, y, z) . 

Im zweiten Schritt wurde die Reihenentwicklung von exp(δz · ˆ ∆) auf die ebene Welle e −i k·r des 

FT-Integrals angewendet [8]. Die gliedweise Differentiation resultiert erneut in eine Exponentialreihe 

und damit zu einer Exponentialfunktion nach k 2 . Die Multislice-Lösung für jede Schicht 

j der Dicke δz wird mit der inversen FT und dem Faltungstheorem A.4 erreicht [8, Kap. 6.4]: 

 

−1 

ψj+1(x, y,(j + 1) · δz) =F e −i·δz·πλk2 

 

⊗ e ˆvδz,j 

 

· ψj(x, y, j · δz) 

 

=P(x, y, δz) ⊗ e ˆvδz,j 

 

· ψj(x, y, j · δz) . 

(2.28) 

In der Praxis wird jedoch die Propagation stets im Fourier-Raum realisiert. Dabei wurde nach 

der inversen FT der Fresnel-Propagator P aus Abschn. 2.3 verwendet. Der letzte Term in Gl. 

26


2.28, der die Anwendung des Potenzialoperators auf ψ(x, y) ausdrückt, verändert nur die Phase 

von ψ(r), so dass diese Operation auch als Phase grating bezeichnet wird [35]. Verschwindet das 

Potenzial mit Ûj(r) = ˆvδz,j = 0, gibt es nur eine ungestörte, freie Ausbreitung der Elektronen mit 

dem Fresnel-Propagator P, was der Nahfeldausbreitung aus Abschn. 2.3 mit Gl. 2.7 entspricht: 

ψ (frei) 

j+1 (x, y, z + δz) = P(x, y, δz) ⊗ ψj(x, y, z) mit P(x, y, δz) = 1 iπ 

e λ·δz 

iλ · δz (x2 +y2 ) 

. (2.29) 

Das Schaubild aus Abb. 2.8(a) skizziert die erhaltene Multislice-Lösung aus Gl. 2.28. In Grafik 

2.8(a) wird die eintretende Elektronenwelle als Erstes am projizierten Kristallpotenzial ˆvδz,j 

gestreut und propagiert anschließend über die gesamte Schichtdicke δz frei bis zur Schicht j. In 

der letzten Schicht wird die Zwischenelektronenwelle ψj(r) nur noch zu Anfang am Potenzial 

ˆv δz,(j+1) gestreut, die weitere Schichtdicke δz bleibt unberücksichtigt. 

Vakuum 

bereich 

δz 

Eintretende 

Elektronen 

Projizierte 

Potenziale 

j=1 

j=2 

z j=n 

(a) Seitenansicht einer unterteilten 

Probe. 

(b) Auf die Elektronen wirkendes, 

laterales Kristallpotenzial 

ˆvδz,j(x, y). 

δz/2 

z 

δz 

Eintretende 

Elektronen 

δz 

Projizierte 

Potenziale 

(c) Verwendetes Multislice- 

Verfahren. 

Abbildung 2.8: Veranschaulichung der Multislice-Methode: (a) gibt die Multislice-Lösung Gl. 2.28 an, 

bei der die Methode mit der Streuung am Potenzial ˆvδz,1(x,y) beginnt. Das Potenzial kann für jede 

Schicht unterschiedlich sein. (b) skizziert die laterale Ausdehnung des Potenzials ˆvδz,j(x,y). (c) illustriert 

die letztlich verwendete Methode von Gl. 2.31. Es wird zu Anfang und am Ende um δz 

2 frei propagiert 

und in jeder Schicht auf halber Strecke am Potenzial ˆvδz,j gestreut. 

Um ein genaueres Ergebnis zu bekommen, geschieht die Anwendung des Potenzials ˆvδz,j(x, y) 

zentral in einer Schicht nach der zunächst freien Nahfeldpropagation durch die halbe Schichtdicke 

δz 

δz 

2 (vgl. Abb. 2.8(c)). Im Anschluss wird erneut durch 2 frei propagiert. Es gilt nach [35] 

und [8, Kap. 6.11] zunächst 

e δz·( ˆ ∆+ˆvδz,j) ≈ e δz 

2 ˆ ∆ · e ˆvδz,j · e δz 

2 ˆ ∆ . (2.30) 

Schlussendlich wird in den später durchgeführten Simulationen für die Objektaustrittswellenfunktion 

(OAWF) ψ(x, y, z) = ψ(x, y, nδz) das folgende Schema anhand der Gleichungen 2.27 

und 2.30 verwendet 

ψ(x, y, n · δz) ≈ 

n 

j=1 

 

e δz 

2 ˆ ∆ · e ˆvδz,j · e δz 

2 ˆ ∆ 

j 

ψ(x, y,0). (2.31) 

Dabei symbolisiert Π die sukzessive Anwendung des j-ten Operators auf die (j −1)-te Zwischenwellenfunktion 

ψj−1(x, y,(j − 1)δz) bis j=n erreicht ist. 

27


2.6.3 Frozen Phonon und Frozen Lattice 

Da die Elektronen die Proben mit relativistischen Geschwindigkeiten von v = 0, 77c passieren, 

erfahren sie nur eine Momentaufnahme des thermisch schwingenden Kristallgitters, wie in Abb. 

2.9(b) gezeigt ist. Diese Sichtweise legt nahe, dass auf die Elektronen bei Propagation durch den 

Kristall nur ein statisches Potenzial auf sie wirkt. Dies wird mit der nachstehenden Rechnung 

belegt. Es sei nochmal betont, dass die thermisch ausgelenkten Atome nur im geringen Maße von 

ihrer Gleichgewichtslage abweichen, typischerweise unter 10 pm im Mittel bei einer Temperatur 

von 300 K. 

Die Transmissionsdauer durch eine Probe mit der Dicke d = 100 nm beträgt etwa ∆t = 0, 4 · 

10 −15 s. Die Frequenz von niederfrequenten, akustischen Phononen, welche die TDS verursachen 

[49], liegt bei ca. 10 THz, was einer Periodendauer von T = 10 −13 s entspricht [35, 49]. Diese 

sind also um drei Größenordnungen höher als die Transmissionsdauer der Elektronen, also T ≈ 

10 3 ·∆t. Damit braucht also keine explizite Zeitabhängigkeit der thermischen Atomschwingungen, 

wie in Abb. 2.9(a) skizziert, berücksichtigt zu werden. Demzufolge werden die Elektronen somit 

an quasi-statischen, ungeordneten Kristallen elastisch gestreut (s. Abb. 2.9(b)). 

(a) Thermische Oszillationsrichtungen der 

projizierten Potenziale vδz,j einer Schicht j. 

(b) Eine statische Konfiguration am Beispiel 

einer Schicht j, in der die projizierten Potenziale 

vδz,j statisch ausgelenkt sind. 

Abbildung 2.9: In (a) sind Richtungen der thermischen Schwingungen exemplarisch dargestellt. 

Grundsätzlich ist in jede der drei Raumrichtungen eine thermische Oszillation möglich. (b) gibt mit den 

durchgezogenen Kreisen eine Momentaufnahme des Kristallpotenzials an, und damit eine Konfiguration. 

Die gestrichelten Kreise stellen die Gleichgewichtslagen der schwingenden Rumpfatome dar. (a) und (b): 

In orange ist die Richtung des Wellenvektors der Elektronenwelle eingezeichnet. 

Im Sinne dieser eingefrorenen Momentanzustände wird zwischen zwei Modellen unterschieden. 

Das ist einerseits Frozen lattice, wo das Einstein-Modell mit unkorrelierten Atomauslenkungen 

angenommen wird, und andererseits Frozen phonon, welches Korrelationen zwischen den Atomen 

einbezieht [17, 35]. Letzteres kann anhand von Phononendispersionen abgeleitet werden, die mit 

Hilfe der Dichtefunktionaltheorie berechenbar sind [19, 50]. 

Diese Betrachtungen führen zum Begriff der Konfiguration, welche den momentanen Zustand 

des Kristallpotenzials charakterisiert. In einer Konfiguration wird jeder Schicht j eine zufällige 

Atomauslenkung zugeordnet, was in Abb. 2.9(b) mit der Verschiebung der blauen Punkte als 

Rumpfatome angedeutet ist. Schematische Äquipotenziallinien sind mit den durchgezogenen 

blauen Kreisen angegeben, wobei die gestrichelten die der Gleichgewichtslagen darstellen. Alle 

Schichten mit zufallsverteilten Auslenkungen geben dann kollektiv einen Momentanzustand des 

28

2.7 Kohärenz 

Kristalls und damit eine Konfiguration an. Insgesamt muss also über viele Konfigurationen 

gemittelt werden, um eine realistische Wechselwirkung zu simulieren [17]. 

Im Weiteren richtet sich der Fokus nur noch auf den Frozen-Lattice-Ansatz mit unkorrelierten 

Atombewegungen. Bei Frozen-Lattice propagieren die Elektronen für jede Konfiguration 

kohärent, es tritt kein Energieverlust auf, wodurch die Interferenzfähigkeit mit dem Primärstrahl 

erhalten bleibt [17]. In diesem Zusammenhang wird zwar eine dynamische, aber offenbar keine inelastische 

Beugung der Elektronen am Kristallgitter berücksichtigt, so dass sich die Frage stellt, 

inwiefern die Annahme der elastischen Streuung gerechtfertigt ist. Dieser Widerspruch wird von 

Wang und Van Dyck mit dem Vergleich einer quantenmechanischen, inelastischen Rechnung 

und Frozen-Lattice aufgelöst, der die Äquivalenz beider Methoden aufzeigt, falls über genügend 

Konfigurationen gemittelt wird [49, 51, 17]. Damit stellt sich also Frozen-Lattice als adäquates 

Simulationsmodell zur Berechnung von elastischer und inelastischer Elektron-Phonon-Streuung, 

also von TDS, heraus. 

2.7 Kohärenz 

Bei Frozen-Lattice wurde der Begriff der Kohärenz angeführt, der die Voraussetzung für die 

Interferenz der am Kristall gebeugten Elektronenwelle ist. Interferenz entsteht also nur für 

kohärente Elektronenwellen, was nach Abschn. 2.1 die Grundlage für hochauflösende Bilder 

als kohärente Abbildung ist [34]. Im Idealfall wird eine sphärische Elektronenwelle ψ(r) von einer 

Punktquelle im Brennpunkt einer Kondensorlinse ausgesandt und trifft als ebene Welle auf 

die Probe [20]. Im Allgemeinen wird also unter Kohärenz eine feste Phasendifferenz mit einer 

identischen zeitlichen Abhängigkeit der Amplitude der interferierenden Wellen ψ(r) verstanden 

[42]. Daher gibt es eine räumliche und zeitliche Kohärenz. 

Räumliche Kohärenz 

In diesem Zusammenhang werden die Emissionseigenschaften der im Titan verwendeten Schottky- 

FEG aus Abschn. 1.3.1 aufgegriffen. Die endliche Ausdehnung der Emissionsfläche führt auf eine 

nicht-isoplanare, also eine vom Ort der Emission abhängige Einfallsrichtung der Elektronenwelle, 

und wird mit dem Winkel β erfasst (s. grün farbige Winkel in Abb. 2.10(a)). Daraus ergibt 

sich eine zur optischen Achse rotationssymmetrische und winkelabhängige Gauß-Verteilung der 

Wellenvektoren k der auf die Probe einfallenden Elektronenwellen, auch dann, wenn eine optimale 

Parallelbeleuchtung am Mikroskop eingestellt ist. Diese Gauß-Verteilung wird mit der 

Dichtefunktion ρ (α) 

s (|q|) und dem Semikonvergenzwinkel α charakterisiert [32]. Die Umrechnung 

von einem Winkel ϑ in einem lateralen, reziproken Vektor |q| ist in Abb. 2.10(b) veranschaulicht. 

Daraus ergibt sich mit α eine Standardabweichung von σ = |q|α = 0, 10nm −1 für die Verteilung. 

Die räumliche Kohärenz wird auch transversale bzw. laterale Kohärenz genannt, womit eine 

transversale Weite Λsc nach [34, Kap.4] definiert werden kann: 

Λsc = λ 

. (2.32) 

2πα 

Wird also eine Elektronenwelle ψ(r) an zwei Objekten im Abstand von r < Λsc gestreut, z.B. 

an zwei benachbarten Atomen in einer Netzebene, überlagern sich ψ1 und ψ2 kohärent zu [20] 

I(r) = |ψ1(r) + ψ2(r)| 2 = |ψ1(r)| 2 + |ψ2(r)| 2 + {ψ1(r)ψ ∗ 2(r) + ψ ∗ 1(r)ψ2(r)} (2.33) 

29


(a) Nicht-isoplanare Wellenfront (nach 

[32]). 

Abbildung 2.10: (a) zeigt, dass das Abbild der Elektronenquelle erzeugt durch die gun lens nicht in 

der vorderen Brennebene der Objektivlinse ist. Dies bedingt nach Passage der Objektivlinse eine nichtisoplanare 

Elektronenwelle und damit eine nichtparallele Beleuchtung mit den Winkeln β = 0 [32]. Weiter 

verursacht die endliche FEG-Ausdehnung in der vorderen Brennebene die Fokussierung eines Punktes 

auf der Probe, die mit dem Semikonvergenzwinkel α charakterisiert wird. (b) skizziert für kleine Winkel 

ϑ im mrad-Bereich die Umrechnung in laterale, reziproke Abstände |q| ≈ ϑ| k| vom Ursprung des 

Beugungsbildes. 

Der letzte Term aus Gl. 2.33 wird als Interferenzterm bezeichnet und verschwindet, falls 

r ≫ Λsc gilt. Dann liegt inkohärente Überlagerung vor und es sind keine Interferenzerscheinungen 

mehr beobachtbar. Damit ist also der Kontrast im HRTEM-Bild abhängig von der Winkelverteilung 

der auf die Probe eingestrahlten Elektronen. Hervorzuheben ist weiterhin, dass es 

sich dabei nicht um eine Fehljustage des Elektronenstrahls im Mikroskop handelt, sondern um 

eine inhärente Eigenschaft der FEG. 

Aus Kenntnis der reduzierten Brillianz aus Abschn. 1.3.1 und anderen Größen lässt sich α 

grundsätzlich nach Gl. 1.2 berechnen. Nach [32] ist für die Schottky-FEG Br = 10 

(b) 

7 A 

sr·m 2 V und 

der elektrische Strom I = 10 nA, womit sich ein Semikohärenzwinkel von α = 0, 2mrad ergibt. 

Daraus folgt eine laterale Kohärenzweite von Λsc=1,57 nm. 

Zeitliche Kohärenz 

Neben der räumlichen ist auch die temporale Kohärenz für die Untersuchungen am Kontrast von 

entscheidender Bedeutung. Dabei unterliegt die Beschleunigungsspannung U der Schottky-FEG 

zeitlichen Schwankungen, die zusammen mit der in Abschn. 1.3.1 beschriebenen Aufweichung 

der Fermi-Kante zu unterschiedlichen Energien E der emittierten Elektronen führt. Folglich 

weisen die Elektronen nach Abschn. 2.2 unterschiedliche Wellenlängen λ auf. Diese Variation 

wird mit der Energieunschärfe ∆E = σ(E) 2ln(2) ausgedrückt und wird als temporale oder 

longitudinale Kohärenz bezeichnet [20, 33]. Dies und die Schwankung der Linsenströme I haben 

zur Folge, dass der Fokus f schwankt, was mit dem Defokus ǫ beschrieben wird. Im Kontext der 

temporalen Kohärenz wird oft die Größe focal spread ∆ anstatt ∆E verwendet. Ihre Definition 

lautet mit der chromatischen Aberrationskonstante Cc aus Abschn. 1.3.2: 

∆ = Cc 

σ 2 (U) 

U 2 + 4σ2 (I) 

I 2 + σ2 (E) 

E 2 . (2.34) 

Mit dem focal spread als Standardabweichung wird analog zur räumlichen Inkohärenz eine Gauß- 

Verteilung eines schwankenden Defokus ǫ mit der Dichtefunktion ρ (∆) (ǫ) angenommen. Es tritt 

30

2.7 Kohärenz 

für eine Extraktionsspannung von 3,9 kV, unter der die Schottky-Emission nach Abschn. 1.3.1 

erfolgt, eine Energieschwankung ∆E = 0, 7 eV auf [32, 36]. Dies hat dann weiter zur Folge, dass 

sich ein focal spread von 3 nm ergibt [32, 36]. Weiter folgt mit der Heisenberg’schen Unschärferelation 

∆E∆t > h für die Emissionsdauer von Schottky-Emittern etwa ∆t = 6 · 10 −15 s [20, 33]. 

Analog zur räumlichen Kohärenzweite Λsc ergibt sich mit der relativistischen Elektronengeschwindigkeit 

v, die sich aus Gl. 2.3 ableitet, für die temporale Kohärenzlänge [20] 

Λtc = ∆t · v = ∆t · c 

 

1 − 

 

1 + eU 

mc2 −2 . (2.35) 

Mit U = 300 kV und v = 0, 77c folgt damit eine longitudinale Kohärenzweite Λtc = 1, 4 µm. 

31


32

3 Kontrastenstehung und Abbildung 

Der Abbildungsprozess der simulierten Objektaustrittswellenfunktion (OAWF) durch die Objektivlinse, 

bestimmt durch die vorherrschenden Inkohärenzen, Aberrationen und die Aufnahme 

mit der CCD-Kamera ist Thema dieses Kapitels. Dazu wird betrachtet, inwiefern sich diese 

Einflüsse auf den Kontrast im HRTEM-Bild auswirken. Zunächst soll aber geklärt werden, was 

sich hinter dem Begriff Kontrast verbirgt. Eine Kontrastdefinition wird gegeben und bildet die 

Grundlage für die später folgenden Untersuchungen. 

3.1 Kontrastdefinition 

Unter Kontrast wird die Unterscheidbarkeit der hellen und dunklen Bereiche von der Grundhelligkeit, 

dem Intensitätsmittelwert, in einem Bild verstanden [42]. Ein Extremfall ist die homogene 

Beleuchtung, da weder dunkle und helle Bereiche vorkommen und damit der Kontrast null ist. 

Der Kontrast ist daher mit der maximalen und minimalen im Bild vorkommenden Intensität 

Imin und Imax definiert [42]: 

c1 = Imax − Imin 

. (3.1) 

Imax + Imin 

Nach dieser Definition ergibt sich aus der nicht-verrauschten, rotfarbigen Sinuskurve in Abb. 3.1 

zunächst ein Kontrast von c1 = 1. Diese allgemeine Definition wird hier jedoch nicht verwendet, 

Signalintensitaet 

4 

2 

0 

−2 

0 5 10 15 

Pixel 

20 25 30 

Abbildung 3.1: Skizze eines experimentellen Signals: In rot ist zunächst eine nicht-verrauschte Sinuskurve 

als Ursprungssignal dargestellt. Das um die Sinuskurve oszillierende blaue Signal skizziert sein verrauschtes, 

experimentelles Abbild. Die blauen Intensitätsausreißer (peaks) entstehen durch im Experiment erzeugtes 

Röntgenlicht. Mit Standabweichung σ und Mittelwert 〈I〉 lassen sich dann die maximalen bzw. minimalen 

Intensitätswerte I (±σ) = 〈I〉 ± σ berechnen, die als schwarze Horizontalen dargestellt sind. 

da in den experimentellen, mit der CCD-Kamera aufgezeichneten HRTEM-Aufnahmen Rauschen 

vorliegt, die in Abb. 3.1 als blaue Oszillationen um die rote Sinuskurve dargestellt sind. 

33


Zudem führt die Wechselwirkung der hochenergetischen Elektronen mit Materie zu Röntgenlicht, 

welches starke Bildintensitäten in einzelnen CCD-Pixeln verursachen kann (s. blaue, stark 

abweichende Intensitäten in Abb. 3.1). Aus diesen Gründen liegen praktisch immer Pixel im Bild 

vor, die viel höhere Intensitäten als die tatsächlich vorliegende Maximalintensität aufweisen. 

Um diesen Effekten zu begegnen, kann die statistische Standardabweichung σ der im Bild enthaltenden 

Pixelintensitäten Ii als Schwankungen um ihren Intensitätsmittelwert 〈I〉 herangezogen 

werden. Dann lässt sich ein anderes Maximum bzw. Minimum mit I (±σ) = 〈I〉 ± σ angeben 

[42, Kap. 11.3]. Die Definition von Gl. 3.1 führt mit N 2 Pixeln, bei der Gatan UltraScan1000- 

CCD-Kamera aus Abschn. 1.3.3 ist N = 2048, zu 

c2 = I(+σ) − I (−σ) 

I (+σ) σ 1 

= = 

+ I (−σ) 〈I〉 〈I〉 

 

 

N 

 

 

2 

 

(Ii − 〈I〉) 

i=1 

2 

N2 . (3.2) 

− 1 

Aus Gl. 3.2 resultiert mit dem oben dargelegten Beispiel ein Kontrast von c2 = 0, 77. Diese 

Kontrastdefinition findet in der Literatur [11, 24, 21] breite Anwendung. Da die simulierten 

HRTEM-Bilder mit der gleichen Kontrastdefinition wie die experimentellen berechnet werden 

sollen, wird die Kontrastdefinition 3.2 für alle HRTEM-Bilder der vorliegenden Arbeit verwendet. 

3.2 Phasenkontrast 

In den mit TEM aufgenommenen Bildern wird vorwiegend Phasenkontrast gesehen, da bei 

Transmission der Objektaustrittswellenfunktion ψ(r) durch dünne Proben in erster Näherung 

(schwache Phasenobjektnäherung) die Phase, jedoch nicht die Amplitude der Elektronenwelle 

verändert wird [20]. Weiterhin sind die Übertragungseigenschaften der Objektivlinse aus Abschn. 

1.3.2 für den Kontrasttransfer entscheidend, da der sphärische Linsenfehler mit Cs und der 

Defokus ǫ eine Phasenveränderung der FT der OAWF bewirken. Diese Phasenverschiebung wird 

zunächst mit der Phasentransferfunktion beschrieben [20, 33]: 

χ( k; ǫ) = π 

2 Csλ 3 k 4 + πλǫk 2 . (3.3) 

Die Abhängigkeit der Phasenveränderung χ von verschiedenen Potenzen des reziproken Gittervektors 

k macht deutlich, dass die k-Charakteristik im Beugungsbild verschieden ist. Die 

Transfereigenschaften der Objektivlinse werden dann mit der kohärenten Kontrasttransferfunktion 

(engl. Contrast transfer function (CTF)) 

τ( k) = cos(χ(k, ǫ)) + i sin(χ(k, ǫ)) = e iχ( k;ǫ) beschrieben. (3.4) 

Dabei wird dem Kosinusterm die Amplituden -und dem Sinusterm die Phasenänderung zugeordnet 

[33]. Wird weiter das schwache Phasenobjekt angenommen, erhält man also eine ideale Übertragung 

der Ortsfrequenzen für χ = π [33, 20]. Abbildung 3.2 zeigt den exemplarischen Verlauf 

2 

des Sinusterms der CTF mit Cs = −3, 1 µm und dem Scherzer-Defokus ǫscherz = −2, 5 nm. Dort 

bildet sich aber offensichtlich für die blaue Kurve nur ein kleiner Bereich zwischen 10 nm−1 und 

17 nm−1 aus, für den eine ideale Übertragung der Ortsfrequenzen stattfindet. Diese Passbänder 

sind dann am breitesten, wenn für den Defokus die Scherzer-Bedingung ǫscherz = − √ Csλ erfüllt 

ist [20]. Im Idealfall würde also die CTF für alle Raumfrequenzen den Wert −1 annehmen, so dass 

34

pCTF 

1.5 

1 

0.5 

0 

−0.5 

−1 

ε scherz ≈ −2.5nm 

ε=−15nm 

0 10 20 30 40 50 

Frequenz (nm −1 ) 

3.2 Phasenkontrast 

Abbildung 3.2: Phasenkontrasttransferfunktion mit Cs = −3,1µm und den Defoki ǫscherz = −2.5nm 

(blaue Kurve) und ǫ = −15nm (grüne Kurve). Beim Scherzer-Defokus ergibt sich ein Passband zwischen 

12 und 16 nm −1 . Die grüne Kurve weist ein schmales Passband bei 35 nm −1 auf. 

alle reziproken Vektoren vollständig übertragen würden. Folglich ist bei einem Cs-korrigierten 

Mikroskop für ǫ = 0 (Probe ist fokussiert) praktisch kein Phasenkontrast mehr festzustellen, da 

für Cs ≈ 0 auch sin(χ(k; 0)) = 0 folgt. Die durch die Objektivlinse bedingte Phasenveränderung 

wirkt sich dann in der hinteren Brennebene mit der CTF auf die FT der OAWF wie folgt aus 

F{ψim(r)} = F {ψ(r)} · τ( k) 

−1 

=⇒ ψim(r) = F F {ψ(r)} · τ( 

k) = ψ ⊗ F −1 {τ( k)}(r). (3.5) 

Mit dem Faltungstheorem aus Gl. A.4 kann die phasenveränderte Wellenfunktion ψim(r) im Realraum 

mit einer Faltung von OAWF ψ(r) und Punktverwaschungsfunktion (engl. Point Spread 

Function (PSF)) F −1 {τ( k)} berechnet werden. 

Ist die vollständige Objektwellenfunktion ψ(r) (Amplitude und Phase) von Interesse, so kann 

diese mit Hilfe einer Fokusserie [55], d.h. eine Folge von Bildern mit verschiedenen Defoki ǫ, 

rekonstruiert werden. Dies lässt sich an Grafik 3.2 verdeutlichen, da sich für jeden Defokus ǫ 

eine andere CTF mit anderen Passbändern ausbildet (s. grüne und blaue Kurve). Für die sich 

sukzessiv verändernden Übertragungsbereiche lässt sich die Wellenfunktion somit in Summe 

komplett übertragen und aus allen Bildern rekonstruieren. 

Folgende Bedingungen wurden bisher an die kohärente CTF und die Bildentstehung geknüpft: 

Der Primärstrahl hat eine signifikant größere Intensität als die gebeugten Strahlen (lineare Abbildung). 

Außerdem liegt mit der isoplanaren Näherung eine ebene Elektronenwelle vor [20, S. 

590], nach der insbesondere in Gl. 2.32 α = 0 gilt. Ferner wird mit Gl. 2.34 von ∆ = 0 ausgegangen. 

Mit diesen Bedingungen ist folglich stets vollständige räumliche und temporale Kohärenz 

aus Abschn. 2.7 gegeben. 

In der tatsächlichen Bildentstehung sind jedoch die Bildinformationen nicht nur durch die 

Interferenz mit dem Primärstrahl gegeben, sondern auch mit der Interferenz der gebeugten 

Strahlen untereinander (nichtlineare Abbildung). Hinzu kommt, dass eine nicht-isoplanare Wel- 

35


lenfront ψ(r) berücksichtigt werden muss, also α > 0, da die Schottky-FEG keine Punktquelle 

ist (s. Abb. 2.10). Nicht zuletzt muss auch die begrenzte, temporale Kohärenz wegen ∆ > 0 

betrachtet werden, wie in Abschn. 2.7 erläutert wurde. 

3.3 Nichtlineare Abbildung 

Ausgehend von der OAWF werden alle nichtlinearen, bildentstehenden Einflüsse bis zur Bildebene 

untersucht. Die Inkohärenz aus Abschn. 2.7 wird zunächst nicht betrachtet und im zweiten 

Teil dieses Abschnitts behandelt. 

Hierbei ist wichtig zu bemerken, dass es sich um kleine Winkel im mrad-Bereich und damit um 

achsnahe Strahlen handelt. Dadurch nehmen ausschließlich die Aberrationen der Objektivlinse 

starken Einfluss auf die Bildentstehung, alle anderen Linsen werden vernachlässigt (s. Abschn. 

1.3.2). 

Bei Propagation der Wellenfunktion ψ(r) durch die Objektivlinse entsteht das Beugungsmuster 

in der hinteren Brennebene mit |F{ψim(r)}| 2 . Da die Übertragungseigenschaften der Objektivlinse 

die Phase von F{ψ(r)} gemäß Gl. 3.5 ändern, folgt dann für ein aberrationsbehaftetes 

und ggf. durch eine in der hinteren Brennebene platzierte Objektivapertur A( k) modifiziertes 

Bild 

I(r) = |ψim(r)| 2 

−1 

= |F F{ψ(r)} · A( k) · τ( 

k) | 2 . (3.6) 

Dabei gilt für die Aperturfunktion A( k) = 1, wenn die gebeugten Elektronenwellen mit dem 

Wellenvektor | k| < r innerhalb der Apertur mit dem Radius r liegen, sonst gilt A( k) = 0. 

3.3.1 Kohärente Abbildung 

Zunächst werden Inkohärenzeffekte vernachlässigt. Zusätzlich wird lediglich die Übertragung der 

Bragg-Reflexe und der Übersichtlichkeit halber keine Beiträge aus der TDS betrachtet. In der 

hinteren Brennebene liegen dann nur die Bragg-Reflexe vor, die von der Objektivapertur mit 

der Funktion A( k) hindurch gelassen werden. Die Wellenfunktion F {ψim(r)} in der Brennebene 

lautet 

F {ψim(r)} = F {ψ(r)} · A( k) · τ( k). (3.7) 

Die Bildintensität ergibt sich aus der inversen FT und der anschließenden Betragsquadratbildung 

[29]: 

⎛ 

I(r) = ⎝ 

ψge i2πg·r ⎞ ⎛ 

· A(g) · τ(g) ⎠ · ⎝ 

ψ ∗ e h −i2π ⎞ 

h·r 

· A( ∗ 

h) · τ ( h) ⎠ (3.8) 

g 

Das Diffraktogramm lässt sich mit einer erneuten FT berechnen [29]: 

I(q) = 

g 

h 

h 

ψgτ(g)A(g) · ψ ∗ h τ ∗ ( h)A( h)δ( h − g + q) (3.9) 

Die zusammengefasste Rechnung zeigt, wie komplex bereits die nichtlineare Abbildung bei 

vollständiger Kohärenz ist. Alle Bragg-Reflexe, welche die Bedingung g ′ = g − h erfüllen, und 

durch die Objektivapertur A( k) gelangen, bilden einen Reflex g ′ im Diffraktogramm. Im Diffraktogramm 

treten dann zusätzliche Reflexe auf, die im Beugungsbild gar nicht von der Objektivapertur 

übertragen werden, z.B. entsteht durch Interferenz von h = −g und g ein weiterer 

Reflex g ′ = 2g. 

36

3.3.2 Inkohärente Abbildung mit Transmissionskreuzkoeffizienten 

3.3 Nichtlineare Abbildung 

Nach Abschn. 3.3.1 gilt für einen Reflex g ′ im Diffraktogramm bei kohärenter Abbildung 

I(g ′ ) = 

ψh+g ′τ( h + g ′ )ψ ∗ τ h ∗ ( h). (3.10) 

h∈A 

Für das Einbringen der Inkohärenzen aus Abschn. 2.7 werden jeweils Gauß-Verteilungen mit 

den Dichtefunktionen ρ (α) 

s (|q|) für die räumliche und ρ (∆) 

T (ǫ) für die temporale Kohärenz angenommen 

[29]. Jede der beiden Gauß-Verteilungen wird isoliert von der anderen mit der CTF 

aus Gl. 3.10 multipliziert und anschließend nach |q| bzw. ǫ integriert. Mit dem Resultat der 

Integrationen können sowohl die räumliche als auch die zeitliche Kohärenz mit zusätzlichen En- 

veloppenfunktionen E (α) 

s , E (∆) 

T ausgedrückt und im Diffraktogramm durch Multiplikation mit 

der kohärenten CTF berücksichtigt werden: 

I(g ′ ) = 

h∈A 

=: 

h∈A 

ψ h+g ′ψ ∗ h · τ( h + g ′ ) · τ ∗ ( h) · E (α) 

s · E (∆) 

T 

ψ h+g ′ψ ∗ h · T (CC) 

h+g ′ , h (ǫ, Cs, α,∆). (3.11) 

Dabei wurde zuletzt der Transmissionskreuzkoeffizienten (engl. Transmission Cross Coefficent 

(TCC)) definiert. Für gewöhnlich stehen die Enveloppen für die entsprechende Inkohärenz, wobei 

deren mathematische Form in [20, 29] zu finden ist. Grafik 3.3 zeigt den Verlauf der räumlichen 

Inkohärenzenveloppe und die CTF aus Abb. 3.2 mit den Parametern α = 0, 2 mrad, Cs = 

−3, 1 µm und einem Defokus ǫscherz = −2, 5 nm. 

pCTF 

1.5 

1 

0.5 

0 

−0.5 

−1 

pCTF mit ε scherz ≈ −2.5nm 

Gedaempfte pCTF 

Raeumliche Inkohaerenzenveloppe 

0 10 20 30 40 50 


Abbildung 3.3: Die blaue CTF gibt den ungedämpften Verlauf für den Scherzer-Defokus ǫscherz = 

−2,5nm und für Cs = −3,1µm an. Die schwarz gestrichelte Enveloppe steht für die räumliche Inkohärenz, 

vorgegeben durch den Semikonvergenzwinkel α = 0,2mrad. Diese sorgt für eine Dämpfung 

der CTF in hohen Winkelbereichen bzw. Frequenzen und ist in rot dargestellt. 

Im Vergleich zu der kohärenten CTF aus Abb. 3.2 werden die in den hohen Winkelbereich 

gestreuten Elektronen weggedämpft, d.h. es werden Elektronen vollständig aus der Rechnung 

37


entfernt. Nach Van Dyck bedeutet dies die Verletzung der Teilchenzahlerhaltung, denn die zu 

hohen Winkeln gestreuten Elektronen im Beugungsbild tragen zwar nicht zum HRTEM-Muster 

bei, dennoch kommen sie als Hintergrundintensität im HRTEM-Bild vor [18]. 

3.3.3 Inkohärente Abbildung mit inkohärenter Summierung 

Ein anderes Modell zur nichtlinearen und inkohärenten Abbildung der OAWF liefert Van Dyck, 

mit dem die Elektronenzahl erhalten bleibt. Dies geschieht über die Mittelung der aus Abschn. 

2.6.3 eingeführten Konfigurationen, die jeweils kohärent mit der CTF der Objektivlinse übertragen 

werden [18]. Dies bildet die Grundlage für die in der Arbeit durchgeführten Simulationen. 

Zunächst werden ausreichend viele normalverteilte, thermische Kristallkonfigurationen N festgelegt, 

um, wie bereits in Abschn. 2.6.3 angesprochen, eine realistische Simulation der Elektron- 

Phonon-Streuung zu bekommen. Die durch den Kristall propagierte Elektronenwelle ψ(r) wird 

ausschließlich elastisch am ungeordneten Kristallpotenzial gestreut und wird für jede Konfiguration 

mit der CTF der Objektivlinse gemäß Abschn. 3.2 kohärent übertragen und abgebildet 

(s. Abschn. 3.3.1). 

Die räumliche Inkohärenz wird weiterhin mit der Dichtefunktion ρ (α) (q) aus Abschn. 2.7 

berücksichtigt. Wegen der numerischen Natur der Simulation ist die Dichtefunktion nicht kontinuierlich 

und wird in M diskrete, laterale Vektoren |qi| mit den dazugehörenden Wahrschein- 

lichkeiten ρ (α) 

i (|qi|) unterteilt. Jede der Konfigurationen wird mit jedem der lateralen Vektoren 

von der Eintrittselektronenwelle ψ(x, y,0) mit dem Wellenvektor k durchstrahlt, so dass sich 

P = N × M zu berechnende Kombinationen ergeben. 

Abbildung 3.4: Eine schematische Konfiguration der projizierten Potenziale vδz(x,y) ist mit den blauen 

Punkten dargestellt. Die räumliche Inkohärenz wird mit der schräg auf die Probe eintretenden Elektronenwelle 

ψ(x,y,0) mit dem Wellenvektor k einbezogen. Der schräge Einfall ist mit dem lateralen q und 

dessen Verteilung mit ρ (α) 

s (q) aus Abschn. 2.7 gegeben. 

Es liegen mit der räumlichen Inkohärenz zunächst P Zwischenaustrittswellenfunktionen ψp(r) 

vor. Für die weitere Abbildung mit temporaler Inkohärenz wird für jede der Austrittswellen- 

funktionen ψp(r) der Mittelwert 〈Ip〉 gemäß Gl. 3.12 über die Defokusverteilung ρ (∆) 

i (ǫi) aus 

Abschn. 2.7 bestimmt. Es folgt zunächst für den Mittelwert einer Zwischenwellenfunktion [30]: 

38 

〈Ip〉 = 

ρ (∆) 

 

−1 

i (ǫi) · F F {ψp(r)} ( k) · τi( 

2 

k; ǫi) . (3.12) 

i

3.4 Modulationstransferfunktion bildgebender Systeme 

In der Summe wird wiederholt mit Gl. 3.6 das Faltungstheorem A.4 ausgenutzt. Anschließend 

wird mit der diskreten Dichtefunktion ρ (∆) 

i (ǫi) die gemittelte Bildintensität 〈Ip〉 für eine Kombination 

bestimmt. Dabei ist nochmals hervorzuheben, dass bei der Mittelung jede CTF τi( k; ǫi) 

mit ǫi variiert und ψp(r) kohärent mit τi( k; ǫi) übertragen wird (s. Abschn 3.2). Außerdem ist 

diese Abbildung nach dem Ansatz aus Gl. 3.9 ebenfalls nichtlinear. 

Abschließend wird gemäß Gl. 3.13 über alle Kombinationen P gemittelt, um über die Summierung 

die inkohärente Abbildung 〈I〉TDS und damit die TDS aus Abschn. 2.6.1 im Bildkontrast 

einzubeziehen [30]: 

〈I〉TDS = 1 

P 

〈Ip〉. (3.13) 

P 

Die schlussendlich resultierende Mittelwertbildung über die große Anzahl von Kombinationen 

mittels der räumlichen und temporalen Inkohärenz aus Abschn. 2.7 liefert die inkohärente 

und nichtlineare Abbildung. Dabei bleibt im Gegensatz zu den zuvor dargelegten Inkohärenzenveloppen 

aus Abschn. 3.3.2 die Gesamtintensität im Diffraktogramm erhalten [18]. 


Nachdem die konkrete Bildentstehung im TEM beleuchtet wurde, steht nun die Aufzeichnung 

der HR-TEM-Bilder im Vordergrund. In Allgemeinen werden die Transfereigenschaften eines 

aufzeichnenden Systems mit einer charakteristischen PSF, die analog zur inversen FT der CTF 

von Gl. 3.5 ist (s. Abschn. 3.2), beschrieben. Dabei hat die PSF der CCD-Kamera, T(r), einen 

verschmierenden Effekt (engl. spreading) auf die abzubildende und aberrationsbehaftete Intensitätsverteilung 

der OAWF I(r) = |ψim(r)| 2 , gegeben mit Gl. 3.6. Mathematisch wird die von 

der CCD aufgezeichnete Intensitätsverteilung IE(r) durch eine Faltung der Intensität I(r) mit 

der PSF der CCD-Kamera, T(r), beschrieben: 

IE(r) = 

∞ 

−∞ 

p=1 

I(r ′ ) · T(r − r ′ )d 2 r ′ = (I ⊗ T)(r). (3.14) 

In der Praxis wird allerdings zur Ausführung des Faltungsintegrals das Faltungstheorem A.4 

ausgenutzt, mit dem das Faltungsintegral im Fourier-Raum durch eine einfache Multiplikation 

beider FTs berechnet werden kann: 

F {IE(r)} = F {(I ⊗ T)(r)} = F {I(r)} · F {T(r)} . (3.15) 

 

=:MTF( k) 

Für die FT der PSF von Aufzeichnungsmedien wird üblicherweise der Begriff Modulationstransferfunktion 

(MTF) mit der Definition MTF( k) := F {T(r)} verwendet. Die MTF kann 

als ein Maß für die Qualität der CCD-Kamera aufgefasst werden. Ihr Einfluss auf z.B. ein 

scharfkantiges, quadratisches Objekt ist in Abb. 3.5 illustriert. Abbildung 3.5(a) zeigt zunächst 

ein scharfkantiges Quadrat, mit abrupten Übergangen von weiße auf schwarze Bereiche. In Abb. 

3.5(b) wird das scharfkantige Quadrat durch eine gleiche, quadratische PSF gefaltet, was zu 

verschmierten Kanten in Abb. 3.5(b) führt. Je größer die Ausdehnung der PSF ist, umso größer 

wird die Verwaschung und Verfälschung des abzubildenden Objekts I(r). Die FT-Korrespondenz 

zwischen PSF im Realraum und MTF im Frequenzraum bedingt bei breiter PSF eine schmale 

39


y (px) 

20 

40 

60 

80 

100 

20 40 60 80 100 

x (px) 

(a) Scharfkantiges Quadrat als zweidimensionales 

Beispielsignal. 

y (px) 

20 

40 

60 

80 

100 

20 40 60 80 100 

x (px) 

(b) Verwaschene Kanten des Beispielsignals. 

Abbildung 3.5: Faltung einer quadratischen PSF in (a), gegeben mit T(x,y) = rect( x y 

a ) · rect( a ), mit 

einem abzubildenden Quadrat gleicher Ausdehnung I(x,y) = T(x,y). Das Resultat der Faltung drückt 

sich mit der Verwaschung der scharfen Kanten in (b) aus. 

MTF. Eine Beispiel-MTF ist in der Mitte von Abb. 3.6 dargestellt. Diese fällt bereits bei kleinen 

Frequenzen stark ab, was eine starke Dämpfung zu hohen Raumfrequenzen hin bedeutet. Die 

Intensitäten feiner Strukturen, wie beispielsweise bei Stufen- oder Kantenobjekten, werden nicht 

mehr übertragen, wie bereits Abb. 3.5 gezeigt hat. 

log(abs(I DG )+1) 

10 

5 

0 

−10 0 10 

k (nm 

x −1 ) 

1 

0.5 

0 

−10 0 10 

k (nm 

x −1 ) 


10 

5 

0 

−10 0 10 

k (nm 

x −1 ) 

Abbildung 3.6: Gezeigt ist auf der linken Seite ein achsensymmetrisches Beispielspektrum F {I(r)}, das 

logarithmisch aufgetragen ist. Dieses wird mit der MTF im mittleren Bild multipliziert. Das Ergebnis ist 

das rechts in rot dargestellte und modulierte Spektrum F {IE(r)}. Das ursprüngliche Spektrum F {I(r)} 

ist zum Vergleich blau gestreift kenntlich gemacht. Das modifizierte (rote) Diffraktogramm zeigt sogar 

bei logarithmischer Auftragung deutlich nach außen hin abnehmende Intensitäten. 

Die MTF gibt somit an, wie die Bildintensitäten in Abhängigkeit ihrer Raumfrequenz k = 

(kx, ky) im Objektspektrum bzw. Diffraktogramm übertragen werden. Eine ideale MTF hat den 

konstanten Wert 1 und transferiert demnach alle Frequenzen des Objektspektrums gleich, womit 

keine Modifizierung des Bildes einhergeht. Betrachtet man die dazugehörende PSF im Realraum, 

entspricht diese einer δ-Distribution. Eine solche ideale Objektabbildung im Realraum ist dann 

gemäß Gl. 3.14 die Faltung der Intensitätsverteilung I(r) der aberrationsbehafteten OAWF 

ψim(r) mit einer δ-Distribution als PSF: 

40 

IE(r) = 

∞ 

−∞ 

δ(r ′ ) · I(r − r ′ )d 2 r ′ = I(r). (3.16)


Die durch die CCD-Kamera abgebildete Intensitätsverteilung IE(r) entspricht dann der abzubildenden 

Intensitätsverteilung I(r). 

Eine reale MTF, wie sie im mittleren Bild von Grafik 3.6 illustriert ist, hat hingegen den 

Idealwert 1 nur für die Nullfrequenz k = 0 und sinkt stetig mit steigenden Raumfrequenzen k. 

Charakteristisch ist zudem ein starker Abfall bereits bei kleinen Frequenzen (in Abb. 3.6 hat die 

MTF bereits für 5nm −1 nur noch den Wert 0, 5), so dass insbesondere die Intensitäten hoher 

Frequenzen kaum im aufgezeichnetem Bild auftauchen [21]. Die Dämpfung des Signals ist in 

Abb. 3.6 im rechten Bild anhand der roten Kurve gegenüber der blau gestreiften zu erkennen. 

Letztlich werden mit den hochfrequenten Anteilen feine Strukturen des Signals übermittelt. Dies 

wirkt sich also auf den Kontrast der mit der CCD-Kamera aufgenommenen TEM-Bilder aus [11]. 

Modulationstransferfunktion der CCD-Kamera 

Die in Abschn. 1.3.3 vorgestellte CCD-Kamera besteht aus mehreren Komponenten, womit sich 

die zugehörige MTF ebenfalls in mehrere Anteile aufspalten lässt [11, 21, 25]. In der Literatur 

[11, 21] wird begründet, dass die MTF einer CCD-Kamera in Wesentlichen aus einem Szintillatorund 

einem elektronischen Detektorteil (eigentliche CCD) besteht, also 

MTF( k) = MTFs( k) · MTFCCD( k). (3.17) 

Diese wirken sukzessive auf das Signalspektrum ein [21]. Mathematisch wird schrittweise eine 

Faltung gemäß Gl. 3.14 durchgeführt, was durch das Faltungstheorem A.4 im Fourier-Raum zu 

einer sukzessiven Multiplikation der jeweiligen MTF in Gl. 3.17 führt. 

Der Kern der vorliegenden Arbeit ist die Bestimmung des Szintillatoranteils MTFs, der neben 

der Charakteristik des Phosphormaterials auch die Rückstreuung der Photonen an Faseroptik 

und Szintillatorhalterung aus Abschn. 1.3.3 enthält. Die in einem Kegel entlang der optischen 

Achse aus dem Szintillator emittierten Photonen wirken sich als rotationssymmetrische 

Szintillator-PSF Ts(r) im Bild aus [12]. Gemäß der Rotationssymmetrie weist die korrespondierende 

MTF F{Ts(r)} = MTFs( k) ebenfalls diese Eigenschaft auf, die äußerst wichtig zur dessen 

Bestimmung ist. Die in der vorliegenden Arbeit verwendete Bestimmungsmethode der MTFs 

wird eingehend in Kapitel 4 behandelt. 

Zunächst wird aber noch auf den nicht weniger wichtigen, zweiten MTF-Anteil, hervorgerufen 

durch die CCD-Matrix, eingegangen, der maßgeblich durch die quadratische Geometrie der Pixel 

vorgegeben ist. Die Pixel wirken als quadratische Apertur mit der Ausdehnung ∆ρ = (∆x,∆y) 

und sammeln alle in diesen Bereich eintreffenden Photonen, wie bereits in Abb. 1.5(a) illustriert 

ist. Demnach hat die resultierende MTFCCD aufgrund der FT die Struktur einer Spaltfunktion, 

die alleinig von der quadratischen Ausdehnung der Pixel ∆ρ abhängt [11, 25]: 

MTFCCD( k) = sin(πkx∆x) 

πkx∆x 

· sin(πky∆y) 

πky∆y = sinc(πkx∆x) · sinc(πky∆y) (3.18) 

In diskreten Aufzeichnungssystemen wird also die Intensität I(r) eines Signals diskreten Pixeln 

zugeordnet. Dies kommt einer zweidimensionalen Abtastung der Intensitätsverteilung mit einem 

abrasternden, quadratischen Detektor gleich. Der optimale Verlauf der MTFCCD ist in Abb. 3.7 

aufgeführt, wobei die maximale Frequenz 10 nm −1 der Nyquist-Frequenz kN entspricht. Eine für 

die CCD-Kamera optimale Abtastung geschieht demnach pixelweise, da dies die kleinste, diskrete 

Einheit des Systems ist. Sie weicht von der idealen Abtastung von Gl. 3.16 für kontinuierliche 

Systeme deutlich ab (schwarz-gestrichelte Horizontale in Abb. 3.7), da ein Pixel eine endliche 

41


MTF CCD 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

−10 −5 0 5 10 


Abbildung 3.7: Die Kurve zeigt die MTFCCD aus Gl. 3.18, welche für ein diskretes Aufzeichnungssystem 

optimal ist und einer Abtastung je Pixel entspricht. In kontinuierlichen Systemen sind mehr Abtastungen 

je Pixel denkbar und würden sich der Konstanten 1 für alle Frequenzen annähern (schwarz-gestrichelt). 

Ausdehnung hat. Die MTFCCD nimmt daher bei der Nyquist-Frequenz nur noch einen Wert von 

0, 63 an [25]. Im Weiteren wird von dieser für die CCD-Matrix optimalen Abtastung ausgegangen. 

3.5 Signalabtastung 

Neben der modifizierenden Übertragung des Signals I(r) durch die MTF der diskreten CCD- 

Matrix können darüber hinaus auch Artefakte im Spektrum aufgrund einer zu geringen Abtastung 

erscheinen (s. dazu Abschn. 3.5.2) [21, 45]. Mit einer zu geringen Abtastung wird dann 

1 

0.5 

0 

0 50 100 150 

position (px) 

200 250 300 

(a) Mit ks = 1 

abgetasteter Rechteckimpuls. 

15px 

1 

0.5 

0 

0 50 100 150 

position (px) 

200 250 300 

(b) Mit ks = 1 

abgetasteter Rechteckimpuls. 

5px 

Abbildung 3.8: In (a) wird eine 50px breite Rechteckfunktion mit einer Frequenzen ks = 1 

15px abgetastet. 

Die roten Kreuze sind die Abtastwerte in ∆x = 15px-Schritten. Die gestrichelte Kurve gibt dann 

das unzureichend, rekonstruierte Signal wieder, da das Rechtecksignal als Trapez interpretierbar ist. (b) 

zeigt das gleiche Signal bei einer Abtastfrequenz ks = 1 

5px , was einer besseren Wiederherstellung des 

Ursprungssignals entspricht. 

das aufzuzeichnende Bild I(r) nicht mehr vollständig von der Detektormatrix wiedergegeben. 

Eine verlustfreie Rekonstruktion des HRTEM-Bilds kann also nur mit einer ausreichend hohen 

Abtastfrequenz ks geschehen [44]. Dies ist mit dem Beispiel eines Rechtecksignals in Abb. 3.8 

veranschaulicht. Für die Abtastfrequenz mit ks = 1 

15px in 3.8(a) kann nicht mehr auf die Stufenform 

des Signals geschlossen werden. Die höhere Abtastung mit ks = 1 in 3.8(b) zeigt eine 

bessere Wiedergabe des Rechteckimpulses . 

5px 

Wie bereits oben erwähnt ist die bestmögliche Abtastfrequenz des Detektors ks = 1 

1px = 

42

1 

∆x 


1 = ∆y , die aufgrund der quadratischen Pixelgeometrie gleichermaßen für beide orthogonale 

Richtungen x und y gilt. Dabei muss ks größer als das Doppelte der im Signal vorkommenden 

Höchstfrequenz kmax sein, also ks > 2kmax. Somit ist die Bildaufzeichnung maßgeblich an die 

Pixelanzahl N und Pixelgröße ∆x gebunden. 

Mit der Abtastfrequenz wird überdies die Nyquist-Frequenz anhand der Definition kN = ks 

2 

eingeführt, welche mit dem Kriterium der Abtastfrequenz zur Nyquist-Bedingung führt 

kmax < kN. (3.19) 

Das Abtasttheorem von Shannon ist das maßgebliche Kriterium für eine vollständige Signalrekonstruktion 

[44]. Die Nyquist-Bedingung 3.19 gilt damit für beide Dektorrichtungen der CCD- 

Matrix gleichermaßen. Aufgrund der quadratischen Pixel und CCD-Matrix sind die Nyquist- 

Frequenzen für beide Richtungen gleich, womit kN,x = kN,y = kN gilt. Alle Spektren werden 

künftig in Einheiten der Nyquist-Frequenz angegeben, da diese die maximal im Spektrum enthaltene 

Frequenz darstellt. 

3.5.1 Abtasttheorem von Shannon 

Die Eigenschaften des Detektoranteils der MTF sind ebenfalls mit dem Abtasttheorem von Shannon 

verknüpft, da eine diskrete Abtastung durch diesen MTF-Teil erfolgt. Aufgrund seiner Auswirkung, 

bedingt durch Unterabtastungseffekten, auf die durchgeführten Untersuchungen wird 

dieses Theorem im Folgenden hergeleitet. Der Ausgangspunkt ist zunächst die Fourier-Reihe 

einer harmonischen Schwingung mit Ortsabhängigkeit f(x) = ei2πk·x in x-Richtung. Die Abtast- 

frequenz der quadratischen CCD-Kamera ist ks = 1 

∆x 

, wobei weiterhin ∆x die Kantenlänge des 

Pixels ist. Die Fourier-Reihe von f(x) wird mit der Summe über n mit den Abtastwerten n∆x 

und den daran geknüpften Fourier-Koeffizienten Cn entwickelt [44]: 

f(x) = e i2πk·x ∝ 

∞ 

n=−∞ 

Cn · e i2πk·n∆x = 

∞ 

n=−∞ 

⎧ 

⎪⎨ kN 

e 

⎪⎩ 

−kN 

i2πk·x e −i2πk·n∆x ⎫ 

⎪⎬ 

dk e 

⎪⎭ 

 

Fourier-Koeffizient: Cn 

i2πk·n∆x 

(3.20) 

Das Integral des Fourier-Koeffizienten Cn kann dann allgemein in Abhängigkeit von n gelöst 

werden. Für die Integralgrenzen wurde die Nyquist-Bedingung kN = ks 1 

2 = 2∆x verwendet. Für 

den Fourier-Koeffizienten aus Gl. 3.20 ergibt sich nach Integration [44]: 

Cn = sinc(kN(x − n∆x)). (3.21) 

Ist darüber hinaus das Spektrum F{f(x)}(k) bandbegrenzt mit den Grenzen ±kmax < kN gemäß 

der Nyquist-Bedingung 3.19, dann ist die ortsabhängige Funktion durch die inverse FT gegeben: 

f(x) = 1 

√ 2π 

 

+kmax 

−kmax 

F{f(x)} · e i2πk·x dk. (3.22) 

43


Dies führt mit dem Einsetzen von Gl. 3.20 in 3.22 zunächst auf die Abtastung des Signalspektrums 

mit der Fourier-Reihe [44]: 

f(x) = 1 

√ 2π 

= 

= 

∞ 

n=−∞ 

∞ 

n=−∞ 

kmax 

−kmax 

Cn · 

F{f(x)} · 

1 

√ 2π 

kmax 

−kmax 

∞ 

n=−∞ 

Cn · e i2πk·n∆x 

F{f(x)}e i2πk·n∆x dk 

sinc (kN(x − n∆x)) · f(n∆x). 

 

dk 

(3.23) 

Dabei wurde vom zweiten auf den dritten Schritt der Fourier-Koeffizient aus Gl. 3.21 eingesetzt 

und Gl. 3.22 für das Integral verwendet. Die letzte Zeile von Gl. 3.23 ist das Abtasttheorem 

von Shannon, mit dem ein abgetastetes Signal bei ausreichend hoher Nyquist-Frequenz 

verlustfrei rekonstruiert werden kann [44]. Weiter kann das Abtasttheorem auch als lineare Interpolationsformel 

mit den Spaltfunktionen als Basis aufgefasst werden [44]. 

In diesem Zusammenhang ist die Kammfunktion eine hilfreiche mathematische Beschreibung 

für die diskrete Abtastung eines Signals [43]: 

K(x) = 

∞ 

n=−∞ 

δ(x − n∆x). (3.24) 

Dabei stellt die Kammfunktion eine periodische Folge von Dirac-Impulsen dar, die im Abtastungsfall 

mit dem Signal multipliziert wird [43]. 

Generell lassen sich die oben aufgeführten Gleichungen problemlos auf den zweidimensionalen 

Fall der CCD-Kamera übertragen. 

3.5.2 Unterabtastung und Aliasing 

Der als Aliasing bezeichnete Effekt beschreibt das Verhalten eines unzureichend abgetasteten 

Signals IE(r). Die mathematische Herleitung für das Auftreten von Aliasing geschieht hier für 

den eindimensionalen Fall in x-Richtung. Bei der Annahme, das abzutastende Bild I(r) wird mit 

der Kammfunktion K(x) von Gl. 3.24 in Abständen ∆x abgetastet, kann K(x) als periodische 

Funktion in einer Fourier-Reihe mit den Fourier-Koeffizienten cn entwickelt werden. Es folgt 

dann für das abgetastete Signal IE(x) [27]: 

IE(x) =K(x) · I(x) = 

∞ 

n=−∞ 

cn · I(x)e −i2πnks·x mit Fourier-Koeffizienten cn = 1 

∆x . 

= I(x) 

∆x [1 + 2 cos(ks · x) + 2 cos(2ks · x) + 2 cos(3ks · x) + ...]. 

(3.25) 

Aufgrund der Punktsymmetrie des Sinusanteils der harmonischen Welle heben sich diese Imaginärteile 

der ersten Zeile von Gl. 3.25 weg, wodurch nur noch eine reelle Folge von Kosinusfunktionen 

in der zweiten Zeile vorliegt. Mit dieser wird dann das abzubildende Signal I(x) 

44


abgetastet. Die FT des damit abgetasteten Signals IE(x) liefert zunächst für jedes Kosinusglied 

n [27]: 

 

F I (n) 

E (x) 

 

= F {I(x) · cos(nksx)} = F{I(x)} ⊗ F{cos(nksx)}. 

Mit der FT-Korrespondenz F{cos(nksx)} = 1 

2 [δ(k + nks) + δ(k − nks)] und Summation über n 

ergibt sich das Gesamtspektrum F{IE(x)} unter Ausnutzung von Gl. 3.16 zu 

F{IE(x)} = 1 

∆x 

∞ 

n=−∞ 

F{I(x)}(k − nks). (3.26) 

Das resultierende Spektrum F{IE(x)} des aufgezeichneten Bildes IE(x) ist damit eine periodische 

Folge des Spektrums F{I(x)} des abzutastenden Signals I(x). Es tritt dann im Fourier- 

Raum F{I(x)} wiederholt bei ±ks auf, wie in Abb. 3.9(c) illustriert ist. 

Der Aliasing-Effekt lässt sich in Abb. 3.9(a) exemplarisch an einem Parallelogramm als abzubildendes 

Signal I(r) und mit dessen zu den Detektorachsen x und y schräg gestellte Kante 

verdeutlichen. Dabei werden insbesondere die zur Kante senkrechten Frequenzanteile im Spektrum 

F{IE(r)} betrachtet (schräge Linien in Abb. 3.9(b)). Bei Unterabtastung wird das sich mit 

ks wiederholende Signalspektrum F{I(r)} von seinen identischen Nachbarspektren überlagert 

(s. die neun Spektren in Abb. 3.9(c)), die mit Gl. 3.26 gegeben sind. Dies machen besonders 

die schrägen Frequenzverläufe in Abb. 3.9(b) deutlich, indem sie als Aliasing-Artefakte an den 

Rändern des Spektrums F{IE(r)} eintreten und sich weiter am gegenüberliegenden Rand im 

Position (px) 

250 

300 

350 

400 

450 

500 

550 

600 

200 300 400 

Position (px) 

500 600 

(a) Parallelogramm als zweidimensionales 

Signal I(r). 

−1 

−0.8 

−0.6 

−0.4 

−0.2 

0 

0.2 

0.4 

0.6 

0.8 

−1 −0.5 0 0.5 

Frequenz [Nyquist] 

(b) Spektrum F{IE(r)} des abgetasteten 

Signals. 

−3 

−2 

−1 

0 

1 

2 

−3 −2 −1 0 1 2 

Frequenz [Nyquist] 

(c) Zentriertes Spektrum F{I(r)} 

mit acht identischen Nachbarspektren. 

Abbildung 3.9: (a) illustriert das Parallelogramm als abzutastendes Signal I(r), das eine zu den CCD- 

Achsen schräg gestellte Kante hat. In (b) illustriert die Schräglage der Kante, dass schrägverlaufendes 

Aliasing und Spektralanteile sich nicht ausschließlich überlagern, sondern auch getrennt vorliegen. Das 

Aliasing der parallelen Kanten überdeckt hingegen die entsprechenden Anteile des Spektrums vollständig, 

wodurch keine Separation der beiden Signale erfolgen kann. (c) Die hochfrequenten Signalbeiträge der 

Nachbarspektren F{I(r)} erscheinen im Spektrum F{IE(r)} als zusätzliche Frequenzen: Es entsteht das 

Aliasing aus (b). Es treten zudem vertikale Frequenzanteile in (b) auf, was durch die geringe Schrägstellung 

in (a) verursacht wird und daher stückweise horizontale Kanten vorliegen. 

45


Spektrum fortsetzen. Die zu den CCD-Achsen parallelen Aliasing-Signale überlagern sich direkt 

und können nicht mehr getrennt vom Spektrum betrachtet werden. Das Aliasing führt also 

zu zusätzlichen, verfälschenden Beiträgen im Spektrum F{I(r)} des Ursprungsbilds I(r) und 

zur dessen nicht vollständig verlustfreien Wiedergabe (vgl. eindimensionalen Rechtecksimpuls in 

Abb. 3.8). 

4 

3 

2 

1 

0 

−2 −1 0 1 2 

Frequenz (k =px 

s −1 ) 

(a) Spektrum zu Abb. 3.8(a). 

10 

5 

0 

−2 −1 0 1 2 

Frequenz (k =px 

s −1 ) 

(b) Spektrum zu Abb. 3.8(b). 

Abbildung 3.10: (a) zeigt das dazugehörende, rote Spektrum F{IE(x)} der mit ks = 1 

15px unzureichend 

abgetasteten Rechteckfunktion aus Abschn. 3.5. In schwarz ist das Ursprungsspektrum des Rechtecks 

F{I(x)} illustriert. Das rote Spektrum zeigt klar, inwiefern das Aliasing der Nachbarspektren das Ur- 

sprungsspektrum verändert. (b) zeigt das Spektrum des gleichen Rechteckimpulses bei einer höheren 

Abtastfrequenz von ks = 1 

5px . Die Überlagerung des Spektrums mit den Nachbarspektren ist deutlich 

geringer, womit das Aliasing deutlich reduziert ist. 

Um die Problematik der sich direkt überdeckenden Aliasing-Signale weiter zu veranschaulichen, 

wird das eindimensionale Signal aus Abb. 3.8 aufgegriffen. Bei unzureichender Abtastung 

erscheinen in Abb. 3.10(a)) links und rechts vom schwarzfarbigen Ursprungsspektrum F{I(x)} 

Beiträge der identischen Nachbarspektren. Diese überlagern einander und können nicht vom 

ursprünglichen schwarzen Spektrum F{I(x)} isoliert werden (rotes Spektrum in Abb. 3.10(a)). 

Somit enthält das rotfarbige Spektrum F{IE(x)} zusätzlich niederfrequente, erhöhende Anteile. 

Generell repräsentiert das Aliasing Frequenzen, die höher als die limitierende Nyquist-Frequenz 

sind. Durch das Übertreten dieser Frequenzen in das Nachbarspektrum, erscheinen diese zusätzlichen 

Frequenzen fälschlicherweise im niederfrequenten Bereich des Nachbarspektrums. Im zweidimensionalen 

Fall aus Abb. 3.9 können mit Hilfe einer schrägen Kante diese Aliasing-Signale 

vom Spektrum isoliert betrachtet werden. Auf diese Weise können diese zusätzlichen Beiträge 

ggf. ausgeschlossen werden [11, 25]. 

Aliasing kann grundsätzlich mit einer ausreichenden Erhöhung der Abtastfrequenz gemäß 

Gl. 3.19 vermieden werden, was bei HRTEM-Aufnahmen mit der Vergrößerung am Mikroskop 

realisiert werden kann. Die maximal verfügbare Abtastfrequenz bei einer CCD-Kamera ist ks = 

1 

1px bzw. die Nyquist-Frequenz kN = 1 

2px . 

Diese Vorgehensweise ist bei Kantenbildern nicht realisierbar, da für die Abbildung einer 

Kante sehr hohe Frequenzen benötigt werden (theoretisch k → ∞), um diese zu rekonstruieren. 

Dies wurde bereits mit der Abtastung des in Abb. 3.8 gezeigten Rechtecksignals angedeutet. 

Schlussendlich lässt sich dieses Artefakt bei der Aufnahme von scharfen Kanten nicht vermeiden, 

wobei diese die Grundlage für die zu bestimmende MTF des Szintillators MTFs aus Abschn. 

3.4 sein wird. 

46

4 Messung der Modulationstransferfunktion der 

eingesetzten CCD-Kamera 

Die Wichtigkeit der Modulationstransferfunktion (MTF) bei Betrachtung des Kontrasts in HR- 

TEM-Bildern wurde mehrfach betont. Dieses Kapitel beschäftigt sich daher mit der Bestimmung 

des Szintillatoranteils MTFs von der im Abschn. 1.3.3 eingeführten CCD-Kamera, die im Titan 

an der Universität Bremen für Aufnahmen verwendet wird. 

Es wird in Unterkapitel 4.2 die zugrundeliegende Bestimmungsmethode von Thust vorgestellt 

[11], die auf der in Abschn. 4.1 beschriebenen Kantenmethode beruht. Die Realisierung der Methode 

ist mit der Matlab TM -Umgebung erfolgt, auf die konkrete Implementierung wird hier 

jedoch nicht eingegangen und ist konzeptionell im Anhang A.3 zu finden. Die MTF-Bestimmung 

geschieht zunächst mit den Kantenbildern des im Mikroskop integrierten Beamblankers in Abschn. 

4.3. In Abschnitt 4.4 wird sich anschließend mit der Untersuchung des durch den Detektor 

verursachten Aliasings anhand von optimierten Objektgeometrien befasst und die Ergebnisse 

verglichen. Ferner werden die mit Thusts Methode erzielten Ergebnisse mit einer weiteren Bestimmungsmethode 

von Van den Broek et al. in Abschn. 4.5 verifiziert [12]. 

4.1 Stand der Forschung: Kantenmethode 

Die derzeit meist verwendete und genaueste Methode basiert auf der Aufnahme eines mit der 

CCD-Kamera aufgenommenen Schattenbilds, die scharfe Kanten eines Objekts enthält. Sie wird 

daher auch als Knife-edge -oder Kantenmethode bezeichnet. Als Objekt für die Kantenmethode 

wird i. Allg. der im TEM integrierte und in den Strahlengang einfahrbare Beamblanker aus 

Abb. 4.1(b) verwendet [11, 12, 21, 25]. Dazu wird der Blanker parallel beleuchtet, so dass sein 

Parallelillumination 

Schattenbereich 

CCD-Kamera 

Blanker 

Abbildung 4.1: (a) skizziert die Aufnahme von Kantenbildern mit Parallelbeleuchtung eines opaken 

Objekts. Der auf die CCD-Kamera projizierte Schattenwurf repräsentiert das Schattenbild mit scharfer 

Kante. (b) zeigt ein 2K × 2K-Kantenbild eines Beamblankers, aufgenommen mit der Gatan Ultra- 

Scan1000 CCD-Kamera bei U = 300kV. 

Schattenwurf gemäß Abb. 4.1(a) auf die CCD-Kamera projiziert wird. Wegen dem im Abschn. 

3.4 erläuterten Einflusses der MTF wird die Kante, ähnlich wie in Abb. 3.5 gezeigt, nur unscharf 

von der CCD-Kamera aufgezeichnet. Aus dem aufgezeichneten Kantenbild wird dann ein Refe- 

47

4 Messung der Modulationstransferfunktion der eingesetzten CCD-Kamera 

renzbild des Objekts mit scharfen Kanten generiert, die alle Ortsfrequenzen enthalten. Es stellt 

also eine von der MTF der CCD-Kamera unbeeinflusste Aufnahme des tatsächlichen Objekts 

dar (s. Abschn. 4.2.2). Mit der Division beider Spektren nach Gl. 3.15 kann die Charakteristik 

der MTF extrahiert werden. 

4.2 Methode zur MTF-Auswertung nach Thust 

Der grundsätzliche Aufbau der Auswertungsmethode nach Thust wird in diesem Abschnitt beschrieben, 

wobei die enthaltenen, einzelnen Arbeitsschritte zunächst identifiziert werden. Die 

konkrete Nachimplementierung geschah auf Basis der Entwicklungsumgebung von Matlab und 

ist konzeptionell im Anhang A.3 aufgeführt. Zunächst wird ein Überblick über die enthaltenen 

Prozessschritte der Methode gegeben, die im Anschluss in Unterkapiteln detailliert besprochen 

werden. 

4.2.1 Prinzip der Methode 

Die Methode lässt sich grundsätzlich in die in Grafik 4.2 dargestellten Prozessschritte zerlegen, 

wobei von einem in Abb. 4.1(b) illustrierten Kantenbild ausgegangen wird. Aus dem aufgenommenen 

Kantenbild werden dann zwei Bilder erzeugt. Links oben in Abb. 4.2 ist das synthetische 

Abbildung 4.2: Der Weg vom aufgenommenen Kantenbild zur MTF des Szintillators: Aus dem gemessenen 

Kantenbild werden zwei Bilder erzeugt, ein normiertes und ein Referenzbild (links). Im Weiteren 

werden beide Bilder mit einer Kosinusfensterfunktion multipliziert und deren Spektren anschließend mittels 

FFT berechnet. Das Aliasing in beiden Spektren wird dann mit einer Maske ausgeschlossen. Die Gewichtung 

einzelner Pixel wird im Spektrum des Referenzbilds bestimmt. Die rotatorische Mittelwertbildung 

über die Bildspektren liefert letztlich die MTF. 

Referenzbild dargestellt, das, wie in Abschn. 4.1 erläutert wurde, den Detektoranteil der MTF 

48


aus Abschn. 3.4 enthält. Die detaillierte Erstellung wird in Abschn. 4.2.2 erläutert. Das im 

Diagramm darunter befindliche Bild wird mit einer an die Hintergrundbeleuchtung angepasste 

Ausgleichsebene normiert, um damit die durch den Beleuchtungsspot bedingte, inhomogene 

Beleuchtung im Kantenbild IE(r) auszugleichen. Dafür werden alle beleuchteten Bereiche der 

CCD-Kamera ohne Blanker verwendet (s. Abschn. 4.2.3). 

Beide Bilder werden anschließend mit einer identischen Kosinusfensterfunktion multipliziert, 

so dass die Bildintensitäten zu den Bildrändern hin abfallen und an den Rändern auf den Wert 0 

heruntergedämpft sind. Dies ist erforderlich, um scharfe Kanten an den Bildrändern zu vermeiden, 

wie dies z.B. für den Beamblanker-Arm in Aufnahme 4.1(b) am rechten Bildrand auftritt. 

Die Auswirkungen beim Auslassen dieser Operation sind in Abschn. 4.2.4 im Detail erklärt. 

Nach der Anwendung des Kosinusfensters wird das Referenzspektrum mit dem Referenzbild 

und das Objektspektrum anhand des normierten Kantenbilds mittels einer in Matlab implementierten 

Fast Fourier Transformation-Routine (FFT) berechnet. Beide Spektren enthalten 

dabei die in Abschn. 3.5.2 geschilderten Aliasing-Artefakte. Mit einer Maske können dann Regionen 

im Spektrum ausgeschlossen werden, die stark von Aliasing und Rauschen betroffen sind 

(s. Abschn. 4.2.5). Damit wird eine Reduzierung dieser nach Thust, Kirkland et al. und Ruijter 

Szintillator-MTF-verfälschenden Artefakte im Spektrum erreicht [11, 21, 25]. 

Um die Szintillator-MTF zu berechnen, werden anschließend die Pixel des Referenzspektrums 

anhand ihrer spektralen Intensitäten gewichtet (s. Abschn. 4.2.6). Die Gewichtung gibt dabei an, 

wie stark ein Pixel und damit ein spektraler Bereich zur MTF beiträgt. Eine hohe Spektralintensität 

führt also zu einer hohen Gewichtung, und damit zu einem großen MTF-Beitrag. Diese 

Gewichtungsverteilung wird dann auf das Verhältnis vom Objektspektrum und Referenzspektrum 

angewendet, d.h. auf die Spektren von normiertem Kantenbild und Referenzbild. Aufgrund der 

Rotationssymmetrie der Szintillator-MTF aus Abschn. 3.4 wird damit der rotatorische Mittelwert 

berechnet (s. Abschn. 4.2.6). Das Ergebnis der ausgeführten Mittelwertbildung ist dann 

die gesuchte MTF des Szintillators. 

4.2.2 Erstellung eines synthetischen Referenzbilds 

Die Grundlage der Methode ist mit dem Referenzbild IR(r) gegeben. Seine Erzeugung besteht 

aus mehreren Schritten, die in Abb. 4.3 dargestellt sind, und als Grundlage das aufgenommene 

Kantenbild IE(r) haben. Aus Gl. 3.17 wissen wir, dass sich die MTF aus dem CCD- und Szintillatorteil 

zusammensetzt. Die Form des CCD-Anteils ist aus Abschn. 3.4 bekannt, so dass mit 

dem Einsetzen von Gl. 3.17 in 3.15 

F{IE(r)} = F{I(r)} · MTF( k) 

= F{I(r)} · MTFCCD( k) · MTFs( k) 

= F{IR(r)} · MTFs( k) folgt. (4.1) 

Dies bedeutet also, im Referenzbild muss bereits der CCD-Anteil enthalten sein. Um dies bei 

der Erstellung des Referenzbildes zu erreichen, wird anhand von Gl. 3.14 die Faltung des abzutastenden 

Bildes I(r) mit der quadratischen PSF des Pixels berechnet. 

Dafür wird zunächst das aufgenommene Bild IE(r) überabgetastet, d.h. es wird mittels bikubischer 

Interpolation mit einem Sampling-Faktor M in beide Richtungen die Pixelanzahl erhöht 

(vgl. beide vergrößerte Ansichten links von Abb. 4.3). Aufgrund der Interpolation liegen insbesondere 

die Kantenbereiche mit Subpixelgenauigkeit vor. In der Methode von Thust wird 

49


die Subpixelauflösung hingegen mit einer Fourier-Interpolation erreicht [11]. Entgegen der Vorgehensweise 

von Thust wurde jedoch in der vorliegenden Arbeit eine bikubische Interpolation 

verwendet, da z.B. Van den Broek et al. ebenfalls die bikubische Interpolation für ihre Methode 

verwenden [12]. 

Abbildung 4.3: Erzeugung eines synthetischen Referenzbildes: Links wird das aufgenommene Kantenbild 

mit einem Sampling-Faktor M bikubisch interpoliert. Die künstlich angehobene Pixelauflösung ermöglicht 

die Festlegung der Kantenposition im Subpixelbereich anhand eines Schwellwerts. Auf das so erstellte 

Binärbild wird anschließend das Down-binning angewendet, was die scharfen Kanten des Binärbildes 

verschmiert. Dieses abschließend erhaltene Referenzbild enthält dann den CCD-Anteil der MTF. 

Mit der damit künstlich erhöhten Pixelauflösung kann nun die Kantenposition im Subpixelbereich 

anhand eines Schwellwerts S festgelegt werden (s. beide vergrößerte Ansichten in der Mitte 

von Abb. 4.3). Die Kantenposition gibt dabei den Beginn bzw. das Ende des Schattenbereichs 

an, wie in Abb. 4.1(a) skizziert. Die so festgelegte, tatsächliche Ausdehnung des Beamblankers 

erfolgt somit sehr genau und hängt von der Wahl des Schwellwerts S und dem Sampling-Faktor 

M ab. Der Schwellwert wurde mit der halben, gemittelten Intensität S = 1 〉 des interpolier- 

2 〈I(M) 

E 

ten Bilds I (M) 

E (r) ermittelt. Für die Ermittlung eines repräsentativen Mittelwerts 〈I(M) 

E 〉 wurde 

über einen beleuchteten Eckbereich des interpolierten Bildes ohne Blanker gemittelt, der 1% des 

Bilds repräsentiert. Unter der Schwelle liegende Werte bekamen den Wert 0 (Schatten) und alle 

anderen den Wert 1 (belichtet) zugeteilt. Damit lag ein überabgetastetes, binäres Bild I (M) 

B (r) 

vor, welches die scharfen Kanten des Beamblankers aufweist. An dieser Stelle kann nach Thust 

eine Fresnel-Beugung der Elektronen ausgeschlossen werden [11]. Fresnel-gebeugte Elektronen 

würden nämlich in die Schattenbereiche des Blankers fallen und seine tatsächliche Ausdehnung 

herabsetzen [42]. 

Im letzten Schritt wird der CCD-Anteil der MTF in das Referenzbild eingebracht. Dies geschieht 

mit dem Down sampling, bei dem die M × M großen Subpixelgruppen zu jeweils einem 

50


Pixel mit der gemittelten Intensität dieser Subpixelbereiche zusammengefasst werden. Dieses 

Vorgehen ist äquivalent mit der Faltung des abzutastenden Bildes I(r) mit der quadratischen 

PSF der Pixel aus Abb. 3.5. Der Effekt der MTFCCD äußert sich dann mit der Verschmierung 

der scharfen Kanten im resultierenden Referenzbild IR(r) (vgl. beide rechte Vergrößerungen 

in Abb. 4.3). Das daraus resultierende Referenzbild IR(r) hat nun die gleiche Größe wie das 

Kantenbild IE(r) und enthält den wichtigen CCD-Anteil der MTF nach Gl. 4.1 und Abschn. 

3.5.2. Der letzte Schritt ist die Normierung IR(r) auf die größte im Referenzbild vorkommende 

Intensität IR,max. Das normierte Referenzbild wird dann mit IS(r) bezeichnet. 

4.2.3 Normierung des Kantenbilds 

Grundsätzlich wurde das Mikroskop vor der Aufnahme der Kantenbilder so justiert, dass eine 

weitest gehend parallele Beleuchtung mit einer ebenen Elektronenwelle vorlag. Dennoch lagen 

schräge inhomogene Intensitätsverläufe im aufgenommenen Kantenbild IE(r) mit zumeist 

kleinen Intensitätsgradienten auf. Verursacht werden diese durch die endliche Ausdehnung der 

Schottky-FEG (s. Abschn. 1.3.1). Um diese zu kompensieren, wurde zunächst der Intensitätshintergrund 

mit einer in Abb. 4.4 dargestellten Ausgleichsebene B(r) berechnet. Dazu wurden die 

homogen beleuchteten Bereiche aus dem Kantenbild in 4.4(a) ohne Blanker herangezogen. Die 

anschließende Division des aufgenommenen Bildes mit der Ausgleichsebene, also Iexp(r) = IE(r) 

B(r) , 

führt dann auf das normierte Kantenbild Iexp(r). Die zumeist kleinen Intensitätsgradienten wirk- 

y (px) 

500 

1000 

1500 

2000 

500 1000 

x (px) 

1500 2000 

(a) CCD-Aufnahme eines Kantenbilds 

des Beamblankers. 

y−position (px) 

500 

1000 

1500 

2000 

500 1000 1500 2000 

x−position (px) 

8720 

8700 

8680 

8660 

8640 

Intensity (a.u.) 

(b) Aus der Hintergrundintensität des 

Kantenbilds berechnete Ausgleichsebene. 

Abbildung 4.4: (a) zeigt ein typisches Kantenbild des Beamblankers bei einer Beschleunigungsspannung 

von U = 300kV. Die homogen beleuchteten Bereiche wurden zur Bestimmung einer Ausgleichsebene verwendet. 

(b) zeigt eine Ausgleichsebene, die den unterlegten Intensitätsverlauf angepasst ist. Die Division 

des aufgenommenen Kantenbildes mit der Ausgleichsebene führt zu seiner Normierung. Die gemachten 

Aufnahmen hatten allerdings nur geringe Intensitätsgradienten. 

ten sich jedoch nicht nennenswert auf die Ergebnisse aus. Große Gradienten hingegen würden 

Rampen im Realraum darstellen, die scharfe Kanten an den Bildrändern verursachen würden. 

Bei der numerischen Berechnung mittels FFT erzeugt der FFT-Algorithmus ferner eine künstliche 

Periodizität des Bildes, indem an das betreffende Bild identische Kopien angefügt werden [8]. 

Dadurch treten Artefakte im Spektrum auf, die sich als zu den Bildrändern parallele, horizontale 

bzw. vertikale Linien ausdrücken und über das gesamte Spektrum verlaufen (s. z.B. horizontale 

Linie in Abb. 4.5(b)). Dies liegt an der Fourier-Zerlegung einer Stufenfunktion, die nur mit unendlich 

vielen Frequenzen rekonstruiert werden kann, also mit dem gesamten Frequenzbereich 

51


| k| → ±∞. 

4.2.4 Kosinusfensterfunktion 

Ein weitere Ursache für solche spektrale Artefakte ist der am rechten Bildrand eingefahrene Blanker, 

dessen Halterarm aus dem rechten Bildrand herausgeht (s. Abb. 4.5(a)). Es entsteht damit 

eine scharfe Kante, wie bereits in Abschn. 4.2.3 bei der Normierung und dem Intensitätgradient 

erläutert wurde. Die unendlich scharfe Kante führt im Fall des Blanker-Arms zu einem in Abb. 

4.5(b) illustrierten, horizontalen Artefakt im Spektrum, da der Blanker in horizontaler Richtung 

eine Kante verursacht. 

(a) Referenzbild des rechts reinragenden 

Beamblankers. 

(b) FT des Referenzbildes ohne Fensterfunktion. 

Abbildung 4.5: (a) zeigt den Beamblanker, der eine scharfe Kante am rechten Bildrand mit den Halterarm 

verrusacht. Das führt in (b) zu einer dazu senkrechten, horizontal verlaufenden Linie, die durch das 

komplette Spektrum geht. 

Es war somit zweckmäßig beide Bilder IS(r) und Iexp(r) mit einer Fensterfunktion F(r) zu 

multiplizieren, deren stetiger Abfall zu den Bildrändern hin auf 0 führt. Beide Bilder IS(r) 

52 

(a) Mit Kosinusfenster multipliziertes 

Referenzbild. 

(b) FT des Referenzbildes mit Kosinusfenster. 

Abbildung 4.6: In Bild (a) wird mittels des Kosinusfensters eine künstliche Periodizität erreicht. Das 

führt in (b) zum Unterdrücken des Fourier-Artefakts (vgl. Abb. 4.5(b)).


und Iexp(r) wurden, wie in Abb. 4.6(a) gezeigt, mit einer angehobenen Kosinusfensterfunktion, 

kurz Kosinusfenster, F(r) multipliziert. Dabei wurde das Kosinusfenster so gewählt, dass seine 

Periodenlänge L der Bildkantenlänge entspricht. Das Resultat ist im Spektrum 4.6(b) zu sehen, 

in dem kein horizontales Artefakt mehr auftaucht, wie ein Vergleich mit Abb. 4.5(b) zeigt. 

Die Multiplikation bedeutet allerdings mit dem Faltungstheorems A.4 eine Faltung des Spektrums 

mit der FT des Kosinusfensters. So folgt exemplarisch für das Objektspektrum des normierten 

Kantenbildes Iexp(r) 

F {Iexp(r) · F(r)} = F{Iexp(r)} ⊗ F{F(r)}. (4.2) 

Mit Gl. 4.2 wird deutlich, dass die Wahl der Fensterfunktion die Bildspektren wesentlich beeinflusst. 

Aus dieser Konsequenz heraus wurde sich für die Verwendung eines Kosinusfensters mit 

entschieden. Die FT-Korrespondenz ergibt: 

F(x) = 1 

2 (1 + cos(kminx) und kmin = 1 

L 

1 

2 F{1 + cos(kmin · x)} = 1 1 

δ(k) + 

2 4 [δ(k + kmin) + δ(k − kmin)]. (4.3) 

Im Spektrum des Kosinusfensters bilden sich somit für die kleinste Frequenz kmin zwei hohe 

Intensitätsbeiträge (peaks) für jede der beiden Raumrichtungen aus. Diese können sich bei der 

Faltung mit den Spektren, z.B. hier mit dem Objektspektrum F{Iexp(r)}, verfälschend auf die 

Szintillator-MTF auswirken. 

4.2.5 Berücksichtigung von Aliasing 

In der Literatur [11, 21, 25] wird angeführt, dass sich nicht-ausgeschlossenes Aliasing erhöhend 

auf die Szintillator-MTF auswirkt und bei der Messung zu unphysikalischen Resultaten führen. 

Dies erscheint plausibel, denn das Aliasing benachbarter Spektren (vgl. Abschn. 3.5.2)sorgt für 

(a) Randbereich des Referenzspektrums. 

Raumfrequenz k y (Nyquist) 

−1 

−0.5 

0 

0.5 

1 

−1 −0.5 0 0.5 1 

Raumfrequenz k (Nyquist) 

x 

(b) Angewendete Aliasing-Maske. 

Abbildung 4.7: Die roten Pfeile im Referenzspektrum (a) weisen auf das an den Rändern hereintretende 

Aliasing hin. Diese spektralen Bereiche werden in (b) mit einer definierten Maske ausgeschlossen. 

53


zusätzliche Signalbeiträge in den auszuwertenden Spektren F{Iexp(r)} und F{IS(r)}. Demzufolge 

wird die Teilchenzahlerhaltung verletzt, weil Elektronen in niederfrequenten Bereichen 

auftreten, die ursprünglich zu Frequenzen oberhalb der Nyquist-Grenze gehören. 

Im Abschnitt 3.4 wurde überdies deutlich, dass Aliasing-Artefakte durch die Unterabtastung 

von scharfen Objektkanten entstehen und für diese die Nyquist-Bedingung kmax ≥ kN nie erfüllt 

ist (s. Abschn. 3.5.2), womit das Aliasing unvermeidbar ist. Das Aliasing tritt sowohl im aufgenommenen 

Iexp(r) als auch im Referenzbild IS(r) auf, wobei des in Iexp(r) wegen der Dämpfung 

der Szintillator-MTF kaum in Erscheinung tritt. Im Spektrum des Referenzbilds hingegen sind 

Aliasing-Signale beobachtbar, wie in Abb. 4.7(a) z.B. anhand der Pfeile aufgezeigt wird. Außerdem 

ist weiter aus Abschn. 3.5.2 bekannt, dass nur das Aliasing der zu den CCD-Achsen schräg 

verlaufenden Kanten vom Spektrum getrennt betrachtet werden kann. Andernfalls überlagern 

sich Aliasing und das ursprüngliche Spektrum vollständig, so dass beide Signale nicht voneinander 

zu unterscheiden sind. Sind die vom Aliasing betroffenen Regionen also vom Spektrum 

trennbar, lassen sie sich z.B. mit einer in Abb. 4.7(b) definierten Maske ausschließen, womit 

sie nicht weiter für die Bestimmung der MTFs herangezogen werden. Die Aliasing-Maske aus 

Abb. 4.7(b) wurde für alle MTF-Auswertungen mit dem Blanker verwendet, da sie die stärksten 

Spektralintensitäten des Signals einschließt, welche dem zu den CCD-Achsen schräg verlaufenden 

Blanker-Arm zugeordnet sind. 

Der Nachteil bei Verwendung einer Aliasing-Maske besteht jedoch darin, dass, gemessen am 

Gesamtspektrum, nur wenige Spektralbereiche explizit für die Auswertung herangezogen werden. 

Große Teile des Spektrums werden somit erst gar nicht ausgewertet. Dies gilt v.a. für die 

hochfrequenten Spektralbereiche, da dort die Intensitäten der Aliasing-Signale am höchsten sind. 

Eine weitergehende Untersuchung zum Einfluss von Aliasing findet sich in Abschn. 4.4. 

4.2.6 Gewichtung und rotatorischer Mittelwert 

Nachdem einige verfäschende Einflüsse und Artefakte im Vorfeld durch verschiedene Methoden 

reduziert werden konnten, geht es nun um die konkrete Bestimmung der Szintillator-MTF. Die 

MTFs wird nach Gl. 3.15 aus dem Verhältnis von Objekt- und Referenzspektren erhalten. Mit Gl. 

3.17 für die Gesamt-MTF und Gl. 4.1 für das Referenzbild folgt die für die weitere Auswertung 

grundlegende Gleichung: 

MTFs( k) = F{Iexp(r)} 

F{IS(r)} (k) = F{I(r)} · MTFs · MTFCCD 

( 

F{I(r)} · MTFCCD 

k) (4.4) 

Aus Abschn. 3.4 ist bekannt, dass die MTFs rotationssymmetrisch um den Ursprung des Spektrums 

ist. Aus diesem Grund werden im Spektrum Polarkoordinaten ϕ und k eingeführt. 

Anhand von Gl. 4.4 kann über die Winkelkoordinate ϕ der rotatorische Mittelwert für jede 

Raumfrequenz k = | k| gemäß Abb. 4.8 ein MTF-Wert bestimmt werden: 

MTFs(k) = 

 

F{Iexp(r)} 

(k, ϕ) 

F{IS(r)} 

 

. (4.5) 

ϕ 

Dies wird radial durchgeführt, um die Szintillator-MTF in Abhängigkeit der Raumfrequenz 

k zu erhalten. Für die konkrete Mittelwertbildung ist die Definition von Gewichten w(k, ϕ) 

notwendig, die angeben welche Bereiche der Spektren wie stark zur Szintillator-MTF beitragen. 

Dies geschieht anhand des Referenzspektrums, da dieses ausschließlich vom CCD-Anteil der 

MTF beeinflusst ist. Nach Korrespondenz mit Thust orientierte sich die konkrete Definition 

54


der Gewichte w(ϕ, k) am im Anhang erläuterten und mit Gl. A.5 gegebenen Parseval-Theorem 

[22]. Demnach können die Gewichte eines Pixels im Spektrum mit dem Betragsquadrat seiner 

spektralen Intensität |F{IS(r)}(k, ϕ)| 2 festgelegt werden (s. Abb. 4.8). Es folgt also für die 

Gewichtung eines Pixels (k,ϕ) im Spektrum: 

w(k, ϕ) = |F{IS(r)}(k, ϕ)| 2 

 

 

mit der Bedingung w(k, ϕ) = 1. (4.6) 

|F{IS(r)}(k, ϕ)| 2 

ϕ∈Ω 

Es werden somit zunächst alle Betragsquadrate der Pixel einer Raumfrequenz k im Referenzspektrum 

betrachtet und über den gesamten Kreis Ω = [0; 2π] aufsummiert (s. Abb. 4.8). Das 

Betragsquadrat der spektralen Intensität |F{IS(r)}(k, ϕ)| 2 eines Pixels (k, ϕ) wird dann durch 

diese Summe geteilt. Auf diese Weise erhalten die hohen Spektralintensitäten gegenüber den 

geringen überproportional hohe Gewichte und bestimmen überwiegend die MTFs. 

Nach Thust gibt es nun zwei Bestimmungsgleichungen für die MTFs. Die für die Auswertungen 

letztlich verwendete ist [11] 

MTF (1) 

s (k) = 

ϕ∈Ω 

 

F{Iexp(r)} 

ℜ (k, ϕ) w(k, ϕ) = 

F{IS(r)} 

ϕ∈Ω 

 

F{Iexp(r)} 

ℜ (k, ϕ) . (4.7) 

F{IS(r)} ϕ 

Hier bezeichnet ℜ den Realteil des spektralen Verhältnisses. Mit der Projektion auf die reele 

Achse wird eine Reduzierung der Rauschleistung N2 (k) des komplexen Objektspektrums erreicht, 

wodurch diese Größe in der Auswertung nicht direkt bekannt sein muss. Die andere 

Bestimmungsgleichung lautet ferner [11] 

 

〈|F{Iexp(r)}(k, ϕ)| 2 〉 ϕ − N2 (k) 

MTF (2) 

s (k) = 

〈|F{IS(r)}(k, ϕ)| 2 〉 ϕ 

. (4.8) 

Bei dieser Auswertungsmethode werden die rotatorischen Mittelwerte 〈·〉ϕ beider Spektren getrennt 

vorgenommen. Dafür werden zunächst die Betragsquadrate der spektralen Intensitäten 

|F{Iexp,S(r)}(k, ϕ)| 2 berechnet, wobei von den spektralen Intensitäten des Objektspektrums 

F{Iexp(r)}(k, ϕ) explizit eine von k abhängige Rauschleistung N 2 (k) abgezogen wird. Es muss 

damit als Berechnungsgrundlage zunächst eine Rauschleistung N 2 (k) bestimmt werden, bevor 

diese Definition verwendet werden kann. 

Abbildung 4.8: Der rotatorische Mittelwert wird für jede Raumfrequenz k gebildet, indem zunächst jedem 

blauen Pixel auf dem Kreis ein Gewicht zugeordnet wird. Dies wird für alle Frequenzen k ∈ [0; √ 2kN] 

radial fortgesetzt. Die Untergrenze des Intervalls k = 0 entspricht dabei dem zentrierten Ursprung des 

zweidimensionalen Spektrums und die Obergrenze √ 2kN die Ecken des Spektrums. 

55


4.2.7 Abschätzung der Rauschleistung 

Für die zweite Auswertungsmethode nach Gl. 4.8 war die konkrete Einbeziehung der Rauschleistung 

N 2 (k) erforderlich, die, wie die Szintillator-MTF auch, nur vom Betrag der Raumfrequenz 

k abhängt. Jedes aufgenommene Bild Iexp(r) enthält die in Abschnitt 1.4 aufgezeigten Rauscheigenschaften, 

welche insbesondere im Kantenbild als Poisson-verteilt angenommen werden. 

Um nun diese Größe im Objektspektrum abzuschätzen, wurde nach Thust als Bestimmungskriterium 

der Rauschleistung N 2 (k) das Referenzspektrum F{IS(r)} betrachtet. Es wurden insbesondere 

die Pixelbereiche aufgesucht, deren Spektralintensitäten 0 sind [11]. Diese Pixel, die also 

keinen Beitrag zur Szintillator-MTF leisteten, wurden anschließend mit dem gemessenen Objektspektrum 

F{Iexp(r)} verglichen. Hatten demnach die gleichen Bereiche (k, ϕ) im Objektspektrum 

Spektralintensitäten, wurden diese als Rauschen identifiziert. Wie die Szintillator-MTF 

wurde auch die Rauschleistung N 2 (k) rotatorisch gemittelt. Für die Gewichte der Rauschleistung 

wN(k, ϕ) wurde analog Gl. 4.6 angenommen, wobei nur die Bereiche des Referenzspektrums 

ΩN anhand eines Gewichts ausgewertet wurden, für die das obige Kriterium erfüllt war. Alle anderen 

waren für die Szintillator-MTF relevante Bereiche. Die Rauschleistung berechnete sich 

demzufolge mit dem Objektspektrum F{Iexp(r)} zu 

N 2 (k) = 

ϕ∈ΩN 

wN(k, ϕ) · |F{Iexp(r)}(k, ϕ)| 2 . (4.9) 

Die praktische Umsetzung dieses Kriteriums war allerdings nicht möglich, da das Referenzspektrum 

F{IS(r)} wegen der Blanker-Geometrie und dem Aliasing keine verschwindenden Spektralintensitäten 

aufwies. Aus diesem Grund wurde ein Schwellwert sN eingeführt, der sehr kleine 

Spektralintensitäten |F{IS(r)}(k, ϕ)| < sN als Rauschen definiert. Dies kommt einer Aufweichung 

des obigen Kriteriums gleich. 

56 

Noise power N 2 

30 

25 

20 

15 

10 

5 

Noise distribution 

Measured noise 

0 

0 0.5 1 1.5 

frequency k (Nyquist) 

(a) Frequenzabhängiger Verlauf von N 2 (k) 

(Schwellsatz 1%). 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

Modulation Transfer Function 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 


(b) Resultierende MTF (Schwellsatz 1%). 

Abbildung 4.9: Die Abbildungen zeigen das Verhalten für eine Schwelle von 1% des Mittelwertterms 

im Referenzspektrum. (a) lässt keinen Rückschluss auf eine Rauschverteilung zu. Zudem liefert dieser 

Schwellsatz zu hohes Rauschen, was in (b) mit teilweise auftretenden Nullwerten ab der Nyquist-Frequenz 

deutlich wird. Bis zur Nyquist-Grenze hingegen zeigt sich eine nur wenig schwankende MTF-Kurve. 

Eine Festsetzung des Schwellwertes unterlag keinem Kriterium und war damit willkürlich. Da-

4.3 Auswertung mit Beamblanker-Kantenbildern 

her wurde bei der Schwellwertvariation das Rauschverhalten und die resultierende MTF-Kurve 

nach Gl. 4.8 betrachtet. In den Abbildungen 4.9 ist z.B. das Verhalten für den Schwellwert von 

1% des Referenzmaximums (Mitterwertterm im Fourier-Ursprung) mit sN = 1 

100 F{IS(r)}max gezeigt. 

Die illustrierte MTF-Kurve 4.9(b) lieferte dann ab der Nyquist-Frequenz kN stellenweise 

Nullwerte, die wegen der Wurzel aus Gl. 4.8 von einer zu hohen Rauschleistung verursacht wurde. 

Das gleiche Rauschverhalten resultierte auch für Schwellsätze bis zu 0, 01%, wobei nur noch 

vereinzelt Nullwerte für die MTF-Kurve auftraten. Diese stieg zudem stellenweise wieder mit k 

an, wie sich dies bereits in Abb. 4.9(b) für Frequenzen von 1, 3kN andeutet. Eine zu hoch gesetzte 

Schwelle wiederum, führte zur Einbeziehung von für die MTF relevanten Spektralintensitäten 

und damit zu einer zu hohen Rauschleistung. Es ließ sich damit keine anwendbare Berechnungsgrundlage 

für die Rauschleistung N 2 (k) finden, so dass keine verlässlichen MTF-Werte oberhalb 

der Nyquist-Frequenz mit Gl. 4.8 bestimmt werden konnten. Auch die rotatorisch gemittelte 

Rauschleistung aus dem Spektrum einer homogen beleuchteten Aufnahme ohne Blanker lieferte 

ähnliche Ergebnisse bis zur Nyquist-Grenze. Die Konsequenz dieser Untersuchung war somit 

die ausschließliche Verwendung der ersten Berechnungsmethode gemäß Gl. 4.7, da diese keine 

explizite Kenntnis über die Rauschleistung voraussetzt. 

4.3 Auswertung mit Beamblanker-Kantenbildern 

Mit Kenntnis der Auswertungmethode der Szintillator-MTF wurde diese in Matlab nachimplementiert 

(s. Aufbau in Anhang A.3). Auf Basis dieses Auswertungsprogramms erfolgte zunächst 

die Bestimmung der Szintillator-MTF der Gatan CCD-Kamera aus Abschn. 1.3.3 anhand von 

Kantenbildern des Beamblankers. 

4.3.1 Experimentelle Vorarbeiten und Aufnahmen der Kantenbilder 

Wie schon in Abschn. 1.4 erläutert, haben die Pixel der Detektormatrix verschiedene Systemantworten 

bei homogener Beleuchtung, was zu lokalen Intensitätsunterschieden bei den Pixeln führt. 

Bevor also die Kantenbilder am Mikroskop mit der CCD-Kamera aufgenommen wurden, wurden 

zunächst Korrekturbilder aufgezeichnet. In diesen wurden ausschließlich homogen beleuchtete 

Bereiche ohne Blanker aufgenommen, um die charakteristische Intensitätsverteilung des 

CCD-Detektors zu messen. Die darauf basierenden Korrekturrechnungen (engl. gain correction) 

wurden dann für die anschließenden Aufnahmen der Kantenbilder automatisiert von der Gatan-Software 

durchgeführt. Die Belichtungszeiten für die Aufnahmen betrugen stets zwischen 

zwei bis zehn Sekunden und wurden so gewählt, dass die Höchstintensitäten etwa zwischen 10 4 

und 2 · 10 4 cnts lagen. Auf diese Weise wurde ein gutes Signal-Rausch-Verhältnis (engl. Signalto-noise-ratio 

(SNR)) erreicht, ohne dabei die Pixel einer zu langen Belichtung auszusetzen. 

Auf Grundlage der aufgenommenen Kantenbilder aus Abb. 4.1 wurden die Kantenpositionen 

der Referenzbilder gemäß Abschn. 4.2.2 mit einem Sampling-Faktor von M = 4 bestimmt, 

wobei eine weitere Faktorerhöhung keine abweichenden Ergebnisse lieferte. Des Weiteren wurde 

für die Normierung der Kantenbilder iterativ drei Ausgleichsebenen gemäß Abschn. 4.2.3 an die 

Hintergrundintensität angeglichen, um so auch kleinste Intensitätsgradienten auszugleichen. 

57


4.3.2 Ergebnisse 

Zunächst wurden die Spektren von 20 Kantenbildern mit der in Abb. 4.7(b) gezeigten Aliasing- 

Maske ausgewertet und über diese gemittelt, um Schwankungen der Einzelmessungen zu reduzieren 

(s. Abb. 4.10(a)). Aufgrund dieser definierten Aliasing-Maske, mit der die von Rauschen und 

Aliasing dominierten Eckbereiche der Spektren ausgeschlossen wurden, konnte folglich die MTF 

nur bis zur Nyquist-Frequenz kN bestimmt werden. Jedoch war die Kenntnis der Szintillator- 

MTF bis zu den Ecken des Spektrums (|kN|, |kN|) mit der Frequenz k = √ 2kN erforderlich (s. 

Abb. 4.8). Daher wurden zudem die Spektren der selben Kantenbilder ohne Aliasing-Maske ausgewertet, 

um diese vollständig zu betrachten und die MTF mit den einbezogenen Aliasing zu 

vergleichen (s. Abb. 4.10(b)). Die gemittelte MTF ohne Maske in Abb. 4.10(b) zeigt gegenüber 

der mit Maske (Abb. 4.10(a)) geringere Schwankungen, wobei eine Bestimmung bis zu einer 

Frequenz von √ 2kN möglich war. Allerdings treten starke Oszillationen bei höheren Frequenzen 

als 1, 2kN auf, so dass die angepasste MTF-Kurve (rot in Abb. 4.10(b)) bei √ 2kN nahezu auf 

Null abfällt. 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

Gemittelte MTF mit Maske 

Thust 

0 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 

Frequenz k (Nyquist) 

(a) Gemittelte MTF (mit Aliasing-Maske). 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

Gemittelte MTF ohne Maske 

Angepasste MTF 

Thust 

0 

0 0.5 1 


(b) Gemittelte MTF (ohne Aliasing-Maske). 

Abbildung 4.10: Die gezeigten MTF-Kurven wurden über 20 Kantenbilder gemittelt, deren Spektren 

in (a) mit Aliasing-Maske und in (b) ohne Maske ausgewertet wurden. In (a) konnte daher die MTF 

nur bis zur Nyquist-Frequenz kN bestimmt werden. In (b) zeigt die gemittelte MTF ab einer Frequenz 

von 1,2kN starke Schwankungen, weswegen die angepasste MTF-Kurve in rot bei √ 2kN nahezu auf 0 

abfällt. Beide MTF-Kurven weichen bis kN nicht voneinander ab. Im Vergleich: Die von Thust gefundene 

Szintillator-MTF (blaue Kurve) ist zwischen 0 und 0,5kN etwas höher und fällt ab ca. 0,5kN stärker ab. 

Bis zur Nyquist-Frequenz kN ist in beiden Grafiken aus Abb. 4.10 in blau die von Thust 

ermittelte MTF-Kurve dargestellt und ist leicht erhöht im Bereich von 0 bis 0,5kN und fällt ab 

etwa 0,5kN etwas stärker ab als die bestimmten MTF-Kurven mit und ohne Aliasing-Maske. 

Die Kurvenanpassung für die MTF wurde mit einer Überlagerung von Gauß- und Lorentzkurven 

realisiert: 

NG 

MTFfit = ak (ai · e 

i=1 

 

(aj 

−(x−bi ) 2 

2c2 NL 

i + di) + 

j=1 

b2 j 

b2 j + (x − cj) 2 + dj). (4.10) 

Der Ansatz für die Kurvenanpassung orientierte sich dabei an Spence [34, S. 279]. Um die 

4NG + 4NL + 1 Anpassungskoeffizienten a, b, c, d zu bestimmen, wurde ein bereits in Matlab 

58

implementierter Least-square-Algorithmus verwendet. 

4.4 Untersuchung des Aliasings mit alternativen Objekten 


Die Voraussage und der tatsächliche Einfluss von Aliasing steht im Mittelpunkt dieses Abschnitts. 

Die bisherigen Ergebnisse anhand des Blankers konnten bis zur Höchstfrequenz √ 2kN 

bestimmt werden, jedoch beinhalteten die Messungen auch das Aliasing, was bei hohen Frequenzen 

ab 1, 2kN auf unzuverlässige Ergebnisse hindeutete. Um den Einfluss des Aliasings genauer 

zu untersuchen und eine optimierte Auswertung der Bildspektren zu erreichen, wurden Simulationen 

bzgl. anderer Objektstrukturen durchgeführt. 

4.4.1 Simulationen 

Es sollte sich bei alternativen Strukturen um möglichst einfache Geometrien handeln, so dass 

deren Kanten regelmäßig angeordnet waren. Aus diesen Überlegungen wurde die Form eines 

Siemens-Sterns mit regelmäßiger Anordnung seiner Segmente eingehend analysiert. Die Segmente 

zeigen dabei radial in das Zentrum der Sterngeometrie hinein und sind durch einen Außenradius, 

in Abb. 4.11(a) z.B. mit 300 px, begrenzt. 

y (px) 

200 

400 

600 

800 

1000 

200 400 600 

x (px) 

800 1000 

(a) Form eines Siemens-Sternes. (b) Spektrum des Siemens-Sternes. 

Abbildung 4.11: (a) stellt einen simulierten Siemens-Stern mit 32 Segmenten und 16 Kanten dar. Die 

Segmente bzw. Kanten haben eine regelmäßige Struktur mit den Winkeln φ = π 

16 . Diese spiegelt sich 

auch im Objektspektrum in (b) wider. Die Frequenzverläufe laufen radial bis zu den Spektrumrändern bei 

Nyquist und überlagern dort mit dem Aliasing benachbarter Spektren (schwarze Pfeile). 

Die Analyse beinhaltete zunächst die Simulationen von Siemens-Sternen mit verschiedenen 

Segmentanzahlen. Anhand dieser Strukturen konnten die in Abb. 4.11(b) regelmäßig angeordneten 

Aliasing-Positionen bestimmt werden. Allerdings zog eine große Segmentanzahl, wie in 

Abb. 4.11(a) gezeigt, viele Aliasing-Signale mit sich, die praktisch mit dem kompletten Spektrum 

überlagerten (vgl. Abb. 4.11(b)). Infolge dessen wurden Sterne mit wenigen Segmenten 

näher untersucht, was schlussendlich auf die Verwendung eines in Abb. 4.12(a) dargestellten 

Dreisegment-Sterns führte. Die Aliasing-Artefakte eines Dreisegment-Sterns waren aufgrund der 

59


y (px) 

100 

200 

300 

400 

500 

600 

700 

800 

900 

1000 

200 400 600 800 1000 

x (px) 

(a) Dreisegment-Stern. (b) Spektrum des Siemens-Sternes. 

Abbildung 4.12: (a) zeigt einen simulierten Dreisegment-Stern mit drei Kanten, die im entsprechenden 

Spektrum (b) auf sechs sich radial ausbreitende Frequenzstränge führt. Das Aliasing verläuft in (b) 

hingegen nicht radial und wurde an verschiedenen Stellen mit schwarzen Pfeilen markiert. 

schrägen Kantenlagen der Segmente nach Abschn. 3.5.2 in Abb. 4.12 leicht zu identifizieren (rote 

Pfeile). Ein weiterer wichtiger Punkt waren die starken Signale im Spektrum, die dem tatsächlichen 

Objekt- bzw- Referenzspektrum zugeordnet werden konnten. Anhand dieser konnten viele 

intensitätshohe, spektrale Bereiche unter Hinzunahme einer Aliasing-Maske ausgewertet werden, 

wie die Abbildungen 4.13 zeigen. Eine Bestimmung der MTF oberhalb einer Frequenz von kN 

war möglich, da die vom Ursprung des Spektrums ausgehenden Frequenzverläufe auch in hochfrequenten 

Bereichen vorlagen (s. Grafik 4.13). Für die Anzahl der zuverwendenen Segmente 

60 

−1 

−0.8 

−0.6 

−0.4 

−0.2 

0 

0.2 

0.4 

0.6 

0.8 

1 

−1 −0.5 0 


0.5 1 

(a) Aliasing-Maske mit 12 Segmenten. 

−1 

−0.8 

−0.6 

−0.4 

−0.2 

0 

0.2 

0.4 

0.6 

0.8 

1 

−1 −0.5 0 


0.5 1 

(b) Aliasing-Maske mit 144 Segmenten. 

Abbildung 4.13: Die Aliasing-Masken (a) und (b) binden verschiedene Spektralbereiche ein, wobei die 

Breite der Frequenzkanäle von der Segmentanzahl der Maske abhängt. Je höher die Segmentanzahl, desto 

feiner und schmaler der betrachtete Spektralbereich, wie in (b) gezeigt.


musste somit ein Kompromiss zwischen vielen und wenigen Segmenten gefunden werden. Viele 

Segmente führen auf viele auswertbare Spektralverläufe mit hoher Intensität. Es entstehen dann 

jedoch auch viele sich überlagernde Aliasing-Signale, wie Abb. 4.11(b) zeigt, so dass eine geringere 

Segmentanzahl zu weniger Aliasing führt. Die Spektren in 4.12(b) und 4.13 dokumentierten 

daher eine gute Eignung des Dreisegment-Sterns für weitere Untersuchungen. 

4.4.2 Praktische Umsetzung und Aufnahmen des Dreisegment-Sterns 

Nachdem die Simulationen neuer Objektstrukturen einen vielversprechenden Ansatz mit dem 

Dreisegment-Stern gezeigt haben, ging es nun um die Realisierung. Dafür musste zunächst eine 

Möglichkeit gefunden werden, diese Sternstruktur in den Strahlengang des Mikroskops einzuführen. 

Dies war für den zuvor verwendeten Beamblanker nicht erforderlich, da dieser bereits 

im Mikroskop integriert war. Zu diesem Zweck konnte die in den Strahlengang einfahrbare 

(a) Skizzierte Anordnung des IP-Halters am Mikroskop. (b) Präparierter IP-Halter mit zugeschnittenem 

Edelstahlblech. 

Abbildung 4.14: (a) skizziert die Lage des IP-Halters und der CCD-Kamera im Titan. Mit der Sperrung 

der blauen Druckluftschläuche konnte das Herausfahren des IP-Halters unterbunden werden. (b) zeigt eine 

fotografische Aufnahme eines mit der Sterngeometrie zugeschnittenden Edelstahlblechs, das in einem IP- 

Halter eingesetzt wurde. 

Bildspeicherplatten-Halterung verwendet werden, welche die Bildspeicherplatten (engl. Imaging 

Plates (IPs)) unterhalb des Fluoreszenzschirms in das Mikroskop einführt (s. Abb. 4.14(a)). 

Statt die Halterung mit einer dafür vorgesehenen IP zu bestücken, wurde ein in Abb. 4.14(b) 

dargestelltes Edelstahlblech mit der zugeschnittenen Sternstruktur aus Abschn. 4.4.1 eingesetzt. 

Bei der Fertigung der Sternstruktur aus Abb. 4.14(b) musste die physikalische Ausdehnung der 

CCD-Kamera berücksichtigt werden, damit die vollständige Sternform von der CCD-Kamera 

erfasst wurde. Zudem wurden im Blech die Halterstege des Sterns parallel zu den Kanten der 

Sternsegmente orientiert, womit keine zusätzlichen Signale im Spektrum vorlagen. Mit der Fertigung 

des Edelstahlblechs wurde die externe Firma Ferrit-Blechservice aus Bremen beauftragt, 

die das Blech mit Wasserstrahltechnik zugeschnitten hat. Dabei mussten verfahrensbedingt 

Fertigungstoleranzen von ±0, 2mm in Kauf genommen werden, was bei der verwendeten 

Pixelauflösung der CCD-Kamera etwa 14 Pixeln entsprach. Diese Fertigungsungenauigkeiten 

konnten teilweise mit der nachträglich händisch vorgenommenen Entgratung der Schnittkanten 

mittels Diamantschleifpapier mit Körnungen von wenigen Mikrometern reduziert werden. 

Dieses Vorgehen schützte ferner die CCD-Kamera vor sich von den Kanten ablösenden Metall- 

61


partikeln. Eine anschließende Reinigung mit Azeton und Isopropanol sorgte weiterhin für eine 

weitest gehend enfettete Oberfläche, um eine schnelle Evakuierung der Projektionskammer zu 

gewährleisten. 

(a) Verwendete Kugelventile der Firma Festo. 

(b) CCD-Aufnahme der Sternstruktur. 

Abbildung 4.15: (a) zeigt die Kugelventile, die für die Sperrung der Pneumatikschläuche verwendet 

wurden. (b) zeigt ein Kantenbild des Dreisegment-Sterns. Die Fertigungstoleranz von umgerechnet 14 

Pixeln zeigt sich stellenweise an den Kanten (rote Pfeile), obwohl manuell mit Diamantschleifpapier 

nachgeschliffen wurde. Damit ergaben sich experimentell weitere Spektralverläufe. 

Im Anschluss konnte der in Abb. 4.14(b) präparierte IP-Halter in den IP-Stapel des Mikroskops 

eingelegt werden. Nach erfolgter Evakuierung der Projektionskammer konnte dann der 

IP-Halter bzw. das Edelstahlblech aus dem IP-Stapel in den Strahlengang des Mikroskops gefahren 

werden. Allerdings mussten für eine Aufnahme der Sternstruktur mit der CCD-Kamera 

sowohl CCD-Kamera als auch IP-Halter gleichzeitig im Strahlengang sein. Dies wurde jedoch von 

der Betriebssoftware von Fei und Gatan unterbunden, so dass bei eingeführtem IP-Halter die 

CCD-Kamera gesperrt wurde. Um also eine Aufnahme der Sternstruktur zu realisieren, musste 

dieser Schutzmechanismus der CCD-Kamera umgegangen werden. Dazu musste zunächst die 

Funktionsweise des Sperrmechanismus bekannt sein. Beim Herausfahren des IP-Halters sendet 

die pneumatische Steuereinheit des IP-Stapels ein Signal an die Fei-Software. Erst nach 

dessen Registrierung wird die CCD-Kamera für anschließende Aufnahmen freigegeben. Dieser 

Mechanismus konnte auf der Rückseite des Titan durch das Sperren der Druckluftschläuche 

des IP-Stapels mit den in Abb. 4.15(a) illustrierten Kugelventilen realisiert werden (s. auch 

blaue Druckluftschläuche in Abb. 4.14(a)). Das Freigabesignal wird beim Öffnen der pneumatischen 

Ventile von der Steuereinheit in jedem Fall gesendet, ungeachtet dessen, ob die Druckluft 

tatsächlich ab- bzw. zugeführt wurde. Bei Sperrung der Pneumatikschläuche mit den Kugelventilen 

verblieb somit die Struktur im Strahlengang, so dass Kantenbilder von der Sternstruktur 

mit der CCD-Kamera aufgenommen werden konnten (s. Abb. 4.15(b)). 

4.4.3 Ergebnisse mit Dreisegment-Siemens-Stern 

Nach der Fertigung der Sternstruktur und dem Einbringen in den Strahlengang wurden mit der 

CCD-Kamera 25 Kantenbilder der in Abb. 4.15(b) gezeigten Sterngeometrie aufgenommen. Bei 

62


den Aufnahmen wurde experimentell wie in Abschn. 4.3 vorgegangen. 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

0 0.5 


1 

Gemittelte MTF mit Maske 


(a) Auswertung mit Aliasing-Maske. 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

0 0.5 


1 

MTF ohne Maske 


(b) Auswertung ohne Aliasing-Maske. 

Abbildung 4.16: Ergebnisse der MTF-Auswertungen anhand des Dreisegment-Siemens-Sternes (a) mit 

und (b) ohne Aliasing-Maske. Beide Auswertungen wurden mit den selben 25 Kantenbildern gemittelt und 

weisen nur geringe Schwankungen für Frequenzen oberhalb der Nyquist-Frequenz auf (schwarzfarbiger 

Verlauf). Die jeweils in rot dargestellten Kurven zeigen die mit Gl. 4.10 angepassten Kurven. Beide 

Auswertungsergebnisse unterscheiden sich nur unwesentlich voneinander. 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

MTF mit Maske 

MTF ohne Maske 

Thust 

0 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 


(a) MTF-Kurven, ausgewertet mit den Spektren des Dreisegment-Sterns. 

1 

0.95 

0.9 

0.85 

0 0.02 0.04 


(b) Ausschnitt des niederfrequenten 

Bereichs von (a). 

Abbildung 4.17: Beim Vergleich beider MTF-Kurven, ausgewertet anhand der Spektren des Dreisegment- 

Sterns mit Aliasing-Maske (schwarz) und ohne (rot), ließen sich keine nennenswerten Unterschiede finden. 

Die von Thust ermittelte MTF ist mit schwarzen Strichpunkten aufgetragen und ist gegenüber den 

resultierenden MTF-Kurven im niederfrequenten Bereich höher und im hochfrequenten Bereich ab ca. 

0,5kN niederiger. 

Für die Bestimmung der Kantenposition in den Referenzbildern wurde, abweichend von Abschn. 

4.3, eine Subpixelgenauigkeit mit einem Sampling-Faktor von M = 8 angenommen. Die 

Auswertung erfolgte sowohl mit als auch ohne Aliasing-Maske. Die verwendete Aliasing-Maske ist 

in Abb. 4.13(b) zu sehen. Die ermittelten MTF-Kurven sind in den Abbildungen 4.16 dargestellt. 

63


Grundsätzlich zeigen beide gemittelte MTF-Kurven aus Abb. 4.16 nur geringe Schwankungen, 

bis auf Frequenzen zwischen 1, 2kN und √ 2kN. Die dort auftretenden Oszillationen weichen kaum 

von einem plausiblen, mittleren Kurvenverlauf ab, wie es hingegen für die MTF des Beamblankers 

in Abb. 4.10(b) der Fall war. Insgesamt konnte somit auf eine zuverlässige Bestimmung 

der MTF geschlossen werden. Die mit Gl. 4.10 angepassten Kurven wichen vernachlässigbar 

voneinander ab, was mit Abb. 4.17 dokumentiert wird. Dabei haben die MTF-Kurven bei der 

Nyquist-Frequenz nur einen Wert von ca. 5%, was also einer fünf prozentigen Übertragung der 

Ursprungsintensitäten der betreffenden Bilddetails entspricht. 

Im niederfrequenten Bereich, vergrößert in Abb. 4.17(b) dargestellt, unterscheiden sich beide 

MTF-Kurven um weniger als 1% voneinander. Dies war auf unterschiedliche Anpassungsparameter 

aus Gl. 4.10 zurückzuführen, denn die ausgewerteten MTF-Daten aus den Abbildungen 

4.16 zeigen einen nahezu identischen Verlauf. Somit zeigten die Daten eine optimale Anpassung 

bei der MTF-Kurve, deren Auswertung mit der Aliasing-Maske erfolgte (schwarze Kurve). Im 

Bereich zwischen 0,6 und 1,1kN ist die MTF ohne Aliasing-Maske gegenüber der mit um ca. 

0,5% leicht erhöht. Insgesamt zeigten sich also keine gravierenden Unterschiede zwischen beiden 

Kurven. 

4.5 Verifizierung der Auswertungsmethode 

Die bisher erzielten Ergebnisse standen in guter Überstimmung mit denen von Thust [11]. Da es 

sich um die gleiche Auswertungsmethode und die gleiche CCD-Kamera handelte, wird in diesem 

Abschnitt eine alternative, von Van den Broek et al. entwickelte Methode herangezogen [12]. 

Dieser methodische Vergleich soll die Verlässlichkeit der gefundenen Resultate weiter stützen, 

so dass eine Fehlerfortführung zu darauf aufbauenden Untersuchungen weitest gehend ausgeschlossen 

werden kann. Dabei wurde die Auswertung mit dieser Methode nicht selbst getätigt 1 . 

Zunächst wird das grundlegende Prinzip der Methode dargelegt und im Anschluss ein Vergleich 

zwischen den Ergebnissen angeführt. 

Prinzip der Methode 

Die Methode von Van den Broek et al. nutzt ebenfalls den Ansatz der Kantenmethode (vgl. 

Abschn. 4.1). Auf Basis eines Kantenbildes IE(r) wird zunächst ein um den Faktor M bikubisch 

interpoliertes Binärbild IB(r) mit scharfen Kanten erzeugt. Dies entspricht dem binärem Zwischenbild 

aus Abschn. 4.2.2. Mit Hilfe der Spektren beider Bilder F{IE(r)} und F{IB(r)} lässt 

sich für die Szintillator-MTF ein lineares Gleichungssystem 

T · MTFs(k) = F{IE(r)} formulieren. (4.11) 

T ist dabei eine Matrixoperation, die sich aus vier nacheinander auszuführenden Matrixmultiplikationen 

zusammensetzt: 

T = A · F{IB(r)}diag · MTFCCD,diag · R. (4.12) 

Zuerst wird die gesuchte MTFs mit R zu einer rotationssymmetrischen Matrix transformiert. 

Der CCD-Anteil der MTF wird mit der Diagonalmatrix MTFCCD,diag beschrieben, wobei die 

Elemente gemäß Gl. 3.18 berechnet werden. Nach der Multiplikation mit der Szintillator-MTF 

1 Die Auswertung wurde von Dr. W. Van den Broek vom EMAT-Institut der Universität Antwerpen durchgeführt. 

64

4.5 Verifizierung der Auswertungsmethode 

liegt die Gesamt-MTF vor, die im Anschluss auf das Spektrum des Binärbilds F{IB(r)}diag 

angewendet wird. Die bis zu diesem Punkt ausgeführten Operationen stehen in Analogie zu Gl. 

3.17. Die Abtastung mit dem CCD-Detektor findet nach Anwendung der Gesamt-MTF auf das 

Spektrum des Binärbilds statt, womit schlussendlich die Multiplikation mit der Matrix A das 

Aliasing einbezieht. Dabei werden die vier Quadranten des bis dahin berechneten Bildspektrums 

miteinander überlagert [12]. Das Gleichungssystem kann dann mit verschiedenen Methoden wie 

der Minimierung der kleinsten Differenzquadrate gelöst werden. 

Es gibt zwei wichtige Unterschiede zwischen der Methode von Thust und Van Den Broek et 

al. [11, 12]. Bei der Methode von Van den Broek et al. ist keine Definition von Gewichten w(k, ϕ) 

und keine Aliasing-Maske erforderlich. Damit muss bei der Methode von Van den Broek nicht 

aktiv in den Auswertungsprozess eingegriffen werden. 

Vergleich der Methoden 

Die Auswertung erfolgte anhand von 16 Kantenbildern des Beamblankers, die am gleichen Mikroskop 

mit der selben CCD-Kamera aufgenommen wurden. Abbildung 4.18 zeigt die über 16 

Kantenbilder gemittelte MTF nach der Methode von Van den Broek et al. (magenta farbige 

Kurve), die schwarze Kurve zeigt die ermittelte Szintillator-MTF aus Abschn. 4.4 mit Aliasing- 

Maske. Die mit dem Siemens-Stern erzielten Ergebnisse aus Abschn. 4.4 weichen von denen 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

0 0.5 


1 

Van den Broek et al. 

MTF mit Maske 

Abbildung 4.18: Vergleich der Ergebnisse für die MTFs aus zwei verschiedenen Methoden: Die magenta 

farbige MTF-Kurve zeigt die Originalmessdaten (ohne Kurvenanpassung) über 16 Blanker-Bilder nach der 

Methode von Van den Broek et al.. Die Kantenbilder wurden mit der selben CCD-Kamera aufgezeichnet. 

Die MTF-Kurve nach Van den Broek et al. ist zwischen den Frequenzen 0,5kN und kN um weniger als 

1% gegenüber der gemessenen MTF aus Dreisegment-Stern mit Aliasing-Maske nach der Methode von 

Thust erhöht (schwarze Kurve). 

dieser Methode im Frequenzbereich von 0, 5kN bis kN um weniger als 1% voneinander ab. Dies 

entspricht in etwa dem in Abschn. 4.4 gefundenen Unterschied zwischen der MTF-Kurve mit 

und ohne Aliasing-Maske. Somit waren insgesamt die gefundenen Abweichungen vernachlässigbar 

klein, so dass auch mit dieser Methode ein übereinstimmendes Ergebnis gefunden werden 

konnte. 

65


4.6 Diskussion der Ergebnisse 

Die ersten MTF-Ergebnisse aus Abschn. 4.3 mit den Kantenbildern des Beamblankers zeigten bis 

kN sowohl mit als auch ohne Maske eine gute Übereinstimmung mit der von Thust gefundenen 

[11]. Dies war zu erwarten, da es sich um eine baugleiche CCD-Kamera handelt und die gleiche 

Auswertungsmethode verwendet wurde. Wie schon aus dem Referenzspektrum 4.7(a) in Abschn. 

4.2.5 ersichtlich wurde, bezog die verwendete Aliasing-Maske bereits die Spektralbereiche mit 

den höchsten Intensitäten und wenig Aliasing ein. Dies zeigte die Definition anderer Masken, 

die zusätzliche Bereiche des Objektspektrums oder die vollständig andere hochfrequente Spektralbereiche 

einschlossen. In beiden Fällen waren die Schwankungen der MTF-Kurven deutlich 

höher, so dass andere Masken für die Auswertung nicht in Frage kamen. Es traten weiterhin bei 

der MTF-Auswertung ohne Aliasing-Maske starke Schwankungen ab etwa 1, 2kN auf, so dass 

die MTF in diesem Bereich nur unzureichend sicher bestimmt werden konnte. Insgesamt ließen 

sich die geringen Diskrepanzen bis zur Nyquist-Frequenz zwischen den ermittelten Kurven 

und der von Thust mit der Herstellung des Szintillators erklären. Dabei besteht der Szintillator 

hauptsächlich aus einem Phosphormaterial, dessen genaue chemische Zusammensetzung 

unbekannt ist. 

Die MTF-Bestimmung anhand der Kantenbilder des Dreisegment-Siemens-Sterns in Abschn. 

4.4 lieferte darüber hinaus auch im Bereich oberhalb der Nyquist-Frequenz eine nur wenig von einem 

mittleren Kurvenverlauf abweichende Szintillator-MTF. Beide Auswertungen, mit und ohne 

Aliasing-Maske, führten zudem zu vernachlässigbaren Unterschieden beider MTF-Kurven, d.h. 

ein Einfluss des Aliasings konnte dabei nicht festgestellt werden. Allerdings wurde wegen ihren 

unterschiedlichen Kurvenanpassungsparametern aus Gl. 4.10 die angeglichene MTF-Kurve mit 

Aliasing-Maske für die durchgeführten Simulationen verwendet. Die gefundenen MTF-Kurven 

weisen bei der Nyquist-Frequenz nur noch einen Wert von ca. 5% auf, der deutlich unter dem 

von Gatan angegebenen Wert von 12% liegt [31]. Dabei wurde nach Angaben von Gatan die 

Rauschmethode [24] anstatt der Kantenmethode verwendet [31]. Der MTF-Wert bei der halben 

Nyquist-Frequenz wurde laut Gatan hingegen mit der Kantenmethode zu 15% bestimmt, 

welcher dem hier ermittelten Wert von ca. 18% gegenüber steht. 

Die Tatsache, dass es keine nennenswerten Abweichungen bei der unterschiedlichen Behandlung 

des Aliasings festgestellt werden konnten, war ein wichtiges Ergebnis, das gegenteiligen Berichten 

in der Literatur [11, 21, 25] gegenüber steht. Grundsätzlich sollte der Einfluss des Aliasing 

zu einer erhöhten, verfälschten MTF führen [11, 21, 25]. Insbesondere sollten zu den CCD-Achsen 

parallele Aliasing-Artefakte zum Verschwinden der Steigung bei der Nyquist-Frequenz führen, 

so dass ab dort kein weiterer Abfall der Szintillator-MTF verzeichnet würde [22]. Der Grund für 

den vernachlässigbaren Unterschied liegt möglicherweise in der Geometrie des Siemens-Sterns. 

Seine regelmäßige Anordnung führt auf eine Vielzahl von starken und auswertbaren Signalen im 

Spektrum. Wegen der rotatorischen Mittelwertbildung erhalten diese gleichmäßig angeordneten 

Signale eine starke Gewichtung. Das zwischen diesen Signalen, und verstärkt an den Rändern 

auftretende Aliasing hat vergleichsweise wenig Intensität, so dass diese nur schwach gewichtet 

werden. 

Mit einer zusätzlichen Verifizierung in Abschn. 4.5 durch die Auswertungsmethode von Van 

den Broek et al. ließ sich schließlich das Ergebnis der erzielten Szintillator-MTF der Gatan 

UltraScan1000 CCD-Kamera weiter festigen. Demzufolge konnte die Szintillator-MTF sehr genau 

mit der Methode von Thust bestimmt werden und wurde in den durchgeführten HRTEM- 

Simulationen einbezogen, wie von Thust gefordert [11]. 

66

5 Kontrastmessungen an einer 

Gallium-Arsenid-Probe 

In diesem Kapitel wird der Zusammenhang zwischen der in Abschn. 2.6.1 erläuterten thermisch 

diffusen Streuung (TDS) und dem Kontrast in HRTEM-Bildern beleuchtet. Da die TDS 

insbesondere bei hohen Streuwinkeln im Beugungsbild überwiegt, wird der Kontrast in HRTEM- 

Bildern einer Gallium-Arsenid (GaAs)-Probe für verschiedene Objektivaperturen (OA) und verschiedene 

Dicken bestimmt. Wenn die TDS also den Kontrast beeinflusst, dann muss dieser 

Einfluss anhand der untersuchten Probendicken von 30 nm, 35 nm und 140 nm nachweisbar 

sein. 

Mit Hilfe einer Mikroskopjustage in Abschn. 5.1 und den Aufnahmen wurden zunächst anhand 

verschiedener Methoden die Mikroskopparameter wie der Defokus ǫ und die sphärische 

Aberrationskonstante Cs sowie die Radien der OA in den Abschnitten 5.2 bis 5.4 ermittelt. Die 

Messungen wurden an zwei Probenstellen ohne Energiefilterung der Elektronen durchgeführt, 

wobei die Energiefilterung bei einer dritten Probenstelle für den Ausschluss von an Plasmonen 

gestreuten Elektronen sorgte. Dies ist besonders mit zunehmender Probendicke von Bedeutung. 

Am Kapitelende werden in Abschn. 5.5 die gemessenen Kontraste der drei Probenstellen in 

Abhängigkeit vom Aperturradius r dargelegt und der Kontrast in Hinblick auf die TDS betrachtet. 

5.1 Mikroskopjustage und Kompensation von Aberrationen 

Um optimale Voraussetzungen für die HR-Aufnahmen zu schaffen, war die Justage des Elektronenstrahls 

in der Mikroskopsäule und eine aberrationskorrigierte Objektivlinse erforderlich. Die 

Korrektur der Aberrationen erfolgte mit Hilfe eines Cs-Korrektors, der neben der sphärischen 

Aberration auch andere Linsenfehler wie z.B. Koma ausgleicht. Dies wurde für jede Mikroskopsitzung 

erneut durchgeführt. Nachfolgend wird die Justage des Mikroskops, und die Korrektur 

der Objektivlinsenfehler erläutert. 

Justage 

Die Ausrichtung des Elektronenstrahls im Mikroskop umfasst drei Einstellungen. Die drei folgenden 

Schritte erfolgen iterativ, da die Einstellungen sich gegenseitig beeinflussen können und 

erneute Kalibrierungen in der Regel notwendig sind. 

1. Strahlverschiebung (Beam shift): Die Verschiebung des Elektronenstrahls innerhalb der 

Mikroskopsäule wird mit einer Doppeldeflektionsspule bewirkt (s. Abb. 5.1). Die obere Deflektionsspule 

kippt den Strahl um einen Winkel γ und die untere Spule kippt anschließend 

den Strahl entgegengesetzt um −γ, so dass die Elektronen wieder parallel zur optischen 

Achse, aber verschoben zu ihrer ursprünglichen Position verlaufen. 

67

5 Kontrastmessungen an einer Gallium-Arsenid-Probe 

2. Pivot-Punkte: Ist die Verkippung des Strahls bei dem unteren Deflektionsspulenpaar 

nicht genau der Verkippung des oberen Spulenpaars entgegengesetzt, kommt es zu einer 

Strahlneigung, so dass bei wechselnden Kippwinkeln der auf den Schirm fokussierte Elektronenstrahl 

hin und her wandert. Im Idealfall sollten beide Spulenpaare so aufeinander 

abgestimmt sein, dass der Elektronenstrahl auf den Schirm bei Winkelveränderung stets 

auf der gleichen Position bleibt (s. Abb. 5.1). Diese Oszillationen finden sowohl in x- als 

auch y-Richtung statt und werden mit der Regelung der Deflektionsspule minimiert. 

3. Rotationszentrum: Eine weitere Kalibrierung erfolgt mit der Variation des Öffnungswinkels 

des Elektronenstrahls über den Objektivlinsenstrom, aus der ein divergenter bzw. 

konvergenter Strahlkegel resultiert. Dafür wird zunächst eine Probenstelle ausgewählt und 

mit wechselndem Aufweiten bzw. Zusammenziehen des Strahls die Vergrößerung der Objektivlinse 

verändert. Bei Variation des Linsenstroms muss sich die betrachtete Probenstelle 

rotationssymmetrisch um die optische Achse vergrößern bzw. verkleinern. Dabei muss 

unabhängig vom momentanen Öffnungswinkel der Mittelpunkt stets auf der gleichen Stelle 

bleiben. Anderfalls schwankt der Strahl mit variierender Vergrößerung um die optische 

Achse. 

Kondensorsystem 

Doppeldeflektionsspulen 

Probe 

Strahlverschiebung 

Kipppunkt justiert 

Kipppunkt dejustiert 

Abbildung 5.1: Die aus der Strahlverkippung resultierenden Pivot-Punkte sind mit den paarweisen, 

durchgezogenen bzw. gepunkteten Pfeilen dargestellt. Die Strahlverschiebung ist mit Hilfe des unteren 

Spulenpaars parallel zur optischen Achse ausgrichtet und ist als gepunkteter Einzelpfeil dargestellt [38]. 

Aberrationen 

Das Titan 80-300 ist mit einem Cs-Korrektor ausgestattet [4], mit dem die sphärische Aberration 

und alle Linsenfehler bis zur dritten Ordnung, wie z.B. Astigmatismus oder Koma 

ausgeglichen bzw. auf einen bestimmten Wert eingestellt werden können. Diese Korrektur war 

aber nur mit dem Vorliegen einer in Grafik 5.2(a) abgebildeten, amorphen Probenstelle und 

der Betrachtung des zugehörigen Diffraktogramms möglich (Abb. 5.2(b)). Das Auffinden solcher 

Stellen war schwierig, da die Probenoberfläche zuvor mit einem niederenergetischen Ionenstrahl 

von ca. 300 eV bearbeitet und anschließend Sauerstoff-Plasma ausgesetzt wurde, um die Probenoberfläche 

zu reinigen. Es konnte für die Justage allerdings die zum Schutze der eigentlichen 

Probe während der Präparation aufgebrachte Platinschicht (Pt-Schicht) verwendet werden (s. 

Platinschichten in den Abbildungen 5.5). Problematisch hierbei war, dass der amorphe Bereich 

sehr dünn sein musste und dass das Platin zum Teil polykristallin vorlag. Daher waren nur 

wenige Probenstellen für eine Justage geeignet. 

68

(a) Eine amorphe Stelle am oberen Probenrand. 

5.1 Mikroskopjustage und Kompensation von Aberrationen 

(b) Diffraktogramm der amorphen Stelle 

mit typischer Ringstruktur. 

Abbildung 5.2: Der amorphe Probenbereich (a) hat aufgrund seiner nicht-kristallinen Struktur eine 

nahezu homogene Frequenzverteilung im Diffraktogramm. Im Diffraktogramm dagegen treten die Übertragungseigenschaften 

der Objektivlinse als CTF mit einem Ringmuster, wie in Abb. (b) dargestellt, hervor. 

(a) Zemlin-Tableau für die Analyse von Aberrationen im Diffraktogramm. 

(b) Resultierende Phasenplatte 

nach Korrektur der Aberrationen. 

Abbildung 5.3: (a) zeigt ein erstelltes Zemlin-Tableau, in dem die inneren Diffraktogramme unter einem 

Einstrahlwinkel von 9 mrad und die äußeren unter 18 mrad berechnet wurden. Bei Aberrationen folgt eine 

starke Abweichung des rotationssymmetrischen Ringmusters im Diffraktogramm. (b) zeigt die aberrationskorrigierte 

Phasenplatte mit einem verzerrungsfreien Winkelbereich von 13 mrad (mangenta-farbiger 

Kreis). Für größere Winkel lagen weiterhin nicht zu vernachlässigende Aberrationen vor. 

69


Bei einer idealen Übertragung der Objektivlinse liegen alle Raumfrequenzen homogen im 

Spektrum bzw. Diffraktogramm vor. Die homogene Verteilung wird jedoch durch die vorliegende 

CTF der Objektivlinse dahingehend modifiziert (s. Abschn. 3.2), dass im Diffraktogramm 

ihr radialsymmetrischer Verlauf in Form eines in Abb. 5.2(b) illustrierten Ringmusters wiedergegeben 

wird. Ist eine ausreichende Unterfokussierung eingestellt, zeigen sich viele Ringe im 

Diffraktogramm, welche die Oszillationen der CTF repräsentieren. Die Aberrationen verursachen 

dann eine Verzerrung dieses Ringmusters, weswegen hinreichend viele Ringe vorliegen müssen. 

Astigmatismus verzerrt z.B. das Ringmuster im Diffraktogramm elliptisch oder hyperbolisch 

[33]. 

Anhand des amorphen Bereichs konnte mit dem Cs-Korrektor ein sogenanntes Zemlin-Tableau 

über die Fei-Betriebssoftware automatisiert erstellt werden (s. Abb. 5.3(a)). Dabei werden die 

Diffraktogramme des amorphen Bereichs für verschiedene Azimutalwinkel (Rotation um die optische 

Achse) mit einem festen Einstrahlwinkel von 18 mrad für die äußeren und 9 mrad für die 

inneren Diffraktogramme berechnet. Die verschiedenen Linsenfehler, die eine Verzerrung der Diffraktogramme 

hervorrufen, wurden durch die wiederholte Erstellung eines Zemlin-Tableaus mit 

dem Korrektor korrigiert. Dies führte zu einem eingegrenzten Winkelbereich, in dem keine Aberrationen 

der Objektivlinse mehr auftreten. Dieser Bereich ist in der Phasenplatte von Abb. 5.3(b) 

mit einem magenta-farbigen Kreis gekennzeichnet. Nach der Durchführung der eben erläuterten 

Korrekturen ergaben sich für die energiegefilterten Aufnahmen eine Phasenplatte 5.3(b) mit 

einem Winkelbereich von 13 mrad und ein Cs-Wert von 15µm. Für die ersten mikroskopischen 

Aufnahmen ohne Energiefilterung der Elektronen hatte die Phasenplatte einen Winkelbereich 

von 18mrad und einen Cs-Wert von −3, 1 µm. 

Zonenachsenorientierung 

Nach der Justage wurde die Probe in [1 0 0]-Zonenachse (ZA) orientiert, so dass das Beugungsmuster 

Abb. 2.5(b) gleicht. Dies geschah unter Zuhilfenahme des Hauptreflexes und des nullten 

Laue-Kreises (grün markierte Gitterpunkte in Abb. 2.4(b)). Mit der schrittweisen Verkippung 

der Probe wurde nach und nach die Einstrahlrichtung der Elektronen k zur Zonenachse parallel 

gestellt (Abb. 2.4(b)). Während der Variation des Kippwinkels wurde das Beugungsmuster 

ohne OA betrachtet. Da die Änderung des Kippwinkels einer Verschiebung der Ewald-Kugel im 

reziproken Gitter entspricht, verringerte sich mit zunehmender Parallelstellung vom Wellenvektor 

und ZA der Radius des nullten Laue-Kreises bis er vollständig im Hauptreflex verschwand. 

Mit der zur ZA parallelen Strahlstellung wurde dann das Beugungsmuster in ZA beobachtet. 

Eine weitere Hilfestellung zur ZA-Orientierung gaben die Kikuchi-Bänder, die die sternartige 

Struktur im Beugungsbild aus Abb. 2.5(b) aufweisen, wobei das Zentrum dieses Musters an der 

gleichen Stelle wie der (000)-Hauptreflex liegt, wenn die Probe in ZA orientiert ist. 

5.2 Dickenprofil und Probenstellenbestimmung 

Um eine Kontraständerung in Abhängigkeit der Probendicke zu untersuchen, wurde eine keilförmige 

GaAs-Probe verwendet, deren schematischer Aufbau in Abb. 5.4(a) gezeigt ist. Eine TEM- 

Aufnahme zeigt Grafik 5.4(b). Aufgrund der Keilform weist sie ein variierendes Dickenprofil 

auf, das im Idealfall von der linken Probenkante nach rechts hin linear zunimmt. Dies ist durch 

die Farbgebung in Grafik 5.5 kenntlich gemacht, wobei blaue Regionen dünne und rote dicke 

Probenbereiche kennzeichnen. 

70

5.2 Dickenprofil und Probenstellenbestimmung 

(a) Skizze der keilförmigen GaAs-Probe. (b) Übersichtsaufnahme GaAs-Probe. 

Abbildung 5.4: (a) zeigt eine Skizze der Keilprobe. Die Elektronen treten in ZA-Orientierung in die 

Probe. (b) zeigt die gesamte GaAs-Probe, wobei der untere, linke Kantenbereich untersucht wurde. 

Abbildung 5.5: Dicke des untersuchten Probenbereichs, aufgenommen in ZA-Orientierung. Mit Hilfe der 

Abstände si zur linken Kante konnten den Probenstellen Dicken di zugeordnet werden. Die nummerierten 

und in weiß gehaltenen Punkte geben die drei nachfolgend untersuchten Stellen mit den Dicken d1 = 

30nm, d2 = 140nm und d3 = 35nm an. 

71


Auf die Präparation wird hier nicht weiter eingegangen, da die Probe bereits für vorangegangene 

Untersuchungen präpariert wurde und für die hier durchgeführten Messungen somit 

zur Verfügung stand. Weiterhin war das Dickenprofil der Keilprobe bekannt, was in [1 0 0]- 

Zonenachse gemessen wurde 1 . Mittels der Keilprobe konnten Messungen an Probenstellen mit 

unterschiedlicher Dicke vorgenommen werden, ohne dass dabei mit mehreren Proben im Wechsel 

gearbeitet werden musste. Auf das Bestimmungsverfahren für die Probendicke wird hier nur 

kurz eingegangen. Bei der Prozedur wird dem STEM-Signal, d.h. der Streuintensität, anhand 

einer berechneten CT-Matrix eine Dicke zugeordnet. Die CT-Matrix gibt die Streuintensität in 

Abhängigkeit von der Konzentration (concentration, C) und der Dicke (thickness, T) an. Wie 

schon in den Abschnitten 1.2 und 2.6.1 erwähnt, ist somit das Signal bei konstanter Konzentration 

charakteristisch für die Dicke. Bei der Abschätzung der Dickenmessgenauigkeit wurde 

die Publikation von Rosenauer et al. [52] herangezogen, in der für Gallium-Nitrid ein Messfehler 

von ±15 nm angegeben wurde [52]. 

Abbildung 5.6: Die roten Markierungen zeigen die drei untersuchten Probestellen mit den Abständen 

s1 = 300nm, s2 = 930nm und s3 = 350nm zur linken Probenkante. Die Aufnahme ist exemplarisch 

für die zentrierte Probenstelle 2 dargelegt (rechter Punkt) und führt die anderen Stellen zusätzlich auf, 

um einen Eindruck von den Probenverlauf zu bekommen. Für jede dieser Stellen wurde eine derartige 

Übersichtsaufnahme gemacht. Der Kontrast der entsprechenden HRTEM-Aufnahme wurde zuvor bei 

einer Vergrößerung von 3,8·10 5 untersucht. 

Darüber hinaus mussten zunächst die Abstände zwischen Probenkante (links in Abb. 5.6) 

und den untersuchten Probestellen bestimmt werden. Diese Abstände müssen dann auf das 

separat vorliegende Dickenprofil aus Abb. 5.5 übertragen werden. Eine Rotation um wenige 

Winkelgrade zwischen den Aufnahmen und dem Dickenprofil vergrößerte mit der Übertragung 

des Kantenabstands weiter den Dickenfehler (s. Abb. 5.6). Als Folge konnte der Abstand nur 

mit einer Sicherheit von ±15 nm bestimmt werden, was etwa eine weitere Dickenungenauigkeit 

von ±2 nm mit sich zog. Insgesamt wurde für die Dickenmessung eine Genauigkeit von ±15 nm 

angenommen. 

1 Die HAADF-STEM-Messung wurde freundlicherweise von Dr. M. Schowalter zur Verfügung gestellt. 

72

5.3 Radien der Objektivaperturen 

Mit Hilfe des Dickenprofils aus Abb. 5.5 wurden drei Probenstellen mit den Dicken d1 = 30 nm, 

d2 = 140 nm und d3 = 35 nm ausgewählt, die in der Aufnahme 5.6 nummeriert mit roten Punkten 

dargestellt werden. 

Anhand des aufgenommenen HRTEM-Bilds konnte zunächst nicht auf die Position der untersuchten 

Stelle geschlossen werden. Deswegen wurde die Position nach der Aufnahme nicht 

verändert und anschließend eine Übersichtsaufnahme mit geringerer Vergrößerung gemacht, wie 

exemplarisch in Abb. 5.6 gezeigt ist. Die gesuchte Probenstelle befand sich dabei in der Mitte der 

Aufnahme, womit der Abstand zwischen Probenkante und untersuchter Stelle bestimmt werden 

konnte. Es wurden insgesamt drei Stellen betrachtet, für die jeweils eine 2, 196 µm × 2, 196 µm 

große Übersichtsaufnahme gemacht wurde. Die anderen beiden Probenstellen mit den Markierungen 

1 und 3 sind der Übersichtlichkeit halber auch in Abb. 5.6 dargestellt. Auf diese Weise 

lassen sich die Stellen zueinander in Bezug setzen. 

5.3 Radien der Objektivaperturen 

Neben der Kontrastbestimmung für verschiedene Dicken steht insbesondere die Abhängigkeit 

des Kontrasts vom Radius der Objektivapertur r im Mittelpunkt der Untersuchungen. Denn die 

TDS aus Abschn. 2.6.1 ist besonders zu hohen Streuwinkeln dominant, so dass mit zunehmendem 

Aperturradius mehr thermisch diffus gestreute Elektronen als Hintergrundintensität zum 

HRTEM-Bild beitragen. Hinsichtlich der TDS konnten im Titan drei Aperturen mit verschiedenen 

Radien ausgewählt werden, deren Radien anhand der mit der CCD-Kamera aufgenommenen 

Beugungsbilder bestimmt wurden (s. Abb. 5.7). Damit konnte jeder Objektivapertur ein reziproker 

Bereich zugeordnet werden, der durch den reziproken Aperturradius r vorgegeben war 

und die außerhalb liegenden Bereiche des Beugungsbildes ausblendet. Mit Hilfe des Ausblendens 

konnte also untersucht werden, inwiefern sich die TDS im Beugungsbild auf den Kontrast in der 

HRTEM-Aufnahme auswirkt. 

(a) r1 = 4, 2 nm −1 . (b) r2 = 7, 1 nm −1 . (c) r3 = 14, 8 nm −1 

Abbildung 5.7: Die Beugungsbilder von GaAs in [100]-ZA zeigen die drei verwendeten Objektivblenden 

mit den reziproken Radien 4,2nm −1 (a), 7,1nm −1 (b) und 14,8nm −1 (c). Bei den Aufnahmen wurde 

auf eine kurze Belichtungszeit geachtet, da eine zu starke Intensität der Punktreflexe den Szintillator der 

CCD-Kamera beschädigt. 

Es ergaben sich mit den Aufnahmen 5.7 die Aperturradien r = 4, 2 nm −1 , 7, 1 nm −1 und 

14, 8 nm −1 . Der Messfehler ließ sich zu ∆r = ±0,3 nm −1 abschätzen. Diese Messungenauigkeit 

konnte für die in Kap. 6 folgenden Simulationen relevant werden, da eine simulierte Apertur 

73


(a) Simulierte Apertur 6, 8nm −1 .(b) Simulierte Apertur 7, 1nm −1 .(c) Simulierte Apertur 7, 4 nm −1 . 

Abbildung 5.8: (a), (b) und (c) zeigen die Beugungsbilder eines in [100]-ZA orientierten, simulierten 

GaAs-Kristalls mit 140 nm Dicke und den Aperturen 6,8nm −1 , 7,1nm −1 und 7,4nm −1 . Diese ergaben 

sich aus der Fehlerabschätzung ±0,3nm −1 . Die simulierte Apertur von 7,1nm −1 in (b) zeigt, dass mehr 

Reflexe als bei der gemessenen in Abb. 5.7(b) zum Bild beitragen. (a) stimmte hingegen mit 5.7(b) 

überein, so dass diese für die Simulationen angenommen wurde. 

von 7, 1 nm −1 mehr Reflexe einbezieht als experimentell im Beugungsbild vorliegen. Dies zeigt 

sich in Abb. 5.7(b) für 7, 1 nm −1 , indem sich am rechten, unteren Aperturrand helle Schimmer 

der benachbarten Reflexe andeuten. Diese Reflexe würden ggf. zu den simulierten Bildern beitragen 

und zu fehlerhaften Vergleichen mit der HR-Aufnahmen führen. Dies ist exemplarisch 

für die Aperturen 7, 1 nm −1 und 7, 4 nm −1 in Abb. 5.8 gezeigt. Daher wurden die ermittelten 

und die theoretisch in den Simulationen angenommenen Aperturradien in den Abbildungen 5.8 

miteinander verglichen. 

Die Betrachtungen der simulierten Aperturen 5.8(a) und 5.8(c) mit der experimentell gefundenen 

aus Abb. 5.7(b) führten zu der Verwendung eines Aperturradius von 6, 8 nm −1 statt 

7, 1 nm −1 , was aus der guten Übereinstimmung von 5.8(a) und 5.7(b) folgte. 

Für die Aufnahme der Beugungsmuster werden kurze Belichtungszeiten der CCD-Kamera 

eingestellt, da sonst aufgrund der hellen Punktreflexe die Szintillationsschicht der CCD-Kamera 

aus Abschn. 1.3.3 beschädigt wird. 

5.4 Bestimmung des Defokus 

Abschnitt 3.2 hat gezeigt, dass der Kontrast in HR-Aufnahmen maßgeblich von der CTF der 

Objektivlinse abhängt. Die Abbildung wird also durch den Cs-Wert und den Defokus ǫ bestimmt, 

wobei die geringe sphärische Aberration mit Cs = −3, 1µm der ersten Probenstelle nur einen 

geringen Einfluss hatte. Folglich wird sich in diesem Abschnitt mit der genauen Bestimmung 

von ǫ beschäftigt, um mit diesen in Kap. 6 vergleichbare Simulationen durchzuführen. Da der 

Schwerpunkt der Arbeit auf die Bestimmung der MTF aus Kap. 4 gesetzt ist, konnte nur für 

die erste Probenstelle aus Abschn. 5.2 der Fokus ausreichend genau bestimmt werden. 

Zur Bestimmung des Defokus wurden mit Hilfe der Fei-Betriebssoftware des Titan Fokusserien 

automatisiert aufgezeichnet, d.h. eine Serie von HRTEM-Bildern mit abnehmenden Defokus 

bei konstanter Schrittweite. Für eine Serie konnte somit die Schrittweite, mit der der Defokus 

von Bild zu Bild heruntergesetzt wird, und die Bildanzahl eingestellt werden. Für die Erstel- 

74

Rel. defocus (nm) 

20 

10 

0 

−10 

X: 19 

Y: −16.1 

−20 

0 5 10 15 20 

Image number 

(a) Serie für OA r2 = 7, 1nm −1 . 


20 

10 

0 

−10 

−20 

5 10 15 20 

Image number 

(b) Serie für OA r3 = 14, 8 nm −1 . 


5.4 Bestimmung des Defokus 

20 

10 

0 

−10 

−20 

0 5 10 15 20 

Image number 

(c) Serie ohne OA (r3 → ∞). 

Abbildung 5.9: Die Diagramme zeigen den Defokus-Verlauf über die einzelnen Serienbilder (blaue Punkte). 

Der Defokus verringert sich dabei von Bild zu Bild in 2nm-Schritten. Alle drei Serien sind für die 

dünne Probenstelle mit 30 nm und die Aperturen 7,1nm −1 , 14,8nm −1 und ohne Apertur erstellt worden. 

Die grünen Geraden sind die Ergebnisse der Ausgleichsrechnungen. 

lung einer Serie am Mikroskop wurde zunächst der augenscheinlich geringste Phasenkontrast im 

HRTEM-Bild gesucht, was dann bei einem kleinen Cs-Wert von −3, 1 µm etwa einem Defokus 

ǫ ≈ 0 entspricht und damit dem Fokus f (s. Abschn. 3.2). Eine Serie mit einer Defokusschrittwei- 

te von −2nm bestand aus 20 HRTEM-Bildern. Weiter wurde für die Fokusserien ein Startdefokus 

Bild 

von 19 nm gewählt, wie aus Grafik. 5.9 zu entnehmen ist, womit das zentrale Serienbild den zuvor 

abgeschätzten Fokus f enthält. 

Nach Abschätzung des Fokus f musste für jede Objektivapertur eine Fokusserie aufgenommen 

werden. Daher wurden insgesamt drei Fokusserien erstellt, da die Konstrastabhängigkeit 

mit den Aperturradien r2 = 7, 1 nm−1 und r3 = 14, 8 nm−1 sowie ohne Apertur r4 → ∞ untersucht 

werden sollte2 (s. Abschn. 5.3). Im Anschluss wurden die Fokusserien mit dem TrueImage- 

Programm3 der Firma Fei ausgewertet [53]. Neben der am Mikroskop aufgezeichneten Fokusserien 

und anderen Parametern wurden dem TrueImage-Programm die Größen Cs = −3, 1 µm 

und der Semikohärenzwinkel α = 0, 2 mrad übergeben. Dieses Programm wird eigentlich zur 

Bestimmung der OAWF von dünnen Probenstellen verwendet. Dies wird hier nicht versucht, 

lediglich die Defoki werden bestimmt, da die Probenstellen für eine Rekonstruktion zu dick sind. 

Anhand der Rekonstruktionsdaten von TrueImage wurde dann für jede Serie eine Ausgleichsgerade 

der Defoki in Abhängigkeit der Bildnummer berechnet, die in den Abbildungen 5.9 in grün 

dargestellt ist. Beim Nulldurchgang der Geraden befindet sich dann der Fokus f. Mit Hilfe der 

nummerierten Bilder und dem Fokus f wurde aus jeder Serie ein HR-Bild mit dem zu f relativen 

Defokus -16nm ausgewählt, was gemäß den Ausgleichsgeraden in Abb. 5.9 dem absoluten 

Defokus ǫ = −16 nm entsprach. Dieser Wert wurde somit für die vergleichenden Simulationen 

in Kap. 6 für eine Probendicke von 30 nm angenommen. 

Grundsätzlich musste am Mikroskop aufgrund der z.T. instabilen OA-Positionen und des 

Probendrifts schnell gearbeitet werden. Beim Drift wanderte die Probe an Stellen mit anderer 

kristallographischer Orientierung. Diese Effekte machten sich insbesondere beim Arbeiten mit 

2 Der Einfluss der kleinsten Apertur mit r1 = 4, 2nm −1 wurde nicht weiter untersucht, da diese zu wenige Reflexe 

enthält. 

3 Auf eine ausführliche Behandlung mit dem Umgang dieses Programms wird an dieser Stelle verzichtet, da seine 

Anwendung nur am Rande der Arbeit geschah. 

X: 20 

Y: −19.36 

75


der kleinen Objektivapertur aus Abb. 5.7(b) bemerkbar, da nur wenige Reflexe vorlagen. Da die 

drei Fokusserien innerhalb einiger Minuten aufgenommen wurden, wurde folglich regelmäßig das 

Beugungsbild überprüft. Mit Hilfe der Ausgleichsgeraden konnte kontrolliert werden, ob sich außerdem 

der Defokus im Zeitraum der Serienaufnahmen signifikant verändert hatte. Dabei wurden 

die Steigungen mi und Ordinatenabschnitte y0,i aus den Ausgleichsrechnungen ausgewertet und 

in Tab. 5.1 dargelegt. In der zweiten Zeile von Tab. 5.1 fallen die Werte für die Objektivapertur 

Aperturradius r (nm −1 ) Steigung m ( nm 

Bild ) Ordinatenabschnitt y0 (nm) 

7,1 -2,07 22,11 

14.8 -1,93 20,59 

∞ -2,04 22,08 

Tabelle 5.1: Übersicht der linearen Ausgleichsrechnungen für die Probenstelle d1 = 30nm und verschiedene 

Aperturen r. Die Parameter der Ausgleichsgeraden m und y0 geben einen Hinweis auf die zeitliche 

Stabilität des Defokus, da die Fokusserien über einige Minuten aufgezeichnet wurden. Grundsätzlich sollte 

der Defokus für eine Dicke und unabhängig von der Apertur konstant für alle drei Fokusserien bleiben. 

Der Vergleich der Zeilen zeigt, dass dies weitest gehend gewährleistet war. 

mit dem Radius r3 = 14, 8 nm −1 auf, da diese etwas stärker von den anderen beiden Radien 

abweichen. Dies geschah wegen einer längeren Pause zwischen dieser und den anderen beiden 

Fokusserien. Dennoch konnte aus den Ergebnissen auf einen weitest gehend stabilen Defokus 

mit geschlossen werden. 

Aus Zeitgründen konnten keine zusätzlichen Fokusserien mehr für die zweite Probenstelle 

aufgenommen werden. Auch in der zweiten Sitzung, in der die energiegefilterten Aufnahmen für 

die dritte Stelle gemacht wurden, konnte aus Zeitmangel keine Fokusserie erstellt werden. Dies 

lag an der Justage der Objektivlinse und der zeitaufwändigen Kalibrierung des Energiefilters. 

Da die Defoki für die zweite und dritte Probenstelle unbekannt waren, konnte kein direkter 

Vergleich mit den Simulationen in Kap. 6 erfolgen. Dennoch konnte im Weiteren der Kontrast 

für die verschiedenen Aperturen untersucht und sein experimenteller Verlauf dargelegt werden, 

da für jede Probenstelle einzeln der Defokus für die drei verwendeten Aperturen jeweils nahezu 

konstant blieb, wie für die erste Probenstelle gezeigt werden konnte. 

5.5 Ergebnisse und Diskussion der experimentellen 

Kontrastuntersuchungen 

Alle vorangegangenen Abschnitte dieses Kapitels befassten sich mit der Bestimmung aller relevanten 

Größen samt Fehlerabschätzung. Diese waren für die in Kap. 6 durchgeführten Simulationen 

notwendig. Dieser Abschnitt enthält die abschließenden Kontrastbestimmungen der in 

Abb. 5.10 gezeigten HRTEM-Aufnahmen der drei in Abschn. 5.2 bestimmten Probenstellen. 

Im Mittelpunkt steht dabei die Abhängigkeit des Kontrasts vom Aperturradius r und sein Zusammenhang 

mit der im Beugungsbild vorliegenden TDS aus Abschn. 2.6.1, da diese für große 

Streuwinkel gegenüber den Bragg-Reflexen überwiegt. 

Die erste Zeile aus Abb. 5.10 repräsentiert die erste Probenstelle mit d1 = 30 nm und den 

Aperturradien 5.10(a) 7, 1 nm −1 , 5.10(b) 14, 8 nm −1 bzw. 5.10(c) ohne Apertur. Die zu den 

Bildern beitragenden Elektronen wurden nicht energiegefiltert, so dass auch an Plasmonen gestreute 

Elektronen enthalten sind. Für kleine Aperturen sind die Strukturen in den Aufnahmen 

76

y (nm) 

y (nm) 

y (nm) 

28 

28.5 

29 

29.5 

30 

30.5 

31 

31.5 

15.5 

16 

16.5 

17 

17.5 

2 

2.5 

3 

3.5 

4 

5.5 Ergebnisse und Diskussion der experimentellen Kontrastuntersuchungen 

26 27 28 

x (nm) 

(a) 

15.5 16 16.5 17 

x (nm) 

(d) 

2 3 4 

x (nm) 

(g) 

y (nm) 

y (nm) 

y (nm) 

31 

31.5 

32 

32.5 

33 

33.5 

34 

34.5 

15.5 

16 

16.5 

17 

17.5 

4 

4.5 

5 

5.5 

6 

28 29 30 

x (nm) 

(b) 

14 14.5 15 15.5 

x (nm) 

(e) 

6.5 

3 4 5 

x (nm) 

(h) 

y (nm) 

y (nm) 

y (nm) 

25.5 

26 

26.5 

27 

27.5 

28 

28.5 

29 

15.5 

16 

16.5 

17 

17.5 

0.5 

1 

1.5 

2 

2.5 

25 26 27 28 

x (nm) 

(c) 

16.5 17 17.5 18 

x (nm) 

(f) 

0.5 1 1.5 2 2.5 

x (nm) 

Abbildung 5.10: HR-Aufnahmen der untersuchten Probendicken für die Aperturradien 7,1nm −1 (linke 

Spalte mit (a), (d) und (g)) und 14,8nm −1 (mittlere Spalte mit (b), (e) und (h)) sowie in der rechten 

Spalte mit (c), (f) und (i) komplett ohne Apertur. Die obere Zeile zeigt die Aufnahmen für 30nm dicke 

mit mit Defokus −16nm bzw. die mittlere Reihe für Probendicke 140nm mit unbekanntem Defokus 

(beide Reihen ohne Energiefilterung). Die untere Zeile repräsentiert die plasmonengefilterten Aufnahmen 

bei Probendicke 35nm und ebenfalls unbekanntem Defokus. 

deutlicher zu erkennen als für größere Aperturradien, was der Reduzierung des Kontrasts nach 

Abschn. 3.1 entspricht. Der gleiche Verlauf zeigte sich auch für die Kontraste der anderen beiden 

Probenstellen. Tabelle 5.2 fasst die Ergebnisse der Kontrastberechnungen nach Gl. 3.2 für 

alle drei Probenstellen in Abhängigkeit vom Aperturradius r und der Probendicke d zusammen. 

Aus der Auswertung in Tab. 5.2 geht hervor, dass der Kontrast c mit steigendem Aperturradius 

abnimmt, was sich für alle untersuchten Probenstellen bestätigt hat. Insbesondere sind die be- 

(i) 

77


Apertur r (nm −1 ) d1 = 30nm d2 = 140nm d3 = 35nm 

7,1 0,18 0,08 0,70 

14,8 0,14 0,06 0,37 

∞ 0,10 0,04 0,27 

Tabelle 5.2: Die Tabelle fasst die Kontraste c für verschiedene Aperturradien r und Dicken d zusammen. 

Die ersten beiden Probenstellen wurden mit ungefilterten HR-Aufnahmen und die dritte Probenstelle mit 

energiegefilterten Aufnahmen ausgewertet. Der Kontrast der dritten Probenstelle hebt sich deutlich von 

den anderen beiden ab, was auf den Einfluss der Plasmonen hindeutet. Insgesamt sinkt der Kontrast mit 

zunehmendem Aperturradius. 

rechneten Kontrastwerte der dritten Probenstelle mit 35 nm Dicke, in denen nur energiegefilterte 

Elektronen betrachtet wurden, deutlich höher als die der anderen Probenstellen (s. letzte Spalte 

von Tab. 5.2). Dies weist auf einen starken Einfluss der Plasmonen hin, auch wenn die drei 

Probenstellen aufgrund der unbekannten Defoki nicht direkt miteinander vergleichbar waren. 

Aus theoretischen Überlegungen heraus, schlagen sich die an Plasmonen gestreuten Elektronen 

bei dickeren Probenstellen stärker nieder, da eine verstärkte Wechselwirkung der Elektronen 

mit der Probe zu erwarten ist. Die hierbei auftretenden Energieverluste zerstören die Interferenzfähigkeit 

der eingestrahlten Elektronen so, dass diese nicht mehr zum HRTEM-Muster im 

Bild beitragen. Demzufolge sollten künftige Untersuchungen bzgl. thermisch diffus gestreuter 

Elektronen mit energiegefilterten Elektronen erfolgen, um diesen Effekt auszuschließen. 

Die grundsätzliche Kontrastabnahme mit größer werdender Objektivapertur ließ sich mit 

der immer stärker vordergründig werdenden Hintergrundintensität, verursacht durch die TDS- 

Beiträge im Beugungsbild, erklären [17, 18]. Die großen Aperturradien bezogen nach Abschn. 

2.6.1 die v.a. bei großen Streuwinkeln auftretenden TDS-Elektronen zunehmend mit ein, so dass 

sich die Hintergrundintensität in den HR-Bildern entsprechend erhöht [17, 18]. Damit führte 

die Verwendung von kleinen Aperturen zum Ausblenden der zu hohen Winkeln thermisch diffus 

gestreuten Elektronen, was somit einen höheren Kontrast zur Folge hatte. Dieses Ergebnis untermauert 

also die Annahme von Van Dyck, dass eine der Ursachen für den Stobbs-Faktor die 

TDS ist [17, 18]. 

Eine Aussage über die Abhängigkeit des Kontrasts von der Dicke konnte aus den Ergebnissen 

nicht geschlossen werden. Dies könnte nur anhand des bekannten und gleichen Defokus ǫ 

geschehen, der nach Abschn. 3.2 bei kleinen Cs-Werten wie −3, 1µm oder 15µm die Übertragungseigenschaften 

der Objektivlinse hauptsächlich bestimmt. Um weitere Erkenntnisse über die 

Dickenabhängigkeit zu erhalten, ist demnach die Erstellung von Fokusserien an Probenstellen 

mit unterschiedlicher Dicke und Aperturen notwendig. Weitere Untersuchungen im Rahmen der 

Arbeit wären daher zu zeitaufwändig gewesen, so dass keine weiteren hierzu analogen Untersuchungen 

hinsichtlich des Einflusses der Probendicke auf den Kontrast geleistet werden konnten. 

78

6 Kontrastbestimmung von simulierten 

Gallium-Arsenid-Proben 

Dieses Kapitel befasst sich mit der Simulation von HRTEM-Bildern unter Bezugnahme der 

Multislice-Methode und dem Frozen-Lattice-Modell aus Abschn. 2.6. Die TDS der Elektronen 

an den Atomrümpfen aus Abschn. 2.6.1 und ihre Auswirkung auf den Kontrast stehen im Mittelpunkt 

dieser Simulationen. Die TDS wird dabei nach der Methode von Van Dyck aus Abschn. 

3.3.3 simuliert [17, 18]. Im verwendeten Simulationsprogramm STEMsim liegt diese Methode 

und das Abbildungsmodell der Transmissionskreuzkoeffizienten (TCC) aus Abschn. 3.3.2 für 

zusätzliche Simulationen bereits implementiert vor [30]. 

Der erste Teil des Kapitels 6.1 geht auf das arbeitsgruppeninterne STEMsim-Programm [30] 

ein, mit dem die Simulationen realisiert wurden. Eine separate Betrachtung und Berechnung 

von Objektaustrittswellenfunktion ψ(r) und der anschließenden Abbildung ist dabei möglich. In 

Abschn. 6.2 werden die durchgeführten Simulationen ausgewertet, in denen zunächst nicht die 

in Kap. 4 bestimmte MTF eingeht. Die Anwendung der MTF auf das Diffraktogramm geschieht 

im Anschluss, um den Abbildungsprozess zu vervollständigen und die HRTEM-Simulationen 

mit bzw. ohne MTF miteinander zu vergleichen. Neben den Ergebnissen der Kontrastuntersuchungen 

wird im schließenden Unterkapitel 6.3 ein Kontrastvergleich zwischen simulierter und 

experimenteller HRTEM-Aufnahme für die Probendicke von 30nm dargelegt. Eine mit der TDS 

zusammenhängende Diskussion der Ergebnisse bildet den Abschluss. 

6.1 Simulationen mit STEMsim 

Die Simulation der HRTEM-Bilder von GaAs wurden mit dem in Matlab TM implementierten 

STEMsim-Programm durchgeführt, dessen Hauptverwendungszweck die Simulation von STEM 

HAADF Z-Kontrastbildern ist [30]. Die Simulation einer HRTEM-Aufnahme kann konzeptionell 

in zwei Prozesse gegliedert werden: 

1. Proben- und mikroskopspezifische Berechnung der Objektaustrittswellenfunktion. 

2. Ausschließlich mikroskopspezifische Berechnung der Abbildung. 

Je nach Modus (also TEM bzw. STEM) unterscheidet sich zunächst die Geometrie der in die 

Probe eintretenden Elektronenwelle ψ(x, y,0), wie bereits für STEM und HRTEM in Abschn. 

1.2 erklärt wurde. Im Kristall wechselwirkt dann die Elektronenwelle mit den Atomrümpfen und 

wird daran gebeugt. 

Bei Austritt aus dem Kristall liegt zunächst die Objektaustrittswellenfunktion (OAWF) vor. 

Diese wird dann von der Objektivlinse gemäß Abschn. 3.2 übertragen, wobei die Inkohärenzen 

aus Abschn. 2.7 mit den Abbildungsmodellen aus den Abschnitten 3.3.2 und 3.3.3 eingehen. Die 

Aufzeichnung der Intensitäten der nichtlinearen und inkohärent abgebildeten OAWF geschieht 

abschließend mit der CCD-Kamera. 

79

6 Kontrastbestimmung von simulierten Gallium-Arsenid-Proben 

Berechnung der Objektaustrittswellenfunktion 

In STEMsim erfolgt zunächst die Definition der GaAs-Probe für STEM und HRTEM gleichermaßen. 

Die Simulationen erfolgten alle in [1 0 0]-ZA gemäß den Abschnitten 2.5.2 und 5.1. Alle 

für die Simulationen relevanten, kristallographischen Eigenschaften von GaAs sind in Abschn. 

2.4 aufgeführt. 

Um die Probe weiter zu charakterisieren, mussten die laterale Ausdehnung und Dicke der 

Probe angegeben werden. Die seitliche Ausdehnung der Probe in [0 1 0] -und [0 0 1]-Richtung 

wird durch die sogenannte Superzelle (SZ) vorgegeben und besteht aus einer festen Anzahl von 

Einheitszellen (EZ), wie Abb. 6.1 illustriert. Die Superzelle wurde für alle durchgeführten Simulationen 

mit 10 EZ in beide laterale Richtungen festgelegt, so dass sie einen Kristall mit insgesamt 

100 EZ je Schicht (slice) aufspannt. Ferner wird mit diesem Parameter die Pixelauflösung des 

Beugungsbildes bestimmt. Je größer die Superzelle ist, umso feiner ist die Auflösung im Beugungsbild. 

Des Weiteren gibt die Pixelauflösung der Einheitszelle dabei den Detaillierungsgrad 

kleiner Strukturen an. Sie bekam für alle gemachten Simulationen den Wert 60 px 

EZ zugewiesen, 

was auf der rechten Seite von Abb. 6.1 schematisch dargestellt ist. 

Abbildung 6.1: Die laterale Größe der simulierten GaAs-Probe ergibt sich durch die Aneinanderreihung 

von 10 × 10 Einheitszellen, aus denen die Superzelle besteht (links). Rechts ist die EZ in [100]-ZA- 

Orientierung gezeigt. Das darüber liegende Raster skizziert die Pixelauflösung von m × m Pixeln je EZ. 

Die Ringe geben die nach hinten versetzten und die Kreise die vorderen Atome eines Elements an. 

Die Definition der Kristallgröße bzw. -struktur und die Geometrie der eintretenden Elektronenwelle 

bilden den ersten Arbeitsschritt STEP1 in STEMsim. Dabei wird für die Berechnung 

der Objektaustrittswellenfunktion (OAWF) mit dem Multislice-Verfahren aus Abschn. 2.6.2 der 

simulierte Kristall in Schichten unterteilt. 

Die projizierten Kristallpotenziale ergaben sich in STEP2 aus dem Frozen Lattice-Ansatz 

in Abschn. 2.6.3 und mit der Berechnung der atomaren Streuamplitude nach Weickenmeier 

und Kohl [54]. Für diese war die Angabe einer look up-Tabelle erforderlich, in der die Stützstellen 

für die atomare Streuamplitude angegeben wurden. Ferner musste auch die Anzahl der 

normalverteilten Kristallkonfigurationen festgelegt werden. Im Anschluss wurde in STEP3 das 

Phase-Grating bestimmt. 

Der letzte Prozessschritt erfolgte in STEP8 mit der Anwendung des Phase-Gratings und der 

anschließende Nahfeldpropagation nach Gl. 2.31 auf die einfallende Welle ψ(x, y,0). Bei schrägem 

Eintritt der Elektronenwelle mit dem Wellenvektor k unter dem Winkel ϑ gemäß Abb. 3.4 wurde 

die Nahfeldausbreitung mit dem Fresnel-Propagator aus Gl. 2.28 nach [35] zu 

80 

F {P(x, y, δz)} = e −iπδzλk2 

· e i2πδz(kx tan(ϑx)+ky tan(ϑy)) modifiziert. (6.1)

6.1 Simulationen mit STEMsim 

Mit Hilfe dieser Modifizierung konnte die räumliche Inkohärenz mit der aus Abschn. 2.7 bekannten 

Dichtefunktion ρ (α) (|q|) berücksichtigt werden. Dies wurde in STEMsim mit der Option Tilt 

beam via propagator realisiert. Dabei wurde die diskrete Dichtefunktion ρ (α) 

i (|qi|) auf M = 20 

diskrete, laterale Vektoren |qi| aufgeteilt. Die Propagation der Elektronenwelle durch jede der 

N = 20 Kristallkonfigurationen wurde für jeden lateralen Vektor |qi| simuliert, so ergab sich eine 

Gesamtzahl von P = 400 zu berechnende Kombinationen. 

Mit STEP1, STEP2, STEP3 und STEP8 wurde die Objektaustrittswellenfunktion mit allen 

probenspezifischen Parametern und der räumlichen Inkohärenz berechnet. Die Durchführung 

von STEP4 bis STEP7 war für die hier gemachten Simulationen von HRTEM-Aufnahmen nicht 

erforderlich, da diese ausschließlich für STEM-Simulationen implementiert wurden. Eine für 

die Simulationen der Abbildungen notwendige Option war allerdings die Speicherung aller simulierten 

P Austrittswellenfunktionen ψp(r) in einer STEP8-Datei. Diese wurde mehrmals für 

unterschiedliche Abbildungssimulationen mit verschiedenen Defoki, sphärischen Aberrationen 

oder Abbildungsmodellen in STEP9 aufgerufen. 

Abbildung der Objektaustrittswellenfunktion 

Für die Abbildung der Objektaustrittswellenfunktion wurde hauptsächlich das Modell der inkohärenten 

Summierung aus Abschn. 3.3.3 verwendet, das in STEMsim als Defocus spread per 

configuration bezeichnet wird. Daneben erfolgten für die kleinste Apertur von r2 = 6, 8 nm −1 

zusätzliche Simulationen mit den Transmissionskreuzkoeffizienten aus Abschn. 3.3.2. Blendenradien 

größer als 12 nm −1 beanspruchten dabei zu viel Arbeitsspeicher, so dass ein Vergleich mit 

dem Aperturradius r3 = 14, 8 nm −1 nicht stattfinden konnte. Die temporale Inkohärenz wurde in 

beiden Modellen mit der diskreten Normalverteilung über die Defoki ǫi und der Dichtefunktion 

ρ (∆) 

i (ǫi) aus Abschn. 2.7 berücksichtigt. Dabei schwankte die Defokusverteilung ρ (∆) 

i (ǫi) um den 

Mittelwert 〈ǫ〉, der dem am Mikroskop experimentell gefundene Defokus ǫ entsprach. Für die 

simulierte Abbildung wurde, wie in Abschn. 3.3.3 bereits erklärt, über die zuvor berechneten 400 

Kombinationen ψp(r) gemittelt, so dass der Mittelwert 〈I〉TDS gemäß Gl. 3.13 über die Defokusverteilung 

bestimmt wurde. Am Ende dieser Berechnungen lag folglich die Intensitätsverteilung 

der mit dem Mikroskop inkohärent abgebildeten Objektaustrittswellenfunktion I(r) = 〈I〉TDS 

vor. Diese wird dann abschließend von der CCD-Kamera mit der in Kap. 4 bestimmten Modulationstransferfunktion 

aufgezeichnet, wie in Abschn. 3.4 erklärt wurde. 

Überblick der Simulationsparameter 

Nachstehend werden nochmal alle für die Simulationen wichtigen Parameter aus diesen und aus 

dem vorangegangenen Kapitel 5 aufgelistet: 

• Gitterkonstante von GaAs a = 0, 5653 nm und [1 0 0]-Zonenachse. 

• Superzelle mit lateraler Ausdehnung von 10×10 Einheitszellen bzw. 5, 653 nm × 5, 653 nm. 

• Einheitszelle mit Pixelauflösung 60 px 

EZ 

bzw. 9, 42 pm 

px . 

• Variierende Probendicken von 20, 30, 40, 130, 140 und 150 nm. 

• Anzahl der Kristallkonfigurationen N = 20. 

81


• Anzahl der lateralen, reziproken Gittervektoren M = 20 =⇒ Anzahl der Kombinationen 

P = 400. 

• Semikonvergenzwinkel α = 0, 2 mrad für räumliche Inkohärenz und focal spread ∆ = 3 nm 

für temporale Inkohärenz. 

• Defoki: ǫ = −16 nm für Probendicken 20 bis 40 nm und ǫ = −20 nm für Probendicken 130 

bis 150 nm. 

• Variierende Aperturradien: r = 6,8 nm −1 , 7,4 nm −1 , 10, 12, 15, 20, 30, 40, 50, 60 und 

90 nm −1 . 

• Sphärische Aberrationskonstante Cs = −3, 1 µm für die ersten beiden Probenstellen ohne 

energiegefilterte HRTEM-Aufnahmen (s. Abb. 5.6). 

Die für die Abbildung wichtigsten Größen waren einerseits ǫ, Cs und r, welche die CTF und 

damit die kohärente Übertragung der Objektaustrittswellenfunktion bestimmten. Andererseits 

charakterisierten ∆ die temporale und α die räumliche Inkohärenz. Die Angabe dieser Größen 

ging auf Handbücher des Mikroskopherstellers Fei und Korrespondenz mit Dr. Peter Tiemeijer 

zurück [32, 36]. 

6.2 Durchführung und Auswertung 

Im Mittelpunkt der Auswertung stand die Abhängigkeit des Kontrasts vom Blendenradius r, 

um die in Kap. 5 gemachten Beobachtungen nachzustellen. Neben der zu Kap. 5.5 analogen 

Blendenabhängigkeit sollte außerdem auch in Hinblick auf eine mögliche Dickenabhängigkeit des 

Kontrasts betrachtet werden, weswegen Simulationen für sechs verschiedene Dicken durchgeführt 

wurden. Ferner konnte nur für die erste Probenstelle aus Kapitel 5 mit der Dicke 30 nm ein 

direkter Vergleich zwischen experimentellen und simulierten HRTEM-Bildern erfolgen, da nur 

für diese mittels der in Abschn. 5.4 erstellten Fokusserien der Defokus von −16 nm bestimmt 

werden konnte. 

Ein Ausschnitt einer simulierten Superzelle und eine vergrößert dargestellte Einheitszelle sind 

exemplarisch für eine Probendicke von 30 nm und ohne Blende in den Abbildungen 6.2 gezeigt. 

Eine Simulation ohne Blende lässt sich nur anhand sehr großer Radien annähern, so dass im 

eigentlichen Sinne auch bei solchen Simulationen immer eine Apertur vorliegt. In allen Simulationen 

wiesen die Superzellen gegenüber dem restlichen Kristall dunkle, verzerrte Ränder auf, 

wie in Abb. 6.2(a) gezeigt ist. Diese Verzerrungen führten neben der reduzierten Intensität insbesondere 

zur Störung der Translationsinvarianz des simulierten Kristalls. Aus diesem Grund 

wurde an den Rändern jeweils eine halbe Einheitzelle von der Kontrastbestimmung ausgeschlossen, 

so dass nur die inneren Strukturen der Superzellen ausgewertet wurden. Die Ursachen für 

diese Verzerrungen konnten zum gegebenen Zeitpunkt nicht mehr geklärt werden. 

In den in Abb. 6.3 simulierten HRTEM-Bildern sind die Probendicken 30 nm 6.3(a) und 

140 nm 6.3(b) für die Aperturen r2 = 6, 8 nm −1 (links) und r3 = 14, 8 nm −1 (mitte) bzw. ohne 

Apertur (rechts) illustriert. Die in Kap. 4 bestimmte MTF wurde in den Simulationen aus Abb. 

6.3 zunächst noch nicht eingebracht. Bei Betrachtung der hellen Strukturen verzeichnet man mit 

zunehmender Aperturgröße eine Reduzierung der Intensität. Gleichzeitig nehmen die dunklen 

Zwischenbereiche an Intensität zu, womit sich nach Abschn. 3.1 eine Minderung des Kontrasts 

mit steigender Blendengröße abzeichnete. 

82

y (px) 

50 

100 

150 

200 

50 100 150 200 

x (px) 

(a) Eckbereich einer simulierten Superzelle 

von GaAs. 

y (px) 


10 

20 

30 

40 

50 

60 

10 20 30 

x (px) 

40 50 60 

(b) Einheitszelle der Superzelle. 

Abbildung 6.2: Simulierte HRTEM-Bilder für GaAs mit einer Probendicke 30nm und einem Defokus 

−16nm (ohne Apertur). (a) illustriert die linke obere Ecke einer 10×10 Einheitszellen großen Superzelle. 

Die dargelegten linken und oberen Ränder zeigen eine Abdunkelung und Verzerrung der Kristallstruktur, 

welche die Translationsinvarianz stört. (b) zeigt eine 60px × 60px große Einheitszelle der Superzelle. 

y (px) 

20 

40 

60 

80 

100 

120 

20 40 60 

x (px) 

80 100 120 

y (px) 

20 

40 

60 

80 

100 

120 

20 40 60 

x (px) 

80 100 120 

y (px) 

20 

40 

60 

80 

100 

120 

20 40 60 

x (px) 

80 100 120 

(a) Probendicke 30 nm mit den Kontrasten von links nach rechts: c = 0, 42, c = 0, 41 und c = 0, 31. 

y (px) 

20 

40 

60 

80 

100 

120 

20 40 60 

x (px) 

80 100 120 

y (px) 

20 

40 

60 

80 

100 

120 

20 40 60 

x (px) 

80 100 120 

y (px) 

20 

40 

60 

80 

100 

120 

20 40 60 

x (px) 

80 100 120 

(b) Probendicke 140 nm mit den Kontrasten von links nach rechts: c = 0, 52, c = 0, 34 und c = 0, 15. 

Abbildung 6.3: 2 × 2-Einheitszellen der abgebildeten und simulierten GaAs-Kristalle mit den Dicken 30 

nm (a) und 140 nm (b). Die Abbildungen (a) erfolgten mit ǫ = −16nm und die in (b) mit ǫ = −20nm. 

Für beide Abbildungen wurden die Aperturradien 6,8nm −1 (links) und 14,8nm −1 (mitte) sowie ohne 

Apertur (rechts) berechnet. Der Kontrast nimmt zu größeren Aperturen hin ab. 

83


Kontrast c 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

0 20 40 60 80 

Apertur (nm −1 ) 

Sim.: d=20nm 

Sim.: d=40nm 

Sim.: d=130nm 

Sim.: d=140nm 

Sim.: d=150nm 

Sim.: d=30nm 

Exp.: d=30nm 

Abbildung 6.4: Der Kontrast ist für verschiedene Dicken simuliert und über den Aperturradius aufgetragen. 

Für eine Dicke von 30nm sind insbesondere die experimentellen Kontrastwerte aus Kap. 5 als 

magenta farbige Kreuze dargestellt. Der dazugehörende, simulierte Kontrastverlauf ist ebenfalls in magenta 

gestrichelt dargestellt. In den Simulationen wurde noch nicht die MTF berücksichtigt. Es zeigt sich 

eine große Diskrepanz zwischen Experiment und Simulation. Der Kontrast c ist über den Aperturradius 

aufgetragen und zeigt für alle Kurven eine Abnahme mit steigendem Aperturradius. Mit zunehmender 

Dicke lässt sich nur eine tendenzielle Kontrastabnahme verzeichnen, da dickere Probenstellen teilweise 

höhere Kontraste als dünnere aufweisen, wie z.B. für 20nm (schwarz) und 40nm (blau). 

Die Berechnung des Kontrasts nach Gl. 3.2 und sein Verlauf mit dem Aperturradius zeigt Grafik 

6.4 für sechs simulierte Dicken. Mit zunehmendem Aperturradius, bis hin zur vollständigen 

Herausnahme der Objektivblende, nimmt der Kontrast für alle Dicken stetig ab. Ab etwa einem 

Radius von 60 nm −1 ist keine weitere, wesentliche Kontrastreduzierung mehr festzustellen. Bei 

näherer Betrachtung kleiner Aperturen ist aus der Auftragung 6.4 zu entnehmen, dass bei einer 

Radiusänderung von 6, 8 nm −1 auf 7, 4 nm −1 nahezu alle Dicken einen starken Kontrastabfall 

erfahren, was für eine Dicke von 30 nm nicht der Fall war. Dabei war der Kontrast für 30 nm bei 

den zwei kleinsten Aperturradien 6, 8 nm −1 und 7, 4 nm −1 geringer als bei allen anderen Dicken 

(s. Abb. 6.4). Aus Auftragung 6.4 ist weiter zu entnehmen, dass die als magenta farbige Kreuze 

markierten, experimentellen Kontrastwerte aus Kap. 5 für die Probendicke von 30 nm gegenüber 

den simulierten Bildern um etwa einen Faktor 2 bis 3 niedriger waren. So ergab sich z.B. für eine 

Apertur von 6, 8 nm −1 ein Kontrastwert von csim = 0, 42, dem ein experimenteller Kontrastwert 

von c = 0, 18 gegenüberstand, was folglich zu einem Stobbs-Faktor von 2,33 führte. 

Abbildung mit MTF 

Um die hier vorgestellten Simulationen zu vervollständigen, musste die zuvor bestimmte MTF 

der CCD-Kamera aus Kap. 4 einbezogen werden. Die vernachlässigbaren Abweichungen zwischen 

den beiden mit Hilfe des Dreisegment-Sterns ermittelten MTF-Kurven aus Abschn. 4.4 

schlugen sich dementsprechend nicht in unterschiedlichen Kontrasten nieder. Daher wurde im 

84


Weiteren die mit Aliasing-Maske gemessene MTF aus Abb. 6.5 (mitte) für die Simulationen 

ausgewählt. Das Einbringen der MTF geschieht durch ihre Multiplikation mit den Diffraktogrammen 

F {I(r)} der simulierten Bilder I(r). Dieser Ablauf wird mit den Abbildungen 6.5 

illustriert und erläutert. Nach erfolgter Multiplikation der MTF auf die Diffraktogramme wurde 

k y (nm −1 ) 

−15 

−10 

−5 

0 

5 

10 

15 

k (nm 

x −1 −10 0 10 

) 

k y (nm −1 ) 

−15 

−10 

−5 

0 

5 

10 

15 

k (nm 

x −1 −10 0 10 

) 

k y (nm −1 ) 

−15 

−10 

−5 

0 

5 

10 

15 

k (nm 

x −1 −10 0 10 

) 

(a) Gezeigt sind das Diffraktogramm F {I(r)} (links), die MTF( k) (mitte) und das modulierte Diffraktogramm 

F {I(r)} · MTF( k) (rechts). Die Intensitäten der Diffraktogramme sind logarithmisch aufgetragen. 


10 

5 

0 

−10 0 10 

k (nm 

x −1 ) 

1 

0.5 

0 

−10 0 10 

k (nm 

x −1 ) 


10 

5 

0 

−10 0 10 

k (nm 

x −1 ) 

(b) Linienprofile entlang von kx durch die Ursprünge geben die Schnitte der obigen Darstellungen an. Die Diffraktogramme 

sind logarithmisch dargestellt. 

Abbildung 6.5: (a) zeigt links das logarithmierte Diffraktogramm F {I(r)} eines simulierten Bildes I(r) 

für eine GaAs-Probe mit 30nm dicke und einer Blende von 6,8nm −1 . In der Mitte ist die rotationssymmetrische 

MTF dargestellt, die auf das Diffraktogramm mit einer Multiplikation angewendet wird. Rechts ist 

das Ergebnis der Multiplikation durch die radial abnehmenden Intensitäten zu finden. Diese Abnahme lässt 

sich in (b) anhand der entsprechenden Linienprofile besser erkennen. Die Profile sind den dazugehörenden 

Diffraktogramme direkt untergeordnet. Die blaue Kurve (links) wird mit der roten (mitte) multipliziert. 

Das Ergebnis ist die modulierte rote Kurve (rechts), wobei das ursprüngliche Diffraktogramm blau gestreift 

dargestellt ist. Die MTF-Dämpfung zeigt sich damit selbst in der logarithmischen Auftragung sehr 

deutlich. 

die inverse FT zur Erlangung der modifizierten HRTEM-Bilder berechnet. Die Simulationen 

sind in Abb. 6.6 für 30 nm Dicke mit den Aperturen 6, 8 nm −1 , 14, 8 nm −1 sowie ohne Apertur 

zusammengefasst. Die starke Kontrastsenkung mit der MTF zeigt sich klar in den simulierten 

HRTEM-Bildern 6.6(a) ohne MTF bzw. 6.6(b) mit MTF. Die Kristallstrukturen mit hoher Intensität 

erscheinen mit der MTF viel schwächer als zuvor in 6.6(a). Dieser drastische MTF-Effekt 

spiegelt sich dementsprechend in der Auftragung 6.6(c) wieder. Dabei verringerte sich für die 

Dicke von 30 nm und bei einer Apertur von 6, 8 nm −1 der kleinste Stobbs-Faktor, verglichen mit 

den vorigen Simulationen ohne MTF, von 2,33 auf 1,44. 

Bei einer kleinen Apertur von 6, 8 nm −1 wurden zusätzliche Simulationen mit dem Modell der 

Transmissionskreuzkoeffizienten (TCC) durchgeführt. Dabei resultierte aus den TCC-Rechnungen 

ohne MTF ein Kontrast von 0,57 und mit MTF 0,31. Zum Vergleich: Nach Van Dyck ergaben 

85


86 

y (px) 

y (px) 

20 

40 

60 

80 

100 

120 

20 

40 

60 

80 

100 

120 

Kontrast c 

20 40 60 

x (px) 

80 100 120 

20 40 60 80 100120 

x (px) 

0.6 

0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

y (px) 

20 

40 

60 

80 

100 

120 

20 40 60 

x (px) 

80 100 120 

y (px) 

20 

40 

60 

80 

100 

120 

(a) GaAs-Probe mit Dicke 30nm und ohne MTF. 

y (px) 

20 

40 

60 

80 

100 

120 

20 40 60 80 100120 

x (px) 

y (px) 

20 

40 

60 

80 

100 

120 

(b) GaAs-Probe mit Dicke 30 nm und mit MTF. 

0 

0 20 40 60 80 

Apertur (nm −1 ) 

20 40 60 

x (px) 

80 100 120 

20 40 60 80 100120 

x (px) 

Sim.: d=20nm 

Sim.: d=40nm 

Sim.: d=130nm 

Sim.: d=140nm 

Sim.: d=150nm 

Sim.: d=30nm 

Exp.: d=30nm 

(c) Kontrastverlauf für sechs Dicken über den Aperturradius r mit MTF. Der Kontrast 

nimmt für alle Dicken mit steigendem Aperturradius ab. Die simulierte Dicke von 30nm 

ist als magenta farbige Kurve und die experimentellen Werte als gleichfarbige Kreuze dargestellt. 

Es zeigt sich für weiterhin ein Stobbs-Faktor von 1,44 für 6, 8 nm −1 . 

Abbildung 6.6: (a) zeigt ohne MTF und (b) mit MTF die Simulation von HRTEM-Bildern eines GaAs- 

Kristalls für d = 30nm, ǫ = −16nm mit den Aperturen 6,8nm −1 , 14,8nm −1 sowie ohne Apertur. Der 

Kontrast in (b) ist deutlich geringer als in (a). Die Auftragung in (c) legt die mit der MTF und mit 

steigendem Aperturradius einhergehenden Kontrastminderung dar.

6.3 Ergebnisse und Vergleich mit experimentellen HRTEM-Aufnahmen 

sich ohne MTF 0,41 und 0,26 und war damit deutlich niedriger. 

6.3 Ergebnisse und Vergleich mit experimentellen 

HRTEM-Aufnahmen 

Die Simulationen mit dem Modell der inkohärenten Summierung zeigten in den Grafiken 6.4 

und 6.6(c) unabhängig von der MTF für alle Dicken ein abnehmenden Kontrast mit steigendem 

Blendenradius. Wie in Abb. 6.4 und 6.6(c) ersichtlich ist, steigt der Kontrast beim Wechsel der 

Apertur von 7, 4 nm −1 auf 6, 8 nm −1 erheblich an, da weitere Bragg-Reflexe von der Apertur 

ausgeblendet wurden. Dies ergaben die Simulationen für alle Dicken, ausgenommen war die 

30 nm dicke Probe. Ein konkrete Dickenabhängigkeit des Kontrasts konnte allerdings nicht mit 

den Ergebnissen belegt werden, was mit der dynamischen Beugung begründet werden kann. 

Hierbei liegt aufgrund der Mehrfachstreuung eine Pendellösung für die Intensitäten der Bragg- 

Reflexe vor, die dickenabhängig sind und bestimmte Reflexe hervorhebt bzw. herunterdämpft 

[20], so dass sich diese unterschiedlich auf den Kontrast im HRTEM-Bild auswirken. Dies zeigt 

sich beispielsweise in den Grafiken 6.4 und 6.6(c), wo die blaue Kontrastkurve für die Probendicke 

40 nm höhere Kontraste aufweist als die dünnere Probenstelle mit 20 nm und 30 nm. Dennoch 

geht aus den Grafiken eine tendenzielle Kontrastabnahme mit größer werdender Dicke hervor. 

Trotz der Anwendung der MTF auf das Diffraktogramm fand sich keine exakte Übereinstimmung 

mit den experimentellen Kontrastwerten für die 30 nm dicke Probe. Es sei nochmal betont, 

dass diese HRTEM-Bilder ohne Energiefilterung aufgenommen wurden, so dass auch an Plasmonen 

gestreute Elektronen zum HRTEM-Bild beitrugen. Tabelle 6.1 fasst für diese Probenstelle 

die resultierenden Kontrastwerte für die Abbildungsmodelle der inkohärenten Summierung und 

den Transmissionskreuzkoeffizienten (TCC) zusammen. 

Apertur 

(nm −1 ) 

TCC 

ohne 

MTF 

Inkohärente 

Summierung 

ohne MTF 

TCC 

(MTF) 

Inkohärente 

Summierung 

(MTF) 

Experiment Stobbs- 

Faktor 

6,8 0,57 0,41 0,31 0,26 0,18 1,44 

14,8 - 0,41 - 0,24 0,14 1,71 

(keine) - 0,31 - 0,18 0,10 1,80 

Tabelle 6.1: Kontrastwerte für die 30nm dicke Probenstelle. Es zeigt sich für die inkohärente Summierung 

eine grundsätzliche Kontrastsenkung mit zunehmender Aperturgröße. Aus dem Verhältnis von Simulation 

mit einbezogener MTF (3. Spalte von rechts) und dem experimentellen Kontrast (2. Spalte von rechts) 

ergeben sich die Stobbs-Faktoren (rechte Spalte). Außerdem zeigen die Rechnungen mit den TCC höhere 

Kontraste als die mit der inkohärenten Summierung durchgeführten. 

Dabei war der Kontrast in den simulierten Bildern um einen Stobbs-Faktor von 1,44 (für 

die kleinste Apertur) bis 1,80 (ohne Apertur) größer als der Kontrast in den experimentellen 

Aufnahmen. Da eine experimentelle Dickenungenauigeit von ±15nm vorlag, war der geringste 

Stobbs-Faktor mit 1,44 demzufolge nur sehr ungenau bestimmt. Für die TCC-Simulation mit der 

kleinsten Apertur wurde hingegen ein größerer Stobbs-Faktor von 1,72 gefunden. Damit blieben 

diese Werte unter den bislang berichteten Stobbs-Faktoren von drei bis fünf [7, 11]. Hochmeister 

et al. fanden ferner anhand einer keilförmigen Siliziumprobe für Dicken von 2,3 bis 20,7 nm 

Stobbs-Faktoren zwischen 1,5 und 2,3 [24]. Es wurden dabei energiegefilterte HRTEM-Bilder 

87


mit 5 eV Spaltbreite aufgenommen (Zero-Loss-Energiefilterung) und mit Multislice simulierten 

HRTEM-Bildern verglichen. Zur Erinnerung: Die Energieverluste der Elektronen durch angeregte 

Phononen betragen < 1 eV [15]. Weiter wurde in den Simulationen die atomare Streuamplitude 

nach Weickenmeier und Kohl [54] berechnet und die thermischen Atomschwingungen mit dem 

Debye-Waller-Faktor berücksichtigt. Weiter wurden die räumliche und temporale Inkohärenz anhand 

von Enveloppenfunktionen einbezogen [24]. Trotz der geringen Probendicken von maximal 

20,7 nm, mit denen Hochmeister et al. ihre Vergleiche anstellten, lässt sich daraus schließen, 

dass künftige Untersuchungen ausschließlich mit energiegefilterten HRTEM-Aufnahmen im Experiment 

und unter Beibehaltung der Simulationen mit der inkohärenten Summierung nach Van 

Dyck erfolgen sollten. 

Die Auswirkung der Aperturgröße auf den Kontrast ist in den Simulationen deutlich geworden. 

In den mit den TCC simulierten HRTEM-Bildern wurden die dämpfenden Inkohärenzenvellopen 

mit dem ganzen Diffraktogramm multipliziert, so dass nicht nur die Bragg-Reflexe sondern 

auch die thermisch diffus gestreuten Elektronen heruntergedämpft wurden. Die zugehörenden 

Kontrastwerte von 0,57 (ohne MTF) und 0,31 (mit MTF) waren damit höher als die mit der 

inkohärenten Summierung berechneten (0,31 ohne MTF sowie 0,26 mit MTF). Daher lässt sich 

sagen, dass ein realistischeres Ergebnis mit der inkohärenten Summierung gefunden wurde. Denn 

in den Simulationen mit der inkohärenten Summerierung tragen bei großen Aperturradien anteilig 

immer mehr thermisch diffus gestreute Elektronen zu den HRTEM-Bildern bei, womit sich 

eine höhere Hintergrundintensität und folglich ein abnehmender Kontrast ausbildet [18]. Auf 

Basis der für die Probendicke von 30 nm gefundenen Resultate ließ sich damit der Ansatz von 

Van Dyck zur Begründung des Stobbs-Faktors, dass die TDS eine Ursache ist, festigen [18]. Des 

Weiteren konnte anhand der Ergebnisse ebenfalls der starke Einfluss der MTF auf den Kontrast 

nach Thust bestätigt werden [11], womit diese ein wichtiger Bestandteil in den Simulationen von 

HRTEM-Bildern darstellt. 

Schlussendlich war eine maßgebliche Voraussetzung für den Vergleich von Simulation und Experiment 

eine genaue Bestimmung der experimentellen Größen aus dem Experiment heraus. Dies 

galt insbesondere für den Defokus und die Probendicke, für die nur eine Genauigkeit von ±15 nm 

erreicht werden konnte. Obwohl Fokusserien zur Bestimmung des Defokus aufgenommen wurden, 

zeigten bereits kleine Abweichungen des Defokus von ±2 nm starke Kontraständerungen. 

88

Zusammenfassung 

Im Rahmen dieser Arbeit wurde sich schwerpunktmäßig mit der Bestimmung der Szintillator- 

MTF der Gatan UltraScan1000 CCD-Kamera beschäftigt. Der zweite Teil befasste sich mit 

dem Einfluss der thermisch diffusen Streuung (TDS) auf den Kontrast in HRTEM-Aufnahmen. 

In Kap. 4 wurde zunächst die Methode von Thust zur Bestimmung der Szintillator-MTF 

dargelegt [11]. Mit einem darauf basierenden und in Matlab TM selbst implementierten Auswertungsprogramm 

konnte die Szintillator-MTF der CCD-Kamera anhand von Kantenbildern 

des im Mikroskop integrierten Beamblankers bis zur Nyquist-Frequenz kN bestimmt werden. 

Die Verwendung eines Edelstahlblechs, das mit der Geometrie eines Dreisegment-Siemens-Sterns 

zugeschnitten war, ermöglichte es, alternative Kantenbilder aufzunehmen. Dies geschah mittels 

eines im Mikroskop eingebauten Bildspeicherplattenstapels, der so modifiziert wurde, dass er 

mit der CCD-Kamera gleichzeitig in das Mikroskop gefahren werden konnte. Anhand der Kantenbilder 

konnte eine verlässliche Bestimmung der MTF bis zu einer Frequenz von √ 2kN erreicht 

werden. An der Sterngeometrie wurde überdies der Einfluss des Aliasings näher untersucht, wobei 

sich kein signifikanter Einfluss des Aliasings aus den Ergebnissen ableiten ließ. Dies steht im 

Widerspruch zu den Berichten von Kirkland, Ruijter und Thust, nach denen sich das Aliasing 

verfälschend auf die MTF auswirkt [11, 21, 25]. Ferner konnten die gefundenen Resultate mit 

einer alternativen Bestimmungsmethode von Van den Broek et al. übereinstimmend verifiziert 

werden [12]. Schlussendlich stimmten die Ergebnisse auch mit der von Thust ermittelten und 

vergleichbaren MTF-Kurve gut überein, wobei sich geringe Abweichungen mit der individuellen 

Beschaffenheit der Phosphorszintillatoren und mit Unterschieden in der Implementierung 

erklären ließen [11]. 

Kapitel 5 wurde der Betrachtung des Kontrasts anhand des Stobbs-Faktors gewidmet [7]. 

Aus diesem Grund wurde der Kontrast aus HRTEM-Aufnahmen einer GaAs-Probe mit einem 

keilförmigen Dickenprofil bestimmt. Es wurden drei Probenstellen unterschiedlicher Dicke bei 

Verwendung verschiedener Objektivaperturen untersucht. Für jede der drei Probenstellen führte 

ein steigender Aperturradius zu einer Kontrastsenkung. Eine Aussage über die Dickenabhängigkeit 

des Kontrasts konnte jedoch nicht getroffen werden. Eine der untersuchten Stellen wurde 

dabei mit energiegefilterten Elektronen aufgenommen, so dass an Plasmonen gestreute Elektronen 

ausgeschlossen wurden. Auch wenn sich die experimentell untersuchten Probenstellen 

aufgrund der teilweise unbekannten Defoki nicht miteinander vergleichen ließen, so ergaben sich 

mit den energiegefilterten HRTEM-Aufnahmen deutlich höhere Kontrastwerte von beispielsweise 

0,7 für die kleinste Apertur (von 6, 8 nm −1 ) gegenüber den anderen beiden Stellen. Dies ließ sich 

nicht ausschließlich mit einem siginifikanten Dickenunterschied erklären. Daher sollten künftige 

TDS-Untersuchungen mit energiegefilterten Aufnahmen durchgeführt werden. Insgesamt stützten 

die Ergebnisse die Annahme von Van Dyck, dass der Stobbs-Faktor teilweise auf die im 

Beugungsbild enthaltenen, thermisch diffus gestreuten Elektronen zurückzuführen ist [17, 18]. 

In Kapitel 6 wurden mit den aus Kap. 5 ermittelten Größen HRTEM-Bilder von GaAs simuliert. 

Die Simulationen erfolgten mit dem STEMsim-Programm [30], in dem der Ansatz der 

inkohärenten Summierung von Van Dyck implementiert war [17, 18]. Insgesamt wurden Simu- 

89

Zusammenfassung 

lationen für sechs Probendicken zwischen 20 nm und 150 nm mit jeweils variierendem Aperturradius 

durchgeführt, um analog zu Kap. 5 die Kontrastabhängigkeiten zu untersuchen. Dabei 

ging in die Simulationen die in Kap. 4 bestimmte MTF ein. Alle simulierten Dicken ergaben eine 

Kontrastabnahme mit steigendem Aperturradius. Ein direkter Kontrastvergleich zwischen Experiment 

und Simulation war allerdings nur für die Probendicke von 30 nm möglich und ergab bei 

der kleinsten Apertur von 6, 8 nm −1 einen Stobbs-Faktor von 1,44 und ohne Apertur 1,80. Verglichen 

mit dem Stobbs-Faktor von 1,72 für die kleinste Apertur, bestimmt aus den Simulationen 

mit den Inkohärenzenveloppen des Transmissionskreuzkoeffizienten (TCC), resultierten für die 

inkohärente Summierung plausiblere Ergebnisse. Dies drückte sich insbesondere im Vergleich der 

absoluten Kontraste, bei TCC ohne/mit MTF 0,57/0,31 und inkohärente Summierung 0,41/0,26, 

aus. Damit blieben die mit der inkohärenten Summierung gefundenen Stobbs-Faktoren von 1,44 

und 1,80 unter den bislang berichteten von drei bis fünf [7, 11], und waren ferner vergleichbar 

mit denen von Hochmeister et al. gefundenen zwischen 1,5 bis 2,3 [24]. Eine genauere Untersuchung 

kleiner Blenden lieferte zudem einen stark blendenabhängigen Kontrast, was mit der 

dynamischen Beugung und der Pendellösung bei Mehrfachstreuung zusammenhängt, weil dann 

bei einer größeren Blende zusätzliche Beugungsreflexe zum HRTEM-Bild beitragen. So führte 

ein Blendenwechsel von 6, 8 nm −1 auf 7, 4 nm −1 zu einem drastischen Kontrastverlust von 

0,44 auf 0,28. Dieses Verhalten zeigte sich für nahezu alle simulierten Dicken, bis auf die Dicke 

von 30 nm. Da Dicken von 20 nm oder 40 nm auch diesen starken Kontrastabfall verzeichneten, 

konnte der kleinste Faktor von 1,44 für 30 nm aufgrund der experimentellen Dickenungenauigkeit 

von ±15 nm nicht sicher ermittelt werden. Überdies konnte zwar eine tendenzielle, aber 

keine grundsätzliche Kontrastabnahme mit zunehmender Probendicke festgestellt werden, da 

auch hier die dynamische Beugung weiterhin einen starken Einfluss auf den Kontrast hat. 

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Berücksichtigung der MTF im Diffraktogramm 

einen deutlichen Kontrastverlust in den simulierten HRTEM-Bildern hervorruft und daher den 

Stobbs-Faktor bei dicken Proben teilweise erklärt. Demzufolge muss die MTF in den Simulationen 

von HRTEM-Bildern einbezogen werden [11]. Weiter gaben die experimentellen Kontrastuntersuchungen 

und die angeknüpften Simulationen klare Hinweise darauf, dass auch die TDS 

eine weitere Ursache für den Stobbs-Faktor in HRTEM-Aufnahmen sein könnte [17, 18]. Eine 

stichhaltige Belegung dafür macht allerdings weitere Untersuchungen notwendig. Vergleichende 

Kontrastuntersuchungen des Stobbs-Faktors müssen demnach mit energiegefilterten HRTEM- 

Aufnahmen durchgeführt werden, die den Einfluss von Plasmonen ausschließen. Auch die Untersuchung 

an anderen Keilproben, aus beispielsweise Silizium mit amorphen Siliziumdioxid- 

Bereichen, ist denkbar [24], wobei die amorphen Bereiche zur Bestimmung des Defokus ausgenutzt 

werden können [24]. 

90

A Anhang 

A.1 Grundlagen der Fourier-Transformation 

Dieser Abschnitt befasst sich mit der Definition und den für die Arbeit wichtigen Theoremen der 

Fourier-Transformation (FT). Die Koordinaten r = (x, y) stellen die realen Längen bzw. Pixel 

im Bild dar (Realraum) und das Koordinatenpaar k = (kx, ky) die zugehörigen Raumfrequenzen 

im Spektrum oder die reziproken Gitterpunkte im Beugungsbild. 

• Die Definition der zweidimensionalen FT ist [44] 

F {f(r)} = 1 

∞ 

√ 

2π 

Die Rücktransformation erfolgt mit 

f(r) = 1 

√ 2π 

∞ 

−∞ 

−∞ 

f(r) · e −i2π k·r d 2 r. (A.1) 

F {f(r)} · e i2π k·r d 2 k. (A.2) 

Diese Transformationen können auf ein beliebiges Signal bzw. eine beliebige, nicht periodische 

Funktion angewendet werden. Dabei wird angenommen, dass das nicht-periodische 

Signal eine unendlich große Periodenlänge besitzt [44]. Im Gegensatz zur diskreten Fourier- 

Reihenentwicklung beschreibt diese Integraltransformation eine kontinuierliche Überlagerung 

von allen harmonischen Oszillationen mit den Frequenzen k. F {f(r)} kann demnach 

als eine spektrale Dichtefunktion einer in f(r) vorkommenden, spektralen Verteilung aufgefasst 

werden. 

• Eine wichtige Rechenregel ist darüber hinaus mit der Linearität gegeben [44]: 

F {a · f(r) + b · g(r)} = a · F {f(r)} + b · F {g(r)} . (A.3) 

• Faltungstheorem [44]: 

 

F {f(r)} · F {g(r)} = f(r)e −i2π 

k·r 2 

d r 

 

= 

u= R+r 

g( R)e −i2π k· R d 2 R = 

f(r)g(u − r)e −i2π k·u d 2 r d 2 u = 

 

 

e −i2π k·u 

f(r)g( R)e −i2π k·( R+r) d 2 r d 2 R 

 

f(r)g(u − r)d 2 

r d 

 

Faltung=:f⊗g(u) 

 

2 u 

=F {f ⊗ g} , da Gl. A.1 gilt. (A.4) 

Das Ergebnis des Faltungstheorems ermöglicht es, numerisch aufwändige Faltungsintegrale 

von zwei Funktionen g und f im Realraum r mit einer einfachen Multiplikation beider FTs 

F {g(r)} bzw. F {f(r)} im Frequenzraum k zu ersetzen. Eine anschließende Rücktransformation 

nach Gl. A.2 führt auf das Faltungsergebnis im Realraum r. 

I

A Anhang 

• Parseval-Theorem [44]: 

1 

√ 2π 

∞ 

−∞ 

|F {f(r)} | 2 d 2 k = 1 

√2π 

∞ 

−∞ 

|f(r)| 2 d 2 r (A.5) 

Für eine Herleitung wird auf [44] verwiesen. Generell sind f, ˜ f ∈ C und damit komplexwertige 

Funktionen, wodurch erst die Betragsquadrate dieser Größen eine physikalische 

Interpretation zulassen. Dies lässt sich auch in Analogie zur quantenmechnischen 

Wahrscheinlichkeitsdichte ρ(r) = ψ ∗ (r) · ψ(r) = |ψ(r)| 2 sehen. |F {f(r)} | 2 kann dann als 

Energiedichtespektrum bzw. |f(r)| 2 als Energiedichte des Signals aufgefasst werden. Demzufolge 

bleibt die Gesamtenergie eines Signals bei Transformation vom Realraum in den 

Frequenzraum erhalten. 

A.2 Datenzusammenstellung des Titan 80-300 und UltraScan1000 

CCD-Kamera 

Die Tabellen A.1 und A.2 fassen die wichtigsten Parameter für das Titan-Mikroskop und die 

Gatan CCD-Kamera zusammen. Sie waren die Grundlage für die in dieser Arbeit durchgeführten 

Untersuchungen und Simulationen. Die in den Tabellen A.1 und A.2 aufgeführten Werte 

gehen dabei auf E-Mail-Korrespondenzen, insbesondere mit Dr. Peter Tiemeijer von Fei [36], 

und Einsichten in Handbücher der Hersteller zurück [31, 32]. 

Parameter Focal 

spread 

∆ (nm) 

Energieunschärfe 

1 ∆E 

(eV) 

Kohärenzwinkel 

α 

(mrad) 

Chromatische 

Aberration 

Cc (mm) 

Wert ≈3 0,7 0,2 1,2 10 7 

reduzierte 

Brightness 2 

βr ( A 

sr·Vm 2) 

Tabelle A.1: Parameter und Größen des Elektronenmikroskops Fei-Titan 80-300 [32, 36]. 

Parameter Größe 

(px×px) 

Pixelkantenlänge 

(µm) 

Szintillatormaterial 

Wert 2048 × 2048 14 Phosphor >12 

MTF bei Nyquistfreq. 

(%) 

Tabelle A.2: Daten der UltraScan1000 CCD-Kamera von Gatan. 

1 Bei einer Extraktionsspannung von 3,9 kV. 

2 Bei einem elektrischen Strom von 10 nA. 

II

A.3 Aufbau und Implementierung der MTF-Bestimmungsmethode 

A.3 Aufbau und Implementierung der MTF-Bestimmungsmethode 

Die Implementierung der in Kap. 4 erläuterten Bestimmungsmethode der MTF erfolgte ausschließlich 

mit der Entwicklungsumgebung von Matlab TM . Die Struktur ist denkbar einfach. 

Innerhalb eines Hauptprogramms measure mtf.m werden sequentiell die in Kapitel 4 aufgeführten 

Operationen auf das anfangs experimentell gemessene Bild angewendet, so dass der 

Programmablauf einer Stapelverarbeitung gleicht. Jede der Operationen ist modular in einem 

Teilprogramm (Funktion) realisiert worden und bekommt das sukzessiv berechnete Bild und 

ggf. zusätzliche Parameter übergeben. Das anschließend modifizierte Bild wird an das Hauptprogramm 

zurückgegeben, so dass die Folgeoperation darauf zugreifen kann, bis schließlich die 

MTF bestimmt wurde. Ein Überblick über die implementierten Operationen, ihre Funktionen 

und Bezeichnungen schlüsselt die folgende Liste in der Reihenfolge auf, wie sie im Programm 

aufgerufen werden: 

• measure mtf.m (Hauptskript): 

Innerhalb dieses Skripts werden die Operationen der in Kap. 4 beschriebenen Methode 

seriell durchlaufen. Es erhält keine Übergabeparameter und lädt lediglich zu Beginn mit 

read dm file.m unter Angabe des Dateipfads die im DM3-Format vorliegenden Bilder 

in die Arbeitsumgebung von Matlab. Ist dies geschehen, können die in Teilprogrammen 

umgesetzten Operationen auf die geladenen, experimentellen Kantenbilder zugreifen. 

• [Synthetisches Referenzbild]=create syn img(Kantenbild, Faktor): 

Der Funktion wird das in einem zweidmensionalen Array gespeicherte Kantenbild tem img 

und der Sampling-Faktor M, mit dem die Kantenposition im interpolierten Kantenbild bestimmt 

wird, übergeben. Mit diesen Variablen wird ein synthetisches Referenzbild syn img 

definiert, indem 

1. mit dem angegebenen Sampling-Faktor M das Bild mit einer Matlab-Funktion imresize.m 

bikubisch interpoliert wird. 

2. Danach wird ein homogen ausgeleuchteter Bereich aus der Ecke verwendet, um die 

gemittelte Maximalintensität 〈I〉 und damit die Kantengrenze beim halben Wert zu 

bestimmen. Es liegt dann ein vergrößertes Binärbild mit scharfen Kanten vor. 

3. Der letzte Schritt ist die implementierte down bin.m-Funktion, die das Down-Binning 

realisiert. Es werden dabei die M × M großen Subpixelzellen des Binärbilds zu einem 

gemeinsamen Pixel gemittelt. Die Folge davon sind die sich damit ergebenden 

Grauwerte zwischen schwarz und weiß in den Kantenbereichen, so dass das synthetische 

Referenzbild syn img eine Verschmierung der Kanten im Sinne des CCD-Teils 

der MTF erfährt. Das so erstellte Referenzbild wird abschließend an das Hauptskript 

zurückgegeben. 

• [Normiertes Kantenbild]=fit illumination(Kantenbild, Faktor): 

Aus dem übergebenen Kantenbild tem img wird ausschließlich anhand seiner beleuchteten 

Bereiche eine Ausgleichsebene (schiefe Ebene) bestimmt. Dazu wird zunächst das Kantenbild 

mit der down bin.m Routine anhand eines Faktors verkleinert, um Rechenzeit zu 

sparen. Im Anschluss wird die Ausgleichsebene bestimmt, die dem Hintergrundverlauf der 

Intensität angeglichen wird. Danach wird die Ebene auf die ursprüngliche Bildgröße bikubisch 

interpoliert, bevor das experimentelle Kantenbild tem img dadurch geteilt wird. 

III

A Anhang 

IV 

Am Ende liegt ein normiertes Kantenbild vor, das an das Hauptprogramm zurückgegeben 

wird. 

• [Modifiziertes Bild]=raised cos win filt(Bild).m: 

Nach der Erstellung beider Bilder (syn img und tem img) werden diese jeweils anhand 

ihrer Bildgröße mit einem angehobenen Kosinus-Fenster multipliziert. Dabei ist zu beachten, 

dass zunächst zwei eindimensionale Kosinus-Fenster für die x, y-Richtungen berechnet 

werden. Diese bilden mittels Matrixmultiplikation eine nicht-rotationssymmetrische 

Matrix, die mit dem übergebenen Bild multipliziert wird. Das Produkt steht dann im 

Hauptprogramm zur Verfügung. 

• [Spektrum]=fft2(Bild): 

Mit Hilfe der Matlab-Implementierungen des Fast Fourier Transformation (FFT)-Algorithmus 

wurden die Spektren des Referenzbildes (Referenzspektrum) und des Kantenbilds 

(Objektspektrum) ft syn bzw. ft tem berechnet. 

• [Aliasing-Maske]= 

slct siem ft reg(Referenzspektrum, Segmente, Phasenverschiebung, Innenradius, 

Faktor): 

Anhand einer Vielzahl von Parametern werden die Aliasing-Masken der Siemens-Sterne 

spezifiziert, um so die auszuwertenden Spektralbereiche festzulegen. Dazu ist die Angabe 

des Referenzspektrums notwendig, da dieses in der Folgeoperation zur Bestimmung der 

Gewichte herangezogen wird. Auch die Segmentanzahl ist wesentlich für eine passende 

Maske, wobei mit der Phasenverschiebung die schräge Lage der Segmentkanten zu den 

CCD-Achsen angepasst werden kann. Zuletzt gibt der Innenradius einen Kreisbereich um 

den Ursprung des Spektrums an, der in die Auswertung einbezogen werden soll. Der zuletzt 

aufgeführte Faktor skaliert die Breite der Spektralverläufe, die an die Spektrumsgrenzen gehen. 

Je höher dieser Faktor ist, desto schmaler werden die ausgewählten Spektralbereiche, 

um ggf. eng angrenzende Aliasing-Bereiche zu deselektieren. Das Ergebnis ist ausschließlich 

eine Maske, dessen ausgewählten Bereiche auf den Wert 1 und die deselektierten auf 

0 gesetzt werden. 

• [MTF, Gewichte]= 

mtf estimation(Objektspektrum, Referenzspektrum, Aliasing-Maske): 

Die zuletzt zu durchlaufende Routine bestimmt zunächst mittels Aliasing-Maske und Referenzspektrum 

eine Gewichtsverteilung nach Gl. 4.6, indem die Betragsquadrate des Referenzspektrums 

gebildet werden. Alle durch die Aliasing-Maske ausgeschlossenen Bereiche 

erhalten von vornherein keine Gewichte, so dass sie keinen Beitrag zur MTF leisten. Für 

jede vom Ursprung des Spektrums ausgehende Frequenz (Radius) wird das Betragsquadrat 

jedes beitragenden Pixels durch die Summe aller Betragsquadrate geteilt. 

Im Anschluss wird nach Gl. 4.7 der Realteil des komplexen Quotienten von Objekt- und 

Refrenzspektrum berechnet, und auf die Gewichte radial angewendet. So entsteht für die 

radial verlaufende Frequenz eine rotationssymmetrische MTF. Die Ausgabegrößen sind 

schließlich die gesuchte MTF und die Gewichtungsverteilung.

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VIII

Danksagung 

Diese Seite widme ich Allen, die mich fachlich aber vor allem auch emotional unterstützt und 

ermutigt haben, diese Arbeit anzufertigen und mich über mein Studium hinweg begleitet haben. 

Zuerst möchte ich mich herzlichst bei Prof. Dr. Andreas Rosenauer dafür bedanken, dass er mir 

die Möglichkeit gegeben hat, meine Abschlussarbeit in seiner AG realisieren und an aktuellen 

Forschungsthemen arbeiten zu dürfen. Er stand immer für Fragen und anregende Tipps zur 

Verfügung, obwohl es oftmals seine Zeit kaum zuzulassen schien. 

Prof. Dr. Ralf Bergmann möchte ich für seine sofortige Bereitschaft danken, sich die Mühe 

gemacht zuhaben, meine Arbeit als Zweitgutachter zu beurteilen. 

Vor allem aber möchte ich Dr. Knut Müller danken, der mir mit seiner Brotkrumenspur 

dazu verhalf, mich im reizvollen Elektronenmikroskopiedschungel zu orientieren und einen Weg 

hindurch zu finden. Für mich ist sicher, ohne seine engagierte Betreuung und seine Anregungen 

hätte diese Arbeit nie diese Gestalt angenommen. Nicht zuletzt möchte ich aber auch seine 

freundschaftliche Art hervorheben, die mir den Einstieg in die Thematik und in die AG leicht 

machte. Die erheiternden Wortgeplänkel waren dabei nicht nur ein fester Bestandteil unserer 

Kommunikation, sondern auch die innerhalb der AG. 

So möchte ich auch Dr. Marko Schowalter Dank aussprechen, der sich u.a. mit seinen STEM- 

Messungen, vielen Ratschlägen und seiner entspannten Art immer helfend zur Verfügung gestellt 

hat. Dies galt ebenfalls für Thorsten Mehrtens, der sich zudem Zeit nahm, Teile meiner Arbeit 

zu lesen und mich mit hilfreichen Anregungen unterstützt hat. Des Weiteren ist natürlich noch 

Tim Grieb zu nennen, der nicht nur in Rahmen der Kaffeerunden mit interessierten Fragen für 

weitere Anreize sorgte. Meinen Bürokollegen Stephanie Bley und Alexander Würfel möchte ich 

dafür danken, mich tatkräftig mit Nervennahrung (Keksen) versorgt zu haben. Den verbliebenen 

AG-Mitgliedern, Dr. Katharina Gries, Kristian Frank, Annegret Ebert und Oliver Oppermann, 

möchte ich nicht weniger für das angenehme Arbeitsklima danken. 

Auch unserem belgischen Gast im Frühjahr diesen Jahres, Dr. Wouter Van den Broek, und 

Dr. Andreas Thust vom Forschungszentrum Jülich möchte ich für die persönlichen Gespräche 

sowie für den stets angenehmen Schriftverkehr danken. Beide halfen mir sehr dabei, ein besseres 

Verständnis für die theoretischen Hintergründe der MTF zu entwickeln. 

Neben der universitären, fachlichen Unterstützung wäre aber wohl ohne den emotionalen Beistand 

meiner Freunde nur sehr wenig zustande gekommen. Bibi, Daniel, Malcolm und Philipp 

wissen wie keine anderen, was mir das Physik-Studium und die damit verbundene Abschlussarbeit 

bedeutet hat. Sie haben mich maßgeblich in meinem Entschluss bestärkt das Projekt 

Zweitstudium anzugehen und gaben mir bis zuletzt den Rückhalt, den ich brauchte, wofür ich 

ihnen nicht dankbar genug sein kann! Einen herzlichen Dank gilt aber besonders Bibi, die in 

dieser für mich nicht immer einfachen Zeit stets für mich da war. 

Schließlich möchte ich mich bei meinen Eltern bedanken, die mir das Vertrauen für meine 

Entscheidung, nochmal studieren zu wollen und dies auch zu können, entgegenbrachten. 

Danke. 

IX

Bestimmung der Modulationstransferfunktion einer CCD-Kamera ...

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